senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-2-x\right)\left(x+3\right)$	=	0
$\left(-x-2\right)\left(x+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $-2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{\left(-2-x\right)\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>110</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>110</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{\left(-2-x\right)\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>110</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>110</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{\left(-2-x\right)\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{\left(-2-x\right)\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{\left(-2-x\right)\left(x+3\right)}$ = $\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{-x^2-5x-6}$

$\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{-x^2-5x-6}$ = $\frac{x^2·\left(-5x-4-\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(-1-\frac{5}{x}-\frac{6}{x^2}\right)}$ = $\frac{-5x-4-\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}}{-1-\frac{5}{x}-\frac{6}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3-4x^2-5x-4}{-x^2-5x-6}$ = $\frac{-5x-4-\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}}{-1-\frac{5}{x}-\frac{6}{x^2}}$ → = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x+3$	=	0	| $-3$
$x$	=	$-3$

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{2}{x+3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x+3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(4+x\right)\left(x-4\right)$	=	0
$\left(x+4\right)\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(4+x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(4+x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(4+x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(4+x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2x+2$	=	0	| $-2$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$}

und den Zähler:

$\frac{x^2-1}{2x+2}$ = $\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2-1}{2x+2}$ = $\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$ = $\frac{1}{2}\left(x-1\right)$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2-1}{2x+2}$ = $\frac{1}{2}\left(x-1\right)$ → $\frac{1}{2}\left(-1-1\right)$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $-1$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-6 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+5}{\left(x+3\right)·\left(x+6\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2{\left(x+5\right)}^2}{\left(x+3\right)·\left(x+6\right)}$ = $\frac{-2x^2-20x-50}{x^2+9x+18}$

$\frac{-2x^2-20x-50}{x^2+9x+18}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{20}{x}-\frac{50}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{9}{x}+\frac{18}{x^2}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{20}{x}-\frac{50}{x^2}}{1+\frac{9}{x}+\frac{18}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-20x-50}{x^2+9x+18}$ = $\frac{-2-\frac{20}{x}-\frac{50}{x^2}}{1+\frac{9}{x}+\frac{18}{x^2}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2{\left(x+5\right)}^2}{\left(x+3\right)·\left(x+6\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-4}{{\left(x-2\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x-4\right)}^2}{{\left(x-2\right)}^2}$ = $\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-4x+4}$

$\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-4x+4}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-4x+4}$ = $\frac{-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x-4\right)}^2}{{\left(x-2\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{4}{x^3}-5$ → $0-5$ → $-5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{4}{x^3}-5$ → $0-5$ → $-5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-5$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,1}x}}{4x^2}$ → $\frac{0}{\infty }$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,1}x}}{4x^2}$ → $\frac{\infty }{\infty }$ → $\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).