Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +16x +64 = 0

Lösung einblenden

x 2 +16x +64 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -16 ± 16 2 -4 · 1 · 64 21

x1,2 = -16 ± 256 -256 2

x1,2 = -16 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -16 2 = -8

L={ -8 }

-8 ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

15 +20x +5 x 2 = 0

Lösung einblenden
5 x 2 +20x +15 = 0 |:5

x 2 +4x +3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 21

x1,2 = -4 ± 16 -12 2

x1,2 = -4 ± 4 2

x1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

x2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; -1 }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 x 2 -8x +10 = 0

Lösung einblenden
-2 x 2 -8x +10 = 0 |:2

- x 2 -4x +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · ( -1 ) · 5 2( -1 )

x1,2 = +4 ± 16 +20 -2

x1,2 = +4 ± 36 -2

x1 = 4 + 36 -2 = 4 +6 -2 = 10 -2 = -5

x2 = 4 - 36 -2 = 4 -6 -2 = -2 -2 = 1

L={ -5 ; 1 }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7 x 2 +3x -4 = ( 6x -7 ) ( x +5 ) -21x +43

Lösung einblenden
7 x 2 +3x -4 = ( 6x -7 ) ( x +5 ) -21x +43
7 x 2 +3x -4 = 6 x 2 +23x -35 -21x +43
7 x 2 +3x -4 = 6 x 2 +2x +8 | -6 x 2 -2x -8

x 2 + x -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

L={ -4 ; 3 }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 2 +5x +6 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

x 2 +5x +6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · 6 21

x1,2 = -5 ± 25 -24 2

x1,2 = -5 ± 1 2

x1 = -5 + 1 2 = -5 +1 2 = -4 2 = -2

x2 = -5 - 1 2 = -5 -1 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; -2 }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1( -3 |0) und N2( -2 |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -3 x 2 +6x
und
g(x)= -4 x 2 + x -4 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-3 x 2 +6x = -4 x 2 + x -4 | +4 x 2 - x +4

x 2 +5x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = -5 ± 25 -16 2

x1,2 = -5 ± 9 2

x1 = -5 + 9 2 = -5 +3 2 = -2 2 = -1

x2 = -5 - 9 2 = -5 -3 2 = -8 2 = -4

L={ -4 ; -1 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -4 ) = -4 ( -4 ) 2 -4 -4 = -416 -4 -4 = -64 -4 -4 = -72

g( -1 ) = -4 ( -1 ) 2 -1 -4 = -41 -1 -4 = -4 -1 -4 = -9

Die Schnittpunkte sind also S1( -4 | -72 ) und S2( -1 | -9 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 + x +23 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -2 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=1.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= x -2 oder f(x)= x -2 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x -2 = - x 2 + x +23 | +2
x = - x 2 + x +25 | + x 2 - x
x 2 = 25 | 2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

L={ -5 ; 5 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -5 ) = - ( -5 ) 2 -5 +23 = -25 -5 +23 = -7

g( 5 ) = - 5 2 +5 +23 = -25 +5 +23 = 3

Die Schnittpunkte sind also S1( -5 | -7 ) und S2( 5 | 3 ).