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Abstand von A auf der Geraden AB

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten der beiden Punkte, die auf der Geraden durch A $(0 | -4 | -5)$ und B $(0 | 14 | 19)$ liegen und von A den Abstand 50 haben.

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir den Verbindungsvektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 18 \\ 24 \end{matrix})$ und dessen Länge: d=| $\vec{AB}$ |= $\sqrt{0^{2} + 18^{2} + 24^{2}} = \sqrt{900} = 30$
Wir verkürzen nun den Vektor zu einem Einheitsvektor, indem wir durch dessen Länge teilen:

$\vec{e}$ = $\frac{1}{30}$ $(\begin{matrix} 0 \\ 18 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix})$
Damit können wir die Gerade durch A und B mit einem Einheitsvektor als Richtungsvektor darstellen: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -4 \\ -5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix})$ .
Das heißt der Punkt X (vom Ortsvektor $\vec{x}$ ) ist immer t Einheiten vom Aufpunkt der Geraden A entfernt.

Für t=-50 und t=50 erhalten wir so also die gesuchten Punkte:

$\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -4 \\ -5 \end{matrix}) + 50 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -4 \\ -5 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 0 \\ 30 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 26 \\ 35 \end{matrix})$ . Der erste gesuchte Punkt ist also P₁ $(0 | 26 | 35)$

$\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -4 \\ -5 \end{matrix}) - 50 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -4 \\ -5 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 0 \\ - 30 \\ - 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ - 34 \\ - 45 \end{matrix})$ . Der zweite gesuchte Punkt ist also P₂ $(0 | - 34 | - 45)$

Abstand Punkt - Ebene E (mit Hesse-Form)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes
P $(-15 | -14 | -8)$ von der Ebene E: $-4 x_{1} - 7 x_{2} - 4 x_{3} = 28$

Lösung einblenden

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| -4 \cdot (- 15) - 7 \cdot (- 14) - 4 \cdot (- 8) - 28 |}{\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 7)}^{2} + {(- 4)}^{2}}}

=

\frac{| 162 |}{\sqrt{81}}

=

\frac{162}{9}

= 18

Abstand Punkt - Ebene E (mit Lotfußpunkt)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes P $(-14 | -3 | 6)$ von der Ebene E: $4 x_{1} - 3 x_{3} = -24$ .
Berechne dabei auch den Lotfußpunkt.

Lösung einblenden

Der Normalenvektor der Ebene ist: $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{matrix})$ .

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P $(-14 | -3 | 6)$ geht:

g:

\vec{x} =

(\begin{matrix} -14 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{matrix})

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: $4 x_{1} - 3 x_{3} = -24$ .

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -14 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{matrix})$ und der Ebene E : $4 x_{1} - 3 x_{3} = -24$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (-14 + 4 t | -3 + 0 t | 6 - 3 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$4 \cdot (- 14 + 4 t) + 0 \cdot (- 3) - 3 \cdot (6 - 3 t)$	=	$- 24$
$- 56 + 16 t - 18 + 9 t$	=	$- 24$
$25 t - 74$	=	$- 24$	\| $+ 74$
$25 t$	=	$50$	\|: $25$
$t$	=	$2$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (-14 + 4 t | -3 + 0 t | 6 - 3 t)$ einsetzen.
=> D $(-6 | -3 | 0)$ .

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L $(-6 | -3 | 0)$ .

Nun ist nur noch der Abstand zwischen diesem Lotfußpunkt L und unserem Punkt P $(-14 | -3 | 6)$ zu berechnen. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen unserem Punkt und der Ebene.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P

(-14 | -3 | 6)

und L

(-6 | -3 | 0)

:

\vec{PL}

=

(\begin{matrix} -6 - (-14) \\ -3 - (-3) \\ 0 - 6 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und L
d=|

\vec{PL}

| =

| (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix}) |

=

\sqrt{8^{2} + 0^{2} + {(-6)}^{2}}

=

\sqrt{100}

= 10

Abstand Pkt-Ebene + 2. Pkt mit d

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes P $(-4 | -2 | -8)$ von der Ebene E: $+ 3 x_{2} - 4 x_{3} = -24$ .
Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

Lösung einblenden

Der Normalenvektor der Ebene ist: $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{matrix})$ .

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P $(-4 | -2 | -8)$ geht:

g:

\vec{x} =

(\begin{matrix} -4 \\ -2 \\ -8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{matrix})

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: $+ 3 x_{2} - 4 x_{3} = -24$ .

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ -2 \\ -8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{matrix})$ und der Ebene E : $+ 3 x_{2} - 4 x_{3} = -24$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (-4 + 0 t | -2 + 3 t | -8 - 4 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$0 \cdot (- 4) + 3 \cdot (- 2 + 3 t) - 4 \cdot (- 8 - 4 t)$	=	$- 24$
$- 6 + 9 t + 32 + 16 t$	=	$- 24$
$25 t + 26$	=	$- 24$	\| $- 26$
$25 t$	=	$- 50$	\|: $25$
$t$	=	$- 2$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (-4 + 0 t | -2 + 3 t | -8 - 4 t)$ einsetzen.
=> D $(-4 | -8 | 0)$ .

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L $(-4 | -8 | 0)$ .

Nun ist nur noch der Abstand zwischen diesem Lotfußpunkt L und unserem Punkt P $(-4 | -2 | -8)$ zu berechnen. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen unserem Punkt und der Ebene.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P

(-4 | -2 | -8)

und L

(-4 | -8 | 0)

:

\vec{PL}

=

(\begin{matrix} -4 - (-4) \\ -8 - (-2) \\ 0 - (-8) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und L
d=|

\vec{PL}

| =

| (\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{matrix}) |

=

\sqrt{0^{2} + {(-6)}^{2} + 8^{2}}

=

\sqrt{100}

= 10

Wenn wir nun diesen Vektor $\vec{PL}$ an den Ortsvektor des Lotfußpunkts L anhängen, landen wir an dem an E gespiegelten Punkt von P, der natürlich den gleichen Abstand von E haben:

$\vec{OQ}$ = $\vec{OL}$ + $\vec{PL}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -8 \\ 0 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -14 \\ 8 \end{matrix})$

Der Punkt Q $(-4 | -14 | 8)$ hat also wie P auch den Abstand d = 10 zur Ebene E.

Ebene mit best. Abstand zu paral. E

Beispiel:

Gegeben ist die Ebene E: $-4 x_{1} - x_{2} + 8 x_{3} = -16$ . Bestimme die Gleichung einer Ebene F, die parallel zu E ist und den Abstand d=27 zu E hat.

Lösung einblenden

An der Abbildung rechts erkennt man, dass eine zu E parallele Ebene den gleichen Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -1 \\ 8 \end{matrix})$ wie die Ebene E hat. Also hat auch die Ebene F die Koordinatengleichung $-4 x_{1} - x_{2} + 8 x_{3} = d$

Um das d noch zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt auf der Ebene F. Diesen können wir bestimmen, wenn wir auf den Ortsvektor eines beliebigen Punkt P_E einen Normalenvektor der Länge d=27 draufaddieren (weil der Normalenvektor ja orthoginal zu E und F ist.)

Dazu suchen wir zuerst mal einen beliebigen Punkt der Ebene E, z.B. einen Spurpunkt P_E $(4 | 0 | 0)$ .

Die Länge des Normalenvektors berechnen wir mit | $\vec{n}$ | = $\sqrt{{(-4)}^{2} + {(-1)}^{2} + 8^{2}}$ = 9, also gerade $\frac{1}{3}$ des geforderten Abstands.

Wenn wir also von P_E $(4 | 0 | 0)$ 3 mal den Normalenvektor draufaddieren landen wir bei einem Punkt, der den Abstand d=27 von P_E und damit auch von E hat:

$\vec{{OP}_{F}}$ = $\vec{{OP}_{E}}$ + 3⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ + 3⋅ $(\begin{matrix} -4 \\ -1 \\ 8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -8 \\ -3 \\ 24 \end{matrix})$

Jetzt können wir diesen P_F in die die Koordinatengleichung $-4 x_{1} - x_{2} + 8 x_{3} = d$ einsetzen um das d zu erhalten:

$- 4 \cdot (- 8) - 1 \cdot (- 3) + 8 \cdot 24$ = $32 + 3 + 192$ = 227, also d = 227

Die gesuchte Ebene ist also F: $-4 x_{1} - x_{2} + 8 x_{3} = 227$ .

Gerade mit best. Abstand zu E bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Ebene E: $-6 x_{1} - 8 x_{3} = -24$ . Bestimme die Gleichung einer beliebigen Geraden, die parallel zu E ist und den Abstand d=20 zu E hat.

Lösung einblenden

An der Skizze erkennt man, dass eine zu E parallele Gerade einen Richtungsvektor haben muss, der orthogonal zum Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 0 \\ -8 \end{matrix})$ der Ebene E ist. Es muss also gelten $\vec{rv}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 0 \\ -8 \end{matrix})$ =0.

Davon gibt es natürlich ziemlich viele, einer davon ist z.B. $(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ ,
denn $(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 0 \\ -8 \end{matrix})$ = $4 \cdot (-6) + 4 \cdot 0 + (-3) \cdot (-8)$ = 0.

Jetzt brauchen wir als Stützvektor noch einen Punkt, der den Abstand d=20 von der Ebene E hat.

Dazu suchen wir zuerst mal einen beliebigen Punkt der Ebene, z.B. einen Spurpunkt P_E $(4 | 0 | 0)$ . Wenn wir von diesem aus um eine Vielfaches des Normalenvektors von der Ebene weg gehen, dann ist die Länge dieses vervielfachten Normalenvektors gerade der Abstand des erreichten Punktes von der Ebene E.

Die Länge des Normalenvektors berechnen wir mit | $\vec{n}$ | = $\sqrt{{(-6)}^{2} + 0^{2} + {(-8)}^{2}}$ = 10, also gerade $\frac{1}{2}$ des geforderten Abstands.

Wenn wir also von P_E $(4 | 0 | 0)$ 2 mal den Normalenvektor draufaddieren landen wir bei einem Punkt, der den Abstand d=20 von P_E und damit auch von E hat:

$\vec{OA}$ = $\vec{{OP}_{E}}$ + 2⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ + 2⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 0 \\ -8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -8 \\ 0 \\ -16 \end{matrix})$

Eine mögliche Gerade wäre also g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ 0 \\ -16 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ .

Pyramidenvolumen rückwärts

Beispiel:

Eine gerade (senkrechte) Pyramide hat die quadratische Grundfläche ABCD mit A $(0 | 0 | 2)$ , B $(6 | 0 | 2)$ , C $(6 | 6 | 2)$ und D $(0 | 6 | 2)$ .

Ihr Volumen beträgt 60 VE.

Bestimme die Koordinaten von einer der beiden möglichen Spitzen der Pyramide.

Lösung einblenden

Man erkennt, dass alle 4 Punkte den x₃-Wert 2 haben. Die quadratische Grundfläche liegt also in der Ebene: x₃ = 2.

Eine gerade (senkrechte) Pyramide bedeutet, dass der Mittelpunkt der Punkt der Grundfläche mit den kleinsten Abstand zur Spitze S der Pyramide ist (S liegt direkt "über dem"/orthogonal zum Mittelpunkt)

Als Mittelpunkt können wir beim Quadrat die Mitte zwischen A und C oder B und D wählen: . M $(\frac{0 + 6}{2} | \frac{0 + 6}{2} | \frac{2 + 2}{2})$ = M $(3 | 3 | 2)$ .

Da $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ der Normalenvektor der Grundflächenebene x₃ = 2 ist, muss also die Pyramidenspitze S auf der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ liegen.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, setzen wir einfach alle bekannten Größen in die Volumenformel der Pyramide ein:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ a² ⋅ h

60 = $\frac{1}{3}$ ⋅ 6² ⋅ h

60 = $\frac{36}{3}$ ⋅ h | ⋅ $\frac{3}{36}$

5 = h

Weil der Normalenvektor $\vec{n}$ die Länge 1 hat, muss man also 5 mal den Normalenvektor zum Ortsvektor des Grundflächenmittelpunkts M addieren, um auf den Ortsvektor der Pyramidenspitze S zu kommen.

$\vec{OS}$ = $\vec{OM}$ + 5 ⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$ + 5 ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix})$

Die gesuchte Spitze der Pyramide ist also bei S $(3 | 3 | 7)$ .

Theoretisch kann man die Spitze auch nach unten machen, dann müsste man eben 5 mal den Gegenvektor von $\vec{n}$ zum Grundflächenmittelpunkt addieren:

$\vec{OS2}$ = $\vec{OM}$ - 5 ⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$ - 5 ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{matrix})$

Kegelvolumen rückwärts

Beispiel:

Die kreisförmige Grundfläche eines geraden (senkrechten) Kegels liegt in der Ebene E: $- x_{1} - 4 x_{2} - 8 x_{3} = 14$ .

M $(2 | 0 | -2)$ ist der Mittelpunkt des Grundkreises, r = 19 dessen Radius. Das Volumen des Kegels beträgt 8505,86 VE.

Bestimme die Koordinaten von einer der beiden möglichen Spitzen des Kegels.

Lösung einblenden

Ein gerader (senkrechter) Kegel bedeutet, dass der Mittelpunkt M $(2 | 0 | -2)$ der Punkt der Grundfläche mit den kleinsten Abstand zur Spitze S des Kegels ist (S liegt direkt "über dem"/orthogonal zum Mittelpunkt)

Da $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -8 \end{matrix})$ der Normalenvektor der Grundflächenebene E: $- x_{1} - 4 x_{2} - 8 x_{3} = 14$ ist, muss also die Kegelspitze S auf der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -8 \end{matrix})$ liegen.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, setzen wir einfach alle bekannten Größen in die Volumenformel des Kegels ein:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ r² ⋅ h

8505.86 = $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 19² ⋅ h

8505.86 = $\frac{361}{3}$ ⋅ π ⋅ h | ⋅ $\frac{3}{361}$ :π

22.5 ≈ h

Die Länge des Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene ist | $\vec{n}$ | = $\sqrt{{(-1)}^{2} + {(-4)}^{2} + {(-8)}^{2}}$ = 9.

$\frac{22.5}{9}$ = 2.5, wir brauchen also gerade 2.5 mal den Normalenvektor, um auf die Höhe h=22.5 zu kommen.

Man muss also 2.5 mal den Normalenvektor zum Ortsvektor des Grundflächenmittelpunkts M addieren, um auf den Ortsvektor der Pyramidenspitze S zu kommen.

$\vec{OS}$ = $\vec{OM}$ + 2.5 ⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})$ + 2.5 ⋅ $(\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -0.5 \\ -10 \\ -22 \end{matrix})$

Die gesuchte Spitze der Pyramide ist also bei S $(-0.5 | -10 | -22)$ .

Theoretisch kann man die Spitze auch nach unten machen, dann müsste man eben 2.5 mal den Gegenvektor von $\vec{n}$ zum Grundflächenmittelpunkt addieren:

$\vec{OS2}$ = $\vec{OM}$ - 2.5 ⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})$ - 2.5 ⋅ $(\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4.5 \\ 10 \\ 18 \end{matrix})$

Lotfußpunkt einer Gerade zu P

Beispiel:

Bestimme den Punkt auf der Geraden g : $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ 4 \\ -4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 21 \\ -14 \\ -6 \end{matrix})$ der den kleinsten Abstand zum Punkt P $(-10 | -2 | -11)$ hat.

Lösung einblenden

Der Punkt auf g mit dem kleinsten Abstand zu einem Punkt P $(-10 | -2 | -11)$ ist der Lotfußpunkt L. Der Vektor von ihm zum Punkt P ist orthogonal zur Gerade. Deswegen muss dieser Geradenpunkt L auf einer zu g othogonalen Ebene H durch P liegen. Diese stellen wir nun auf:

Da diese Hilfsebene H orthogonal zu unserer Geraden $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ 4 \\ -4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 21 \\ -14 \\ -6 \end{matrix})$ sein soll, kann man den Richtungsvektor der Geraden, $(\begin{matrix} 21 \\ -14 \\ -6 \end{matrix})$ als Normalenvektor von H nehmen. Die zu g orthogonale Hilfsebene in der Koordinatenform ist somit $21 x_{1} - 14 x_{2} - 6 x_{3} = d$ . Das d können wir durch Punktprobe mit dem Punkt P berechnen.

d = $21 \cdot (-10) + (-14) \cdot (-2) + (-6) \cdot (-11)$

Somit gilt: H: $21 x_{1} - 14 x_{2} - 6 x_{3} = -116$

Da ja der gesuchte Lotfußpunkt sowohl auf der Gerade g als auch auf der Hilfsebene H liegt, können wir diesen als Durchstoßpunkt der Geraden g mit H berechnen:

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (-4 + 21 t | 4 - 14 t | -4 - 6 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$21 \cdot (- 4 + 21 t) - 14 \cdot (4 - 14 t) - 6 \cdot (- 4 - 6 t)$	=	$- 116$
$- 84 + 441 t - 56 + 196 t + 24 + 36 t$	=	$- 116$
$673 t - 116$	=	$- 116$	\| $+ 116$
$673 t$	=	0	\|: $673$
$t$	=	0

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (-4 + 21 t | 4 - 14 t | -4 - 6 t)$ einsetzen.
=> L $(-4 | 4 | -4)$ .

Abstand Punkt-Gerade (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes
P $(-10 | 1 | 12)$ von der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -6 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Um den Abstand zwischen Punkt und Gerade zu bestimmen, müssen wir eine Hilfsebene bilden.
Diese Hilfsebene ist orthogonal zu unserer Geraden $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -6 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und enthält unseren Punkt P $(-10 | 1 | 12)$ .
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also der Richtungsvektor der Geraden, $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ . Die Hilfsebene in der Koordinatenform ist somit $x_{1} + x_{2} = -9$
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene.

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -6 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und der Ebene E : $x_{1} + x_{2} = -9$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (-5 + 1 t | -6 + 1 t | 5 + 0 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$1 \cdot (- 5 + t) + 1 \cdot (- 6 + t) + 0 \cdot 5$	=	$- 9$
$- 5 + t - 6 + t$	=	$- 9$
$2 t - 11$	=	$- 9$	\| $+ 11$
$2 t$	=	$2$	\|: $2$
$t$	=	$1$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (-5 + 1 t | -6 + 1 t | 5 + 0 t)$ einsetzen.
=> D $(-4 | -5 | 5)$ .

Der gesuchte Abstand zwischen dem Punkt P $(-10 | 1 | 12)$ und der Geraden $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -6 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ ist nun der Abstand zwischen dem Punkt P $(-10 | 1 | 12)$ und dem Durchstoßpunkt D $(-4 | -5 | 5)$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P

(-4 | -5 | 5)

und D

(-10 | 1 | 12)

:

\vec{PD}

=

(\begin{matrix} -10 - (-4) \\ 1 - (-5) \\ 12 - 5 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -6 \\ 6 \\ 7 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und D
d=|

\vec{PD}

| =

| (\begin{matrix} -6 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-6)}^{2} + 6^{2} + 7^{2}}

=

\sqrt{121}

= 11

Flächeninhalt Trapez

Beispiel:

Gegeben ist das Viereck ABCD mit A $(-3 | -4 | -1)$ , B $(1 | -22 | -13)$ , C $(16 | -51 | -25)$ und D $(14 | -42 | -19)$ .
Zeige, dass ABCD ein Trapez ist.
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABCD.

Lösung einblenden

$\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1 - (-3) \\ -22 - (-4) \\ -13 - (-1) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -18 \\ -12 \end{matrix})$ , $\vec{DC}$ = $(\begin{matrix} 16 - 14 \\ -51 - (-42) \\ -25 - (-19) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix})$

Wegen $(\begin{matrix} 4 \\ -18 \\ -12 \end{matrix})$ = 2 ⋅ $(\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix})$ sind die Seiten AB und DC parallel und ABCD somit ein Trapez.

Um den Flächeninhalt dieses Trapezes zu berechnen, müssen wir den Mittelwert der beiden parallelen Seiten mit der Höhe h, also dem Abstand der beiden parallellen Strecken multiplizieren: A = $\frac{| \vec{AB} |+| \vec{DC} |}{2}$ ⋅ h

Mit $| (\begin{matrix} 4 \\ -18 \\ -12 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{4^{2} + {(-18)}^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{484} = 22$ und $| (\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{2^{2} + {(-9)}^{2} + {(-6)}^{2}} = \sqrt{121} = 11$ gilt
A = $\frac{22+11}{2}$ ⋅ h = 16.5 ⋅ h

Die Höhe des Trapez h berechnen wir durch den Abstand der beiden parallelen Seiten, also durch den Abstand des Punkts C von der Geraden durch A und B: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix})$

(Detail-Rechnung zum Abstand Punkt-Gerade einblenden)

Um den Abstand zwischen Punkt und Gerade zu bestimmen, müssen wir eine Hilfsebene bilden.
Diese Hilfsebene ist orthogonal zu unserer Geraden $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix})$ und enthält unseren Punkt C $(16 | -51 | -25)$ .
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also der Richtungsvektor der Geraden, $(\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix})$ . Die Hilfsebene in der Koordinatenform ist somit $2 x_{1} - 9 x_{2} - 6 x_{3} = 641$
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene.

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix})$ und der Ebene E : $2 x_{1} - 9 x_{2} - 6 x_{3} = 641$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (-3 + 2 t | -4 - 9 t | -1 - 6 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$2 \cdot (- 3 + 2 t) - 9 \cdot (- 4 - 9 t) - 6 \cdot (- 1 - 6 t)$	=	$641$
$- 6 + 4 t + 36 + 81 t + 6 + 36 t$	=	$641$
$121 t + 36$	=	$641$	\| $- 36$
$121 t$	=	$605$	\|: $121$
$t$	=	$5$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (-3 + 2 t | -4 - 9 t | -1 - 6 t)$ einsetzen.
=> D $(7 | -49 | -31)$ .

Der gesuchte Abstand zwischen dem Punkt C $(16 | -51 | -25)$ und der Geraden $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -9 \\ -6 \end{matrix})$ ist nun der Abstand zwischen dem Punkt C $(16 | -51 | -25)$ und dem Durchstoßpunkt D $(7 | -49 | -31)$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen C

(7 | -49 | -31)

und D

(16 | -51 | -25)

:

\vec{CD}

=

(\begin{matrix} 16 - 7 \\ -51 - (-49) \\ -25 - (-31) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 9 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen C und D
d=|

\vec{CD}

| =

| (\begin{matrix} 9 \\ -2 \\ 6 \end{matrix}) |

=

\sqrt{9^{2} + {(-2)}^{2} + 6^{2}}

=

\sqrt{121}

= 11

Somit ist der Höhe im Trapez h = 11 und damit

A = $\frac{22+11}{2}$ ⋅ 11 = 16.5 ⋅ 11 = 181.5

Abstand windschiefer Geraden (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden
g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -11 \\ -10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -11 \\ -10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ enthält und parallel zur Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{matrix})$ ist, also $\vec{x} = (\begin{matrix} -5 \\ -11 \\ -10 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{matrix})$
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \cdot 3 - 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot (- 2) - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 - (- 4) \cdot (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 12 - 6 \\ - 6 - 6 \\ 4 - 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 18 \\ - 12 \\ - 4 \end{matrix})

= -2⋅

(\begin{matrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})

Wenn wir den Aufpunkt von h A_h $(-5 | -11 | -10)$ in die allgemeine Ebenengleichung $9 x_{1} + 6 x_{2} + 2 x_{3} = d$ einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

9 x_{1} + 6 x_{2} + 2 x_{3} = -131

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{matrix})$ und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt $(0 | 1 | -8)$ , nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 9 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot (- 8) + 131 |}{\sqrt{9^{2} + 6^{2} + 2^{2}}}

=

\frac{| 121 |}{\sqrt{121}}

=

\frac{121}{11}

= 11

Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden

Wenn man die Hesse'sche Normalenform in Vektorschreibweise mit A_h scheibt:
$\frac{| [\vec{x} - (\begin{matrix} -5 \\ -11 \\ -10 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{9^{2} + 6^{2} + 2^{2}}}$ , kann man ja A_g (den Aufpunkt von g) direkt für x einsetzen:
$d =$ $\frac{| [(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} -5 \\ -11 \\ -10 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{9^{2} + 6^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{| (\begin{matrix} 5 \\ 12 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{9^{2} + 6^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{| 5 \cdot 9 + 12 \cdot 6 + 2 \cdot 2 |}{\sqrt{81 + 36 + 4}}$ = $\frac{| 121 |}{\sqrt{121}}$ = $\frac{121}{11}$ = $11$

Abst. windschiefer Geraden mit Lotpunkte

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden
g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix})$
Bestimme zusätzlich die Koordinaten der beiden Lotfußpunkte, also jener Punkte, auf den beiden Geraden, die den kleinsten Abstand zueinander haben;

Lösung einblenden

Wir bilden zunächst den Normalenvektor auf die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \cdot 8 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 6 - 0 \cdot 8 \\ 0 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 + 0 \\ 0 + 0 \\ 0 - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 6 \end{matrix})

Nun stellen wir eine Hilfsebene auf, welche die Gerade g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und den Normalenvektor enthält. Dies ist die Ebene $\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix})$ .

Diese Ebene formen wir nun in die Koordinatenform um. (Detail-Rechnung einblenden)

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \cdot (- 6) - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 8 - 0 \cdot (- 6) \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 + 0 \\ 0 + 0 \\ 0 - 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ - 8 \end{matrix})

= -2⋅

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3 x_{1} + 4 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(3 | 2 | 1)$ erhält man
d = $3 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 1$
also:

3 x_{1} + 4 x_{3} = 13

3 x_{1} + 4 x_{3} = 13

Nun bestimmen wir den Durchstoßpunkt der Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix})$ mit dieser Ebene. (Detail-Rechnung einblenden)

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix})$ und der Ebene E : $3 x_{1} + 4 x_{3} = 13$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (1 + 6 t | 4 + 3 t | 15 + 8 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$3 \cdot (1 + 6 t) + 0 \cdot (4 + 3 t) + 4 \cdot (15 + 8 t)$	=	$13$
$3 + 18 t + 60 + 32 t$	=	$13$
$50 t + 63$	=	$13$	\| $- 63$
$50 t$	=	$- 50$	\|: $50$
$t$	=	$- 1$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (1 + 6 t | 4 + 3 t | 15 + 8 t)$ einsetzen.
=> D $(-5 | 1 | 7)$ .

Dieser Durchstoßpunkt L_h

(-5 | 1 | 7)

ist bereits einer der zwei gesuchten Lotfuß-Punkte (der auf h), zwischen denen der Abstand der beiden windschiefen Geraden gemessen wird.

Das ganze Spiel führen wir für den zweiten Punkt erneut durch. Wir stellen eine Hilfsebene auf, welche diesmal die andere Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix})$ sowie den Normalenvektor enthält.

Auch diese Ebene formen wir nun in die Koordinatenform um. (Detail-Rechnung einblenden)

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot (- 6) - 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 8 - 6 \cdot (- 6) \\ 6 \cdot 0 - 3 \cdot 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 18 + 0 \\ 64 + 36 \\ 0 - 24 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 18 \\ 100 \\ - 24 \end{matrix})

= 2⋅

(\begin{matrix} -9 \\ 50 \\ -12 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} -9 \\ 50 \\ -12 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 15 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} -9 \\ 50 \\ -12 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-9 x_{1} + 50 x_{2} - 12 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(1 | 4 | 15)$ erhält man
d = $(-9) \cdot 1 + 50 \cdot 4 + (-12) \cdot 15$
also:

-9 x_{1} + 50 x_{2} - 12 x_{3} = 11

-9 x_{1} + 50 x_{2} - 12 x_{3} = 11

Jetzt bestimmen wir den Durchstoßpunkt der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ mit dieser Ebene. (Detail-Rechnung einblenden)

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und der Ebene E : $-9 x_{1} + 50 x_{2} - 12 x_{3} = 11$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (3 + 0 t | 2 + 1 t | 1 + 0 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$- 9 \cdot 3 + 50 \cdot (2 + t) - 12 \cdot 1$	=	$11$
$- 27 + 100 + 50 t - 12$	=	$11$
$50 t + 61$	=	$11$	\| $- 61$
$50 t$	=	$- 50$	\|: $50$
$t$	=	$- 1$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (3 + 0 t | 2 + 1 t | 1 + 0 t)$ einsetzen.
=> D $(3 | 1 | 1)$ .

Dieser Durchstoßpunkt L_g

(3 | 1 | 1)

ist der andere gesuchte Lotfuß-Punkt (auf g), zwischen denen der Abstand der beiden windschiefen Geraden gemessen wird.

Schlussendlich bestimmen wir den Abstand zwischen diesen beiden Lotfußpunkten L_h $(-5 | 1 | 7)$ und L_g $(3 | 1 | 1)$ , also den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-5 | 1 | 7)

und P₂

(3 | 1 | 1)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 3 - (-5) \\ 1 - 1 \\ 1 - 7 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{matrix}) |

=

\sqrt{8^{2} + 0^{2} + {(-6)}^{2}}

=

\sqrt{100}

= 10

Alternativer (kürzerer) Lösungsweg einblenden

Wir stellen den Verbindungsvektor zwischen dem allgemeinen Geradenpunkt von g: $G_{t} (3 + 0 t | 2 + 1 t | 1 + 0 t)$ und dem allgemeinen Geradenpunkt von h: $H_{s} (1 + 6 s | 4 + 3 s | 15 + 8 s)$ auf:
$\vec{G_{t} H_{s}}$ = $(\begin{matrix} 1 + 6 s \\ 4 + 3 s \\ 15 + 8 s \end{matrix})$ - $(\begin{matrix} 3 + 0 t \\ 2 + 1 t \\ 1 + 0 t \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 + 6 s - 0 t \\ 2 + 3 s - 1 t \\ 14 + 8 s - 0 t \end{matrix}) An den beiden Lotstellen steht dieser Verbindungsvektor orthogonal zu beiden Geraden, es muss also gelten: (\begin{matrix} -2 + 6 s - 0 t \\ 2 + 3 s - 1 t \\ 14 + 8 s - 0 t \end{matrix}) ∘ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0, also$

0⋅(-2+6s +0t )+1⋅(2+3s -1t )+0⋅(14+8s +0t ) =
(0+0s +0t ) + (2+3s -1t ) + (0+0s +0t ) =
2+3s -1t = 0

$(\begin{matrix} -2 + 6 s - 0 t \\ 2 + 3 s - 1 t \\ 14 + 8 s - 0 t \end{matrix}) ∘ (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) = 0, also$

6⋅(-2+6s +0t )+3⋅(2+3s -1t )+8⋅(14+8s +0t ) =
(-12+36s +0t ) + (6+9s -3t ) + (112+64s +0t ) =
106+109s -3t = 0

Die beiden Skalarproduktgleichungen ergeben zusammen ein kleines LGS:

\begin{matrix} 3 s & - t & = & - 2 & (I) \\ 109 s & - 3 t & = & - 106 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem t ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach t umstellt:

$3 s - t$	=	$- 2$
$- t + 3 s$	=	$- 2$	\| $- 3 s$
$- t$	=	$- 2 - 3 s$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$2 + 3 s$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + t & = & (2 + 3 s) & (I) \\ 109 s & - 3 t & = & - 106 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das t durch ( $2 + 3 s$ ) ersetzen und dann nach s auflösen:

$109 s - 3 \cdot (2 + 3 s)$	=	$- 106$
$109 s - 6 - 9 s$	=	$- 106$
$100 s - 6$	=	$- 106$	\| $+ 6$
$100 s$	=	$- 100$	\|: $100$
$s$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für s.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

t = $2 + 3 \cdot (- 1)$

= $2 - 3$

= $- 1$

also

t = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

Jetzt können wir s = $- 1$ und t = $- 1$ in die jeweiligen allgemeinen Geradenpunkte einsetzen, um die beiden Lotfußpunkte zu erhalten:

s = $- 1$ in $H_{s} (1 + 6 s | 4 + 3 s | 15 + 8 s)$ ergibt Lh( $1 + 6 \cdot (- 1)$ | $4 + 3 \cdot (- 1)$ | $15 + 8 \cdot (- 1)$ ) = Lh( $- 5$ | $1$ | $7$ )

t = $- 1$ in $G_{t} (3 + 0 t | 2 + 1 t | 1 + 0 t)$ ergibt Lg( $3 + 0$ | $2 - 1$ | $1 + 0$ ) = Lg( $3$ | $1$ | $1$ )

Abst. windschiefer Geraden (rückwärts)

Beispiel:

Gegeben ist eine Geradenschar g_a durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 15 \\ 0 \\ a \end{matrix})$ .

Für welche Werte von a, hat die Gerade g_a den Abstand $\frac{3}{5}$ zur x₂-Achse ?

Lösung einblenden

Die x₂-Achse hat die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ . Man erkennt somit schnell, dass die Richtungsvektoren von g_a und der x₂-Achse keine Vielfachen und damit die beiden Geraden nicht parallel sein können. Entweder schneiden sie sich und haben den Abstand 0 oder sie liegen windschief zueinander.

Wie immer beim Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden benötigen wir jetzt einen Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren, also einen Vektor, der orthogonal zu beiden Richtungsvektoren liegt. Weil ja der Richtungsvektor von g_a eine 0 in der x₂-Koordinate hat, ist der Vektor $(\begin{matrix} a \\ t \\ -15 \end{matrix})$ für jedes t ortohonal zum Richtungsvektor von g_a, denn $(\begin{matrix} a \\ t \\ -15 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 15 \\ 0 \\ a \end{matrix})$ = 0.

Man sieht schnell, dass t = 0 sein muss, damit auch $(\begin{matrix} a \\ t \\ -15 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ = 0 gilt. Somit ist $(\begin{matrix} a \\ 0 \\ -15 \end{matrix})$ der gesuchte Normalenvektor.

(Natürlich hätte man den Normalenvektor auch mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können)

Jetzt kann man den Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden (g_a und die x₂-Achse) mit der Formel berechnen:

Im Zähler steht das Skalarprodukt vom Verbindungsvektor der Aufpunkte der Geraden mit dem Normalenvektor, im Nenner der Betrag des Normalenvektor

$d =$ $\frac{| [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} a \\ 0 \\ -15 \end{matrix}) |}{\sqrt{a^{2} + 0^{2} + {(- 15)}^{2}}}$ = $\frac{| (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} a \\ 0 \\ -15 \end{matrix}) |}{\sqrt{a^{2} + 0^{2} + {(- 15)}^{2}}}$ = $\frac{| 0 \cdot a + 3 \cdot 0 + (-1) \cdot (-15) |}{\sqrt{a^{2} + 225}}$ = $\frac{| 15 |}{\sqrt{a^{2} + 225}}$ = $\frac{3}{5}$

Weil zwei Brüche genau dann gleich sind, wenn ihre Kehrbrüche gleich sind, können wir statt
$\frac{15}{\sqrt{a^{2} + 225}}$ = $\frac{3}{5}$ auch die Gleichung $\frac{\sqrt{a^{2} + 225}}{15}$ = $\frac{5}{3}$ lösen.

$\frac{\sqrt{a^{2} + 225}}{15}$	=	$\frac{5}{3}$
$\frac{1}{15} \sqrt{a^{2} + 225}$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅ 15
$\sqrt{a^{2} + 225}$	=	$25$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$a^{2} + 225$	=	$25^{2}$

$a^{2} + 225$	=	$625$	\| $- 225$
$a^{2}$	=	$400$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{400}$	= $- 20$
a₂	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Aufgabenbeispiele von Abstände

Abstand von A auf der Geraden AB

Abstand Punkt - Ebene E (mit Hesse-Form)

Abstand Punkt - Ebene E (mit Lotfußpunkt)

Abstand Pkt-Ebene + 2. Pkt mit d

Ebene mit best. Abstand zu paral. E

Gerade mit best. Abstand zu E bestimmen

Pyramidenvolumen rückwärts

Kegelvolumen rückwärts

Lotfußpunkt einer Gerade zu P

Abstand Punkt-Gerade (LF)

Flächeninhalt Trapez

Abstand windschiefer Geraden (LF)

Abst. windschiefer Geraden mit Lotpunkte

Abst. windschiefer Geraden (rückwärts)