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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{- x^{2} + 2 x + 8}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4}{- x^{2} + 2 x + 8}$ = $\frac{- 4}{- (x + 2) \cdot (x - 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 2) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅"-0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 2) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅"+0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 2) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅(+6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 2) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅(+6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 4}{- x^{2} + 2 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{- \frac{4}{x^{2}}}{- 1 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- x^{2} + 2 x + 8}$ = $\frac{- \frac{4}{x^{2}}}{- 1 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{- 1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x + 4}{x + 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{4 x + 4}{x + 1}$ = $\frac{4 x + 4}{x + 1}$ = $4$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 4}{x + 1}$ = $4$ → $4$ = $4$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $4$ )

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 5}{x^{2} - 3 x + 2}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 5}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-11}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-11}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-11}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-11}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 3) \cdot (x + 2)}{- 3 x - 6}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{(x + 3) \cdot (x + 2)}{- 3 x - 6}$ = $\frac{(x + 3) \cdot (x + 2)}{- 3 x - 6}$ = $- \frac{1}{3} (x + 3)$

Für x → $- 2$ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 3) \cdot (x + 2)}{- 3 x - 6}$ = $- \frac{1}{3} (x + 3)$ → $- \frac{1}{3} (- 2 + 3)$ = $- \frac{1}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 2$ | $- \frac{1}{3}$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 5 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} - 5 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x - 2}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 4}$

$\frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x - 2}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(5|0) und N₂(2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 7 x + 12}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 5) \cdot (x - 2))}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 7 x + 10)}{x^{2} - 7 x + 12}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} - 7 x + 10)}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 21 x - 30}{x^{2} - 7 x + 12}$

$\frac{- 3 x^{2} + 21 x - 30}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{21}{x} - \frac{30}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{21}{x} - \frac{30}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 21 x - 30}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{- 3 + \frac{21}{x} - \frac{30}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} - 7 x + 10)}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{4}{x^{3}} - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{4}{x^{3}} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{4}{x^{3}} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 x \cdot e^{- 0,4 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 x \cdot e^{- 0,4 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 x \cdot e^{- 0,4 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞