Mathebattle EduRandomtasks

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - x}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{0; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - x}$ = $\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-7}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-7}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-7}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-7}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x})}$ = $\frac{- 5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - x}$ = $\frac{- 5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}$ → $\frac{- 5 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 5}{1}$ = $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{2 - x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 - x$	=	0
$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{2 - x}$ → $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{2 - x}$ → $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 1}{x^{2} + x - 12}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 1}{x^{2} + x - 12}$ = $\frac{- 1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{(-7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{(-7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x - 5}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $5$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $5$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -5) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x - 5}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{x - 5}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{1}{x - 3}$

Für x → $5$ ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{1}{x - 3}$ → $\frac{1}{5 - 3}$ = $\frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $5$ | $\frac{1}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-2}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-2}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(0|0) besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 8 x + 15}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 0)}{x^{2} + 8 x + 15}$ = $\frac{?⋅ (x)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Jetzt testen wir $\frac{x}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2)}{x^{2} \cdot (1 + \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2}{1 + \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$ = $\frac{- 2}{1 + \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} - 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $- (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 1)}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 1)}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 2 x \cdot e^{- 0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 2 x \cdot e^{- 0,1 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 2 x \cdot e^{- 0,1 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,3 x}}{- 3 x^{2}} + 4$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,3 x}}{- 3 x^{2}} + 4$ → $\frac{\infty}{- \infty} + 4$ → $- \infty + 4$ → $- \infty$ $\frac{e^{- 0,3 x}}{- 3 x^{2}}$ → $- \infty$ : ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,3 x}}{- 3 x^{2}} + 4$ → $\frac{0}{- \infty} + 4$ → $0 + 4$ → $4$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $4$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞