senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+5x+6$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $-2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2}{x^2+5x+6}$ = $\frac{2}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{2}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{2}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{2}{x^2+5x+6}$ = $\frac{x^2·\frac{2}{x^2}}{x^2·\left(1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{2}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^2+5x+6}$ = $\frac{\frac{2}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-3+x$	=	0
$x-3$	=	0	| $+3$
$x$	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{-3+x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{-3+x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-3x$	=	0
$x·\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0; $3$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3x^2-3x+5}{x^2-3x}$ = $\frac{3x^2-3x+5}{x·\left(x-3\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^2-3x+5}{x·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^2-3x+5}{x·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^2-3x+5}{x·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>23</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>23</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^2-3x+5}{x·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>23</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>23</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-3\right)·\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $3$; $5$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $5$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -5) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-2x+10}{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}$ = $\frac{-2x+10}{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}$ = $\frac{-2\cdot }{\left(x-3\right)·1}$

Für x → $5$ ⇒ f(x)= $\frac{-2x+10}{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}$ = $\frac{-2\cdot }{\left(x-3\right)·1}$ → $\frac{-2\cdot }{\left(5-3\right)·1}$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($5$| $-1$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x+10}{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x+10}{\left(x-3\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+1}{{\left(x+3\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$ = $\frac{3x^2+6x+3}{x^2+6x+9}$

$\frac{3x^2+6x+3}{x^2+6x+9}$ = $\frac{x^2·\left(3+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}\right)}$ = $\frac{3+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3x^2+6x+3}{x^2+6x+9}$ = $\frac{3+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$ → = $\frac{3}{1}$ = $3$

Mit f(x)= $\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2+3x-4}{\left(x+1\right)·\left(x-2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2\left(x^2+3x-4\right)}{\left(x+1\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-2x^2-6x+8}{x^2-x-2}$

$\frac{-2x^2-6x+8}{x^2-x-2}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{6}{x}+\frac{8}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{6}{x}+\frac{8}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-6x+8}{x^2-x-2}$ = $\frac{-2-\frac{6}{x}+\frac{8}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2\left(x^2+3x-4\right)}{\left(x+1\right)·\left(x-2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2x·e^{\mathrm{0,3}x}$ → $-\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2x·e^{\mathrm{0,3}x}$ → $\infty ·\infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{-\mathrm{0,3}x}+1$ → $\infty +1$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{-\mathrm{0,3}x}+1$ → $0+1$ → $1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$.