$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-2x^3$

$\text{f'(x)}=$ $x^3-6x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-2\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{4}{x^4}$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)-4x^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+16x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{16}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^5-\frac{2}{3}\sqrt{x}$

= $\frac{1}{3}{x}^5-\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{3}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3}{x}^4-\frac{1}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot \cos \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+5t$
= $-3\cdot 0+5t$
= $5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $20$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{3}{2}x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{3}{2}+0$

f'(2) = $-2\cdot 2+\frac{3}{2}$ = $-4+\frac{3}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-13x+4$ ab:

f'(x) = $2x^3-13$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-8\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - 45°| ≈ 36.9°