$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{2}{3}x$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{2}{3}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}$

= $-2x^{-2}$

=> f'(x) = $4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}+4x^3$

= $-2x^{-\frac{1}{2}}+4x^3$

=> f'(x) = $x^{-\frac{3}{2}}+12x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+12x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{10}{x^2}+t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{20}{x^3}+2tx$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{20}{{\left(-2\right)}^3}+2t\cdot \left(-2\right)$
= $\frac{5}{2}-4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{51}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-4x$

f'(2) = $6\cdot 2^3-4\cdot 2$ = $6\cdot 8-8$ = $48-8$ = $40$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $40$)) ≈ 88.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4-70x-9$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^3-70$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+3$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+1$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 78.7 )°| ≈ 162.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 162.4° = 17.6° .