Mathebattle EduRandomtasks

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 1) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-47}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-47}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-47}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-47}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-9}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-9}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-9}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-9}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2}$

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (3 x - 4 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{3 x - 4 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{3 x - 4 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty - 4 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 3}{- 1 - x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 1 - x$	=	0
$- x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 3}{- 1 - x}$ → $\frac{-7}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 3}{- 1 - x}$ → $\frac{-7}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x + 5}{x^{2} + 2 x - 15}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x + 5}{x^{2} + 2 x - 15}$ = $\frac{5 x + 5}{(x - 3) \cdot (x + 5)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 5}{⟶}$ $- 5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 5}{(x - 3) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{-20}{(-8) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-20}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 5}{⟶}$ $- 5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 5}{(x - 3) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{-20}{(-8) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-20}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 5$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 5}{(x - 3) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{+20}{"-0" ⋅ (+8)}$ = $\frac{+20}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 5}{(x - 3) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{+20}{"+0" ⋅ (+8)}$ = $\frac{+20}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x + 8}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 1) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 8}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+6}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+6}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 8}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+6}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 8}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+2}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 8}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+2}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(0|0) und N₂(-1|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 0) \cdot (x + 1))}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + x)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + x}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + x)}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 2 x}{x^{2} + 7 x + 10}$

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{2}{x})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 2 x}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{- 2 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + x)}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-3|0) und N₂(1|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 5 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 3) \cdot (x - 1))}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 2 x - 3)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 2 x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + 2 x - 3)}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 6}{x^{2} + 5 x + 4}$

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 6}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 6}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + 2 x - 3)}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,4 x}}{- 4 x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,4 x}}{- 4 x^{2}}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,4 x}}{- 4 x^{2}}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 + 3 e^{- 0,2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 + 3 e^{- 0,2 x}$ → $3 + \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 + 3 e^{- 0,2 x}$ → $3 + 0$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞