$\text{f(x)}=$ $-x^3-1$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+0$

= $-3x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x^4$

f'(0) = $-10\cdot 0^4$ = $-10\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4x^2}$

= $\frac{9}{4}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{9}{2}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}\sqrt{x}$

= $-\frac{7}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4x^4+t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3+2tx$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $16\cdot 1^3+2t\cdot 1$
= $16+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $20$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^3-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+\frac{3}{2}{x}^2+0$

f'(0) = $-0^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2$ = $-0+\frac{3}{2}\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{10}{x}^4-47x-6$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{5}{x}^3-47$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 59.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(59.04°) ≈ 1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1+1$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 45 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .