$\text{f(x)}=$ $5x^4-2x$

$\text{f'(x)}=$ $20x^3-2$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-0$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^4}+8\cdot \cos \left(x\right)$

= $-4x^{-4}+8\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $16x^{-5}-8\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{16}{x^5}-8\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3}{x}^4+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3$

= $-\frac{7}{3}{x}^4+2x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{28}{3}{x}^3+3x^{\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{28}{3}{x}^3+3\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \cos \left(0\right)+5t$
= $5\cdot 1+5t$
= $5+5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $20$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3-\frac{3}{2}{x}^2$

f'(-1) = $-{\left(-1\right)}^3-\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-\left(-1\right)-\frac{3}{2}\cdot 1$ = $1-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-8x+7$ ab:

f'(x) = $x-8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -84.29 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-84.29°) ≈ -10.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -10.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-4$ = $-8$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 82.9 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .