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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-87}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-87}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-87}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-87}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-3}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-3}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 5 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- 5 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 3 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{- 5 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{- 5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 5}{1}$ = $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x + 2}{x - 3}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{x - 3}$ → $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{x - 3}$ → $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x + 5}{x^{2} - 4 x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{0; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x + 5}{x^{2} - 4 x}$ = $\frac{2 x + 5}{x \cdot (x - 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 5}{x \cdot (x - 4)}$ → $\frac{+5}{"-0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 5}{x \cdot (x - 4)}$ → $\frac{+5}{"+0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 5}{x \cdot (x - 4)}$ → $\frac{+13}{(+4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+13}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 5}{x \cdot (x - 4)}$ → $\frac{+13}{(+4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+13}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x + 4}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 1) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 4}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 4}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 4}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+2}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 4}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+2}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(1|0) und N₂(-3|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 3 x + 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 1) \cdot (x + 3))}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 2 x - 3)}{x^{2} + 3 x + 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 2 x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + 2 x - 3)}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 6}{x^{2} + 3 x + 2}$

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 6}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 6}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + 2 x - 3)}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 1}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x - 1)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} - 7 x + 10}$

$\frac{- x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{- 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x - 1)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{5}{x^{3}} + 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x^{3}} + 2$ → $0 + 2$ → $2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x^{3}} + 2$ → $0 + 2$ → $2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $2$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,5 x}}{- 2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,5 x}}{- 2 x}$ → $\frac{\infty}{\infty}$ → $\infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,5 x}}{- 2 x}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞