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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{x^{2} + x - 2}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-37}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-37}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-37}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-37}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+17}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+17}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+17}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+17}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{5 x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{5 x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty + 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 1}{4 + x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$4 + x$	=	0
$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{4 + x}$ → $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{4 + x}$ → $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x + 3}{- x^{2} - 7 x - 10}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ ; $- 2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5 x + 3}{- x^{2} - 7 x - 10}$ = $\frac{- 5 x + 3}{- (x + 5) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 5}{⟶}$ $- 5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x + 3}{- (x + 5) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+28}{- 1⋅"-0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{+28}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 5}{⟶}$ $- 5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x + 3}{- (x + 5) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+28}{- 1⋅"+0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{+28}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 5$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x + 3}{- (x + 5) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+13}{- 1⋅(+3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+13}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x + 3}{- (x + 5) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+13}{- 1⋅(+3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+13}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x - 6}{x^{2} - 2 x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{0; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 2 x}$ = $\frac{2 x - 6}{x \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 6}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-6}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-6}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 6}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-6}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-6}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 6}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 6}{x \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(5|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 5 x + 6}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 5) \cdot (x + 0))}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 5 x)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 5 x}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 5 x)}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 10 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{10}{x})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{10}{x}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 10 x}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{- 2 + \frac{10}{x}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 5 x)}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 2 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 2 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x - 2)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} - 4 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall 2 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =2 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $2 (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$ = $\frac{2 x^{2} + 2}{x^{2} - 4 x + 4}$

$\frac{2 x^{2} + 2}{x^{2} - 4 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{2 + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 2}{x^{2} - 4 x + 4}$ = $\frac{2 + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{2 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$

Mit f(x)= $\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{0,4 x} - 4$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{0,4 x} - 4$ → $0 - 4$ → $- 4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{0,4 x} - 4$ → $\infty - 4$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 4$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{- 0,5 x} - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,5 x} - 2$ → $\infty - 2$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,5 x} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞