$\text{f(x)}=$ $2x^4-\frac{4}{9}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $8x^3-\frac{4}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-3\cdot 1$ = $-3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^2}+\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

= $3x^{-2}+\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-6x^{-3}+\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^3}+\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-x^2+6\sqrt[3]{x}$

= $-x^2+6x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-2x+2x^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{10}{x}+t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{x^2}+2tx$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{10}{{\left(-2\right)}^2}+2t\cdot \left(-2\right)$
= $-\frac{5}{2}-4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{53}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+2+0$

f'(0) = $-3\cdot 0^2+2$ = $-3\cdot 0+2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x-3$ ab:

f'(x) = $x+1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-9\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+1$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .