senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-8x+16$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $4$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-5x^3-4x^2-4x+3}{x^2-8x+16}$ = $\frac{-5x^3-4x^2-4x+3}{{\left(x-4\right)}^2}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-4x+3}{{\left(x-4\right)}^2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>397</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-4x+3}{{\left(x-4\right)}^2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>397</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ ohne VZW (beides - )

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{-5x^3-4x^2-4x+3}{x^2-8x+16}$ = $\frac{x^2·\left(-5x-4-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}\right)}$ = $\frac{-5x-4-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-4x+3}{x^2-8x+16}$ = $\frac{-5x-4-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}$ → = $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4x}-1$	=	0	| $+1$
$e^{4x}$	=	$1$	|ln(⋅)
$4x$	=	0	|:$4$
$x$	=	0	≈ 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{e^{4x}-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{e^{4x}-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $2$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$ = $\frac{4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$ = $\frac{4}{x-2}$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$ = $\frac{4}{x-2}$ → $\frac{4}{-1-2}$ = $-\frac{4}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $-\frac{4}{3}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $-2$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{3x+6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}$ = $\frac{3x+6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}$ = $\frac{3}{x+4}$

Für x → $-2$ ⇒ f(x)= $\frac{3x+6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}$ = $\frac{3}{x+4}$ → $\frac{3}{-2+4}$ = $\frac{3}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-2$| $\frac{3}{2}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x+6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x+6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-2}{{\left(x+0\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x-2\right)}^2}{{\left(x+0\right)}^2}$ = $\frac{-3x^2+12x-12}{x^2}$

$\frac{-3x^2+12x-12}{x^2}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{12}{x}-\frac{12}{x^2}\right)}{x^2·1}$ = $\frac{-3+\frac{12}{x}-\frac{12}{x^2}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+12x-12}{x^2}$ = $\frac{-3+\frac{12}{x}-\frac{12}{x^2}}{1}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x-2\right)}^2}{{\left(x+0\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x-3\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^2}$ = $\frac{-3x^2+18x-27}{x^2-2x+1}$

$\frac{-3x^2+18x-27}{x^2-2x+1}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{18}{x}-\frac{27}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{18}{x}-\frac{27}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+18x-27}{x^2-2x+1}$ = $\frac{-3+\frac{18}{x}-\frac{27}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x-3\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,2}x}}{-2x}$ → $\frac{0}{\infty }$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,2}x}}{-2x}$ → $\frac{\infty }{-\infty }$ → $-\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-5x^2·e^{-\mathrm{0,4}x}$ → $-\infty ·\infty$ → $-\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-5x^2·e^{-\mathrm{0,4}x}$ → $-\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).