Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 1} + \frac{4}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 1} + \frac{4}{x^{3}}$

= $e^{- 3 x - 1} + 4 x^{- 3}$

=> f'(x) = $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) - 12 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) - \frac{12}{x^{4}}$

= $- 3 e^{- 3 x - 1} - \frac{12}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{4} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 (5 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} - 3 + 20 x^{3})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} + 20 x^{3} - 3)$

= $(- 15 x^{4} + 20 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 18)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 17)$

= $(3 x - 17) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x + 1,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 3,2)$

= $(- 0,4 x + 3,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten