$\frac{1}{x^2}$ kann man auch als $x^{-2}$ schreiben.

Also ist $\frac{2}{x^2}$ = $2·\frac{1}{x^2}$ das gleiche wie $2x^{-2}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{4}{5}}$ = x^{4⋅$\frac{1}{5}$} = ${\left(x^4\right)}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${\left(x^4\right)}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^4}$

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[6]{x^7}}$ = $\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{-\frac{1}{6}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{-\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}·7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$ = $x^{-\frac{7}{6}}$

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

$\frac{3^{21}}{3^{19}}$

= $3^{21-19}$

= $3^2$

= 9

${\mathrm{0,008}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}$

= $\mathrm{0,2}$

${\left({10}^{-24}\right)}^{-\frac{1}{4}}$

= ${10}^{-24·\left(-\frac{1}{4}\right)}$

= ${10}^6$

= $1000000$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[8]{x}\right)}^4·\sqrt[12]{x^9})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}}\cdot x^{\frac{9}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}\right)}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{5}{4}}\right)}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4}·12}$

= $x^{15}$

$\frac{\frac{9}{s^3}}{7s^{-4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{s^3}}{\frac{7}{s^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{s^3}·\frac{s^4}{7}$

= $\frac{9}{7}s$