$x^{-8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^8}$.

Also ist $-3x^{-8}$ das gleiche wie $-3·\frac{1}{x^8}$ = $-\frac{3}{x^8}$.

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^3}$ = ${\left(x^3\right)}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^3\right)}^{\frac{1}{5}}$ = x^{3⋅$\frac{1}{5}$} = $x^{\frac{3}{5}}$

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ = $\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}·3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ = $x^{-\frac{3}{2}}$

${81}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

$\frac{2^{12}}{2^7}$

= $2^{12-7}$

= $2^5$

= 32

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left({\left(\frac{4}{3}\right)}^8\right)}^{-\frac{1}{4}}$

= ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{8·\left(-\frac{1}{4}\right)}$

= ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{-2}$

= $\frac{1}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>16</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>9</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{9}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[15]{x}\right)}^{12}·{\left(\sqrt[15]{x}\right)}^{21})}^{10}$

= ${(x^{\frac{12}{15}}\cdot x^{\frac{21}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5}}\cdot x^{\frac{7}{5}})}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{4}{5}+\frac{7}{5}}\right)}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{11}{5}}\right)}^{10}$

= $x^{\frac{11}{5}·10}$

= $x^{22}$

$\frac{7a^{-4}}{\frac{10}{a}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{a^4}}{\frac{10}{a}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{a^4}·\frac{a}{10}$

= $\frac{7}{10a^3}$