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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{5}$

= $x^{2 + 5}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{6}}{10^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{6}}{10^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{6}}{10}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10}$

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10

= $100 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{6}}{10^{1}}$

= $10^{6 - 1}$

= $10^{5}$

= $100 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{9}}{3 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{9}}{3 x^{4}}$ = $\frac{9 \cdot x^{9}}{3 \cdot x^{4}}$ = $3 \frac{x^{9}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{9 - 4}$

= $3 x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{3}}{3 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{3}}{3 x^{5}}$ = $\frac{9 \cdot x^{3}}{3 \cdot x^{5}}$ = $3 \frac{x^{3}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{3 - 5}$

= $3 x^{- 2}$

= $\frac{3}{x^{2}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{2} + \frac{x^{5} + x^{4}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + \frac{x^{5} + x^{4}}{x^{2}}$

= $3 x^{2} + (\frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{4}}{x^{2}})$

= $3 x^{2} + x^{3} + x^{2}$

= $x^{3} + 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{14^{7}}{7^{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{14^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7}$

= ${(\frac{14}{7})}^{7}$

= $2^{7}$

= $128$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{3}$

= $x^{4 \cdot 3}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{2})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{2})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{2})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{2 \cdot 5}$

= $32 x^{10}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{4^{3}}{16^{3}} \cdot 4^{5}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $4$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $16$ ) ist.
Wenn man nun die $4^{5}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 3 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{4^{3}}{16^{3}} \cdot 4^{5}$

= $\frac{4^{3} \cdot 4^{5}}{16^{3}}$

= $\frac{4^{3} \cdot 4^{3 + 2}}{16^{3}}$

= $\frac{4^{3} \cdot 4^{3} \cdot 4^{2}}{16^{3}}$

= $\frac{{(4 \cdot 4)}^{3}}{16^{3}} \cdot 4^{2}$

= $\frac{16^{3}}{16^{3}} \cdot 4^{2}$

= $16$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{6} \cdot 3^{5} + 7^{6} \cdot 3^{8}}{21^{6}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (21 = 3 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{6} \cdot 3^{5} + 7^{6} \cdot 3^{8}}{21^{6}}$

= $\frac{7^{6} \cdot (3^{5} + 3^{8})}{{(7 \cdot 3)}^{6}}$

= $\frac{7^{6} \cdot (3^{5} + 3^{8})}{7^{6} \cdot 3^{6}}$

= $\frac{3^{5} + 3^{8}}{3^{6}}$

= $\frac{3^{5} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{6}}$

= $\frac{1 + 27}{3}$

= $\frac{28}{3}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{2^{10} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 {({(x + 2)}^{2})}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 {(x + 2)}^{10}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 {(x + 2)}^{5}}{1}$

= $32 {(x + 2)}^{5}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln