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Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 -6x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 -6x = 0
2 x · ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={0; 3 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 -10x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 -10x = 0
2 x · ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

L={0; 5 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+5 2 = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|f(2.5)) mit f(2.5) = 2⋅ 2,5 2 -10⋅2,5 = 12,5 -25 = -12.5.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=5 , Scheitel: S(2.5|-12.5).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +10x +2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +10x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +10x +25 -25 +2

= ( x +5 ) 2 -25 +2

= ( x +5 ) 2 -23

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-23).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +10x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +10x = 0
x · ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = ( -5 ) 2 +10⋅( -5 ) +2 = 25 -50 +2 = -23

also: S(-5|-23).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +5x -1 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 +5x -1

= 1 2 ( x 2 +10x ) -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +10x +25 -25 ) -1

= 1 2 ( x 2 +10x +25 ) + 1 2 · ( -25 ) -1

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 25 2 -1

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 27 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-13.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +5x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +5x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +5x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +5x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +5x ) = 0
x 2 +10x = 0
x · ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = 1 2 ⋅ ( -5 ) 2 +5⋅( -5 ) -1 = 25 2 -25 -1 = -13.5

also: S(-5|-13.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 280 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +140x

= -( x 2 -140x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -140x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -140x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -70 zu 4900. Diese 4900 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4900, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -140x +4900 -4900 )

= -( x 2 -140x +4900 ) -1 · ( -4900 )

= - ( x -70 ) 2 +4900

= - ( x -70 ) 2 +4900

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(70|4900).


2. Weg

Von - x 2 +140x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +140x = 0
x · ( -x +140 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +140 = 0 | -140
-x = -140 |:(-1 )
x2 = 140

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(70|f(70)).

f(70) = - 70 2 +140⋅70 = -4900 +9800 = 4900

also: S(70|4900).


Für x=70 bekommen wir also mit 4900 einen extremalen Wert von - x 2 +140x