Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot {\left(-2\right)}^2+5$

= $-9\cdot 4+5$

= $-36+5$

= $-31$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-31$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^3+5\cdot \left(-2\right)$ = $-3\cdot \left(-8\right)-10$ = $24-10$ = $14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$14$ = $-31$⋅( $-2$) + c

$14$ = $62$ + c | $-62$

$-48$ = c

also c= $-48$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-31$⋅x $-48$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(2x-2\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

= $-6\left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $-12\left(2x-2\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-12\left(2\cdot 0-2\right)$

= $-12\left(0-2\right)$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^2$ = $-3\cdot {\left(0-2\right)}^2$ = $-3\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-3\cdot 4$ = $-12$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-12$ = $24$⋅$0$ + c

$-12$ = 0 + c

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x $-12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2\left(x+3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2\left(x+3\right)}·2$

= $\frac{1}{2}{e}^{2\left(x+3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\left(-3+3\right)}$

= $\frac{1}{2}{e}^{2·0}$

= $\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2\left(-3+3\right)}$ = $\frac{1}{4}{e}^{2·0}$ = $\frac{1}{4}{e}^0$ = $\frac{1}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $\frac{1}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$⋅( $-3$) + c

$\frac{1}{4}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$\frac{7}{4}$ = c

also c= $\frac{7}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{7}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·3x^2·e^{\mathrm{0,6}x}+2x^3·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $6x^2·e^{\mathrm{0,6}x}+2x^3·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $6x^2·e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}{x}^3·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(6x^2+\mathrm{1,2}{x}^3\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}{x}^3+6x^2\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}{x}^3+6x^2\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot 2}·\left(\mathrm{1,2}\cdot 2^3+6\cdot 2^2\right)$

= $e^{\mathrm{1,2}}·\left(\mathrm{1,2}\cdot 8+6\cdot 4\right)$

= $e^{\mathrm{1,2}}·\left(\mathrm{9,6}+24\right)$

= $e^{\mathrm{1,2}}·\mathrm{33,6}$

= $\mathrm{33,6}{e}^{\mathrm{1,2}}$

≈ 111.56

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{33,6}{e}^{\mathrm{1,2}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·2^3·e^{\mathrm{0,6}\cdot 2}$ = $2·8·e^{\mathrm{1,2}}$ = $16e^{\mathrm{1,2}}$ ≈ 53.12

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $16e^{\mathrm{1,2}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$16e^{\mathrm{1,2}}$ = $\mathrm{33,6}{e}^{\mathrm{1,2}}$⋅ $2$ + c

$16e^{\mathrm{1,2}}$ = $\mathrm{67,2}{e}^{\mathrm{1,2}}$ + c | $-\mathrm{67,2}{e}^{\mathrm{1,2}}$

$-\mathrm{51,2}{e}^{\mathrm{1,2}}$ = c

also c= $-\mathrm{51,2}{e}^{\mathrm{1,2}}$ ≈ -169.99

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{33,6}{e}^{\mathrm{1,2}}$⋅x $-\mathrm{51,2}{e}^{\mathrm{1,2}}$ oder y=111.56x -169.99

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+0$

= $-3\cdot \sin \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-3\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-3\cdot \left(-1\right)$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+4$ = $3\cdot 0+4$ = $0+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\frac{1}{2}\pi$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-\frac{1}{3}$⋅( $-\frac{1}{2}\pi$) + c

$4$ = $\frac{1}{6}\pi$ + c | $-\frac{1}{6}\pi$

$4-\frac{1}{6}\pi$ = c

also c= $4-\frac{1}{6}\pi$ ≈ 3.48

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $4-\frac{1}{6}\pi$ oder y=-0.33x +3.48

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-37) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|-37) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-37 = $\left(-8u-3\right)·\left(-4-u\right)$ + $-4u^2-3u-1$ | +37

$\left(-8u-3\right)\left(-4-u\right)-4u^2-3u-1+37$ = 0

$8u^2+35u+12-4u^2-3u-1+37$ = 0

$4u^2+32u+48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+32u+48$ = 0 |:4

$u^2+8u+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{2}$ = $-6$

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-3+0$

= $-8x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-6\right)-3$

= $48-3$

= $45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $45$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-6\right)}^2-3\cdot \left(-6\right)-1$ = $-4\cdot 36+18-1$ = $-144+18-1$ = $-127$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $-127$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-127$ = $45$⋅( $-6$) + c

$-127$ = $-270$ + c | + $270$

$143$ = c

also c= $143$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $45$⋅x + $143$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-3+0$

= $-8x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)-3$

= $16-3$

= $13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)-1$ = $-4\cdot 4+6-1$ = $-16+6-1$ = $-11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-11$ = $13$⋅( $-2$) + c

$-11$ = $-26$ + c | + $26$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $13$⋅x + $15$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{6,6}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)u-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{6,6}{u}^2-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{3,3}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,65}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,65}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{3,3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,65}}^2+\mathrm{6,6}\cdot \mathrm{1,65}$

= $-3\cdot \mathrm{2,7225}+\mathrm{10,89}$

= $-\mathrm{8,1675}+\mathrm{10,89}$

= $\mathrm{2,7225}$

≈ 2.72

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{2,7225}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,65}}^3+\mathrm{3,3}\cdot {\mathrm{1,65}}^2$ = $-\mathrm{4,4921}+\mathrm{3,3}\cdot \mathrm{2,7225}$ = $\mathrm{4,4921}$ ≈ 4.49

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,65}$| $\mathrm{4,4921}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{2,7225}$⋅ $\mathrm{1,65}$ + c

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{4,4921}$ + c | $-\mathrm{4,4921}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{2,7225}$⋅x +0 oder y=2.72x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{2,7225}x$	=	$\mathrm{6,324}$	|:$\mathrm{2,7225}$
$x$	=	$\mathrm{2,3229}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.323.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{9}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{9}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{9}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+4$ | -$\frac{9}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $4$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{5,103}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{3,645}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{5,103}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{5,103}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{5,103}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{5,103}$ = $\mathrm{3,645}$ ≈ 3.65

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{3,645}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{3,645}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{3,645}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{5,832}$ = c

also c= $\mathrm{5,832}$ ≈ 5.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{5,832}$ oder y=-2.43x +5.83

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{5,832}$	=	0	| $-\mathrm{5,832}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{5,832}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{2,4}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.4.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,4}{x}^3+\mathrm{0,48}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{0,96}x$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{2,4}x+\mathrm{0,96}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-\mathrm{2,4}x+\mathrm{0,96}$	=	0	| $-\mathrm{0,96}$
$-\mathrm{2,4}x$	=	$-\mathrm{0,96}$	|:($-\mathrm{2,4}$)
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,0512}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,4}{x}^3+\mathrm{0,48}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{0,96}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{0,96}\cdot \mathrm{0,4}$

= $-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{0,384}$

= $-\mathrm{0,192}+\mathrm{0,384}$

= $\mathrm{0,192}$

≈ 0.19

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,192}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,4}\cdot {\mathrm{0,4}}^3+\mathrm{0,48}\cdot {\mathrm{0,4}}^2$ = $-\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,064}+\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,16}$ = $-\mathrm{0,0256}+\mathrm{0,0768}$ = $\mathrm{0,0512}$ ≈ 0.05

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,0512}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,0512}$ = $\mathrm{0,192}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{0,0512}$ = $\mathrm{0,0768}$ + c | $-\mathrm{0,0768}$

$-\mathrm{0,0256}$ = c

also c= $-\mathrm{0,0256}$ ≈ -0.03

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,192}$⋅x $-\mathrm{0,0256}$ oder y=0.19x -0.03

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{1,1024}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,192}x-\mathrm{0,0256}$	=	$\mathrm{1,1024}$	| $+\mathrm{0,0256}$
$\mathrm{0,192}x$	=	$\mathrm{1,128}$	|:$\mathrm{0,192}$
$x$	=	$\mathrm{5,875}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 5.875.