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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 5}{x^{2} - 6 x + 9}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 5}{x^{2} - 6 x + 9}$ = $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$ → $\frac{-37}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$ → $\frac{-37}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ ohne VZW (beides - )

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 5}{x^{2} - 6 x + 9}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}})}$ = $\frac{- 4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 5}{x^{2} - 6 x + 9}$ = $\frac{- 4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$ → $\frac{- 4 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 4}{1}$ = $- 4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 4$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x + 3}{2 + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 + x$	=	0
$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x + 3}{2 + x}$ → $\frac{+13}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x + 3}{2 + x}$ → $\frac{+13}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{4 x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+23}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+23}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+23}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+23}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{3 x - 12}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{ $4$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $4$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -4) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{3 x - 12}$ = $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{3 x - 12}$ = $\frac{1}{3} (x - 2)$

Für x → $4$ ⇒ f(x)= $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{3 x - 12}$ = $\frac{1}{3} (x - 2)$ → $\frac{1}{3} (4 - 2)$ = $\frac{2}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $4$ | $\frac{2}{3}$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-4|0) und N₂(-1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 4) \cdot (x + 1))}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 5 x + 4)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 5 x + 4}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} + 5 x + 4)}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 15 x - 12}{x^{2} + 7 x + 10}$

$\frac{- 3 x^{2} - 15 x - 12}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{15}{x} - \frac{12}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{15}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 15 x - 12}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{- 3 - \frac{15}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} + 5 x + 4)}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = 1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-3|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 3) \cdot (x + 0))}{x^{2} - 1}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 3 x)}{x^{2} - 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 3 x}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 3 x)}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- x^{2} - 3 x}{x^{2} - 1}$

$\frac{- x^{2} - 3 x}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{3}{x})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- 1 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 3 x)}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- x \cdot e^{- 0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- x \cdot e^{- 0,3 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- x \cdot e^{- 0,3 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $4 x^{2} \cdot e^{0,4 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $4 x^{2} \cdot e^{0,4 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $4 x^{2} \cdot e^{0,4 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞