Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f(1) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 0 = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-2) = $-2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-2)) = F($-2$).

F($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-2)) = F($-2$) = $-3$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(2) = 0 und f(3) = -2 ablesen.

Also gilt $$\underset{2}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(3)- f(2) = -2 - 0 = -2.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(-2) durch den Wert des Integrals $$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;2] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$⋅2⋅1 = 1 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅( - 6 )⋅3 = -9 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -8 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(2)-F(-2) = -8

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -3 und x = -1 die Werte von f ' alle positiv sind, die Originalfunktion f ist hier also monton steigend. Also muss f(-1) > f(-3) sein.

Zwischen x=-1 und x=0 sind die Werte von f ' dagegen alle negativ, die Originalfunktion f muss hier also monton fallend sein. Folglich ist f(0) < f(-1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(-1) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-3)>f(0) oder f(0)>f(-3) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -3 und -1 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen -1 und 0.

Also muss f(-3) kleiner als f(0) sein. Insgesamt gilt:

f(-3) < f(0) < f(-1)

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -5 eine Nullstelle von J_-5.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Man kann aber keine Integralflächen über und unterhalb der x-Achse finden, die sich gegenseitig kann aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-5(x) = $$\underset{-5}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 1 Nullstelle.

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = 0 eine Nullstelle von J₀.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-3 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J₀(-3) = $$\underset{0}{\overset{-3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J₀ hat also bei x = -3 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J₀(x) = $$\underset{0}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 2 Nullstellen.