Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{2}}$

= $x^{6 - 2}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{3}}{5^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{3}}{5^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{3}}{5}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{3}}{5^{1}}$

= $5^{3 - 1}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{5}}{4 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{5}}{4 x^{4}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{5}}{4 \cdot x^{4}}$ = $- 2 \frac{x^{5}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{5 - 4}$

= $- 2 x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 3}}{2 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 3}}{2 x^{6}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 3}}{2 \cdot x^{6}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 3}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 3 - 6}$

= $\frac{1}{2} x^{- 9}$

= $\frac{1}{2 x^{9}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{2} - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{2} - 3 x^{2}$

= $2^{2} \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

= $4 x^{2} - 3 x^{2}$

= $x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5}$

= $32 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{5}$ ⋅ $2^{5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{5} \cdot 2^{5}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{5}$

= $10^{5}$

= $100 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{3}$

= $2^{x \cdot 3}$

= $2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{3})}^{x}$

= $8^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{6})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{6})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{6})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{6 \cdot 5}$

= $32 x^{30}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{9^{- 2}}{2^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{9^{- 2}}{2^{2}}$

= $\frac{1}{9^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(9 \cdot 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{18^{2}}$

= $\frac{1}{324}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{3} \cdot 4^{2} + 8^{3} \cdot 4^{5}}{32^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (32 = 4 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{3} \cdot 4^{2} + 8^{3} \cdot 4^{5}}{32^{3}}$

= $\frac{8^{3} \cdot (4^{2} + 4^{5})}{{(8 \cdot 4)}^{3}}$

= $\frac{8^{3} \cdot (4^{2} + 4^{5})}{8^{3} \cdot 4^{3}}$

= $\frac{4^{2} + 4^{5}}{4^{3}}$

= $\frac{4^{2} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{3}}$

= $\frac{1 + 64}{4}$

= $\frac{65}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{3}}$

= $\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{4^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 2)}^{3}}{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 2)}^{3}}{2^{6} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{8 {({(x + 2)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{8 {(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{1}{8 {(x + 2)}^{3}}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln