$\text{f(x)}=$ $-5+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-5x+4}+x^5·e^{-5x+4}·\left(-5\right)$

= $5x^4·e^{-5x+4}+x^5·\left(-5e^{-5x+4}\right)$

= $5x^4·e^{-5x+4}-5x^5·e^{-5x+4}$

= $e^{-5x+4}·\left(-5x^5+5x^4\right)$

= $\left(-5x^5+5x^4\right)·e^{-5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^4+e^x·4x^3$

= $e^x{x}^4+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3+4}·\left(-12x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-4x^3+4}·\left(-12x^2\right)$

= $-12\frac{x^2}{-4x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-3x^3-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-3x^3-5\right)·\left(-9x^2+0\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-3x^3-5\right)·\left(-9x^2\right)$

= $27\cos \left(-3x^3-5\right)x^2$

= $27x^2·\cos \left(-3x^3-5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{6,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{6,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$