senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+7x+12$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $-3$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4x^3+x^2+2x+2}{x^2+7x+12}$ = $\frac{4x^3+x^2+2x+2}{\left(x+3\right)·\left(x+4\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^3+x^2+2x+2}{\left(x+3\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>246</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>246</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3+x^2+2x+2}{\left(x+3\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>246</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>246</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^3+x^2+2x+2}{\left(x+3\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>103</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>103</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3+x^2+2x+2}{\left(x+3\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>103</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>103</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{4x^3+x^2+2x+2}{x^2+7x+12}$ = $\frac{x^2·\left(4x+1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}\right)}$ = $\frac{4x+1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3+x^2+2x+2}{x^2+7x+12}$ = $\frac{4x+1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}}$ → = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x-3$	=	0	| $+3$
$x$	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{x-3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{x-3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-3x+2$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3x+4}{x^2-3x+2}$ = $\frac{3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-2x-4}{x^2+2x}$ = $\frac{-2x-4}{x·\left(x+2\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-2x-4}{x·\left(x+2\right)}$ = $\frac{-2x-4}{x·\left(x+2\right)}$ = $-\frac{2}{x}$

Für x → $-2$ ⇒ f(x)= $\frac{-2x-4}{x·\left(x+2\right)}$ = $-\frac{2}{x}$ → $-\frac{2}{\left(-2\right)}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-2$| $1$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x-4}{x·\left(x+2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x-4}{x·\left(x+2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+1}{{\left(x+2\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$ = $\frac{-x^2-2x-1}{x^2+4x+4}$

$\frac{-x^2-2x-1}{x^2+4x+4}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-2x-1}{x^2+4x+4}$ = $\frac{-1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{1}{\left(x+1\right)·\left(x+2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -3 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-3 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $-3\left(x^2+1\right)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)·\left(x+2\right)}$ = $\frac{-3x^2-3}{x^2+3x+2}$

$\frac{-3x^2-3}{x^2+3x+2}$ = $\frac{x^2·\left(-3-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2-3}{x^2+3x+2}$ = $\frac{-3-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)·\left(x+2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{-\mathrm{0,2}x}}{3x^2}$ → $\frac{\infty }{\infty }$ → $\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{-\mathrm{0,2}x}}{3x^2}$ → $\frac{0}{\infty }$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $4x^2·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$ → $\infty ·\infty +1$ → $\infty +1$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $4x^2·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$ → $\infty ·0+1$ → $0+1$ → $1$ $4x^2·e^{-\mathrm{0,4}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$.