$\text{f(x)}=$ $4x^5+\frac{1}{6}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $20x^4+\frac{1}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $-x^5-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5x^4-2$

f'(1) = $-5\cdot 1^4-2$ = $-5\cdot 1-2$ = $-5-2$ = $-7$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x}$

= $x^{-1}$

=> f'(x) = $-x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}+x^5$

= $2x^{\frac{1}{2}}+x^5$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}+5x^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}+5x^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x^2}-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6t}{x^3}-2x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6t}{1^3}-2\cdot 1$
= $-6t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $34$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3+3x^2-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2+6x+0$

f'(-1) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+6\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{9}{2}\cdot 1-6$ = $\frac{9}{2}-6$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+7x+7$ ab:

f'(x) = $x+7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 84.29 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(84.29°) ≈ 10.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 10.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 83.7 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .