$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-x^4+2x^3$

$\text{f(x)}=$ $x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x$

f'(1) = $2\cdot 1$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}+5x$

= $-2x^{-3}+5x$

=> f'(x) = $6x^{-4}+5$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}+5$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}\sqrt{x}$

= $\frac{7}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+3x$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+3x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+3$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+3$
= $\frac{t}{2}+3$
= $\frac{1}{2}t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{13}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4+2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+6x^2$

f'(-2) = $4\cdot {\left(-2\right)}^3+6\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $4\cdot \left(-8\right)+6\cdot 4$ = $-32+24$ = $-8$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-8$)) ≈ -82.9°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -82.9° + 180° = 97.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-28x+9$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-2$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-2$ = $-4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 76 )°| ≈ 76°