Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f '' von + nach -. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -3 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 1 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-1] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;1] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [1;3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-1) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = -1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 0 + 0 = $0$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $1$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-1) = -1 und f(1) = -1 ablesen.

Also gilt $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(1)- f(-1) = -1 - ( - 1 ) = 0.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(0)- f(-2) durch den Wert des Integrals $$\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;0] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$⋅2⋅1 = 1 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅( - 2 )⋅1 = -1 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = 0 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: f(0)-f(-2) = 0

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -3 und x = 0 die Werte von f alle positiv sind, die Stammfunktion F ist hier also monton steigend. Also muss F(0) > F(-3) sein.

Zwischen x=0 und x=2 sind die Werte von f dagegen alle negativ, die Stammfunktion F muss hier also monton fallend sein. Folglich ist F(2) < F(0).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(0) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-3)>F(2) oder F(2)>F(-3) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -3 und 0 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 0 und 2.

Also muss F(-3) kleiner als F(2) sein. Insgesamt gilt:

F(-3) < F(2) < F(0)

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = 2 eine Nullstelle von J₂.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J₂(-2) = $$\underset{2}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J₂ hat also bei x = -2 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J₂(x) = $$\underset{2}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 2 Nullstellen.

Man erkennt am Graph von f '' einen Wendepunkt bei x=-1, also muss f '''' ( - die 2. Ableitung von f '' - ) mindestens eine Nullstelle haben und somit auch mindestens vom Grad 1 sein.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 4 höher, also f vom Grad 5 sein.