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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{(- x)}$ = $2$

$2 \sqrt{(- x)}$	=	$2$	\|: $2$
$\sqrt{(- x)}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x$	=	$1^{2}$

$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{(- x)}$

$=$ $2 \sqrt{(- (- 1))}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 12$	=	${(x)}^{2}$

- 7 x - 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 4) - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 3) - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 14} - 1$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 14} - 1$	=	$x$	\| $+ 1$
$\sqrt{- 6 x - 14}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 14$	=	${(x + 1)}^{2}$

- 6 x - 14

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 6 x - 14} - 1$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 5) - 14} - 1$

= $\sqrt{30 - 14} - 1$

= $\sqrt{16} - 1$

= $4 - 1$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 3 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 6 x - 14} - 1$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 3) - 14} - 1$

= $\sqrt{18 - 14} - 1$

= $\sqrt{4} - 1$

= $2 - 1$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 1 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 5}$ = $2 \sqrt{x - 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 5}$	=	$2 \sqrt{x - 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 5$	=	${(2 \sqrt{x - 3})}^{2}$

$3 x - 5$	=	$4 (x - 3)$
$3 x - 5$	=	$4 x - 12$	\| $+ 5$
$3 x$	=	$4 x - 7$	\| $- 4 x$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{3 x - 5}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 7 - 5}$

= $\sqrt{21 - 5}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $7$ in $2 \sqrt{x - 3}$

$=$ $2 \sqrt{7 - 3}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x}$ = $\sqrt{5 x - 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x}$	=	$\sqrt{5 x - 4} + 2$
$3 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{5 x - 4} + 2$	\|: $3$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{3} \sqrt{5 x - 4} + \frac{2}{3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{3} \sqrt{5 x - 4} + \frac{2}{3})}^{2}$

$x$	=	$\frac{4}{9} \sqrt{5 x - 4} + \frac{5}{9} x$	\|⋅ 9
$9 x$	=	$9 (\frac{4}{9} \sqrt{5 x - 4} + \frac{5}{9} x)$
$9 x$	=	$4 \sqrt{5 x - 4} + 5 x$	\| $- 9 x$ $- 4 \sqrt{5 x - 4}$
$- 4 \sqrt{5 x - 4}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x - 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 4$	=	${(x)}^{2}$

5 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{x}$

$=$ $3 \sqrt{1}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 - 4} + 2$

= $\sqrt{5 - 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{x}$

$=$ $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 4} + 2$

= $\sqrt{20 - 4} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 4

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $7$

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$