Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7998 - 15998) mod 4 ≡ (7998 mod 4 - 15998 mod 4) mod 4.

7998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998 = 7000+998 = 4 ⋅ 1750 +998.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

Somit gilt:

(7998 - 15998) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 72) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 72) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 349¹=349

2: 349²=349¹⁺¹=349¹⋅349¹ ≡ 349⋅349=121801 ≡ 367 mod 547

4: 349⁴=349²⁺²=349²⋅349² ≡ 367⋅367=134689 ≡ 127 mod 547

8: 349⁸=349⁴⁺⁴=349⁴⋅349⁴ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 266 mod 547

16: 349¹⁶=349⁸⁺⁸=349⁸⋅349⁸ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 193 mod 547

32: 349³²=349¹⁶⁺¹⁶=349¹⁶⋅349¹⁶ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 53 mod 547

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

126¹¹⁹

= 126^{64+32+16+4+2+1}

= 126⁶⁴⋅126³²⋅126¹⁶⋅126⁴⋅126²⋅126¹

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 177 ⋅ 211 ⋅ 126 mod 241
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 177 ⋅ 211 ⋅ 126 mod 241
≡ 1 ⋅ 177 ⋅ 211 ⋅ 126 mod 241
≡ 177 ⋅ 211 ⋅ 126 mod 241
≡ 37347 ⋅ 126 mod 241 ≡ 233 ⋅ 126 mod 241
≡ 29358 mod 241 ≡ 197 mod 241

Es gilt also: 126¹¹⁹ ≡ 197 mod 241

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69

=>83	= 1⋅69 + 14
=>69	= 4⋅14 + 13
=>14	= 1⋅13 + 1
=>13	= 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 14-1⋅13
13= 69-4⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14) = 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14) = -1⋅69 +5⋅ 14 (=1)
14= 83-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69) = -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69) = 5⋅83 -6⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69

oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅83 = -6⋅69

-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69

-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1

(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1

77⋅69 = 64⋅83 + 1

Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1

Somit 77⋅69 = 1 mod 83

77 ist also das Inverse von 69 mod 83