$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+3$

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+0$

= $-x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{2x^3}$

= $-\frac{9}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $\frac{27}{2}{x}^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{27}{2x^4}$

f'(2) = $\frac{27}{2\cdot 2^4}$ = $\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $\frac{27}{32}$ ≈ 0.84

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}$

= $-5x^{-3}$

=> f'(x) = $15x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt{x}$

= $-4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+7x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+7x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+14x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+14x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+14\cdot 1$
= $\frac{t}{2}+14\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t+14$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{31}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}+0$

f'(1) = $\frac{3}{2}\cdot 1^2-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}\cdot 1-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+17x+4$ ab:

f'(x) = $3x+17$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-80.54°) ≈ -6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-2$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 80.5 )°| ≈ 80.5°