$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{9}{x}^3+\frac{2}{3}x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{2}{3}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\sin \left(0\right)$ = $-0$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{3}{4x^4}$

= $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{3}{4}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)+3x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{3}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt[3]{x}-\frac{4}{3}{x}^2$

= $-4x^{\frac{1}{3}}-\frac{4}{3}{x}^2$

=> f'(x) = $-\frac{4}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}-\frac{8}{3}x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-\frac{8}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{t}{x^3}-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3t}{x^4}-4x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{3t}{{\left(-1\right)}^4}-4\cdot \left(-1\right)$
= $-3t+4$

Dieser Wert soll ja den Wert $19$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{3}{2}x-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{3}{2}+0$

f'(-3) = $-3\cdot {\left(-3\right)}^2+\frac{3}{2}$ = $-3\cdot 9+\frac{3}{2}$ = $-27+\frac{3}{2}$ = $-\frac{51}{2}$ ≈ -25.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{51}{2}$)) ≈ -87.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-28x+7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+8$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+8$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+4$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |85.2° - 0°| ≈ 85.2°