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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 15}$ = $3$

$\sqrt{- 3 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 3 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 2 + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(x)}^{2}$

4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 5 x - 11} + x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 5 x - 11} + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$\sqrt{- 5 x - 11}$	=	$- x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 5 x - 11$	=	${(- x - 1)}^{2}$

- 5 x - 11

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 5 x - 11} + x$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 4) - 11} - 4$

= $\sqrt{20 - 11} - 4$

= $\sqrt{9} - 4$

= $3 - 4$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 5 x - 11} + x$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 3) - 11} - 3$

= $\sqrt{15 - 11} - 3$

= $\sqrt{4} - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{22 x + 254}$ = $2 \sqrt{5 x + 61}$

Lösung einblenden

$\sqrt{22 x + 254}$	=	$2 \sqrt{5 x + 61}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$22 x + 254$	=	${(2 \sqrt{5 x + 61})}^{2}$

$22 x + 254$	=	$4 (5 x + 61)$
$22 x + 254$	=	$20 x + 244$	\| $- 254$
$22 x$	=	$20 x - 10$	\| $- 20 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{22 x + 254}$

$=$ $\sqrt{22 \cdot (- 5) + 254}$

= $\sqrt{- 110 + 254}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{5 x + 61}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 5) + 61}$

= $2 \sqrt{- 25 + 61}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 40}$ = $\sqrt{2 x + 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 40}$	=	$\sqrt{2 x + 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 40$	=	${(\sqrt{2 x + 12} + 2)}^{2}$

$6 x + 40$	=	$4 \sqrt{2 x + 12} + 2 x + 16$	\| $- 6 x$ $- 40$ $- 4 \sqrt{2 x + 12}$
$- 4 \sqrt{2 x + 12}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 12}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 12$	=	${(x + 6)}^{2}$

2 x + 12

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10+2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10-2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 40}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 40}$

= $\sqrt{- 36 + 40}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 12} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{6 x + 40}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 4) + 40}$

= $\sqrt{- 24 + 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 12} + 2$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -4

Probe für x = $2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 4$