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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 17}$ = $3$

$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 17}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $\sqrt{- 8 + 17}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x - 25}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x - 25}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x - 25$	=	${(- x)}^{2}$

10 x - 25

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{10 x - 25}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 5 - 25}$

= $\sqrt{50 - 25}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 25}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 25}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 25$	=	${(x + 3)}^{2}$

$6 x + 25$	=	$x^{2} + 6 x + 9$	\| $- 25$
$6 x$	=	$x^{2} + 6 x - 16$	\| $- x^{2}$ $- 6 x$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{6 x + 25}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 4) + 25}$

= $\sqrt{- 24 + 25}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x + 3$

$=$ $- 4 + 3$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x + 25}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 + 25}$

= $\sqrt{24 + 25}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x + 3$

$=$ $4 + 3$

= $7$

Also 7 = 7

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 208}$ = $2 \sqrt{5 x + 46}$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 208}$	=	$2 \sqrt{5 x + 46}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 208$	=	${(2 \sqrt{5 x + 46})}^{2}$

$24 x + 208$	=	$4 (5 x + 46)$
$24 x + 208$	=	$20 x + 184$	\| $- 208$
$24 x$	=	$20 x - 24$	\| $- 20 x$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{24 x + 208}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot (- 6) + 208}$

= $\sqrt{- 144 + 208}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{5 x + 46}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 6) + 46}$

= $2 \sqrt{- 30 + 46}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 12}$ = $\sqrt{4 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 12}$	=	$\sqrt{4 x + 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 12$	=	${(\sqrt{4 x + 4} + 2)}^{2}$

$8 x + 12$	=	$4 \sqrt{4 x + 4} + 4 x + 8$	\| $- 8 x$ $- 12$ $- 4 \sqrt{4 x + 4}$
$- 4 \sqrt{4 x + 4}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 4}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 4$	=	${(x + 1)}^{2}$

4 x + 4

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 12}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 12}$

= $\sqrt{- 8 + 12}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 4} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 4} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x + 12}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 + 12}$

= $\sqrt{24 + 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 + 4} + 2$

= $\sqrt{12 + 4} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$