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Aufgabenbeispiele von Verschiebung Parabel

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Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(4|0) liegt.

Die Parabel ist also um 4 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach f(x)= (x-d)2, in diesem Fall mit d= 4.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: f(x)= (x-4)2.

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= x2-5 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm f(x)= x2-5 ist ein Spezialfall von x2+e. Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(0)=-5. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|-5).

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

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Gezeichnet ist das Schaubild einer Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(-2|5) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm f(x)= ± (x-d)2+e.

Weil - (x-d)2 nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier (x-d)2 gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - (x-d)2 noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: f(x)= -(x+2)2+5.

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= (x-3)2-1 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm f(x)= (x-3)2-1 ist ein Spezialfall von (x-d)2+e. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(3) = -1. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(3|-1).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(-2|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(-1|3). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm f(x)= (x-d)2+e.

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel f(x)= (x+1)2+3 sein.

Setzt man nun x=-2 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = f(-2) = (-2+1)2+3 = 1+3= 4.

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = 3+1 = 4.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-2|4).