senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-4$	=	0	| $+4$
$x^2$	=	$4$	|
x1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
x2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$; $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{x^2-4}$ = $\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>50</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>50</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>50</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>50</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{x^2-4}$ = $\frac{x^2·\left(-5x+3+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-5x+3+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+3x^2+3x+4}{x^2-4}$ = $\frac{-5x+3+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$ → = $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{-5x}-1$	=	0	| $+1$
$e^{-5x}$	=	$1$	|ln(⋅)
$-5x$	=	0	|:$-5$
$x$	=	0	≈ 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x-2}{e^{-5x}-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x-2}{e^{-5x}-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-4$	=	0	| $+4$
$x^2$	=	$4$	|
x1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
x2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$; $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4x+5}{x^2-4}$ = $\frac{4x+5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x+5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x+5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x+5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x+5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-x-2$	=	0	| $+2$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$}

und den Zähler:

$\frac{x^2+2x}{-x-2}$ = $\frac{x·\left(x+2\right)}{-x-2}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2+2x}{-x-2}$ = $\frac{x·\left(x+2\right)}{-x-2}$ = $-x$

Für x → $-2$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2+2x}{-x-2}$ = $-x$ → $-\left(-2\right)$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-2$| $2$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x+0}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = 0 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x+0}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+0}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$ → $\frac{\mathrm{<mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+0}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+0}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x+0}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x-2}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = 2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x-2}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·\left(1-\frac{2}{x}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x-2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{4}{x^3}+1$ → $0+1$ → $1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{4}{x^3}+1$ → $0+1$ → $1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $1$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{-\mathrm{0,1}x}}{4x}$ → $\frac{\infty }{-\infty }$ → $-\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{-\mathrm{0,1}x}}{4x}$ → $\frac{0}{\infty }$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).