Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 24 = 5.

Somit gilt: 29 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 10, z.B. 6 = 1 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 6 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 29 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2402 + 7996) mod 8 ≡ (2402 mod 8 + 7996 mod 8) mod 8.

2402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402 = 2400+2 = 8 ⋅ 300 +2.

7996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 8 ⋅ 875 +996.

Somit gilt:

(2402 + 7996) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 41) mod 4 ≡ (55 mod 4 ⋅ 41 mod 4) mod 4.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 41) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 40 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 = 4 = 40 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 10 = 40 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 9 = 40 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 31) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9