Aufgabenbeispiele von Asymptoten

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = -4 x 2 -3x -1 x 2 -16

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 -16 = 0 | +16
x 2 = 16 | 2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

also Definitionsmenge D=R\{ -4 ; 4 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-4 x 2 -3x -1 x 2 -16 = -4 x 2 -3x -1 ( x +4 ) · ( x -4 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -4 (von links und von rechts)

Für x   x<-4   -4 - ⇒ f(x)= -4 x 2 -3x -1 ( x +4 ) · ( x -4 ) -53 "-0" ⋅ (-8) = -53 "+0" -

Für x   x>-4   -4 + ⇒ f(x)= -4 x 2 -3x -1 ( x +4 ) · ( x -4 ) -53 "+0" ⋅ (-8) = -53 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -4 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 4 (von links und von rechts)

Für x   x<4   4 - ⇒ f(x)= -4 x 2 -3x -1 ( x +4 ) · ( x -4 ) -77 (+8) ⋅ "-0" = -77 "-0"

Für x   x>4   4 + ⇒ f(x)= -4 x 2 -3x -1 ( x +4 ) · ( x -4 ) -77 (+8) ⋅ "+0" = -77 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 4 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

-4 x 2 -3x -1 x 2 -16 = x 2 · ( -4 - 3 x - 1 x 2 ) x 2 · ( 1 - 16 x 2 ) = -4 - 3 x - 1 x 2 1 - 16 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -4 x 2 -3x -1 x 2 -16 = -4 - 3 x - 1 x 2 1 - 16 x 2 -4 +0+0 1 +0 = -4 1 = -4

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = -4 .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3x -1 x +1

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x +1 = 0 | -1
x = -1

also Definitionsmenge D=R\{ -1 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -3x -1 x +1 +2 "-0" -

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -3x -1 x +1 +2 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3 ( 2 + x ) ( x -4 )

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( 2 + x ) ( x -4 ) = 0
( x +2 ) ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +2 = 0 | -2
x1 = -2

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

also Definitionsmenge D=R\{ -2 ; 4 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -2 (von links und von rechts)

Für x   x<-2   -2 - ⇒ f(x)= -3 ( 2 + x ) ( x -4 ) -3 "-0" ⋅ (-6) = -3 "+0" -

Für x   x>-2   -2 + ⇒ f(x)= -3 ( 2 + x ) ( x -4 ) -3 "+0" ⋅ (-6) = -3 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -2 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 4 (von links und von rechts)

Für x   x<4   4 - ⇒ f(x)= -3 ( 2 + x ) ( x -4 ) -3 (+6) ⋅ "-0" = -3 "-0"

Für x   x>4   4 + ⇒ f(x)= -3 ( 2 + x ) ( x -4 ) -3 (+6) ⋅ "+0" = -3 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 4 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -2x -6 ( x +1 ) ( x +3 )

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( x +1 ) ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

also Definitionsmenge D=R\{ -3 ; -1 }

Wir untersuchen das Verhalten für x → -3 und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

-2x -6 ( x +1 ) ( x +3 ) = -2x -6 ( x +1 ) ( x +3 ) = - 2 x +1

Für x → -3 ⇒ f(x)= -2x -6 ( x +1 ) ( x +3 ) = - 2 x +1 - 2 -3 +1 = 1

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(-3 | 1 )


Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -2x -6 ( x +1 ) ( x +3 ) -4 "-0" ⋅ (+2) = -4 "-0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -2x -6 ( x +1 ) ( x +3 ) -4 "+0" ⋅ (+2) = -4 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = -3 und bei x2 = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N1(-4|0) und N2(-1|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=-3 und x2=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x +3 ) · ( x +2 ) = ? x 2 +5x +6

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x +4 ) · ( x +1 ) ) x 2 +5x +6 = ?⋅ ( x 2 +5x +4 ) x 2 +5x +6

Jetzt testen wir x 2 +5x +4 ( x +3 ) · ( x +2 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-( x 2 +5x +4 ) ( x +3 ) · ( x +2 ) = - x 2 -5x -4 x 2 +5x +6

- x 2 -5x -4 x 2 +5x +6 = x 2 · ( -1 - 5 x - 4 x 2 ) x 2 · ( 1 + 5 x + 6 x 2 ) = -1 - 5 x - 4 x 2 1 + 5 x + 6 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= - x 2 -5x -4 x 2 +5x +6 = -1 - 5 x - 4 x 2 1 + 5 x + 6 x 2 -1 +0+0 1 +0+0 = -1 1 = -1

Mit f(x)= -( x 2 +5x +4 ) ( x +3 ) · ( x +2 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -3 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von - nach +, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? x +3

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= 1 x +3 , passen bereits die Definitionslücke bei x = -3 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

1 x +3 = x · 1 x x · ( 1 + 3 x ) = 1 x 1 + 3 x

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 1 x +3 = 1 x 1 + 3 x 0 1 +0 = 0 1 = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x   x<-3   -3- ⇒ f(x)= 1 x +3 +1 "-0" -

Für x   x>-3   -3+ ⇒ f(x)= 1 x +3 +1 "+0"

Mit f(x)= 1 x +3 sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e -0,2x x für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= e -0,2x x - - ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e -0,2x x 0 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = -4 +4 e 0,2x für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= -4 +4 e 0,2x -4 +0 -4

Für x → ∞ ⇒ f(x)= -4 +4 e 0,2x -4 +

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = -4 .