$\text{f(x)}=$ $5x^3-\frac{3}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2-\frac{3}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(0\right)$ = $-\frac{5}{3}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4x^2}$

= $\frac{5}{4}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{2}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-4x^2+\sqrt[3]{x}$

= $-4x^2+x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-8x+\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-8x+\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{x^3}+3t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{24}{x^4}+6tx$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{24}{{\left(-2\right)}^4}+6t\cdot \left(-2\right)$
= $-\frac{3}{2}-12t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{45}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3+3$

f'(-2) = $-6\cdot {\left(-2\right)}^3+3$ = $-6\cdot \left(-8\right)+3$ = $48+3$ = $51$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $51$)) ≈ 88.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+24x+3$ ab:

f'(x) = $x^3+24$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 53.13 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(53.13°) ≈ 1.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $2\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - 0°| ≈ 80.5°