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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x + 1}{(x + 4) \cdot (x + 4)}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(x + 4) \cdot (x + 4)$	=	0
${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x + 1}{(x + 4) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{3 x + 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 1}{{(x + 4)}^{2}}$ → $\frac{-11}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 1}{{(x + 4)}^{2}}$ → $\frac{-11}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ ohne VZW (beides - )

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{3 x + 1}{(x + 4) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{3 x + 1}{x^{2} + 8 x + 16}$

$\frac{3 x + 1}{x^{2} + 8 x + 16}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 1}{x^{2} + 8 x + 16}$ = $\frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5}{5 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$5 - x$	=	0
$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $5$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{5 - x}$ → $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{5 - x}$ → $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x + 3}{- x^{2} + 7 x - 12}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x + 3}{- x^{2} + 7 x - 12}$ = $\frac{- 2 x + 3}{- (x - 3) \cdot (x - 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 3}{- (x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-3}{- 1⋅"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 3}{- (x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-3}{- 1⋅"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 3}{- (x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-5}{- 1⋅(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 3}{- (x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-5}{- 1⋅(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x - 2) \cdot (x - 3)}{- 3 x + 15}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 3 x + 15$	=	0	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $5$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{(x - 2) \cdot (x - 3)}{- 3 x + 15}$ → $\frac{+6}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{(x - 2) \cdot (x - 3)}{- 3 x + 15}$ → $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-1|0) und N₂(1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 1) \cdot (x - 1))}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 1)}{x^{2} + 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 1}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 1)}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 2 + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{- 2 + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 2 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 1)}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -6 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-1|0) und N₂(-2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-6 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 9 x + 18}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 1) \cdot (x + 2))}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 3 x + 2)}{x^{2} + 9 x + 18}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + 3 x + 2)}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 6 x - 4}{x^{2} + 9 x + 18}$

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x - 4}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{6}{x} - \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{6}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 6 x - 4}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{- 2 - \frac{6}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + 3 x + 2)}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,1 x}}{- x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{- x^{2}}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{- x^{2}}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 e^{0,5 x} - 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 e^{0,5 x} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 e^{0,5 x} - 1$ → $\infty - 1$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞