$x^{-3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^3}$.

Also ist $6x^{-3}$ das gleiche wie $6·\frac{1}{x^3}$ = $\frac{6}{x^3}$.

Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4$ = ${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4$ = $x^{\frac{1}{5}·4}$ = $x^{\frac{4}{5}}$

${81}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3$

= $3^3$

= 27

${\left(\frac{8}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{2}{3}$

${\mathrm{0,001}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}$

= $\mathrm{0,1}$

${\left(2^{-\frac{1}{2}}\right)}^{-6}$

= $2^{-\frac{1}{2}·\left(-6\right)}$

= $2^3$

= $8$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x}·\sqrt[6]{x^8})}^9$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{8}{6}})}^9$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^9$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^9$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^9$

= $x^{\frac{5}{3}·9}$

= $x^{15}$

$\frac{7b^{-3}}{\frac{5}{b}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{b^3}}{\frac{5}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{b^3}·\frac{b}{5}$

= $\frac{7}{5b^2}$