$\frac{1}{x^2}$ kann man auch als $x^{-2}$ schreiben.

Also ist $\frac{-2}{x^2}$ = $-2·\frac{1}{x^2}$ das gleiche wie $-2x^{-2}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{8}}$ = x^{7⋅$\frac{1}{8}$} = ${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^7}$

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{-\frac{1}{2}}$

${16}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

${81}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>81</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{81}}$

= $\frac{1}{9}$

${\mathrm{0,008}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}$

= $\mathrm{0,2}$

${\left(9^3\right)}^{\frac{1}{2}}$

= $9^{3·\frac{1}{2}}$

= $9^{\frac{1}{2}·3}$

= ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$

= ${\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $3^3$

= $27$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x}·\sqrt[5]{x^3})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{1}{5}+\frac{3}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{4}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{4}{5}·15}$

= $x^{12}$

$\frac{9r^{-2}}{8r^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{r^2}}{\frac{8}{r}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{r^2}·\frac{r}{8}$

= $\frac{9}{8r}$