Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 15 x 5 - x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 15 x 5 - x 3

f'(x)= 1 3 x 4 -3 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 2 +1 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 2 +1

=>f'(x)= -4x +0

= -4x

f'(1) = -41 = -4

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)=0 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)=0

=0

=> f'(x) = 0

f'(x)=0

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 3 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 3 x 4

= 2 3 x 1 4

=> f'(x) = 1 6 x - 3 4

f'(x)= 1 6 ( x 4 ) 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 2 x 3 +3 t x im Punkt (2|ft(2)) den Wert 21 ?

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3 +3 t x

=>f'(x)= 6 x 2 +3 t

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 6 2 2 +3 t
= 24 +3 t

Dieser Wert soll ja den Wert 21 besitzen, also gilt:

3t +24 = 21 | -24
3t = -3 |:3
t = -1

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - x 2 + 3 2 x +1 im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - x 2 + 3 2 x +1

=>f'(x)= -2x + 3 2 +0

f'(3) = -23 + 3 2 = -6 + 3 2 = - 9 2 ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( - 9 2 )) ≈ -77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -7x +3 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 -7x +3 ab:

f'(x) = x -7

Es muss gelten:

x -7 = -1 | +7
x = 6

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -2 x 3 + 1 4 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -56.31 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -2 x 3 + 1 4 t x

=>f'(x)= -6 x 2 + 1 4 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -6 0 2 + 1 4 t
= 1 4 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

1 4 t = -1,5 |⋅ 4
t = -6

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 4 + x 2 -3x +3 und g(x)= - x 2 -3x +6 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 + x 2 -3x +3 = - x 2 -3x +6 | - ( - x 2 -3x +6 )
x 4 +2 x 2 -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 4 x 3 +2x -3 , also gilt mf = f'( 1 )= 4 1 3 +21 -3 = 3

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 1 )= -21 -3 = -5

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -5 ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .