Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(\pi \right)+2$ = $4\cdot 0+2$ = $0+2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-4$⋅ $\pi$ + c

$2$ = $-4\pi$ + c | + $4\pi$

$2+4\pi$ = c

also c= $2+4\pi$ ≈ 14.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $2+4\pi$ oder y=-4x +14.57

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-3x+\frac{3}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-3x+\frac{3}{2}\pi \right)·\left(-3+0\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-3x+\frac{3}{2}\pi \right)·\left(-3\right)$

= $9\cdot \sin \left(-3x+\frac{3}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot \sin \left(-3\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $9\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $9\cdot \left(-1\right)$

= $-9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left(-3\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)$ = $3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $3\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-9$⋅ $0$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-9$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·e^x-2x·e^x$

= $-2e^x-2x·e^x$

= $e^x·\left(-2-2x\right)$

= $e^x·\left(-2x-2\right)$

= $\left(-2x-2\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^0·\left(-2\cdot 0-2\right)$

= $1·\left(0-2\right)$

= $1·\left(-2\right)$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2·0·e^0$ = $-2·0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^x+\left(3x-6\right)·e^x$

= $3e^x+\left(3x-6\right)·e^x$

= $e^x·\left(3+3x-6\right)$

= $e^x·\left(3x-3\right)$

= $\left(3x-3\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^2·\left(3\cdot 2-3\right)$

= $e^2·\left(6-3\right)$

= $e^2·3$

= $3e^2$

≈ 22.17

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3e^2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3\cdot 2-6\right)·e^2$ = $0·e^2$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $3e^2$⋅ $2$ + c

0 = $6e^2$ + c | $-6e^2$

$-6e^2$ = c

also c= $-6e^2$ ≈ -44.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3e^2$⋅x $-6e^2$ oder y=22.17x -44.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\frac{4}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\frac{4}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-\frac{4}{3}$

= $3\cdot 1-\frac{4}{3}$

= $3-\frac{4}{3}$

= $\frac{9}{3}-\frac{4}{3}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)$ = $\left(-1\right)+\frac{4}{3}$ = $-\frac{3}{3}+\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{1}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{3}$ = $-\frac{3}{5}$⋅( $-1$) + c

$\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{5}$ + c | $-\frac{3}{5}$

$-\frac{4}{15}$ = c

also c= $-\frac{4}{15}$ ≈ -0.27

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{5}$⋅x $-\frac{4}{15}$ oder y=-0.6x -0.27

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x-4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|-22) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|-22) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u-4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-22 = $\left(10u-4\right)·\left(1-u\right)$ + $5u^2-4u-3$ | +22

$\left(10u-4\right)\left(1-u\right)+5u^2-4u-3+22$ = 0

$-10u^2+14u-4+5u^2-4u-3+22$ = 0

$-5u^2+10u+15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+10u+15$ = 0 |:5

$-u^2+2u+3$ = 0

L={ $-1$; $3$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-4x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-4+0$

= $10x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-1\right)-4$

= $-10-4$

= $-14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)-3$ = $5\cdot 1+4-3$ = $5+4-3$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-14$⋅( $-1$) + c

$6$ = $14$ + c | $-14$

$-8$ = c

also c= $-8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-14$⋅x $-8$

An der Stelle x= $3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-4x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-4+0$

= $10x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 3-4$

= $30-4$

= $26$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $26$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 3^2-4\cdot 3-3$ = $5\cdot 9-12-3$ = $45-12-3$ = $30$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $30$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$30$ = $26$⋅ $3$ + c

$30$ = $78$ + c | $-78$

$-48$ = c

also c= $-48$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $26$⋅x $-48$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-1|6) mit der zugehörigen Tangente: $-14x-8$

B(3|30) mit der zugehörigen Tangente: $26x-48$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{6,6}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)u-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{6,6}{u}^2-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{3,3}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,65}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,65}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{3,3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,65}}^2+\mathrm{6,6}\cdot \mathrm{1,65}$

= $-3\cdot \mathrm{2,7225}+\mathrm{10,89}$

= $-\mathrm{8,1675}+\mathrm{10,89}$

= $\mathrm{2,7225}$

≈ 2.72

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{2,7225}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,65}}^3+\mathrm{3,3}\cdot {\mathrm{1,65}}^2$ = $-\mathrm{4,4921}+\mathrm{3,3}\cdot \mathrm{2,7225}$ = $\mathrm{4,4921}$ ≈ 4.49

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,65}$| $\mathrm{4,4921}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{2,7225}$⋅ $\mathrm{1,65}$ + c

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{4,4921}$ + c | $-\mathrm{4,4921}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{2,7225}$⋅x +0 oder y=2.72x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.65|4.492) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{2,72}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{2,7225}x$	=	$\mathrm{6,324}$	|:$\mathrm{2,7225}$
$x$	=	$\mathrm{2,3229}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.323.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($8$|$2$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($8$|$2$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}$ = $-\frac{2}{u}$

Wir können also P($8$|$2$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$2$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}·\left(8-u\right)$ + $\frac{1}{4}{u}^2$ | -$2$

$-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2-2$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2}u$

$\left(-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2-2\right)·\frac{1}{2}u$ = 0

$-2\frac{8-u}{u}·\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}{u}^2·\frac{1}{2}u-2·\frac{1}{2}u$ = 0

$-\left(8-u\right)+\frac{1}{8}{u}^2·u-u$ = 0

$-8+u+\frac{1}{8}{u}^3-u$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$	=	0
$\frac{1}{8}{u}^3-8$	=	0	| $+8$
$\frac{1}{8}{u}^3$	=	$8$	|⋅$8$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $\frac{1}{4}\cdot 4^2$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{2,916}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{2,484}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{2,916}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,916}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{2,916}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{2,916}$ = $\mathrm{2,484}$ ≈ 2.48

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{2,484}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{2,484}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{2,484}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{3,132}$ = c

also c= $\mathrm{3,132}$ ≈ 3.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{3,132}$ oder y=-1.08x +3.13

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{3,132}$	=	0	| $-\mathrm{3,132}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{3,132}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{2,9}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.9.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{7,2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{5,2}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{7,2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{7,2}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{7,2}$ = $1-3+\mathrm{7,2}$ = $\mathrm{5,2}$ ≈ 5.2

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{5,2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,2}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{5,2}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{8,2}$ = c

also c= $\mathrm{8,2}$ ≈ 8.2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{8,2}$ oder y=-3x +8.2

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{8,2}$	=	0	| $-\mathrm{8,2}$
$-3x$	=	$-\mathrm{8,2}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{2,7333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.733.