$\text{f(x)}=$ $-4x^4+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3+4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

= $-4x^{-3}$

=> f'(x) = $12x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^4}$

f'(2) = $\frac{12}{2^4}$ = $12\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^4}-5\cdot \sin \left(x\right)$

= $x^{-4}-5\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-4x^{-5}-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^5}-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt[3]{x}$

= $-4x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-\frac{4}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $2t{x}^5+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $10t{x}^4+1$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $10t\cdot 2^4+1$
= $160t+1$

Dieser Wert soll ja den Wert $161$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x+0$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)$ = $-2\cdot \left(-1\right)-3$ = $2-3$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -45° + 180° = 135°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-10x+8$ ab:

f'(x) = $x-10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 81.9 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .