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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-3}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-3}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+9}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+9}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+9}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+9}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (x + 2 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{x + 2 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{x + 2 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty + 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 5}{e^{4 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x - 5}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{4 x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x^{2} + 5 x - 3}{(- 2 + x) \cdot (x + 1)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(- 2 + x) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x - 2) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 5 x - 3}{(- 2 + x) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-9}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-9}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 5 x - 3}{(- 2 + x) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-9}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-9}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 5 x - 3}{(- 2 + x) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 5 x - 3}{(- 2 + x) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{x - 5}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
$x$	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $5$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{x - 5}$ → $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{(x - 2) \cdot (x - 4)}{x - 5}$ → $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(3|0) und N₂(-1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 3) \cdot (x + 1))}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 2 x - 3)}{x^{2} - 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 2 x - 3)}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 6}{x^{2} - 7 x + 10}$

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 6}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 6}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 2 x - 3)}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(3|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 5 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 3)}{x^{2} - 5 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 3}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x - 3)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 27}{x^{2} - 5 x + 4}$

$\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 27}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 27}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x - 3)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{0,4 x} + 5$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{0,4 x} + 5$ → $0 + 5$ → $5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{0,4 x} + 5$ → $\infty + 5$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $5$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 3 + 3 e^{- 0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 3 + 3 e^{- 0,3 x}$ → $- 3 + \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 3 + 3 e^{- 0,3 x}$ → $- 3 + 0$ → $- 3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞