$\text{f(x)}=$ $-x^4+4$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+0$

= $-4x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2x^3}$

= $\frac{7}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{21}{2}{x}^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{21}{2x^4}$

f'(1) = $-\frac{21}{2\cdot 1^4}$ = $-\frac{21}{2}\cdot 1$ = $-\frac{21}{2}$ ≈ -10.5

$\text{f(x)}=$ $7\cdot \sin \left(x\right)+\frac{1}{x^3}$

= $7\cdot \sin \left(x\right)+x^{-3}$

=> f'(x) = $7\cdot \cos \left(x\right)-3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $7\cdot \cos \left(x\right)-\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt[4]{x}$

= $-4x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x^3}+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6t}{x^4}+3$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6t}{1^4}+3$
= $-6t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $-39$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{3}{2}$

f'(-2) = $2\cdot \left(-2\right)+\frac{3}{2}$ = $-4+\frac{3}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-51x+2$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -33.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-33.69°) ≈ -0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-1$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .