$-3\sqrt{3x+4}$	=	$-12$	|:($-3$)
$\sqrt{3x+4}$	=	$4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+4$	=	$4^2$

$3x+4$	=	$16$	| $-4$
$3x$	=	$12$	|:$3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $-3\sqrt{3x+4}$ $=$ $-3\sqrt{3\cdot 4+4}$ = $-3\sqrt{12+4}$ = $-3\sqrt{16}$ = $-12$

Rechte Seite: x = $4$ in $-12$ $=$ $-12$

Also -12 = -12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$}

$\sqrt{-4x+5}$	=	$x$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-4x+5$	=	${\left(x\right)}^2$

$-4x+5$

=

$x^2$

| $-x^2$

$-x^2-4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·\left(-1\right)·5}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+20}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{-4x+5}$ $=$ $\sqrt{-4\cdot \left(-5\right)+5}$ = $\sqrt{20+5}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $-5$ in $x$ $=$ $-5$

Also 5 ≠ -5

x = $-5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{-4x+5}$ $=$ $\sqrt{-4\cdot 1+5}$ = $\sqrt{-4+5}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $1$ in $x$ $=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$}

$\sqrt{2x+12}$	=	$x+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+12$	=	${\left(x+2\right)}^2$

$2x+12$

=

$x^2+4x+4$

| $-x^2$ $-4x$ $-4$

$-x^2-2x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $\sqrt{2x+12}$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-4\right)+12}$ = $\sqrt{-8+12}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-4$ in $x+2$ $=$ $-4+2$ = $-2$

Also 2 ≠ -2

x = $-4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{2x+12}$ $=$ $\sqrt{2\cdot 2+12}$ = $\sqrt{4+12}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $2$ in $x+2$ $=$ $2+2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$}

$\sqrt{13x+181}$	=	$2\sqrt{3x+43}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13x+181$	=	${\left(2\sqrt{3x+43}\right)}^2$

$13x+181$	=	$4\left(3x+43\right)$
$13x+181$	=	$12x+172$	| $-181$
$13x$	=	$12x-9$	| $-12x$
$x$	=	$-9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-9$

Linke Seite: x = $-9$ in $\sqrt{13x+181}$ $=$ $\sqrt{13\cdot \left(-9\right)+181}$ = $\sqrt{-117+181}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $-9$ in $2\sqrt{3x+43}$ $=$ $2\sqrt{3\cdot \left(-9\right)+43}$ = $2\sqrt{-27+43}$ = $2\sqrt{16}$ = $8$

Also 8 = 8

x = $-9$ ist somit eine Lösung !

L={ $-9$}

$\sqrt{6x+1}$	=	$\sqrt{2x+9}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x+1$	=	${\left(\sqrt{2x+9}+2\right)}^2$

$6x+1$	=	$4\sqrt{2x+9}+2x+13$	| $-6x$ $-1$ $-4\sqrt{2x+9}$
$-4\sqrt{2x+9}$	=	$-4x+12$	|:($-4$)
$\sqrt{2x+9}$	=	$x-3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+9$	=	${\left(x-3\right)}^2$

$2x+9$	=	$x^2-6x+9$	| $-9$
$2x$	=	$x^2-6x$	| $-\left(x^2-6x\right)$
$-x^2+2x+6x$	=	0
$-x^2+8x$	=	0
$x\left(-x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite: x = 0 in $\sqrt{6x+1}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 0+1}$ = $\sqrt{0+1}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = 0 in $\sqrt{2x+9}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot 0+9}+2$ = $\sqrt{0+9}+2$ = $\sqrt{9}+2$ = $3+2$ = $5$

Also 1 ≠ 5

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite: x = $8$ in $\sqrt{6x+1}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 8+1}$ = $\sqrt{48+1}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $8$ in $\sqrt{2x+9}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot 8+9}+2$ = $\sqrt{16+9}+2$ = $\sqrt{25}+2$ = $5+2$ = $7$

Also 7 = 7

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$}