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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 30 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{30}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{30}$ = 1 : 30 ≈ 0.033

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.033 = 3.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 24 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 24 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 24 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, also insgesamt 9 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{9}{24}$ = $\frac{3}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{3}{8}$ = 3 : 8 ≈ 0.375

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.375 = 37.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Asse, 10 Könige, 1 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 10 + 1 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

König: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

Dame: p= $\frac{1}{20}$

Bube: p= $\frac{3}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = $\frac{4}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal 13-24 und 1 mal 25-36"?

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Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
13-24 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
25-36 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 1-12	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 13-24	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 25-36	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> grüne 0	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("13-24")= $\frac{12}{37}$ ; P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("grüne 0")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13-24'-'25-36' (P= $\frac{144}{1369}$ )
'25-36'-'13-24' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{288}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{69}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{23}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{69}$ + $\frac{16}{69}$ = $\frac{32}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 9 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{23}$
1 -> 2	$\frac{15}{184}$
1 -> 3	$\frac{15}{184}$
1 -> 4	$\frac{15}{184}$
2 -> 1	$\frac{15}{184}$
2 -> 2	$\frac{5}{138}$
2 -> 3	$\frac{25}{552}$
2 -> 4	$\frac{25}{552}$
3 -> 1	$\frac{15}{184}$
3 -> 2	$\frac{25}{552}$
3 -> 3	$\frac{5}{138}$
3 -> 4	$\frac{25}{552}$
4 -> 1	$\frac{15}{184}$
4 -> 2	$\frac{25}{552}$
4 -> 3	$\frac{25}{552}$
4 -> 4	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{5}{24}$ ; P("3")= $\frac{5}{24}$ ; P("4")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{15}{184}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{15}{184}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{25}{552}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{25}{552}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{184}$ + $\frac{15}{184}$ + $\frac{25}{552}$ + $\frac{25}{552}$ = $\frac{35}{138}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{7}{10}$
= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{7}{5}$
= $\frac{14}{55}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt