$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $3x^3-2x$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^4}+\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-4x^{-4}+\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $16x^{-5}+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{16}{x^5}+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}{x}^4-2\sqrt[3]{x}$

= $\frac{7}{4}{x}^4-2x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $7x^3-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $7x^3-\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}-7x$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}-7x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}-7$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}-7$
= $\frac{t}{2}-7$
= $\frac{1}{2}t-7$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{11}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+0$

f'(3) = $-\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-15x+7$ ab:

f'(x) = $2x-15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-2\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 80.5 )°| ≈ 80.5°