$\text{f(x)}=$ $x^4-4$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+0$

= $4x^3$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot 1$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)-\frac{1}{x^4}$

= $3\cdot \sin \left(x\right)-x^{-4}$

=> f'(x) = $3\cdot \cos \left(x\right)+4x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+\frac{4}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}\sqrt{x}$

= $-\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5t\cdot \sin \left(x\right)+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t\cdot \cos \left(x\right)+3$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot \cos \left(0\right)+3$
= $5t\cdot 1+3$
= $5t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $13$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^3+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+3x^2+0$

f'(0) = $-0^3+3\cdot 0^2$ = $-0+3\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+17x-1$ ab:

f'(x) = $3x+17$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 45 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .