$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{75}{3}}$
= $\sqrt{25}$
= 5

$\sqrt{5}·\sqrt{\frac{1}{125}}$
= $\sqrt{5·\frac{1}{125}}$
= $\sqrt{1·\frac{1}{25}}$
= $\sqrt{\frac{1}{25}}$
= $\frac{1}{5}$

$\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)·\sqrt{3}$
= $\sqrt{12}·\sqrt{3}+\sqrt{3}·\sqrt{3}$
= $\sqrt{3·4}·\sqrt{3}+3$
= $\sqrt{4}·\sqrt{3}·\sqrt{3}+3$
= $2·3+3$
= $6+3$
= $9$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt{40}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2-2·\sqrt{10}·\sqrt{40}+{\left(\sqrt{40}\right)}^2$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10·4}+40$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{4}+40$
= $10-2·10·2+40$
= $10-40+40$
= $10$

$\frac{\sqrt{27x}}{\sqrt{3x}}$
= $\frac{\sqrt{27}·\sqrt{x}}{\sqrt{3}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{27}{3}}$
= $\sqrt{9}$
= $3$

$\sqrt{16+9+0}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{9}$ + $\sqrt{0}$ = $4$ + $3$ + 0 = 7 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $5$.