$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2x^2-\frac{1}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x$

f'(-1) = $-3\cdot \left(-1\right)$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

= $-4x^{-3}$

=> f'(x) = $12x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt{x}$

= $-4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5t\cdot \sin \left(x\right)-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t\cdot \cos \left(x\right)-1$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot \cos \left(0\right)-1$
= $5t\cdot 1-1$
= $5t-1$

Dieser Wert soll ja den Wert $9$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+\frac{3}{2}$

f'(1) = $-2\cdot 1^3+\frac{3}{2}$ = $-2\cdot 1+\frac{3}{2}$ = $-2+\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-76x+3$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-76$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-78.69°) ≈ -5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $12\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+2$ = $-2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - ( - 63.4 )°| ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .