Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ = 0 ist.

$\left(x+3\right)\left(x-3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $\left(-4+3\right)·\left(-4-3\right)$ = $7$ > 0
Für -3 < x < 3: f(0) = $\left(0+3\right)·\left(0-3\right)$ = $-9$ < 0
Für x > 3: f(4) = $\left(4+3\right)·\left(4-3\right)$ = $7$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -3 und x ≤ 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+2x-1$ = 0 ist.

$-x^2+2x-1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-1\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2+2x-1$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+2x-1$ = 0 (x = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-x^2+2x-1$ ≤ 0 für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $-0^2+2\cdot 0-1$ = $-1$ < 0
Für x > 1: f(2) = $-2^2+2\cdot 2-1$ = $-1$ < 0
Also gilt die Ungleichung $-x^2+2x-1$ ≤ 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $-x^2+2x-1$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-x^2+2x-1$ ≤ 0 gehört, ist x=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+5x-7$ = $x-5$ ist.

$-2x^2+5x-7$

=

$x-5$

| $-x$ $+5$

$-2x^2+4x-2$ = 0 |:2

$-x^2+2x-1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-1\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+5x-7$ und $\text{g(x)}=$ $x-5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+5x-7$ = $x-5$ (x = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x-5$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $x-5$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-2x^2+5x-7$ ≥ $x-5$ für kein x außer für x = 1.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x-5$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $-2\cdot 0^2+5\cdot 0-7$ = $-7$ < $-5$ = $0-5$ = g(0)
Für x > 1: f(2) = $-2\cdot 2^2+5\cdot 2-7$ = $-5$ < $-3$ = $2-5$ = g(2)
Also gilt die Ungleichung $-2x^2+5x-7$ ≥ $x-5$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $-2x^2+5x-7$ = $x-5$ auch zur gesuchten Ungleichung $-2x^2+5x-7$ ≥ $x-5$ gehört, ist x=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{1}