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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x + 2}{x^{2} + 5 x + 4}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x + 2}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{4 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-14}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-14}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-14}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-14}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-2}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-2}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{4 x + 2}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 2}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{\frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x - 5}{x - 4}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x$	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{ $4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x - 5}{x - 4}$ → $\frac{-13}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x - 5}{x - 4}$ → $\frac{-13}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} + 7 x + 12}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+69}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+69}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+69}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+69}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+36}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+36}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+36}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+36}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 2) (x + 3)}{x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x

=

0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{(x + 2) (x + 3)}{x}$ → $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 2) (x + 3)}{x}$ → $\frac{+6}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-3|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 3)}{x^{2} + 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 3}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x + 3}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{x + 3}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{x + 3}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x + 3}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x + 3}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 6 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(4|0) und N₂(5|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=6 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 9 x + 18}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 4) \cdot (x - 5))}{x^{2} - 9 x + 18}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 9 x + 20)}{x^{2} - 9 x + 18}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 9 x + 20}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 9 x + 20)}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 18 x - 40}{x^{2} - 9 x + 18}$

$\frac{- 2 x^{2} + 18 x - 40}{x^{2} - 9 x + 18}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{18}{x} - \frac{40}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{18}{x} - \frac{40}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 18 x - 40}{x^{2} - 9 x + 18}$ = $\frac{- 2 + \frac{18}{x} - \frac{40}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 9 x + 20)}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{3}{x} + 3 + \frac{3}{x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{3}{x} + 3 + \frac{3}{x}$ → $0 + 3 + 0$ → $3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{3}{x} + 3 + \frac{3}{x}$ → $0 + 3 + 0$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 x \cdot e^{- 0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 x \cdot e^{- 0,1 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 x \cdot e^{- 0,1 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞