senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+5x+4$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $-1$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{x^2+5x+4}$ = $\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>285</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>285</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>285</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>285</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{x^2+5x+4}$ = $\frac{x^2·\left(4x-2-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{4x-2-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-2x^2-2x-5}{x^2+5x+4}$ = $\frac{4x-2-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-4-x$	=	0
$-x-4$	=	0	| $+4$
$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x+5}{-4-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x+5}{-4-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(4-x\right)\left(x-1\right)$	=	0
$\left(-x+4\right)\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-5x-5}{\left(4-x\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-5x-5}{\left(4-x\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-5x-5}{\left(4-x\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>39</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>39</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-5x-5}{\left(4-x\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>39</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>39</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-3x-3$	=	0	| $+3$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$}

und den Zähler:

$\frac{x^2+x}{-3x-3}$ = $\frac{x·\left(x+1\right)}{-3x-3}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2+x}{-3x-3}$ = $\frac{x·\left(x+1\right)}{-3x-3}$ = $-\frac{1}{3}x$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2+x}{-3x-3}$ = $-\frac{1}{3}x$ → $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{1}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $\frac{1}{3}$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+1}{{\left(x+3\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x+1}{{\left(x+3\right)}^2}$ = $\frac{x+1}{x^2+6x+9}$

$\frac{x+1}{x^2+6x+9}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x+1}{x^2+6x+9}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{-\left(x+1\right)}{{\left(x+3\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2+3x+2}{\left(x+0\right)·\left(x-3\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2\left(x^2+3x+2\right)}{\left(x+0\right)·\left(x-3\right)}$ = $\frac{-2x^2-6x-4}{x^2-3x}$

$\frac{-2x^2-6x-4}{x^2-3x}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{6}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{3}{x}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{6}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-6x-4}{x^2-3x}$ = $\frac{-2-\frac{6}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{3}{x}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2\left(x^2+3x+2\right)}{\left(x+0\right)·\left(x-3\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{4}{x^3}+3$ → $0+3$ → $3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{4}{x^3}+3$ → $0+3$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $3$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-x·e^{-\mathrm{0,2}x}$ → $\infty ·\infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-x·e^{-\mathrm{0,2}x}$ → $-\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).