$\text{f(x)}=$ $x^3+2x$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x}$

= $\frac{3}{2}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2x^2}$

f'(1) = $-\frac{3}{2\cdot 1^2}$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

$\text{f(x)}=$ $-5x^5-\frac{1}{3x^2}$

= $-5x^5-\frac{1}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-25x^4+\frac{2}{3}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-25x^4+\frac{2}{3x^3}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2-\frac{8}{3}\sqrt{x}$

= $5x^2-\frac{8}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $10x-\frac{4}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $10x-\frac{4}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x}+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3t}{x^2}+2x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{3t}{{\left(-1\right)}^2}+2\cdot \left(-1\right)$
= $-3t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $19$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+2+0$

f'(-2) = $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+2$ = $-3\cdot 4+2$ = $-12+2$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -84.3° + 180° = 95.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+2x+6$ ab:

f'(x) = $3x+2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -77.47 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-77.47°) ≈ -4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -4.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1+2$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - 0°| ≈ 82.9°