zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Polynomgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +5 ) · ( x -4 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x +5 ) ( x -4 ) 2 = 0
( x -4 ) 2 ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -4 ) 2 = 0 | ⋅2
x -4 = 0
x -4 = 0 | +4
x1 = 4

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

L={ -5 ; 4 }

4 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -2x = 0

Lösung einblenden
x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -2 x 2 +1 = 0

Lösung einblenden
x 4 -2 x 2 +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

-1 ist 2-fache Lösung! 1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-5x - 36 x = - x 3

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

-5x - 36 x = - x 3 |⋅( x )
-5x · x - 36 x · x = - x 3 · x
-5 x · x -36 = - x 3 · x
-5 x 2 -36 = - x 3 · x
-5 x 2 -36 = - x 4
-5 x 2 -36 = - x 4 | + x 4
x 4 -5 x 2 -36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -36 ) 2⋅1

u1,2 = +5 ± 25 +144 2

u1,2 = +5 ± 169 2

u1 = 5 + 169 2 = 5 +13 2 = 18 2 = 9

u2 = 5 - 169 2 = 5 -13 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - ( -36 ) = 25 4 + 36 = 25 4 + 144 4 = 169 4

x1,2 = 5 2 ± 169 4

x1 = 5 2 - 13 2 = - 8 2 = -4

x2 = 5 2 + 13 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -4

x 2 = -4 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 - x 2 = 0

Lösung einblenden
x 3 - x 2 = 0
x 2 ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!