$\frac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{250}{10}}$
= $\sqrt{25}$
= 5

$\sqrt{\frac{25}{4}}·\sqrt{1}$
= $\sqrt{\frac{25}{4}·1}$
= $\sqrt{\frac{25}{4}}$
= $\frac{5}{2}$

$\sqrt{10}·\left(\sqrt{10}+\sqrt{250}\right)$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}+\sqrt{10}·\sqrt{250}$
= $10+\sqrt{10}·\sqrt{10·25}$
= $10+\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{25}$
= $10+10·5$
= $10+50$
= $60$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{50}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·\sqrt{50}+{\left(\sqrt{50}\right)}^2$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2·25}+50$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{25}+50$
= $2+2·2·5+50$
= $2+20+50$
= $72$

$\sqrt{9x}-3\sqrt{x}$
= $\sqrt{9}·\sqrt{x}-3\sqrt{x}$
= $3\sqrt{x}-3\sqrt{x}$
= 0

$\sqrt{4+36+81}$
= $\sqrt{121}$
= $11$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{4}$ + $\sqrt{36}$ + $\sqrt{81}$ = $2$ + $6$ + $9$ = 17 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $11$.