$\text{f(x)}=$ $x^5+x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+1$

$\text{f(x)}=$ $-5x^5+x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-25x^4+3x^2$

f'(1) = $-25\cdot 1^4+3\cdot 1^2$ = $-25\cdot 1+3\cdot 1$ = $-25+3$ = $-22$

$\text{f(x)}=$ $4x^4+\frac{4}{x^2}$

= $4x^4+4x^{-2}$

=> f'(x) = $16x^3-8x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $16x^3-\frac{8}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt[3]{x}+x^5$

= $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{3}}+x^5$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{2}{3}}+5x^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+5x^4$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2t$
= $3\cdot \left(-1\right)+2t$
= $-3+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $1$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x+\frac{3}{2}+0$

f'(1) = $-1+\frac{3}{2}$ = $-1+\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+6x+6$ ab:

f'(x) = $x+6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .