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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + x^{4} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (4 x^{3} + 5 x^{4})$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 5} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 3} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 3} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}}$

= $- 3 {(- 2 x + 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(- 2 x + 4)}^{- 3} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- 2 x + 4)}^{3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{6}{{(- 2 x + 4)}^{3}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{{(- 2 x + 4)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 0,9)}^{52} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,004 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 7$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 7$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x + 9,6 + 4) + 7$

= $7 + (- 3,2 x + 9,6 + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $7 + (- 3,2 x + 13,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten