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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{21}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{21}{55}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{55}$ + $\frac{1}{220}$ = $\frac{17}{44}$

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 4 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 4 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 4 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 4 = 12 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 4 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 4 ⋅ 4 = 48 Möglichkeiten ergeben.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

Oma Hilde hat 10 Nougat-, 13 Krokant- und 13 Vollmilch-Ostereier in ein großes Osternest gepackt. Als eines ihrer Enkelkinder kommt, greift sie in das Nest und holt 15 Eier raus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 3 Nougateier und genau 8 Vollmilcheier sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Ostereier mit den Zahlen 1 bis 36 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 15 der insgesamt 36 Ostereier gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 15 von 36 Ostereier ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $(\begin{matrix} 36 \\ 15 \end{matrix})$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt

(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 3 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 gezogenen Nougateier unter den 10 Nougateier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 Nougateier ziehen", also $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 13 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen Krokanteier unter den 13 Krokanteier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 13 Krokanteier ziehen", also $(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 13 \\ 8 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 13 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen Vollmilcheier unter den 13 Vollmilcheier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 13 Vollmilcheier ziehen", also $(\begin{matrix} 13 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 13 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen Nougateier mit jedem Fall der gezogenen Krokanteier uns mit jedem Fall der gezogenen Vollmilcheier kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "15 Ostereier aus 36 Ostereier ziehen" $(\begin{matrix} 36 \\ 15 \end{matrix})$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 13 \\ 8 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 36 \\ 15 \end{matrix})}$ ≈ 0,0198 = 1,98%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Zahlenschloss hat 5 Drehscheiben, auf denen jeweils die Zahlen von 1 bis 8 einstellbar sind. Es wird mit verbundenen Augen eine zufällige Zahlen-Kombination eingestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl mehrfach vorkommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 8⁵ Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 5 verschiedene Zahlen auftreten.

Es gibt

(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 5 Kreuzchen auf 8 Kästchen zu verteilen.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 5 Zahlen unter den 8 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 Zahlen von 8 möglichen anzukreuzen. Dies sind

(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})

Möglichkeiten verschiedene 5er-Pakete aus 8 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (5 Möglichkeiten für das erste Feld, 4 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$ ⋅5! = 6720 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})⋅5!}{8⋅8⋅8⋅8⋅8}$ = $\frac{6720}{32768}$ ≈ 0,2051 = 20,51%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 6 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, P(b-b) = $\frac{2}{15}$ . Bestimme die Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 6 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{n}{n + 6}$

Wenn dann auch tatsächlich "blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{n-1}{n - 1 + 6}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also $\frac{n}{n + 6} \cdot \frac{n - 1}{n + 5}$ . Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{2}{15}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $- 6$ ; $- 5$ }

\frac{n (n - 1)}{(n + 6) (n + 5)}

=

\frac{2}{15}

Wir multiplizieren den Nenner $(n + 6) (n + 5)$ weg!

$\frac{n (n - 1)}{(n + 6) \cdot (n + 5)}$	=	$\frac{2}{15}$	\|⋅( $(n + 6) (n + 5)$ )
$\frac{n (n - 1)}{(n + 6) \cdot (n + 5)} \cdot (n + 6) (n + 5)$	=	$\frac{2}{15} \cdot (n + 6) (n + 5)$
$\frac{n \cdot ((n - 1) \cdot 1)}{1}$	=	$\frac{2}{15} (n + 6) (n + 5)$
$n (n - 1)$	=	$\frac{2}{15} (n + 6) (n + 5)$
$n \cdot n + n \cdot (- 1)$	=	$\frac{2}{15} (n + 6) (n + 5)$
$n \cdot n - n$	=	$\frac{2}{15} (n + 6) (n + 5)$
$n^{2} - n$	=	$\frac{2}{15} n^{2} + \frac{22}{15} n + 4$

$n^{2} - n$	=	$\frac{2}{15} n^{2} + \frac{22}{15} n + 4$	\|⋅ 15
$15 (n^{2} - n)$	=	$15 (\frac{2}{15} n^{2} + \frac{22}{15} n + 4)$
$15 n^{2} - 15 n$	=	$2 n^{2} + 22 n + 60$	\| $- 2 n^{2}$ $- 22 n$ $- 60$

$13 n^{2} - 37 n - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

n_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot 13 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 13}$

n_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 + 3 120}}{26}$

n_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{4 489}}{26}$

n₁ = $\frac{37 + \sqrt{4 489}}{26}$ = $\frac{37+67}{26}$ = $\frac{104}{26}$ = $4$

n₂ = $\frac{37 - \sqrt{4 489}}{26}$ = $\frac{37-67}{26}$ = $\frac{- 30}{26}$ = $- \frac{15}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $13$ " teilen:

$13 n^{2} - 37 n - 60$ = 0 |: $13$

$n^{2} - \frac{37}{13} n - \frac{60}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{26})}^{2} - (- \frac{60}{13})$ = $\frac{1369}{676}$ $+$ $\frac{60}{13}$ = $\frac{1369}{676}$ $+$ $\frac{3120}{676}$ = $\frac{4489}{676}$

x_1,2 = $\frac{37}{26}$ ± $\sqrt{\frac{4489}{676}}$

x₁ = $\frac{37}{26}$ - $\frac{67}{26}$ = $- \frac{30}{26}$ = -1.1538461538462

x₂ = $\frac{37}{26}$ + $\frac{67}{26}$ = $\frac{104}{26}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 4 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Behälter A sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 8 rote und 3 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) = $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ = $\frac{3}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{55}$ = $\frac{9}{275}$

2. Möglichkeit: 7 rote und 4 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{2}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) = $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ = $\frac{6}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 = $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{6}{55}$ = $\frac{12}{275}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{9}{275}$ + $\frac{12}{275}$ = $\frac{21}{275}$ .

Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Anzahl der möglichen Fälle

Anzahl der günstigen Fälle

Ohne Zurücklegen rückwärts

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

2 Urnen

1. Möglichkeit: 8 rote und 3 blaue

2. Möglichkeit: 7 rote und 4 blaue

Beide Möglichkeiten zusammen: