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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 1} + x^{4} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 1} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 1} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 9 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 9 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{3} - 15 x^{2} + (- 9 x^{2} + 10 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{3} - 24 x^{2} + 10 x)$

= $(9 x^{3} - 24 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 1)$

= $(6 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot (- 2 e^{1,1 x})$

≈ $- 284,086 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 16,8) + 9$

= $9 + (2,4 x - 3 + 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $9 + (2,4 x + 13,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten