$\text{f(x)}=$ $x^3-3$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-4\cdot \sin \left(0\right)$ = $-4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}$

= $-x^{-2}$

=> f'(x) = $2x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{\sqrt{x}}$

= $-3x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+4tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+4t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+4t$
= $2\cdot 0+4t$
= $4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-8$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{2}$

f'(-3) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2+\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{4}\cdot 9+\frac{1}{2}$ = $-\frac{27}{4}+\frac{1}{2}$ = $-\frac{25}{4}$ ≈ -6.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{25}{4}$)) ≈ -80.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+7x+4$ ab:

f'(x) = $x+7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-9\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-2$ = 0

L={ $-2$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+5$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+5$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - 45°| ≈ 36.9°