$\text{f(x)}=$ $-x^4+x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+3x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3x^2}$

= $\frac{2}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{4}{3}{x}^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3x^3}$

f'(2) = $-\frac{4}{3\cdot 2^3}$ = $-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)$ = $-\frac{1}{6}$ ≈ -0.17

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2x^2}$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}+2x^2$

= $3x^{\frac{1}{2}}+2x^2$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}+4x$

$\text{f(x)}=$ $2t{x}^3+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $6t{x}^2+3$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6t\cdot {\left(-2\right)}^2+3$
= $24t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $-117$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-2$

f'(3) = $2\cdot 3-2$ = $6-2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-4x-3$ ab:

f'(x) = $x-4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+7$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+7$ = $11$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $11$) ≈ 84.8°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.8° - ( - 45 )°| ≈ 129.8°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 129.8° = 50.2° .