$\text{f(x)}=$ $2x^3+3$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $3\cdot \cos \left(0\right)$ = $3\cdot 1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}-7\cdot \sin \left(x\right)$

= $x^{-2}-7\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}-7\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}-7\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$0

=0

=> f'(x) = 0

$\text{f'(x)}=$0

$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{x^2}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{12}{x^3}+2t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{12}{{\left(-2\right)}^3}+2t$
= $\frac{3}{2}+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{15}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-x^3+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3-3x^2+0$

f'(-2) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^3-3\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-2\cdot \left(-8\right)-3\cdot 4$ = $16-12$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-78x+6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-78$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-2\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x+3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1+3$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - 45°| ≈ 38.7°