$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^5+5$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^4+0$

= $-2x^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}$

= $-5x^{-3}$

=> f'(x) = $15x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}$

f'(1) = $\frac{15}{1^4}$ = $15\cdot 1$ = $15$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x}$

= $-2x^{-1}$

=> f'(x) = $2x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $8\sqrt{x}$

= $8x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+4tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+4t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+4t$
= $3\cdot 0+4t$
= $4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $16$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\frac{3}{2}$

f'(-2) = $3\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{3}{2}$ = $3\cdot 4-\frac{3}{2}$ = $12-\frac{3}{2}$ = $\frac{21}{2}$ ≈ 10.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{21}{2}$)) ≈ 84.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-12x+4$ ab:

f'(x) = $3x-12$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+1$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .