Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 13 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 1 13

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 1 13 = 1 : 13 ≈ 0.077

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.077 = 7.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 10 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 10 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 3 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 10, die kleiner als 3 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 2,
also insgesamt 2 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 3) = 2 10 = 1 5

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 3) = 1 5 = 1 : 5 ≈ 0.2

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 3) ≈ 0.2 = 20%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 3 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 8 den evangelischen, und 4 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 3 + 8 + 4=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 3 15 = 1 5

ev: p= 8 15

Eth: p= 4 15

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 2 mal Zahl"?

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Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": 1 2 ; "nicht Zahl": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Zahl')=1- 1 8 = 7 8

EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("nicht Zahl")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 7 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal grün"?

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Da ja ausschließlich nach 'grün' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grün' und 'nicht grün'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grün": 1 37 ; "nicht grün": 36 37 ;

EreignisP
grün -> grün 1 1369
grün -> nicht grün 36 1369
nicht grün -> grün 36 1369
nicht grün -> nicht grün 1296 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("grün")= 1 37 ; P("nicht grün")= 36 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'grün'-'grün' (P= 1 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 1369 = 1 1369


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 21 55
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 9 55
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 9 55
Mädchen -> Jungs -> Jungs 9 220
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 9 55
Jungs -> Mädchen -> Jungs 9 220
Jungs -> Jungs -> Mädchen 9 220
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= 3 4 ; P("Jungs")= 1 4 ;

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'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 9 55 )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 9 55 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 9 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 55 + 9 55 + 9 55 = 27 55


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 5 blaue , 10 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 1 92
rot -> blau 5 184
rot -> gelb 5 92
rot -> schwarz 3 92
blau -> rot 5 184
blau -> blau 5 138
blau -> gelb 25 276
blau -> schwarz 5 92
gelb -> rot 5 92
gelb -> blau 25 276
gelb -> gelb 15 92
gelb -> schwarz 5 46
schwarz -> rot 3 92
schwarz -> blau 5 92
schwarz -> gelb 5 46
schwarz -> schwarz 5 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 1 8 ; P("blau")= 5 24 ; P("gelb")= 5 12 ; P("schwarz")= 1 4 ;

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'rot'-'blau' (P= 5 184 )
'blau'-'rot' (P= 5 184 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 184 + 5 184 = 5 92


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 25
1 -> 2 1 25
1 -> 3 3 25
2 -> 1 1 25
2 -> 2 1 25
2 -> 3 3 25
3 -> 1 3 25
3 -> 2 3 25
3 -> 3 9 25

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 5 ; P("2")= 1 5 ; P("3")= 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '2'-'3' (P= 3 25 )
  • '3'-'2' (P= 3 25 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 25 + 3 25 = 6 25


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 15 11 14
= 2 15 11 7
= 22 105

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal A"?

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Da ja ausschließlich nach 'A' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'A' und 'nicht A'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"A": 3 8 ; "nicht A": 5 8 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal A' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'A'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'A')=1- 9 64 = 55 64

EreignisP
A -> A 9 64
A -> nicht A 15 64
nicht A -> A 15 64
nicht A -> nicht A 25 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= 3 8 ; P("nicht A")= 5 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'A'-'nicht A' (P= 15 64 )
  • 'nicht A'-'A' (P= 15 64 )
  • 'nicht A'-'nicht A' (P= 25 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 64 + 15 64 + 25 64 = 55 64