L={ $-4$}

L={ $-5$}

L={ $3$}

L={ $6$}

L={ $1$}

Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-3|-4) und rechts: (-2|-2)

Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: -2 - ( - 3 ) = 1
Differenz der y-Werte: -2 - ( - 4 ) = 2

Daraus ergibt sich für die Steigung m = $\frac{\mathrm{Zuwachs\; in\; y-Richtung}}{\mathrm{Zuwachs\; in\; x-Richtung}}$ = $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$.

Mit der nun bekonnten Steigung m wissen wir nun, dass die gesuchte Geradengleichung
y = $2$⋅ x +c sein muss, wir müssen jetzt also nur noch das c bestimmen.

Dazu können wir einfach einen der beiden Punkte in diese Geradengleichung einsetzen:

Punktprobe mit A(-2|-2) in y = $2$⋅ x +c :

Die gesuchte Geradengsleichung ist somit y = $2x+2$.

Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

L={ $-8$}

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

$-\left(-8\right)$= $8$ oder $-\frac{3}{4}\cdot \left(-8\right)+2$= $8$

Wir erhalten also den Schnittpunkt S($-8$| $8$).

Der linke Term der Ungleichung $\frac{2}{3}x$ ist im Schaubild als rote Gerade y= $\frac{2}{3}x$ eingezeichnet, der rechte Term $2x-4$ als die blaue Gerade : y= $2x-4$.

Im Schaubild kann man leicht ablesen, dass die beiden Geraden sich bei x=3 schneiden. Bei x=3 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Im Schaubild sieht man sofort, dass links vom Schnittpunkt, also für x<3 die rote Gerade, also y= $\frac{2}{3}x$ über der blaue Gerade, also y= $2x-4$ liegt und rechts davon gerade umgekehrt.

Gesucht ist ja der Bereich, wo $\frac{2}{3}x$ < $2x-4$ gilt, also wo die rote Gerade unter der blauen liegt.

Man sieht am Schaubild leicht, dass dies rechts vom Schnittpunkt bei x=3 sein muss.

Es gilt also x>3

Um die Ungleichung zu lösen, betrachten und lösen wir erst einmal die 'verwandte Gleichung':
$9x-2$ = $17x-10$,
die ja den Grenzfall der Ungleichung darstellt.

Bei x= $1$ ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Man kann auch beide Seiten als Geraden betrachten, die sich dann bei x= $1$ schneiden.

Das heißt auf der einen Seite von x= $1$ sind die Funktionswerte von $9x-2$ größer als die von $17x-10$, und auf der anderen Seite ist es gerade umgekehrt.
Um heraus zu bekommen, wo welcher Term größer ist, müssen wir einfach jeweils einen Wert in die Terme einsetzen: