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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{5}{6}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{5}{2}$
= $\frac{5}{56}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{16}{225}$
1 -> 2	$\frac{8}{75}$
1 -> 3	$\frac{4}{45}$
2 -> 1	$\frac{8}{75}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
3 -> 1	$\frac{4}{45}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{15}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{45}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{45}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{76}{225}$

Kombinatorik

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 22-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 22 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 21 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 22 ⋅ 21 = 462 Möglichkeiten, die 22 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2 ⋅ 1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 462 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{462}{2}$ = 231 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 22 Elementen (Schülerin) gebildet werden.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Lotterie werden aus einem Lostopf mit 53 durchnummerierten Kugeln immer 9 Gewinnerkugeln zufällig gezogen. Jeder Teilnehmer an der Lotterie tippt nun genau 9 Zahlen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man hierbei genau 2 der 9 Kugeln zufällig richtig tippt.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 9 der insgesamt 53 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 9 von 53 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $(\begin{matrix} 53 \\ 9 \end{matrix})$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt

(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 2 Kreuzchen auf 9 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 2 richtig getippten unter den 9 Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "2 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 9 Gewinner-Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 7 falsch getippten unter den 44 Nicht-Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "7 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 44 Nicht-Gewinner-Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 44 \\ 7 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 44 \\ 7 \end{matrix})$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der richtig getippten mit jedem Fall der falsch getippten kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "9 Kugeln aus 53 Kugeln ziehen" $(\begin{matrix} 53 \\ 9 \end{matrix})$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 44 \\ 7 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 53 \\ 9 \end{matrix})}$ ≈ 0,3113 = 31,13%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Glücksrad mit 8 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 8 beschriftet sind, wird 4 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 8⁴ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 4 verschiedene Zahlen auftreten.

Es gibt

(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 8 Kästchen zu verteilen.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 4 Zahlen unter den 8 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 Zahlen von 8 möglichen anzukreuzen. Dies sind

(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

Möglichkeiten verschiedene 4er-Pakete aus 8 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 4! = 4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (4 Möglichkeiten für das erste Feld, 3 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅4! = 1680 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})⋅4!}{8⋅8⋅8⋅8}$ = $\frac{1680}{4096}$ ≈ 0,4102 = 41,02%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, P(b-b) = $\frac{1}{22}$ . Bestimme die Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{n}{n + 9}$

Wenn dann auch tatsächlich "blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{n-1}{n - 1 + 9}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also $\frac{n}{n + 9} \cdot \frac{n - 1}{n + 8}$ . Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{1}{22}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $- 9$ ; $- 8$ }

\frac{n \cdot (n - 1)}{(n + 9) \cdot (n + 8)}

=

\frac{1}{22}

Wir multiplizieren den Nenner $(n + 9) \cdot (n + 8)$ weg!

$\frac{n \cdot (n - 1)}{(n + 9) \cdot (n + 8)}$	=	$\frac{1}{22}$	\|⋅( $(n + 9) \cdot (n + 8)$ )
$\frac{n \cdot (n - 1)}{(n + 9) \cdot (n + 8)} \cdot (n + 9) \cdot (n + 8)$	=	$\frac{1}{22} \cdot (n + 9) \cdot (n + 8)$
$\frac{n \cdot ((n - 1) \cdot 1)}{1}$	=	$\frac{1}{22} (n + 9) \cdot (n + 8)$
$n \cdot (n - 1)$	=	$\frac{1}{22} (n + 9) \cdot (n + 8)$
$n \cdot n + n \cdot (- 1)$	=	$\frac{1}{22} (n + 9) \cdot (n + 8)$
$n \cdot n - n$	=	$\frac{1}{22} (n + 9) \cdot (n + 8)$
$n^{2} - n$	=	$\frac{1}{22} n^{2} + \frac{17}{22} n + \frac{36}{11}$

$n^{2} - n$	=	$\frac{1}{22} n^{2} + \frac{17}{22} n + \frac{36}{11}$	\|⋅ 22
$22 (n^{2} - n)$	=	$22 (\frac{1}{22} n^{2} + \frac{17}{22} n + \frac{36}{11})$
$22 n^{2} - 22 n$	=	$n^{2} + 17 n + 72$	\| $- n^{2}$ $- 17 n$ $- 72$

21 n^{2} - 39 n - 72

= 0 |:3

$7 n^{2} - 13 n - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

n_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 7}$

n_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 672}}{14}$

n_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{841}}{14}$

n₁ = $\frac{13 + \sqrt{841}}{14}$ = $\frac{13+29}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = $3$

n₂ = $\frac{13 - \sqrt{841}}{14}$ = $\frac{13-29}{14}$ = $\frac{- 16}{14}$ = $- \frac{8}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 n^{2} - 13 n - 24$ = 0 |: $7$

$n^{2} - \frac{13}{7} n - \frac{24}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{14})}^{2} - (- \frac{24}{7})$ = $\frac{169}{196}$ $+$ $\frac{24}{7}$ = $\frac{169}{196}$ $+$ $\frac{672}{196}$ = $\frac{841}{196}$

x_1,2 = $\frac{13}{14}$ ± $\sqrt{\frac{841}{196}}$

x₁ = $\frac{13}{14}$ - $\frac{29}{14}$ = $- \frac{16}{14}$ = -1.1428571428571

x₂ = $\frac{13}{14}$ + $\frac{29}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Kartenstapel A sind 2 Herz-Karten und 3 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 3 Herz- und 7 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{2}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{7}{11}$ ⋅ $\frac{6}{10}$ = $\frac{21}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{21}{55}$ = $\frac{42}{275}$

2. Möglichkeit: 3 Herz und 8 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{8}{11}$ ⋅ $\frac{7}{10}$ = $\frac{28}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{28}{55}$ = $\frac{84}{275}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{42}{275}$ + $\frac{84}{275}$ = $\frac{126}{275}$ .

Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

Kombinatorik

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Anzahl der möglichen Fälle

Anzahl der günstigen Fälle

Ohne Zurücklegen rückwärts

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

2 Urnen

1. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz

2. Möglichkeit: 3 Herz und 8 Kreuz

Beide Möglichkeiten zusammen: