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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{x^{2} + 7 x + 12}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+351}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+351}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+351}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+351}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+165}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+165}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+165}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+165}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 4 x + 5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 4 x + 5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 3}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{- 4 x + 5 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x - 5}{e^{x} - 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$x$	=	0	≈ 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{e^{x} - 1}$ → $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{e^{x} - 1}$ → $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{2} - 3 x - 2}{(4 + x) (x + 3)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(4 + x) (x + 3)$	=	0
$(x + 4) (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x - 2}{(4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{+26}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+26}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x - 2}{(4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{+26}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+26}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x - 2}{(4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{+16}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+16}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x - 2}{(4 + x) (x + 3)}$ → $\frac{+16}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+16}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x}{x^{2} - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{0; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x}{x^{2} - x}$ = $\frac{- 2 x}{x \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 2 x}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 2 x}{x \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{2}{x - 1}$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x}{x \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{2}{x - 1}$ → $- \frac{2}{0 - 1}$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $0$ | $2$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-2}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-2}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-1|0) und N₂(-4|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 5 x + 6}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 1) \cdot (x + 4))}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 5 x + 4)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 5 x + 4}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + 5 x + 4)}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 8}{x^{2} + 5 x + 6}$

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 8}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{10}{x} - \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{10}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 8}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{- 2 - \frac{10}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + 5 x + 4)}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(0|0) und N₂(-5|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 5 x + 6}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 0) \cdot (x + 5))}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 5 x)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 5 x}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} + 5 x)}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 15 x}{x^{2} + 5 x + 6}$

$\frac{- 3 x^{2} - 15 x}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{15}{x})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{15}{x}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 15 x}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{- 3 - \frac{15}{x}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} + 5 x)}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{1}{x^{2}} - 4$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{1}{x^{2}} - 4$ → $0 - 4$ → $- 4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{1}{x^{2}} - 4$ → $0 - 4$ → $- 4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 4$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,2 x}}{5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,2 x}}{5 x}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,2 x}}{5 x}$ → $\frac{0}{\infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞