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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{3}} + 2 e^{x + 1} - 8 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{3}} + 2 e^{x + 1} - 8 x^{5}$

= $2 x^{- 3} + 2 e^{x + 1} - 8 x^{5}$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 4} + 2 e^{x + 1} \cdot 1 - 40 x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{4}} + 2 e^{x + 1} \cdot 1 - 40 x^{4}$

= $- \frac{6}{x^{4}} + 2 e^{x + 1} - 40 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 3} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} - 3} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- x + 3)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (- x + 3) + x^{2} \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (- x + 3) + x^{2} \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot \sin (- x + 3) + x^{2} \cdot (- \cos (- x + 3))$

= $2 x \cdot \sin (- x + 3) - x^{2} \cdot \cos (- x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 1,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 2,4)$

= $(0,7 x - 2,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten