Mathebattle EduRandomtasks

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{x^{2} + 3 x + 2}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-53}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-53}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-53}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-53}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-13}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-13}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-13}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-13}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (3 x - 5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{3 x - 5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{3 x - 5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty - 5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 1}{- 2 + x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 2 + x$	=	0
$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{- 2 + x}$ → $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{- 2 + x}$ → $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 5}{x^{2} - x - 2}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x - 5}{x^{2} - x - 2}$ = $\frac{4 x - 5}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 5}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-9}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-9}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 5}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{-9}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-9}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 5}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 5}{(x - 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 1}{(x + 1) \cdot 1}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 1}{(x + 1) \cdot 1}$ → $\frac{- 1}{(1 + 1) \cdot 1}$ = $- \frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $1$ | $- \frac{1}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(3|0) und N₂(-2|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 3 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 3) \cdot (x + 2))}{x^{2} + 3 x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - x - 6)}{x^{2} + 3 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - x - 6}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} - x - 6)}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 3 x + 18}{x^{2} + 3 x}$

$\frac{- 3 x^{2} + 3 x + 18}{x^{2} + 3 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{3}{x} + \frac{18}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x})}$ = $\frac{- 3 + \frac{3}{x} + \frac{18}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 3 x + 18}{x^{2} + 3 x}$ = $\frac{- 3 + \frac{3}{x} + \frac{18}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} - x - 6)}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(6|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 8 x + 15}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 6) \cdot (x + 0))}{x^{2} - 8 x + 15}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 6 x)}{x^{2} - 8 x + 15}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 6 x}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} - 6 x)}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 18 x}{x^{2} - 8 x + 15}$

$\frac{- 3 x^{2} + 18 x}{x^{2} - 8 x + 15}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{18}{x})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 18 x}{x^{2} - 8 x + 15}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} - 6 x)}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{0,1 x} + 3 - \frac{2}{x^{3}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{0,1 x} + 3 - \frac{2}{x^{3}}$ → $0 + 3 + 0$ → $3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{0,1 x} + 3 - \frac{2}{x^{3}}$ → $\infty + 3 + 0$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- e^{0,2 x} + 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- e^{0,2 x} + 1$ → $0 + 1$ → $1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- e^{0,2 x} + 1$ → $- \infty + 1$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞