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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Zahl des ersten Glücksrads - Zahl des zweiten Glücksrads. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Glücksrad 1 - Glücksrad 2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	-2	-1	0	1	2
zugehörige Ereignisse	1 - 3	1 - 2 2 - 3	1 - 1 2 - 2 3 - 3	2 - 1 3 - 2	3 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Augenzahl beim ersten Wurf - Augenzahl beim zweiten Wurf (es sind also auch negative Werte für diese Differenz möglich). Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Würfel1 - Würfel2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = -5	X = -4	X = -1	X = 0	X = 1	X = 4	X = 5
zugehörige Ergebnisse	1 → 6	2 → 6	1 → 2	1 → 1 2 → 2 6 → 6	2 → 1	6 → 2	6 → 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = -5	X = -4	X = -1	X = 0	X = 1	X = 4	X = 5
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
=	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{18}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	-5	-4	-1	0	1	4	5
P(X=k)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{18}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einer Urne sind sechs Kugeln, die mit der Zahl 1 beschriftet, sechs Kugeln, die mit der Zahl 6 sind, und sechs Kugeln, die mit der Zahl 7 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größten und der anderen Zahl der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 5	X = 6
zugehörige Ergebnisse	1 → 1 6 → 6 7 → 7	6 → 7 7 → 6	1 → 6 6 → 1	1 → 7 7 → 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 5	X = 6
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{5}{17}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{5}{17}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{5}{17}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{6}{17}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{6}{17}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{6}{17}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{6}{17}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{6}{17}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{6}{17}$
=	$\frac{5}{51}$ + $\frac{5}{51}$ + $\frac{5}{51}$	$\frac{2}{17}$ + $\frac{2}{17}$	$\frac{2}{17}$ + $\frac{2}{17}$	$\frac{2}{17}$ + $\frac{2}{17}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	5	6
P(X=k)	$\frac{5}{17}$	$\frac{4}{17}$	$\frac{4}{17}$	$\frac{4}{17}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 4 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3	4	5
P(X=k)	$\frac{5}{7}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{5}{91}$	$\frac{10}{1001}$	$\frac{1}{1001}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei das Produkt der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?

Zufallsgröße X	1	2	3	4	6	9
P(X=k)	$\frac{289}{1296}$	?	?	?	?	$\frac{1}{9}$

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = $\frac{289}{1296}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{289}{1296}$ und somit p1 = $\frac{17}{36}$ .

Ebenso gibt es für X=9 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=9) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=9) = $\frac{1}{9}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{9}$ und somit p3 = $\frac{1}{3}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{17}{36}$ $- \frac{1}{3}$ = $\frac{36}{36}$ $- \frac{17}{36}$ $- \frac{12}{36}$ = $\frac{7}{36}$

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = $\frac{α}{360°}$

Somit erhalten wir:

α₁ = $\frac{17}{36}$ ⋅ 360° = 170°

α₂ = $\frac{7}{36}$ ⋅ 360° = 70°

α₃ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 360° = 120°

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen, 7 roten, 9 grünen und 5 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 32€. Bei rot erhält er 24€, bei grün erhält er 8€ und bei weiß erhält er 48€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	32	24	8	48
P(X=x_i)	$\frac{3}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{9}{24}$	$\frac{5}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$4$	$7$	$3$	$10$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 32⋅ $\frac{3}{24}$ + 24⋅ $\frac{7}{24}$ + 8⋅ $\frac{9}{24}$ + 48⋅ $\frac{5}{24}$

= $4$ $+$ $7$ $+$ $3$ $+$ $10$
= $24$

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit 6€ beschriftet sind, 10 Kugeln, die mit 20€ und 9 Kugeln, die mit 28€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 4 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 21,8€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	6	20	28	?
Zufallsgröße x_i	6	20	28	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-15.8	-1.8	6.2	x-21.8
P(X=x_i)	$\frac{7}{30}$	$\frac{10}{30}$	$\frac{9}{30}$	$\frac{4}{30}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{7}{5}$	$\frac{20}{3}$	$\frac{42}{5}$	$\frac{4}{30}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{110.6}{30}$	$- \frac{3}{5}$	$\frac{55.8}{30}$	$\frac{4}{30}$ ⋅(x-21.8)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 21.8

$\frac{7}{30} \cdot 6 + \frac{10}{30} \cdot 20 + \frac{9}{30} \cdot 28 + \frac{4}{30} x$ = 21.8

\frac{7}{5} + \frac{20}{3} + \frac{42}{5} + \frac{4}{30} x

= 21.8

$\frac{7}{5} + \frac{20}{3} + \frac{42}{5} + \frac{2}{15} x$	=	$21,8$
$\frac{2}{15} x + \frac{247}{15}$	=	$21,8$	\|⋅ 15
$15 (\frac{2}{15} x + \frac{247}{15})$	=	$327$
$2 x + 247$	=	$327$	\| $- 247$
$2 x$	=	$80$	\|: $2$
$x$	=	$40$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{7}{30} \cdot (- 15,8) + \frac{10}{30} \cdot (- 1,8) + \frac{9}{30} \cdot 6,2 + \frac{4}{30} (x - 21,8)

= 0

- \frac{110,6}{30} - \frac{1,8}{3} + \frac{18,6}{10} + \frac{2}{15} \cdot x + \frac{2}{15} \cdot (- 21,8)

= 0

$- \frac{110,6}{30} - \frac{1,8}{3} + \frac{18,6}{10} + \frac{2}{15} \cdot x + \frac{2}{15} \cdot (- 21,8)$	=	0
$- 3,6867 - 0,6 + 1,86 + \frac{2}{15} x - 2,9067$	=	0
$\frac{2}{15} x - 5,3333$	=	0	\|⋅ 15
$15 (\frac{2}{15} x - 5,3333)$	=	0
$2 x - 80$	=	0	\| $+ 80$
$2 x$	=	$80$	\|: $2$
$x$	=	$40$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.

Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
um Kunden zu locken soll bei einem Feld 40€ ausgezahlt werden

Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				40
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				38
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				40
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				38
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{38}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		40
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		38
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{17}{76}$		$\frac{1}{38}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{17}{76}$ + $\frac{1}{38}$ = $\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		40
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		38
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{17}{76}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{38}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$ ) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	40
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	38
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{17}{76}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{38}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $- \frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $- \frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅ $\frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{10}$ => x= $- \frac{1}{10}$ : $\frac{1}{8}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	40
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	38
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{17}{76}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{38}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ $\frac{1}{2}$ + -1.8⋅ $\frac{1}{8}$ + 0⋅ $\frac{17}{76}$ + 1⋅ $\frac{1}{8}$ + 38⋅ $\frac{1}{38}$

= $- 1$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $0$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{5}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $- \frac{4}{40}$
= $- \frac{1}{10}$

≈ -0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{2}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{1}{4}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{14}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{84}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{14}$	$\frac{1}{84}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{21}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{2}{3}$ + 2⋅ $\frac{1}{4}$ + 3⋅ $\frac{1}{14}$ + 4⋅ $\frac{1}{84}$

= $\frac{2}{3}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{3}{14}$ $+$ $\frac{1}{21}$
= $\frac{28}{42}$ $+$ $\frac{21}{42}$ $+$ $\frac{9}{42}$ $+$ $\frac{2}{42}$
= $\frac{60}{42}$
= $\frac{10}{7}$

≈ 1.43

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{13}{44}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ = $\frac{9}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ = $\frac{21}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{44}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{22}$	$\frac{39}{44}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{44}$ + 1⋅ $\frac{9}{44}$ + 2⋅ $\frac{21}{44}$ + 3⋅ $\frac{13}{44}$

= $0$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{21}{22}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{0}{44}$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{42}{44}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{90}{44}$
= $\frac{45}{22}$

≈ 2.05

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 8 Asse, 5 Könige, 7 Damen und 4 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 250, 2 Damen 220 und 2 Buben 80 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 30 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{7}{69}$
As -> König	$\frac{5}{69}$
As -> Dame	$\frac{7}{69}$
As -> Bube	$\frac{4}{69}$
König -> As	$\frac{5}{69}$
König -> König	$\frac{5}{138}$
König -> Dame	$\frac{35}{552}$
König -> Bube	$\frac{5}{138}$
Dame -> As	$\frac{7}{69}$
Dame -> König	$\frac{35}{552}$
Dame -> Dame	$\frac{7}{92}$
Dame -> Bube	$\frac{7}{138}$
Bube -> As	$\frac{4}{69}$
Bube -> König	$\frac{5}{138}$
Bube -> Dame	$\frac{7}{138}$
Bube -> Bube	$\frac{1}{46}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{7}{69}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{7}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{46}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{35}{552}$ + $\frac{35}{552}$ = $\frac{35}{276}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	500	250	220	80	30
P(X=x_i)	$\frac{7}{69}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{7}{92}$	$\frac{1}{46}$	$\frac{35}{276}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{3500}{69}$	$\frac{625}{69}$	$\frac{385}{23}$	$\frac{40}{23}$	$\frac{175}{46}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ $\frac{7}{69}$ + 250⋅ $\frac{5}{138}$ + 220⋅ $\frac{7}{92}$ + 80⋅ $\frac{1}{46}$ + 30⋅ $\frac{35}{276}$

= $\frac{3500}{69}$ $+$ $\frac{625}{69}$ $+$ $\frac{385}{23}$ $+$ $\frac{40}{23}$ $+$ $\frac{175}{46}$
= $\frac{7000}{138}$ $+$ $\frac{1250}{138}$ $+$ $\frac{2310}{138}$ $+$ $\frac{240}{138}$ $+$ $\frac{525}{138}$
= $\frac{11325}{138}$
= $\frac{3775}{46}$

≈ 82.07

Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X