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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(3 y - 8)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(3 y - 8)}^{2}$ = ${(3 y)}^{2} - 2 \cdot 3 y \cdot 8 + 8^{2}$ = $9 y^{2} - 48 y + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 t^{2} - 9$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64 t^{2}$ ) als auch der letzte ( $9$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8 t$ und für b dann $3$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(8 t + 3) \cdot (8 t - 3)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(8 t + 3) \cdot (8 t - 3)$ = $8 t \cdot 8 t + 8 t \cdot (- 3) + 3 \cdot 8 t + 3 \cdot (- 3)$ = $64 t^{2} - 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 x^{2} + 100$

$- 4 x^{2} + 100$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (x^{2} - 25)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 (x + 5) \cdot (x - 5)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 49$

Der hintere Term $49$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $49$ = 7⋅7 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅7

somit gilt: ☐= $14 x$