Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-x$	=	0
$x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$3x^2-3x$	=	0
$3x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+1}}{2}$ = 0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(0.5|f(0.5)) mit f(0.5) = $3\cdot {\mathrm{0,5}}^2-3\cdot \mathrm{0,5}$ = $\mathrm{0,75}-\mathrm{1,5}$ = -0.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=1 , Scheitel: S(0.5|-0.75).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $x^2+2x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-3$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-3$

= ${\left(x+1\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-3$ = $1-2-3$ = -4

also: S(-1|-4).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $2x^2-12x+2$

= $2\left(x^2-6x\right)+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2-6x+9-9\right)+2$

= $2\left(x^2-6x+9\right)+2·\left(-9\right)+2$

= $2{\left(x-3\right)}^2-18+2$

= $2{\left(x-3\right)}^2-16$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-16).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2-12x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2-12x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2-12x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2-12x$	=	0
$2x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|f(3)).

f(3) = $2\cdot 3^2-12\cdot 3+2$ = $18-36+2$ = -16

also: S(3|-16).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $-x^2+80x$

= $-\left(x^2-80x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-80x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-80x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -40 zu 1600. Diese 1600 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1600, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-80x+1600-1600\right)$

= $-\left(x^2-80x+1600\right)-1·\left(-1600\right)$

= $-{\left(x-40\right)}^2+1600$

= $-{\left(x-40\right)}^2+1600$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(40|1600).

2. Weg

Von $-x^2+80x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+80x$	=	0
$x\left(-x+80\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(40|f(40)).

f(40) = $-{40}^2+80\cdot 40$ = $-1600+3200$ = 1600

also: S(40|1600).

Für x=40 bekommen wir also mit 1600 einen extremalen Wert von $-x^2+80x$