$\frac{1}{x^3}$ kann man auch als $x^{-3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^3}$ = $1·\frac{1}{x^3}$ das gleiche wie $x^{-3}$.

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[6]{x}\right)}^7$ = ${\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^7$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^7$ = x^{$\frac{1}{6}$⋅7} = $x^{\frac{7}{6}}$

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[9]{x^7}}$ = $\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{\frac{1}{9}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9}·7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{9}}}$ = $x^{-\frac{7}{9}}$

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

${121}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>121</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{121}}$

= $\frac{1}{11}$

${\mathrm{0,09}}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{\mathrm{0,09}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,3}}^3$

= $\mathrm{0,027}$

${\left(2^{-42}\right)}^{-\frac{1}{6}}$

= $2^{-42·\left(-\frac{1}{6}\right)}$

= $2^7$

= $128$

$\frac{\frac{7}{c^4}}{8c^{-5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{c^4}}{\frac{8}{c^5}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{c^4}·\frac{c^5}{8}$

= $\frac{7}{8}c$