$\frac{1}{x^9}$ kann man auch als $x^{-9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^9}$ = $1·\frac{1}{x^9}$ das gleiche wie $x^{-9}$.

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[6]{x}\right)}^5$ = ${\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^5$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^5$ = x^{$\frac{1}{6}$⋅5} = $x^{\frac{5}{6}}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^3}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^3}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^3}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}·3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{-\frac{3}{5}}$

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

$-{49}^{\frac{1}{2}}$

= $-\sqrt{49}$

= $-7$

${\mathrm{0,001}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}$

= $\mathrm{0,1}$

${\left(4^{-\frac{1}{6}}\right)}^{-12}$

= $4^{-\frac{1}{6}·\left(-12\right)}$

= $4^2$

= $16$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[10]{x}\right)}^6·\sqrt[5]{x^4})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{10}}\cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{7}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{7}{5}·15}$

= $x^{21}$

$\frac{10a^{-2}}{\frac{9}{a^4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{a^2}}{\frac{9}{a^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{a^2}·\frac{a^4}{9}$

= $\frac{10}{9}{a}^2$