$\text{f(x)}=$ $-2x^5+2$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+0$

= $-10x^4$

$\text{f(x)}=$ $4x^4+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3+5$

f'(0) = $16\cdot 0^3+5$ = $16\cdot 0+5$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x^4}+\frac{5}{4}{x}^2$

= $\frac{3}{2}{x}^{-4}+\frac{5}{4}{x}^2$

=> f'(x) = $-6x^{-5}+\frac{5}{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^5}+\frac{5}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{3}{x}^4-3\sqrt{x}$

= $-\frac{8}{3}{x}^4-3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{32}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{32}{3}{x}^3-\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot {\left(-2\right)}^3+t$
= $64+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $59$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+3x$

f'(-2) = $-4\cdot {\left(-2\right)}^3+3\cdot \left(-2\right)$ = $-4\cdot \left(-8\right)-6$ = $32-6$ = $26$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $26$)) ≈ 87.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-53x+2$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-53$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 84.29 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(84.29°) ≈ 10.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-2\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 10.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-8$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-8$ = $-2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-63.4° - ( - 84.3 )°| ≈ 20.9°