Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 12 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 1 12

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 1 12 = 1 : 12 ≈ 0.083

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.083 = 8.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 20 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 3 20

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 3 20 = 3 : 20 ≈ 0.15

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.15 = 15%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 blaue, 8 grüne, 9 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 8 + 9 + 4=30

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 9 30 = 3 10

grün: p= 8 30 = 4 15

gelb: p= 9 30 = 3 10

rot: p= 4 30 = 2 15

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": 1 2 ; "nicht Wappen": 1 2 ;

EreignisP
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen 1 8
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen 1 8
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen 1 8
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen 1 8
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= 1 2 ; P("nicht Wappen")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= 1 8 )
  • 'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= 1 8 )
  • 'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 1 2


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 3 10 ; "nicht blau": 7 10 ;

EreignisP
blau -> blau -> blau 27 1000
blau -> blau -> nicht blau 63 1000
blau -> nicht blau -> blau 63 1000
blau -> nicht blau -> nicht blau 147 1000
nicht blau -> blau -> blau 63 1000
nicht blau -> blau -> nicht blau 147 1000
nicht blau -> nicht blau -> blau 147 1000
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau 343 1000

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 3 10 ; P("nicht blau")= 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 63 1000 )
  • 'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 63 1000 )
  • 'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= 63 1000 )
  • 'blau'-'blau'-'blau' (P= 27 1000 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

63 1000 + 63 1000 + 63 1000 + 27 1000 = 27 125


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 14 55
rot -> rot -> blau 28 165
rot -> blau -> rot 28 165
rot -> blau -> blau 4 55
blau -> rot -> rot 28 165
blau -> rot -> blau 4 55
blau -> blau -> rot 4 55
blau -> blau -> blau 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 2 3 ; P("blau")= 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot'-'blau' (P= 28 165 )
'rot'-'blau'-'rot' (P= 28 165 )
'blau'-'rot'-'rot' (P= 28 165 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

28 165 + 28 165 + 28 165 = 28 55


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 3 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

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EreignisP
1 -> 1 5 138
1 -> 2 25 276
1 -> 3 5 184
1 -> 4 5 92
2 -> 1 25 276
2 -> 2 15 92
2 -> 3 5 92
2 -> 4 5 46
3 -> 1 5 184
3 -> 2 5 92
3 -> 3 1 92
3 -> 4 3 92
4 -> 1 5 92
4 -> 2 5 46
4 -> 3 3 92
4 -> 4 5 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 5 24 ; P("2")= 5 12 ; P("3")= 1 8 ; P("4")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'1'-'2' (P= 25 276 )
'2'-'1' (P= 25 276 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 276 + 25 276 = 25 138


nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 2 ; P("2")= 1 4 ; P("3")= 1 8 ; P("4")= 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 1 16 )
  • '4'-'1' (P= 1 16 )
  • '2'-'3' (P= 1 32 )
  • '3'-'2' (P= 1 32 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 + 1 16 + 1 32 + 1 32 = 3 16


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 21 2 20 18 19
= 3 7 2 10 3 19
= 9 665

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 14 55
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 28 165
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 28 165
Mädchen -> Jungs -> Jungs 4 55
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 28 165
Jungs -> Mädchen -> Jungs 4 55
Jungs -> Jungs -> Mädchen 4 55
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= 2 3 ; P("Jungs")= 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= 4 55 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 4 55 )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 4 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 55 + 4 55 + 4 55 = 12 55