$\text{f(x)}=$ $-3x^3-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-4$

$\text{f(x)}=$ $x^3+4x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+8x$

f'(0) = $3\cdot 0^2+8\cdot 0$ = $3\cdot 0+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3x^2}+\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^{-2}+\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-\frac{2}{3}{x}^{-3}+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3x^3}+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt{x}-3x^5$

= $-4x^{\frac{1}{2}}-3x^5$

=> f'(x) = $-2x^{-\frac{1}{2}}-15x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}-15x^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^3}+2t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^4}+4tx$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6}{{\left(-2\right)}^4}+4t\cdot \left(-2\right)$
= $-\frac{3}{8}-8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{61}{8}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+2x+0$

f'(1) = $-1^3+2\cdot 1$ = $-1+2$ = $-1+2$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+x-6$ ab:

f'(x) = $3x+1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+8$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+8$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+4$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |85.2° - 0°| ≈ 85.2°