$\text{f(x)}=$ $-4x^2·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·2x·\cos \left(-3x\right)-4x^2·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $-8x·\cos \left(-3x\right)-4x^2·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $-8x·\cos \left(-3x\right)-12x^2·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[\cos \left(-x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\cos \left(-\pi \right)-\cos \left(-\left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-1-0$

= $-1$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-4) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+3\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 1, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|4) und einen bei ( $3\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6}\pi$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6}\pi$=-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{14}{3}\pi$; $\frac{22}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{14}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{22}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. t-Werte mit f(t) ≥ 119

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 119 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 119 gleich:

   $30\cdot \sin \left(2\pi t\right)+95$ = 119

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)+95$ = $119$ | $-95$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $24$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{0,927}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x1	=	$\mathrm{0,1475}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{2,214}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x2	=	$\mathrm{0,3524}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.15 s den Wert 119. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.35 s zum zweiten mal den Wert 119 erreicht. Während dieser 0.35 - 0.15 = 0.2 s ist der Wert der Funktion also höher als 119.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 95. Somit ist der höchste Wert bei 95 cm + 30 cm = 125 cm.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{3}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{3}\pi$ = $\frac{4}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{4}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{3}{2}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{3}\pi$|0) hat.