Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+4\right)·x$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a=$1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)x$.

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

Der Funktionterm $\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $x^2-4$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ bereits der gesuchte Term.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x-2\right)·\left(x-5\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: f(1)=1,
also f(1)= $a·\left(1-2\right)·\left(1-5\right)$ = $4a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}\left(x-2\right)\left(x-5\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-5\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: f(-1)=2,
also f(-1)= $a·(-1·\left(-1-5\right))$ = $6a$=2.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{3}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}x\left(x-5\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}x\left(x-5\right)$

= $\frac{1}{3}(x·x+x·\left(-5\right))$

= $\frac{1}{3}(x·x-5x)$

= $\frac{1}{3}\left(x^2-5x\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^2-\frac{5}{3}x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2-\frac{5}{3}x$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$-x^2-5x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-4\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+4\right)·\left(x+1\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $-2x^2-10x-8$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x+4\right)·\left(x+1\right)$

= $a·(x·x+x·1+4·x+4·1)$

= $a·(x·x+x+4x+4)$

= $a·\left(x^2+5x+4\right)$

Für a = -2 ergibt sich also tatsächlich:

$-2\left(x^2+5x+4\right)$ = $-2x^2-10x-8$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)\left(x+1\right)$