senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-x^2+4x+5$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $5$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5x^2+2x-4}{-x^2+4x+5}$ = $\frac{5x^2+2x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-5\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+2x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>6</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+2x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>6</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$^- ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+2x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>131</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>6</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>131</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+2x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>131</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>6</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>131</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5x^2+2x-4}{-x^2+4x+5}$ = $\frac{x^2·\left(5+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(-1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}$ = $\frac{5+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}}{-1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+2x-4}{-x^2+4x+5}$ = $\frac{5+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}}{-1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}$ → = $\frac{5}{-1}$ = $-5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-5$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-5+x$	=	0
$x-5$	=	0	| $+5$
$x$	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $5$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$^- ⇒ f(x)= $\frac{-4x+2}{-5+x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-4x+2}{-5+x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-4\right)x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0; $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-x-2$	=	0	| $+2$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}{-x-2}$ = $\frac{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}{-x-2}$ = $-\left(x+3\right)$

Für x → $-2$ ⇒ f(x)= $\frac{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}{-x-2}$ = $-\left(x+3\right)$ → $-\left(-2+3\right)$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-2$| $-1$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-4}{\left(x-1\right)·\left(x-2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x-4\right)}^2}{\left(x-1\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-3x+2}$

$\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-3x+2}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-3x+2}$ = $\frac{-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x-4\right)}^2}{\left(x-1\right)·\left(x-2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x+4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $\frac{x+4}{x^2+5x+6}$

$\frac{x+4}{x^2+5x+6}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x+4}{x^2+5x+6}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x+4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-4x^2·e^{-\mathrm{0,1}x}$ → $-\infty ·\infty$ → $-\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-4x^2·e^{-\mathrm{0,1}x}$ → $-\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $5x^2·e^{-\mathrm{0,2}x}$ → $\infty ·\infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $5x^2·e^{-\mathrm{0,2}x}$ → $\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).