$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{5}{x}^5-3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $x^4-6x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{x}$

= $9x^{-1}$

=> f'(x) = $-9x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{x^2}$

f'(1) = $-\frac{9}{1^2}$ = $-9\cdot 1$ = $-9$

$\text{f(x)}=$ $4x^3-\frac{2}{x^2}$

= $4x^3-2x^{-2}$

=> f'(x) = $12x^2+4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-\frac{7}{2}{x}^4$

= $-\frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{7}{2}{x}^4$

=> f'(x) = $-\frac{9}{4}{x}^{\frac{1}{2}}-14x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{4}\sqrt{x}-14x^3$

$\text{f(x)}=$ $5t\cdot \sin \left(x\right)+4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t\cdot \cos \left(x\right)+4$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot \cos \left((-\pi )\right)+4$
= $5t\cdot \left(-1\right)+4$
= $-5t+4$

Dieser Wert soll ja den Wert $29$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-1$

f'(2) = $2\cdot 2^3-1$ = $2\cdot 8-1$ = $16-1$ = $15$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $15$)) ≈ 86.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-2x+9$ ab:

f'(x) = $3x^3-2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-8$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-8$ = $-2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-63.4° - ( - 84.3 )°| ≈ 20.9°