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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{(- 4 + x) (x + 3)}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(- 4 + x) (x + 3)$	=	0
$(x - 4) (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₁	=	$4$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{(- 4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{-93}{(-7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-93}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{(- 4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{-93}{(-7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-93}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{(- 4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{+47}{"-0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+47}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{(- 4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{+47}{"+0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+47}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{(- 4 + x) (x + 3)}$ = $\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{x^{2} - x - 12}$

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{x^{2} - x - 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 x - 5 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{2 x - 5 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 3}{x^{2} - x - 12}$ = $\frac{2 x - 5 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty - 5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3}{2 + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 + x$	=	0
$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3}{2 + x}$ → $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3}{2 + x}$ → $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{- x^{2} + x + 20}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{- x^{2} + x + 20}$ = $\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+68}{- 1⋅"-0" ⋅ (-9)}$ = $\frac{+68}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+68}{- 1⋅"+0" ⋅ (-9)}$ = $\frac{+68}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+149}{- 1⋅(+9) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+149}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+149}{- 1⋅(+9) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+149}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x - 2}{(x + 1) (x + 2)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- x - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ = $\frac{- x - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ = $- \frac{1}{x + 1}$

Für x → $- 2$ ⇒ f(x)= $\frac{- x - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ = $- \frac{1}{x + 1}$ → $- \frac{1}{- 2 + 1}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 2$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(0|0) und N₂(-2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 0) \cdot (x + 2))}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 2 x)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 2 x}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + 2 x)}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{4}{x})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + 2 x)}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 2 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von - nach +, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x - 2}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = 2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 5}{e^{x}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 5}{e^{x}}$ → $0 + \frac{- 5}{0}$ → $0 - \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 5}{e^{x}}$ → $0 + \frac{- 5}{\infty}$ → $0 + 0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $5 x^{2} \cdot e^{- 0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $5 x^{2} \cdot e^{- 0,5 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $5 x^{2} \cdot e^{- 0,5 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞