Aufgabenbeispiele von Asymptoten

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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = -x +4 x 2 +7x +12

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 +7x +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · 12 21

x1,2 = -7 ± 49 -48 2

x1,2 = -7 ± 1 2

x1 = -7 + 1 2 = -7 +1 2 = -6 2 = -3

x2 = -7 - 1 2 = -7 -1 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - 12 = 49 4 - 12 = 49 4 - 48 4 = 1 4

x1,2 = - 7 2 ± 1 4

x1 = - 7 2 - 1 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 7 2 + 1 2 = - 6 2 = -3

also Definitionsmenge D=R\{ -4 ; -3 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-x +4 x 2 +7x +12 = -x +4 ( x +3 ) · ( x +4 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -4 (von links und von rechts)

Für x   x<-4   -4 - ⇒ f(x)= -x +4 ( x +3 ) · ( x +4 ) +8 (-1) ⋅ "-0" = +8 "+0"

Für x   x>-4   -4 + ⇒ f(x)= -x +4 ( x +3 ) · ( x +4 ) +8 (-1) ⋅ "+0" = +8 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -4 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -3 (von links und von rechts)

Für x   x<-3   -3 - ⇒ f(x)= -x +4 ( x +3 ) · ( x +4 ) +7 "-0" ⋅ (+1) = +7 "-0" -

Für x   x>-3   -3 + ⇒ f(x)= -x +4 ( x +3 ) · ( x +4 ) +7 "+0" ⋅ (+1) = +7 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -3 mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

-x +4 x 2 +7x +12 = x 2 · ( - 1 x + 4 x 2 ) x 2 · ( 1 + 7 x + 12 x 2 ) = - 1 x + 4 x 2 1 + 7 x + 12 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -x +4 x 2 +7x +12 = - 1 x + 4 x 2 1 + 7 x + 12 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 5x +3 x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x = 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 5x +3 x +3 "-0" -

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 5x +3 x +3 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 2x +1 - x 2 +4x -3

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

- x 2 +4x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · ( -3 ) 2( -1 )

x1,2 = -4 ± 16 -12 -2

x1,2 = -4 ± 4 -2

x1 = -4 + 4 -2 = -4 +2 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -4 - 4 -2 = -4 -2 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +4x -3 = 0 |: -1

x 2 -4x +3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

also Definitionsmenge D=R\{ 1 ; 3 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

2x +1 - x 2 +4x -3 = 2x +1 - ( x -1 ) · ( x -3 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 1 (von links und von rechts)

Für x   x<1   1 - ⇒ f(x)= 2x +1 - ( x -1 ) · ( x -3 ) +3 -1 ⋅"-0" ⋅ (-2) = +3 "-0" -

Für x   x>1   1 + ⇒ f(x)= 2x +1 - ( x -1 ) · ( x -3 ) +3 -1 ⋅"+0" ⋅ (-2) = +3 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 1 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 3 (von links und von rechts)

Für x   x<3   3 - ⇒ f(x)= 2x +1 - ( x -1 ) · ( x -3 ) +7 -1 ⋅(+2) ⋅ "-0" = +7 "+0"

Für x   x>3   3 + ⇒ f(x)= 2x +1 - ( x -1 ) · ( x -3 ) +7 -1 ⋅(+2) ⋅ "+0" = +7 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 3 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3x +9 ( x -1 ) ( x -2 )

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( x -1 ) ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -1 = 0 | +1
x1 = 1

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

also Definitionsmenge D=R\{ 1 ; 2 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 1 (von links und von rechts)

Für x   x<1   1 - ⇒ f(x)= -3x +9 ( x -1 ) ( x -2 ) +6 "-0" ⋅ (-1) = +6 "+0"

Für x   x>1   1 + ⇒ f(x)= -3x +9 ( x -1 ) ( x -2 ) +6 "+0" ⋅ (-1) = +6 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 1 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= -3x +9 ( x -1 ) ( x -2 ) +3 (+1) ⋅ "-0" = +3 "-0" -

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= -3x +9 ( x -1 ) ( x -2 ) +3 (+1) ⋅ "+0" = +3 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= -2 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? x +2

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= 1 x +2 , passen bereits die Definitionslücke bei x = -2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

1 x +2 = x · 1 x x · ( 1 + 2 x ) = 1 x 1 + 2 x

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 1 x +2 = 1 x 1 + 2 x 0 1 +0 = 0 1 = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x   x<-2   -2- ⇒ f(x)= 1 x +2 +1 "-0" -

Für x   x>-2   -2+ ⇒ f(x)= 1 x +2 +1 "+0"

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= -1 x +2 sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -3 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-6|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

? ( x +3 ) 2 = ? x 2 +6x +9

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x +6 ) x 2 +6x +9

Jetzt testen wir x +6 ( x +3 ) 2 auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
x +6 ( x +3 ) 2 = x +6 x 2 +6x +9

x +6 x 2 +6x +9 = x 2 · ( 1 x + 6 x 2 ) x 2 · ( 1 + 6 x + 9 x 2 ) = 1 x + 6 x 2 1 + 6 x + 9 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x +6 x 2 +6x +9 = 1 x + 6 x 2 1 + 6 x + 9 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Mit f(x)= -( x +6 ) ( x +3 ) 2 sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 5 x 2 · e -0,1x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= 5 x 2 · e -0,1x ·

Für x → ∞ ⇒ f(x)= 5 x 2 · e -0,1x · 0 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 2 x 2 · e -0,2x -3 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= 2 x 2 · e -0,2x -3 · -3 -3

Für x → ∞ ⇒ f(x)= 2 x 2 · e -0,2x -3 · 0 -3 0 -3 -3 2 x 2 · e -0,2x 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = -3 .