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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} + x}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} + x}$ = $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+8}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+8}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+8}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+8}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+2}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+2}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} + x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (x + 3 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x})}$ = $\frac{x + 3 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} + x}$ = $\frac{x + 3 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$ → $\frac{\infty + 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x + 4}{e^{5 x} - 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{5 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{5 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0	≈ 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 4}{e^{5 x} - 1}$ → $\frac{+4}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 4}{e^{5 x} - 1}$ → $\frac{+4}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x^{2} + 5 x - 3}{- x^{2} + x + 2}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4 x^{2} + 5 x - 3}{- x^{2} + x + 2}$ = $\frac{- 4 x^{2} + 5 x - 3}{- (x + 1) \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} + 5 x - 3}{- (x + 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-12}{- 1⋅"-0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{-12}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} + 5 x - 3}{- (x + 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-12}{- 1⋅"+0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{-12}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} + 5 x - 3}{- (x + 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-9}{- 1⋅(+3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-9}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} + 5 x - 3}{- (x + 1) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-9}{- 1⋅(+3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-9}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 3) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 3$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $- \frac{1}{x + 4}$

Für x → $- 3$ ⇒ f(x)= $\frac{- x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $- \frac{1}{x + 4}$ → $- \frac{1}{- 3 + 4}$ = $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 3$ | $- 1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x - 3}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(1|0) und N₂(5|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 1) \cdot (x - 5))}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 6 x + 5)}{x^{2} - 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 6 x + 5}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} - 6 x + 5)}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 15}{x^{2} - 2 x}$

$\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 15}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{18}{x} - \frac{15}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x} - \frac{15}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 15}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x} - \frac{15}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} - 6 x + 5)}{(x - 2) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 1)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x + 1)}^{2}}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 2}{x^{2} + 7 x + 10}$

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 2}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 2}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{- 2 - \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x + 1)}^{2}}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,1 x}}{- 2 x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{- 2 x^{2}}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{- 2 x^{2}}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 1 + 4 e^{0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 1 + 4 e^{0,5 x}$ → $- 1 + 0$ → $- 1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 1 + 4 e^{0,5 x}$ → $- 1 + \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞