$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-x^4-\frac{1}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $x^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $5x^4$

f'(1) = $5\cdot 1^4$ = $5\cdot 1$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{5}{4x^4}$

= $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{5}{4}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)-5x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{5}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}$

= $2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{x}+tx$

= $-2x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $-x^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{1}{\sqrt{4}}+t$
= $-\frac{1}{2}+t$
= $t-\frac{1}{2}$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{15}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+1+0$

f'(0) = $-0^3+1$ = $-0+1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-77x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-77$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |63.4° - ( - 84.3 )°| ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .