$\frac{1}{x^2}$ kann man auch als $x^{-2}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{-3x^2}$ = $-\frac{1}{3}·\frac{1}{x^2}$ das gleiche wie $-\frac{1}{3}{x}^{-2}$.

Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{-\frac{5}{6}}$ = $x^{-5·\frac{1}{6}}$ = ${\left(x^5\right)}^{-\frac{1}{6}}$ = $\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[6]{x^5}}$

${64}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

${144}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>144</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

${\mathrm{0,0016}}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{\mathrm{0,0016}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,2}}^3$

= $\mathrm{0,008}$

${\left(9^{-3}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= $9^{-3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= $9^{\frac{1}{2}·3}$

= ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$

= ${\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $3^3$

= $27$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x}·\sqrt[10]{x^4})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{4}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{2}{5}})}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{1}{5}+\frac{2}{5}}\right)}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}}\right)}^{10}$

= $x^{\frac{3}{5}·10}$

= $x^6$

$\frac{\frac{10}{d^2}}{5d^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{d^2}}{\frac{5}{d}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{d^2}·\frac{d}{5}$

= $\frac{2}{d}$