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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{(2 + x) \cdot (x - 3)}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(2 + x) \cdot (x - 3)$	=	0
$(x + 2) \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{(2 + x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+21}{"-0" ⋅ (-5)}$ = $\frac{+21}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{(2 + x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+21}{"+0" ⋅ (-5)}$ = $\frac{+21}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{(2 + x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-119}{(+5) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-119}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{(2 + x) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-119}{(+5) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-119}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{(2 + x) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - x - 6}$

$\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - x - 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 4 x - 2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{- 4 x - 2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - x - 6}$ = $\frac{- 4 x - 2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty - 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{e^{2 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5}{e^{2 x} - e^{x}}$ = $\frac{5}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+5}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+5}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x^{2} + 4 x - 3}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x - 3}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+21}{(-6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+21}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x - 3}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+21}{(-6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+21}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x - 3}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+45}{"-0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{+45}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} + 4 x - 3}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+45}{"+0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{+45}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x}{x^{2} - x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{0; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x}{x^{2} - x}$ = $\frac{- x}{x \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- x}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- x}{x \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{1}{x - 1}$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{- x}{x \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{1}{x - 1}$ → $- \frac{1}{0 - 1}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $0$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-1}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-1}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 4)}{x^{2} - 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 4}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x - 4)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 2 x}$

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x - 4)}^{2}}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -1 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-1 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 1)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x + 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 4)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 4}{{(x + 1)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{2 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ = $\frac{2 x^{2} + 16 x + 32}{x^{2} + 2 x + 1}$

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32}{x^{2} + 2 x + 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 + \frac{16}{x} + \frac{32}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{2 + \frac{16}{x} + \frac{32}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 16 x + 32}{x^{2} + 2 x + 1}$ = $\frac{2 + \frac{16}{x} + \frac{32}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$

Mit f(x)= $\frac{2 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $x^{2} \cdot e^{0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $x^{2} \cdot e^{0,5 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $x^{2} \cdot e^{0,5 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 e^{0,2 x} - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 e^{0,2 x} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 e^{0,2 x} - 2$ → $\infty - 2$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞