$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(1+0\right)$

= $\left(x-1\right)·\left(1\right)$

= $x-1$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{-\frac{1}{2}x+4}$

= $3{\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^{-2}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^2}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^2}·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{3}{2{\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{3x+5}$

= ${\left(3x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(3x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x+5}}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x+5}}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x+5}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $\frac{3}{2}$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-2)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-2) und Q₂(1|-2), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

= $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\cos \left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(4x-3\right)+\left(x^2+8\right)·(-\sin \left(4x-3\right)·\left(4+0\right))$

= $2x·\cos \left(4x-3\right)+\left(x^2+8\right)·(-\sin \left(4x-3\right)·\left(4\right))$

= $2x·\cos \left(4x-3\right)+\left(x^2+8\right)·\left(-4\cdot \sin \left(4x-3\right)\right)$

= $2x·\cos \left(4x-3\right)-4\left(x^2+8\right)·\sin \left(4x-3\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\cos \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{4}}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\cos \left(x^2\right)+\sqrt[4]{x}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-2\sqrt[4]{x}\sin \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^5·\sin \left(x^2\right)$

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(1) = 2.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 1 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (1) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (1) ⋅ g'(-3) ≈ 0.5 ⋅ -0.5 ≈ -0.25.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+8$)⋅g(x) + ( $x^2+8x+16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+8x+16$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+8x+16$ gilt: f'(x)= $2x+8$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-4) = f'(-4) = 0, somit gilt h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = 0⋅g(-4) + 0⋅g'(-4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-4 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x+1$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x+1$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x+1$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.