$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-2$

$\text{f(x)}=$ $2x^4+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+2x$

f'(-1) = $8\cdot {\left(-1\right)}^3+2\cdot \left(-1\right)$ = $8\cdot \left(-1\right)-2$ = $-8-2$ = $-10$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}$

= $-2x^{-2}$

=> f'(x) = $4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}-7x^2$

= $-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{3}}-7x^2$

=> f'(x) = $-\frac{1}{6}{x}^{-\frac{2}{3}}-14x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{6{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-14x$

$\text{f(x)}=$ $5t\cdot \sin \left(x\right)+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t\cdot \cos \left(x\right)+2$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot \cos \left((-\pi )\right)+2$
= $5t\cdot \left(-1\right)+2$
= $-5t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $17$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x+2$

f'(-1) = $3\cdot \left(-1\right)+2$ = $-3+2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-29x+6$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-29$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-80.54°) ≈ -6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+3$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+1$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 78.7 )°| ≈ 162.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 162.4° = 17.6° .