senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-3-x\right)\left(x-4\right)$	=	0
$\left(-x-3\right)\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-3x+4}{\left(-3-x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>49</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>7</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>49</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-3x+4}{\left(-3-x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>49</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>7</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>49</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-3x+4}{\left(-3-x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>56</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>7</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>56</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-3x+4}{\left(-3-x\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>56</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>7</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>56</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{4x^2-3x+4}{\left(-3-x\right)\left(x-4\right)}$ = $\frac{4x^2-3x+4}{-x^2+x+12}$

$\frac{4x^2-3x+4}{-x^2+x+12}$ = $\frac{x^2·\left(4-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(-1+\frac{1}{x}+\frac{12}{x^2}\right)}$ = $\frac{4-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{-1+\frac{1}{x}+\frac{12}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2-3x+4}{-x^2+x+12}$ = $\frac{4-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{-1+\frac{1}{x}+\frac{12}{x^2}}$ → = $\frac{4}{-1}$ = $-4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x$

=

0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x+4}{x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x+4}{x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(5+x\right)\left(x-3\right)$	=	0
$\left(x+5\right)\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-5$; $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$^- ⇒ f(x)= $\frac{4}{\left(5+x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4}{\left(5+x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-5$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{4}{\left(5+x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4}{\left(5+x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-1$	=	0	| $+1$
$x^2$	=	$1$	|
x1	=	$-\sqrt{1}$	= $-1$
x2	=	$\sqrt{1}$	= $1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $1$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-3x+3}{x^2-1}$ = $\frac{-3x+3}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-3x+3}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3x+3}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3\cdot }{\left(x+1\right)·1}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3\cdot }{\left(x+1\right)·1}$ → $\frac{-3\cdot }{\left(1+1\right)·1}$ = $-\frac{3}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($1$| $-\frac{3}{2}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+2}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$ = $\frac{-x^2-4x-4}{x^2+5x+4}$

$\frac{-x^2-4x-4}{x^2+5x+4}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-4x-4}{x^2+5x+4}$ = $\frac{-1-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+1\right)·\left(x+4\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+3}{\left(x+2\right)·\left(x+1\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x+3\right)}^2}{\left(x+2\right)·\left(x+1\right)}$ = $\frac{-x^2-6x-9}{x^2+3x+2}$

$\frac{-x^2-6x-9}{x^2+3x+2}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}}{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-6x-9}{x^2+3x+2}$ = $\frac{-1-\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}}{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x+3\right)}^2}{\left(x+2\right)·\left(x+1\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x^3}+5+\frac{4}{x^2}$ → $0+5+0$ → $5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x^3}+5+\frac{4}{x^2}$ → $0+5+0$ → $5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $5$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-3+x·e^{\mathrm{0,1}x}$ → $-3-\infty ·0$ → $-3+0$ → $-3$ $x·e^{\mathrm{0,1}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-3+x·e^{\mathrm{0,1}x}$ → $-3+\infty ·\infty$ → $-3+\infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-3$.