$\text{f(x)}=$ $5-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{x-3}+\left(x-3\right)·e^{x-3}·1$

= $e^{x-3}+\left(x-3\right)·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·\left(1+x-3\right)$

= $e^{x-3}·\left(x-2\right)$

= $\left(x-2\right)·e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+0\right)·e^{-2x}+\left(-3x^5+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-15x^4·e^{-2x}+\left(-3x^5+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-15x^4·e^{-2x}-2\left(-3x^5+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(6x^5-10-15x^4\right)$

= $e^{-2x}·\left(6x^5-15x^4-10\right)$

= $\left(6x^5-15x^4-10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+4}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+4}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-3x^2+3\right)}^2}$

= ${\left(-3x^2+3\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-2{\left(-3x^2+3\right)}^{-3}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-3x^2+3\right)}^3}·\left(-6x+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-3x^2+3\right)}^3}·\left(-6x\right)$

= $12\frac{x}{{\left(-3x^2+3\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}·4e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,184}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+5$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+5$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(2-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}\right)+5$

= $5+\left(-\mathrm{0,2}x+2+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $5+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$