$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-5$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+0$

= $-2x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x}$

= $-2x^{-1}$

=> f'(x) = $2x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

f'(2) = $\frac{2}{2^2}$ = $2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x}$

= $-5x^{-1}$

=> f'(x) = $5x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2-6x^2$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}-6x^2$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}-12x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}-12x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}-12\cdot 1$
= $\frac{2t}{3}-12\cdot 1$
= $\frac{2}{3}t-12$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{50}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2+6x$

f'(-2) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+6\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{9}{2}\cdot 4-12$ = $18-12$ = $6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $6$)) ≈ 80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-5x-5$ ab:

f'(x) = $2x-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 85.24 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(85.24°) ≈ 12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 12.009 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-4$ = $-2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-63.4° - ( - 80.5 )°| ≈ 17.1°