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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- x^{2} + 4 x + 5}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- x^{2} + 4 x + 5}$ = $\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+7}{- 1⋅"-0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{+7}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+7}{- 1⋅"+0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{+7}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-185}{- 1⋅(+6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-185}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- (x + 1) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-185}{- 1⋅(+6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-185}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- x^{2} + 4 x + 5}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 x + 2 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 x + 2 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{- 1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 5}{- x^{2} + 4 x + 5}$ = $\frac{- 2 x + 2 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{- 1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 2 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 1}{- 4 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 4 - x$	=	0
$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 1}{- 4 - x}$ → $\frac{-17}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 1}{- 4 - x}$ → $\frac{-17}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} - 5 x + 1}{- x^{2} - 4 x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 4 x$	=	0
$- x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} - 5 x + 1}{- x^{2} - 4 x}$ = $\frac{5 x^{2} - 5 x + 1}{- x \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 5 x + 1}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+101}{- 1⋅(-4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+101}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 5 x + 1}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+101}{- 1⋅(-4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+101}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 5 x + 1}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{- 1⋅"-0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 5 x + 1}{- x \cdot (x + 4)}$ → $\frac{+1}{- 1⋅"+0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x + 2}{x^{2} + 2 x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x + 2}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x + 2}{x \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x + 2}{x \cdot (x + 2)}$ = $\frac{x + 2}{x \cdot (x + 2)}$ = $\frac{1}{x}$

Für x → $- 2$ ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{x \cdot (x + 2)}$ = $\frac{1}{x}$ → $\frac{1}{(- 2)}$ = $- \frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 2$ | $- \frac{1}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"-0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"+0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-5|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 5)}{x^{2} + 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 5}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x + 5)}^{2}}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 20 x - 50}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{- 2 x^{2} - 20 x - 50}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{20}{x} - \frac{50}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 2 - \frac{20}{x} - \frac{50}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 20 x - 50}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{- 2 - \frac{20}{x} - \frac{50}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x + 5)}^{2}}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(0|0) und N₂(-6|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 7 x + 12}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 0) \cdot (x + 6))}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 6 x)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 6 x}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 6 x)}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- x^{2} - 6 x}{x^{2} + 7 x + 12}$

$\frac{- x^{2} - 6 x}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{6}{x})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 6 x}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{- 1 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 6 x)}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{3}{x^{2}} - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x^{2}} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x^{2}} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 1 - 3 e^{- 0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 1 - 3 e^{- 0,3 x}$ → $- 1 - \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 1 - 3 e^{- 0,3 x}$ → $- 1 + 0$ → $- 1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞