$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{5}{x}^5+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $2x^4+8x$

$\text{f(x)}=$ $4x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3$

f'(1) = $16\cdot 1^3$ = $16\cdot 1$ = $16$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)-\frac{9}{2x^4}$

= $\sin \left(x\right)-\frac{9}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)+18x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)+\frac{18}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt{x}$

= $-\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{6}{x}+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^2}+3t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{6}{2^2}+3t$
= $\frac{3}{2}+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{9}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+2x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x+2+0$

f'(-2) = $3\cdot \left(-2\right)+2$ = $-6+2$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+28x-9$ ab:

f'(x) = $x^3+28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -68.2 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-68.2°) ≈ -2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - 45°| ≈ 36.9°