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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$ = 1 : 24 ≈ 0.042

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.042 = 4.2%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 19 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 19 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 5 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 5 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 19 suchern, finden wir:
{5, 10, 15}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 5) = $\frac{3}{19}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) = $\frac{3}{19}$ = 3 : 19 ≈ 0.158

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) ≈ 0.158 = 15.8%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 blaue, 7 grüne, 9 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 7 + 9 + 4=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

grün: p= $\frac{7}{24}$

gelb: p= $\frac{9}{24}$ = $\frac{3}{8}$

rot: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal A und 1 mal C"?

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Ereignis	P
A -> A	$\frac{1}{4}$
A -> B	$\frac{1}{8}$
A -> C	$\frac{1}{16}$
A -> D	$\frac{1}{16}$
B -> A	$\frac{1}{8}$
B -> B	$\frac{1}{16}$
B -> C	$\frac{1}{32}$
B -> D	$\frac{1}{32}$
C -> A	$\frac{1}{16}$
C -> B	$\frac{1}{32}$
C -> C	$\frac{1}{64}$
C -> D	$\frac{1}{64}$
D -> A	$\frac{1}{16}$
D -> B	$\frac{1}{32}$
D -> C	$\frac{1}{64}$
D -> D	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{1}{2}$ ; P("B")= $\frac{1}{4}$ ; P("C")= $\frac{1}{8}$ ; P("D")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'C' (P= $\frac{1}{16}$ )
'C'-'A' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 10 blaue , 8 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{50}$
rot -> blau	$\frac{1}{15}$
rot -> gelb	$\frac{4}{75}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{50}$
blau -> rot	$\frac{1}{15}$
blau -> blau	$\frac{3}{20}$
blau -> gelb	$\frac{2}{15}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{20}$
gelb -> rot	$\frac{4}{75}$
gelb -> blau	$\frac{2}{15}$
gelb -> gelb	$\frac{7}{75}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{25}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{50}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{20}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{25}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{25}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{8}{25}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{15}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{9}$
rot -> blau	$\frac{5}{18}$
blau -> rot	$\frac{5}{18}$
blau -> blau	$\frac{2}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{2}$ ; P("blau")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{18}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{18}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{18}$ + $\frac{5}{18}$ = $\frac{5}{9}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{35}$
1 -> 2	$\frac{4}{35}$
1 -> 3	$\frac{2}{21}$
2 -> 1	$\frac{4}{35}$
2 -> 2	$\frac{1}{7}$
2 -> 3	$\frac{1}{7}$
3 -> 1	$\frac{2}{21}$
3 -> 2	$\frac{1}{7}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{15}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{1}{7}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 10 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{66}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt