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Extrempunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x \cdot {(x - 9)}^{2}$ :

Lösung einblenden

Zuerst multiplizieren wir den Term aus

$x \cdot {(x - 9)}^{2}$

$f(x) =$ $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 36 x + 81$

$f''(x) =$ $6 x - 36 + 0$

= $6 x - 36$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x^{2} - 36 x + 81

= 0 |:3

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

Die Lösungen $3$ , $9$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $3$

f''( $3$ ) = $6 \cdot 3 - 36$ = $18 - 36$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 18 \cdot 3^{2} + 81 \cdot 3$ = $108$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $108$ )

2.: x= $9$

f''( $9$ ) = $6 \cdot 9 - 36$ = $54 - 36$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $9$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $9$ ) = $9^{3} - 18 \cdot 9^{2} + 81 \cdot 9$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $9$ |0)

Extrempunkte (schwerer)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{6} {(x^{2} - 1)}^{3} + 10$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{6} {(x^{2} - 1)}^{3} + 10$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot (2 x + 0) + 0$

= $- {(x^{2} - 1)}^{2} x$

$f''(x) =$ $- 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} - x \cdot 2 (x^{2} - 1) \cdot (2 x + 0)$

= $- {(x^{2} - 1)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- x {(x^{2} - 1)}^{2}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

${(x^{2} - 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x^{2} - 1$	=	0

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Die Lösungen $- 1$ , 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $- {({(- 1)}^{2} - 1)}^{2} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{2} - 1)$ = $- {(1 - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (1 - 1)$ = $0 + 0$ =0

Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(

Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x= $- 1$ herum:

Also (-∞ ; -1) und (-1 ; 0). Da f' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:

(-∞ ; -1): Wir wählen x=-2∈(-∞ ; -1): f'(-2)= $- {({(- 2)}^{2} - 1)}^{2} \cdot (- 2)$ = 18 also > 0

(-1 ; 0): Wir wählen x=-0.5∈(-1 ; 0): f'(-0.5)= $- {({(- 0,5)}^{2} - 1)}^{2} \cdot (- 0,5)$ = 0.28125 also > 0

Es liegt also kein Vorzeichenwechsel in f' vor, also haben wir bei x= -1 keinen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt).

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- {(0^{2} - 1)}^{2} - 4 \cdot 0^{2} \cdot (0^{2} - 1)$ = $- {(0 - 1)}^{2} - 4 \cdot 0 \cdot (0 - 1)$ = $- 1$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{1}{6} \cdot {(0^{2} - 1)}^{3} + 10$ = $\frac{61}{6}$ ≈ 10.167
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $\frac{61}{6}$ )

≈ H:(0|10.167)

3.: x= $1$

f''( $1$ ) = $- {(1^{2} - 1)}^{2} - 4 \cdot 1^{2} \cdot (1^{2} - 1)$ = $- {(1 - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (1 - 1)$ = $0 + 0$ =0

Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(

Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x= $1$ herum:

Also (0 ; 1) und (1; ∞). Da f' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:

(0 ; 1): Wir wählen x=0.5∈(0 ; 1): f'(0.5)= $- {({0,5}^{2} - 1)}^{2} \cdot 0,5$ = -0.28125 also < 0

(1; ∞): Wir wählen x=2∈(1; ∞): f'(2)= $- {(2^{2} - 1)}^{2} \cdot 2$ = -18 also < 0

Es liegt also kein Vorzeichenwechsel in f' vor, also haben wir bei x= 1 keinen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt).

Minimaler Abstand zur x-Achse

Beispiel:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 2 x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 38$ die x-Achse nicht schneidet. Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand zur x-Achse?

Bestimme diesen kleinsten Abstand.

Lösung einblenden

Wir sehen am positiven Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $\frac{3}{4} x^{4}$ ), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer positiv sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte positiv sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Tiefpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 2 x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 38$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 0$

= $3 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$

$f''(x) =$ $9 x^{2} + 12 x - 9$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$	=	0
$3 x (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Die Lösungen $- 3$ , 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $9 \cdot {(- 3)}^{2} + 12 \cdot (- 3) - 9$ = $9 \cdot 9 - 36 - 9$ = $36$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $\frac{3}{4} \cdot {(- 3)}^{4} + 2 \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{9}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 38$ = $\frac{17}{4}$ ≈ 4.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $\frac{17}{4}$ )

≈ T:(-3|4.25)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $9 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 - 9$ = $9 \cdot 0 + 0 - 9$ = $- 9$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{3} - \frac{9}{2} \cdot 0^{2} + 38$ = $38$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $38$ )

3.: x= $1$

f''( $1$ ) = $9 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 9$ = $9 \cdot 1 + 12 - 9$ = $12$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $\frac{3}{4} \cdot 1^{4} + 2 \cdot 1^{3} - \frac{9}{2} \cdot 1^{2} + 38$ = $\frac{145}{4}$ ≈ 36.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $\frac{145}{4}$ )

≈ T:(1|36.25)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Tiefpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der niedrigste Tiefpunkt einen positiven y-Wert hat. Also müssen alle Punkte über der x-Achse liegen.

Der niedrigste Punkt muss ja ein Tiefpunkt sein, daher sehen wir dass der Tiefpunkt (-3| $\frac{17}{4}$ ) der niedrigste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also | $\frac{17}{4}$ | = 4.25.

Extrempunkte e-Funktion BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} - 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} - 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x} + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3} + 0$

= $e^{\frac{1}{3} x} \cdot (2 x + \frac{1}{3} x^{2})$

= $(\frac{1}{3} x^{2} + 2 x) e^{\frac{1}{3} x}$

$f''(x) =$ $(\frac{2}{3} x + 2) \cdot e^{\frac{1}{3} x} + (\frac{1}{3} x^{2} + 2 x) \cdot e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3} x} \cdot (\frac{2}{3} x + 2 + (\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{3} x))$

= $(\frac{1}{9} x^{2} + \frac{4}{3} x + 2) e^{\frac{1}{3} x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(\frac{1}{3} x^{2} + 2 x) \cdot e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{1}{3} x^{2} + 2 x$	=	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x^{2} + 2 x)$	=
$x^{2} + 6 x$	=
$x (x + 6)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen $- 6$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 6$

f''( $- 6$ ) = $e^{\frac{1}{3} \cdot (- 6)} \cdot (\frac{2}{3} \cdot (- 6) + 2 + (\frac{1}{9} \cdot {(- 6)}^{2} + \frac{2}{3} \cdot (- 6)))$ = $e^{- 2} \cdot (- 4 + 2 + (\frac{1}{9} \cdot 36 - 4))$ = $- 2 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei x = $- 6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 6$ ) = ${(- 6)}^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} \cdot (- 6)} - 4$ = $36 e^{- 2} - 4$ ≈ 0.872
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 6$ | $36 e^{- 2} - 4$ )

≈ H:(-6|0.872)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $e^{\frac{1}{3} \cdot 0} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 0 + 2 + (\frac{1}{9} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0))$ = $e^{0} \cdot (0 + 2 + (\frac{1}{9} \cdot 0 + 0))$ = $2 e^{0}$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} \cdot 0} - 4$ = $- 4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 4$ )

Extrempunkte (e-Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ :

Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x} + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x} \cdot (2 x + \frac{1}{2} x^{2})$

= $(\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) e^{\frac{1}{2} x}$

$f''(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{\frac{1}{2} x} + (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x} \cdot (x + 2 + (\frac{1}{4} x^{2} + x))$

= $(\frac{1}{4} x^{2} + 2 x + 2) e^{\frac{1}{2} x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) \cdot e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$	=	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x)$	=
$x^{2} + 4 x$	=
$x (x + 4)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen $- 4$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $e^{\frac{1}{2} \cdot (- 4)} \cdot (- 4 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot {(- 4)}^{2} - 4))$ = $e^{- 2} \cdot (- 4 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot 16 - 4))$ = $- 2 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot (- 4)}$ = $16 e^{- 2}$ ≈ 2.165
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $16 e^{- 2}$ )

≈ H:(-4|2.165)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $e^{\frac{1}{2} \cdot 0} \cdot (0 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{2} + 0))$ = $e^{0} \cdot (0 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot 0 + 0))$ = $2 e^{0}$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,05 x} + 9$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,05 x} + 9$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,05 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,05 x} \cdot (- 0,05) + 0$

= $e^{- 0,05 x} \cdot (- 0,15 x - 0,15 + 3)$

= $(- 0,15 x + 2,85) e^{- 0,05 x}$

$f''(x) =$ $(- 0,15 + 0) \cdot e^{- 0,05 x} + (- 0,15 x + 2,85) \cdot e^{- 0,05 x} \cdot (- 0,05)$

= $e^{- 0,05 x} \cdot (0,0075 x - 0,1425 - 0,15)$

= $(0,0075 x - 0,2925) e^{- 0,05 x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 0,15 x + 2,85) \cdot e^{- 0,05 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,15 x + 2,85$	=	0	\| $- 2,85$
$- 0,15 x$	=	$- 2,85$	\|:( $- 0,15$ )
x₁	=	$19$

2. Fall:

e^{- 0,05 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $19$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $19$ ) = $e^{- 0,05 \cdot 19} \cdot (0,0075 \cdot 19 - 0,1425 - 0,15)$ = $e^{- 0,95} \cdot (0,1425 - 0,1425 - 0,15)$ = $- 0,15 e^{- 0,95}$ <0

Das heißt bei x = $19$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $19$ ) = $3 \cdot (19 + 1) \cdot e^{- 0,05 \cdot 19} + 9$ = $60 e^{- 0,95} + 9$ ≈ 32.204
Man erhält so den Hochpunkt H:( $19$ | $60 e^{- 0,95} + 9$ )

≈ H:(19|32.204)

Wendepunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 3 x - 9)}^{3} - 2592 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 3 x - 9)}^{3} - 2592 x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $- 6 {(- 3 x - 9)}^{2} \cdot (- 3 + 0) - 2 592$

= $- 6 {(- 3 x - 9)}^{2} \cdot (- 3) - 2 592$

= $18 {(- 3 x - 9)}^{2} - 2 592$

$f''(x) =$ $36 (- 3 x - 9) \cdot (- 3 + 0) + 0$

= $36 (- 3 x - 9) \cdot (- 3)$

= $- 108 (- 3 x - 9)$

$f'''(x) =$ $324 + 0$

= $324$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$324 x + 972$	=	0	\| $- 972$
$324 x$	=	$- 972$	\|: $324$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $- 3$ :

f'''( $- 3$ ) = $324 + 0$ = $324$

Da f'''( $- 3$ )≠0, haben wir bei x = $- 3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3 \cdot (- 3) - 9)}^{3} - 2592 \cdot (- 3)$ = $7 776$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $- 3$ | $7 776$ )

Wendetangente

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 30 x + 6 + 0$

= $3 x^{2} - 30 x + 6$

$f''(x) =$ $6 x - 30 + 0$

= $6 x - 30$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 30$	=	0	\| $+ 30$
$6 x$	=	$30$	\|: $6$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $5$ :

f'''( $5$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $5$ )≠0, haben wir bei x = $5$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $5$ ) = $5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 1$ = $- 219$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $5$ | $- 219$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(5) =$ $3 \cdot 5^{2} - 30 \cdot 5 + 6$

= $3 \cdot 25 - 150 + 6$

= $75 - 150 + 6$

= $- 69$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 69$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(5) =$ $5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 1$ = $125 - 15 \cdot 25 + 30 + 1$ = $125 - 375 + 30 + 1$ = $- 219$

Wir erhalten so also den Punkt B(5| $- 219$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 219$ = $- 69$ ⋅5 + c

$- 219$ = $- 345$ + c | + $345$

$126$ = c

also c= $126$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 69$ ⋅x + $126$

max. Flächeninhalt am Graph

Beispiel:

Der Punkte P liegt im 1. Quadrant auf dem Graph der Funktion f mit $- \frac{1}{3} x^{2} - x + 3$ . Er bildet mit dem Ursprung ein achsenparalleles Rechteck. Bestimme die Koordinaten vom P so, dass der Inhalt dieses Rechteckes maximal wird und gib diesen maximalen Flächeninhalt an.

Lösung einblenden

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u \cdot (- \frac{1}{3} u^{2} - u + 3)$ = $- \frac{1}{3} u^{3} - u^{2} + 3 u$

Wir suchen also ein Maximum von

$A(u) =$ $- \frac{1}{3} u^{3} - u^{2} + 3 u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $A'(u) =$ $- u^{2} - 2 u + 3$

$A''(u) =$ $- 2 u - 2 + 0$

= $- 2 u - 2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$- u^{2} - 2 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} - 2 u + 3$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Die Lösungen $- 3$ , $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)>0).

1.: u= $- 3$

A''( $- 3$ ) = $- 2 \cdot (- 3) - 2$ = $6 - 2$ = $4$ >0

Das heißt bei u = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $- 3$ ) = $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3)$ = $- 9$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 9$ )

2.: u= $1$

A''( $1$ ) = $- 2 \cdot 1 - 2$ = $- 2 - 2$ = $- 4$ <0

Das heißt bei u = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $1$ ) = $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.667
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1$ | $\frac{5}{3}$ )

≈ H:(1|1.667)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $1$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $1$ in f(x) einsetzen:

f( $1$ ) = $- \frac{1}{3} \cdot 1^{2} - 1 + 3$ = $\frac{5}{3}$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P( $1$ | $\frac{5}{3}$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $1$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A( $1$ ) = $\frac{5}{3}$ .

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Beispiel:

Eine Firma, die Elektroautos herstellt, verkauft in einem Land 24000 Autos im Jahr. Dabei verdient sie an jedem Auto im Schnitt 2400 €. Marktforschungen haben nun ergeben, dass bei einer Preisreduzierungen mehr Autos verkauft werden. Dabei bewirkt jede Preisreduzierung vom 100€ pro Auto eine Absatzsteigerung um eine gewisse Anzahl von Autos, nämlich immer um 10% der ursprünglich (ohne Preisreduzierung) verkauften Autos. Bei welcher Preisreduzierung würde das Unternehmen den größten Gewinn erwirtschaften?

Lösung einblenden

Als Zielfunktion für den Gewinn ergibt sich somit G(x) = $(2 400 - 100 x) \cdot (24 000 + 0,1 x \cdot 24 000)$

= $(- 100 x + 2 400) \cdot (24 000 + 2 400 x)$

= $- 100 x \cdot 24 000 - 100 x \cdot 2 400 x + 2 400 \cdot 24 000 + 2 400 \cdot 2 400 x$

= $- 240 000 x^{2} + 3 360 000 x + 57 600 000$ .

Da diese Zielfunktion für den Gewinn maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$G(x) =$ $- 240 000 x^{2} + 3 360 000 x + 57 600 000$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $G'(x) =$ $- 480 000 x + 3 360 000 + 0$

= $- 480 000 x + 3 360 000$

$G''(x) =$ $- 480 000 + 0$

= $- 480 000$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist G'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also G'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von G zu bestimmen.

$- 480 000 x + 3 360 000$	=	0	\| $- 3 360 000$
$- 480 000 x$	=	$- 3 360 000$	\|:( $- 480 000$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung x= $7$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in G''(x):

Ist G''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G''(x₀)>0).

G''( $7$ ) = $- 480 000$ = $- 480 000$ = $- 480 000$ <0

Das heißt bei x = $7$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in G(x) eingesetzt werden.
G( $7$ ) = $- 240 000 \cdot 7^{2} + 3 360 000 \cdot 7 + 57 600 000$ = $69 360 000$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $7$ | $69 360 000$ )

Den maximalen Gewinn erhalten wir also, wenn wir x = $7$ (, also $7$ 100€-Schritte in der Preisreduzierung) wählen.

Als maximaler Gesamtgewinn erhalten wir:
G( $7$ ) = $(2 400 - 100 \cdot 7) \cdot (24 000 + 0,1 \cdot 7 \cdot 24 000)$
= $(2 400 - 700) \cdot (24 000 + 16 800)$
= $1 700 \cdot (24 000 + 16 800)$
= $69 360 000$ .

Extrempunkte bei ln-Funktionen

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 15 \ln (x) + 3 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 15 \ln (x) + 3 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $\frac{- 15}{x} \cdot 1 + 3$

= $3 - \frac{15}{x}$

$f''(x) =$ $0 + \frac{15}{x^{2}}$

= $\frac{15}{x^{2}}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 - \frac{15}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=
$3 x - 15$	=

$3 x - 15$	=	0	\| $+ 15$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $5$ ) = $\frac{15}{5^{2}}$ = $15 \cdot (\frac{1}{25})$ = $\frac{3}{5}$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $- 15 \ln (5) + 3 \cdot 5$ = $- 15 \ln (5) + 15$ ≈ -9.142
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $- 15 \ln (5) + 15$ )

≈ T:(5|-9.142)

Aufgabenbeispiele von Extrem- + Wendepkte

Extrempunkte (schwerer) BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=3

2.: x=9

Extrempunkte (schwerer)

1.: x=-1

2.: x=0

3.: x=1

Minimaler Abstand zur x-Achse

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=1

Extrempunkte e-Funktion BF

1.: x=-6

2.: x=0

Extrempunkte (e-Funktionen)

1.: x=-4

2.: x=0

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Wendepunkte (schwerer) BF

Wendetangente

max. Flächeninhalt am Graph

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: u=-3

2.: u=1

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Extrempunkte bei ln-Funktionen

1.: x= $3$

2.: x= $9$

1.: x= $- 1$

2.: x= $0$

3.: x= $1$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $1$

1.: x= $- 6$

2.: x= $0$

1.: x= $- 4$

2.: x= $0$

1.: u= $- 3$

2.: u= $1$