Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+4}}{2}$ = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = $2^2-4\cdot 2$ = $4-8$ = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=4 , Scheitel: S(2|-4).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $x^2-4x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = $2^2-4\cdot 2-1$ = $4-8-1$ = -5

also: S(2|-5).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $2x^2-20x+3$

= $2\left(x^2-10x\right)+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2-10x+25-25\right)+3$

= $2\left(x^2-10x+25\right)+2·\left(-25\right)+3$

= $2{\left(x-5\right)}^2-50+3$

= $2{\left(x-5\right)}^2-47$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-47).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2-20x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2-20x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2-20x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2-20x$	=	0
$2x\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = $2\cdot 5^2-20\cdot 5+3$ = $50-100+3$ = -47

also: S(5|-47).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $-x^2+180x$

= $-\left(x^2-180x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-180x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-180x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -90 zu 8100. Diese 8100 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 8100, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-180x+8100-8100\right)$

= $-\left(x^2-180x+8100\right)-1·\left(-8100\right)$

= $-{\left(x-90\right)}^2+8100$

= $-{\left(x-90\right)}^2+8100$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(90|8100).

2. Weg

Von $-x^2+180x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+180x$	=	0
$x\left(-x+180\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(90|f(90)).

f(90) = $-{90}^2+180\cdot 90$ = $-8100+16200$ = 8100

also: S(90|8100).

Für x=90 bekommen wir also mit 8100 einen extremalen Wert von $-x^2+180x$