Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \sin \left(3\pi \right)+2$

= $-2\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(3\pi \right)+2\cdot \left(3\pi \right)$ = $2\cdot \left(-1\right)+2\cdot \left(3\pi \right)$ = $-2+2\cdot \left(3\pi \right)$ ≈ 16.85

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $-2+6\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2+6\pi$ = $2$⋅ $3\pi$ + c

$-2+6\pi$ = $6\pi$ + c | $-6\pi$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-2x+2\right)}^2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x+2\right)}^3}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-2x+2\right)}^3}·\left(-2\right)$

= $\frac{4}{{\left(-2x+2\right)}^3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $\frac{4}{{\left(-2\cdot 2+2\right)}^3}$

= $\frac{4}{{\left(-4+2\right)}^3}$

= $\frac{4}{{\left(-2\right)}^3}$

= $4\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$

= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $\frac{1}{{\left(-2\cdot 2+2\right)}^2}$ = $\frac{1}{{\left(-4+2\right)}^2}$ = $\frac{1}{{\left(-2\right)}^2}$ = $\frac{1}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $\frac{1}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{4}$ = $-\frac{1}{2}$⋅$2$ + c

$\frac{1}{4}$ = $-1$ + c | + $1$

$\frac{5}{4}$ = c

also c= $\frac{5}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{5}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{2\left(x-1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{2\left(x-1\right)}·2$

= $\frac{2}{5}{e}^{2\left(x-1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{2}{5}{e}^{2\left(1-1\right)}$

= $\frac{2}{5}{e}^{2·0}$

= $\frac{2}{5}{e}^0$

= $\frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{2}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{2\left(1-1\right)}$ = $\frac{1}{5}{e}^{2·0}$ = $\frac{1}{5}{e}^0$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{1}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{5}$⋅ $1$ + c

$\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{5}$ + c | $-\frac{2}{5}$

$-\frac{1}{5}$ = c

also c= $-\frac{1}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{2}{5}$⋅x $-\frac{1}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x+7}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x+7}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x+7}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $6e^{-3\cdot 2+7}$

= $6e^{-6+7}$

= $6e$

= $6e$

≈ 16.31

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6e$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-2e^{-3\cdot 2+7}$ = $-2e^{-6+7}$ = $-2e$ = $-2e$ ≈ -5.44

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-2e$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2e$ = $6e$⋅$2$ + c

$-2e$ = $12e$ + c | $-12e$

$-14e$ = c

also c= $-14e$ ≈ -38.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6e$⋅x $-14e$ oder y=16.31x -38.06

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2-2$ = $-4-2$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-\frac{1}{4}$⋅( $-2$) + c

$-6$ = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{13}{2}$ = c

also c= $-\frac{13}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x $-\frac{13}{2}$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(5|80) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(5|80) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

80 = $\left(8u+3\right)·\left(5-u\right)$ + $4u^2+3u+1$ | -80

$\left(8u+3\right)\left(5-u\right)+4u^2+3u+1-80$ = 0

$-8u^2+37u+15+4u^2+3u+1-80$ = 0

$-4u^2+40u-64$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2+40u-64$ = 0 |:4

$-u^2+10u-16$ = 0

L={ $2$; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+3+0$

= $8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 2+3$

= $16+3$

= $19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^2+3\cdot 2+1$ = $4\cdot 4+6+1$ = $16+6+1$ = $23$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $23$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$23$ = $19$⋅ $2$ + c

$23$ = $38$ + c | $-38$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $19$⋅x $-15$

An der Stelle x= $8$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+3+0$

= $8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 8+3$

= $64+3$

= $67$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $67$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 8^2+3\cdot 8+1$ = $4\cdot 64+24+1$ = $256+24+1$ = $281$

Wir erhalten so also den Punkt B( $8$| $281$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$281$ = $67$⋅ $8$ + c

$281$ = $536$ + c | $-536$

$-255$ = c

also c= $-255$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $67$⋅x $-255$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(2|23) mit der zugehörigen Tangente: $19x-15$

B(8|281) mit der zugehörigen Tangente: $67x-255$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{2,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)u-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{2,4}{u}^2-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,2}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,6}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,6}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,6}$

= $-3\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{1,44}$

= $-\mathrm{1,08}+\mathrm{1,44}$

= $\mathrm{0,36}$

≈ 0.36

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,36}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,6}}^3+\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,6}}^2$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,36}$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{0,432}$ = $\mathrm{0,216}$ ≈ 0.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,216}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,36}$⋅ $\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,216}$ + c | $-\mathrm{0,216}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,36}$⋅x +0 oder y=0.36x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(0.6|0.216) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{0,36}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,36}x$	=	$\mathrm{1,256}$	|:$\mathrm{0,36}$
$x$	=	$\mathrm{3,4889}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 3.489.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $1$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{6,3}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{4,3}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{6,3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{6,3}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{6,3}$ = $1-3+\mathrm{6,3}$ = $\mathrm{4,3}$ ≈ 4.3

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{4,3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,3}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{4,3}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{7,3}$ = c

also c= $\mathrm{7,3}$ ≈ 7.3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{7,3}$ oder y=-3x +7.3

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{7,3}$	=	0	| $-\mathrm{7,3}$
$-3x$	=	$-\mathrm{7,3}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{2,4333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.433.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-23) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-23) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-23 = $\left(10u+4\right)·\left(0-u\right)$ + $5u^2+4u-3$ | +23

$-\left(10u+4\right)u+5u^2+4u-3+23$ = 0

$-10u^2-4u+5u^2+4u-3+23$ = 0

$-5u^2+0+20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+0+20$	=	0
$-5u^2+20$	=	0	| $-20$
$-5u^2$	=	$-20$	|: $\left(-5\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+4x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+4+0$

= $10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)+4$

= $-20+4$

= $-16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-3$ = $5\cdot 4-8-3$ = $20-8-3$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-16$⋅( $-2$) + c

$9$ = $32$ + c | $-32$

$-23$ = c

also c= $-23$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-16$⋅x $-23$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+4x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+4+0$

= $10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 2+4$

= $20+4$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^2+4\cdot 2-3$ = $5\cdot 4+8-3$ = $20+8-3$ = $25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $25$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$25$ = $24$⋅ $2$ + c

$25$ = $48$ + c | $-48$

$-23$ = c

also c= $-23$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x $-23$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|9) mit der zugehörigen Tangente: $-16x-23$

B(2|25) mit der zugehörigen Tangente: $24x-23$