$\text{f(x)}=$ $3x^5-x$

$\text{f'(x)}=$ $15x^4-1$

$\text{f(x)}=$ $x^3-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-4x$

f'(-1) = $3\cdot {\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)$ = $3\cdot 1+4$ = $3+4$ = $7$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{4}{x^4}$

= $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-4x^{-4}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)+16x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{16}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}$

= $x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4t\cdot \sin \left(x\right)+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4t\cdot \cos \left(x\right)+1$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4t\cdot \cos \left((-\pi )\right)+1$
= $4t\cdot \left(-1\right)+1$
= $-4t+1$

Dieser Wert soll ja den Wert $-11$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+1$

f'(1) = $-\frac{1}{2}\cdot 1+1$ = $-\frac{1}{2}+1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+56x-1$ ab:

f'(x) = $2x^3+56$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.07 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.07°) ≈ 3.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.75 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 81.9 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .