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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{(- 1 + x) (x - 2)}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(- 1 + x) (x - 2)$	=	0
$(x - 1) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{(- 1 + x) (x - 2)}$ → $\frac{-12}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-12}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{(- 1 + x) (x - 2)}$ → $\frac{-12}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-12}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{(- 1 + x) (x - 2)}$ → $\frac{-30}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-30}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{(- 1 + x) (x - 2)}$ → $\frac{-30}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-30}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{(- 1 + x) (x - 2)}$ = $\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$

$\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 5 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 5 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{- 5 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 5}{1}$ = $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 1}{e^{4 x} - e^{x}}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 1}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 1}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} - 7 x + 10}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{(x - 5) \cdot (x - 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{(x - 5) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-6}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-6}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{(x - 5) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-6}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-6}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{(x - 5) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-36}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-36}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{(x - 5) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-36}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-36}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 3) (x + 4)}{x + 4}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 4$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +4) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x + 4}$ = $\frac{(x + 3) (x + 4)}{x + 4}$ = $x + 3$

Für x → $- 4$ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 3) (x + 4)}{x + 4}$ = $x + 3$ → $- 4 + 3$ = $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 4$ | $- 1$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 7 x + 12}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} - 7 x + 12}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 7 x + 12}$

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(3|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 3)}{x^{2} + 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 3}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x - 3)}^{2}}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 27}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 27}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 18 x - 27}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{- 3 + \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x - 3)}^{2}}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{2}{x^{2}} + 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{2}} + 1$ → $0 + 1$ → $1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{2}} + 1$ → $0 + 1$ → $1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 x^{2} \cdot e^{0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 x^{2} \cdot e^{0,3 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 x^{2} \cdot e^{0,3 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞