$\text{f(x)}=$ $-4x^4+\frac{4}{9}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3+\frac{4}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-x^2+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+1$

f'(-1) = $-2\cdot \left(-1\right)+1$ = $2+1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3x}$

= $\frac{4}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{4}{3}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}\sqrt{x}+5x^3$

= $-\frac{5}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+5x^3$

=> f'(x) = $-\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}+15x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{4\sqrt{x}}+15x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{x^3}+3t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{24}{x^4}+6tx$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{24}{2^4}+6t\cdot 2$
= $\frac{3}{2}+12t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{147}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}\cdot 4-\frac{3}{2}$ = $6-\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{9}{2}$)) ≈ 77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+24x+7$ ab:

f'(x) = $x^3+24$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -86.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-86.19°) ≈ -15.016

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-9\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -15.016 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-1$ = $-7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 81.9 )°| ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .