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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{6}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{6}$ = 1 : 6 ≈ 0.167

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.167 = 16.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 12 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 12 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 2 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 2 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 12 suchern, finden wir:
{2, 4, 6, 8, 10, 12}, also insgesamt 6 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 2) = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 2) = $\frac{1}{2}$ = 1 : 2 ≈ 0.5

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 2) ≈ 0.5 = 50%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 blaue, 8 grüne, 5 gelbe und 6 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 8 + 5 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{5}{24}$

grün: p= $\frac{8}{24}$ = $\frac{1}{3}$

gelb: p= $\frac{5}{24}$

rot: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 7 gelbe, 2 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{15}$ ; "nicht rot": $\frac{13}{15}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{225}$
rot -> nicht rot	$\frac{26}{225}$
nicht rot -> rot	$\frac{26}{225}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{169}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{15}$ ; P("nicht rot")= $\frac{13}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{225}$ = $\frac{4}{225}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 4 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{400}$
rot -> blau	$\frac{3}{40}$
rot -> gelb	$\frac{3}{100}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{400}$
blau -> rot	$\frac{3}{40}$
blau -> blau	$\frac{1}{4}$
blau -> gelb	$\frac{1}{10}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{40}$
gelb -> rot	$\frac{3}{100}$
gelb -> blau	$\frac{1}{10}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{100}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{400}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{40}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{100}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{20}$ ; P("blau")= $\frac{1}{2}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{400}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{4}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{25}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{400}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{25}$ + $\frac{9}{400}$ = $\frac{67}{200}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{4}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{19}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{35}$
1 -> 2	$\frac{4}{35}$
1 -> 3	$\frac{2}{35}$
2 -> 1	$\frac{4}{35}$
2 -> 2	$\frac{4}{15}$
2 -> 3	$\frac{16}{105}$
3 -> 1	$\frac{2}{35}$
3 -> 2	$\frac{16}{105}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{8}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{16}{105}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{16}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{105}$ + $\frac{16}{105}$ = $\frac{32}{105}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{81}{400}$
1 -> 2	$\frac{9}{100}$
1 -> 3	$\frac{63}{400}$
2 -> 1	$\frac{9}{100}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{7}{100}$
3 -> 1	$\frac{63}{400}$
3 -> 2	$\frac{7}{100}$
3 -> 3	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{63}{400}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{63}{400}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{400}$ + $\frac{63}{400}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{71}{200}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{1}{12}$ ⋅ $\frac{11}{11}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{11}{11}$
= $\frac{1}{78}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt