$x^{-2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^2}$.

Also ist $-4x^{-2}$ das gleiche wie $-4·\frac{1}{x^2}$ = $-\frac{4}{x^2}$.

Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{4}}$ = $x^{3·\frac{1}{4}}$ = ${\left(x^3\right)}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${\left(x^3\right)}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x^3}$

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

${100}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>100</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{100}}$

= $\frac{1}{10}$

${\mathrm{0,001}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}$

= $\mathrm{0,1}$

${\left({10}^{\frac{1}{4}}\right)}^{-24}$

= ${10}^{\frac{1}{4}·\left(-24\right)}$

= ${10}^{-6}$

= $\frac{1}{{10}^6}$

= $\frac{1}{1000000}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x}·\sqrt[6]{x^8})}^9$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{8}{6}})}^9$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^9$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^9$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^9$

= $x^{\frac{5}{3}·9}$

= $x^{15}$

$\frac{9v^{-4}}{\frac{9}{v^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{v^4}}{\frac{9}{v^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{v^4}·\frac{v^3}{9}$

= $\frac{1}{v}$