senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-4-x\right)x$	=	0
$\left(-x-4\right)x$	=	0
$x\left(-x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; 0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{5x+4}{\left(-4-x\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5x+4}{\left(-4-x\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{5x+4}{\left(-4-x\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5x+4}{\left(-4-x\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{5x+4}{\left(-4-x\right)x}$ = $\frac{5x+4}{-x^2-4x}$

$\frac{5x+4}{-x^2-4x}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(-1-\frac{4}{x}\right)}$ = $\frac{\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}{-1-\frac{4}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5x+4}{-x^2-4x}$ = $\frac{\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}{-1-\frac{4}{x}}$ → = $\frac{0}{-1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x+3$	=	0	| $-3$
$x$	=	$-3$

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{x+3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x+3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-9$	=	0	| $+9$
$x^2$	=	$9$	|
x1	=	$-\sqrt{9}$	= $-3$
x2	=	$\sqrt{9}$	= $3$

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $3$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-5}{x^2-9}$ = $\frac{-5}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>6</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>6</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>6</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>6</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-2x-6$	=	0	| $+6$
$-2x$	=	$6$	|:($-2$)
$x$	=	$-3$

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{-2x-6}$ = $\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{-2x-6}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+2\right)$

Für x → $-3$ ⇒ f(x)= $\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{-2x-6}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+2\right)$ → $-\frac{1}{2}\left(-3+2\right)$ = $\frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-3$| $\frac{1}{2}$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+2}{\left(x+0\right)·\left(x-3\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+0\right)·\left(x-3\right)}$ = $\frac{-x^2-4x-4}{x^2-3x}$

$\frac{-x^2-4x-4}{x^2-3x}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{3}{x}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-4x-4}{x^2-3x}$ = $\frac{-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{3}{x}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+0\right)·\left(x-3\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+6}{{\left(x+3\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x+6}{{\left(x+3\right)}^2}$ = $\frac{x+6}{x^2+6x+9}$

$\frac{x+6}{x^2+6x+9}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x+6}{x^2+6x+9}$ = $\frac{\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{-\left(x+6\right)}{{\left(x+3\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x}-1+\frac{4}{x^2}$ → $0-1+0$ → $-1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x}-1+\frac{4}{x^2}$ → $0-1+0$ → $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-1$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-4$ → $\infty -4$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-4$ → $0-4$ → $-4$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.