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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{x^{2} - 6 x + 8}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{x^{2} - 6 x + 8}$ = $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+31}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+31}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+31}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+31}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+181}{"-0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{+181}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+181}{"+0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{+181}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{x^{2} - 6 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 x + 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{2 x + 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{x^{2} - 6 x + 8}$ = $\frac{2 x + 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty + 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x + 4}{x + 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{4 x + 4}{x + 1}$ = $\frac{4 x + 4}{x + 1}$ = $4$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 4}{x + 1}$ = $4$ → $4$ = $4$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $4$ )

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3}{x^{2} + 8 x + 16}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3}{x^{2} + 8 x + 16}$ = $\frac{3}{{(x + 4)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3}{{(x + 4)}^{2}}$ → $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3}{{(x + 4)}^{2}}$ → $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ ohne VZW (beides + )

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x - 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 2) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 3 x - 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- 3 x - 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{3}{x + 2}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{3}{x + 2}$ → $- \frac{3}{- 1 + 2}$ = $- 3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $- 3$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(2|0) und N₂(-3|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 3 x + 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 2) \cdot (x + 3))}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + x - 6)}{x^{2} + 3 x + 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + x - 6}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 3 x + 18}{x^{2} + 3 x + 2}$

$\frac{- 3 x^{2} - 3 x + 18}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{3}{x} + \frac{18}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{3}{x} + \frac{18}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 3 x + 18}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{- 3 - \frac{3}{x} + \frac{18}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -1 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 1 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-1 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 1)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x + 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall 1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $x^{2} + 1$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2}}$ = $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ = $\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{1 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{1}{1}$ = $1$

Mit f(x)= $\frac{x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{5}{x} - 5$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x} - 5$ → $0 - 5$ → $- 5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x} - 5$ → $0 - 5$ → $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $2 - e^{0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2 - e^{0,5 x}$ → $2 + 0$ → $2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2 - e^{0,5 x}$ → $2 - \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $2$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞