$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{8}{x}^4+3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3+0$

= $\frac{3}{2}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4x^3}$

= $\frac{1}{4}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{x}+\frac{1}{3}{x}^4$

= $-3x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}{x}^4$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{4}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{4}{3}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}+2t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{4}{2^2}+2t$
= $-1+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $5$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-1+0$

f'(2) = $2-1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+3x-2$ ab:

f'(x) = $2x^3+3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 67.38 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(67.38°) ≈ 2.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.4 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-1$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 78.7 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .