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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ ; $3$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-20}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-20}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-20}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-20}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-55}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-55}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-55}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-55}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

$\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- x - 3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{- x - 3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{- x - 3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty - 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x + 3}{e^{2 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4 x + 3}{e^{2 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 4 x + 3}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x + 3}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x + 3}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x - 3}{x^{2} + 6 x + 9}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x - 3}{x^{2} + 6 x + 9}$ = $\frac{3 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$ → $\frac{-12}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$ → $\frac{-12}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ ohne VZW (beides - )

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 3}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 3}$ = $\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 3}$ = $x + 2$

Für x → $- 3$ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 3}$ = $x + 2$ → $- 3 + 2$ = $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 3$ | $- 1$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 4)}{x^{2} - 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 4}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- x^{2} + 8 x - 16}{x^{2} - 1}$

$\frac{- x^{2} + 8 x - 16}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{8}{x} - \frac{16}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 + \frac{8}{x} - \frac{16}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 8 x - 16}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- 1 + \frac{8}{x} - \frac{16}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(3|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 3)}{x^{2} - 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 3}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x - 3}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ = $\frac{x - 3}{x^{2} - 7 x + 10}$

$\frac{x - 3}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x - 3}{x^{2} - 7 x + 10}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x - 3}{(x - 2) \cdot (x - 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{4}{x} - 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{4}{x} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{4}{x} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 e^{- 0,4 x} + 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 e^{- 0,4 x} + 3$ → $- \infty + 3$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 e^{- 0,4 x} + 3$ → $0 + 3$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞