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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{2} + x - 3}{x^{2} + 3 x + 2}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{2} + x - 3}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{3 x^{2} + x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+7}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+7}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+7}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+7}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + x - 3}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{3 x^{2} + x - 3}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (3 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{3 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} + x - 3}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{3 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{3}{1}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3}{- 2 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 2 - x$	=	0
$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3}{- 2 - x}$ → $\frac{-3}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3}{- 2 - x}$ → $\frac{-3}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{- x^{2} - 2 x + 3}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{- x^{2} - 2 x + 3}$ = $\frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{- (x + 3) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{- (x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+40}{- 1⋅"-0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{+40}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{- (x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+40}{- 1⋅"+0" ⋅ (-4)}$ = $\frac{+40}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{- (x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅(+4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{- (x + 3) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅(+4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x + 3}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 1) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $3$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 3 x + 3}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 3 x + 3}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 3 \cdot}{1 \cdot (x - 3)}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 3}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 3 \cdot}{1 \cdot (x - 3)}$ → $\frac{- 3 \cdot}{1 \cdot (1 - 3)}$ = $\frac{3}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $1$ | $\frac{3}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 3}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-6}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-6}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 3}{(x - 1) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-6}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-6}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} - x - 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 1)}{x^{2} - x - 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 1}{(x + 1) \cdot (x - 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} - x - 2}$

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} - x - 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} - x - 2}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x - 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N₁(2|0) und N₂(-2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 2) \cdot (x + 2))}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 4)}{x^{2} + 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 4}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} - 4)}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- 3 x^{2} + 12}{x^{2} + 4 x + 3}$

$\frac{- 3 x^{2} + 12}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 + \frac{12}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} + 12}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{- 3 + \frac{12}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} - 4)}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{3}{x} + \frac{- 3}{e^{x}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x} + \frac{- 3}{e^{x}}$ → $0 + \frac{- 3}{0}$ → $0 - \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x} + \frac{- 3}{e^{x}}$ → $0 + \frac{- 3}{\infty}$ → $0 + 0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 x \cdot e^{- 0,4 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3 x \cdot e^{- 0,4 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3 x \cdot e^{- 0,4 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞