$\frac{\sqrt{160}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{160}{10}}$
= $\sqrt{16}$
= 4

$\sqrt{2}·\sqrt{\frac{1}{8}}$
= $\sqrt{2·\frac{1}{8}}$
= $\sqrt{1·\frac{1}{4}}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}}$
= $\frac{1}{2}$

$\sqrt{5}·\left(\sqrt{5}+\sqrt{45}\right)$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}+\sqrt{5}·\sqrt{45}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5·9}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{9}$
= $5+5·3$
= $5+15$
= $20$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{3}+\sqrt{75}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{3}\right)}^2+2·\sqrt{3}·\sqrt{75}+{\left(\sqrt{75}\right)}^2$
= $3+2·\sqrt{3}·\sqrt{3·25}+75$
= $3+2·\sqrt{3}·\sqrt{3}·\sqrt{25}+75$
= $3+2·3·5+75$
= $3+30+75$
= $108$

$\sqrt{180x}·\sqrt{5x}$
= $\sqrt{180}·\sqrt{x}·\sqrt{5}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{180}·\sqrt{5}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{5·36}·\sqrt{5}·x$
= $\sqrt{36}·\sqrt{5}·\sqrt{5}·x$
= $6·5·x$
= $30x$

$\sqrt{16+4+16}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{4}$ + $\sqrt{16}$ = $4$ + $2$ + $4$ = 10 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $6$.