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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Eine (faire) Münze wird 3 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen "Zahl" erscheint. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl von Zahl-Würfen' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
zugehörige Ereignisse	0 - 0 - 0	0 - 0 - 1 0 - 1 - 0 1 - 0 - 0	0 - 1 - 1 1 - 0 - 1 1 - 1 - 0	1 - 1 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 2 beschriftet sind, fünf Kugeln, die mit der Zahl 4 beschriftet sind und vier Kugeln, die mit der Zahl 7 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größeren Zahl und der kleineren Zahl (bzw. der beiden gleichgroßen Zahlen) der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 2	X = 3	X = 5
zugehörige Ergebnisse	2 → 2 4 → 4 7 → 7	2 → 4 4 → 2	4 → 7 7 → 4	2 → 7 7 → 2

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 2	X = 3	X = 5
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{4}{13}$ + $\frac{5}{13}$ ⋅ $\frac{5}{13}$ + $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{4}{13}$	$\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{5}{13}$ + $\frac{5}{13}$ ⋅ $\frac{4}{13}$	$\frac{5}{13}$ ⋅ $\frac{4}{13}$ + $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{5}{13}$	$\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{4}{13}$ + $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{4}{13}$
=	$\frac{16}{169}$ + $\frac{25}{169}$ + $\frac{16}{169}$	$\frac{20}{169}$ + $\frac{20}{169}$	$\frac{20}{169}$ + $\frac{20}{169}$	$\frac{16}{169}$ + $\frac{16}{169}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	2	3	5
P(X=k)	$\frac{57}{169}$	$\frac{40}{169}$	$\frac{40}{169}$	$\frac{32}{169}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch vier Karten mit dem Wert 2, vier Karten mit dem Wert 5 und zwei 10er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 5	X = 8
zugehörige Ergebnisse	2 → 2 5 → 5 10 → 10	2 → 5 5 → 2	5 → 10 10 → 5	2 → 10 10 → 2

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 5	X = 8
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{9}$ + $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{9}$	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ + $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ + $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$
=	$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{45}$	$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$	$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$	$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	3	5	8
P(X=k)	$\frac{13}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{8}{45}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3
P(X=k)	$\frac{11}{13}$	$\frac{11}{78}$	$\frac{1}{78}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 1, 6 und 8 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X	2	7	9	12	14	16
P(X=k)	$\frac{64}{225}$	?	?	?	?	$\frac{16}{225}$

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Für X=2 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=2) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=2) = $\frac{64}{225}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{64}{225}$ und somit p1 = $\frac{8}{15}$ .

Ebenso gibt es für X=16 nur das Ereignis: '8'-'8', also dass zwei mal hintereinander '8' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '8' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '8' kommt, gelten: P(X=16) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=16) = $\frac{16}{225}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{16}{225}$ und somit p3 = $\frac{4}{15}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{8}{15}$ $- \frac{4}{15}$ = $\frac{15}{15}$ $- \frac{8}{15}$ $- \frac{4}{15}$ = $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = $\frac{n}{15}$

Somit erhalten wir:

n₁ = $\frac{8}{15}$ ⋅ 15 = 8

n₆ = $\frac{1}{5}$ ⋅ 15 = 3

n₈ = $\frac{4}{15}$ ⋅ 15 = 4

Erwartungswerte

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Wie viele Punkte kann man bei dem abgebildeten Glücksrad erwarten?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Punktezahl auf einem Sektor des Glücksrads.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	3	8	12	25
Zufallsgröße x_i	3	8	12	25
P(X=x_i)	$\frac{3}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{9}{8}$	$2$	$3$	$\frac{25}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 3⋅ $\frac{3}{8}$ + 8⋅ $\frac{2}{8}$ + 12⋅ $\frac{2}{8}$ + 25⋅ $\frac{1}{8}$

= $\frac{9}{8}$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $\frac{25}{8}$
= $\frac{9}{8}$ $+$ $\frac{16}{8}$ $+$ $\frac{24}{8}$ $+$ $\frac{25}{8}$
= $\frac{74}{8}$
= $\frac{37}{4}$

≈ 9.25

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen, 6 roten, 9 grünen und 3 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 50€. Bei rot erhält er 100€ und bei grün erhält er 25€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 71€ beträgt ?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	50	100	25	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-21	29	-46	x-71
P(X=x_i)	$\frac{7}{25}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{9}{25}$	$\frac{3}{25}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$14$	$24$	$9$	$\frac{3}{25}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{147}{25}$	$\frac{174}{25}$	$- \frac{414}{25}$	$\frac{3}{25}$ ⋅(x-71)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 71

$\frac{7}{25} \cdot 50 + \frac{6}{25} \cdot 100 + \frac{9}{25} \cdot 25 + \frac{3}{25} x$ = 71

14 + 24 + 9 + \frac{3}{25} x

= 71

$14 + 24 + 9 + \frac{3}{25} x$	=	$71$
$\frac{3}{25} x + 47$	=	$71$	\|⋅ 25
$25 (\frac{3}{25} x + 47)$	=	$1 775$
$3 x + 1 175$	=	$1 775$	\| $- 1 175$
$3 x$	=	$600$	\|: $3$
$x$	=	$200$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{7}{25} \cdot (- 21) + \frac{6}{25} \cdot 29 + \frac{9}{25} \cdot (- 46) + \frac{3}{25} (x - 71)

= 0

- \frac{147}{25} + \frac{174}{25} - \frac{414}{25} + \frac{3}{25} \cdot x + \frac{3}{25} \cdot (- 71)

= 0

$- \frac{147}{25} + \frac{174}{25} - \frac{414}{25} + \frac{3}{25} \cdot x + \frac{3}{25} \cdot (- 71)$	=	0
$- \frac{147}{25} + \frac{174}{25} - \frac{414}{25} + \frac{3}{25} x - \frac{213}{25}$	=	0
$\frac{3}{25} x - 24$	=	0	\|⋅ 25
$25 (\frac{3}{25} x - 24)$	=	0
$3 x - 600$	=	0	\| $+ 600$
$3 x$	=	$600$	\|: $3$
$x$	=	$200$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 200€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.

Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
um Kunden zu locken soll bei einem Feld 32€ ausgezahlt werden

Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				30
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				30
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{30}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		30
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{13}{60}$		$\frac{1}{30}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{60}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		30
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{13}{60}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{30}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$ ) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	30
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{13}{60}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{30}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $- \frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $- \frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅ $\frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{10}$ => x= $- \frac{1}{10}$ : $\frac{1}{8}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	30
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{13}{60}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{30}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ $\frac{1}{2}$ + -1.8⋅ $\frac{1}{8}$ + 0⋅ $\frac{13}{60}$ + 1⋅ $\frac{1}{8}$ + 30⋅ $\frac{1}{30}$

= $- 1$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $0$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{5}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $- \frac{4}{40}$
= $- \frac{1}{10}$

≈ -0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{11}{15}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{22}{105}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{22}{455}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{11}{1365}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{1365}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4	5
P(X=x_i)	$\frac{11}{15}$	$\frac{22}{105}$	$\frac{22}{455}$	$\frac{11}{1365}$	$\frac{1}{1365}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{11}{15}$	$\frac{44}{105}$	$\frac{66}{455}$	$\frac{44}{1365}$	$\frac{1}{273}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{11}{15}$ + 2⋅ $\frac{22}{105}$ + 3⋅ $\frac{22}{455}$ + 4⋅ $\frac{11}{1365}$ + 5⋅ $\frac{1}{1365}$

= $\frac{11}{15}$ $+$ $\frac{44}{105}$ $+$ $\frac{66}{455}$ $+$ $\frac{44}{1365}$ $+$ $\frac{1}{273}$
= $\frac{1001}{1365}$ $+$ $\frac{572}{1365}$ $+$ $\frac{198}{1365}$ $+$ $\frac{44}{1365}$ $+$ $\frac{5}{1365}$
= $\frac{1820}{1365}$
= $\frac{4}{3}$

≈ 1.33

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 10 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{266}{899}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{140}{899}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{140}{899}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{63}{899}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{140}{899}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{63}{899}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{63}{899}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{24}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ = $\frac{189}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ = $\frac{420}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{266}{899}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{24}{899}$	$\frac{189}{899}$	$\frac{420}{899}$	$\frac{266}{899}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{189}{899}$	$\frac{840}{899}$	$\frac{798}{899}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{24}{899}$ + 1⋅ $\frac{189}{899}$ + 2⋅ $\frac{420}{899}$ + 3⋅ $\frac{266}{899}$

= $0$ $+$ $\frac{189}{899}$ $+$ $\frac{840}{899}$ $+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{0}{899}$ $+$ $\frac{189}{899}$ $+$ $\frac{840}{899}$ $+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{1827}{899}$
= $\frac{63}{31}$

≈ 2.03

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 7 Asse, 4 Könige, 3 Damen und 6 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 300, 2 Damen 100 und 2 Buben 80 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 35 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{21}{190}$
As -> König	$\frac{7}{95}$
As -> Dame	$\frac{21}{380}$
As -> Bube	$\frac{21}{190}$
König -> As	$\frac{7}{95}$
König -> König	$\frac{3}{95}$
König -> Dame	$\frac{3}{95}$
König -> Bube	$\frac{6}{95}$
Dame -> As	$\frac{21}{380}$
Dame -> König	$\frac{3}{95}$
Dame -> Dame	$\frac{3}{190}$
Dame -> Bube	$\frac{9}{190}$
Bube -> As	$\frac{21}{190}$
Bube -> König	$\frac{6}{95}$
Bube -> Dame	$\frac{9}{190}$
Bube -> Bube	$\frac{3}{38}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{21}{190}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{3}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{190}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{3}{38}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{95}$ = $\frac{6}{95}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	1000	300	100	80	35
P(X=x_i)	$\frac{21}{190}$	$\frac{3}{95}$	$\frac{3}{190}$	$\frac{3}{38}$	$\frac{6}{95}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{2100}{19}$	$\frac{180}{19}$	$\frac{30}{19}$	$\frac{120}{19}$	$\frac{42}{19}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ $\frac{21}{190}$ + 300⋅ $\frac{3}{95}$ + 100⋅ $\frac{3}{190}$ + 80⋅ $\frac{3}{38}$ + 35⋅ $\frac{6}{95}$

= $\frac{2100}{19}$ $+$ $\frac{180}{19}$ $+$ $\frac{30}{19}$ $+$ $\frac{120}{19}$ $+$ $\frac{42}{19}$
= $\frac{2472}{19}$

≈ 130.11

Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X