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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{(- 2 + x) (x + 2)}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(- 2 + x) (x + 2)$	=	0
$(x - 2) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{(- 2 + x) (x + 2)}$ → $\frac{+2}{(-4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{(- 2 + x) (x + 2)}$ → $\frac{+2}{(-4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{(- 2 + x) (x + 2)}$ → $\frac{+22}{"-0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{+22}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{(- 2 + x) (x + 2)}$ → $\frac{+22}{"+0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{+22}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{(- 2 + x) (x + 2)}$ = $\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{x^{2} - 4}$

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{x^{2} - 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (4 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{4 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 5 x - 4}{x^{2} - 4}$ = $\frac{4 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{4 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{4}{1}$ = $4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $4$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x + 1}{e^{2 x} - e^{x}}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{x} - 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x + 1}{e^{2 x} - e^{x}}$ = $\frac{4 x + 1}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 1}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 1}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x^{2} - x - 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3 x^{2} - x - 4}{x^{2} - 2 x - 3}$ = $\frac{- 3 x^{2} - x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-6}{(-4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-6}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-6}{(-4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-6}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-34}{"-0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{-34}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-34}{"+0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{-34}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x}{(x + 1) (x + 2)}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x}{(x + 1) (x + 2)}$ → $\frac{-2}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x}{(x + 1) (x + 2)}$ → $\frac{-2}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x}{(x + 1) (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x}{(x + 1) (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 1 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x - 1)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x + 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} - 2 x + 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ = $\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{x^{2} - 2 x + 1}$

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{x^{2} - 2 x + 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 - \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{2 - \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{x^{2} - 2 x + 1}$ = $\frac{2 - \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$

Mit f(x)= $\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(1|0) und N₂(-1|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 1) \cdot (x + 1))}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 1)}{x^{2} - 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 1}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} - 1)}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x}$

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 1 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{- 1 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} - 1)}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,5 x}}{2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,5 x}}{2 x}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,5 x}}{2 x}$ → $\frac{0}{\infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $1 - 4 e^{- 0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $1 - 4 e^{- 0,1 x}$ → $1 - \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $1 - 4 e^{- 0,1 x}$ → $1 + 0$ → $1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞