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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2}{- x^{2} - 2 x - 1}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2}{- x^{2} - 2 x - 1}$ = $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2}{- {(x + 1)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2}{- {(x + 1)}^{2}}$ → $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2}{- {(x + 1)}^{2}}$ → $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ ohne VZW (beides - )

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2}{- x^{2} - 2 x - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 5 x + 2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- 5 x + 2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{- 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2}{- x^{2} - 2 x - 1}$ = $\frac{- 5 x + 2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{- 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 2 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 1}{x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x

=

0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 1}{x}$ → $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 1}{x}$ → $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x + 3}{(x + 3) \cdot (x - 1)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 3}{(x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-12}{"-0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{-12}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 3}{(x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-12}{"+0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{-12}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 3}{(x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+8}{(+4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+8}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 3}{(x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+8}{(+4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+8}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x - 1}{x^{2} + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x - 1}{x^{2} + x}$ = $\frac{- x - 1}{x \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- x - 1}{x \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- x - 1}{x \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{1}{x}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{- x - 1}{x \cdot (x + 1)}$ = $- \frac{1}{x}$ → $- \frac{1}{(- 1)}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x - 1}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x - 1}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-2|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 5 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 2) \cdot (x + 0))}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 2 x)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} + 2 x)}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 6 x}{x^{2} + 5 x + 4}$

$\frac{- 3 x^{2} - 6 x}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{6}{x})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 6 x}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{- 3 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} + 2 x)}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -2 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-2 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $- 2 (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + 1)}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 2}{x^{2} - 4 x + 3}$

$\frac{- 2 x^{2} - 2}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 2}{x^{2} - 4 x + 3}$ = $\frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + 1)}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{2}{x} - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $2 e^{- 0,1 x} + 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2 e^{- 0,1 x} + 2$ → $\infty + 2$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2 e^{- 0,1 x} + 2$ → $0 + 2$ → $2$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $2$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞