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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x - 5}{- x^{2} - 4 x + 5}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x - 5}{- x^{2} - 4 x + 5}$ = $\frac{5 x - 5}{- (x + 5) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{5 x - 5}{- (x + 5) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{5 x - 5}{- (x + 5) \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{5}{x + 5}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{5 x - 5}{- (x + 5) \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{5}{x + 5}$ → $- \frac{5}{1 + 5}$ = $- \frac{5}{6}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $1$ | $- \frac{5}{6}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 5}{⟶}$ $- 5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x - 5}{- (x + 5) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-30}{- 1⋅"-0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-30}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 5}{⟶}$ $- 5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x - 5}{- (x + 5) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-30}{- 1⋅"+0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-30}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x - 5}{- x^{2} - 4 x + 5}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{5}{x} - \frac{5}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{5}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{- 1 - \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x - 5}{- x^{2} - 4 x + 5}$ = $\frac{\frac{5}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{- 1 - \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{- 1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x + 4}{x - 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 4}{x - 1}$ → $\frac{+9}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x + 4}{x - 1}$ → $\frac{+9}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x - 5}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x - 5}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+7}{(-6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+7}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x - 5}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+7}{(-6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+7}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x - 5}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-17}{"-0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{-17}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x - 5}{(x - 3) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-17}{"+0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{-17}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 2) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+2}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 1)}$ → $\frac{+2}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(4|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + x - 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 4) \cdot (x + 0))}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 4 x)}{x^{2} + x - 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 4 x}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} - 4 x)}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{x^{2} + x - 2}$

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{12}{x})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} - 4 x)}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -3 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(0|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 3)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} + 6 x + 9}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 0)}{x^{2} + 6 x + 9}$ = $\frac{?⋅ (x)}{x^{2} + 6 x + 9}$

Jetzt testen wir $\frac{x}{{(x + 3)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{2 x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$ = $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 6 x + 9}$ = $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} \cdot (1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}})}$ = $\frac{2}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 6 x + 9}$ = $\frac{2}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$ → $\frac{2}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$

Mit f(x)= $\frac{2 x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{- 0,1 x}}{5 x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{5 x^{2}}$ → $\frac{\infty}{\infty}$ → $\infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{- 0,1 x}}{5 x^{2}}$ → $\frac{0}{\infty}$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 e^{- 0,1 x} + 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 e^{- 0,1 x} + 3$ → $- \infty + 3$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 e^{- 0,1 x} + 3$ → $0 + 3$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞