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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 7}$ = $- 6$

3 \sqrt{- 3 x + 7}

=

- 6

|:

3

\sqrt{- 3 x + 7}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 12$	=	${(x)}^{2}$

x + 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x + 12}$

$=$ $\sqrt{4 + 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 10}$ = $- x + 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 10}$	=	$- x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 10$	=	${(- x + 5)}^{2}$

- 2 x + 10

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 2 x + 10}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 3 + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x + 5$

$=$ $- 3 + 5$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 2 x + 10}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 5 + 10}$

= $\sqrt{- 10 + 10}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x + 5$

$=$ $- 5 + 5$

= 0

Also 0 = 0

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 40}$ = $2 \sqrt{3 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 40}$	=	$2 \sqrt{3 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 40$	=	${(2 \sqrt{3 x + 7})}^{2}$

$8 x + 40$	=	$4 (3 x + 7)$
$8 x + 40$	=	$12 x + 28$	\| $- 40$
$8 x$	=	$12 x - 12$	\| $- 12 x$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x + 40}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 + 40}$

= $\sqrt{24 + 40}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 3 + 7}$

= $2 \sqrt{9 + 7}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 7}$ = $\sqrt{2 x - 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 7}$	=	$\sqrt{2 x - 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 7$	=	${(\sqrt{2 x - 4} + 1)}^{2}$

$4 x - 7$	=	$2 \sqrt{2 x - 4} + 2 x - 3$	\| $- 4 x$ $+ 7$ $- 2 \sqrt{2 x - 4}$
$- 2 \sqrt{2 x - 4}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x - 4}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 4$	=	${(x - 2)}^{2}$

2 x - 4

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 7}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 7}$

= $\sqrt{8 - 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{2 x - 4} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 2 - 4} + 1$

= $\sqrt{4 - 4} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x - 7}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 - 7}$

= $\sqrt{16 - 7}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x - 4} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 - 4} + 1$

= $\sqrt{8 - 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 2

Probe für x = 4

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$