$\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$
= $\sqrt{\frac{80}{5}}$
= $\sqrt{16}$
= 4

$\sqrt{5}·\sqrt{\frac{1}{45}}$
= $\sqrt{5·\frac{1}{45}}$
= $\sqrt{1·\frac{1}{9}}$
= $\sqrt{\frac{1}{9}}$
= $\frac{1}{3}$

$\sqrt{10}·\left(\sqrt{250}+\sqrt{10}\right)$
= $\sqrt{10}·\sqrt{250}+\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·25}+10$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{25}+10$
= $10·5+10$
= $50+10$
= $60$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{5}-\sqrt{80}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2-2·\sqrt{5}·\sqrt{80}+{\left(\sqrt{80}\right)}^2$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5·16}+80$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{16}+80$
= $5-2·5·4+80$
= $5-40+80$
= $45$

$\frac{\sqrt{125x}}{\sqrt{5x}}$
= $\frac{\sqrt{125}·\sqrt{x}}{\sqrt{5}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
= $\sqrt{\frac{125}{5}}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

$\sqrt{4+81+36}$
= $\sqrt{121}$
= $11$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{4}$ + $\sqrt{81}$ + $\sqrt{36}$ = $2$ + $9$ + $6$ = 17 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $11$.