Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{8}$

= $x^{4 + 8}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{4}$ ⋅ $2^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{4}$ ⋅ $2^{3}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{4} \cdot 2^{3}$

= 2 · 2 · 2 · 2·2 · 2 · 2

= $128$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{4}$ ⋅ $2^{3}$

= $2^{4 + 3}$

= $2^{7}$

= $128$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 x^{7}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 x^{7}}{2 x^{3}}$ = $\frac{5 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{3}}$ = $\frac{5}{2} \frac{x^{7}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{5}{2}$ $x^{7 - 3}$

= $\frac{5}{2} x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{9} \cdot 8 x^{7}$

Lösung einblenden

$9 x^{9} \cdot 8 x^{7}$ = $9 \cdot x^{9} \cdot 8 \cdot x^{7}$ = $72 x^{9} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $72$ $x^{9 + 7}$

= $72 x^{16}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{3} + 1) \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

$(x^{3} + 1) \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

= $x^{3} \cdot x^{2} + 1 \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

= $x^{5} + x^{2} - 3 x^{2}$

= $x^{5} - 2 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4}$

= $16 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{10^{3}}{5^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{10^{3}}{5^{3}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5}$

= ${(\frac{10}{5})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $15^{4} \cdot 5^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$15^{4} \cdot 5^{- 4}$

= $\frac{15^{4}}{5^{4}}$

= ${(\frac{15}{5})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{3} \cdot 5^{5} + 4^{6} \cdot 5^{5}}{20^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (20 = 4 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{3} \cdot 5^{5} + 4^{6} \cdot 5^{5}}{20^{5}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{6}) \cdot 5^{5}}{{(4 \cdot 5)}^{5}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{6}) \cdot 5^{5}}{4^{5} \cdot 5^{5}}$

= $\frac{4^{3} + 4^{6}}{4^{5}}$

= $\frac{4^{3} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{5}}$

= $\frac{1 + 64}{4^{2}}$

= $\frac{65}{16}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 9)}^{5}}{{(x - 3)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{5}}{{(x - 3)}^{5}}$

= $\frac{{((x - 3) \cdot (x + 3))}^{5}}{{(x - 3)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot {(x + 3)}^{5}}{{(x - 3)}^{5}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 3)}^{5}}{1}$

= ${(x + 3)}^{5}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln