$x^{-5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^5}$.

Also ist $3x^{-5}$ das gleiche wie $3·\frac{1}{x^5}$ = $\frac{3}{x^5}$.

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^5}$ = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$ = $\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8}·5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{8}}}$ = $x^{-\frac{5}{8}}$

${25}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

$\frac{2^{50}}{2^{45}}$

= $2^{50-45}$

= $2^5$

= 32

${\mathrm{0,008}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}$

= $\mathrm{0,2}$

${\left({16}^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= ${16}^{3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= ${16}^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{16}\right)}^3}$

= $\frac{1}{4^3}$

= $\frac{1}{64}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[6]{x}\right)}^2·\sqrt[3]{x^4})}^6$

= ${(x^{\frac{2}{6}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{5s^{-4}}{7s^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{s^4}}{\frac{7}{s}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{s^4}·\frac{s}{7}$

= $\frac{5}{7s^3}$