senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(5-x\right)·\left(x+4\right)$	=	0
$\left(-x+5\right)·\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $5$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{\left(5-x\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>199</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>9</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>199</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{\left(5-x\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>199</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>9</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>199</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{\left(5-x\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>305</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>9</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>305</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{\left(5-x\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>305</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>9</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>305</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{\left(5-x\right)·\left(x+4\right)}$ = $\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{-x^2+x+20}$

$\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{-x^2+x+20}$ = $\frac{x^2·\left(3x-2-\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{x^2·\left(-1+\frac{1}{x}+\frac{20}{x^2}\right)}$ = $\frac{3x-2-\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{1}{x}+\frac{20}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3x^3-2x^2-5x+5}{-x^2+x+20}$ = $\frac{3x-2-\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{1}{x}+\frac{20}{x^2}}$ → = $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-5-x$	=	0
$-x-5$	=	0	| $+5$
$-x$	=	$5$	|:($-1$)
$x$	=	$-5$

also Definitionsmenge D=R\{ $-5$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5}{-5-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5}{-5-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-5$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-x^2+1$	=	0	| $-1$
$-x^2$	=	$-1$	|: $\left(-1\right)$
$x^2$	=	$1$	|
x1	=	$-\sqrt{1}$	= $-1$
x2	=	$\sqrt{1}$	= $1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $1$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-x-4}{-x^2+1}$ = $\frac{-x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x-4}{-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+x$	=	0
$x·\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-x}{x^2+x}$ = $\frac{-x}{x·\left(x+1\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-x}{x·\left(x+1\right)}$ = $\frac{-x}{x·\left(x+1\right)}$ = $-\frac{1}{x+1}$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{-x}{x·\left(x+1\right)}$ = $-\frac{1}{x+1}$ → $-\frac{1}{0+1}$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($0$| $-1$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x}{x·\left(x+1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x}{x·\left(x+1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2+3x+2}{\left(x-1\right)·\left(x-4\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2\left(x^2+3x+2\right)}{\left(x-1\right)·\left(x-4\right)}$ = $\frac{-2x^2-6x-4}{x^2-5x+4}$

$\frac{-2x^2-6x-4}{x^2-5x+4}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{6}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{6}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-6x-4}{x^2-5x+4}$ = $\frac{-2-\frac{6}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2\left(x^2+3x+2\right)}{\left(x-1\right)·\left(x-4\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+5}{{\left(x+2\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x+5\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$ = $\frac{-x^2-10x-25}{x^2+4x+4}$

$\frac{-x^2-10x-25}{x^2+4x+4}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{10}{x}-\frac{25}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{10}{x}-\frac{25}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-10x-25}{x^2+4x+4}$ = $\frac{-1-\frac{10}{x}-\frac{25}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x+5\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^2}+5$ → $0+5$ → $5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^2}+5$ → $0+5$ → $5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $5$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-4-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ → $-4-\infty$ → $-\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-4-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ → $-4+0$ → $-4$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.