$\text{f(x)}=$ $-2x^2·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·2x·\cos \left(-2x\right)-2x^2·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $-4x·\cos \left(-2x\right)-2x^2·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $-4x·\cos \left(-2x\right)-4x^2·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{4}\left(x-2\right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-2\right)\right)$

= ${\left[\cos \left(-2x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\cos \left(-2\cdot \pi \right)-\cos \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $1-\left(-1\right)$

= $1+1$

= $2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -3, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 2, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{2}\pi$+2π= $\frac{3}{2}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $2\pi$; $6\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $2\pi$ und x₂ = $6\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4.5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4.5 h = 7.5 h.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4.5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4.5 h = 16.5 h.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $\frac{9}{2}\pi$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{9}{2}\pi$ = $6\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $6\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{3}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{3}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{9}{2}\pi$|-1) hat.