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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$ = 1 : 24 ≈ 0.042

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.042 = 4.2%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 11 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 11 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 2 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 11, die kleiner als 2 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 1,
also insgesamt 1 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 2) = $\frac{1}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 2) = $\frac{1}{11}$ = 1 : 11 ≈ 0.091

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 2) ≈ 0.091 = 9.1%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= $\frac{1}{2}$

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= $\frac{3}{8}$

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= $\frac{1}{8}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = $\frac{4}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 10 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{2}{5}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{20}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{1}{4}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{1}{4}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{7}{20}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 7 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{190}$
1 -> 2	$\frac{3}{76}$
1 -> 3	$\frac{3}{76}$
1 -> 4	$\frac{21}{380}$
2 -> 1	$\frac{3}{76}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{5}{76}$
2 -> 4	$\frac{7}{76}$
3 -> 1	$\frac{3}{76}$
3 -> 2	$\frac{5}{76}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$
3 -> 4	$\frac{7}{76}$
4 -> 1	$\frac{21}{380}$
4 -> 2	$\frac{7}{76}$
4 -> 3	$\frac{7}{76}$
4 -> 4	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{21}{380}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{21}{380}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{5}{76}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{5}{76}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{380}$ + $\frac{21}{380}$ + $\frac{5}{76}$ + $\frac{5}{76}$ = $\frac{23}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{23}$
1 -> 2	$\frac{15}{92}$
1 -> 3	$\frac{15}{184}$
2 -> 1	$\frac{15}{92}$
2 -> 2	$\frac{15}{92}$
2 -> 3	$\frac{25}{276}$
3 -> 1	$\frac{15}{184}$
3 -> 2	$\frac{25}{276}$
3 -> 3	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{15}{92}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{15}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ + $\frac{15}{92}$ = $\frac{15}{46}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{15}{16}$
= $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{5}{16}$
= $\frac{5}{272}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot und 6 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{125}$
rot -> rot -> blau	$\frac{12}{125}$
rot -> blau -> rot	$\frac{12}{125}$
rot -> blau -> blau	$\frac{18}{125}$
blau -> rot -> rot	$\frac{12}{125}$
blau -> rot -> blau	$\frac{18}{125}$
blau -> blau -> rot	$\frac{18}{125}$
blau -> blau -> blau	$\frac{27}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{125}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{27}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{125}$ + $\frac{27}{125}$ = $\frac{7}{25}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen