$\text{f(x)}=$ $-3x^4+3$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+0$

= $-12x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3x}$

= $-\frac{7}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{7}{3}{x}^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3x^2}$

f'(2) = $\frac{7}{3\cdot 2^2}$ = $\frac{7}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $\frac{7}{12}$ ≈ 0.58

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3x^3}+\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-\frac{4}{3}{x}^{-3}+\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $4x^{-4}+\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^4}+\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}{x}^4+\frac{5}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{5}{3}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{20}{3}{x}^3+\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{20}{3}{x}^3+\frac{5}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x}+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3t}{x^2}+3$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{3t}{{\left(-1\right)}^2}+3$
= $-3t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $-18$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-\frac{3}{2}{x}^2-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-3x+0$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3-3\cdot \left(-1\right)$ = $4\cdot \left(-1\right)+3$ = $-4+3$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-8x+9$ ab:

f'(x) = $x-8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 67.38 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(67.38°) ≈ 2.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.4 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 83.7 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .