$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-2\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3x^3}+4\cdot \sin \left(x\right)$

= $-\frac{4}{3}{x}^{-3}+4\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $4x^{-4}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^4}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt[4]{x}$

= $-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x^3}-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6t}{x^4}-1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6t}{1^4}-1$
= $-6t-1$

Dieser Wert soll ja den Wert $-25$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+2x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+2+0$

f'(0) = $-2\cdot 0+2$ = $0+2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-3x+2$ ab:

f'(x) = $x^3-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-2$ = 0

L={ $-2$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-2$ = $-4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |63.4° - ( - 76 )°| ≈ 139.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 139.4° = 40.6° .