$\frac{1}{x^3}$ kann man auch als $x^{-3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{-4x^3}$ = $-\frac{1}{4}·\frac{1}{x^3}$ das gleiche wie $-\frac{1}{4}{x}^{-3}$.

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[9]{x}\right)}^7$ = ${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^7$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^7$ = x^{$\frac{1}{9}$⋅7} = $x^{\frac{7}{9}}$

$x^{-6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^6}$.

Also ist $-6x^{-6}$ das gleiche wie $-6·\frac{1}{x^6}$ = $-\frac{6}{x^6}$.

${16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

$\frac{3^{50}}{3^{47}}$

= $3^{50-47}$

= $3^3$

= 27

${\mathrm{0,008}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,2}}^2$

= $\mathrm{0,04}$

${\left(9^{-3}\right)}^{\frac{1}{2}}$

= $9^{-3·\frac{1}{2}}$

= $9^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{9}\right)}^3}$

= $\frac{1}{3^3}$

= $\frac{1}{27}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^3}·{\left(\sqrt[8]{x}\right)}^{12})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{12}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{3}{2}})}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}\right)}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{9}{4}}\right)}^{12}$

= $x^{\frac{9}{4}·12}$

= $x^{27}$

$\frac{9c^{-4}}{\frac{9}{c^5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{c^4}}{\frac{9}{c^5}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{c^4}·\frac{c^5}{9}$

= $c$