$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3-2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^2-4x$

$\text{f(x)}=$ $-8\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-8\cdot \cos \left(0\right)$ = $-8\cdot 1$ = $-8$

$\text{f(x)}=$ $-5x^4-\frac{3}{2x^4}$

= $-5x^4-\frac{3}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $-20x^3+6x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^3+\frac{6}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt[3]{x}-9x^3$

= $-3x^{\frac{1}{3}}-9x^3$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{2}{3}}-27x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-27x^2$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3t$
= $4\cdot 0+3t$
= $3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $3$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-\frac{3}{2}x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-\frac{3}{2}+0$

f'(-3) = $-2\cdot \left(-3\right)-\frac{3}{2}$ = $6-\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{9}{2}$)) ≈ 77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+56x-4$ ab:

f'(x) = $2x^3+56$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+2$ = $-4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 76 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .