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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + \frac{2}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{4} + \frac{2}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 16 x^{3} + \frac{2}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{3}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

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$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{3}}$

= $- \frac{3}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $\frac{9}{2} x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2 x^{4}}$

f'(2) = $\frac{9}{2 \cdot 2^{4}}$ = $\frac{9}{2} \cdot (\frac{1}{16})$ = $\frac{9}{32}$ ≈ 0.28

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{9}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{9}{2 x^{2}}$

= $- \frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{9}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) - 9 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) - \frac{9}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{4} + 3 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

= $\frac{2}{3} x^{4} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{8}{3} x^{3} + x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3} x^{3} + \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2 t}{x^{3}} - x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $41$ ?

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$f(x) =$ $\frac{2 t}{x^{3}} - x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6 t}{x^{4}} - 1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{6 t}{1^{4}} - 1$
= $- 6 t - 1$

Dieser Wert soll ja den Wert $41$ besitzen, also gilt:

$- 6 t - 1$	=	$41$	\| $+ 1$
$- 6 t$	=	$42$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$- 7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} - 3 x^{2}$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} - 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{2} x^{2} - 6 x$

f'(-3) = $- \frac{9}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 6 \cdot (- 3)$ = $- \frac{9}{2} \cdot 9 + 18$ = $- \frac{81}{2} + 18$ = $- \frac{45}{2}$ ≈ -22.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- \frac{45}{2}$ )) ≈ -87.5°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -87.5° + 180° = 92.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 48 x - 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 48 x - 6$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{7} x^{3} - 48$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{7} x^{3} - 48$	=	$1$	\| $+ 48$
$- \frac{1}{7} x^{3}$	=	$49$	\|⋅ $(- 7)$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 86.19 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 86.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(86.19°) ≈ 15.016

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0 + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 15.016 betragen, also gilt:

t

=

15,016

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 10$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 2

=

- x^{2} - 2 x + 10

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 10

2 x^{2} + 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2$ = $4$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 2$ = $- 6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $4$ ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 6$ ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 80.5 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):