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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- x^{2} - 2 x + 8}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- x^{2} - 2 x + 8}$ = $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- (x + 4) \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- (x + 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-143}{- 1⋅"-0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-143}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- (x + 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-143}{- 1⋅"+0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-143}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- (x + 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+1}{- 1⋅(+6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- (x + 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{+1}{- 1⋅(+6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- x^{2} - 2 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (x - 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{x - 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 - \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1}{- x^{2} - 2 x + 8}$ = $\frac{x - 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 - \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty - 4 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x - 1}{4 + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$4 + x$	=	0
$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 1}{4 + x}$ → $\frac{-9}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 1}{4 + x}$ → $\frac{-9}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} + 4 x + 2}{x^{2} + 5 x + 6}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 2}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{5 x^{2} + 4 x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+35}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+35}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+35}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+35}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+14}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+14}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 4 x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+14}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+14}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x - 4}{x^{2} - 2 x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{0; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{2 x - 4}{x \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{2 x - 4}{x \cdot (x - 2)}$ = $\frac{2 x - 4}{x \cdot (x - 2)}$ = $\frac{2}{x}$

Für x → $2$ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{x \cdot (x - 2)}$ = $\frac{2}{x}$ → $\frac{2}{2}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $2$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 2)}{x^{2} - 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 2}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x + 2)}^{2}}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 8 x - 8}{x^{2} - 2 x}$

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x - 8}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 2 - \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 8 x - 8}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{- 2 - \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x + 2)}^{2}}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -2 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x + 2}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = -2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x + 2}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{- 1}{x + 2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $4 x^{2} \cdot e^{- 0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $4 x^{2} \cdot e^{- 0,3 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $4 x^{2} \cdot e^{- 0,3 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 5 x^{2} \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 5 x^{2} \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ → $- \infty \cdot \infty + 1$ → $- \infty + 1$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 5 x^{2} \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ → $- \infty \cdot 0 + 1$ → $0 + 1$ → $1$ $- 5 x^{2} \cdot e^{- 0,1 x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞