$\text{f(x)}=$ $-4x^5+x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^4+3x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x}$

= $3x^{-1}$

=> f'(x) = $-3x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^2}$

f'(2) = $-\frac{3}{2^2}$ = $-3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $-\frac{3}{4}$ ≈ -0.75

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x}$

= $4x^{-1}$

=> f'(x) = $-4x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{3}\sqrt{x}$

= $-\frac{5}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{6\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^2}+2t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2}{2^2}+2t$
= $\frac{1}{2}+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{25}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-1$

f'(2) = $\frac{1}{2}\cdot 2-1$ = $1-1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-26x+3$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-26$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -36.87 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-36.87°) ≈ -0.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.75 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-3$ = $-1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $-1$) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-45° - ( - 78.7 )°| ≈ 33.7°