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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} - x - 12}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} - x - 12}$ = $\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-36}{(-7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-36}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-36}{(-7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-36}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-99}{"-0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{-99}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-99}{"+0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{-99}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} - x - 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 5 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 5 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} - x - 12}$ = $\frac{- 5 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- 5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 5}{1}$ = $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{2 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 - x$	=	0
$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{2 - x}$ → $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{2 - x}$ → $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3}{e^{4 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 3}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-3}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-3}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x - 3}{x^{2} + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3 x - 3}{x^{2} + x}$ = $\frac{- 3 x - 3}{x \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 3 x - 3}{x \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- 3 x - 3}{x \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{3}{x}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{x \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{3}{x}$ → $- \frac{3}{(- 1)}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $3$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-3}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-3}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(0|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 3 x + 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 0)}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{?⋅ (x)}{x^{2} + 3 x + 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- x^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- x^{2}}{x^{2} + 3 x + 2}$

$\frac{- x^{2}}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1)}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2}}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{- 1}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- x^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-2|0) und N₂(-5|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 7 x + 12}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 2) \cdot (x + 5))}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 7 x + 10)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 7 x + 10)}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- x^{2} - 7 x - 10}{x^{2} + 7 x + 12}$

$\frac{- x^{2} - 7 x - 10}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{7}{x} - \frac{10}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{7}{x} - \frac{10}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 7 x - 10}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{- 1 - \frac{7}{x} - \frac{10}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 7 x + 10)}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{4}{x^{3}} - 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{4}{x^{3}} - 3$ → $0 - 3$ → $- 3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{4}{x^{3}} - 3$ → $0 - 3$ → $- 3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $1 - 4 e^{- 0,4 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $1 - 4 e^{- 0,4 x}$ → $1 - \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $1 - 4 e^{- 0,4 x}$ → $1 + 0$ → $1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞