$\text{f(x)}=$ $-3x^3-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-5$

$\text{f(x)}=$ $-x^4-4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3-4$

f'(1) = $-4\cdot 1^3-4$ = $-4\cdot 1-4$ = $-4-4$ = $-8$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)-\frac{7}{2x^4}$

= $-4\cdot \cos \left(x\right)-\frac{7}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $4\cdot \sin \left(x\right)+14x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+\frac{14}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $0+x^3$

$\text{f'(x)}=$ $0+3x^2$

= $3x^2$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \cos \left((-\pi )\right)+3t$
= $5\cdot \left(-1\right)+3t$
= $-5+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $10$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-\frac{3}{2}$

f'(-2) = $-2\cdot \left(-2\right)-\frac{3}{2}$ = $4-\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-51x-9$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -30.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-30.96°) ≈ -0.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.6 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-3$ = 0

L={ $-3$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-2$ = $-4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 76 )°| ≈ 152°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 152° = 28° .