$\text{f(x)}=$ $-1+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x-4}+x^4·e^{3x-4}·3$

= $4x^3·e^{3x-4}+x^4·3e^{3x-4}$

= $4x^3·e^{3x-4}+3x^4·e^{3x-4}$

= $e^{3x-4}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(x^4+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(x^4+3x\right)+e^{-x}·\left(4x^3+3\right)$

= $-e^{-x}\left(x^4+3x\right)+e^{-x}\left(4x^3+3\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^4-3x+4x^3+3\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3-3x+3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3-3x+3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{2x}·2$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $15{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $15{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,044}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3-\mathrm{1,8}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{10,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{10,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$