Aufgabenbeispiele von Asymptoten

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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = x -5 ( -2 + x ) ( x -4 )

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( -2 + x ) ( x -4 ) = 0
( x -2 ) ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x1 = 2

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

also Definitionsmenge D=R\{ 2 ; 4 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= x -5 ( -2 + x ) ( x -4 ) -3 "-0" ⋅ (-2) = -3 "+0" -

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= x -5 ( -2 + x ) ( x -4 ) -3 "+0" ⋅ (-2) = -3 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 4 (von links und von rechts)

Für x   x<4   4 - ⇒ f(x)= x -5 ( -2 + x ) ( x -4 ) -1 (+2) ⋅ "-0" = -1 "-0"

Für x   x>4   4 + ⇒ f(x)= x -5 ( -2 + x ) ( x -4 ) -1 (+2) ⋅ "+0" = -1 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 4 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
x -5 ( -2 + x ) ( x -4 ) = x -5 x 2 -6x +8

x -5 x 2 -6x +8 = x 2 · ( 1 x - 5 x 2 ) x 2 · ( 1 - 6 x + 8 x 2 ) = 1 x - 5 x 2 1 - 6 x + 8 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x -5 x 2 -6x +8 = 1 x - 5 x 2 1 - 6 x + 8 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 2 e 3x - e x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

e 3x - e x = 0
( e 2x -1 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x -1 = 0 | +1
e 2x = 1 |ln(⋅)
2x = 0 |:2
x1 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

2 e 3x - e x = 2 ( e 2x -1 ) · e x

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 2 ( e 2x -1 ) · e x +2 "-0" ⋅ (+1) = +2 "-0" -

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 2 ( e 2x -1 ) · e x +2 "+0" ⋅ (+1) = +2 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -4 e 3x - e x

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

e 3x - e x = 0
( e 2x -1 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x -1 = 0 | +1
e 2x = 1 |ln(⋅)
2x = 0 |:2
x1 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-4 e 3x - e x = -4 ( e 2x -1 ) · e x

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= -4 ( e 2x -1 ) · e x -4 "-0" ⋅ (+1) = -4 "-0"

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= -4 ( e 2x -1 ) · e x -4 "+0" ⋅ (+1) = -4 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 3x -9 ( x -2 ) ( x -3 )

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( x -2 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x1 = 2

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

also Definitionsmenge D=R\{ 2 ; 3 }

Wir untersuchen das Verhalten für x → 3 und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -3) erkennen, die wir dann kürzen können:

3x -9 ( x -2 ) ( x -3 ) = 3x -9 ( x -2 ) ( x -3 ) = 3 x -2

Für x → 3 ⇒ f(x)= 3x -9 ( x -2 ) ( x -3 ) = 3 x -2 3 3 -2 = 3

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(3 | 3 )


Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= 3x -9 ( x -2 ) ( x -3 ) -3 "-0" ⋅ (-1) = -3 "+0" -

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= 3x -9 ( x -2 ) ( x -3 ) -3 "+0" ⋅ (-1) = -3 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= -2 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

? ( x +2 ) 2 = ? x 2 +4x +4

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x +1 ) x 2 +4x +4

Jetzt testen wir x +1 ( x +2 ) 2 auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
x +1 ( x +2 ) 2 = x +1 x 2 +4x +4

x +1 x 2 +4x +4 = x 2 · ( 1 x + 1 x 2 ) x 2 · ( 1 + 4 x + 4 x 2 ) = 1 x + 1 x 2 1 + 4 x + 4 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x +1 x 2 +4x +4 = 1 x + 1 x 2 1 + 4 x + 4 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Mit f(x)= x +1 ( x +2 ) 2 sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 3 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(5|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=3 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

? ( x -3 ) 2 = ? x 2 -6x +9

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x -5 ) x 2 -6x +9

Jetzt testen wir x -5 ( x -3 ) 2 auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-2 ( x -5 ) 2 ( x -3 ) 2 = -2 x 2 +20x -50 x 2 -6x +9

-2 x 2 +20x -50 x 2 -6x +9 = x 2 · ( -2 + 20 x - 50 x 2 ) x 2 · ( 1 - 6 x + 9 x 2 ) = -2 + 20 x - 50 x 2 1 - 6 x + 9 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -2 x 2 +20x -50 x 2 -6x +9 = -2 + 20 x - 50 x 2 1 - 6 x + 9 x 2 -2 +0+0 1 +0+0 = -2 1 = -2

Mit f(x)= -2 ( x -5 ) 2 ( x -3 ) 2 sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e 0,5x +2 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e 0,5x +2 0 +2 2

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e 0,5x +2 +2

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 2 .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = - e -0,5x -4 für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= - e -0,5x -4 - -4 -

Für x → ∞ ⇒ f(x)= - e -0,5x -4 0 -4 -4

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = -4 .