Mathebattle EduRandomtasks

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 20 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{20}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{20}$ = 1 : 20 ≈ 0.05

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.05 = 5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 12 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 12 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 3 teilbar ist.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 3 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 12 suchern, finden wir:
{3, 6, 9, 12}, also insgesamt 4 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 3) = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 blaue, 4 grüne, 8 gelbe und 6 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 4 + 8 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

grün: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

gelb: p= $\frac{8}{24}$ = $\frac{1}{3}$

rot: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 10 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{10}$ ; "nicht schwarz": $\frac{9}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{81}{100}$ = $\frac{19}{100}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{100}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{9}{100}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{9}{100}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{81}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{9}{100}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{100}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{19}{100}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{5}$ ; "nicht NWT": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{95}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{12}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ = $\frac{3}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{24}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{24}{91}$ = $\frac{69}{91}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{4}{15}$ ; "nicht 3": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{16}{225}$
3 -> nicht 3	$\frac{44}{225}$
nicht 3 -> 3	$\frac{44}{225}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{121}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht 3")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{225}$ = $\frac{16}{225}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 9 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{3}{12}$ ⋅ $\frac{9}{11}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $3$ ⋅ $\frac{3}{11}$
= $\frac{9}{143}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 4 Kugeln mit einer Zwei, 6 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{6}{95}$
1 -> 3	$\frac{9}{95}$
1 -> 4	$\frac{6}{95}$
2 -> 1	$\frac{6}{95}$
2 -> 2	$\frac{3}{95}$
2 -> 3	$\frac{6}{95}$
2 -> 4	$\frac{4}{95}$
3 -> 1	$\frac{9}{95}$
3 -> 2	$\frac{6}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$
3 -> 4	$\frac{6}{95}$
4 -> 1	$\frac{6}{95}$
4 -> 2	$\frac{4}{95}$
4 -> 3	$\frac{6}{95}$
4 -> 4	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{6}{95}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{6}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{95}$ + $\frac{6}{95}$ = $\frac{12}{95}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- 1 9 = 8 9

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$