Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 - x = 0
x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3 x 2 +9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

3 x 2 +9x = 0
3 x ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

L={ -3 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -3+0 2 = -1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1.5|f(-1.5)) mit f(-1.5) = 3 ( -1,5 ) 2 +9( -1,5 ) = 6,75 -13,5 = -6.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-3 und x2=0 , Scheitel: S(-1.5|-6.75).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +6x -2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +6x -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +6x +9 -9 -2

= ( x +3 ) 2 -9 -2

= ( x +3 ) 2 -11

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-11).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +6x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +6x = 0
x ( x +6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +6 = 0 | -6
x2 = -6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|f(-3)).

f(-3) = ( -3 ) 2 +6( -3 ) -2 = 9 -18 -2 = -11

also: S(-3|-11).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -4x +3 .

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1. Weg

f(x)= 2 x 2 -4x +3

= 2( x 2 -2x ) +3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 -2x +1 -1 ) +3

= 2( x 2 -2x +1 ) + 2 · ( -1 ) +3

= 2 ( x -1 ) 2 -2 +3

= 2 ( x -1 ) 2 +1

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 -4x +3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 -4x = 0
2 x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 2 1 2 -41 +3 = 2 -4 +3 = 1

also: S(1|1).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +20x

= -( x 2 -20x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -20x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -20x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -10 zu 100. Diese 100 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 100, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -20x +100 -100 )

= -( x 2 -20x +100 ) -1 · ( -100 )

= - ( x -10 ) 2 +100

= - ( x -10 ) 2 +100

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(10|100).


2. Weg

Von - x 2 +20x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +20x = 0
x ( -x +20 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +20 = 0 | -20
-x = -20 |:(-1 )
x2 = 20

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(10|f(10)).

f(10) = - 10 2 +2010 = -100 +200 = 100

also: S(10|100).


Für x=10 bekommen wir also mit 100 einen extremalen Wert von - x 2 +20x