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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x^{2} - 4 x}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 4 x$	=	0
$- x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x^{2} - 4 x}$ = $\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-253}{- 1⋅(-4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-253}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-253}{- 1⋅(-4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-253}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+3}{- 1⋅"-0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+3}{- 1⋅"+0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x^{2} - 4 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 x + 5 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{4}{x})}$ = $\frac{5 x + 5 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{- 1 - \frac{4}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 3}{- x^{2} - 4 x}$ = $\frac{5 x + 5 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{- 1 - \frac{4}{x}}$ → $\frac{\infty + 5 + 0 + 0}{- 1 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2}{2 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 - x$	=	0
$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{2 - x}$ → $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{2 - x}$ → $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5}{- x^{2} + 6 x - 5}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} - 3 x - 5}{- x^{2} + 6 x - 5}$ = $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5}{- (x - 1) \cdot (x - 5)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5}{- (x - 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-3}{- 1⋅"-0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5}{- (x - 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-3}{- 1⋅"+0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5}{- (x - 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+105}{- 1⋅(+4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+105}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5}{- (x - 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+105}{- 1⋅(+4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+105}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 3) (x + 5)}{x + 2}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{(x + 3) (x + 5)}{x + 2}$ → $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 3) (x + 5)}{x + 2}$ → $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= -1 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-1 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x + 1}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = -1 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x + 1}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 + \frac{1}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{- 1}{x + 1}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 0 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von - nach +, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x + 0}$ = $\frac{?}{x}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = 0 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x + 0}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot 1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$ → $\frac{0}{1}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x + 0}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{x^{2}} + 4 - \frac{4}{x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} + 4 - \frac{4}{x^{2}}$ → $0 + 4 + 0$ → $4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} + 4 - \frac{4}{x^{2}}$ → $0 + 4 + 0$ → $4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $4$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 - x^{2} \cdot e^{- 0,4 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 - x^{2} \cdot e^{- 0,4 x}$ → $- 4 - \infty \cdot \infty$ → $- 4 - \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 - x^{2} \cdot e^{- 0,4 x}$ → $- 4 - \infty \cdot 0$ → $- 4 + 0$ → $- 4$ $- x^{2} \cdot e^{- 0,4 x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 4$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞