$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(3x-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4}{\left(3x-2\right)}^2·\left(3+0\right)$

= $\frac{9}{4}{\left(3x-2\right)}^2·\left(3\right)$

= $\frac{27}{4}{\left(3x-2\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-x-1}$

= $3{\left(-x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-x-1}}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-x-1}}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-x-1}}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $4\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $4\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\cos \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(1) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-2) und Q₂(2|-2), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = $2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(0)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}·\sin \left(x\right)$

= $x^{-2}·\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}·\sin \left(x\right)+x^{-2}·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}·\sin \left(x\right)+\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)$

= $-2\frac{\sin \left(x\right)}{x^3}+\frac{\cos \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·{\left(4x+2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·{\left(4x+2\right)}^4+\cos \left(x\right)·4{\left(4x+2\right)}^3·\left(4+0\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(4x+2\right)}^4+\cos \left(x\right)·4{\left(4x+2\right)}^3·\left(4\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(4x+2\right)}^4+\cos \left(x\right)·16{\left(4x+2\right)}^3$

= $-\sin \left(x\right){\left(4x+2\right)}^4+16\cos \left(x\right){\left(4x+2\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x-9\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x-9\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x-9\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-4x-5$ = 0

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-4x-5$ gilt: f'(x)= $2x-4$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 2, wodurch mit f'(2)=0 und g'(2)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = 0⋅g(2) + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-3$ = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.