Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 1 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 1 8 = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 21 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 21 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 3 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle durch 3 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 21 suchern, finden wir:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, also insgesamt 7 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 3) = 7 21 = 1 3

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) = 1 3 = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": 1 3 ; "nicht 3er-Zahl": 2 3 ;

EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 27
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 27
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= 1 3 ; P("nicht 3er-Zahl")= 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 8 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 27 + 4 27 + 4 27 + 8 27 = 20 27


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 27 64
rot -> rot -> blau 9 64
rot -> blau -> rot 9 64
rot -> blau -> blau 3 64
blau -> rot -> rot 9 64
blau -> rot -> blau 3 64
blau -> blau -> rot 3 64
blau -> blau -> blau 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 4 ; P("blau")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot'-'rot' (P= 27 64 )
  • 'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

27 64 + 1 64 = 7 16


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 4 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 1 4 ; "nicht NWT": 3 4 ;

EreignisP
NWT -> NWT 1 19
NWT -> nicht NWT 15 76
nicht NWT -> NWT 15 76
nicht NWT -> nicht NWT 21 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= 1 4 ; P("nicht NWT")= 3 4 ;

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'NWT'-'nicht NWT' (P= 15 76 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 15 76 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 76 + 15 76 = 15 38


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 3 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 21 55
rot -> rot -> blau 9 55
rot -> blau -> rot 9 55
rot -> blau -> blau 9 220
blau -> rot -> rot 9 55
blau -> rot -> blau 9 220
blau -> blau -> rot 9 220
blau -> blau -> blau 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 4 ; P("blau")= 1 4 ;

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'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 220 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 220 = 1 220


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 2 15
7 -> 8 4 45
7 -> 9 8 45
8 -> 7 4 45
8 -> 8 1 45
8 -> 9 4 45
9 -> 7 8 45
9 -> 8 4 45
9 -> 9 2 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 2 5 ; P("8")= 1 5 ; P("9")= 2 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'8'-'9' (P= 4 45 )
'9'-'8' (P= 4 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 45 + 4 45 = 8 45


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 6 1 5 4 4
= 1 3 1 5 2 2
= 1 15

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Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": 2 5 ; "nicht Dame": 3 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Dame')=1- 1 3 = 2 3

EreignisP
Dame -> Dame 2 15
Dame -> nicht Dame 4 15
nicht Dame -> Dame 4 15
nicht Dame -> nicht Dame 1 3

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= 2 5 ; P("nicht Dame")= 3 5 ;

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'Dame'-'nicht Dame' (P= 4 15 )
'nicht Dame'-'Dame' (P= 4 15 )
'Dame'-'Dame' (P= 2 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 15 + 4 15 + 2 15 = 2 3