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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 a - 6)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 a - 6)}^{2}$ = ${(2 a)}^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 6 + 6^{2}$ = $4 a^{2} - 24 a + 36$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 x^{2} - 1$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $1$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 x$ und für b dann $1$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(9 x + 1) \cdot (9 x - 1)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(9 x + 1) \cdot (9 x - 1)$ = $9 x \cdot 9 x + 9 x \cdot (- 1) + 1 \cdot 9 x + 1 \cdot (- 1)$ = $81 x^{2} - 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- y^{2} - 8 y - 16$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- y^{2} - 8 y - 16$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (y^{2} + 8 y + 16)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(y + 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 12 x + ☐$

Der gemischte Term $- 12 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 12 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 6$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 6$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 6)$ ²

somit gilt: ☐= $36$