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Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 - x = 0
x ( 2x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x -1 = 0 | +1
2x = 1 |:2
x2 = 1 2 = 0.5

L={0; 1 2 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3 x 2 +12x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

3 x 2 +12x = 0
3 x ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -4+0 2 = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|f(-2)) mit f(-2) = 3⋅ ( -2 ) 2 +12⋅( -2 ) = 12 -24 = -12.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-4 und x2=0 , Scheitel: S(-2|-12).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +8x -3 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +8x -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +8x +16 -16 -3

= ( x +4 ) 2 -16 -3

= ( x +4 ) 2 -19

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-19).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +8x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = ( -4 ) 2 +8⋅( -4 ) -3 = 16 -32 -3 = -19

also: S(-4|-19).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 -6x +1 .

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1. Weg

f(x)= 3 x 2 -6x +1

= 3( x 2 -2x ) +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 3( x 2 -2x +1 -1 ) +1

= 3( x 2 -2x +1 ) + 3 · ( -1 ) +1

= 3 ( x -1 ) 2 -3 +1

= 3 ( x -1 ) 2 -2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 3 x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3 x 2 -6x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 3 x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

3 x 2 -6x = 0
3 x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 3⋅ 1 2 -6⋅1 +1 = 3 -6 +1 = -2

also: S(1|-2).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 340 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +170x

= -( x 2 -170x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -170x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -170x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -85 zu 7225. Diese 7225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 7225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -170x +7225 -7225 )

= -( x 2 -170x +7225 ) -1 · ( -7225 )

= - ( x -85 ) 2 +7225

= - ( x -85 ) 2 +7225

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(85|7225).


2. Weg

Von - x 2 +170x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +170x = 0
x ( -x +170 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +170 = 0 | -170
-x = -170 |:(-1 )
x2 = 170

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(85|f(85)).

f(85) = - 85 2 +170⋅85 = -7225 +14450 = 7225

also: S(85|7225).


Für x=85 bekommen wir also mit 7225 einen extremalen Wert von - x 2 +170x