$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{5}{x}^5-3$

$\text{f'(x)}=$ $x^4+0$

= $x^4$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{3x^2}$

= $-\frac{8}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{16}{3}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{16}{3x^3}$

$\text{f(x)}=$ $4\sqrt{x}$

= $4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+6x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+6x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+12x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+12x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+12\cdot 1$
= $\frac{t}{2}+12\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t+12$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{19}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+1+0$

f'(2) = $-\frac{1}{2}\cdot 2+1$ = $-1+1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-51x-8$ ab:

f'(x) = $2x^3-51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -50.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-50.19°) ≈ -1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - 0°| ≈ 80.5°