$\text{f(x)}=$ $-5x·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·1·\sin \left(2x\right)-5x·\cos \left(2x\right)·2$

= $-5\cdot \sin \left(2x\right)-5x·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $-5\cdot \sin \left(2x\right)-10x·\cos \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $6\cdot \cos \left(-2x\right)$

= ${\left[-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-2\cdot \cos \left(-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+2\cdot \cos \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $-2\cdot \left(-1\right)+2\cdot 1$

= $2+2$

= $4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{3}{8}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2$|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $-\mathrm{1,476}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{1,476}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,618}$ und bei x₂= $-2$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\mathrm{0,429}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₂= $-\mathrm{0,429}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,665}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,618}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 2.712 und $\mathrm{1,665}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 3.759 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,618}$|-3) und bei ( $\mathrm{1,665}$|-3) und bei (2.712|-3) und bei (3.759|-3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(3x\right)$ = $-\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,691}$
bzw. bei - $\mathrm{2,691}$+2π= $\mathrm{3,593}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,897}$; $\mathrm{1,1977}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,897}$ und x₂ = $\mathrm{1,1977}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{30}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 60

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 17 nach oben und eine Amplitude von a = 16 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 16 um 17. Somit ist der tiefste Wert bei 17 m - 16 m = 1 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 23.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 23.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 23.4 gleich:

   $16\cdot \sin \left(\frac{1}{30}\pi \left(t-10\right)\right)+17$ = 23.4

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)+17$ = $\mathrm{23,4}$ | $-17$

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{6,4}$

   |:$16$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{1,4592}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x1	=	$\mathrm{13,937}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{3,7772}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x2	=	$\mathrm{36,0764}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 13.94 s den Wert 23.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 36.08 s zum zweiten mal den Wert 23.4 erreicht. Während dieser 36.08 - 13.94 = 22.14 s ist der Wert der Funktion also höher als 23.4.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\pi$ = $4\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{2}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\pi$|0) hat.