Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{10}{12}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{10}{4}$
= $\frac{5}{26}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")=$\frac{2}{5}$; P("Herz")=$\frac{1}{5}$; P("Pik")=$\frac{1}{10}$; P("Karo")=$\frac{3}{10}$;

'Kreuz'-'Kreuz' (P=$\frac{14}{95}$)
'Herz'-'Herz' (P=$\frac{3}{95}$)
'Pik'-'Pik' (P=$\frac{1}{190}$)
'Karo'-'Karo' (P=$\frac{3}{38}$)

$\frac{14}{95}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{5}{19}$

Für die Kategorie '8a' gibt es 24 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 30 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 24 ⋅ 30 = 720 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 21 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 24 ⋅ 30 ⋅ 21 = 15120 Möglichkeiten ergeben.

Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 31 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 12 der insgesamt 31 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 12 von 31 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $\left(\begin{array}{c}31\\ 12\end{array}\right)$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt $\left(\begin{array}{c}13\\ 4\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 13 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen blauen unter den 13 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 13 blauen Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}13\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Es gibt $\left(\begin{array}{c}18\\ 8\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 18 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen gelben unter den 18 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 18 gelben Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}18\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $\left(\begin{array}{c}13\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "12 Kugeln aus 31 Kugeln ziehen" $\left(\begin{array}{c}31\\ 12\end{array}\right)$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>13</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>18</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>31</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 0,2217 = 22,17%

Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 6 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 6 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 6⋅6⋅...⋅6 = 6⁹ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Es gibt $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 9 Kästchen zu verteilen.

Da ja nur Zahlen zwischen 1 und 6 möglich sind, gibt es somit $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ 6 Möglichkeiten für die Belegung der 4 Felder (Drehungen) mit gleichen Zahlen, weil ja eben jede der 6 Zahlen theoretisch 4-fach vorkommen könnte.

Jetzt bleiben noch 5 Felder (Drehungen), die mit den anderen 5 Zahlen belegt werden können, wobei dabei jede Zahl genau einmal vorkommen muss. Auch das ist ja ein bekanntes Modell (n Zahlen auf n Felder verteilen): Hier gibt es 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten.
(5 Möglichkeiten für das erste Feld, 4 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt erhalten wir somit $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ 6 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 90720 günstige Möglichkeiten

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>9</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; 6\; \cdot \; 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6}}$ = $\frac{\mathrm{90720}}{\mathrm{10077696}}$ ≈ 0,009 = 0,9%

Insgesamt sind also n + 2 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{2}{\mathrm{n\; +\; 2}}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 1}}$

Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 2}}$⋅$\frac{2}{\mathrm{n\; +\; 1}}$⋅

Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also $2\frac{2}{n+2}·\frac{n}{n+1}$. Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{16}{45}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $-2$; $-1$}

Wir multiplizieren den Nenner $\left(n+2\right)·\left(n+1\right)$ weg!

$-4n^2+33n-8$ = 0

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 8 blaue Kugeln im Behälter.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{7}{11}$⋅$\frac{6}{10}$ = $\frac{21}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{6}$⋅$\frac{21}{55}$ = $\frac{21}{110}$

2. Möglichkeit: 3 Herz und 8 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{8}{11}$⋅$\frac{7}{10}$ = $\frac{28}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{6}$⋅$\frac{28}{55}$ = $\frac{14}{55}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{21}{110}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{49}{110}$.