$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^5+4$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^4+0$

= $-2x^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(0\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)+\frac{2}{x^4}$

= $\sin \left(x\right)+2x^{-4}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)-8x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)-\frac{8}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}\sqrt{x}$

= $-\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{x}+tx$

= $-2x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $-x^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{1}{\sqrt{4}}+t$
= $-\frac{1}{2}+t$
= $t-\frac{1}{2}$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{15}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x-3$

f'(-1) = $-3\cdot \left(-1\right)-3$ = $3-3$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+11x-3$ ab:

f'(x) = $x^3+11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+3$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+3$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .