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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $27$

$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{3 x - 1}$ = $\frac{1}{4}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$4^{3 x - 1}$ = $\frac{1}{4}$

$4^{3 x - 1}$ = $4^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x - 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

L={0}

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{2 x + 2} - 1$ = $8 \cdot 3^{2 x}$

Lösung einblenden

$3^{2 x + 2} - 1$ = $8 \cdot 3^{2 x}$ | $- 8 \cdot 3^{2 x}$ $+ 1$

$3^{2 x + 2} - 8 \cdot 3^{2 x}$ = $1$

Wir müssen $3^{2 x + 2}$ in $3^{2 x} \cdot 3^{2}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$3^{2 x} \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3^{2 x}$ = $1$

$9 \cdot 3^{2 x} - 8 \cdot 3^{2 x}$ = $1$

$3^{2 x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	0
$2 x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $20 \cdot {1,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 27 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 27, also $20 \cdot {1,4}^{t}$ = 27.

$20 \cdot {1,4}^{t}$	=	$27$	\|: $20$
${1,4}^{t}$	=	$\frac{27}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,4}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{20})$
$t \cdot \lg (1,4)$	=	$\lg (\frac{27}{20})$	\|: $\lg (1,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{20})}{\lg (1,4)}$

t

0,8919

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,8919$ Jahre ist der Bestand 27 Millionen.