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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+11}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+11}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+11}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+11}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+31}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+31}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{(x - 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+31}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+31}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{5 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{5 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{5}{1}$ = $5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $5$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2}{e^{2 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{x} - 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2}{e^{2 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 2}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-2}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-2}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3}{(x - 2) (x - 2)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(x - 2) (x - 2)$	=	0
${(x - 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3}{(x - 2) (x - 2)}$ = $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ → $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ → $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ ohne VZW (beides + )

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 3) (x + 2)}{3 x + 3}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{(x + 3) (x + 2)}{3 x + 3}$ → $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 3) (x + 2)}{3 x + 3}$ → $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 0 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 1 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 0)}^{2}}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2}}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{{(x + 0)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall 1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $x^{2} + 1$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x^{2} + 1}{{(x + 0)}^{2}}$ = $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ = $\frac{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1}$ = $\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ = $\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1}$ → $\frac{1 + 0}{1}$ = $\frac{1}{1}$ = $1$

Mit f(x)= $\frac{x^{2} + 1}{{(x + 0)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 0 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 0)}^{2}}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2}}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{{(x + 0)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x - 2}{{(x + 0)}^{2}}$ = $\frac{x - 2}{x^{2}}$

$\frac{x - 2}{x^{2}}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x - 2}{x^{2}}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1}$ → $\frac{0 + 0}{1}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x - 2}{{(x + 0)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 2 x \cdot e^{0,4 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 2 x \cdot e^{0,4 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 2 x \cdot e^{0,4 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 + 4 e^{- 0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 + 4 e^{- 0,5 x}$ → $3 + \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 + 4 e^{- 0,5 x}$ → $3 + 0$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞