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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 1}{x^{2} + 3 x - 4}$ = $\frac{- 1}{(x - 1) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{(-5) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{(-5) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(x - 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 1}{x^{2} + 3 x - 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{x^{2} + 3 x - 4}$ = $\frac{- \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x - 3}{e^{3 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{3 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{2 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4 x - 3}{e^{3 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 4 x - 3}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x - 3}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-3}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x - 3}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-3}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x^{2} + 2 x - 4}{(3 + x) \cdot (x + 3)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(3 + x) \cdot (x + 3)$	=	0
${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x^{2} + 2 x - 4}{(3 + x) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- x^{2} + 2 x - 4}{{(x + 3)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 2 x - 4}{{(x + 3)}^{2}}$ → $\frac{-19}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 2 x - 4}{{(x + 3)}^{2}}$ → $\frac{-19}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ ohne VZW (beides - )

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x + 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 2) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{3 x + 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{3 x + 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{3}{x + 2}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{3}{x + 2}$ → $\frac{3}{- 1 + 2}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $3$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 3}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -6 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-6 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 9 x + 18}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 4)}{x^{2} + 9 x + 18}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 4}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x + 4)}^{2}}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ = $\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{x^{2} + 9 x + 18}$

$\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{8}{x} - \frac{16}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{8}{x} - \frac{16}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{x^{2} + 9 x + 18}$ = $\frac{- 1 - \frac{8}{x} - \frac{16}{x^{2}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x + 4)}^{2}}{(x + 3) \cdot (x + 6)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -3 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-6|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 3)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} + 6 x + 9}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 6)}{x^{2} + 6 x + 9}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 6}{{(x + 3)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x + 6)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$ = $\frac{- x^{2} - 12 x - 36}{x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{- x^{2} - 12 x - 36}{x^{2} + 6 x + 9}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{12}{x} - \frac{36}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{12}{x} - \frac{36}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 12 x - 36}{x^{2} + 6 x + 9}$ = $\frac{- 1 - \frac{12}{x} - \frac{36}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x + 6)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{3}{x^{2}} - 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{3}{x^{2}} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{3}{x^{2}} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 + 3 e^{- 0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 + 3 e^{- 0,1 x}$ → $3 + \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 + 3 e^{- 0,1 x}$ → $3 + 0$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞