$\text{f(x)}=$ $-5x^3-\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-\frac{4}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+\frac{2}{x^3}$

= $5\cdot \cos \left(x\right)+2x^{-3}$

=> f'(x) = $-5\cdot \sin \left(x\right)-6x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{6}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}+3x^5$

= $x^{\frac{1}{2}}+3x^5$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+15x^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}+15x^4$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt[3]{x}-4x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{3}}-4x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{3}t{x}^{-\frac{2}{3}}-8x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-8x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{1}\right)}^2}-8\cdot 1$
= $\frac{t}{3\cdot 1^2}-8\cdot 1$
= $\frac{1}{3}t-8$

Dieser Wert soll ja den Wert $-7$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-2x^2-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-4x+0$

f'(0) = $\frac{9}{2}\cdot 0^2-4\cdot 0$ = $\frac{9}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-52x+8$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-52$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-6$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-6$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 84.3 )°| ≈ 84.3°