$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{5}{4}x}·\frac{5}{4}$

= $-\frac{15}{4}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x+1}-2\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x+1}·1-2\cdot \cos \left(x\right)-\frac{2}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-e^{x+1}-2\cdot \cos \left(x\right)-\frac{2}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^2+3}·2x$

= $-2·e^{x^2+3}x$

= $-2x{e}^{x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+4x^2}·\left(6x^2+8x\right)$

= $\frac{6x^2+8x}{2x^3+4x^2}$

= $\frac{2·1·\left(3x+4\right)}{2x·\left(x+2\right)}$

= $\frac{2\left(3x+4\right)}{2x·\left(x+2\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x-8\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x-5\right)$

= $\left(-6x-5\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x-\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{8,8}\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$