Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$x\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x\left(x-4\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $-1·\left(-1-4\right)$ = $5$ > 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $3·\left(3-4\right)$ = $-3$ < 0
Für x > 4: f(5) = $5·\left(5-4\right)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x\left(x-4\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x\left(x-4\right)$ < 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+4x-4$ = 0 ist.

$-2x^2+4x-4$ = 0 |:2

$-x^2+2x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+4x-4$ = 0 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der x-Achse oder alle unter der x-Achse liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Die Ungleichung $-2x^2+4x-4$ ≤ 0 gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x-4$ immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2+4\cdot 0-4$ = $-4$ < 0
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2+4x-4$ ≤ 0 gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2-4x-12$ = $2x-3$ ist.

$-x^2-4x-12$

=

$2x-3$

| $-2x$ $+3$

$-x^2-6x-9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-9\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-x^2-4x-12$ und $\text{g(x)}=$ $2x-3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2-4x-12$ = $2x-3$ (x = -3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2x-3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $2x-3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-x^2-4x-12$ < $2x-3$ für alle x außer für x = -3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2x-3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-{\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-4\right)-12$ = $-12$ < $-11$ = $2\cdot \left(-4\right)-3$ = g(-4)
Für x > -3: f(0) = $-0^2-4\cdot 0-12$ = $-12$ < $-3$ = $2\cdot 0-3$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $-x^2-4x-12$ < $2x-3$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $-x^2-4x-12$ = $2x-3$ nicht zur gesuchten Ungleichung $-x^2-4x-12$ < $2x-3$ gehört, ist x=-3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{-3} (alle x außer x=-3 erfüllen die Ungleichung)