$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{4}{3}x$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{4}{3}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

f'(1) = $9\cdot 1^2$ = $9\cdot 1$ = $9$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+\frac{7}{x^4}$

= $2\cdot \cos \left(x\right)+7x^{-4}$

=> f'(x) = $-2\cdot \sin \left(x\right)-28x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)-\frac{28}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-4x^3+\frac{5}{4}{\left(\sqrt{x}\right)}^3$

= $-4x^3+\frac{5}{4}{x}^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $-12x^2+\frac{15}{8}{x}^{\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+\frac{15}{8}\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+2t$
= $3\cdot 1+2t$
= $3+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $1$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3-\frac{9}{2}{x}^2$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-2\cdot \left(-1\right)-\frac{9}{2}\cdot 1$ = $2-\frac{9}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -68.2° + 180° = 111.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+4x-6$ ab:

f'(x) = $2x+4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 45 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .