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Innenwinkel im Dreieck

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A $(5 | 0 | -3)$ , B $(8 | 0 | -2)$ und C $(1 | 3 | -6)$ . Berechne den Innenwinkel des Dreiecks im Punkt A.

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Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ und $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{matrix})$

cos(α) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{| \vec{AB} | \cdot | \vec{AC} |} = \frac{3 \cdot (-4) + 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-3)}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 1^{2}}⋅\sqrt{{(-4)}^{2} + 3^{2} + {(-3)}^{2}}} = \frac{-15}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{34}} \approx -0.8135

also $α \approx 144.4 °$

Winkel zwischen zwei Vektoren

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ -6 \end{matrix})$ und $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt der beiden Vektoren, also von $(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ -6 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$ und teilen dieses durch die Längen der Vektoren.

Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den Ebenen.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ -6 \end{matrix})$ und $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$

cos(α) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} = \frac{(-2) \cdot (-3) + (-1) \cdot 4 + (-6) \cdot 3}{\sqrt{{(-2)}^{2} + {(-1)}^{2} + {(-6)}^{2}}⋅\sqrt{{(-3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}}} = \frac{-16}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{34}} \approx -0.4285

also $α \approx 115.4 °$

Winkel zwischen 2 Geraden

Beispiel:

Berechne den Winkel unter dem sich die Geraden
g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ -7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{matrix})$ schneiden.

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt von den Richtungsvektoren der beiden Geraden, also von

(\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den sich schneidenden Geraden.

cos(α) =

\frac{| (\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) |}

=

\frac{| (-2) \cdot 3 + 4 \cdot 5 + (-2) \cdot 3 |}{\sqrt{{(-2)}^{2} + 4^{2} + {(-2)}^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 5^{2} + 3^{2}}}

= \frac{| 8 |}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{43}} \approx 0.249

also Schnittwinkel $α \approx 75.6 °$

Winkel zwischen 2 Ebenen

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen den Ebenen
E: $-6 x_{1} - 7 x_{2} + x_{3} = 84$ und F: $+ x_{2} + 2 x_{3} = -4$

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt von den Normalenvektoren der beiden Ebenen, also von $(\begin{matrix} -6 \\ -7 \\ 1 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ , und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)

Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den Ebenen (weil dieser ja gleich ist, wie der zwischen den Normalenvektoren).

cos(α) =

\frac{| (\begin{matrix} -6 \\ -7 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} -6 \\ -7 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) |}

\frac{| (-6) \cdot 0 + (-7) \cdot 1 + 1 \cdot 2 |}{\sqrt{{(-6)}^{2} + {(-7)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}

= \frac{| -5 |}{\sqrt{86} \cdot \sqrt{5}} \approx 0.2411

also Schnittwinkel $α \approx 76 °$

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen der Ebene
E: $x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = -4$ und der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt,
diesesmal von Normalenvektor der Ebene

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

mit dem Richtungsvektor der Geraden

(\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Da wir so ja eigentlich den Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade berechnen würden, müssen wir das diesesmal = sin(α) setzen.

sin(α) =

\frac{| (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) |}

=

\frac{| 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{{(-5)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}}}

= \frac{| -4 |}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} \approx 0.3203

also Schnittwinkel $α \approx 18.7 °$

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen der Ebene
E: $x_{1} - 2 x_{2} + 5 x_{3} = -20$ und der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ -4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt,
diesesmal von Normalenvektor der Ebene

(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{matrix})

mit dem Richtungsvektor der Geraden

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Da wir so ja eigentlich den Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade berechnen würden, müssen wir das diesesmal = sin(α) setzen.

sin(α) =

\frac{| (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ -5 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ -5 \end{matrix}) |}

=

\frac{| 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 4 + 5 \cdot (-5) |}{\sqrt{1^{2} + {(-2)}^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + 4^{2} + {(-5)}^{2}}}

= \frac{| -28 |}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{66}} \approx 0.6293

also Schnittwinkel $α \approx 39 °$

Winkel in der Pyramide

Beispiel:

Gegeben ist eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche ABCD, die in der x₁-x₂-Ebene liegt und die Kantenlänge 6 besitzt.
Der Punkt D liegt im Ursprung (0|0|0). Die Spitze der Pyramide hat die Koordinaten S $(2 | 2 | 10)$ . (siehe Abbildung)

a) Berechne den Innenwinkel α zwischen der Grundfläche ABCD und der Seitenfläche DAS

b) Berechne den Innenwinkel β zwischen den beiden Seitenflächen DAS und CDS

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Beide Winkel können als Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen berechnet werden. Dazu benötigen wir erstmal die drei Normalenvektoren:

Die Grundfläche ABCD in der x₁-x₂-Ebene x₃=0 hat natürlich den Normalenvektor $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .
Der Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck DAS liegt, muss orthogonal zu $\vec{DS}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 10 \end{matrix})$ und zum Vector $\vec{DA}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ sein. Durch "geschicktes Hinsehen" erkennt man, dass der Vektor $\vec{n1}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ -2 \end{matrix})$ dies erfüllt: $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ -2 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 10 \end{matrix})$ =0 und $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ -2 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ =0
Der Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck CDS liegt, muss orthogonal zu $\vec{DS}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 10 \end{matrix})$ und zum Vector $\vec{DC}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})$ sein. Durch "geschicktes Hinsehen" erkennt man, dass der Vektor $\vec{n2}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})$ dies erfüllt: $(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 10 \end{matrix})$ =0 und $(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})$ =0

Natürlich hätte man die Normalenvektoren auch mit dem Vektorprodukt berechnen können.

a)Berechnung des Innenwinkel α zwischen der Grundfläche ABCD und der Seitenfläche DAS:

Man erkent (auch mit der Skizze) leicht, dass dieser Winkel spitz (also kleiner als 90°) sein muss. Deswegen können wir diesen Innenwinkel einfach als den (spitzen) Schnittwinkel zwischen den zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ -2 \end{matrix})$ berechnen:

$cos(α) =$ $\frac{| (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ -2 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ -2 \end{matrix}) |}$ $\frac{| 0 \cdot 0 + 0 \cdot 10 + 1 \cdot (-2) |}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 10^{2} + {(-2)}^{2}}}$
$= \frac{| -2 |}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{104}} \approx 0.1961$

also $α \approx 78.7 °$

b)Berechnung des Innenwinkel β zwischen den beiden Seitenflächen DAS und CDS:

Hier ist es sehr viel schwieriger zu erkennen, ob der Winkel zwischen den beiden Seitenflächen spitz oder stumpf ist. Am besten kann man es entscheiden, wenn man sich das Dreieck ACD anschaut und dabei den Punkt D auf der Kante AD nach oben laufen lässt. Solange D noch in der Grundebene liegt ist der Winkel in D noch 90°. Wenn der Punkt aber dann die Kante DS hochläuft, wird der Abstand des laufenden Punkts zur Strecke AC kleiner und dadurch der Winkel in diesem laufenden Punkt größer und damit stumpf. Dies gilt auch dann, wenn der laufende D-Punkt in einer zu beiden Seitenflächen orthogonalen Ebene liegt, und somit der Winkel im Dreieck gleich ist wie der gesuchte zwischen den Seitenflächen.

Der Winkel β ist also stumpf. Deswegen berechnen wir erstmal den Winkel zwischen den Normalenvektoren der beiden Seitenflächen $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ -2 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})$ ohne Beträge im Zähler:

$cos(β1) = \frac{\vec{n1} \cdot \vec{n2}}{| \vec{n1} | \cdot | \vec{n2} |} = \frac{0 \cdot 10 + 10 \cdot 0 + (-2) \cdot (-2)}{\sqrt{0^{2} + 10^{2} + {(-2)}^{2}}⋅\sqrt{10^{2} + 0^{2} + {(-2)}^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{104} \cdot \sqrt{104}} \approx 0.0385$

also $β1 \approx 87.8 °$

für den kleineren Winkel zwischen den Ebenen der Seitenflächen.

Der gesuchte stumpfe Winkel ist somit β = 180° - 87.8 ≈ 92.2°

Aufgabenbeispiele von Winkel

Innenwinkel im Dreieck

Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen 2 Geraden

Winkel zwischen 2 Ebenen

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Winkel in der Pyramide

a)Berechnung des Innenwinkel α zwischen der Grundfläche ABCD und der Seitenfläche DAS:

b)Berechnung des Innenwinkel β zwischen den beiden Seitenflächen DAS und CDS: