$\text{f(x)}=$ $2-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{4x-5}+x^2·e^{4x-5}·4$

= $2x·e^{4x-5}+x^2·4e^{4x-5}$

= $2x·e^{4x-5}+4x^2·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(4x^2+2x\right)$

= $\left(4x^2+2x\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}·\left(-2x\right)$

= $4·e^{-x^2+5}x$

= $4x{e}^{-x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{5x}·5$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-9\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-9\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2-9\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+7$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+7$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,6}\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{0,6}x-1-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $7+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$