$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{75}{3}}$
= $\sqrt{25}$
= 5

$\sqrt{\frac{3}{5}}·\sqrt{\frac{5}{3}}$
= $\sqrt{\frac{3}{5}·\frac{5}{3}}$
= $\sqrt{1·1}$
= $\sqrt{1}$
= $1$

$\left(\sqrt{5}+\sqrt{80}\right)·\sqrt{5}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}+\sqrt{80}·\sqrt{5}$
= $5+\sqrt{5·16}·\sqrt{5}$
= $5+\sqrt{16}·\sqrt{5}·\sqrt{5}$
= $5+4·5$
= $5+20$
= $25$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt{90}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2-2·\sqrt{10}·\sqrt{90}+{\left(\sqrt{90}\right)}^2$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10·9}+90$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{9}+90$
= $10-2·10·3+90$
= $10-60+90$
= $40$

$\frac{\sqrt{180x}}{\sqrt{5x}}$
= $\frac{\sqrt{180}·\sqrt{x}}{\sqrt{5}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}$
= $\sqrt{\frac{180}{5}}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

$\sqrt{49+16+16}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{49}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{16}$ = $7$ + $4$ + $4$ = 15 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.