$\text{f(x)}=$ $5x^3-2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2-4x$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{3x^3}$

= $-\frac{8}{3}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $8x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2+2\sqrt[4]{x}$

= $4x^2+2x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $8x+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $8x+\frac{1}{2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+2t$
= $5\cdot 0+2t$
= $2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-2$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-2x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2+0$

f'(2) = $3\cdot 2^2-2$ = $3\cdot 4-2$ = $12-2$ = $10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $10$)) ≈ 84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-24x-2$ ab:

f'(x) = $3x-24$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 68.2 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(68.2°) ≈ 2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $12\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-2$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 80.5 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .