Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{2}$; "nicht blau": $\frac{1}{2}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{2}$; nicht blau: $\frac{1}{2}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P=$\frac{5}{36}$)
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P=$\frac{5}{36}$)
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P=$\frac{5}{36}$)
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P=$\frac{5}{36}$)
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P=$\frac{5}{36}$)
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P=$\frac{5}{36}$)
'blau'-'blau'-'blau' (P=$\frac{1}{12}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 1860480 Möglichkeiten.

Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 23 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 12 der insgesamt 23 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 12 von 23 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $\left(\begin{array}{c}23\\ 12\end{array}\right)$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen blauen unter den 11 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 blauen Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen gelben unter den 12 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 gelben Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "12 Kugeln aus 23 Kugeln ziehen" $\left(\begin{array}{c}23\\ 12\end{array}\right)$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>11</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>23</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{\mathrm{163350}}{\mathrm{1352078}}$ ≈ 0,1208 = 12,08%

Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 9 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 9 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 9⋅9⋅...⋅9 = 9⁷ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 7 verschiedene Zahlen auftreten.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 7 Zahlen unter den 9 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 Zahlen von 9 möglichen anzukreuzen. Dies sind $\left(\begin{array}{c}9\\ 7\end{array}\right)$ Möglichkeiten verschiedene 7er-Pakete aus 9 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $\left(\begin{array}{c}9\\ 7\end{array}\right)$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (7 Möglichkeiten für das erste Feld, 6 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $\left(\begin{array}{c}9\\ 7\end{array}\right)$⋅7! = 181440 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>9</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>7</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\cdot 7!}}{\mathrm{9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9}}$ = $\frac{\mathrm{181440}}{\mathrm{4782969}}$ ≈ 0,0379 = 3,79%

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Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 9}}$

Wenn dann auch tatsächlich "blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{\mathrm{n-1}}{\mathrm{n\; -\; 1\; +\; 9}}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also $\frac{n}{n+9}·\frac{n-1}{n+8}$. Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{1}{22}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $-9$; $-8$}

$\frac{n\left(n-1\right)}{\left(n+9\right)\left(n+8\right)}$

=

$\frac{1}{22}$

Wir multiplizieren den Nenner $\left(n+9\right)\left(n+8\right)$ weg!

$\frac{n\left(n-1\right)}{\left(n+9\right)·\left(n+8\right)}$	=	$\frac{1}{22}$	|⋅( $\left(n+9\right)\left(n+8\right)$)
$\frac{n\left(n-1\right)}{\left(n+9\right)·\left(n+8\right)}·\left(n+9\right)\left(n+8\right)$	=	$\frac{1}{22}·\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$\frac{n·(\left(n-1\right)·1)}{1}$	=	$\frac{1}{22}\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$n\left(n-1\right)$	=	$\frac{1}{22}\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$n·n+n·\left(-1\right)$	=	$\frac{1}{22}\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$n·n-n$	=	$\frac{1}{22}\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$n^2-n$	=	$\frac{1}{22}{n}^2+\frac{17}{22}n+\frac{36}{11}$

$n^2-n$	=	$\frac{1}{22}{n}^2+\frac{17}{22}n+\frac{36}{11}$	|⋅ 22
$22\left(n^2-n\right)$	=	$22\left(\frac{1}{22}{n}^2+\frac{17}{22}n+\frac{36}{11}\right)$
$22n^2-22n$	=	$n^2+17n+72$	| $-n^2$ $-17n$ $-72$

$21n^2-39n-72$ = 0 |:3

$7n^2-13n-24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

n_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{{\left(-13\right)}^2-4·7·\left(-24\right)}}{2\cdot 7}$

n_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{169+672}}{14}$

n_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{841}}{14}$

n₁ = $\frac{13+\sqrt{841}}{14}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>29</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{42}{14}$ = $3$

n₂ = $\frac{13-\sqrt{841}}{14}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>29</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{14}$ = $-\frac{8}{7}$ ≈ -1.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 6 Herz und 5 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{5}{11}$⋅$\frac{4}{10}$ = $\frac{2}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{6}$⋅$\frac{2}{11}$ = $\frac{1}{11}$

2. Möglichkeit: 5 Herz und 6 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{6}{11}$⋅$\frac{5}{10}$ = $\frac{3}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{6}$⋅$\frac{3}{11}$ = $\frac{3}{22}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{1}{11}$ + $\frac{3}{22}$ = $\frac{5}{22}$.