$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{1}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}-3e^{3x+5}$

= $-2x^{-3}-3e^{3x+5}$

=> f'(x) = $6x^{-4}-3e^{3x+5}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}-3e^{3x+5}·3$

= $\frac{6}{x^4}-9e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x+5\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{-5x+3}+\left(4x+5\right)·e^{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $4e^{-5x+3}+\left(4x+5\right)·\left(-5e^{-5x+3}\right)$

= $4e^{-5x+3}-5\left(4x+5\right)·e^{-5x+3}$

= $e^{-5x+3}·\left(4-20x-25\right)$

= $e^{-5x+3}·\left(-20x-21\right)$

= $\left(-20x-21\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-4}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{-x^2-4}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{-x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(3x^3+2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(3x^3+2\right)}^3·\left(9x^2+0\right)$

= $-8{\left(3x^3+2\right)}^3·\left(9x^2\right)$

= $-72{\left(3x^3+2\right)}^3{x}^2$

= $-72x^2{\left(3x^3+2\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(4-2x+4\right)-1$

= $-1+\left(-2x+4+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-1+\left(-2x+8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$