$\text{f(x)}=$ $2x^3-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2-2x$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+4$

f'(1) = $-4\cdot 1+4$ = $-4+4$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{3}{x^2}$

= $-5\cdot \sin \left(x\right)-3x^{-2}$

=> f'(x) = $-5\cdot \cos \left(x\right)+6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-3x^4-5\sqrt{x}$

= $-3x^4-5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-12x^3-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^3-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}-x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}-x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}-2x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}-2\cdot 1$
= $\frac{t}{2}-2\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{3}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+1+0$

f'(-1) = $-{\left(-1\right)}^3+1$ = $-\left(-1\right)+1$ = $1+1$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-5x-6$ ab:

f'(x) = $2x-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 21.8 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(21.8°) ≈ 0.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.4 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-6$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-6$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 84.3 )°| ≈ 84.3°