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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+40}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+40}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+40}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+40}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+65}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+65}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+65}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+65}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{3}{1}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{4 + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$4 + x$	=	0
$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{4 + x}$ → $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{4 + x}$ → $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2}{- x^{2} - x + 6}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2}{- x^{2} - x + 6}$ = $\frac{- 2}{- (x + 3) \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{- (x + 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{- 1⋅"-0" ⋅ (-5)}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{- (x + 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{- 1⋅"+0" ⋅ (-5)}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{- (x + 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{- 1⋅(+5) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{- (x + 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{- 1⋅(+5) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x + 2}{(x - 3) (x - 2)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $3$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- x + 2}{(x - 3) (x - 2)}$ = $\frac{- 1}{(x - 3) \cdot 1}$

Für x → $2$ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 2}{(x - 3) (x - 2)}$ = $\frac{- 1}{(x - 3) \cdot 1}$ → $\frac{- 1}{(2 - 3) \cdot 1}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $2$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 2}{(x - 3) (x - 2)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 2}{(x - 3) (x - 2)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(6|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 8 x + 15}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 6)}{x^{2} - 8 x + 15}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 6}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x - 6)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{- x^{2} + 12 x - 36}{x^{2} - 8 x + 15}$

$\frac{- x^{2} + 12 x - 36}{x^{2} - 8 x + 15}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{12}{x} - \frac{36}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 + \frac{12}{x} - \frac{36}{x^{2}}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 12 x - 36}{x^{2} - 8 x + 15}$ = $\frac{- 1 + \frac{12}{x} - \frac{36}{x^{2}}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x - 6)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x - 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 2 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x - 2)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} - 4 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 4)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 4 x + 4}$

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 4 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 24 x - 48}{x^{2} - 4 x + 4}$ = $\frac{- 3 + \frac{24}{x} - \frac{48}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{1}{x^{3}} - 5$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x^{3}} - 5$ → $0 - 5$ → $- 5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x^{3}} - 5$ → $0 - 5$ → $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 + \frac{e^{0,1 x}}{x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 + \frac{e^{0,1 x}}{x}$ → $- 4 + \frac{0}{- \infty}$ → $- 4 + 0$ → $- 4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 + \frac{e^{0,1 x}}{x}$ → $- 4 + \frac{\infty}{\infty}$ → $- 4 + \infty$ → $\infty$ $\frac{e^{0,1 x}}{x}$ → $\infty$ : ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 4$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞