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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8}$ = $\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-31}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-31}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-31}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-31}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-313}{"-0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{-313}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-313}{"+0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{-313}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 5 x - 1 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{- 5 x - 1 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8}$ = $\frac{- 5 x - 1 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty - 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{x + 3}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x + 3}$ → $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x + 3}$ → $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 4}{x^{2} + 5 x + 6}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x - 4}{x^{2} + 5 x + 6}$ = $\frac{4 x - 4}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-16}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-16}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-16}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-16}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-12}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-12}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-12}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-12}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x + 15}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $5$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $5$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -5) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 3 x + 15}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- 3 x + 15}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- 3 \cdot}{(x - 3) \cdot 1}$

Für x → $5$ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 15}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- 3 \cdot}{(x - 3) \cdot 1}$ → $\frac{- 3 \cdot}{(5 - 3) \cdot 1}$ = $- \frac{3}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $5$ | $- \frac{3}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 15}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+6}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+6}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 15}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+6}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 0 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x + 0}$ = $\frac{?}{x}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = 0 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x + 0}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot 1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$ → $\frac{0}{1}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{- 1}{x + 0}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} + 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $- (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 1)}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} + 4 x + 3}$

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 1)}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{3}{x^{3}} - 4$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{3}{x^{3}} - 4$ → $0 - 4$ → $- 4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{3}{x^{3}} - 4$ → $0 - 4$ → $- 4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 4$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $2 x \cdot e^{0,2 x} + 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2 x \cdot e^{0,2 x} + 1$ → $- \infty \cdot 0 + 1$ → $0 + 1$ → $1$ $2 x \cdot e^{0,2 x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2 x \cdot e^{0,2 x} + 1$ → $\infty \cdot \infty + 1$ → $\infty + 1$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞