$\text{f(x)}=$ $-5x^4-5$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^3+0$

= $-20x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{2}{x}^4$

f'(0) = $-\frac{15}{2}\cdot 0^4$ = $-\frac{15}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)-\frac{2}{3x^3}$

= $-4\cdot \sin \left(x\right)-\frac{2}{3}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-4\cdot \cos \left(x\right)+2x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+\frac{2}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $7\sqrt[3]{x}$

= $7x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+6x$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+6x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+6$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+6$
= $\frac{t}{2}+6$
= $\frac{1}{2}t+6$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{13}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-6x^2$

f'(1) = $6\cdot 1^3-6\cdot 1^2$ = $6\cdot 1-6\cdot 1$ = $6-6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-9x+9$ ab:

f'(x) = $2x-9$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+7$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+7$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 45 )°| ≈ 128.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 128.7° = 51.3° .