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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 + 6 v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 + 6 v)}^{2}$ = $2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 6 v + {(6 v)}^{2}$ = $4 + 24 v + 36 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $25 y^{2} + 70 y + 49$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $70 y$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $70 y$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $25 y^{2}$ ) als auch der letzte ( $49$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $5 y$ und für b dann $7$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $70 y$ = 2⋅ $5 y$ ⋅ $7$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(5 y + 7)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(5 y + 7)}^{2}$ = $5 y \cdot 5 y + 5 y \cdot 7 + 7 \cdot 5 y + 7 \cdot 7$ = $25 y^{2} + 70 y + 49$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 x^{2} + 16$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 4 x^{2} + 16$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (x^{2} - 4)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 (x + 2) (x - 2)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 4$

Der hintere Term $4$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $4$ = 2⋅2 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=2

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅2

somit gilt: ☐= $4 x$