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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} + 2 x - 8}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} + 2 x - 8}$ = $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 2) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+365}{(-6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+365}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+365}{(-6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+365}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-43}{"-0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{-43}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-43}{"+0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{-43}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} + 2 x - 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 5 x + 2 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{- 5 x + 2 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} + 2 x - 8}$ = $\frac{- 5 x + 2 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x + 4}{- 4 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 4 - x$	=	0
$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 4}{- 4 - x}$ → $\frac{+16}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 4}{- 4 - x}$ → $\frac{+16}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x^{2} - 5 x - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3 x^{2} - 5 x - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 5 x - 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 5 x - 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-43}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-43}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 5 x - 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-43}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-43}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 5 x - 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-69}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-69}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 5 x - 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-69}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-69}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 2) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{1}{x + 1}$

Für x → $- 2$ ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{1}{x + 1}$ → $\frac{1}{- 2 + 1}$ = $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 2$ | $- 1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+1}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+1}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -6 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-4|0) und N₂(-2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-6 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 9 x + 18}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 4) \cdot (x + 2))}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 6 x + 8)}{x^{2} + 9 x + 18}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 6 x + 8}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 6 x + 8)}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{- x^{2} - 6 x - 8}{x^{2} + 9 x + 18}$

$\frac{- x^{2} - 6 x - 8}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 6 x - 8}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{- 1 - \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 6 x + 8)}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} + x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} + x}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 12 x - 12}{x^{2} + x}$

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x - 12}{x^{2} + x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x})}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 12 x - 12}{x^{2} + x}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,4 x}}{- 4 x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,4 x}}{- 4 x^{2}}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,4 x}}{- 4 x^{2}}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 2 x^{2} \cdot e^{0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 2 x^{2} \cdot e^{0,3 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 2 x^{2} \cdot e^{0,3 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞