Aufgabenbeispiele von Verschiebung Parabel
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Term aus Schaubild (einfach)
Beispiel:
Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(4|0) liegt.
Die Parabel ist also um 4 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach f(x)= (x-d)2, in diesem Fall mit d= 4.
Der gesuchte Funktionsterm ist also: f(x)= (x-4)2.
Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen
Beispiel:
Die Funktion f mit f(x)= x2-5 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.
Der gesuchte Funktionsterm f(x)= x2-5 ist ein Spezialfall von x2+e. Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(0)=-5. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|-5).
Term aus Schaubild - Normalparabel
Beispiel:
Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(-2|5) liegt.
Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm f(x)= ± (x-d)2+e.
Weil - (x-d)2 nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier (x-d)2 gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - (x-d)2 noch e addieren.
Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: f(x)= -(x+2)2+5.
Scheitel von (x-d)²+e ablesen
Beispiel:
Die Funktion f mit f(x)= (x-3)2-1 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.
Der gesuchte Funktionsterm f(x)= (x-3)2-1 ist ein Spezialfall von (x-d)2+e. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(3) = -1. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(3|-1).
Weiterer Wert bei Normalparabel
Beispiel:
Der Punkt P(-2|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(-1|3). Bestimme die y-Koordinate von P.
1. Weg
Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm f(x)= (x-d)2+e.
Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel f(x)= (x+1)2+3 sein.
Setzt man nun x=-2 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = f(-2) = (-2+1)2+3 = 1+3= 4.
2. Weg
Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = 3+1 = 4.
Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-2|4).