$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(-x-3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $2{\left(-x-3\right)}^2·\left(-1+0\right)$

= $2{\left(-x-3\right)}^2·\left(-1\right)$

= $-2{\left(-x-3\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{\frac{1}{4}x+5}$

= $-{\left(\frac{1}{4}x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{4}x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(\frac{1}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{1}{4}x+5}}·\left(\frac{1}{4}+0\right)$

= $-\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{1}{4}x+5}}·\left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{1}{8\cdot \sqrt{\frac{1}{4}x+5}}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $15{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $15{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^4·\cos \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-1) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-3)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-3) und Q₂(-1|-3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($1$) = $-\mathrm{2,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-2) = -2.

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4+4x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3+8x\right)·\cos \left(x\right)+\left(5x^4+4x^2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(20x^3+8x\right)·\cos \left(x\right)-\left(5x^4+4x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{-2x+4}$

= $\sin \left(x\right)·{\left(-2x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·{\left(-2x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(-2x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{-2x+4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-2x+4}}·\left(-2+0\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-2x+4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-2x+4}}·\left(-2\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-2x+4}+\sin \left(x\right)·\left(-\frac{1}{\sqrt{-2x+4}}\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-2x+4}-\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{-2x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-1\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x^2-1\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $4x·\sin \left(-2x\right)+\left(2x^2-1\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $4x·\sin \left(-2x\right)-2\left(2x^2-1\right)·\cos \left(-2x\right)$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-6$)⋅g(x) + ( $x^2-6x+9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-6x+9$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-6x+9$ gilt: f'(x)= $2x-6$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(3) = f'(3) = 0, somit gilt h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = 0⋅g(3) + 0⋅g'(3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =3 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.