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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- x^{2} + 4 x + 5}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- x^{2} + 4 x + 5}$ = $\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ = $- \frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 5)}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ = $- \frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 5)}$ → $- \frac{3 \cdot {(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1}{(- 1 + 1) \cdot (- 1 - 5)}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ |0)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+486}{- 1⋅(+6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+486}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+486}{- 1⋅(+6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+486}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- x^{2} + 4 x + 5}$ = $\frac{x^{2} \cdot (3 x + 4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}})}$ = $\frac{3 x + 4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{- x^{2} + 4 x + 5}$ = $\frac{3 x + 4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty + 4 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x + 1}{x - 3}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 1}{x - 3}$ → $\frac{+10}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x + 1}{x - 3}$ → $\frac{+10}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x - 3}{(x + 4) \cdot (x + 4)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(x + 4) \cdot (x + 4)$	=	0
${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x - 3}{(x + 4) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- 2 x - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x - 3}{{(x + 4)}^{2}}$ → $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x - 3}{{(x + 4)}^{2}}$ → $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ ohne VZW (beides + )

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x - 3) \cdot (x - 5)}{x - 7}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
$x$	=	$7$

also Definitionsmenge D=R\{ $7$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $7$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<7}{⟶}$ $7$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{(x - 3) \cdot (x - 5)}{x - 7}$ → $\frac{+8}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>7}{⟶}$ $7$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{(x - 3) \cdot (x - 5)}{x - 7}$ → $\frac{+8}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $7$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 6 x + 8}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} + 6 x + 8}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -3 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-3 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $- 3 (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} + 1)}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 3}{x^{2} + 6 x + 8}$

$\frac{- 3 x^{2} - 3}{x^{2} + 6 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 3}{x^{2} + 6 x + 8}$ = $\frac{- 3 - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} + 1)}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 4)}{x^{2} - 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 4}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x - 4)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 7 x + 10}$

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x - 4)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,2 x}}{- x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,2 x}}{- x^{2}}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,2 x}}{- x^{2}}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- x \cdot e^{- 0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- x \cdot e^{- 0,5 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- x \cdot e^{- 0,5 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞