Aufgabenbeispiele von Asymptoten

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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = 4 x 2 - x -2 ( -2 - x ) ( x -3 )

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( -2 - x ) ( x -3 ) = 0
( -x -2 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-x -2 = 0 | +2
-x = 2 |:(-1 )
x1 = -2

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

also Definitionsmenge D=R\{ -2 ; 3 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -2 (von links und von rechts)

Für x   x<-2   -2 - ⇒ f(x)= 4 x 2 - x -2 ( -2 - x ) ( x -3 ) +16 "+0" ⋅ (-5) = +16 "-0" -

Für x   x>-2   -2 + ⇒ f(x)= 4 x 2 - x -2 ( -2 - x ) ( x -3 ) +16 "-0" ⋅ (-5) = +16 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -2 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 3 (von links und von rechts)

Für x   x<3   3 - ⇒ f(x)= 4 x 2 - x -2 ( -2 - x ) ( x -3 ) +31 (-5) ⋅ "-0" = +31 "+0"

Für x   x>3   3 + ⇒ f(x)= 4 x 2 - x -2 ( -2 - x ) ( x -3 ) +31 (-5) ⋅ "+0" = +31 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 3 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
4 x 2 - x -2 ( -2 - x ) ( x -3 ) = 4 x 2 - x -2 - x 2 + x +6

4 x 2 - x -2 - x 2 + x +6 = x 2 · ( 4 - 1 x - 2 x 2 ) x 2 · ( -1 + 1 x + 6 x 2 ) = 4 - 1 x - 2 x 2 -1 + 1 x + 6 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 4 x 2 - x -2 - x 2 + x +6 = 4 - 1 x - 2 x 2 -1 + 1 x + 6 x 2 4 +0+0 -1 +0+0 = 4 -1 = -4

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = -4 .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 3x +2 -5 - x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

-5 - x = 0
-x -5 = 0 | +5
-x = 5 |:(-1 )
x = -5

also Definitionsmenge D=R\{ -5 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -5 (von links und von rechts)

Für x   x<-5   -5 - ⇒ f(x)= 3x +2 -5 - x -13 "+0" -

Für x   x>-5   -5 + ⇒ f(x)= 3x +2 -5 - x -13 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -5 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3x -2 e 3x - e x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

e 3x - e x = 0
( e 2x -1 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x -1 = 0 | +1
e 2x = 1 |ln(⋅)
2x = 0 |:2
x1 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-3x -2 e 3x - e x = -3x -2 ( e 2x -1 ) · e x

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= -3x -2 ( e 2x -1 ) · e x -2 "-0" ⋅ (+1) = -2 "-0"

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= -3x -2 ( e 2x -1 ) · e x -2 "+0" ⋅ (+1) = -2 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -x +4 ( x -2 ) ( x -3 )

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( x -2 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x1 = 2

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

also Definitionsmenge D=R\{ 2 ; 3 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= -x +4 ( x -2 ) ( x -3 ) +2 "-0" ⋅ (-1) = +2 "+0"

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= -x +4 ( x -2 ) ( x -3 ) +2 "+0" ⋅ (-1) = +2 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 3 (von links und von rechts)

Für x   x<3   3 - ⇒ f(x)= -x +4 ( x -2 ) ( x -3 ) +1 (+1) ⋅ "-0" = +1 "-0" -

Für x   x>3   3 + ⇒ f(x)= -x +4 ( x -2 ) ( x -3 ) +1 (+1) ⋅ "+0" = +1 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 3 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = 1 und bei x2 = 3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=1 und x2=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x -1 ) · ( x -3 ) = ? x 2 -4x +3

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x -4 ) x 2 -4x +3

Jetzt testen wir x -4 ( x -1 ) · ( x -3 ) auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
x -4 ( x -1 ) · ( x -3 ) = x -4 x 2 -4x +3

x -4 x 2 -4x +3 = x 2 · ( 1 x - 4 x 2 ) x 2 · ( 1 - 4 x + 3 x 2 ) = 1 x - 4 x 2 1 - 4 x + 3 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x -4 x 2 -4x +3 = 1 x - 4 x 2 1 - 4 x + 3 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Mit f(x)= x -4 ( x -1 ) · ( x -3 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -3 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

? ( x +3 ) 2 = ? x 2 +6x +9

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x +4 ) x 2 +6x +9

Jetzt testen wir x +4 ( x +3 ) 2 auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
( x +4 ) 2 ( x +3 ) 2 = x 2 +8x +16 x 2 +6x +9

x 2 +8x +16 x 2 +6x +9 = x 2 · ( 1 + 8 x + 16 x 2 ) x 2 · ( 1 + 6 x + 9 x 2 ) = 1 + 8 x + 16 x 2 1 + 6 x + 9 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x 2 +8x +16 x 2 +6x +9 = 1 + 8 x + 16 x 2 1 + 6 x + 9 x 2 1 +0+0 1 +0+0 = 1 1 = 1

Mit f(x)= ( x +4 ) 2 ( x +3 ) 2 sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e -0,3x -x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e -0,3x -x ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e -0,3x -x 0 - 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = -3 + e 0,2x 2x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= -3 + e 0,2x 2x -3 + 0 - -3 +0 -3

Für x → ∞ ⇒ f(x)= -3 + e 0,2x 2x -3 + -3 + e 0,2x 2x : ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = -3 .