senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-3+x\right)\left(x-2\right)$	=	0
$\left(x-3\right)\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $2$; $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^3+4x^2-x+5}{\left(-3+x\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>43</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>43</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^3+4x^2-x+5}{\left(-3+x\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>43</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>43</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^3+4x^2-x+5}{\left(-3+x\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>119</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>119</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^3+4x^2-x+5}{\left(-3+x\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>119</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>119</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{3x^3+4x^2-x+5}{\left(-3+x\right)\left(x-2\right)}$ = $\frac{3x^3+4x^2-x+5}{x^2-5x+6}$

$\frac{3x^3+4x^2-x+5}{x^2-5x+6}$ = $\frac{x^2·\left(3x+4-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}$ = $\frac{3x+4-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3x^3+4x^2-x+5}{x^2-5x+6}$ = $\frac{3x+4-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$ → = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{3x}-e^x$	=	0
$\left(e^{2x}-1\right)e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-3}{e^{3x}-e^x}$ = $\frac{-3}{\left(e^{2x}-1\right)·e^x}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3}{\left(e^{2x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3}{\left(e^{2x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-2+x\right)\left(x+2\right)$	=	0
$\left(x-2\right)\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$; $2$}

und den Zähler:

$\frac{-2x^2-3x+2}{\left(-2+x\right)\left(x+2\right)}$ = $\frac{-2\left(x+2\right)·\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{\left(-2+x\right)\left(x+2\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-2x^2-3x+2}{\left(-2+x\right)\left(x+2\right)}$ = $\frac{-2\left(x+2\right)·\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{\left(-2+x\right)\left(x+2\right)}$ = $-\frac{2\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{x-2}$

Für x → $-2$ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-3x+2}{\left(-2+x\right)\left(x+2\right)}$ = $-\frac{2\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{x-2}$ → $-\frac{2\left(-2-\mathrm{0,5}\right)}{-2-2}$ = $-\frac{5}{4}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-2$| $-\frac{5}{4}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-3x+2}{\left(-2+x\right)\left(x+2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-3x+2}{\left(-2+x\right)\left(x+2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x+1$	=	0	| $-1$
$x$	=	$-1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$}

und den Zähler:

$\frac{x^2-1}{x+1}$ = $\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2-1}{x+1}$ = $\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}$ = $x-1$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2-1}{x+1}$ = $x-1$ → $-1-1$ = $-2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $-2$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+3}{\left(x+1\right)·\left(x+0\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2{\left(x+3\right)}^2}{\left(x+1\right)·\left(x+0\right)}$ = $\frac{-2x^2-12x-18}{x^2+x}$

$\frac{-2x^2-12x-18}{x^2+x}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{12}{x}-\frac{18}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{12}{x}-\frac{18}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-12x-18}{x^2+x}$ = $\frac{-2-\frac{12}{x}-\frac{18}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2{\left(x+3\right)}^2}{\left(x+1\right)·\left(x+0\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)·\left(x-5\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-\left(x^2-4x+3\right)}{\left(x-2\right)·\left(x-5\right)}$ = $\frac{-x^2+4x-3}{x^2-7x+10}$

$\frac{-x^2+4x-3}{x^2-7x+10}$ = $\frac{x^2·\left(-1+\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1+\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+4x-3}{x^2-7x+10}$ = $\frac{-1+\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-\left(x^2-4x+3\right)}{\left(x-2\right)·\left(x-5\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,5}x}}{2x}$ → $\frac{0}{-\infty }$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,5}x}}{2x}$ → $\frac{\infty }{\infty }$ → $\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-e^{\mathrm{0,3}x}-4$ → $0-4$ → $-4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-e^{\mathrm{0,3}x}-4$ → $-\infty -4$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.