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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $1$

$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

$x$

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$- 2$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$- 4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$4^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 4$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5^{x} + 5 \cdot 25^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 5^{x} + 5 \cdot 25^{x}$ = 0| $+ 5^{x}$

$5 \cdot 25^{x}$ = $5^{x}$ | : $5$ : $5^{x}$

$\frac{25^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{1}{5}$

${(\frac{25}{5})}^{x}$ = $\frac{1}{5}$

$5^{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (5)}$

$x$

$- 1$

L={ $- 1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 200 \cdot {1,41}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 900 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 200 \cdot {1,41}^{0}$ =4200. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 900 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=5100, weil ja 5100 - 4200 = 900 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 5100, also $4 200 \cdot {1,41}^{t}$ = 5100.

$4 200 \cdot {1,41}^{t}$	=	$5 100$	\|: $4 200$
${1,41}^{t}$	=	$\frac{17}{14}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,41}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{14})$
$t \cdot \lg (1,41)$	=	$\lg (\frac{17}{14})$	\|: $\lg (1,41)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{14})}{\lg (1,41)}$

$t$

$0,5651$

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,5651$ Wochen ist der Bestand 5100 Nutzer, also um 900 Nutzer größer als zu Beginn..