$\sqrt{250}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10·25}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{25}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $5·10$
= $50$

$\sqrt{\frac{2}{5}}·\sqrt{\frac{40}{9}}$
= $\sqrt{\frac{2}{5}·\frac{40}{9}}$
= $\sqrt{2·\frac{8}{9}}$
= $\sqrt{\frac{16}{9}}$
= $\frac{4}{3}$

$\sqrt{2}·\left(\sqrt{2}+\sqrt{50}\right)$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2}+\sqrt{2}·\sqrt{50}$
= $2+\sqrt{2}·\sqrt{2·25}$
= $2+\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{25}$
= $2+2·5$
= $2+10$
= $12$

Nach der 3. binomischen Formel ((a+b)(a-b)=a²-b²) gilt:

$\left(\sqrt{7}+4\right)·\left(\sqrt{7}-4\right)$ = ${\left(\sqrt{7}\right)}^2-4^2$
= $7-16$
= $-9$

$\sqrt{125x}·\sqrt{5x}$
= $\sqrt{125}·\sqrt{x}·\sqrt{5}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{125}·\sqrt{5}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{5·25}·\sqrt{5}·x$
= $\sqrt{25}·\sqrt{5}·\sqrt{5}·x$
= $5·5·x$
= $25x$

$\sqrt{16+64+1}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{64}$ + $\sqrt{1}$ = $4$ + $8$ + $1$ = 13 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.