$\text{f(x)}=$ $x^4-4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-12x^2$

$\text{f(x)}=$ $2x^3+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+6x$

f'(1) = $6\cdot 1^2+6\cdot 1$ = $6\cdot 1+6$ = $6+6$ = $12$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x}$

= $5x^{-1}$

=> f'(x) = $-5x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt[3]{x}$

= $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+2t$
= $-2\cdot 0+2t$
= $2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $4$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3-2x^2-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2-4x+0$

f'(-2) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{9}{2}\cdot 4+8$ = $-18+8$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-22x-7$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-22$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -57.99 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-57.99°) ≈ -1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.6 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 45 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .