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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} - 5 x + 4}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+4}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+4}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+4}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+4}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+46}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+46}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+46}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+46}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $2$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x - 4}{2 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 - x$	=	0
$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ → $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ → $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$ = $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 2) \cdot (x + 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+29}{(-5) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+29}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+29}{(-5) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+29}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+4}{"-0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{+4}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+4}{"+0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{+4}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x + 1}{(x + 2) (x + 1)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) (x + 1)}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) (x + 1)}$ → $\frac{+2}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{(x + 2) (x + 1)}$ → $\frac{+2}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= -1 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-1 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x + 1}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = -1 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x + 1}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 + \frac{1}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 1}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{- 1}{x + 1}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 1)}{x^{2} + 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{x - 1}{x^{2} + 4 x + 3}$

$\frac{x - 1}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x - 1}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x - 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,3 x}}{- x^{2}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,3 x}}{- x^{2}}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,3 x}}{- x^{2}}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 2 x^{2} \cdot e^{- 0,3 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 2 x^{2} \cdot e^{- 0,3 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 2 x^{2} \cdot e^{- 0,3 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞