$\text{f(x)}=$ $5x^4-\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $20x^3-x^2$

$\text{f(x)}=$ $2x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3$

f'(1) = $8\cdot 1^3$ = $8\cdot 1$ = $8$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x}$

= $3x^{-1}$

=> f'(x) = $-3x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$

= $\frac{5}{4}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{16}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{16{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+2x$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}+2x$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}+2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}+2$
= $\frac{2t}{3}+2$
= $\frac{2}{3}t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $4$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-2x^2+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-4x+0$

f'(3) = $3\cdot 3^2-4\cdot 3$ = $3\cdot 9-12$ = $27-12$ = $15$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $15$)) ≈ 86.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+30x+4$ ab:

f'(x) = $x^3+30$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+2$ = $-4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 76 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .