Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 5 x = 10

Lösung einblenden
2 5 x = 10 |:2
5 x = 5 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 5 )
x · lg( 5 ) = lg( 5 ) |: lg( 5 )
x = lg( 5 ) lg( 5 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 5 x = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 -2x +1 = 1 4

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

4 -2x +1 = 1 4

4 -2x +1 = 4 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: -2x +1 und rechts: -1) gleichsetzen:

-2x +1 = -1 | -1
-2x = -2 |:(-2 )
x = 1

L={ 1 }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-7 5 x +6 6 x = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

-7 5 x +6 6 x = 0| +7 5 x

6 6 x = 7 5 x | : 6 : 5 x

6 x 5 x = 7 6

( 6 5 ) x = 7 6

( 6 5 ) x = 7 6 |lg(⋅)
lg( ( 6 5 ) x ) = lg( 7 6 )
x · lg( 6 5 ) = lg( 7 6 ) |: lg( 6 5 )
x = lg( 7 6 ) lg( 6 5 )
x = 0,8455

L={ 0,8455 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 133 0,9 t darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 94 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 94, also 133 0,9 t = 94.

133 0,9 t = 94 |:133
0,9 t = 94 133 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 94 133 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 94 133 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 94 133 ) lg( 0,9 )
t = 3,294

Zum Zeitpunkt t ≈ 3,294 Jahre ist der Bestand 94 Millionen.