$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}\sqrt{x}+3e^{-2x-5}$

= $-\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{2}}+3e^{-2x-5}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}+3e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{8\sqrt{x}}+3e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $-\frac{3}{8\sqrt{x}}-6e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x^2-5}·\left(-6x\right)$

= $6·e^{-3x^2-5}x$

= $6x{e}^{-3x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{4x}·4$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x+9\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x+9\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x+9\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(1-\mathrm{0,8}x-4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-3\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$