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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{5}$

= $x^{7 + 5}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{6}}{2^{- 1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{6}}{2^{- 1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{6}}{2^{- 1}}$

= $2^{6} \cdot \frac{1}{2^{- 1}}$

= $2^{6} \cdot 2$

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2·2

= $128$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{6}}{2^{- 1}}$

= $2^{6} \cdot \frac{1}{2^{- 1}}$

= $2^{6} \cdot 2$

= $2^{6 + 1}$

= $2^{7}$

= $128$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{2} \cdot 2 x^{4}$

Lösung einblenden

$6 x^{2} \cdot 2 x^{4}$ = $6 \cdot x^{2} \cdot 2 \cdot x^{4}$ = $12 x^{2} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $12$ $x^{2 + 4}$

= $12 x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{6} \cdot 7 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$3 x^{6} \cdot 7 x^{- 5}$ = $3 \cdot x^{6} \cdot 7 \cdot x^{- 5}$ = $21 x^{6} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $21$ $x^{6 + (- 5)}$

= $21 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot (x^{5} + x^{2}) - 3 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{2} \cdot (x^{5} + x^{2}) - 3 x^{4}$

= $x^{2} \cdot x^{5} + x^{2} \cdot x^{2} - 3 x^{4}$

= $x^{7} + x^{4} - 3 x^{4}$

= $x^{7} - 2 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4}$

= $16 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{26^{2}}{2^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{26^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{26 \cdot 26}{2 \cdot 2}$

= $\frac{26}{2} \cdot \frac{26}{2}$

= ${(\frac{26}{2})}^{2}$

= $13^{2}$

= $169$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $81 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $81 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{3^{4}}{12^{4}} \cdot 4^{7}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $3$ ⋅ $4$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $12$ ) ist.
Wenn man nun die $4^{7}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 4 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{3^{4}}{12^{4}} \cdot 4^{7}$

= $\frac{3^{4} \cdot 4^{7}}{12^{4}}$

= $\frac{3^{4} \cdot 4^{4 + 3}}{12^{4}}$

= $\frac{3^{4} \cdot 4^{4} \cdot 4^{3}}{12^{4}}$

= $\frac{{(3 \cdot 4)}^{4}}{12^{4}} \cdot 4^{3}$

= $\frac{12^{4}}{12^{4}} \cdot 4^{3}$

= $64$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{6} \cdot 4^{6} + 6^{6} \cdot 4^{8}}{24^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 4 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{6} \cdot 4^{6} + 6^{6} \cdot 4^{8}}{24^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (4^{6} + 4^{8})}{{(6 \cdot 4)}^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (4^{6} + 4^{8})}{6^{6} \cdot 4^{6}}$

= $\frac{4^{6} + 4^{8}}{4^{6}}$

= $\frac{4^{6} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{6}}$

= $\frac{1 + 16}{1}$

= $17$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 16)}^{3}}{8 {(x - 2)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 16)}^{3}}{8 {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{4^{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}{8 {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{2^{6} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{8 {((x - 2) \cdot (x + 2))}^{3}}{{(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 8 {(x + 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{8 \cdot 1 \cdot {(x + 2)}^{3}}{1}$

= $8 {(x + 2)}^{3}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln