$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $x^3-\frac{3}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^2$

f'(1) = $-4\cdot 1^2$ = $-4\cdot 1$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)-\frac{1}{3x^4}$

= $-4\cdot \cos \left(x\right)-\frac{1}{3}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $4\cdot \sin \left(x\right)+\frac{4}{3}{x}^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+\frac{4}{3x^5}$

$\text{f(x)}=$ $5\sqrt{x}-\frac{5}{3}{x}^5$

= $5x^{\frac{1}{2}}-\frac{5}{3}{x}^5$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-\frac{25}{3}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2\sqrt{x}}-\frac{25}{3}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \sin \left(x\right)+4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)+4$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3t\cdot \cos \left(0\right)+4$
= $3t\cdot 1+4$
= $3t+4$

Dieser Wert soll ja den Wert $-2$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}+0$

f'(0) = $\frac{3}{2}\cdot 0^2-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -56.3° + 180° = 123.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-14x+1$ ab:

f'(x) = $2x-14$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 33.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(33.69°) ≈ 0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-2$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 80.5 )°| ≈ 80.5°