$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-5x^3$

$\text{f'(x)}=$ $2x^3-15x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $5x$

f'(1) = $5\cdot 1$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2x^4}+5\cdot \sin \left(x\right)$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-4}+5\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $2x^{-5}+5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^5}+5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-7x^3-3\sqrt{x}$

= $-7x^3-3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-21x^2-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-21x^2-\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}+tx$

= $2x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $x^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{1}{\sqrt{4}}+t$
= $\frac{1}{2}+t$
= $t+\frac{1}{2}$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{13}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+0$

f'(0) = $-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}$ = $0+\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-x+4$ ab:

f'(x) = $2x-1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1+1$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 45 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .