Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Aufgabenbeispiele von a-b-c-Formel (MNF)

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x2+20x+101 = 0

Lösung einblenden

x2+20x+101 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = -20±202-4·1·10121

x1,2 = -20±400-4042

x1,2 = -20±(-4)2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = 102-101 = 100 - 101 = -1

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-21+2x2+11x = 0

Lösung einblenden

2x2+11x-21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = -11±112-4·2·(-21)22

x1,2 = -11±121+1684

x1,2 = -11±2894

x1 = -11+2894 = -11+174 = 64 = 1,5

x2 = -11-2894 = -11-174 = -284 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2" teilen:

2x2+11x-21 = 0 |: 2

x2+112x-212 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (114)2-(-212) = 12116+ 212 = 12116+ 16816 = 28916

x1,2 = -114 ± 28916

x1 = -114 - 174 = -284 = -7

x2 = -114 + 174 = 64 = 1.5

L={ -7; 1,5}

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x2-6x-8 = 0

Lösung einblenden
2x2-6x-8 = 0 |:2

x2-3x-4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = +3±(-3)2-4·1·(-4)21

x1,2 = +3±9+162

x1,2 = +3±252

x1 = 3+252 = 3+52 = 82 = 4

x2 = 3-252 = 3-52 = -22 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-32)2-(-4) = 94+ 4 = 94+ 164 = 254

x1,2 = 32 ± 254

x1 = 32 - 52 = -22 = -1

x2 = 32 + 52 = 82 = 4

L={ -1; 4}

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9x2+7x+8 = (8x+6)(x-2)+16x+40

Lösung einblenden
9x2+7x+8 = (8x+6)(x-2)+16x+40
9x2+7x+8 = 8x2-10x-12+16x+40
9x2+7x+8 = 8x2+6x+28 | -8x2 -6x -28

x2+x-20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = -1±12-4·1·(-20)21

x1,2 = -1±1+802

x1,2 = -1±812

x1 = -1+812 = -1+92 = 82 = 4

x2 = -1-812 = -1-92 = -102 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (12)2-(-20) = 14+ 20 = 14+ 804 = 814

x1,2 = -12 ± 814

x1 = -12 - 92 = -102 = -5

x2 = -12 + 92 = 82 = 4

L={ -5; 4}

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= -2x2-6x+80.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

-2x2-6x+80 = 0 |:2

-x2-3x+40 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = +3±(-3)2-4·(-1)·402(-1)

x1,2 = +3±9+160-2

x1,2 = +3±169-2

x1 = 3+169-2 = 3+13-2 = 16-2 = -8

x2 = 3-169-2 = 3-13-2 = -10-2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1" teilen:

-x2-3x+40 = 0 |: -1

x2+3x-40 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (32)2-(-40) = 94+ 40 = 94+ 1604 = 1694

x1,2 = -32 ± 1694

x1 = -32 - 132 = -162 = -8

x2 = -32 + 132 = 102 = 5

L={ -8; 5}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1( -8|0) und N2( 5|0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -x2+7x-2
und
g(x)= -2x2+4x+2.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-x2+7x-2 = -2x2+4x+2 | +2x2 -4x -2

x2+3x-4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = -3±32-4·1·(-4)21

x1,2 = -3±9+162

x1,2 = -3±252

x1 = -3+252 = -3+52 = 22 = 1

x2 = -3-252 = -3-52 = -82 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (32)2-(-4) = 94+ 4 = 94+ 164 = 254

x1,2 = -32 ± 254

x1 = -32 - 52 = -82 = -4

x2 = -32 + 52 = 22 = 1

L={ -4; 1}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -4) = -2(-4)2+4(-4)+2 = -216-16+2 = -32-16+2 = -46

g( 1) = -212+41+2 = -21+4+2 = -2+4+2 = 4

Die Schnittpunkte sind also S1( -4| -46) und S2( 1| 4).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= -x2+2x+2 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = 0 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=1.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= x oder f(x)= x.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x = -x2+2x+2 | +x2 -2x -2

x2-x-2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = +1±(-1)2-4·1·(-2)21

x1,2 = +1±1+82

x1,2 = +1±92

x1 = 1+92 = 1+32 = 42 = 2

x2 = 1-92 = 1-32 = -22 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-12)2-(-2) = 14+ 2 = 14+ 84 = 94

x1,2 = 12 ± 94

x1 = 12 - 32 = -22 = -1

x2 = 12 + 32 = 42 = 2

L={ -1; 2}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -1) = -(-1)2+2(-1)+2 = -1-2+2 = -1

g( 2) = -22+22+2 = -4+4+2 = 2

Die Schnittpunkte sind also S1( -1| -1) und S2( 2| 2).