$\text{f(x)}=$ $-5x^3-x$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-1$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{45}{2}{x}^4$

f'(1) = $\frac{45}{2}\cdot 1^4$ = $\frac{45}{2}\cdot 1$ = $\frac{45}{2}$ ≈ 22.5

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{3x}$

= $\frac{8}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{8}{3}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{3x^2}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3+5\sqrt[4]{x}$

= $5x^3+5x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $15x^2+\frac{5}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2+\frac{5}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-5\cdot \cos \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+5t$
= $-5\cdot 0+5t$
= $5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $20$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3+2x^2+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2+4x+0$

f'(-2) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{9}{2}\cdot 4-8$ = $18-8$ = $10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $10$)) ≈ 84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-22x+9$ ab:

f'(x) = $3x-22$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+2$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+4$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - 0°| ≈ 80.5°