Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 4}$ = $4$

$\sqrt{3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	$4^{2}$

$3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $\sqrt{12 + 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 4$	=	${(x)}^{2}$

- 4 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 4 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 2) - 4}$

= $\sqrt{8 - 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 13} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 13} + 4$	=	$- x$	\| $- 4$
$\sqrt{12 x + 13}$	=	$- x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 13$	=	${(- x - 4)}^{2}$

12 x + 13

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{12 x + 13} + 4$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 1 + 13} + 4$

= $\sqrt{12 + 13} + 4$

= $\sqrt{25} + 4$

= $5 + 4$

= $9$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- x$

$=$ $- 1$

Also 9 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{12 x + 13} + 4$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 3 + 13} + 4$

= $\sqrt{36 + 13} + 4$

= $\sqrt{49} + 4$

= $7 + 4$

= $11$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x$

$=$ $- 3$

Also 11 ≠ -3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{29 x + 139}$ = $3 \sqrt{3 x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{29 x + 139}$	=	$3 \sqrt{3 x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$29 x + 139$	=	${(3 \sqrt{3 x + 15})}^{2}$

$29 x + 139$	=	$9 (3 x + 15)$
$29 x + 139$	=	$27 x + 135$	\| $- 139$
$29 x$	=	$27 x - 4$	\| $- 27 x$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{29 x + 139}$

$=$ $\sqrt{29 \cdot (- 2) + 139}$

= $\sqrt{- 58 + 139}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{3 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 2) + 15}$

= $3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 61}$ = $\sqrt{5 x + 29} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 61}$	=	$\sqrt{5 x + 29} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 61$	=	${(\sqrt{5 x + 29} + 2)}^{2}$

$9 x + 61$	=	$4 \sqrt{5 x + 29} + 5 x + 33$	\| $- 9 x$ $- 61$ $- 4 \sqrt{5 x + 29}$
$- 4 \sqrt{5 x + 29}$	=	$- 4 x - 28$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 29}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 29$	=	${(x + 7)}^{2}$

5 x + 29

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{9 x + 61}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 5) + 61}$

= $\sqrt{- 45 + 61}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 29} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 29} + 2$

= $\sqrt{- 25 + 29} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{9 x + 61}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 4) + 61}$

= $\sqrt{- 36 + 61}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 29} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 29} + 2$

= $\sqrt{- 20 + 29} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$