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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $4$

$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 4^{2 x - 1} - 32$ = $- 4^{2 x}$

Lösung einblenden

$- 2 \cdot 4^{2 x - 1} - 32$ = $- 4^{2 x}$ | $+ 4^{2 x}$ $+ 32$

$- 2 \cdot 4^{2 x - 1} + 4^{2 x}$ = $32$

Wir müssen $- 2 \cdot 4^{2 x - 1}$ in $- 2 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 2 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1} + 4^{2 x}$ = $32$

$- \frac{1}{2} \cdot 4^{2 x} + 4^{2 x}$ = $32$ | ⋅ 2

$- 4^{2 x} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $64$

$4^{2 x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (64)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$3$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={ $\frac{3}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $70 \cdot {0,9}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 35 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 35, also $70 \cdot {0,9}^{t}$ = 35.

$70 \cdot {0,9}^{t}$	=	$35$	\|: $70$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,9)}$

t

6,5788

Zum Zeitpunkt t ≈ $6,5788$ Jahre ist der Bestand 35 Millionen.