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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 8}$ = $4$

- 2 \sqrt{x + 8}

=

4

|:(

- 2

)

\sqrt{x + 8}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 8}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 8}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 8$	=	${(x)}^{2}$

- 6 x - 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 4) - 8}$

= $\sqrt{24 - 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 2) - 8}$

= $\sqrt{12 - 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 19} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 19} + 4$	=	$- x$	\| $- 4$
$\sqrt{10 x + 19}$	=	$- x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 19$	=	${(- x - 4)}^{2}$

10 x + 19

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{10 x + 19} + 4$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 1) + 19} + 4$

= $\sqrt{- 10 + 19} + 4$

= $\sqrt{9} + 4$

= $3 + 4$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 7 ≠ 1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{10 x + 19} + 4$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 3 + 19} + 4$

= $\sqrt{30 + 19} + 4$

= $\sqrt{49} + 4$

= $7 + 4$

= $11$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x$

$=$ $- 3$

Also 11 ≠ -3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 163}$ = $2 \sqrt{2 x + 39}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 163}$	=	$2 \sqrt{2 x + 39}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 163$	=	${(2 \sqrt{2 x + 39})}^{2}$

$9 x + 163$	=	$4 (2 x + 39)$
$9 x + 163$	=	$8 x + 156$	\| $- 163$
$9 x$	=	$8 x - 7$	\| $- 8 x$
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{9 x + 163}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 7) + 163}$

= $\sqrt{- 63 + 163}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $2 \sqrt{2 x + 39}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 7) + 39}$

= $2 \sqrt{- 14 + 39}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 6}$ = $\sqrt{3 x + 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 6}$	=	$\sqrt{3 x + 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 6$	=	${(\sqrt{3 x + 3} + 1)}^{2}$

$5 x + 6$	=	$2 \sqrt{3 x + 3} + 3 x + 4$	\| $- 5 x$ $- 6$ $- 2 \sqrt{3 x + 3}$
$- 2 \sqrt{3 x + 3}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 3}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	${(x + 1)}^{2}$

3 x + 3

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 6}$

= $\sqrt{- 5 + 6}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 3} + 1$

= $\sqrt{- 3 + 3} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x + 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 + 6}$

= $\sqrt{10 + 6}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 + 3} + 1$

= $\sqrt{6 + 3} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$