$3\sqrt{x+9}$	=	$9$	|:$3$
$\sqrt{x+9}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+9$	=	$3^2$

$x+9$	=	$9$	| $-9$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite: x = 0 in $3\sqrt{x+9}$ $=$ $3\sqrt{0+9}$ = $3\sqrt{9}$ = $9$

Rechte Seite: x = 0 in $9$ $=$ $9$

Also 9 = 9

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

$\sqrt{33x-65}$	=	$3x-5$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$33x-65$	=	${\left(3x-5\right)}^2$

$33x-65$

=

$9x^2-30x+25$

| $-9x^2$ $+30x$ $-25$

$-9x^2+63x-90$ = 0 |:9

$-x^2+7x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·\left(-1\right)·\left(-10\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{33x-65}$ $=$ $\sqrt{33\cdot 2-65}$ = $\sqrt{66-65}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $2$ in $3x-5$ $=$ $3\cdot 2-5$ = $6-5$ = $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{33x-65}$ $=$ $\sqrt{33\cdot 5-65}$ = $\sqrt{165-65}$ = $\sqrt{100}$ = $10$

Rechte Seite: x = $5$ in $3x-5$ $=$ $3\cdot 5-5$ = $15-5$ = $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$; $5$}

$\sqrt{9x+22}$	=	$2\sqrt{3x+7}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9x+22$	=	${\left(2\sqrt{3x+7}\right)}^2$

$9x+22$	=	$4\left(3x+7\right)$
$9x+22$	=	$12x+28$	| $-22$
$9x$	=	$12x+6$	| $-12x$
$-3x$	=	$6$	|:($-3$)
$x$	=	$-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{9x+22}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-2\right)+22}$ = $\sqrt{-18+22}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-2$ in $2\sqrt{3x+7}$ $=$ $2\sqrt{3\cdot \left(-2\right)+7}$ = $2\sqrt{-6+7}$ = $2\sqrt{1}$ = $2$

Also 2 = 2

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$}

$\sqrt{9x+54}$	=	$\sqrt{5x+26}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9x+54$	=	${\left(\sqrt{5x+26}+2\right)}^2$

$9x+54$	=	$4\sqrt{5x+26}+5x+30$	| $-9x$ $-54$ $-4\sqrt{5x+26}$
$-4\sqrt{5x+26}$	=	$-4x-24$	|:($-4$)
$\sqrt{5x+26}$	=	$x+6$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+26$	=	${\left(x+6\right)}^2$

$5x+26$

=

$x^2+12x+36$

| $-x^2$ $-12x$ $-36$

$-x^2-7x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-10\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-40}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{9x+54}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-5\right)+54}$ = $\sqrt{-45+54}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $-5$ in $\sqrt{5x+26}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-5\right)+26}+2$ = $\sqrt{-25+26}+2$ = $\sqrt{1}+2$ = $1+2$ = $3$

Also 3 = 3

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{9x+54}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-2\right)+54}$ = $\sqrt{-18+54}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $-2$ in $\sqrt{5x+26}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-2\right)+26}+2$ = $\sqrt{-10+26}+2$ = $\sqrt{16}+2$ = $4+2$ = $6$

Also 6 = 6

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-5$; $-2$}