Aufgabenbeispiele von am Schaubild mit Stammfkt.

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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Da der Graph von f '' bei x = -2 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme alle Wendestellen von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = -2.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen F monoton steigend, bzw. monoton fallend ist (F ist eine Stammfunktion der Funktion f).

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion der Stammfunktion F, also der Funktion f, positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;4] gilt: f(x) ≤ 0, also ist F monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f(x) ≥ 0, also ist F monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= -3x +3 verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 0.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f) (rote Kurve).
Bestimme F(1) + f(1).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(1) = f(1) = 0 entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(1) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(1) + f(1) = -1 + 0 = -1.

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(2)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(2) = 2 entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(2)) = F(2).

F(2) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(2)) = F(2) = 0.

Integral von f' ablesen

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme -1 0 f(x) x .
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

a b f(x) x = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(-1) = 0 und F(0) = -3 ablesen.

Also gilt -1 0 f(x) x = F(0)- F(-1) = -3 - 0 = -3.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(0) - F(-4).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

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a b f(x) x = F(b)- F(a)

Wir können also F(0)- F(-4) durch den Wert des Integrals -4 0 f(x) x aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-4;0] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = 1 2 2⋅4 = 4

Somit gilt: F(0)-F(-4) = 4

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f. An welcher Stelle ist der Funktionswert einer Stammfunktion F am größten? Sortiere von klein nach groß F(-0.1), F(1.3), F(1.8).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

a b f(x) x = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -0.1 und x = 1.3 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(1.3) < F(-0.1) sein.

Zwischen x=1.3 und x=1.8 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(1.8) > F(1.3).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(1.3) der kleinste der drei Werte ist.

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Um nun noch herauszufinden. ob F(-0.1)>F(1.8) oder F(1.8)>F(-0.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

| -0.1 1.3 f(x) x | > | 1.3 1.8 f(x) x |

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -0.1 und 1.3 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen 1.3 und 1.8.

Also muss F(-0.1) größer als F(1.8) sein. Insgesamt gilt:

F(1.3) < F(1.8) < F(-0.1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(1) = -2.
Entscheide dich für einen Wert von F(3).

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Den Zuwachs von F(1) zu F(3), also F(3) - F(1) = 1 3 f(x) x kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
1 3 f(x) x ≈ 2

Wegen 1 3 f(x) x = F(3) - F(1) ≈ 2 gilt dann
F(3) = 1 3 f(x) x + F(1) ≈ 2 + ( - 2 ) = 0

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J1 = 1 x f(t) t im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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  1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja c c f(t) t = 0 für alle c gilt. Somit ist x = 1 eine Nullstelle von J1.
  2. Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-4 erkennen, weil man am Graph beim Integral -4 1 f(t) t zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt -4 1 f(t) t = 0 und J1(-4) = 1 -4 f(t) t = - -4 1 f(t) t = 0, J1 hat also bei x = -4 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J1(x) = 1 x f(t) t im abgebildeten Bereich 2 Nullstellen.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;2] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [2;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.