$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\frac{2}{3}x+1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(\frac{2}{3}x+1\right)·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $-6\left(\frac{2}{3}x+1\right)·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $-4\left(\frac{2}{3}x+1\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{3x-1}$

= $3{\left(3x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(3x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x-1}}·\left(3+0\right)$

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x-1}}·\left(3\right)$

= $\frac{9}{2\cdot \sqrt{3x-1}}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-x-2}$

= $-2{\left(-x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-x-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-x-2}}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-x-2}}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-x-2}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = $5$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-3) = 0.

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x-1\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·\cos \left(x\right)+\left(-5x-1\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-5\cdot \cos \left(x\right)-\left(-5x-1\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{-4x+4}$

= $\sin \left(x\right)·{\left(-4x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·{\left(-4x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(-4x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{-4x+4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-4x+4}}·\left(-4+0\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-4x+4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-4x+4}}·\left(-4\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-4x+4}+\sin \left(x\right)·\left(-\frac{2}{\sqrt{-4x+4}}\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-4x+4}-2\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{-4x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(x^2+7\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2x·\sin \left(3x\right)+\left(x^2+7\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2x·\sin \left(3x\right)+3\left(x^2+7\right)·\cos \left(3x\right)$

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(2) = -1.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 2 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (2) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (2) ⋅ g'(-2) ≈ -1 ⋅ -0.5 ≈ 0.5.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.