Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 83⋅0.45 ≈ 37.35,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>83</mn>\; <mo>\cdot </mo>0.45\; <mo>\cdot </mo>\; 0.55}}$ ≈ 4.53

41.88 (37.35 + 4.53) und 32.82 (37.35 - 4.53) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 37.35 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 33 und 41 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 33 und 41 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.45.

$P_{0.45}^{83}(33\le X\le 41)$ =

...

$P_{0.45}^{83}(X\le 41)$ - $P_{0.45}^{83}(X\le 32)$ ≈ 0.8202 - 0.1421 ≈ 0.6781
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.45,41) - binomcdf(83,0.45,32))

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 30 = n ⋅ p
(2) σ = $\sqrt{\mathrm{n\; <mo>\cdot </mo>\; p\; <mo>\cdot </mo>\; (1-p)}}$

Setzt man nun 5 für σ und 30 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

5 = $\sqrt{\mathrm{30<mo>\cdot </mo>\; (1-p)}}$

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

25 = 30 ⋅ (1-p) |:30

$\frac{25}{30}$ = 1-p

$\frac{5}{6}$ = 1-p

Also gilt p = 1 - $\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6}$

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

30 = n ⋅ $\frac{1}{6}$ |⋅ $6$

Somit gilt: n = 180