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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- x^{2} - 5 x - 4}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- x^{2} - 5 x - 4}$ = $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- (x + 4) \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- (x + 4) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-257}{- 1⋅"-0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{-257}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- (x + 4) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-257}{- 1⋅"+0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{-257}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- (x + 4) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-2}{- 1⋅(+3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- (x + 4) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-2}{- 1⋅(+3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- x^{2} - 5 x - 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (3 x - 5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{3 x - 5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{- 1 - \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 3}{- x^{2} - 5 x - 4}$ = $\frac{3 x - 5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{- 1 - \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty - 5 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x + 2}{- 5 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 5 - x$	=	0
$- x - 5$	=	0	\| $+ 5$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 5}{⟶}$ $- 5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 2}{- 5 - x}$ → $\frac{+12}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 5}{⟶}$ $- 5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 2}{- 5 - x}$ → $\frac{+12}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 5$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x + 5}{x^{2} + 4 x + 4}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x + 5}{x^{2} + 4 x + 4}$ = $\frac{- x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$ → $\frac{+7}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$ → $\frac{+7}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ ohne VZW (beides + )

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x}{x^{2} + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x}{x^{2} + x}$ = $\frac{- 2 x}{x \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 2 x}{x \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- 2 x}{x \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{2}{x + 1}$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x}{x \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{2}{x + 1}$ → $- \frac{2}{0 + 1}$ = $- 2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $0$ | $- 2$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+2}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+2}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x - 3) \cdot (x - 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $- (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 1)}{(x - 3) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x + 3}$

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 1)}{(x - 3) \cdot (x - 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 5 x + 6}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 1)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 1}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x + 1}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$

$\frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{x^{2}} - 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} - 3$ → $0 - 3$ → $- 3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} - 3$ → $0 - 3$ → $- 3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 3 - 4 e^{0,2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 3 - 4 e^{0,2 x}$ → $- 3 + 0$ → $- 3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 3 - 4 e^{0,2 x}$ → $- 3 - \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞