$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x}$

= $-2x^{-1}$

=> f'(x) = $2x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

f'(2) = $\frac{2}{2^2}$ = $2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^3}-8\cdot \cos \left(x\right)$

= $5x^{-3}-8\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-15x^{-4}+8\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{x^4}+8\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}{x}^4+4\sqrt{x}$

= $-\frac{7}{4}{x}^4+4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-7x^3+2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-7x^3+\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3t$
= $-4\cdot 0+3t$
= $3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $6$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3-x^2-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-2x+0$

f'(-1) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 1+2$ = $-\frac{3}{4}+2$ = $\frac{5}{4}$ ≈ 1.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{5}{4}$)) ≈ 51.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-55x+1$ ab:

f'(x) = $2x^3-55$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 83.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(83.66°) ≈ 9

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-9\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 9 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 80.5 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .