$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+2$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+0$

= $x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}{x}^4$

f'(1) = $\frac{5}{2}\cdot 1^4$ = $\frac{5}{2}\cdot 1$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)-\frac{1}{x^2}$

= $-2\cdot \cos \left(x\right)-x^{-2}$

=> f'(x) = $2\cdot \sin \left(x\right)+2x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-x^5+3\sqrt{x}$

= $-x^5+3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-5x^4+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x+3t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8\cdot 2+3t$
= $16+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $1$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-x$

f'(3) = $\frac{3}{4}\cdot 3^2-3$ = $\frac{3}{4}\cdot 9-3$ = $\frac{27}{4}-3$ = $\frac{15}{4}$ ≈ 3.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{15}{4}$)) ≈ 75.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+12x-5$ ab:

f'(x) = $2x+12$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+10$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+10$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+4$ = $2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $2$) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |85.2° - 63.4°| ≈ 21.8°