Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$5x^2-6x$	=	0
$x·\left(5x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{6}{5}$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-8x$	=	0
$x·\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+8}}{2}$ = 4 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(4|f(4)) mit f(4) = $4^2-8\cdot 4$ = $16-32$ = -16.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=8 , Scheitel: S(4|-16).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $x^2+2x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-2$ = $1-2-2$ = -3

also: S(-1|-3).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $x^2-2x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+4$

= $x^2-2x+1+1·\left(-1\right)+4$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+4$

= ${\left(x-1\right)}^2+3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = $1^2-2\cdot 1+4$ = $1-2+4$ = 3

also: S(1|3).

1. Weg

$\text{f(x)}=$ $-x^2+120x$

= $-\left(x^2-120x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-120x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-120x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -60 zu 3600. Diese 3600 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 3600, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-120x+3600-3600\right)$

= $-\left(x^2-120x+3600\right)-1·\left(-3600\right)$

= $-{\left(x-60\right)}^2+3600$

= $-{\left(x-60\right)}^2+3600$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(60|3600).

2. Weg

Von $-x^2+120x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+120x$	=	0
$x·\left(-x+120\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(60|f(60)).

f(60) = $-{60}^2+120\cdot 60$ = $-3600+7200$ = 3600

also: S(60|3600).

Für x=60 bekommen wir also mit 3600 einen extremalen Wert von $-x^2+120x$