Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot {\left(-2\right)}^2+3$

= $-9\cdot 4+3$

= $-36+3$

= $-33$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-33$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^3+3\cdot \left(-2\right)$ = $-3\cdot \left(-8\right)-6$ = $24-6$ = $18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $18$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$18$ = $-33$⋅( $-2$) + c

$18$ = $66$ + c | $-66$

$-48$ = c

also c= $-48$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-33$⋅x $-48$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-{\left(3x-4\right)}^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(3x-4\right)·\left(3+0\right)+0$

= $-2\left(3x-4\right)·\left(3\right)$

= $-6\left(3x-4\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-18\cdot 0+24$

= $0+24$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-{\left(3\cdot 0-4\right)}^2+2$ = $-{\left(0-4\right)}^2+2$ = $-{\left(-4\right)}^2+2$ = $-16+2$ = $-14$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-14$ = $24$⋅$0$ + c

$-14$ = 0 + c

$-14$ = c

also c= $-14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x $-14$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{-2\left(x+2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{-2\left(x+2\right)}·\left(-2\right)$

= $\frac{7}{2}{e}^{-2\left(x+2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{-2\left(-2+2\right)}$

= $\frac{7}{2}{e}^{-2·0}$

= $\frac{7}{2}{e}^0$

= $\frac{7}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{7}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{-2\left(-2+2\right)}$ = $-\frac{7}{4}{e}^{-2·0}$ = $-\frac{7}{4}{e}^0$ = $-\frac{7}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{7}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{4}$ = $\frac{7}{2}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{7}{4}$ = $-7$ + c | + $7$

$\frac{21}{4}$ = c

also c= $\frac{21}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{7}{2}$⋅x + $\frac{21}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-e^{x-1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x-1}·1$

= $-e^{x-1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{0-1}$

= $-e^{-1}$

≈ -0.37

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-e^{-1}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{0-1}$ = $-e^{-1}$ ≈ -0.37

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-e^{-1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-e^{-1}$ = $-e^{-1}$⋅$0$ + c

$-e^{-1}$ = 0 + c

$-e^{-1}$ = c

also c= $-e^{-1}$ ≈ -0.37

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-e^{-1}$⋅x $-e^{-1}$ oder y=-0.37x -0.37

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2$

= $2\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $2\cdot \left(-1\right)+2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-2+2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ ≈ 7.42

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $-2+3\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2+3\pi$ = $-\frac{1}{2}$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$-2+3\pi$ = $-\frac{3}{4}\pi$ + c | + $\frac{3}{4}\pi$

$-2+\frac{15}{4}\pi$ = c

also c= $-2+\frac{15}{4}\pi$ ≈ 9.78

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $-2+\frac{15}{4}\pi$ oder y=-0.5x +9.78

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|24) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|24) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

24 = $\left(10u-3\right)·\left(4-u\right)$ + $5u^2-3u+1$ | -24

$\left(10u-3\right)\left(4-u\right)+5u^2-3u+1-24$ = 0

$-10u^2+43u-12+5u^2-3u+1-24$ = 0

$-5u^2+40u-35$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+40u-35$ = 0 |:5

$-u^2+8u-7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-7\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-28}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{36}}{-2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{-2}$ = $7$

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-3+0$

= $10x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 1-3$

= $10-3$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 1^2-3\cdot 1+1$ = $5\cdot 1-3+1$ = $5-3+1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $7$⋅ $1$ + c

$3$ = $7$ + c | $-7$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-4$

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-3+0$

= $10x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 7-3$

= $70-3$

= $67$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $67$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 7^2-3\cdot 7+1$ = $5\cdot 49-21+1$ = $245-21+1$ = $225$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $225$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$225$ = $67$⋅ $7$ + c

$225$ = $469$ + c | $-469$

$-244$ = c

also c= $-244$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $67$⋅x $-244$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(35|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(35|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{6}{{\left(u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{6}{{\left(u-3\right)}^2}·\left(35-u\right)$ + $\frac{6}{u-3}$

$-6\frac{35-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{6}{u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-3\right)}^2$

$\left(-6\frac{35-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{6}{u-3}\right)·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-6\frac{35-u}{{\left(u-3\right)}^2}·{\left(u-3\right)}^2+\frac{6}{u-3}·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-6\left(35-u\right)+6\left(u-3\right)$ = 0

$-210+6u+6u-18$ = 0

$12u-228$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$12u-228$	=	0	| $+228$
$12u$	=	$228$	|:$12$
$u$	=	$19$

L={ $19$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 19 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-6$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(3|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-6}$ = $-\frac{1}{2u-6}$

Wir können also P(3|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-6}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u-6}·\left(3-u\right)$ + $u^2-6u$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{3-u}{2u-6}+u^2-6u-\frac{1}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-6u-\frac{1}{2}$ = 0

$u^2-6u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-6u+0$	=	0
$u^2-6u$	=	0
$u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-6\cdot 0$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0|0)

f( $6$) = $6^2-6\cdot 6$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $6$|0)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{4,05}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $\mathrm{3,8}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{4,05}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{4,05}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{4,05}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{4,05}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{81}{20}$ = $\frac{5}{40}-\frac{15}{40}+\frac{162}{40}$ = $\frac{152}{40}$ ≈ 3.8

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $\frac{76}{20}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{76}{20}$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$\frac{76}{20}$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{167}{40}$ = c

also c= $\frac{167}{40}$ ≈ 4.18

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{167}{40}$ oder y=-0.75x +4.18

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\mathrm{4,175}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\mathrm{4,175}\right)$	=	0
$-3x+\mathrm{16,7}$	=	0	| $-\mathrm{16,7}$
$-3x$	=	$-\mathrm{16,7}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{5,5667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.567.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{8,1}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{6,1}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{8,1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{8,1}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{8,1}$ = $1-3+\mathrm{8,1}$ = $\mathrm{6,1}$ ≈ 6.1

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{6,1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{6,1}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{6,1}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{9,1}$ = c

also c= $\mathrm{9,1}$ ≈ 9.1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{9,1}$ oder y=-3x +9.1

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{9,1}$	=	0	| $-\mathrm{9,1}$
$-3x$	=	$-\mathrm{9,1}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{3,0333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.033.