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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{(4 - x) \cdot (x + 3)}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(4 - x) \cdot (x + 3)$	=	0
$(- x + 4) \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{(4 - x) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+57}{(+7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+57}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{(4 - x) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+57}{(+7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+57}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{(4 - x) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+71}{"+0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+71}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{(4 - x) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+71}{"-0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+71}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{(4 - x) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{- x^{2} + x + 12}$

$\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{- x^{2} + x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x + 3}{- x^{2} + x + 12}$ = $\frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{5 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{5}{- 1}$ = $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{e^{3 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{3 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{2 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5}{e^{3 x} - e^{x}}$ = $\frac{5}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+5}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+5}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x - 1}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x - 1}{- x^{2} + 5 x - 6}$ = $\frac{- 5 x - 1}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x - 1}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-11}{- 1⋅"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-11}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x - 1}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-11}{- 1⋅"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-11}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x - 1}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-16}{- 1⋅(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-16}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x - 1}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-16}{- 1⋅(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-16}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x + 6}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 2) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{3 x + 6}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{3 x + 6}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{3}{x + 3}$

Für x → $- 2$ ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 6}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{3}{x + 3}$ → $\frac{3}{- 2 + 3}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 2$ | $3$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 6}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-3}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 6}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-3}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 2 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x - 2}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = 2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{- 1}{x - 2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} - 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{1}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{1}{x^{2} - 2 x}$

$\frac{1}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{1}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{1}{x^{2}} + 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x^{2}} + 1$ → $0 + 1$ → $1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x^{2}} + 1$ → $0 + 1$ → $1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,4 x}}{3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,4 x}}{3 x}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,4 x}}{3 x}$ → $\frac{\infty}{\infty}$ → $\infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞