$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{1}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)+2x^4-e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+8x^3-e^{x+4}·1$

= $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+8x^3-e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4x}·4$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{3x}-2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(e^{3x}-2\right)}^4·(e^{3x}·3+0)$

= $-10{\left(e^{3x}-2\right)}^4·\left(3e^{3x}\right)$

= $-30{\left(e^{3x}-2\right)}^4·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{48}·\left(-e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

= 0

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-1+\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,5}x-1-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$