Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir erkennnen, dass die der gesuchte rote Graph um 3 nach rechts verschoben wurde. Am besten erkennt man das am Schnittpunkt mit der y-Achse, der von S(0|1) nach S(3|1) verschoben wurde.

Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - 3 ersetzen und erhalten: f(x)= $e^{x-3}$.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph aber (teilweise) unter der x-Achse liegt. Deswegen spiegeln wir die Original-e-Funktion an der y-Achse und erhalten den blau abgebildeten Graphen der Funktion f₁(x)= $-e^x$.

Jetzt erkennen wir aber, dass der fast waagrecht verlaufende Teil beim gesuchten roten Graphen statt auf der linken auf der rechten Seite ist. Deswegen müssen wir noch an der x-Achse spiegeln und erhalten so den in grün dargestellten Graph der Funktion f₂(x)= $-e^{-x}$.

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e⁰=1 schneidet. Beim grünen Graph ist dieser Punkt S*(0|-1) gerade genau 1 unter der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(3|-1) gerade 1 unter der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 3 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - 3 ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $-e^{-\left(x-3\right)}$.

Wenn man sich die Originalfunktion f mit $\text{f(x)}=$ $e^x$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts. Somit muss man also x durch (x - ( - 2 )) ersetzen. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $e^{x+2}$

Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Tiefpunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (-1|-0.4) in der Originalfunktion nach (-2|-2.4) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um -1 in x-Richtung und um -2 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x +1) + -2 = $\left(x+1\right)·e^{x+1}-2$

Hinter dem Hauptterm steht noch eine -1. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben verschoben.

Die -5 als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -5 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -5 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -5 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Die Streckung um den Faktor $\frac{1}{3}$ in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten $\frac{1}{3}$ vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - $\frac{1}{3}$.

Bei der Verschiebung um 3 nach links, bzw. -3 nach rechts wird jedes 'x' durch (x +3) ersetzt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{g(x)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x+3\right)$

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^5-5$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $x^5$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -1) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 1 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 1 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -5 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -5 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 5 nach unten, bzw. -5 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $x^5$ hat ja genau einen Sattelpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (1|-5).

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten $\frac{1}{2}$ vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Sattelpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^5-5$ besitzt somit einen Sattelpunkt SP(1|-5).

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $-3{\left(x+5\right)}^4+2{\left(x+5\right)}^2+2$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $-3x^4+2x^2$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +5) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 5 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 5 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 5 nach links, bzw. -5 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 2 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 2 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 2 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $-3x^4+2x^2$ nur gerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse (x=0). Diese Symmetrieachse wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei x = -5.

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $-3{\left(x+5\right)}^4+2{\left(x+5\right)}^2+2$ ist somit achsensymmetrisch bezüglich der Geraden x = -5.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $-1+2x·e^x$ soll an der Geraden y = -3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um +3 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $-1+2x·e^x+3$ = $2+2x·e^x$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = -3 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $-(2+2x·e^x)$ = $-2-2x·e^x$.

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um -3 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $-2-2x·e^x-3$ = $-5-2x·e^x$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=-3 ist.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $x^3-3x-1$ soll an der Geraden x = 3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= ${\left(-x\right)}^3-3\left(-x\right)-1$ = $-x^3+3x-1$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = 3 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 6 Einheiten nach rechts verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $-x^3+3x-1$ das x durch (x -6) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= ${(-\left(x-6\right))}^3-3(-\left(x-6\right))-1$ = $-{\left(x-6\right)}^3+3x-19$.

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=3 ist.