$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{15}{x}^5-\frac{4}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^4-4x^2$

$\text{f(x)}=$ $x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2$

f'(-1) = $3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $3\cdot 1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)-\frac{5}{x^3}$

= $-2\cdot \sin \left(x\right)-5x^{-3}$

=> f'(x) = $-2\cdot \cos \left(x\right)+15x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+\frac{15}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5-\sqrt{x}$

= $-2x^5-x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-10x^4-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}-6x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}-6x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}-12x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}-12x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}-12\cdot 1$
= $\frac{t}{2}-12\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t-12$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{21}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+2+0$

f'(0) = $-4\cdot 0^3+2$ = $-4\cdot 0+2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-3x+8$ ab:

f'(x) = $2x^3-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -50.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-50.19°) ≈ -1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-2$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 80.5 )°| ≈ 80.5°