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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x + 2}{- x^{2} + x + 20}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x + 2}{- x^{2} + x + 20}$ = $\frac{4 x + 2}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-14}{- 1⋅"-0" ⋅ (-9)}$ = $\frac{-14}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-14}{- 1⋅"+0" ⋅ (-9)}$ = $\frac{-14}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+22}{- 1⋅(+9) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+22}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+22}{- 1⋅(+9) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+22}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{4 x + 2}{- x^{2} + x + 20}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{1}{x} + \frac{20}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{20}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{- x^{2} + x + 20}$ = $\frac{\frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{20}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{- 1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3}{- 5 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 5 - x$	=	0
$- x - 5$	=	0	\| $+ 5$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 5}{⟶}$ $- 5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3}{- 5 - x}$ → $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 5}{⟶}$ $- 5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3}{- 5 - x}$ → $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 5$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$ = $\frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+28}{- 1⋅"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+28}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+28}{- 1⋅"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+28}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+52}{- 1⋅(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+52}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{- (x - 2) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+52}{- 1⋅(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+52}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{x - 4}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x$	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{ $4$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $4$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -4) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{x - 4}$ = $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{x - 4}$ = $x - 2$

Für x → $4$ ⇒ f(x)= $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{x - 4}$ = $x - 2$ → $4 - 2$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $4$ | $2$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -6 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-6 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 9 x + 18}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 1)}{x^{2} + 9 x + 18}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 1}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x + 1)}^{2}}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{- x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 9 x + 18}$

$\frac{- x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{- 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x + 1)}^{2}}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = 1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} - 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 1}$

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,3 x}}{4 x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,3 x}}{4 x^{2}}$ → $\frac{\infty}{\infty}$ → $\infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,3 x}}{4 x^{2}}$ → $\frac{0}{\infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $2 x \cdot e^{- 0,2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2 x \cdot e^{- 0,2 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2 x \cdot e^{- 0,2 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞