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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 28 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{28}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{28}$ = 1 : 28 ≈ 0.036

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.036 = 3.6%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 7 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{5}{7}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{5}{7}$ = 5 : 7 ≈ 0.714

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.714 = 71.4%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 10 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 5 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 5 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

ev: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

Eth: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Zahl und 2 mal Wappen"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{3}{10}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{120}$ = $\frac{119}{120}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{120}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{40}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{40}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{40}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{40}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{40}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{24}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{24}$ = $\frac{119}{120}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{9}{380}$
Kreuz -> Pik	$\frac{21}{380}$
Kreuz -> Karo	$\frac{21}{380}$
Herz -> Kreuz	$\frac{9}{380}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{21}{380}$
Herz -> Karo	$\frac{21}{380}$
Pik -> Kreuz	$\frac{21}{380}$
Pik -> Herz	$\frac{21}{380}$
Pik -> Pik	$\frac{21}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{49}{380}$
Karo -> Kreuz	$\frac{21}{380}$
Karo -> Herz	$\frac{21}{380}$
Karo -> Pik	$\frac{49}{380}$
Karo -> Karo	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{190}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{21}{190}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{24}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> 14	$\frac{25}{154}$
13 -> 15	$\frac{5}{77}$
14 -> 13	$\frac{25}{154}$
14 -> 14	$\frac{10}{231}$
14 -> 15	$\frac{5}{231}$
15 -> 13	$\frac{5}{77}$
15 -> 14	$\frac{5}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{22}$ ; P("14")= $\frac{5}{22}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{77}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{77}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{10}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{77}$ + $\frac{5}{77}$ + $\frac{10}{231}$ = $\frac{40}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{18}{19}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{3}{19}$
= $\frac{9}{665}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal A"?

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Da ja ausschließlich nach 'A' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'A' und 'nicht A'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"A": $\frac{1}{4}$ ; "nicht A": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
A -> A	$\frac{1}{16}$
A -> nicht A	$\frac{3}{16}$
nicht A -> A	$\frac{3}{16}$
nicht A -> nicht A	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht A")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'A' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 1 120 = 119 120

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{120}$ = $\frac{119}{120}$