$\sqrt{3}·\sqrt{48}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3·16}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3}·\sqrt{16}$
= $3·4$
= $12$

$\frac{\sqrt{\frac{4}{5}}}{\sqrt{\frac{20}{9}}}$
= $\sqrt{\frac{\frac{4}{5}}{\frac{20}{9}}}$
= $\sqrt{\frac{4}{5}·\frac{9}{20}}$
= $\sqrt{\frac{1}{5}·\frac{9}{5}}$
= $\sqrt{\frac{9}{25}}$
= $\frac{3}{5}$

$\sqrt{5}·\left(\sqrt{5}+\sqrt{180}\right)$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}+\sqrt{5}·\sqrt{180}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5·36}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{36}$
= $5+5·6$
= $5+30$
= $35$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{5}+\sqrt{125}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+2·\sqrt{5}·\sqrt{125}+{\left(\sqrt{125}\right)}^2$
= $5+2·\sqrt{5}·\sqrt{5·25}+125$
= $5+2·\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{25}+125$
= $5+2·5·5+125$
= $5+50+125$
= $180$

$\sqrt{10x}·\sqrt{360x}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{x}·\sqrt{360}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{360}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·36}·x$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{36}·x$
= $10·6·x$
= $60x$

$\sqrt{16+64+64}$
= $\sqrt{144}$
= $12$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{64}$ + $\sqrt{64}$ = $4$ + $8$ + $8$ = 20 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $12$.