$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{5}{x}^5-\frac{1}{8}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^4-\frac{1}{2}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $4\cdot \cos \left(0\right)$ = $4\cdot 1$ = $4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^3}+4\cdot \sin \left(x\right)$

= $-3x^{-3}+4\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $9x^{-4}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x^4}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt[4]{x}+3x^3$

= $3x^{\frac{1}{4}}+3x^3$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}+9x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+9x^2$

$\text{f(x)}=$ $2t\cdot \sin \left(x\right)+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2t\cdot \cos \left(x\right)+5$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2t\cdot \cos \left(0\right)+5$
= $2t\cdot 1+5$
= $2t+5$

Dieser Wert soll ja den Wert $9$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

f'(2) = $-\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}$ = $-1+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -26.6° + 180° = 153.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+56x+9$ ab:

f'(x) = $2x^3+56$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+1$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 71.6 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .