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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 10 gelbe, 2 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{9}{10}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{100}$
blau -> nicht blau	$\frac{9}{100}$
nicht blau -> blau	$\frac{9}{100}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{81}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{100}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{27}{1000}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{343}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{27}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{27}{1000}$ = $\frac{27}{125}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 9 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{6}$ ; "nicht NWT": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{46}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{10}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{95}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{10}{69}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{10}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{69}$ + $\frac{10}{69}$ = $\frac{20}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{24}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{24}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- $\frac{34}{69}$ = $\frac{35}{69}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{119}{552}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{119}{552}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{34}{69}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{7}{24}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{119}{552}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{119}{552}$ )
'NWT'-'NWT' (P= $\frac{7}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{119}{552}$ + $\frac{119}{552}$ + $\frac{7}{92}$ = $\frac{35}{69}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{8}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 1 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{20}{273}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{20}{273}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{20}{273}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{2}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{2}{91}$ = $\frac{22}{91}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen