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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} - 6 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{3 x}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{3 x}$

= $\frac{8}{3} x^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{8}{3} x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{8}{3 x^{2}}$

f'(2) = $- \frac{8}{3 \cdot 2^{2}}$ = $- \frac{8}{3} \cdot (\frac{1}{4})$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$

= $3 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 9 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x}$

= $2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{3 t}{x^{2}} + 2 x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $32$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3 t}{x^{2}} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6 t}{x^{3}} + 2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{6 t}{1^{3}} + 2$
= $- 6 t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert $32$ besitzen, also gilt:

$- 6 t + 2$	=	$32$	\| $- 2$
$- 6 t$	=	$30$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$- 5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x - 5$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x - 5$

=> $f'(x) =$ $- x + \frac{3}{2} + 0$

f'(3) = $- 3 + \frac{3}{2}$ = $- 3 + \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- \frac{3}{2}$ )) ≈ -56.3°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -56.3° + 180° = 123.7°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$ ab:

f'(x) = $x - 2$

Es muss gelten:

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
$x$	=	$5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 50.19 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 50.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(50.19°) ≈ 1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0 + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$1,2$	\|⋅ 5
$t$	=	$6$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} + 4 x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x^{2} + 4 x - 3

=

- x^{2} + 4 x

|

- (- x^{2} + 4 x)

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x + 4$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 + 4$ = $10$

$g'(x) =$ $- 2 x + 4$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 4$ = $2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $10$ ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $2$ ) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - 63.4°| ≈ 20.9°

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):