Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-4\right)$ = $4$ > 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $\left(3-1\right)·\left(3-4\right)$ = $-2$ < 0
Für x > 4: f(5) = $\left(5-1\right)·\left(5-4\right)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 1 oder x ≥ 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+2x+15$ = 0 ist.

$-x^2+2x+15$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2+2x+15$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+2x+15$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x^2+2x+15$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-{\left(-4\right)}^2+2\cdot \left(-4\right)+15$ = $-9$ < 0
Für -3 < x < 5: f(0) = $-0^2+2\cdot 0+15$ = $15$ > 0
Für x > 5: f(6) = $-6^2+2\cdot 6+15$ = $-9$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x^2+2x+15$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-x^2+2x+15$ < 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -3 oder x > 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-x+4$ = $-3x+3$ ist.

$x^2-x+4$

=

$-3x+3$

| $+3x$ $-3$

$x^2+2x+1$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2-x+4$ und $\text{g(x)}=$ $-3x+3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-x+4$ = $-3x+3$ (x = -1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-3x+3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $-3x+3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2-x+4$ < $-3x+3$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-3x+3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = ${\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+4$ = $10$ > $9$ = $-3\cdot \left(-2\right)+3$ = g(-2)
Für x > -1: f(0) = $0^2-0+4$ = $4$ > $3$ = $-3\cdot 0+3$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $x^2-x+4$ < $-3x+3$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $x^2-x+4$ = $-3x+3$ nicht zur gesuchten Ungleichung $x^2-x+4$ < $-3x+3$ gehört, ist x=-1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)