$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{2x}·2$

= $\frac{5}{4}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x\left(-2x^5+4x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(-2x^5+4x^3\right)+e^x·\left(-10x^4+12x^2\right)$

= $e^x·(-2x^5+4x^3+\left(-10x^4+12x^2\right))$

= $e^x·\left(-2x^5-10x^4+4x^3+12x^2\right)$

= $\left(-2x^5-10x^4+4x^3+12x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2+4}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2+4}x$

= $6x{e}^{-x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{4x}·4$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{2x-2}$

= $3{\left(2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(2x-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x-2}}·\left(2+0\right)$

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x-2}}·\left(2\right)$

= $\frac{3}{\sqrt{2x-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,629}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{74}·\left(-2e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,045}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-4+\mathrm{2,8}x-14\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,8}x-18\right)$

= $\left(\mathrm{2,8}x-18\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$