Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{9}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{9}}$

= $x^{4 - 9}$

= $x^{- 5}$

= $\frac{1}{x^{5}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{5}}{10^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{5}}{10^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{5}}{10}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10}$

= 10 · 10 · 10 · 10

= $10 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{5}}{10^{1}}$

= $10^{5 - 1}$

= $10^{4}$

= $10 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8 x^{7} \cdot 4 x^{5}$

Lösung einblenden

$8 x^{7} \cdot 4 x^{5}$ = $8 \cdot x^{7} \cdot 4 \cdot x^{5}$ = $32 x^{7} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $32$ $x^{7 + 5}$

= $32 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{4}}{2 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{4}}{2 x^{6}}$ = $\frac{3 \cdot x^{4}}{2 \cdot x^{6}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{4}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{4 - 6}$

= $\frac{3}{2} x^{- 2}$

= $\frac{3}{2 x^{2}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4} + x^{2}}{x} + 4 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{4} + x^{2}}{x} + 4 x^{3}$

= $\frac{x^{4}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + 4 x^{3}$

= $x^{3} + x + 4 x^{3}$

= $5 x^{3} + x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{2}$

= $2^{2} \cdot x^{2}$

= $4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{9}$ ⋅ $2^{9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{9} \cdot 2^{9}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{3}$

= $3^{x \cdot 3}$

= $3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{3})}^{x}$

= $27^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{6})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{6})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{6})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{6 \cdot 6}$

= $64 x^{36}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $5^{- 4} \cdot 15^{4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^{- 4} \cdot 15^{4}$

= $\frac{15^{4}}{5^{4}}$

= ${(\frac{15}{5})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{12 \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 12 als 3 ⋅ 4 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{12 \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{3 \cdot 4 \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{3 \cdot 4^{4} + 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{(3 + 3) \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $3 + 3$

= $6$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{({(x + 2)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x + 2)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln