$\text{f(x)}=$ $2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-3\right)·e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{3x+5}+\left(-2x-3\right)·e^{3x+5}·3$

= $-2e^{3x+5}+\left(-2x-3\right)·3e^{3x+5}$

= $-2e^{3x+5}+3\left(-2x-3\right)·e^{3x+5}$

= $e^{3x+5}·\left(-2-6x-9\right)$

= $e^{3x+5}·\left(-6x-11\right)$

= $\left(-6x-11\right)·e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^3-1}·9x^2$

= $18·e^{3x^3-1}{x}^2$

= $18x^2{e}^{3x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x}·1$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}·\left(-e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{12,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{10,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{10,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$