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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'kein Teiler'-'Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'kein Teiler'-'kein Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ = $\frac{2}{9}$

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 5 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 4 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 5 = 15 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 4 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 60 Möglichkeiten ergeben.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 blaue, 13 gelbe und 16 grüne Kugeln. Es werden 16 Kugeln aus dem Behälter zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 4 Kugeln blau und genau 8 Kugeln grün sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 38 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 16 der insgesamt 38 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 16 von 38 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $(\begin{matrix} 38 \\ 16 \end{matrix})$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt

(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 9 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen blauen unter den 9 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 9 blauen Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 13 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen gelben unter den 13 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 13 gelben Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 16 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen grünen unter den 16 grünen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 16 grünen Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben uns mit jedem Fall der gezogenen grünen kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "16 Kugeln aus 38 Kugeln ziehen" $(\begin{matrix} 38 \\ 16 \end{matrix})$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 38 \\ 16 \end{matrix})}$ ≈ 0,0521 = 5,21%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Glücksrad mit 10 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 10 beschriftet sind, wird 5 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 10 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 10 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 10⋅10⋅...⋅10 = 10⁵ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 5 verschiedene Zahlen auftreten.

Es gibt

(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 5 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 5 Zahlen unter den 10 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 Zahlen von 10 möglichen anzukreuzen. Dies sind

(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})

Möglichkeiten verschiedene 5er-Pakete aus 10 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (5 Möglichkeiten für das erste Feld, 4 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$ ⋅5! = 30240 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})⋅5!}{10⋅10⋅10⋅10⋅10}$ = $\frac{30240}{100000}$ ≈ 0,3024 = 30,24%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, P = $\frac{9}{22}$ . Bestimme eine mögliche Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{9}{n + 9}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{n}{n + 8}$

Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann $\frac{n}{n + 9}$ ⋅ $\frac{9}{n + 8}$ ⋅

Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also $2 \frac{9}{n + 9} \cdot \frac{n}{n + 8}$ . Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{9}{22}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $- 9$ ; $- 8$ }

\frac{18 n}{(n + 9) (n + 8)}

=

\frac{9}{22}

Wir multiplizieren den Nenner $(n + 9) (n + 8)$ weg!

$\frac{18 n}{(n + 9) \cdot (n + 8)}$	=	$\frac{9}{22}$	\|⋅( $(n + 9) (n + 8)$ )
$\frac{18 n}{(n + 9) \cdot (n + 8)} \cdot (n + 9) (n + 8)$	=	$\frac{9}{22} \cdot (n + 9) (n + 8)$
$\frac{18 n (n + 9)}{n + 9}$	=	$\frac{9}{22} (n + 9) (n + 8)$
$18 n$	=	$\frac{9}{22} (n + 9) (n + 8)$
$18 n$	=	$\frac{9}{22} n^{2} + \frac{153}{22} n + \frac{324}{11}$

$18 n$	=	$\frac{9}{22} n^{2} + \frac{153}{22} n + \frac{324}{11}$	\|⋅ 22
$396 n$	=	$22 (\frac{9}{22} n^{2} + \frac{153}{22} n + \frac{324}{11})$
$396 n$	=	$9 n^{2} + 153 n + 648$	\| $- 9 n^{2}$ $- 153 n$ $- 648$

- 9 n^{2} + 243 n - 648

= 0 |:9

$- n^{2} + 27 n - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

n_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 72)}}{2 \cdot (- 1)}$

n_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 288}}{- 2}$

n_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{441}}{- 2}$

n₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{441}}{- 2}$ = $\frac{- 27+21}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

n₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{441}}{- 2}$ = $\frac{- 27-21}{- 2}$ = $\frac{- 48}{- 2}$ = $24$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- n^{2} + 27 n - 72$ = 0 |: $- 1$

$n^{2} - 27 n + 72$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $\frac{27}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $\frac{27}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{27}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{48}{2}$ = 24

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 3 oder 24 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Behälter A sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 6 rote und 5 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) = $\frac{5}{11}$ ⋅ $\frac{4}{10}$ = $\frac{2}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{2}{11}$ = $\frac{1}{11}$

2. Möglichkeit: 5 rote und 6 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) = $\frac{6}{11}$ ⋅ $\frac{5}{10}$ = $\frac{3}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{3}{11}$ = $\frac{3}{22}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{1}{11}$ + $\frac{3}{22}$ = $\frac{5}{22}$ .

Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

Kombinatorik

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Anzahl der möglichen Fälle

Anzahl der günstigen Fälle

Ohne Zurücklegen rückwärts

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

2 Urnen

1. Möglichkeit: 6 rote und 5 blaue

2. Möglichkeit: 5 rote und 6 blaue

Beide Möglichkeiten zusammen: