$\text{f(x)}=$ $2x^4+x^2$

$\text{f'(x)}=$ $8x^3+2x$

$\text{f(x)}=$ $-2x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3$

f'(1) = $-8\cdot 1^3$ = $-8\cdot 1$ = $-8$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4x^2}$

= $\frac{3}{4}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2x^3}$

$\text{f(x)}=$ $3x^5-\frac{9}{4}\sqrt[3]{x}$

= $3x^5-\frac{9}{4}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $15x^4-\frac{3}{4}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $15x^4-\frac{3}{4{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{x^3}+t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{24}{x^4}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{24}{2^4}+2t\cdot 2$
= $-\frac{3}{2}+4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{29}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+1+0$

f'(-2) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+1$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+1$ = $-6+1$ = $-5$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-5$)) ≈ -78.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-77x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-77$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 84.29 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(84.29°) ≈ 10.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 10.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+4$ = $2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $2$) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - 63.4°| ≈ 19.5°