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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{5}}$

= $x^{6 - 5}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 5)}^{2}$ ⋅ ${(- 5)}^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 5)}^{2}$ ⋅ ${(- 5)}^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 5)}^{2} \cdot (\frac{1}{{(- 5)}^{2}})$

= $\frac{(- 5) \cdot (- 5)}{(- 5) \cdot (- 5)}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 5)}^{2}$ ⋅ ${(- 5)}^{- 2}$

= ${(- 5)}^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{4}}{3 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{4}}{3 x^{5}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{4}}{3 \cdot x^{5}}$ = $- 2 \frac{x^{4}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{4 - 5}$

= $- 2 x^{- 1}$

= $- \frac{2}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{- 7}}{3 x^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{- 7}}{3 x^{- 2}}$ = $\frac{9 \cdot x^{- 7}}{3 \cdot x^{- 2}}$ = $3 \frac{x^{- 7}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{- 7 - (- 2)}$

= $3 x^{- 5}$

= $\frac{3}{x^{5}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{5} + x^{4} \cdot (x^{5} + x)$

Lösung einblenden

$- 4 x^{5} + x^{4} \cdot (x^{5} + x)$

= $- 4 x^{5} + (x^{4} \cdot x^{5} + x^{4} \cdot x)$

= $- 4 x^{5} + x^{9} + x^{5}$

= $x^{9} - 3 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{8}{2})}^{x}$

= $4^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{5^{3}}{2^{- 3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{5^{3}}{2^{- 3}}$

= $\frac{5^{3}}{\frac{1}{2^{3}}}$

= $5^{3} \cdot 2^{3}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{3}$

= $10^{3}$

= $1 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{5}$

= $2^{x \cdot 5}$

= $2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{5})}^{x}$

= $32^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{7} \cdot \frac{3^{9}}{12^{7}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $3$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $12$ ) ist.
Wenn man nun die $3^{9}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 7 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$4^{7} \cdot \frac{3^{9}}{12^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 3^{9}}{12^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 3^{7 + 2}}{12^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 3^{7} \cdot 3^{2}}{12^{7}}$

= $\frac{{(4 \cdot 3)}^{7}}{12^{7}} \cdot 3^{2}$

= $\frac{12^{7}}{12^{7}} \cdot 3^{2}$

= $9$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{15 \cdot 5^{5} + 2 \cdot 5^{6}}{5^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 15 als 3 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{15 \cdot 5^{5} + 2 \cdot 5^{6}}{5^{6}}$

= $\frac{3 \cdot 5 \cdot 5^{5} + 2 \cdot 5^{6}}{5^{6}}$

= $\frac{3 \cdot 5^{6} + 2 \cdot 5^{6}}{5^{6}}$

= $\frac{(3 + 2) \cdot 5^{6}}{5^{6}}$

= $3 + 2$

= $5$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 {(x + 1)}^{3}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{8 {(x + 1)}^{3}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{8 {(x + 1)}^{3}}{4^{3} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 1)}^{3}}{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 1)}^{3}}{2^{6} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{3}}{8 {({(x + 1)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{3}}{8 {(x + 1)}^{6}}$

= $\frac{1}{8 {(x + 1)}^{3}}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln