Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $2$

$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{3 x - 1}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$2^{3 x - 1}$ = $\frac{1}{2}$

$2^{3 x - 1}$ = $2^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 2.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x - 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

L={0}

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{2 x + 1} + 1$ = $5 \cdot 4^{2 x}$

Lösung einblenden

$4^{2 x + 1} + 1$ = $5 \cdot 4^{2 x}$ | $- 5 \cdot 4^{2 x}$ $- 1$

$4^{2 x + 1} - 5 \cdot 4^{2 x}$ = $- 1$

Wir müssen $4^{2 x + 1}$ in $4^{2 x} \cdot 4$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$4^{2 x} \cdot 4 - 5 \cdot 4^{2 x}$ = $- 1$

$4 \cdot 4^{2 x} - 5 \cdot 4^{2 x}$ = $- 1$

$- 4^{2 x}$	=	$- 1$	\|: $- 1$
$4^{2 x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	0
$2 x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $77 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 53 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 53, also $77 \cdot {0,75}^{t}$ = 53.

$77 \cdot {0,75}^{t}$	=	$53$	\|: $77$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{53}{77}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{53}{77})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{53}{77})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{53}{77})}{\lg (0,75)}$

t

1,2984

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,2984$ Jahre ist der Bestand 53 Millionen.