Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2-3x$	=	0
$x\left(2x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{3}{2}$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-10x$	=	0
$x\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $10$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+10}}{2}$ = 5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(5|f(5)) mit f(5) = $5^2-10\cdot 5$ = $25-50$ = -25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=10 , Scheitel: S(5|-25).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $x^2+2x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-3$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-3$

= ${\left(x+1\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-3$ = $1-2-3$ = -4

also: S(-1|-4).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $2x^2+8x-1$

= $2\left(x^2+4x\right)-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2+4x+4-4\right)-1$

= $2\left(x^2+4x+4\right)+2·\left(-4\right)-1$

= $2{\left(x+2\right)}^2-8-1$

= $2{\left(x+2\right)}^2-9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2+8x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2+8x$	=	0
$2x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = $2\cdot {\left(-2\right)}^2+8\cdot \left(-2\right)-1$ = $8-16-1$ = -9

also: S(-2|-9).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $-x^2+50x$

= $-\left(x^2-50x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-50x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-50x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -25 zu 625. Diese 625 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 625, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-50x+625-625\right)$

= $-\left(x^2-50x+625\right)-1·\left(-625\right)$

= $-{\left(x-25\right)}^2+625$

= $-{\left(x-25\right)}^2+625$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(25|625).

2. Weg

Von $-x^2+50x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+50x$	=	0
$x\left(-x+50\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(25|f(25)).

f(25) = $-{25}^2+50\cdot 25$ = $-625+1250$ = 625

also: S(25|625).

Für x=25 bekommen wir also mit 625 einen extremalen Wert von $-x^2+50x$