$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-2$

$\text{f'(x)}=$ $x^3+0$

= $x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $\frac{2}{3}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\frac{2}{3}\cdot 1$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4x}$

= $\frac{3}{4}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}\sqrt{x}+5x^5$

= $-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+5x^5$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}+25x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4\sqrt{x}}+25x^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}+t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^3}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{8}{2^3}+2t\cdot 2$
= $1+4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-23$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{3}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{3}{2}+0$

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{3}{2}$ = $-4\cdot 0+\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{16}{x}^4-49x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^3-49$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 81.9 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .