$\text{f(x)}=$ $-3+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^x+\left(2x^2+2\right)·e^x$

= $\left(2x^2+2\right)·e^x+4x·e^x$

= $e^x·\left(2x^2+2+4x\right)$

= $e^x·\left(2x^2+4x+2\right)$

= $\left(2x^2+4x+2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3+0\right)·e^{-2x}+\left(-2x^4-1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-8x^3·e^{-2x}+\left(-2x^4-1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-8x^3·e^{-2x}-2\left(-2x^4-1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(4x^4+2-8x^3\right)$

= $e^{-2x}·\left(4x^4-8x^3+2\right)$

= $\left(4x^4-8x^3+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{4x}·4$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,8}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,8}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,61}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,61}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,4295}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4295}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,258}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{69}·4e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,116}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+14\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+10\right)$

= $\left(2x+10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$