Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform
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Nullstellen mit Nullprodukt
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
L={
Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
L={
;
Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.
Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|f(-1)) mit f(-1) = = = -3.
Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-2 und x2=0 , Scheitel: S(-1|-3).
x²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit .
1. Weg
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
=
=
=
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).
2. Weg
Wir betrachten nun nur . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie nur um nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).
f(-4) = = = -15
also: S(-4|-15).
ax²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit .
1. Weg
=
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
=
=
=
=
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-20).
2. Weg
Wir betrachten nun nur . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie nur um nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|f(3)).
f(3) = = = -20
also: S(3|-20).
Extremwertaufgaben (Anwend.)
Beispiel:
Ein Rechteck hat den Umfang cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.
1. Weg
=
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die durch 2x und quadriert diese Ergebnis -85 zu 7225. Diese 7225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 7225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
=
=
=
=
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(85|7225).
2. Weg
Von können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| x2 | = |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(85|f(85)).
f(85) = = = 7225
also: S(85|7225).
Für x=85 bekommen wir also mit 7225 einen extremalen Wert von