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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(4 y - 1)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(4 y - 1)}^{2}$ = ${(4 y)}^{2} - 2 \cdot 4 y \cdot 1 + 1^{2}$ = $16 y^{2} - 8 y + 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 - 48 x + 36 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 48 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 48 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16$ ) als auch der letzte ( $36 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4$ und für b dann $6 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 48 x$ = -2⋅ $4$ ⋅ $6 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 - 6 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 - 6 x)}^{2}$ = $4 \cdot 4 + 4 \cdot (- 6 x) - 6 x \cdot 4 - 6 x \cdot (- 6 x)$ = $16 - 48 x + 36 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 u^{2} + 8 u - 4$

$- 4 u^{2} + 8 u - 4$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (u^{2} - 2 u + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 {(u - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 16$

Der hintere Term $16$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $16$ = 4⋅4 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=4

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅4

somit gilt: ☐= $8 x$