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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 3) \cdot (x - 1)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 ist.

(x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 1)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 3) \cdot (x - 1)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $(- 4 + 3) \cdot (- 4 - 1)$ = $5$ > 0
Für -3 < x < 1: f(0) = $(0 + 3) \cdot (0 - 1)$ = $- 3$ < 0
Für x > 1: f(2) = $(2 + 3) \cdot (2 - 1)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $(x + 3) \cdot (x - 1)$ > 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -3 oder x > 1.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} + 2 x - 8$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} + 2 x - 8$ = 0 ist.

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} + 2 x - 8$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^{2} + 2 x - 8$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${(- 5)}^{2} + 2 \cdot (- 5) - 8$ = $7$ > 0
Für -4 < x < 2: f(0) = $0^{2} + 2 \cdot 0 - 8$ = $- 8$ < 0
Für x > 2: f(3) = $3^{2} + 2 \cdot 3 - 8$ = $7$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^{2} + 2 x - 8$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x^{2} + 2 x - 8$ < 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -4 und x < 2.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} - x - 6$ ≤ $x - 4$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} - x - 6$ = $x - 4$ ist.

- x^{2} - x - 6

=

x - 4

|

- x

+ 4

$- x^{2} - 2 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} - x - 6$ und $g(x) =$ $x - 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} - x - 6$ = $x - 4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x - 4$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $x - 4$ oder alle unter der Geraden y= $x - 4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $x - 4$ liegen.
Die Ungleichung $- x^{2} - x - 6$ ≤ $x - 4$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x - 4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- x^{2} - x - 6$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 0^{2} - 0 - 6$ = $- 6$ < $- 4$ = $0 - 4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- x^{2} - x - 6$ ≤ $x - 4$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):