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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $8$

$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 \cdot 10^{x}$ = $7$

Lösung einblenden

$4 \cdot 10^{x}$	=	$7$	\|: $4$
$10^{x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{7}{4})$	≈ 0.243

L={ $\lg (\frac{7}{4})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{2 x} - 48$ = $- 2^{2 x - 1}$

Lösung einblenden

$2^{2 x} - 48$ = $- 2^{2 x - 1}$ | $+ 2^{2 x - 1}$ $+ 48$

$2^{2 x - 1} + 2^{2 x}$ = $48$

Wir müssen $2^{2 x - 1}$ in $2^{2 x} \cdot 2^{- 1}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2^{2 x} \cdot 2^{- 1} + 2^{2 x}$ = $48$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2 x} + 2^{2 x}$ = $48$ | ⋅ 2

$2^{2 x} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $96$

$3 \cdot 2^{2 x}$	=	$96$	\|: $3$
$2^{2 x}$	=	$32$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{2 x})$	=	$\lg (32)$
$2 x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (32)$	\|: $\lg (2)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (32)}{\lg (2)}$

$2 x$	=	$5$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

L={ $\frac{5}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 200 \cdot {1,28}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 800 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 200 \cdot {1,28}^{0}$ =3200. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 800 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4000, weil ja 4000 - 3200 = 800 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4000, also $3 200 \cdot {1,28}^{t}$ = 4000.

$3 200 \cdot {1,28}^{t}$	=	$4 000$	\|: $3 200$
${1,28}^{t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,28}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{4})$
$t \cdot \lg (1,28)$	=	$\lg (\frac{5}{4})$	\|: $\lg (1,28)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{4})}{\lg (1,28)}$

t

0,9039

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,9039$ Wochen ist der Bestand 4000 Nutzer, also um 800 Nutzer größer als zu Beginn..