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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{4}$

= $x^{7 + 4}$

= $x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $19^{6}$ ⋅ $19^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$19^{6}$ ⋅ $19^{- 4}$

Herkömmlicher Weg:

$19^{6} \cdot \frac{1}{19^{4}}$

= $\frac{19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19}{19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19}$

= 19 · 19

= $361$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$19^{6}$ ⋅ $19^{- 4}$

= $19^{6 - 4}$

= $19^{2}$

= $361$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 x^{2}}{3 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 x^{2}}{3 x^{3}}$ = $\frac{6 \cdot x^{2}}{3 \cdot x^{3}}$ = $2 \frac{x^{2}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{2 - 3}$

= $2 x^{- 1}$

= $\frac{2}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 5}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 5}}{2 x^{2}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{2}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 5}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 5 - 2}$

= $\frac{1}{2} x^{- 7}$

= $\frac{1}{2 x^{7}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{7} + (x^{3} + x^{8}) \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{7} + (x^{3} + x^{8}) \cdot x^{4}$

= $- 3 x^{7} + (x^{3} \cdot x^{4} + x^{8} \cdot x^{4})$

= $- 3 x^{7} + x^{7} + x^{12}$

= $x^{12} - 2 x^{7}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4}$

= $16 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{4^{5}}{4^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{4^{5}}{4^{5}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4}$

= ${(\frac{4}{4})}^{5}$

= $1^{5}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{2})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{2})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{2})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{2 \cdot 6}$

= $64 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{2} \cdot 9^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{2} \cdot 9^{- 2}$

= $\frac{3^{2}}{9^{2}}$

= ${(\frac{3}{9})}^{2}$

= ${(\frac{1}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{30 \cdot 6^{3} + 2 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 30 als 5 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{30 \cdot 6^{3} + 2 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 6 \cdot 6^{3} + 2 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 6^{4} + 2 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{(5 + 2) \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $5 + 2$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

= $\frac{{((2 x + 3) \cdot (2 x - 3))}^{4}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4} \cdot {(2 x - 3)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{8}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 3)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

= ${(\frac{2 x - 3}{2 x + 3})}^{4}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln