Aufgabenbeispiele von Tests

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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 68 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann (- also, dass das Risiko, die 6er-Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als zu gering anzunehmen, berechenbar ist.) Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
00
10.0001
20.0004
30.0021
40.0075
50.0212
60.0501
70.1014
80.1795
90.2836
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(68, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0212 =2.12% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;68]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;68], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Als Mandy erzählt, dass 35% aller Deutschen sie kennen würde, behauptet Sandy, dass ihr eigener Bekanntheitsgrad noch viel höher wäre. Darauf hin werden 72 Personen in einem Test befragt, bei dem das Risiko abgeschätzt werden kann, dass nach dem Test irrtümlicherweise ein höherer Bekanntheitsgrad als 35% (bei Sandy) angenommen wird, obwohl dies gar nicht der Fall ist. Als Signifikanzniveau wird 5% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie ihren höheren Bekanntheitsgrad nachweisen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
270.7178
280.7937
290.8557
300.9036
310.9385
320.9626
330.9783
340.988
350.9937
360.9969
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.35 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(72,0.35,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 32 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;32]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 33 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [33;72]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0374 =3.74% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [33;72], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;32], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,65. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 20 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
......
20
30
40
50.0003
60.0015
70.006
80.0196
90.0532
100.1218
110.2376
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.65 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.65 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(20,0.65,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.65 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.65 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.006 =0.6% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;7]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;20]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;7], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;20], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 67 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 11% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
00
10.0001
20.0005
30.0024
40.0085
50.0238
60.0554
70.1106
80.1933
90.3017
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(67, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0238 =2.38% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;67]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;67], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= 1 6 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.11 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 6 bis 67, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.11) beträgt nun: P0.1167 (X6) =1- P0.1167 (X5) ≈ 1-0.2402 ≈ 0.7598

Mit 75.98% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Es wird vermutet, dass bei einem Glücksspiel die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht wie angegeben 65% beträgt. Die Vermutung soll durch einen zweiseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 84 auf einem Signifikanzniveau von 0,1% überprüft werden. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Gewinne bei der Stichprobe liegen, um diese Vermutung statistisch zu belegen? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
380.0002
390.0004
400.0008
410.0017
420.0033
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.65 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.65 oder p>0.65 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 0.1% gerecht auf 0.05% auf der linken und 0.05% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=84 und p=0.65), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 39 gerade noch weniger als 0.05% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
660.9976
670.999
680.9996
690.9998
700.9999
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.05% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.0005 = 0.9995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=68 erstmals P0.6584 (Xk) ≥ 0.9995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 69 bis 84 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.05% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 69 bis 84.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.65 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.65 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.6584 (X39) = 0.0004 auf der linken Seite und P0.6584 (X69) = 1-0.9996 = 0.0004 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0004 + 0.0004 = 0.0008 =0.08% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;39] und [69;84]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [40;68]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;39] oder [69;84], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [40;68], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 80% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 1000 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 5% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests auf diesen werbewirksamen Prozentsatz verzichtet wird, obwohl dieser der Wirklichkeit entspricht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 5%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 5%", also p ≤ 0.05 macht keinen Sinn, weil die 5%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 80%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 80%", also p ≤ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.8 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 5% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.8 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 5%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 5% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 5%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 5%", also p ≥ 0.05 macht keinen Sinn, weil die 5%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 80%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 80%", also p ≥ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.8 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 5% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.8 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 5%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 5% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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