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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{(- 1 - x) \cdot (x - 3)}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(- 1 - x) \cdot (x - 3)$	=	0
$(- x - 1) \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{(- 1 - x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{(- 1 - x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{(- 1 - x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-40}{(-4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-40}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{(- 1 - x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-40}{(-4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-40}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{(- 1 - x) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{- x^{2} + 2 x + 3}$

$\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{- x^{2} + 2 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 4 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 4 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{- 1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 1}{- x^{2} + 2 x + 3}$ = $\frac{- 4 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{- 1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 4 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 4}{- 1}$ = $4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $4$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x - 5}{e^{4 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x - 5}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{- x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{x^{2} + x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4}{x^{2} + x}$ = $\frac{- 4}{x \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-4}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-4}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x - 9}{x^{2} - 2 x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{0; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x - 9}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{3 x - 9}{x \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 9}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-9}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-9}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 9}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-9}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-9}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 9}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-3}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 9}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-3}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(0|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 0)}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{?⋅ (x)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{x}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- x^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- x^{2}}{x^{2} - 4 x + 3}$

$\frac{- x^{2}}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1)}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2}}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{- 1}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- x^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(5|0) besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - x - 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 5)}{x^{2} - x - 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 5}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- x^{2} + 10 x - 25}{x^{2} - x - 2}$

$\frac{- x^{2} + 10 x - 25}{x^{2} - x - 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{10}{x} - \frac{25}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 + \frac{10}{x} - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 10 x - 25}{x^{2} - x - 2}$ = $\frac{- 1 + \frac{10}{x} - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x - 5)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,1 x}}{3 x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{3 x^{2}}$ → $\frac{\infty}{\infty}$ → $\infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{3 x^{2}}$ → $\frac{0}{\infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $1 + e^{0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $1 + e^{0,3 x}$ → $1 + 0$ → $1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $1 + e^{0,3 x}$ → $1 + \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞