$\sqrt{10}·\sqrt{250}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·25}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{25}$
= $10·5$
= $50$

$\sqrt{\frac{1}{5}}·\sqrt{80}$
= $\sqrt{\frac{1}{5}·80}$
= $\sqrt{1·16}$
= $\sqrt{16}$
= $4$

$\sqrt{5}·\left(\sqrt{80}+\sqrt{5}\right)$
= $\sqrt{5}·\sqrt{80}+\sqrt{5}·\sqrt{5}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5·16}+5$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{16}+5$
= $5·4+5$
= $20+5$
= $25$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}-\sqrt{32}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2-2·\sqrt{2}·\sqrt{32}+{\left(\sqrt{32}\right)}^2$
= $2-2·\sqrt{2}·\sqrt{2·16}+32$
= $2-2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{16}+32$
= $2-2·2·4+32$
= $2-16+32$
= $18$

$\sqrt{64x}+4\sqrt{x}$
= $\sqrt{64}·\sqrt{x}+4\sqrt{x}$
= $8\sqrt{x}+4\sqrt{x}$
= $12\sqrt{x}$

$\sqrt{64+16+1}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{64}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{1}$ = $8$ + $4$ + $1$ = 13 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.