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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} + 3 x + 2}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+24}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+24}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+24}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+24}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+5}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+5}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- x + 3 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- x + 3 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{- x + 3 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{x + 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{x + 1}$ → $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x + 1}$ → $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 1}{(3 - x) (x + 4)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(3 - x) (x + 4)$	=	0
$(- x + 3) (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(3 - x) (x + 4)}$ → $\frac{-1}{(+7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(3 - x) (x + 4)}$ → $\frac{-1}{(+7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(3 - x) (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 1}{(3 - x) (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x - 12}{(x - 3) (x - 5)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $5$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 12}{(x - 3) (x - 5)}$ → $\frac{-6}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-6}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 12}{(x - 3) (x - 5)}$ → $\frac{-6}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{-6}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 12}{(x - 3) (x - 5)}$ → $\frac{-2}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 12}{(x - 3) (x - 5)}$ → $\frac{-2}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-2|0) und N₂(4|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 2) \cdot (x - 4))}{x^{2} - 1}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 2 x - 8)}{x^{2} - 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 2 x - 8}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 2 x - 8)}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 16}{x^{2} - 1}$

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 16}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{4}{x} + \frac{16}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} + \frac{16}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 4 x + 16}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} + \frac{16}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 2 x - 8)}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-3|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 3)}{x^{2} + 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 3}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x + 3)}^{2}}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 18 x - 27}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{- 3 x^{2} - 18 x - 27}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 3 - \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 18 x - 27}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{- 3 - \frac{18}{x} - \frac{27}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x + 3)}^{2}}{(x + 0) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{5}{x} + 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x} + 3$ → $0 + 3$ → $3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x} + 3$ → $0 + 3$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $1 - 3 e^{0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $1 - 3 e^{0,5 x}$ → $1 + 0$ → $1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $1 - 3 e^{0,5 x}$ → $1 - \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞