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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - x - 20}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - x - 20}$ = $\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{(x - 5) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{(x - 5) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+159}{(-9) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+159}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{(x - 5) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+159}{(-9) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+159}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{(x - 5) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-246}{"-0" ⋅ (+9)}$ = $\frac{-246}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{(x - 5) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-246}{"+0" ⋅ (+9)}$ = $\frac{-246}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - x - 20}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 x + 1 - \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 x + 1 - \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - x - 20}$ = $\frac{- 2 x + 1 - \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{2 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 - x$	=	0
$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{2 - x}$ → $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{2 - x}$ → $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x + 2}{(1 + x) \cdot (x + 4)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(1 + x) \cdot (x + 4)$	=	0
$(x + 1) \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{2 x + 2}{(1 + x) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{2 x + 2}{(1 + x) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{2}{x + 4}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{(1 + x) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{2}{x + 4}$ → $\frac{2}{- 1 + 4}$ = $\frac{2}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $\frac{2}{3}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{(1 + x) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-6}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-6}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{(1 + x) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-6}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-6}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x - 9}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 3) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ ; $- 3$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 3 x - 9}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{- 3 x - 9}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ = $- \frac{3}{x + 5}$

Für x → $- 3$ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 9}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ = $- \frac{3}{x + 5}$ → $- \frac{3}{- 3 + 5}$ = $- \frac{3}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 3$ | $- \frac{3}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 5}{⟶}$ $- 5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 9}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{+6}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+6}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 5}{⟶}$ $- 5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 9}{(x + 3) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{+6}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 5$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} + x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} + x}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x + 0) \cdot (x + 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $- (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 1)}{(x + 0) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} + x}$

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} + x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x})}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} + x}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 1)}{(x + 0) \cdot (x + 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -1 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(0|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-1 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 1)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x + 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 0)}{x^{2} + 2 x + 1}$ = $\frac{?⋅ (x)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ = $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{1}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ = $\frac{1}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{1}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{1}{1}$ = $1$

Mit f(x)= $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{1}{x^{3}} + \frac{- 2}{e^{x}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{1}{x^{3}} + \frac{- 2}{e^{x}}$ → $0 + \frac{- 2}{0}$ → $0 - \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{1}{x^{3}} + \frac{- 2}{e^{x}}$ → $0 + \frac{- 2}{\infty}$ → $0 + 0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 x^{2} \cdot e^{0,2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 x^{2} \cdot e^{0,2 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 x^{2} \cdot e^{0,2 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞