Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $9$

$3 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $3 \sqrt{8 + 1}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x - 20}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x - 20}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x - 20$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 24 x - 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 24 x - 20

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 24 x - 20}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 5) - 20}$

= $\sqrt{120 - 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 5)$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 24 x - 20}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 1) - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 39 x - 35} + 3 x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 39 x - 35} + 3 x$	=	$- 1$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 39 x - 35}$	=	$- 3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 39 x - 35$	=	${(- 3 x - 1)}^{2}$

- 39 x - 35

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 45 x - 36

= 0 |:9

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 39 x - 35} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 39 \cdot (- 4) - 35} + 3 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{156 - 35} - 12$

= $\sqrt{121} - 12$

= $11 - 12$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 39 x - 35} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 39 \cdot (- 1) - 35} + 3 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{39 - 35} - 3$

= $\sqrt{4} - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{23 x + 117}$ = $3 \sqrt{3 x + 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{23 x + 117}$	=	$3 \sqrt{3 x + 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$23 x + 117$	=	${(3 \sqrt{3 x + 9})}^{2}$

$23 x + 117$	=	$9 (3 x + 9)$
$23 x + 117$	=	$27 x + 81$	\| $- 117$
$23 x$	=	$27 x - 36$	\| $- 27 x$
$- 4 x$	=	$- 36$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{23 x + 117}$

$=$ $\sqrt{23 \cdot 9 + 117}$

= $\sqrt{207 + 117}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{3 x + 9}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 9 + 9}$

= $3 \sqrt{27 + 9}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 64}$ = $\sqrt{3 x + 28} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 64}$	=	$\sqrt{3 x + 28} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 64$	=	${(\sqrt{3 x + 28} + 2)}^{2}$

$7 x + 64$	=	$4 \sqrt{3 x + 28} + 3 x + 32$	\| $- 7 x$ $- 64$ $- 4 \sqrt{3 x + 28}$
$- 4 \sqrt{3 x + 28}$	=	$- 4 x - 32$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 28}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	${(x + 8)}^{2}$

3 x + 28

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13+5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13-5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 64}$

= $\sqrt{- 63 + 64}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 28} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 28} + 2$

= $\sqrt{- 27 + 28} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 9$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 64}$

= $\sqrt{- 28 + 64}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 28} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 28} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 28} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -4

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 4$