$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{6}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $3x^5-2x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^4-8x^3$

f'(0) = $15\cdot 0^4-8\cdot 0^3$ = $15\cdot 0-8\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+\frac{5}{2x^4}$

= $-2\cdot \cos \left(x\right)+\frac{5}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $2\cdot \sin \left(x\right)-10x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)-\frac{10}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x}+2x^4$

= $-x^{\frac{1}{2}}+2x^4$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+8x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x}}+8x^3$

$\text{f(x)}=$ $4x^4+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3+2t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $16\cdot 1^3+2t$
= $16+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $8$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2$

f'(-1) = $3\cdot {\left(-1\right)}^2-2$ = $3\cdot 1-2$ = $3-2$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-23x+3$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1+2$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - 0°| ≈ 82.9°