$\text{f(x)}=$ $3x^5+x$

$\text{f'(x)}=$ $15x^4+1$

$\text{f(x)}=$ $4x^5+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4+2$

f'(1) = $20\cdot 1^4+2$ = $20\cdot 1+2$ = $20+2$ = $22$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x}$

= $2x^{-1}$

=> f'(x) = $-2x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{7}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+2x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+2\cdot 1$
= $\frac{t}{2}+2\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{3}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3+x^2+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2+2x+0$

f'(-2) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{3}{4}\cdot 4-4$ = $3-4$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-8x+5$ ab:

f'(x) = $3x-8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -82.41 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-82.41°) ≈ -7.505

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -7.505 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 45 )°| ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .