Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 20 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = 1 20

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = 1 20 = 1 : 20 ≈ 0.05

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.05 = 5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 21 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 21 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 5 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 21, die größer als 5 sind, suchern, finden wir:
{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}, also insgesamt 16 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 5) = 16 21

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 5) = 16 21 = 16 : 21 ≈ 0.762

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 5) ≈ 0.762 = 76.2%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": 1 2 ; "nicht prim": 1 2 ;

EreignisP
prim -> prim -> prim 1 8
prim -> prim -> nicht prim 1 8
prim -> nicht prim -> prim 1 8
prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> prim -> prim 1 8
nicht prim -> prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= 1 2 ; P("nicht prim")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
  • 'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= 1 8 )
  • 'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= 1 8 )
  • 'prim'-'prim'-'prim' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 1 2


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 81 400
1 -> 2 9 80
1 -> 3 27 200
2 -> 1 9 80
2 -> 2 1 16
2 -> 3 3 40
3 -> 1 27 200
3 -> 2 3 40
3 -> 3 9 100

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 9 20 ; P("2")= 1 4 ; P("3")= 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '2'-'3' (P= 3 40 )
  • '3'-'2' (P= 3 40 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 40 + 3 40 = 3 20


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 10 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 45 496
Kreuz -> Herz 5 62
Kreuz -> Pik 25 248
Kreuz -> Karo 5 124
Herz -> Kreuz 5 62
Herz -> Herz 7 124
Herz -> Pik 5 62
Herz -> Karo 1 31
Pik -> Kreuz 25 248
Pik -> Herz 5 62
Pik -> Pik 45 496
Pik -> Karo 5 124
Karo -> Kreuz 5 124
Karo -> Herz 1 31
Karo -> Pik 5 124
Karo -> Karo 3 248

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= 5 16 ; P("Herz")= 1 4 ; P("Pik")= 5 16 ; P("Karo")= 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 45 496 )
'Herz'-'Herz' (P= 7 124 )
'Pik'-'Pik' (P= 45 496 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 248 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

45 496 + 7 124 + 45 496 + 3 248 = 1 4


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 19
1 -> 2 1 38
1 -> 3 2 19
1 -> 4 5 76
2 -> 1 1 38
2 -> 2 1 190
2 -> 3 4 95
2 -> 4 1 38
3 -> 1 2 19
3 -> 2 4 95
3 -> 3 14 95
3 -> 4 2 19
4 -> 1 5 76
4 -> 2 1 38
4 -> 3 2 19
4 -> 4 1 19

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 4 ; P("2")= 1 10 ; P("3")= 2 5 ; P("4")= 1 4 ;

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'1'-'3' (P= 2 19 )
'3'-'1' (P= 2 19 )
'2'-'2' (P= 1 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 19 + 2 19 + 1 190 = 41 190


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 2 15
7 -> 8 4 45
7 -> 9 8 45
8 -> 7 4 45
8 -> 8 1 45
8 -> 9 4 45
9 -> 7 8 45
9 -> 8 4 45
9 -> 9 2 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 2 5 ; P("8")= 1 5 ; P("9")= 2 5 ;

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'8'-'9' (P= 4 45 )
'9'-'8' (P= 4 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 45 + 4 45 = 8 45


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 6 3 5 2 4 1 3 2 2
= 1 1 5 1 1 3 2 2
= 1 15

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nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 6 ; P("2")= 1 6 ; P("3")= 1 6 ; P("4")= 1 6 ; P("5")= 1 6 ; P("6")= 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 1 36 )
  • '4'-'1' (P= 1 36 )
  • '2'-'3' (P= 1 36 )
  • '3'-'2' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 9