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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(4 - 8 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(4 - 8 d)}^{2}$ = $4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 8 d + {(8 d)}^{2}$ = $16 - 64 d + 64 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 x^{2} - 36 x + 4$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 36 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 36 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $4$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 x$ und für b dann $2$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 36 x$ = -2⋅ $9 x$ ⋅ $2$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(9 x - 2)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(9 x - 2)}^{2}$ = $9 x \cdot 9 x + 9 x \cdot (- 2) - 2 \cdot 9 x - 2 \cdot (- 2)$ = $81 x^{2} - 36 x + 4$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} + 8 x + 4$

$4 x^{2} + 8 x + 4$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} + 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(x + 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 2 x + ☐$

Der gemischte Term $2 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$2 x$ = 2⋅x⋅◇

also $1$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $1$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $1$ ²

somit gilt: ☐= $1$