$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{12}{x}^4+2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+2$

$\text{f(x)}=$ $5x^3-4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^2-4$

f'(0) = $15\cdot 0^2-4$ = $15\cdot 0-4$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{6}{x^3}$

= $-6x^{-3}$

=> f'(x) = $18x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{18}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $4\sqrt{x}$

= $4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5\sqrt{x}+tx$

= $5x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{5}{2\cdot \sqrt{4}}+t$
= $\frac{5}{2\cdot 2}+t$
= $\frac{5}{4}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{9}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4+3x^3+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3+9x^2+0$

f'(-2) = $6\cdot {\left(-2\right)}^3+9\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $6\cdot \left(-8\right)+9\cdot 4$ = $-48+36$ = $-12$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-12$)) ≈ -85.2°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -85.2° + 180° = 94.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{16}{x}^4-50x+6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^3-50$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-1$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .