$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^2-2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^3}$

= $3x^{-3}$

=> f'(x) = $-9x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{x^4}$

f'(1) = $-\frac{9}{1^4}$ = $-9\cdot 1$ = $-9$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^3}+7x^5$

= $5x^{-3}+7x^5$

=> f'(x) = $-15x^{-4}+35x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{x^4}+35x^4$

$\text{f(x)}=$ $3x^3-\frac{7}{\sqrt{x}}$

= $3x^3-7x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $9x^2+\frac{7}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{7}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{x}+tx$

= $-3x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{4}}+t$
= $-\frac{3}{2\cdot 2}+t$
= $-\frac{3}{4}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{25}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3+2x^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2+4x+0$

f'(-3) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)$ = $\frac{9}{2}\cdot 9-12$ = $\frac{81}{2}-12$ = $\frac{57}{2}$ ≈ 28.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{57}{2}$)) ≈ 88°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{10}{x}^4-48x-8$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{5}{x}^3-48$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-3$ = $-1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $-1$) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-45° - ( - 78.7 )°| ≈ 33.7°