$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{9}{x}^3+1$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+0$

= $-\frac{1}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}$

= $-x^{-2}$

=> f'(x) = $2x^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

f'(1) = $\frac{2}{1^3}$ = $2\cdot 1$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $4x^5+\frac{2}{x^4}$

= $4x^5+2x^{-4}$

=> f'(x) = $20x^4-8x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $20x^4-\frac{8}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-8\sqrt{x}$

= $-8x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-4x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{x}+2t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{x^2}+4tx$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{8}{2^2}+4t\cdot 2$
= $-2+8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-10$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+2$

f'(-1) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+2$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1+2$ = $-\frac{9}{2}+2$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+8$ ab:

f'(x) = $2x+4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-8\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+1$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+3$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 71.6 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .