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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 25 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{25}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{25}$ = 1 : 25 ≈ 0.04

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.04 = 4%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{8}$ = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.125 = 12.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 1 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 4 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 4 + 5=10

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{1}{10}$

ev: p= $\frac{4}{10}$ = $\frac{2}{5}$

Eth: p= $\frac{5}{10}$ = $\frac{1}{2}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 2 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{8}{15}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{49}{225}$ = $\frac{176}{225}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{64}{225}$
blau -> nicht blau	$\frac{56}{225}$
nicht blau -> blau	$\frac{56}{225}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{49}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{8}{15}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{56}{225}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{56}{225}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{64}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{56}{225}$ + $\frac{56}{225}$ + $\frac{64}{225}$ = $\frac{176}{225}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{4}{9}$
Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{9}$ = $\frac{4}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{3}{4}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{220}$ = $\frac{219}{220}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{21}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{21}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{21}{55}$ = $\frac{219}{220}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Karten der Farbe Kreuz, 5 der Farbe Pik, 4 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Herz	$\frac{6}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{19}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{19}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{19}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{19}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{19}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Herz' (P= $\frac{6}{95}$ )
'Herz'-'Kreuz' (P= $\frac{6}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{95}$ + $\frac{6}{95}$ = $\frac{12}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 3": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{35}$
3 -> nicht 3	$\frac{6}{35}$
nicht 3 -> 3	$\frac{6}{35}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{22}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht 3")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{35}$ = $\frac{1}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 12 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{16}$ ⋅ $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{12}{13}$
= $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$
= $\frac{3}{455}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{24}{25}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{4}{25}$
= $\frac{8}{975}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt