senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+7x+10$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-5$; $-2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4x^2-4x+3}{x^2+7x+10}$ = $\frac{4x^2-4x+3}{\left(x+2\right)·\left(x+5\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-4x+3}{\left(x+2\right)·\left(x+5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>123</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>123</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-4x+3}{\left(x+2\right)·\left(x+5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>123</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>123</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-5$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-4x+3}{\left(x+2\right)·\left(x+5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>27</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>27</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-4x+3}{\left(x+2\right)·\left(x+5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>27</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>27</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{4x^2-4x+3}{x^2+7x+10}$ = $\frac{x^2·\left(4-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}\right)}$ = $\frac{4-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-4x+3}{x^2+7x+10}$ = $\frac{4-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}}$ → = $\frac{4}{1}$ = $4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $4$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x+2$	=	0	| $-2$
$x$	=	$-2$

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x-1}{x+2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x-1}{x+2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-16$	=	0	| $+16$
$x^2$	=	$16$	|
x1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
x2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $4$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-3x-3}{x^2-16}$ = $\frac{-3x-3}{\left(x+4\right)·\left(x-4\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3x-3}{\left(x+4\right)·\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3x-3}{\left(x+4\right)·\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3x-3}{\left(x+4\right)·\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>15</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>15</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3x-3}{\left(x+4\right)·\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>15</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>15</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x$

=

0

also Definitionsmenge D=R\{0}

und den Zähler:

$\frac{x^2+x}{x}$ = $\frac{x·\left(x+1\right)}{x}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2+x}{x}$ = $\frac{x·\left(x+1\right)}{x}$ = $x+1$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2+x}{x}$ = $x+1$ → $0+1$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($0$| $1$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x-1}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = 1 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x-1}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·\left(1-\frac{1}{x}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{-1}{x-1}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2+8x+12}{\left(x+3\right)·\left(x+1\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2\left(x^2+8x+12\right)}{\left(x+3\right)·\left(x+1\right)}$ = $\frac{-2x^2-16x-24}{x^2+4x+3}$

$\frac{-2x^2-16x-24}{x^2+4x+3}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{16}{x}-\frac{24}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{16}{x}-\frac{24}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-16x-24}{x^2+4x+3}$ = $\frac{-2-\frac{16}{x}-\frac{24}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2\left(x^2+8x+12\right)}{\left(x+3\right)·\left(x+1\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{4}{x^2}-3$ → $0-3$ → $-3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{4}{x^2}-3$ → $0-3$ → $-3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-3$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-1$ → $\infty -1$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-1$ → $0-1$ → $-1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-1$.