$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^3-2x$

$\text{f'(x)}=$ $2x^2-2$

$\text{f(x)}=$ $2x^3+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+6x$

f'(1) = $6\cdot 1^2+6\cdot 1$ = $6\cdot 1+6$ = $6+6$ = $12$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}-x^4$

= $-3x^{-4}-x^4$

=> f'(x) = $12x^{-5}-4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^5}-4x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\sqrt{x}$

= $\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt[3]{x}+6x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{3}}+6x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{3}t{x}^{-\frac{2}{3}}+12x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+12x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{1}\right)}^2}+12\cdot 1$
= $\frac{t}{3\cdot 1^2}+12\cdot 1$
= $\frac{1}{3}t+12$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{32}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+2+0$

f'(-2) = $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+2$ = $-3\cdot 4+2$ = $-12+2$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -84.3° + 180° = 95.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-33x-1$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-33$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-78.69°) ≈ -5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+2$ = $-2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - ( - 63.4 )°| ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .