$\text{f(x)}=$ $-2x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·2x·\sin \left(x\right)-2x^2·\cos \left(x\right)$

= $-4x·\sin \left(x\right)-2x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·2x·\cos \left(-4x\right)+3x^2·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $6x·\cos \left(-4x\right)+3x^2·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $6x·\cos \left(-4x\right)+12x^2·\sin \left(-4x\right)$

= ${\left[\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot 0-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $0-\frac{2}{3}$

= $0-\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+2\pi$ = $2\pi$ und $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\pi$|-1) und einen bei ( $2\pi$|-1) und einen bei ( $3\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|3) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(3\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|1) und bei ( $\frac{5}{6}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(3x\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,266}$
bzw. bei - $\mathrm{1,266}$+2π= $\mathrm{5,017}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,422}$; $\mathrm{1,6723}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,422}$ und x₂ = $\mathrm{1,6723}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. t-Werte mit f(t) ≥ 93

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 93 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 93 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right)+90$ = 93

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)+90$ = $93$ | $-90$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $3$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x1	=	$\mathrm{0,0637}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{3,041}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x2	=	$\mathrm{1,936}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.06 s den Wert 93. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.94 s zum zweiten mal den Wert 93 erreicht. Während dieser 1.94 - 0.06 = 1.88 s ist der Wert der Funktion also höher als 93.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

   Die Lösung ist also: 1 s.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2\pi$ = $8\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{4}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2\pi$|0) hat.