Aufgabenbeispiele von Asymptoten

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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = 3 x 3 -5 x 2 +4x -1 x 2 +3x +2

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 +3x +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · 2 21

x1,2 = -3 ± 9 -8 2

x1,2 = -3 ± 1 2

x1 = -3 + 1 2 = -3 +1 2 = -2 2 = -1

x2 = -3 - 1 2 = -3 -1 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - 2 = 9 4 - 2 = 9 4 - 8 4 = 1 4

x1,2 = - 3 2 ± 1 4

x1 = - 3 2 - 1 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 3 2 + 1 2 = - 2 2 = -1

also Definitionsmenge D=R\{ -2 ; -1 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

3 x 3 -5 x 2 +4x -1 x 2 +3x +2 = 3 x 3 -5 x 2 +4x -1 ( x +1 ) · ( x +2 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -2 (von links und von rechts)

Für x   x<-2   -2 - ⇒ f(x)= 3 x 3 -5 x 2 +4x -1 ( x +1 ) · ( x +2 ) -53 (-1) ⋅ "-0" = -53 "+0" -

Für x   x>-2   -2 + ⇒ f(x)= 3 x 3 -5 x 2 +4x -1 ( x +1 ) · ( x +2 ) -53 (-1) ⋅ "+0" = -53 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -2 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= 3 x 3 -5 x 2 +4x -1 ( x +1 ) · ( x +2 ) -13 "-0" ⋅ (+1) = -13 "-0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= 3 x 3 -5 x 2 +4x -1 ( x +1 ) · ( x +2 ) -13 "+0" ⋅ (+1) = -13 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

3 x 3 -5 x 2 +4x -1 x 2 +3x +2 = x 2 · ( 3x -5 + 4 x - 1 x 2 ) x 2 · ( 1 + 3 x + 2 x 2 ) = 3x -5 + 4 x - 1 x 2 1 + 3 x + 2 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 3 x 3 -5 x 2 +4x -1 x 2 +3x +2 = 3x -5 + 4 x - 1 x 2 1 + 3 x + 2 x 2 -5 +0+0 1 +0+0 =

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -1 -2 + x

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

-2 + x = 0
x -2 = 0 | +2
x = 2

also Definitionsmenge D=R\{ 2 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= -1 -2 + x -1 "-0"

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= -1 -2 + x -1 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 4x -5 x 2 - x -2

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 - x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +8 2

x1,2 = +1 ± 9 2

x1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = 1 2 ± 9 4

x1 = 1 2 - 3 2 = - 2 2 = -1

x2 = 1 2 + 3 2 = 4 2 = 2

also Definitionsmenge D=R\{ -1 ; 2 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

4x -5 x 2 - x -2 = 4x -5 ( x -2 ) · ( x +1 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= 4x -5 ( x -2 ) · ( x +1 ) -9 (-3) ⋅ "-0" = -9 "+0" -

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= 4x -5 ( x -2 ) · ( x +1 ) -9 (-3) ⋅ "+0" = -9 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= 4x -5 ( x -2 ) · ( x +1 ) +3 "-0" ⋅ (+3) = +3 "-0" -

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= 4x -5 ( x -2 ) · ( x +1 ) +3 "+0" ⋅ (+3) = +3 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -x +1 x 2 -1

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

also Definitionsmenge D=R\{ -1 ; 1 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-x +1 x 2 -1 = -x +1 ( x +1 ) · ( x -1 )

Wir untersuchen das Verhalten für x → 1 und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

-x +1 ( x +1 ) · ( x -1 ) = -1 ( x +1 ) · 1

Für x → 1 ⇒ f(x)= -x +1 ( x +1 ) · ( x -1 ) = -1 ( x +1 ) · 1 -1 ( 1 +1 ) · 1 = - 1 2

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(1 | - 1 2 )


Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -x +1 ( x +1 ) · ( x -1 ) +2 "-0" ⋅ (-2) = +2 "+0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -x +1 ( x +1 ) · ( x -1 ) +2 "+0" ⋅ (-2) = +2 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = 0 und bei x2 = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N1(3|0) und N2(-2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=0 und x2=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x +0 ) · ( x +3 ) = ? x 2 +3x

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x -3 ) · ( x +2 ) ) x 2 +3x = ?⋅ ( x 2 - x -6 ) x 2 +3x

Jetzt testen wir x 2 - x -6 ( x +0 ) · ( x +3 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-3( x 2 - x -6 ) ( x +0 ) · ( x +3 ) = -3 x 2 +3x +18 x 2 +3x

-3 x 2 +3x +18 x 2 +3x = x 2 · ( -3 + 3 x + 18 x 2 ) x 2 · ( 1 + 3 x ) = -3 + 3 x + 18 x 2 1 + 3 x

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -3 x 2 +3x +18 x 2 +3x = -3 + 3 x + 18 x 2 1 + 3 x -3 +0+0 1 +0 = -3 1 = -3

Mit f(x)= -3( x 2 - x -6 ) ( x +0 ) · ( x +3 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x1 = 3 und bei x2 = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N1(6|0) und N2(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=3 und x2=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x -3 ) · ( x -5 ) = ? x 2 -8x +15

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x -6 ) · ( x +0 ) ) x 2 -8x +15 = ?⋅ ( x 2 -6x ) x 2 -8x +15

Jetzt testen wir x 2 -6x ( x -3 ) · ( x -5 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-3( x 2 -6x ) ( x -3 ) · ( x -5 ) = -3 x 2 +18x x 2 -8x +15

-3 x 2 +18x x 2 -8x +15 = x 2 · ( -3 + 18 x ) x 2 · ( 1 - 8 x + 15 x 2 ) = -3 + 18 x 1 - 8 x + 15 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -3 x 2 +18x x 2 -8x +15 = -3 + 18 x 1 - 8 x + 15 x 2 -3 +0 1 +0+0 = -3 1 = -3

Mit f(x)= -3( x 2 -6x ) ( x -3 ) · ( x -5 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e 0,1x +3 - 2 x 3 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e 0,1x +3 - 2 x 3 0 +3 +0 3

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e 0,1x +3 - 2 x 3 +3 +0

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 3 .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = - e 0,2x +1 für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= - e 0,2x +1 0 +1 1

Für x → ∞ ⇒ f(x)= - e 0,2x +1 - +1 -

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 1 .