$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{8}{x}^4-4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+0$

= $-\frac{3}{2}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2$

f'(1) = $3\cdot 1^2$ = $3\cdot 1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)-\frac{2}{x^2}$

= $5\cdot \cos \left(x\right)-2x^{-2}$

=> f'(x) = $-5\cdot \sin \left(x\right)+4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)+\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{\sqrt{x}}+2x^4$

= $2x^{-\frac{1}{2}}+2x^4$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{3}{2}}+8x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+8x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x}+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3t}{x^2}+2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{3t}{1^2}+2$
= $-3t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $23$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-6x^2$

f'(2) = $6\cdot 2^3-6\cdot 2^2$ = $6\cdot 8-6\cdot 4$ = $48-24$ = $24$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $24$)) ≈ 87.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-106x-1$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-106$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+1$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+3$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 71.6 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .