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Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:

Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
Der Einsatz soll 7€ betragen
Der minimale Auszahlungsbetrag soll 1€ sein
Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 21€ sein
Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein

Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

Lösung einblenden

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-6			14
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-6			14
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{6}$			$\frac{1}{14}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{5}{21}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{5}{21}$ = $\frac{16}{21}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-6			14
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{6}$	$\frac{8}{21}$	$\frac{8}{21}$	$\frac{1}{14}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $3$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1	4	10	21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-6	-3	3	14
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{6}$	$\frac{8}{21}$	$\frac{8}{21}$	$\frac{1}{14}$
Winkel	60°	137.14°	137.14°	25.71°
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{8}{7}$	$\frac{8}{7}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -6⋅ $\frac{1}{6}$ + -3⋅ $\frac{8}{21}$ + 3⋅ $\frac{8}{21}$ + 14⋅ $\frac{1}{14}$

= $- 1$ $- \frac{8}{7}$ $+$ $\frac{8}{7}$ $+$ $1$
= $- \frac{7}{7}$ $- \frac{8}{7}$ $+$ $\frac{8}{7}$ $+$ $\frac{7}{7}$
= $\frac{0}{7}$
= $0$

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen, 6 roten, 4 grünen und 3 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 20€. Bei rot erhält er 10€, bei grün erhält er 25€ und bei weiß erhält er 40€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	20	10	25	40
P(X=x_i)	$\frac{7}{20}$	$\frac{6}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{3}{20}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$7$	$3$	$5$	$6$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 20⋅ $\frac{7}{20}$ + 10⋅ $\frac{6}{20}$ + 25⋅ $\frac{4}{20}$ + 40⋅ $\frac{3}{20}$

= $7$ $+$ $3$ $+$ $5$ $+$ $6$
= $21$