$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{15}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^4-x$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $3\cdot \cos \left(0\right)$ = $3\cdot 1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{4x^3}$

= $-\frac{9}{4}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $\frac{27}{4}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{27}{4x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2}{\left(\sqrt{x}\right)}^3$

= $\frac{7}{2}{x}^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{21}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{21}{4}\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{t}{x^3}-3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3t}{x^4}-6x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{3t}{{\left(-1\right)}^4}-6\cdot \left(-1\right)$
= $-3t+6$

Dieser Wert soll ja den Wert $21$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2x-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+2+0$

f'(2) = $-3\cdot 2^2+2$ = $-3\cdot 4+2$ = $-12+2$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-3x-6$ ab:

f'(x) = $2x^3-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -69.44 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-69.44°) ≈ -2.666

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.666 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+4$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - 0°| ≈ 82.9°