Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x+0$

= $x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 0^2-3$ = $\frac{1}{2}\cdot 0-3$ = $0-3$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = 0⋅0 + c

$-3$ = 0 + c

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(3x-5\right)}^2+6$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(3x-5\right)·\left(3+0\right)+0$

= $-4\left(3x-5\right)·\left(3\right)$

= $-12\left(3x-5\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-36\cdot 0+60$

= $0+60$

= $60$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $60$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(3\cdot 0-5\right)}^2+6$ = $-2\cdot {\left(0-5\right)}^2+6$ = $-2\cdot {\left(-5\right)}^2+6$ = $-2\cdot 25+6$ = $-50+6$ = $-44$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-44$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-44$ = $60$⋅$0$ + c

$-44$ = 0 + c

$-44$ = c

also c= $-44$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $60$⋅x $-44$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x·e^{x-3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-1·e^{x-3}-x·e^{x-3}·1$

= $-e^{x-3}-x·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·\left(-x-1\right)$

= $\left(-x-1\right)·e^{x-3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{3-3}·\left(-3-1\right)$

= $1·\left(-3-1\right)$

= $-3-1$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3·e^{3-3}$ = $-3·e^0$ = $-3·1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-4$⋅ $3$ + c

$-3$ = $-12$ + c | + $12$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3e^{2x-1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x-1}·2$

= $6e^{2x-1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $6e^{2\cdot 1-1}$

= $6e^{2-1}$

= $6e$

= $6e$

≈ 16.31

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6e$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $3e^{2\cdot 1-1}$ = $3e^{2-1}$ = $3e$ = $3e$ ≈ 8.15

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $3e$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3e$ = $6e$⋅$1$ + c

$3e$ = $6e$ + c | $-6e$

$-3e$ = c

also c= $-3e$ ≈ -8.15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6e$⋅x $-3e$ oder y=16.31x -8.15

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$3\cdot \cos \left((-\pi )\right)$

= $3\cdot \left(-1\right)$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \sin \left((-\pi )\right)+3$ = $3\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\pi$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $\frac{1}{3}$⋅( $-\pi$) + c

$3$ = $-\frac{1}{3}\pi$ + c | + $\frac{1}{3}\pi$

$3+\frac{1}{3}\pi$ = c

also c= $3+\frac{1}{3}\pi$ ≈ 4.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x + $3+\frac{1}{3}\pi$ oder y=0.33x +4.05

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|8) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|8) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

8 = $\left(-2u-2\right)·\left(-1-u\right)$ + $-u^2-2u+3$ | -8

$\left(-2u-2\right)\left(-1-u\right)-u^2-2u+3-8$ = 0

$2u^2+4u+2-u^2-2u+3-8$ = 0

$u^2+2u-3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2+2u-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-3\right)-2$

= $6-2$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)+3$ = $-9+6+3$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $4$⋅( $-3$) + c

0 = $-12$ + c | + $12$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $12$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1-2$

= $-2-2$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^2-2\cdot 1+3$ = $-1-2+3$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-4$⋅ $1$ + c

0 = $-4$ + c | + $4$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,2}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(50|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(50|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}·\left(50-u\right)$ + $\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}$

$-\mathrm{1,6}\frac{50-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2$

$\left(-\mathrm{1,6}\frac{50-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,6}\frac{50-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2+\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}·{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,6}\left(50-u\right)+8\left(\mathrm{0,2}u-2\right)$ = 0

$-80+\mathrm{1,6}u+\mathrm{1,6}u-16$ = 0

$\mathrm{3,2}u-96$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{3,2}u-96$	=	0	| $+96$
$\mathrm{3,2}u$	=	$96$	|:$\mathrm{3,2}$
$u$	=	$30$

L={ $30$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 30 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($54$|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($54$|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($54$|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(54-u\right)$ + $u^2+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{54-u}{u}+u^2+1-\frac{3}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{54-u}{u}+u^2+1-\frac{3}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{54-u}{u}·2u+u^2·2u+1·2u-\frac{3}{2}·2u$ = 0

$-\left(54-u\right)+2u^2·u+2u-3u$ = 0

$-54+u+2u^3+2u-3u$ = 0

$2u^3+0-54$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-54$	=	0
$2u^3-54$	=	0	| $+54$
$2u^3$	=	$54$	|:$2$
$u^3$	=	$27$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

L={ $3$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $3$) = $3^2+1$ = $10$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $3$| $10$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,5}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $-3x+\mathrm{1,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-3x+\mathrm{1,2}$	=	0	| $-\mathrm{1,2}$
$-3x$	=	$-\mathrm{1,2}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,064}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,5}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{1,5}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,4}$

= $-\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{0,48}$

= $-\mathrm{0,24}+\mathrm{0,48}$

= $\mathrm{0,24}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,24}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,5}\cdot {\mathrm{0,4}}^3+\mathrm{0,6}\cdot {\mathrm{0,4}}^2$ = $-\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,064}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,16}$ = $-\mathrm{0,032}+\mathrm{0,096}$ = $\mathrm{0,064}$ ≈ 0.06

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,064}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,064}$ = $\mathrm{0,24}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{0,064}$ = $\mathrm{0,096}$ + c | $-\mathrm{0,096}$

$-\mathrm{0,032}$ = c

also c= $-\mathrm{0,032}$ ≈ -0.03

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,24}$⋅x $-\mathrm{0,032}$ oder y=0.24x -0.03

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{1,128}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,24}x-\mathrm{0,032}$	=	$\mathrm{1,128}$	| $+\mathrm{0,032}$
$\mathrm{0,24}x$	=	$\mathrm{1,16}$	|:$\mathrm{0,24}$
$x$	=	$\mathrm{4,8333}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 4.833.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|2) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|2) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

2 = $\left(2u-2\right)·\left(4-u\right)$ + $u^2-2u-2$ | -2

$\left(2u-2\right)\left(4-u\right)+u^2-2u-2-2$ = 0

$-2u^2+10u-8+u^2-2u-2-2$ = 0

$-u^2+8u-12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2+8u-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-12\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{-2}$ = $6$

L={ $2$; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

= $2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 2-2$

= $4-2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^2-2\cdot 2-2$ = $4-4-2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $2$⋅ $2$ + c

$-2$ = $4$ + c | $-4$

$-6$ = c

also c= $-6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-6$

An der Stelle x= $6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

= $2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 6-2$

= $12-2$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $6^2-2\cdot 6-2$ = $36-12-2$ = $22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$| $22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$22$ = $10$⋅ $6$ + c

$22$ = $60$ + c | $-60$

$-38$ = c

also c= $-38$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x $-38$