Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 32 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 1 32

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 1 32 = 1 : 32 ≈ 0.031

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.031 = 3.1%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 11 24

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 11 24 = 11 : 24 ≈ 0.458

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.458 = 45.8%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 blaue, 7 grüne, 9 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 7 + 9 + 5=30

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 9 30 = 3 10

grün: p= 7 30

gelb: p= 9 30 = 3 10

rot: p= 5 30 = 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": 1 3 ; "nicht 3er-Zahl": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- 4 9 = 5 9

EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 9
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= 1 3 ; P("nicht 3er-Zahl")= 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 2 9 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 9 )
  • '3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 1 9 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 + 2 9 + 1 9 = 5 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 6 ; P("2")= 1 6 ; P("3")= 1 6 ; P("4")= 1 6 ; P("5")= 1 6 ; P("6")= 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'3' (P= 1 36 )
  • '3'-'1' (P= 1 36 )
  • '2'-'2' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 12


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

Lösung einblenden
EreignisP
rot -> rot -> rot 21 55
rot -> rot -> blau 9 55
rot -> blau -> rot 9 55
rot -> blau -> blau 9 220
blau -> rot -> rot 9 55
blau -> rot -> blau 9 220
blau -> blau -> rot 9 220
blau -> blau -> blau 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 4 ; P("blau")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot'-'blau' (P= 9 55 )
'rot'-'blau'-'rot' (P= 9 55 )
'blau'-'rot'-'rot' (P= 9 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 55 + 9 55 + 9 55 = 27 55


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 9 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 276
1 -> 2 3 92
1 -> 3 7 276
1 -> 4 1 46
2 -> 1 3 92
2 -> 2 3 23
2 -> 3 21 184
2 -> 4 9 92
3 -> 1 7 276
3 -> 2 21 184
3 -> 3 7 92
3 -> 4 7 92
4 -> 1 1 46
4 -> 2 9 92
4 -> 3 7 92
4 -> 4 5 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 12 ; P("2")= 3 8 ; P("3")= 7 24 ; P("4")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'1'-'2' (P= 3 92 )
'2'-'1' (P= 3 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 92 + 3 92 = 3 46


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 9
1 -> 2 5 36
1 -> 3 1 12
2 -> 1 5 36
2 -> 2 25 144
2 -> 3 5 48
3 -> 1 1 12
3 -> 2 5 48
3 -> 3 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 3 ; P("2")= 5 12 ; P("3")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'3' (P= 1 12 )
  • '3'-'1' (P= 1 12 )
  • '2'-'2' (P= 25 144 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 12 + 1 12 + 25 144 = 49 144


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 13 11 12
= 1 13 11 6
= 11 78

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": 1 4 ; "nicht Dame": 3 4 ;

EreignisP
Dame -> Dame 1 28
Dame -> nicht Dame 3 14
nicht Dame -> Dame 3 14
nicht Dame -> nicht Dame 15 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= 1 4 ; P("nicht Dame")= 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Dame'-'nicht Dame' (P= 3 14 )
'nicht Dame'-'Dame' (P= 3 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 14 + 3 14 = 3 7