Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = -4 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -2 eine maximale Steigung (m ≈ 4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Bei x = 0 ist dagegen ein maximales Gefälle (m ≈ -4) in f', also ein Tiefpunkt in f'' zu erkennnen.

Man erkennt am Graph von f 3 Extrempunkte, also muss f' ( - die Ableitung von f - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 1 höher, also f vom Grad 4 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung 3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 3 haben. Es muss also f '(x) = 3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(2) = 3 und f '(-2) = 3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 2 und x₂ = -2.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -1 + ( - 2 ) = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(1)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|1) und Q₂(3|1), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-1$) = $-\mathrm{2,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 2 und g(2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(2)= f(2)⋅g(2) = 2⋅2 = 4

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(2) als auch g'(2) als Steigung m=$2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(2) = g'(2) = $2$.

Somit gilt:
h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)
= $2$⋅2 + 2⋅$2$
= $8$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 und g(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1)= f(-1)⋅g(-1) = 0⋅0 = 0

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-1 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-1) als auch g'(-1) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-1) = g'(-1) = $-2$.

Somit gilt:
h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)
= $-2$⋅0 + 0⋅ $\left(-2\right)$
= $0$.