Mathebattle EduRandomtasks

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{2} - x + 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 1) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x + 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+8}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+8}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x + 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+8}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+8}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x + 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x + 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x^{2} - x + 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{x^{2} - x + 2}{x^{2} + x - 2}$

$\frac{x^{2} - x + 2}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x + 2}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{1}{1}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 4}{e^{2 x} - e^{x}}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x - 4}{e^{2 x} - e^{x}}$ = $\frac{4 x - 4}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x - 1}{- x^{2} - x + 12}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x - 1}{- x^{2} - x + 12}$ = $\frac{3 x - 1}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 1}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-13}{- 1⋅"-0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-13}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 1}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-13}{- 1⋅"+0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-13}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 1}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+8}{- 1⋅(+7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+8}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 1}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+8}{- 1⋅(+7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+8}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x}{x^{2} + 2 x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{- x}{x \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- x}{x \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- x}{x \cdot (x + 2)}$ = $- \frac{1}{x + 2}$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{- x}{x \cdot (x + 2)}$ = $- \frac{1}{x + 2}$ → $- \frac{1}{0 + 2}$ = $- \frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $0$ | $- \frac{1}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 3 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} - 3 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 12 x - 12}{x^{2} - 3 x}$

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x - 12}{x^{2} - 3 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{3}{x})}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 12 x - 12}{x^{2} - 3 x}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 0 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 0)}^{2}}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2}}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{{(x + 0)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 0)}^{2}}$ = $\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{x^{2}}$

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{x^{2}}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 - \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1}$ = $\frac{2 - \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{x^{2}}$ = $\frac{2 - \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}}{1}$ → $\frac{2 + 0 + 0}{1}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$

Mit f(x)= $\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 0)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 5 x^{2} \cdot e^{- 0,4 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 5 x^{2} \cdot e^{- 0,4 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 5 x^{2} \cdot e^{- 0,4 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 x^{2} \cdot e^{0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 x^{2} \cdot e^{0,5 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 x^{2} \cdot e^{0,5 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞