Aufgabenbeispiele von Ähnlichkeit
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Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: b=7.5cm, γ=80° und α=40°
Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe hb ab.
Wir erkennen schnell, dass wir den Kongruenzsatz wsw anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren können:
- Zuerst zeichnen wir die Strecke b ein und benennen die Enden Strecke C und A.
(schwarz)
- Jetzt zeichnen wir in C den Winkel
γ=80° ein (blau).
- Ebenso zeichnen wir in A den Winkel
α=40° ein (rot).
- Die beiden Halbgeraden schneiden sich im Punkt B.
Jetzt können wir die gesuchte Höhe hb ins Dreieck einzeichnen und abmessen: hb ≈ 5.4cm
Kongruenzsätze
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=7cm, α=94° und β=94°
Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.
Wenn man die Winkelsumme von α und β anschaut, sieht man dass diese mit 188 größer als 180° ist. Deswegen kann man kein Dreick mit diesen Größen konstruieren.
Ähnliche Dreiecke
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=4.5cm, b=8cm und c=8cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=16cm.
Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 2
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 2 ⋅ 8 = 16
a' = k ⋅ a = 2 ⋅ 4.5 = 9
Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=4cm, b=5cm und c=5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=11cm.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 2.2
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 2.2 ⋅ 5 = 11
a' = k ⋅ a = 2.2 ⋅ 4 = 8.8