$\text{f(x)}=$ $5x^3-\frac{1}{6}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2-\frac{1}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $5x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^2$

f'(-1) = $15\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $15\cdot 1$ = $15$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+\frac{6}{x^3}$

= $-2\cdot \cos \left(x\right)+6x^{-3}$

=> f'(x) = $2\cdot \sin \left(x\right)-18x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)-\frac{18}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\sqrt[4]{x}$

= $\frac{9}{4}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{9}{16}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{16{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $5x^5+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $25x^4+t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $25\cdot 2^4+t$
= $400+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $403$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-2x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

f'(2) = $2\cdot 2-2$ = $4-2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-53x+6$ ab:

f'(x) = $2x^3-53$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+5$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+5$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-1$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 71.6 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .