$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{\left(-x-1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-2{\left(-x-1\right)}^3·\left(-1+0\right)$

= $-2{\left(-x-1\right)}^3·\left(-1\right)$

= $2{\left(-x-1\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{\frac{3}{2}x+1}$

= $-{\left(\frac{3}{2}x+1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = ${\left(\frac{3}{2}x+1\right)}^{-2}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(\frac{3}{2}x+1\right)}^2}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(\frac{3}{2}x+1\right)}^2}·\left(\frac{3}{2}\right)$

= $\frac{3}{2{\left(\frac{3}{2}x+1\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-2x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-2x^2+5\right)·\left(-4x+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(-2x^2+5\right)·\left(-4x\right)$

= $-12\cos \left(-2x^2+5\right)x$

= $-12x·\cos \left(-2x^2+5\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-2) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-3) und Q₂(1|-3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = $5$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -2 + ( - 1 ) = $-3$.

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4+5x^3\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3+15x^2\right)·\cos \left(x\right)+\left(-3x^4+5x^3\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(-12x^3+15x^2\right)·\cos \left(x\right)-\left(-3x^4+5x^3\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(3x-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(3x-4\right)}^2·\left(3+0\right)$

= $-6{\left(3x-4\right)}^2·\left(3\right)$

= $-18{\left(3x-4\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\cos \left(x^2\right)+x^4·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $4x^3·\cos \left(x^2\right)+x^4·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $4x^3·\cos \left(x^2\right)-2x^4\sin \left(x^2\right)x$

= $4x^3·\cos \left(x^2\right)-2x^5·\sin \left(x^2\right)$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.