$\text{f(x)}=$ $-2{\left(2x+1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(2x+1\right)·\left(2+0\right)$

= $-4\left(2x+1\right)·\left(2\right)$

= $-8\left(2x+1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-2x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(-2x-5\right)·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(-2x-5\right)·\left(-2\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot \sin \left(-2x-5\right)$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)-2\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $3{\left(\cos \left(x\right)-2\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-3{\left(\cos \left(x\right)-2\right)}^2·\sin \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(0) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|3) und Q₂(-2|3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f($-2$) = $-\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = 4.

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

= $-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)+{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

= $-{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2+{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(2x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(2x+4\right)·\left(2+0\right)$

= $3\cdot \sin \left(2x+4\right)·\left(2\right)$

= $6\cdot \sin \left(2x+4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x+8\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)+\left(2x+8\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)-2\left(2x+8\right)·\cos \left(-2x\right)$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-8$ gilt: f'(x)= $2x+2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.