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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 20 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{20}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{20}$ = 1 : 20 ≈ 0.05

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.05 = 5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 24 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 24 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 4 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 4 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 24 suchern, finden wir:
{4, 8, 12, 16, 20, 24}, also insgesamt 6 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 4) = $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 4) = $\frac{1}{4}$ = 1 : 4 ≈ 0.25

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 4) ≈ 0.25 = 25%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= $\frac{1}{2}$

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Zahl"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 9 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{625}$
rot -> blau	$\frac{6}{125}$
rot -> gelb	$\frac{27}{625}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{625}$
blau -> rot	$\frac{6}{125}$
blau -> blau	$\frac{4}{25}$
blau -> gelb	$\frac{18}{125}$
blau -> schwarz	$\frac{6}{125}$
gelb -> rot	$\frac{27}{625}$
gelb -> blau	$\frac{18}{125}$
gelb -> gelb	$\frac{81}{625}$
gelb -> schwarz	$\frac{27}{625}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{625}$
schwarz -> blau	$\frac{6}{125}$
schwarz -> gelb	$\frac{27}{625}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{25}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{9}{25}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{625}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{4}{25}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{81}{625}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{625}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{625}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{81}{625}$ + $\frac{9}{625}$ = $\frac{199}{625}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{120}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{120}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{3}{64}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{3}{64}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 9 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{12}$ ⋅ $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{220}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal 25-36 und 1 mal grüne 0"?

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Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
13-24 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
25-36 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 1-12	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 13-24	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 25-36	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> grüne 0	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("13-24")= $\frac{12}{37}$ ; P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("grüne 0")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'25-36'-'grüne 0' (P= $\frac{12}{1369}$ )
'grüne 0'-'25-36' (P= $\frac{12}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{1369}$ + $\frac{12}{1369}$ = $\frac{24}{1369}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen