$\text{f(x)}=$ $3{\left(2x-5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(2x-5\right)}^4·\left(2+0\right)$

= $15{\left(2x-5\right)}^4·\left(2\right)$

= $30{\left(2x-5\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\frac{1}{2}x-3}$

= ${\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^{-2}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^2}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^2}·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{1}{2{\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(3x^3-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(3x^3-1\right)·\left(9x^2+0\right)$

= $-\cos \left(3x^3-1\right)·\left(9x^2\right)$

= $-9\cos \left(3x^3-1\right)x^2$

= $-9x^2·\cos \left(3x^3-1\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(2) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(1)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|1) und Q₂(2|1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 0.

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4+4x^3\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3+12x^2\right)·\sin \left(x\right)+\left(-2x^4+4x^3\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(-3x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(-3x-4\right)+x^5·\cos \left(-3x-4\right)·\left(-3+0\right)$

= $5x^4·\sin \left(-3x-4\right)+x^5·\cos \left(-3x-4\right)·\left(-3\right)$

= $5x^4·\sin \left(-3x-4\right)+x^5·\left(-3\cdot \cos \left(-3x-4\right)\right)$

= $5x^4·\sin \left(-3x-4\right)-3x^5·\cos \left(-3x-4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-4\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(3x-4\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)+\left(3x-4\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)-3\left(3x-4\right)·\cos \left(-3x\right)$

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(1) = 0.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 1 entnommen.

f '(g(3)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (1) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (1) ⋅ g'(3) ≈ 2 ⋅ -2 ≈ -4.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-25$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.