Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Hochpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = 2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;6] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f(x) = -2 gelten.

Am Schaubild kann man f(0) = -2 und f(2) = -2 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 0 und x₂ = 2.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -2 + 0 = $-2$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = $0$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F($0$).

F($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F($0$) = $-\frac{5}{2}$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-3) = 2 und f(-1) = -2 ablesen.

Also gilt $$\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(-1)- f(-3) = -2 - 2 = -4.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(0) durch den Wert des Integrals $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;2] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅( - 1 )⋅2 = -1

Somit gilt: F(2)-F(0) = -1

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1.9 und x = -0.25 die Werte von f alle positiv sind, die Stammfunktion F ist hier also monton steigend. Also muss F(-0.25) > F(-1.9) sein.

Zwischen x=-0.25 und x=2.1 sind die Werte von f dagegen alle negativ, die Stammfunktion F muss hier also monton fallend sein. Folglich ist F(2.1) < F(-0.25).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-0.25) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-1.9)>F(2.1) oder F(2.1)>F(-1.9) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-1.9}{\overset{-0.25}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ < $$\left|\underset{-0.25}{\overset{2.1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -1.9 und -0.25 kleiner ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen -0.25 und 2.1.

Also muss F(-1.9) größer als F(2.1) sein. Insgesamt gilt:

F(2.1) < F(-1.9) < F(-0.25)

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -3 eine Nullstelle von J_-3.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = -1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-3(-1) = 0, J_-3 hat also bei x = -1 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-3(x) = $$\underset{-3}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 2 Nullstellen.

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -3 eine Nullstelle von J_-3.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Man kann aber keine Integralflächen über und unterhalb der x-Achse finden, die sich gegenseitig kann aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-3(x) = $$\underset{-3}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 1 Nullstelle.