senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+x-6$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3x-4}{x^2+x-6}$ = $\frac{3x-4}{\left(x-2\right)·\left(x+3\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>5</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>5</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>13</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>5</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>5</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{3x-4}{x^2+x-6}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{x^2+x-6}$ = $\frac{\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-3-x$	=	0
$-x-3$	=	0	| $+3$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3}{-3-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3}{-3-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(5-x\right)·\left(x+3\right)$	=	0
$\left(-x+5\right)·\left(x+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $5$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x-5}{\left(5-x\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x-5}{\left(5-x\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x-5}{\left(5-x\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x-5}{\left(5-x\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2x-6$	=	0	| $+6$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}{2x-6}$ = $\frac{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}{2x-6}$ = $\frac{1}{2}\left(x-5\right)$

Für x → $3$ ⇒ f(x)= $\frac{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}{2x-6}$ = $\frac{1}{2}\left(x-5\right)$ → $\frac{1}{2}\left(3-5\right)$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($3$| $-1$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+1}{\left(x+2\right)·\left(x-1\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x+1}{\left(x+2\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{x+1}{x^2+x-2}$

$\frac{x+1}{x^2+x-2}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x+1}{x^2+x-2}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x+1}{\left(x+2\right)·\left(x-1\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+2}{\left(x+1\right)·\left(x+3\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+1\right)·\left(x+3\right)}$ = $\frac{-x^2-4x-4}{x^2+4x+3}$

$\frac{-x^2-4x-4}{x^2+4x+3}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-4x-4}{x^2+4x+3}$ = $\frac{-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+1\right)·\left(x+3\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{3}{x}+\frac{4}{e^x}$ → $0+\frac{4}{0}$ → $0+\infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{3}{x}+\frac{4}{e^x}$ → $0+\frac{4}{\infty }$ → $0+0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2x^2·e^{\mathrm{0,3}x}+4$ → $\infty ·0+4$ → $0+4$ → $4$ $2x^2·e^{\mathrm{0,3}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2x^2·e^{\mathrm{0,3}x}+4$ → $\infty ·\infty +4$ → $\infty +4$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $4$.