Aufgabenbeispiele von a-b-c-Formel (MNF)
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a-b-c-Formel (MNF) - alles links
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
x2+20x+101 =
x2+20x+101 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -20±√202-4·1·1012⋅1
x1,2 = -20±√400-4042
x1,2 = -20±√(-4)2
Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = 102-101 = 100 - 101 = -1
Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.
L={}
a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
-21+2x2+11x =
2x2+11x-21 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -11±√112-4·2·(-21)2⋅2
x1,2 = -11±√121+1684
x1,2 = -11±√2894
x1 = -11+√2894 = -11+174 = 64 = 1,5
x2 = -11-√2894 = -11-174 = -284 = -7
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2" teilen:
2x2+11x-21 =
x2+112x-212 = 0
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (114)2-(-212) = 12116+ 212 = 12116+ 16816 = 28916
x1,2 = -114 ± √28916
x1 = -114 - 174 = -284 = -7
x2 = -114 + 174 = 64 = 1.5
L={ -7; 1,5}
a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
2x2-6x-8 =
x2-3x-4 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = +3±√(-3)2-4·1·(-4)2⋅1
x1,2 = +3±√9+162
x1,2 = +3±√252
x1 = 3+√252 = 3+52 = 82 = 4
x2 = 3-√252 = 3-52 = -22 = -1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-32)2-(-4) = 94+ 4 = 94+ 164 = 254
x1,2 = 32 ± √254
x1 = 32 - 52 = -22 = -1
x2 = 32 + 52 = 82 = 4
L={ -1; 4}
a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
9x2+7x+8 = (8x+6)(x-2)+16x+40
9x2+7x+8 | = | (8x+6)(x-2)+16x+40 | |
9x2+7x+8 | = | 8x2-10x-12+16x+40 | |
9x2+7x+8 | = | 8x2+6x+28 | | -8x2 -6x -28 |
x2+x-20 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -1±√12-4·1·(-20)2⋅1
x1,2 = -1±√1+802
x1,2 = -1±√812
x1 = -1+√812 = -1+92 = 82 = 4
x2 = -1-√812 = -1-92 = -102 = -5
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (12)2-(-20) = 14+ 20 = 14+ 804 = 814
x1,2 = -12 ± √814
x1 = -12 - 92 = -102 = -5
x2 = -12 + 92 = 82 = 4
L={ -5; 4}
Nullstellen (mit Lösungsformel)
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= -2x2-6x+80.
Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also
f(x)=0
-x2-3x+40 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = +3±√(-3)2-4·(-1)·402⋅(-1)
x1,2 = +3±√9+160-2
x1,2 = +3±√169-2
x1 = 3+√169-2 = 3+13-2 = 16-2 = -8
x2 = 3-√169-2 = 3-13-2 = -10-2 = 5
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1" teilen:
-x2-3x+40 =
x2+3x-40 = 0
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (32)2-(-40) = 94+ 40 = 94+ 1604 = 1694
x1,2 = -32 ± √1694
x1 = -32 - 132 = -162 = -8
x2 = -32 + 132 = 102 = 5
L={ -8; 5}
Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1(
-8|
Schnittpunkte (mit Lösungsformel)
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -x2+7x-2
und
g(x)= -2x2+4x+2.
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
-x2+7x-2 | = | -2x2+4x+2 | | +2x2 -4x -2 |
x2+3x-4 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -3±√32-4·1·(-4)2⋅1
x1,2 = -3±√9+162
x1,2 = -3±√252
x1 = -3+√252 = -3+52 = 22 = 1
x2 = -3-√252 = -3-52 = -82 = -4
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (32)2-(-4) = 94+ 4 = 94+ 164 = 254
x1,2 = -32 ± √254
x1 = -32 - 52 = -82 = -4
x2 = -32 + 52 = 22 = 1
L={ -4; 1}
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
g( -4) = -2⋅(-4)2+4⋅(-4)+2 = -2⋅16-16+2 = -32-16+2 = -46
g( 1) = -2⋅12+4⋅1+2 = -2⋅1+4+2 = -2+4+2 = 4
Die Schnittpunkte sind also S1( -4| -46) und S2( 1| 4).
Schnittpunkte (Term und Graph)
Beispiel:
Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.
Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= -x2+2x+2 .
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.
Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:
Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .
Den y-Achsenabschnitt c = 0 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.
Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=1.
Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= x oder f(x)= x.
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
x | = | -x2+2x+2 | | +x2 -2x -2 |
x2-x-2 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = +1±√(-1)2-4·1·(-2)2⋅1
x1,2 = +1±√1+82
x1,2 = +1±√92
x1 = 1+√92 = 1+32 = 42 = 2
x2 = 1-√92 = 1-32 = -22 = -1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-12)2-(-2) = 14+ 2 = 14+ 84 = 94
x1,2 = 12 ± √94
x1 = 12 - 32 = -22 = -1
x2 = 12 + 32 = 42 = 2
L={ -1; 2}
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
g( -1) = -(-1)2+2⋅(-1)+2 = -1-2+2 = -1
g( 2) = -22+2⋅2+2 = -4+4+2 = 2
Die Schnittpunkte sind also S1( -1| -1) und S2( 2| 2).