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Aufgabenbeispiele von Binomialverteilung

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Binomialvert. mit variablem p (höchst.) für GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 54 Stück nur an, wenn nicht mehr als 43 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

Lösung einblenden

p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.67	0.986
0.68	0.9797
0.69	0.9709
0.7	0.9591
0.71	0.9435
0.72	0.9232
0.73	0.8975
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{54} (X \leq 43)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(54,X,43) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialvert. mit variablem p (mind.) für GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 93 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 93)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 70 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≥70)=1-P(X≤69)
...	...
0.71	0.2157
0.72	0.2826
0.73	0.3594
0.74	0.4435
0.75	0.5318
0.76	0.6201
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{93} (X \geq 70)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{93} (X \leq 69)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(93,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.