$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{10}{x}^5+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+5$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\frac{9}{2}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1$ = $-\frac{9}{2}$ ≈ -4.5

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}{x}^4-2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-7x^3-4x$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt[4]{x}-2x^2$

= $-4x^{\frac{1}{4}}-2x^2$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{3}{4}}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-4x$

$\text{f(x)}=$ $-3x^6+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-18x^5+2t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-18\cdot 2^5+2t$
= $-576+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-570$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+0$

f'(-1) = $-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+25x+2$ ab:

f'(x) = $x^3+25$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-5$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-5$ = $-1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $-1$) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-45° - ( - 81.9 )°| ≈ 36.9°