$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{5}{x}^5+5x$

$\text{f'(x)}=$ $2x^4+5$

$\text{f(x)}=$ $-6\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $6\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $6\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $6\cdot 1$ = $6$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5+\frac{3}{x^3}$

= $-2x^5+3x^{-3}$

=> f'(x) = $-10x^4-9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4-\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt[3]{x}+4x^3$

= $3x^{\frac{1}{3}}+4x^3$

=> f'(x) = $x^{-\frac{2}{3}}+12x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+12x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{x^2}+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{12}{x^3}+3t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{12}{2^3}+3t$
= $-\frac{3}{2}+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{33}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-3x-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x-3+0$

f'(-2) = $-3\cdot \left(-2\right)-3$ = $6-3$ = $3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $3$)) ≈ 71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+14x-3$ ab:

f'(x) = $3x+14$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-12\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 83.7 )°| ≈ 162.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 162.4° = 17.6° .