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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} - 8 x) \cdot e^{x} + (3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2} + (12 x^{3} - 8 x))$

= $e^{x} \cdot (3 x^{4} + 12 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x)$

= $(3 x^{4} + 12 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{3 x} - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{3 x} - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(e^{3 x} - 5)}^{3} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $4 {(e^{3 x} - 5)}^{3} \cdot (3 e^{3 x})$

= $12 {(e^{3 x} - 5)}^{3} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 12,5) - 1$

= $- 1 + (2,5 x - 5 - 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 1 + (2,5 x - 17,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten