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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{4}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{19}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{21}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{76}$ + $\frac{15}{76}$ + $\frac{21}{38}$ = $\frac{18}{19}$

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

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Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 6² = 36 Möglichkeiten.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

Oma Hilde hat 12 Nougat-, 10 Krokant- und 14 Vollmilch-Ostereier in ein großes Osternest gepackt. Als eines ihrer Enkelkinder kommt, greift sie in das Nest und holt 17 Eier raus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 5 Nougateier und genau 8 Vollmilcheier sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Ostereier mit den Zahlen 1 bis 36 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 17 der insgesamt 36 Ostereier gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 17 von 36 Ostereier ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $(\begin{matrix} 36 \\ 17 \end{matrix})$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt

(\begin{matrix} 12 \\ 5 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 5 Kreuzchen auf 12 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 5 gezogenen Nougateier unter den 12 Nougateier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "5 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 Nougateier ziehen", also $(\begin{matrix} 12 \\ 5 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen Krokanteier unter den 10 Krokanteier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 Krokanteier ziehen", also $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 14 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen Vollmilcheier unter den 14 Vollmilcheier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 14 Vollmilcheier ziehen", also $(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $(\begin{matrix} 12 \\ 5 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen Nougateier mit jedem Fall der gezogenen Krokanteier uns mit jedem Fall der gezogenen Vollmilcheier kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "17 Ostereier aus 36 Ostereier ziehen" $(\begin{matrix} 36 \\ 17 \end{matrix})$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 12 \\ 5 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 36 \\ 17 \end{matrix})}$ ≈ 0,0581 = 5,81%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Glücksrad mit 8 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 8 beschriftet sind, wird 6 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 8⁶ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 6 verschiedene Zahlen auftreten.

Es gibt

(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 6 Kreuzchen auf 8 Kästchen zu verteilen.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 6 Zahlen unter den 8 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 Zahlen von 8 möglichen anzukreuzen. Dies sind

(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})

Möglichkeiten verschiedene 6er-Pakete aus 8 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (6 Möglichkeiten für das erste Feld, 5 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})$ ⋅6! = 20160 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})⋅6!}{8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅8}$ = $\frac{20160}{262144}$ ≈ 0,0769 = 7,69%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 5 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, P(r-r) = $\frac{2}{9}$ . Bestimme die Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 5 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{5}{n + 5}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{4}{n + 4}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen ist also $\frac{5}{n + 5} \cdot \frac{4}{n + 4}$ . Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{2}{9}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $- 5$ ; $- 4$ }

\frac{20}{(n + 5) (n + 4)}

=

\frac{2}{9}

Wir multiplizieren den Nenner $(n + 5) \cdot (n + 4)$ weg!

$\frac{20}{(n + 5) \cdot (n + 4)}$	=	$\frac{2}{9}$	\|⋅( $(n + 5) \cdot (n + 4)$ )
$\frac{20}{(n + 5) \cdot (n + 4)} \cdot (n + 5) \cdot (n + 4)$	=	$\frac{2}{9} \cdot (n + 5) \cdot (n + 4)$
$20 \frac{n + 5}{n + 5}$	=	$\frac{2}{9} (n + 5) (n + 4)$
$20$	=	$\frac{2}{9} (n + 5) (n + 4)$
$20$	=	$\frac{2}{9} n^{2} + 2 n + \frac{40}{9}$

$20$	=	$\frac{2}{9} n^{2} + 2 n + \frac{40}{9}$	\|⋅ 9
$180$	=	$9 (\frac{2}{9} n^{2} + 2 n + \frac{40}{9})$
$180$	=	$2 n^{2} + 18 n + 40$	\| $- 2 n^{2}$ $- 18 n$ $- 40$

- 2 n^{2} - 18 n + 140

= 0 |:2

$- n^{2} - 9 n + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

n_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 70}}{2 \cdot (- 1)}$

n_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 280}}{- 2}$

n_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{361}}{- 2}$

n₁ = $\frac{9 + \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{9+19}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

n₂ = $\frac{9 - \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{9-19}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- n^{2} - 9 n + 70$ = 0 |: $- 1$

$n^{2} + 9 n - 70$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 5 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Kartenstapel A sind 3 Herz-Karten und 3 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 8 Herz- und 4 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 9 Herz und 4 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{13}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{26}$

2. Möglichkeit: 8 Herz und 5 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{5}{13}$ ⋅ $\frac{4}{12}$ = $\frac{5}{39}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{5}{39}$ = $\frac{5}{78}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{1}{26}$ + $\frac{5}{78}$ = $\frac{4}{39}$ .

Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 1 19 = 18 19

Kombinatorik

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Anzahl der möglichen Fälle

Anzahl der günstigen Fälle

Ohne Zurücklegen rückwärts

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

2 Urnen

1. Möglichkeit: 9 Herz und 4 Kreuz

2. Möglichkeit: 8 Herz und 5 Kreuz

Beide Möglichkeiten zusammen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$