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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{5}$

= $x^{6 + 5}$

= $x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{2}}{10^{- 4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{2}}{10^{- 4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{2}}{10^{- 4}}$

= $10^{2} \cdot \frac{1}{10^{- 4}}$

= $10^{2} \cdot 10^{4}$

= 10 · 10·10 · 10 · 10 · 10

= $1 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{2}}{10^{- 4}}$

= $10^{2} \cdot \frac{1}{10^{- 4}}$

= $10^{2} \cdot 10^{4}$

= $10^{2 + 4}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8 x^{5} \cdot 2 x^{3}$

Lösung einblenden

$8 x^{5} \cdot 2 x^{3}$ = $8 \cdot x^{5} \cdot 2 \cdot x^{3}$ = $16 x^{5} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $16$ $x^{5 + 3}$

= $16 x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{- 7} \cdot 7 x^{- 3}$

Lösung einblenden

$9 x^{- 7} \cdot 7 x^{- 3}$ = $9 \cdot x^{- 7} \cdot 7 \cdot x^{- 3}$ = $63 x^{- 7} \cdot x^{- 3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $63$ $x^{- 7 + (- 3)}$

= $63 x^{- 10}$

= $\frac{63}{x^{10}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 + (x^{2} + x^{- 4}) \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

$- 2 + (x^{2} + x^{- 4}) \cdot x^{4}$

= $- 2 + (x^{2} \cdot x^{4} + x^{- 4} \cdot x^{4})$

= $- 2 + x^{6} + 1$

= $x^{6} - 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 4^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 4^{x}$

= ${(2 \cdot 4)}^{x}$

= $8^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

= $\frac{2^{9}}{\frac{1}{5^{9}}}$

= $2^{9} \cdot 5^{9}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{2}$

= $2^{x \cdot 2}$

= $2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{2})}^{x}$

= $4^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(7 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(7 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $49 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $49 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $49 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{2} \cdot 20^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{2} \cdot 20^{- 2}$

= $\frac{4^{2}}{20^{2}}$

= ${(\frac{4}{20})}^{2}$

= ${(\frac{1}{5})}^{2}$

= $\frac{1}{25}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{3} \cdot 28 + 7^{4} \cdot 5}{7^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 28 als 4 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{3} \cdot 28 + 7^{4} \cdot 5}{7^{4}}$

= $\frac{7^{3} \cdot 4 \cdot 7 + 7^{4} \cdot 5}{7^{4}}$

= $\frac{7^{4} \cdot 4 + 7^{4} \cdot 5}{7^{4}}$

= $\frac{7^{4} \cdot (4 + 5)}{7^{4}}$

= $4 + 5$

= $9$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{((2 x - 3) \cdot (2 x + 3))}^{4}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{4} \cdot {(2 x + 3)}^{4}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x + 3)}^{4}}{1}$

= ${(2 x + 3)}^{4}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln