$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $-\frac{12}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x-2}+6x^5+2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x-2}·1+30x^4+2\cdot \cos \left(x\right)$

= $3e^{x-2}+30x^4+2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^3+2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3·e^{-x^3+2}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{-x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x+2}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x+1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x+1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x+1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+0\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x\right)$

= $x·\left(-4e^{-2x}\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{5,8564}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{56}·4e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{831,86}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,3}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$