Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph an der x-Achse gespiegelt wurde. Das heißt, dass alle Funktionswerte vom Betrag her gleich sind wie die der Original-e-Funktion, aber eben mit negativem Vorzeichen. Wir erhalten also als Funktionsterm des rot abgebildeten Graphen f(x)= $-e^x$.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e⁰=1 schneidet. Beim schwarzen Graph ist dieser Punkt S*(0|1) gerade genau 1 über der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(-2|1) gerade 1 über der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 2 nach links, bzw. um -2 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - ( - 2 ) ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $e^{x+2}$.

Wenn man sich die Originalfunktion f mit $\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 1 nach rechts. Somit muss man also x durch (x - 1) ersetzen. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $\sqrt{x-1}$

Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Tiefpunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (-1|-1.1) in der Originalfunktion nach (-2|-0.1) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um -1 in x-Richtung und um 1 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x +1) + 1 = $3\left(x+1\right)·e^{x+1}+1$

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -4) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 4 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 4 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 4 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die 5 als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor 5 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um 5 gestreckt.

Die Streckung um den Faktor 2 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 2 vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - 2.

Bei der Verschiebung um 4 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch 4 dazu addiert, also ein 4 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{g(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+4$

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $-5{\left(x-1\right)}^4-4$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $x^4$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -1) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 1 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 1 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach unten, bzw. -4 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $x^4$ hat ja genau einen Tiefpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (1|-4).

Das negative Vorzeichen im Koeffizienten -5 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit eine Spiegelung an der x-Achse.

Dadurch wird aus dem Tiefpunkt von $\text{g(x)}=$ $x^4$ eine Hochpunkt.

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten -5 vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Tiefpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $-5{\left(x-1\right)}^4-4$ besitzt somit einen Hochpunkt H(1|-4).

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $-4{\left(x-4\right)}^6+2{\left(x-4\right)}^4-1$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $-4x^6+2x^4$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -4) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 4 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 4 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 4 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -1 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $-4x^6+2x^4$ nur gerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse (x=0). Diese Symmetrieachse wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei x = 4.

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $-4{\left(x-4\right)}^6+2{\left(x-4\right)}^4-1$ ist somit achsensymmetrisch bezüglich der Geraden x = 4.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $x^3-4x+5$ soll an der Geraden y = 3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um -3 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $x^3-4x+5-3$ = $x^3-4x+2$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = 3 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $-\left(x^3-4x+2\right)$ = $-x^3+4x-2$.

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um 3 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $-x^3+4x-2+3$ = $-x^3+4x+1$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=3 ist.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4+2$ soll an der Geraden x = -3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= $\frac{1}{10}{\left(-x\right)}^4+2$ = $\frac{1}{10}{x}^4+2$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -3 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 6 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $\frac{1}{10}{x}^4+2$ das x durch (x +6) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= $\frac{1}{10}{(-\left(x+6\right))}^4+2$ = $\frac{1}{10}{\left(x+6\right)}^4+2$.

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-3 ist.