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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + x^{3} \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (3 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (3 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (3 x^{2} + 2) \cdot (6 x + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (3 x^{2} + 2) \cdot (6 x)$

= $- 12 \cos (3 x^{2} + 2) x$

= $- 12 x \cdot \cos (3 x^{2} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 5$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 5$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,4) + 5$

= $5 + (0,1 x - 1 + 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $5 + (0,1 x - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten