$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{15}{x}^5+2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^4+4x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^3}$

= $-x^{-3}$

=> f'(x) = $3x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x^4}$

f'(2) = $\frac{3}{2^4}$ = $3\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $\frac{3}{16}$ ≈ 0.19

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

= $2x^{-3}$

=> f'(x) = $-6x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{3}{x}^2+\frac{1}{3}\sqrt{x}$

= $\frac{8}{3}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{16}{3}x+\frac{1}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{16}{3}x+\frac{1}{6\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x}-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2t}{x^2}-1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2t}{1^2}-1$
= $-2t-1$

Dieser Wert soll ja den Wert $-7$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^3+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-\frac{3}{2}{x}^2+0$

f'(1) = $1^3-\frac{3}{2}\cdot 1^2$ = $1-\frac{3}{2}\cdot 1$ = $1-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-6x-2$ ab:

f'(x) = $3x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $3\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+3$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+3$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .