$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{9}{x}^3+2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+0$

= $-\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}$

= $x^{-2}$

=> f'(x) = $-2x^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}$

f'(2) = $-\frac{2}{2^3}$ = $-2\cdot \left(\frac{1}{8}\right)$ = $-\frac{1}{4}$ ≈ -0.25

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}-4\cdot \cos \left(x\right)$

= $-4x^{-2}-4\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $8x^{-3}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^3}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x}$

= $-x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}+tx$

= $3x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{4}}+t$
= $\frac{3}{2\cdot 2}+t$
= $\frac{3}{4}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{7}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{3}{2}{x}^3-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(1) = $-4\cdot 1^3+\frac{9}{2}\cdot 1^2$ = $-4\cdot 1+\frac{9}{2}\cdot 1$ = $-4+\frac{9}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+3x-1$ ab:

f'(x) = $2x^3+3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -77.47 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-77.47°) ≈ -4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -4.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-5$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-5$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 83.7 )°| ≈ 128.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 128.7° = 51.3° .