$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{3}(x+\pi )\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{3}(x+\pi )\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{1}{3}(x+\pi )\right)·\frac{1}{3}$

= $\cos \left(\frac{1}{3}(x+\pi )\right)$

= ${\left[-2\cdot \sin \left(-2x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-2\cdot \sin \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)+2\cdot \sin \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $-2\cdot 0+2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{2}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{10}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{10}{3}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(3\left(x+0\right)\right)+3$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|5) und einen bei ( $\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-1$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-1$|0) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(4\left(x+1\right)\right)+1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\mathrm{0,215}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{0,215}+\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{1,356}$.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{1,356}$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(2x\right)$ = $-\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,214}$
bzw. bei - $\mathrm{2,214}$+2π= $\mathrm{4,069}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,107}$; $\mathrm{2,0345}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,107}$ und x₂ = $\mathrm{2,0345}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{70}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 140

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 105 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 105 + 30 s = 135 s. Die Lösung ist also: 135 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 14 nach oben und eine Amplitude von a = 12 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 12 um 14. Somit ist der tiefste Wert bei 14 m - 12 m = 2 m.

4. t-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 30 s. Die Lösung ist also: 30 s.