$\text{f(x)}=$ $-4x^5+\frac{1}{3}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^4+\frac{2}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $\frac{5}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\frac{5}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4x}$

= $\frac{1}{4}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-x^3-6\sqrt{x}$

= $-x^3-6x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-3x^2-3x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-\frac{3}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(x\right)+4tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(x\right)+4t$

Jetzt setzen wir x = $\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\cos \left(\pi \right)+4t$
= $-\left(-1\right)+4t$
= $1+4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-7$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{3}{2}$

f'(1) = $-2\cdot 1+\frac{3}{2}$ = $-2+\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-5x+9$ ab:

f'(x) = $x-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-4$ = $-8$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 82.9 )°| ≈ 82.9°