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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x \cdot (x - 3)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x \cdot (x - 3)$ = 0 ist.

- x \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x \cdot (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x \cdot (x - 3)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x \cdot (x - 3)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- (- 1) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4$ < 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $- 2 \cdot (2 - 3)$ = $2$ > 0
Für x > 3: f(4) = $- 4 \cdot (4 - 3)$ = $- 4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x \cdot (x - 3)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- x \cdot (x - 3)$ > 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 5 x - 12$ ≤ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0 ist.

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5+11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5-11}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} + 5 x - 12$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 1.5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2 x^{2} + 5 x - 12$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $2 \cdot {(- 5)}^{2} + 5 \cdot (- 5) - 12$ = $13$ > 0
Für -4 < x < 1.5: f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 12$ = $- 12$ < 0
Für x > 1.5: f(2) = $2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 12$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} + 5 x - 12$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=1.5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -4 und x ≤ 1.5.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} + 10 x + 21$ > $2 x + 5$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} + 10 x + 21$ = $2 x + 5$ ist.

x^{2} + 10 x + 21

=

2 x + 5

|

- 2 x

- 5

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 21$ und $g(x) =$ $2 x + 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} + 10 x + 21$ = $2 x + 5$ (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2 x + 5$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $2 x + 5$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^{2} + 10 x + 21$ > $2 x + 5$ für alle x außer für x = -4.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2 x + 5$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 21$ = $- 4$ > $- 5$ = $2 \cdot (- 5) + 5$ = g(-5)
Für x > -4: f(0) = $0^{2} + 10 \cdot 0 + 21$ = $21$ > $5$ = $2 \cdot 0 + 5$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $x^{2} + 10 x + 21$ > $2 x + 5$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^{2} + 10 x + 21$ = $2 x + 5$ nicht zur gesuchten Ungleichung $x^{2} + 10 x + 21$ > $2 x + 5$ gehört, ist x=-4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{-4} (alle x außer x=-4 erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):