Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ = 0 ist.

$\left(x+4\right)\left(x-3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $\left(-5+4\right)·\left(-5-3\right)$ = $8$ > 0
Für -4 < x < 3: f(0) = $\left(0+4\right)·\left(0-3\right)$ = $-12$ < 0
Für x > 3: f(4) = $\left(4+4\right)·\left(4-3\right)$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -4 und x ≤ 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-4x$ = 0 ist.

$2x^2-4x$	=	0
$2x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-4x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-4x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2x^2-4x$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)$ = $6$ > 0
Für 0 < x < 2: f(1) = $2\cdot 1^2-4\cdot 1$ = $-2$ < 0
Für x > 2: f(3) = $2\cdot 3^2-4\cdot 3$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2x^2-4x$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $2x^2-4x$ < 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2-13x-15$ = $-x+3$ ist.

$-2x^2-13x-15$

=

$-x+3$

| $+x$ $-3$

$-2x^2-12x-18$ = 0 |:2

$-x^2-6x-9$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-13x-15$ und $\text{g(x)}=$ $-x+3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2-13x-15$ = $-x+3$ (x = -3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x+3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $-x+3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-2x^2-13x-15$ < $-x+3$ für alle x außer für x = -3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x+3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-2\cdot {\left(-4\right)}^2-13\cdot \left(-4\right)-15$ = $5$ < $7$ = $-\left(-4\right)+3$ = g(-4)
Für x > -3: f(0) = $-2\cdot 0^2-13\cdot 0-15$ = $-15$ < $3$ = $-0+3$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $-2x^2-13x-15$ < $-x+3$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $-2x^2-13x-15$ = $-x+3$ nicht zur gesuchten Ungleichung $-2x^2-13x-15$ < $-x+3$ gehört, ist x=-3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{-3} (alle x außer x=-3 erfüllen die Ungleichung)