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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(5 a - 9 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(5 a - 9 b)}^{2}$ = ${(5 a)}^{2} - 2 \cdot 5 a \cdot 9 b + {(9 b)}^{2}$ = $25 a^{2} - 90 a b + 81 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 x^{2} - 1$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $1$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6 x$ und für b dann $1$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(6 x + 1) \cdot (6 x - 1)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(6 x + 1) \cdot (6 x - 1)$ = $6 x \cdot 6 x + 6 x \cdot (- 1) + 1 \cdot 6 x + 1 \cdot (- 1)$ = $36 x^{2} - 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 x^{2} - 40 x - 100$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 4 x^{2} - 40 x - 100$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (x^{2} + 10 x + 25)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 {(x + 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 49$

Der hintere Term $49$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $49$ = 7⋅7 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅7

somit gilt: ☐= $14 x$