$\text{f(x)}=$ $3x^3+3$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $3\cdot \sin \left(0\right)$ = $3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x}$

= $4x^{-1}$

=> f'(x) = $-4x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)-7x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3t\cdot \sin \left(x\right)-7$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3t\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)-7$
= $-3t\cdot \left(-1\right)-7$
= $3t-7$

Dieser Wert soll ja den Wert $-13$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-\frac{1}{2}$

f'(-1) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^2-\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{1}{4}$)) ≈ 14°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-10x+9$ ab:

f'(x) = $x^3-10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 66.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(66.04°) ≈ 2.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $2\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.25 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+5$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+5$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 45 )°| ≈ 128.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 128.7° = 51.3° .