Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 3 x 3 - 1 4 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 3 x 3 - 1 4 x 2

f'(x)= - x 2 - 1 2 x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 2

=>f'(x)= 4x

f'(1) = 41 = 4

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( x ) - 2 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 sin( x ) - 2 x 3

= 3 sin( x ) -2 x -3

=> f'(x) = 3 cos( x ) +6 x -4

f'(x)= 3 cos( x ) + 6 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 -3 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 -3 x

= x 5 -3 x 1 2

=> f'(x) = 5 x 4 - 3 2 x - 1 2

f'(x)= 5 x 4 - 3 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 5 x 2 +2 t x im Punkt (-1|ft(-1)) den Wert -4 ?

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 +2 t x

=>f'(x)= 10x +2 t

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 10( -1 ) +2 t
= -10 +2 t

Dieser Wert soll ja den Wert -4 besitzen, also gilt:

2t -10 = -4 | +10
2t = 6 |:2
t = 3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - x 2 + 3 2 x -7 im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - x 2 + 3 2 x -7

=>f'(x)= -2x + 3 2 +0

f'(0) = -20 + 3 2 = 0 + 3 2 = 3 2 ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( 3 2 )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 3 20 x 4 -74x -9 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 3 20 x 4 -74x -9 ab:

f'(x) = - 3 5 x 3 -74

Es muss gelten:

- 3 5 x 3 -74 = 1 | +74
- 3 5 x 3 = 75 |⋅ ( - 5 3 )
x 3 = -125 | 3
x = - 125 3 = -5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 4 + 1 3 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 71.57 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 4 + 1 3 t x

=>f'(x)= 4 x 3 + 1 3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 4 0 3 + 1 3 t
= 1 3 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

1 3 t = 3,001 |⋅ 3
t = 9,003

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +4x -2 und g(x)= - x 2 +2x +2 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +4x -2 = - x 2 +2x +2 | + x 2 -2x -2
2 x 2 +2x -4 = 0 |:2

x 2 + x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +4 , also gilt mf = f'( 1 )= 21 +4 = 6

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 1 )= -21 +2 = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 6 ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - 0°| ≈ 80.5°