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Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 +4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 +4x = 0
2 x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -2+0 2 = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|f(-1)) mit f(-1) = 2⋅ ( -1 ) 2 +4⋅( -1 ) = 2 -4 = -2.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-2 und x2=0 , Scheitel: S(-1|-2).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +8x +2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +8x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +8x +16 -16 +2

= ( x +4 ) 2 -16 +2

= ( x +4 ) 2 -14

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-14).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +8x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +8x = 0
x · ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = ( -4 ) 2 +8⋅( -4 ) +2 = 16 -32 +2 = -14

also: S(-4|-14).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -3x +1 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 -3x +1

= 1 2 ( x 2 -6x ) +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 -6x +9 -9 ) +1

= 1 2 ( x 2 -6x +9 ) + 1 2 · ( -9 ) +1

= 1 2 ( x -3 ) 2 - 9 2 +1

= 1 2 ( x -3 ) 2 - 7 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-3.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 -3x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 -3x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 -3x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 -3x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 -3x ) = 0
x 2 -6x = 0
x · ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|f(3)).

f(3) = 1 2 ⋅ 3 2 -3⋅3 +1 = 9 2 -9 +1 = -3.5

also: S(3|-3.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 180 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +180x

= -( x 2 -180x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -180x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -180x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -90 zu 8100. Diese 8100 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 8100, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -180x +8100 -8100 )

= -( x 2 -180x +8100 ) -1 · ( -8100 )

= - ( x -90 ) 2 +8100

= - ( x -90 ) 2 +8100

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(90|8100).


2. Weg

Von - x 2 +180x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +180x = 0
x · ( -x +180 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +180 = 0 | -180
-x = -180 |:(-1 )
x2 = 180

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(90|f(90)).

f(90) = - 90 2 +180⋅90 = -8100 +16200 = 8100

also: S(90|8100).


Für x=90 bekommen wir also mit 8100 einen extremalen Wert von - x 2 +180x