Aufgabenbeispiele von Asymptoten

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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = -5x +1 x 2 + x

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 + x = 0
x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

also Definitionsmenge D=R\{ -1 ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-5x +1 x 2 + x = -5x +1 x · ( x +1 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -5x +1 x · ( x +1 ) +6 (-1) ⋅ "-0" = +6 "+0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -5x +1 x · ( x +1 ) +6 (-1) ⋅ "+0" = +6 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= -5x +1 x · ( x +1 ) +1 "-0" ⋅ (+1) = +1 "-0" -

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= -5x +1 x · ( x +1 ) +1 "+0" ⋅ (+1) = +1 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

-5x +1 x 2 + x = x 2 · ( - 5 x + 1 x 2 ) x 2 · ( 1 + 1 x ) = - 5 x + 1 x 2 1 + 1 x

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -5x +1 x 2 + x = - 5 x + 1 x 2 1 + 1 x 0+0 1 +0 = 0 1 = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 4x +5 -4 - x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

-4 - x = 0
-x -4 = 0 | +4
-x = 4 |:(-1 )
x = -4

also Definitionsmenge D=R\{ -4 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -4 (von links und von rechts)

Für x   x<-4   -4 - ⇒ f(x)= 4x +5 -4 - x -11 "+0" -

Für x   x>-4   -4 + ⇒ f(x)= 4x +5 -4 - x -11 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -4 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -4 x 2 - x +5 ( -5 - x ) x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( -5 - x ) x = 0
( -x -5 ) x = 0
x ( -x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x -5 = 0 | +5
-x = 5 |:(-1 )
x2 = -5

also Definitionsmenge D=R\{ -5 ; 0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -5 (von links und von rechts)

Für x   x<-5   -5 - ⇒ f(x)= -4 x 2 - x +5 ( -5 - x ) x -90 "+0" ⋅ (-5) = -90 "-0"

Für x   x>-5   -5 + ⇒ f(x)= -4 x 2 - x +5 ( -5 - x ) x -90 "-0" ⋅ (-5) = -90 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -5 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= -4 x 2 - x +5 ( -5 - x ) x +5 (-5) ⋅ "-0" = +5 "+0"

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= -4 x 2 - x +5 ( -5 - x ) x +5 (-5) ⋅ "+0" = +5 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3x -3 x 2 + x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 + x = 0
x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

also Definitionsmenge D=R\{ -1 ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-3x -3 x 2 + x = -3x -3 x · ( x +1 )

Wir untersuchen das Verhalten für x → -1 und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

-3x -3 x · ( x +1 ) = -3x -3 x · ( x +1 ) = - 3 x

Für x → -1 ⇒ f(x)= -3x -3 x · ( x +1 ) = - 3 x - 3 ( -1 ) = 3

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(-1 | 3 )


Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= -3x -3 x · ( x +1 ) -3 "-0" ⋅ (+1) = -3 "-0"

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= -3x -3 x · ( x +1 ) -3 "+0" ⋅ (+1) = -3 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = 3 und bei x2 = 1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N1(5|0) und N2(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=3 und x2=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x -3 ) · ( x -1 ) = ? x 2 -4x +3

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x -5 ) · ( x +0 ) ) x 2 -4x +3 = ?⋅ ( x 2 -5x ) x 2 -4x +3

Jetzt testen wir x 2 -5x ( x -3 ) · ( x -1 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-( x 2 -5x ) ( x -3 ) · ( x -1 ) = - x 2 +5x x 2 -4x +3

- x 2 +5x x 2 -4x +3 = x 2 · ( -1 + 5 x ) x 2 · ( 1 - 4 x + 3 x 2 ) = -1 + 5 x 1 - 4 x + 3 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= - x 2 +5x x 2 -4x +3 = -1 + 5 x 1 - 4 x + 3 x 2 -1 +0 1 +0+0 = -1 1 = -1

Mit f(x)= -( x 2 -5x ) ( x -3 ) · ( x -1 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 2 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

? ( x -2 ) 2 = ? x 2 -4x +4

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x -4 ) x 2 -4x +4

Jetzt testen wir x -4 ( x -2 ) 2 auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-2 ( x -4 ) 2 ( x -2 ) 2 = -2 x 2 +16x -32 x 2 -4x +4

-2 x 2 +16x -32 x 2 -4x +4 = x 2 · ( -2 + 16 x - 32 x 2 ) x 2 · ( 1 - 4 x + 4 x 2 ) = -2 + 16 x - 32 x 2 1 - 4 x + 4 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -2 x 2 +16x -32 x 2 -4x +4 = -2 + 16 x - 32 x 2 1 - 4 x + 4 x 2 -2 +0+0 1 +0+0 = -2 1 = -2

Mit f(x)= -2 ( x -4 ) 2 ( x -2 ) 2 sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e -0,2x -5 x 2 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e -0,2x -5 x 2 - - ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e -0,2x -5 x 2 0 - 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e 0,1x 2x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e 0,1x 2x 0 - 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e 0,1x 2x ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).