Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 1 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 1 8 = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 11 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 10 11

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 10 11 = 10 : 11 ≈ 0.909

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.909 = 90.9%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- 25 36 = 11 36

EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> nicht 6er 5 36
nicht 6er -> 6er 5 36
nicht 6er -> nicht 6er 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("nicht 6er")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'nicht 6er' (P= 5 36 )
  • 'nicht 6er'-'6er' (P= 5 36 )
  • '6er'-'6er' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 1 36 = 11 36


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> keine_6 5 36
keine_6 -> 6er 5 36
keine_6 -> keine_6 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("keine_6")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'6er' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 = 1 36


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 1 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": 2 3 ; "nicht Mädchen": 1 3 ;

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 14 55
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 28 165
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 28 165
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 4 55
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 28 165
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 4 55
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 4 55
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= 2 3 ; P("nicht Mädchen")= 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 4 55 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 4 55 )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 4 55 )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 1 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 55 + 4 55 + 4 55 + 1 55 = 13 55


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": 1 2 ; "nicht Ass": 1 2 ;

EreignisP
Ass -> Ass 3 14
Ass -> nicht Ass 2 7
nicht Ass -> Ass 2 7
nicht Ass -> nicht Ass 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= 1 2 ; P("nicht Ass")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Ass'-'Ass' (P= 3 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 14 = 3 14


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 7 20 ; "nicht 3": 13 20 ;

EreignisP
3 -> 3 49 400
3 -> nicht 3 91 400
nicht 3 -> 3 91 400
nicht 3 -> nicht 3 169 400

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= 7 20 ; P("nicht 3")= 13 20 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3'-'3' (P= 49 400 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

49 400 = 49 400


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 8 3 7 2 6 4 5
= 2 1 7 1 1 5
= 2 35

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 9 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 13 3 12 2 11 9 10
= 1 13 3 1 11 3 5
= 9 715

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