Aufgabenbeispiele von Asymptoten
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alle Asymptoten bestimmen
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) =
senkrechte Asymptoten
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
| = | | | ||
| = | | | ||
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
also Definitionsmenge D=R\{
Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
waagrechte Asymptoten
Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:
So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:
Für x → ±∞ ⇒ f(x)=
Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y =
senkrechte Asymptote (einfach)
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) =
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
|
|
= | |
|
|
|
|
= |
|
also Definitionsmenge D=R\{
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
senkrechte Asymptoten
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) =
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x =
also Definitionsmenge D=R\{
Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
Polstellen und hebbare Def.-Lücken
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) =
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
|
|
= | |: |
|
|
|
= |
also Definitionsmenge D=R\{
und den Zähler:
Wir untersuchen das Verhalten für x →
Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x
Für x →
Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(
Term mit Asymptoten bestimmen
Beispiel:
Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 1 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.
Zuerst der Nenner
Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:
Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)=
waagrechte Asymptoten
Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:
So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:
Für x → ±∞ ⇒ f(x)=
Vorzeichenwechsel (VZW)
Für x
Für x
Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.
Mit f(x)=
Bruchterm mit Asymptoten bestimmen
Beispiel:
Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x1 = 1 und bei x2 = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N1(-1|0) und N2(0|0) Nullstellen besitzt.
Zuerst der Nenner
Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=1 und x2=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:
Nullstellen in den Zähler
Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also
Jetzt testen wir
Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:
waagrechte Asymptoten
Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:
Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:
Für x → ±∞ ⇒ f(x)=
Mit f(x)=
waagrechte Asymptoten
Beispiel:
Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) =
Für x → -∞ ⇒ f(x)=
Für x → ∞ ⇒ f(x)=
Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y =
e-Fkt'n Verhalten → ∞
Beispiel:
Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) =
Für x → -∞ ⇒ f(x)=
Für x → ∞ ⇒ f(x)=
Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y =
