$\text{f(x)}=$ $-4x^5-5x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^4-20x^3$

$\text{f(x)}=$ $-x^5-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5x^4-2$

f'(-1) = $-5\cdot {\left(-1\right)}^4-2$ = $-5\cdot 1-2$ = $-5-2$ = $-7$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x}$

= $4x^{-1}$

=> f'(x) = $-4x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt{x}$

= $-5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $7\sqrt[3]{x}+tx$

= $7x^{\frac{1}{3}}+tx$

=> f'(x)= $\frac{7}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+t$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{7}{3{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2}+t$
= $\frac{7}{3\cdot 2^2}+t$
= $\frac{7}{12}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{5}{12}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-\frac{1}{2}+0$

f'(1) = $\frac{3}{4}\cdot 1^2-\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{4}$)) ≈ 14°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-16x-2$ ab:

f'(x) = $3x-16$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 73.3 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(73.3°) ≈ 3.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $12\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 45 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .