$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-3x-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(-3x-3\right)·\left(-3+0\right)$

= $-6\left(-3x-3\right)·\left(-3\right)$

= $18\left(-3x-3\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3\left(-x-5\right)}$

= $\frac{2}{3}{\left(-x-5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{2}{3}{\left(-x-5\right)}^{-2}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3{\left(-x-5\right)}^2}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{2}{3{\left(-x-5\right)}^2}·\left(-1\right)$

= $\frac{2}{3{\left(-x-5\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-x^3+5\right)·\left(-3x^2+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(-x^3+5\right)·\left(-3x^2\right)$

= $-9\cos \left(-x^3+5\right)x^2$

= $-9x^2·\cos \left(-x^3+5\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-3) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(2) = 2.

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\cos \left(x\right)+x^{\frac{1}{4}}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\cos \left(x\right)+\sqrt[4]{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-\sqrt[4]{x}·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(2x-5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(2x-5\right)·\left(2+0\right)$

= $-4\left(2x-5\right)·\left(2\right)$

= $-8\left(2x-5\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\cos \left(x^3\right)+x^4·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $4x^3·\cos \left(x^3\right)+x^4·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $4x^3·\cos \left(x^3\right)-3x^4\sin \left(x^3\right)x^2$

= $4x^3·\cos \left(x^3\right)-3x^6·\sin \left(x^3\right)$

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(3) = 1.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 3 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (3) ≈ 4

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (3) ⋅ g'(-3) ≈ 4 ⋅ -2 ≈ -8.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+2x-8$ = 0

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-8$ gilt: f'(x)= $2x+2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.