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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x} + 2$ = $18$

Lösung einblenden

$4^{x} + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \cdot 6^{x} + 7 \cdot 7^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 3 \cdot 6^{x} + 7 \cdot 7^{x}$ = 0| $+ 3 \cdot 6^{x}$

$7 \cdot 7^{x}$ = $3 \cdot 6^{x}$ | : $7$ : $6^{x}$

$\frac{7^{x}}{6^{x}}$ = $\frac{3}{7}$

${(\frac{7}{6})}^{x}$ = $\frac{3}{7}$

${(\frac{7}{6})}^{x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{7}{6})}^{x})$	=	$\lg (\frac{3}{7})$
$x \cdot \lg (\frac{7}{6})$	=	$\lg (\frac{3}{7})$	\|: $\lg (\frac{7}{6})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{7})}{\lg (\frac{7}{6})}$

x

- 5,4966

L={ $- 5,4966$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= ${2,2}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 8 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= ${2,2}^{0}$ =1. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 8 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=9, weil ja 9 - 1 = 8 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 9, also ${2,2}^{t}$ = 9.

${2,2}^{t}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,2}^{t})$	=	$\lg (9)$
$t \cdot \lg (2,2)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (2,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (2,2)}$

t

2,7867

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,7867$ Jahre ist der Bestand 9 Millionen, also um 8 Millionen größer als zu Beginn..