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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 3 e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 3 e^{x - 4} \cdot 1$

= $3 x^{2} + 3 e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{5} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{5} + 4)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 3 x^{5} + 4) + e^{- 2 x} \cdot (- 15 x^{4} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 3 x^{5} + 4) + e^{- 2 x} \cdot (- 15 x^{4})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 3 x^{5} + 4) - 15 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{5} - 8 - 15 x^{4})$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{5} - 15 x^{4} - 8)$

= $(6 x^{5} - 15 x^{4} - 8) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 8) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 8) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x + 8) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x + 5,6)$

= $(- 1,8 x + 5,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten