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Aufgabenbeispiele von Binomialverteilung

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Binomialvert. mit variablem p (höchst.) für GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 97 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 97).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 92 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.9	0.9709
0.91	0.9436
0.92	0.8956
0.93	0.817
0.94	0.6981
0.95	0.5367
0.96	0.3472
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{97} (X \leq 92)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(97,X,92) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.95 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialvert. mit variablem p (mind.) für GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 74 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 74)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 40 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≥40)=1-P(X≤39)
...	...
0.52	0.3416
0.53	0.4069
0.54	0.475
0.55	0.5439
0.56	0.6117
0.57	0.6764
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{74} (X \geq 40)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{74} (X \leq 39)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(74,X,39) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.