Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 1 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 1 8 = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 23 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 23 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 5 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle durch 5 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 23 suchern, finden wir:
{5, 10, 15, 20}, also insgesamt 4 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 5) = 4 23

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) = 4 23 = 4 : 23 ≈ 0.174

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) ≈ 0.174 = 17.4%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige, 8 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 2 + 8 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 2 15

König: p= 2 15

Dame: p= 8 15

Bube: p= 3 15 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Zahl"?

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Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": 1 2 ; "nicht Zahl": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Zahl' bzw. 0 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Zahl')=1- 1 8 = 7 8

EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("nicht Zahl")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 7 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- 125 216 = 91 216

EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> nicht 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> 6er -> 6er 5 216
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("nicht 6er")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 25 216 )
  • '6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'6er'-'6er' (P= 1 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 216 + 25 216 + 25 216 + 5 216 + 5 216 + 5 216 + 1 216 = 91 216


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": 1 4 ; "nicht Ass": 3 4 ;

EreignisP
Ass -> Ass 1 28
Ass -> nicht Ass 3 14
nicht Ass -> Ass 3 14
nicht Ass -> nicht Ass 15 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= 1 4 ; P("nicht Ass")= 3 4 ;

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'Ass'-'nicht Ass' (P= 3 14 )
'nicht Ass'-'Ass' (P= 3 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 14 + 3 14 = 3 7


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 9 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 1 4 ; "nicht NWT": 3 4 ;

EreignisP
NWT -> NWT 1 19
NWT -> nicht NWT 15 76
nicht NWT -> NWT 15 76
nicht NWT -> nicht NWT 21 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= 1 4 ; P("nicht NWT")= 3 4 ;

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'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= 21 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

21 38 = 21 38


nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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EreignisP
13 -> 13 35 117
13 -> 14 25 117
13 -> 15 5 117
14 -> 13 25 117
14 -> 14 5 39
14 -> 15 10 351
15 -> 13 5 117
15 -> 14 10 351
15 -> 15 1 351

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= 5 9 ; P("14")= 10 27 ; P("15")= 2 27 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'13'-'15' (P= 5 117 )
'15'-'13' (P= 5 117 )
'14'-'14' (P= 5 39 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 117 + 5 117 + 5 39 = 25 117


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 12 1 11 10 10
= 1 6 1 11 5 5
= 1 66

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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