Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik
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Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 1-12"?
Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": ; "nicht 1-12": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1-12 -> 1-12 | |
| 1-12 -> nicht 1-12 | |
| nicht 1-12 -> 1-12 | |
| nicht 1-12 -> nicht 1-12 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")=; P("nicht 1-12")=;
Die relevanten Pfade sind:- '1-12'-'1-12' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Kombinatorik
Beispiel:
Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 3 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 9 geeignete Kandidaten. Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?
Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 Möglichkeiten.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
In einem Behälter sind 10 blaue und 18 gelbe Kugeln. Es werden 8 Kugeln aus dem Behälter zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 4 Kugeln blau sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 28 durchnummeriert wären.
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 8 der insgesamt 28 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 8 von 28 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen blauen unter den 10 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 blauen Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 18 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen gelben unter den 18 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 18 gelben Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "8 Kugeln aus 28 Kugeln ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = =
=
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Zahlenschloss hat 7 Drehscheiben, auf denen jeweils die Zahlen von 1 bis 6 einstellbar sind. Es wird mit verbundenen Augen eine zufällige Zahlen-Kombination eingestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darin alle 6 Zahlen enthalten sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 6 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 6 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 6⋅6⋅...⋅6 = 67 Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Es gibt
Hierfür gibt es
Da ja nur Zahlen zwischen 1 und 6 möglich sind, gibt es somit
Jetzt bleiben noch 5 Felder (Zahlenschlossräder), die mit den anderen 5 Zahlen belegt werden können, wobei dabei jede Zahl genau einmal vorkommen
muss. Auch das ist ja ein bekanntes Modell (n Zahlen auf n Felder verteilen): Hier gibt es 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten.
(5 Möglichkeiten für das erste Feld, 4 Möglichkeiten für das zweite ...)
Insgesamt erhalten wir somit
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 4 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, P =
Insgesamt sind also n + 4 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann:
Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann
Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
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= |
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Wir multiplizieren den Nenner
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= |
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|⋅(
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= |
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= |
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 15 |
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= |
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= |
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|
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 2 oder 6 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Kartenstapel A sind 2 Herz-Karten und 3 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 3 Herz- und 7 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 3 Herz und 8 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:
P = P1 + P2 =
