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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{1}{x^{2} + x - 12}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{1}{x^{2} + x - 12}$ = $\frac{1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{(-7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{(-7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{"-0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{(x - 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{"+0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x^{2} + x - 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x^{2} + x - 12}$ = $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4}{- 2 + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 2 + x$	=	0
$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4}{- 2 + x}$ → $\frac{+4}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4}{- 2 + x}$ → $\frac{+4}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x - 3}{x^{2} + 5 x + 4}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x - 3}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-7}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-7}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-7}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-7}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x - 3}{x^{2} - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{0; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x - 3}{x^{2} - x}$ = $\frac{3 x - 3}{x \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{3 x - 3}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{3 x - 3}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{3}{x}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 3}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{3}{x}$ → $\frac{3}{1}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $1$ | $3$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 3}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 3}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(1|0) und N₂(-1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 1) \cdot (x + 1))}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 1)}{x^{2} - 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 1}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} - 1)}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 3}{x^{2} - 7 x + 10}$

$\frac{- 3 x^{2} + 3}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 3}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{- 3 + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} - 1)}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(3|0) und N₂(-1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 3) \cdot (x + 1))}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 2 x - 3)}{x^{2} - 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 2 x - 3)}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 6}{x^{2} - 2 x}$

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 6}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 6}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 2 x - 3)}{(x + 0) \cdot (x - 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{x^{3}} - 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{3}} - 3$ → $0 - 3$ → $- 3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{3}} - 3$ → $0 - 3$ → $- 3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 3 + 2 e^{- 0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 3 + 2 e^{- 0,5 x}$ → $- 3 + \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 3 + 2 e^{- 0,5 x}$ → $- 3 + 0$ → $- 3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞