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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 26}$ = $4$

$\sqrt{- 2 x + 26}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 26$	=	$4^{2}$

$- 2 x + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 2 x + 26}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 5 + 26}$

= $\sqrt{- 10 + 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $5$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x - 1}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x - 1}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x - 1$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x - 1

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 2 x - 1}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 1) - 1}$

= $\sqrt{2 - 1}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 1} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 1} + 4$	=	$- x$	\| $- 4$
$\sqrt{16 x + 1}$	=	$- x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 1$	=	${(- x - 4)}^{2}$

16 x + 1

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{16 x + 1} + 4$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 3 + 1} + 4$

= $\sqrt{48 + 1} + 4$

= $\sqrt{49} + 4$

= $7 + 4$

= $11$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x$

$=$ $- 3$

Also 11 ≠ -3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{16 x + 1} + 4$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 5 + 1} + 4$

= $\sqrt{80 + 1} + 4$

= $\sqrt{81} + 4$

= $9 + 4$

= $13$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x$

$=$ $- 5$

Also 13 ≠ -5

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{25 x + 369}$ = $3 \sqrt{3 x + 43}$

Lösung einblenden

$\sqrt{25 x + 369}$	=	$3 \sqrt{3 x + 43}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$25 x + 369$	=	${(3 \sqrt{3 x + 43})}^{2}$

$25 x + 369$	=	$9 (3 x + 43)$
$25 x + 369$	=	$27 x + 387$	\| $- 369$
$25 x$	=	$27 x + 18$	\| $- 27 x$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{25 x + 369}$

$=$ $\sqrt{25 \cdot (- 9) + 369}$

= $\sqrt{- 225 + 369}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $3 \sqrt{3 x + 43}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 9) + 43}$

= $3 \sqrt{- 27 + 43}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 5}$ = $\sqrt{2 x + 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 5}$	=	$\sqrt{2 x + 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(\sqrt{2 x + 2} + 1)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$2 \sqrt{2 x + 2} + 2 x + 3$	\| $- 4 x$ $- 5$ $- 2 \sqrt{2 x + 2}$
$- 2 \sqrt{2 x + 2}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 2}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 2$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 2$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 2$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 2} + 1$

= $\sqrt{- 2 + 2} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5}$

= $\sqrt{4 + 5}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 + 2} + 1$

= $\sqrt{2 + 2} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$