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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} + 5 x + 4}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+260}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+260}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+260}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+260}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+5}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{(x + 1) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+5}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 x + 4 - \frac{2}{x} - \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 x + 4 - \frac{2}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} + 5 x + 4}$ = $\frac{- 3 x + 4 - \frac{2}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 4 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x - 1}{e^{4 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x - 1}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{2 x - 1}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 1}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 1}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x^{2} - 3 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 4) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₁	=	$4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-8}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-8}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-8}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-8}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-26}{"-0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{-26}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-26}{"+0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{-26}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x - 12}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $4$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $4$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -4) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{3 x - 12}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{3 x - 12}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{3}{x - 3}$

Für x → $4$ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 12}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{3}{x - 3}$ → $\frac{3}{4 - 3}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $4$ | $3$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 12}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 12}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 3 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=3 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x - 3)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} - 6 x + 9}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 1)}{x^{2} - 6 x + 9}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ = $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 6 x + 9}$

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 6 x + 9}$ = $\frac{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}})}$ = $\frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 6 x + 9}$ = $\frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$ → $\frac{1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{1}{1}$ = $1$

Mit f(x)= $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = 1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-4|0) und N₂(-5|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} + x - 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 4) \cdot (x + 5))}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 9 x + 20)}{x^{2} + x - 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{(x + 2) \cdot (x - 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} + 9 x + 20)}{(x + 2) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 27 x - 60}{x^{2} + x - 2}$

$\frac{- 3 x^{2} - 27 x - 60}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{27}{x} - \frac{60}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{27}{x} - \frac{60}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 27 x - 60}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{- 3 - \frac{27}{x} - \frac{60}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} + 9 x + 20)}{(x + 2) \cdot (x - 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{2}{x^{2}} - 5 - \frac{5}{x^{3}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{2}} - 5 - \frac{5}{x^{3}}$ → $0 - 5 + 0$ → $- 5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{2}} - 5 - \frac{5}{x^{3}}$ → $0 - 5 + 0$ → $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 2 e^{0,3 x} - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 2 e^{0,3 x} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 2 e^{0,3 x} - 2$ → $- \infty - 2$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞