Aufgabenbeispiele von Asymptoten
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alle Asymptoten bestimmen
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) =
senkrechte Asymptoten
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
also Definitionsmenge D=R\{
Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
waagrechte Asymptoten
Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:
So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:
Für x → ±∞ ⇒ f(x)=
Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y =
senkrechte Asymptote (einfach)
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) =
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
|
= | ||
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
also Definitionsmenge D=R\{
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
senkrechte Asymptoten
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) =
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
x1 | = |
|
2. Fall:
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
also Definitionsmenge D=R\{
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
Wir untersuchen nun das Verhalten für x →
Für x
Für x
Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x=
Polstellen und hebbare Def.-Lücken
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) =
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
|
= | |
|
|
|
= |
|
also Definitionsmenge D=R\{
Wir untersuchen das Verhalten für x →
Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x
Für x →
Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(
Term mit Asymptoten bestimmen
Beispiel:
Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 3 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → -∞), bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.
Zuerst der Nenner
Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=3 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:
Nullstellen in den Zähler
Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also
Jetzt testen wir
Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf.
(z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von
x²) =-1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler
waagrechte Asymptoten
Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:
Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:
Für x → ±∞ ⇒ f(x)=
Mit f(x)=
Bruchterm mit Asymptoten bestimmen
Beispiel:
Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 1 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.
Zuerst der Nenner
Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:
Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)=
waagrechte Asymptoten
Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:
So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:
Für x → ±∞ ⇒ f(x)=
Vorzeichenwechsel (VZW)
Für x
Für x
Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.
Mit f(x)=
waagrechte Asymptoten
Beispiel:
Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) =
Für x → -∞ ⇒ f(x)=
Für x → ∞ ⇒ f(x)=
Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y =
e-Fkt'n Verhalten → ∞
Beispiel:
Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) =
Für x → -∞ ⇒ f(x)=
Für x → ∞ ⇒ f(x)=
Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y =