$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x+2}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-x+5\right)·\left(-1+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(-x+5\right)·\left(-1\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-x+5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-6$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-6$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x+\mathrm{11,2}\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{1,6}x+4+\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$