$\text{f(x)}=$ $2x^5-\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $10x^4-x^2$

$\text{f(x)}=$ $-3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x$

f'(-1) = $-6\cdot \left(-1\right)$ = $6$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^3}$

= $-3x^{-3}$

=> f'(x) = $9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $2x^4-4\sqrt[4]{x}$

= $2x^4-4x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $8x^3-x^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $8x^3-\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot \cos \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+5t$
= $2\cdot 0+5t$
= $5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $25$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-\frac{3}{2}$

f'(2) = $2\cdot 2^3-\frac{3}{2}$ = $2\cdot 8-\frac{3}{2}$ = $16-\frac{3}{2}$ = $\frac{29}{2}$ ≈ 14.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $\frac{29}{2}$)) ≈ 86.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-5x-1$ ab:

f'(x) = $3x^3-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 26.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(26.57°) ≈ 0.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-8\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-2$ = $-8$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 82.9 )°| ≈ 163.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 163.4° = 16.6° .