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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 2} + x^{4} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 2} + x^{4} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x + 5} + (3 x - 1) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $3 e^{2 x + 5} + (3 x - 1) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $3 e^{2 x + 5} + 2 (3 x - 1) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (3 + 6 x - 2)$

= $e^{2 x + 5} \cdot (6 x + 1)$

= $(6 x + 1) \cdot e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 5 x - 3)$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x - 3)$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \sin (- 5 x - 3) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \sin (- 5 x - 3) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 3)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 3)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x - 3))$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 3)}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 5 \frac{\cos (- 5 x - 3)}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x + 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 1)$

= $(4 x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten