Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -2 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -2 einen Hochpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-1) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = -1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = -1 + ( - 2 ) = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-\frac{3}{2}$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-3) = -2 und f(0) = -2 ablesen.

Also gilt $$\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(0)- f(-3) = -2 - ( - 2 ) = 0.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(0)- F(-2) durch den Wert des Integrals $$\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;0] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅1⋅2 = 1

Somit gilt: F(0)-F(-2) = 1

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -4 und x = -1 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(-1) < f(-4) sein.

Zwischen x=-1 und x=1 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(1) > f(-1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(-1) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-4)>f(1) oder f(1)>f(-4) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-4}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -4 und -1 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -1 und 1.

Also muss f(-4) größer als f(1) sein. Insgesamt gilt:

f(-1) < f(1) < f(-4)

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J_-1.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 3.5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-1}{\overset{3.5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-1}{\overset{3.5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-1(3.5) = 0, J_-1 hat also bei x = 3.5 eine Nullstelle.
3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-5.5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-5.5}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-5.5}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J_-1(-5.5) = $$\underset{-1}{\overset{-5.5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-5.5}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J_-1 hat also bei x = -5.5 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-1(x) = $$\underset{-1}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -2 ein maximales Gefälle (m ≈ -2) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.