$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{3}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x+5}-\frac{1}{2x^2}-5\sqrt{x}$

= $2e^{-3x+5}-\frac{1}{2}{x}^{-2}-5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2e^{-3x+5}·\left(-3\right)+x^{-3}-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x+5}·\left(-3\right)+\frac{1}{x^3}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

= $-6e^{-3x+5}+\frac{1}{x^3}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^5+4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(10x^4+0\right)·e^{2x}+\left(2x^5+4\right)·e^{2x}·2$

= $10x^4·e^{2x}+\left(2x^5+4\right)·2e^{2x}$

= $10x^4·e^{2x}+2\left(2x^5+4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(4x^5+8+10x^4\right)$

= $e^{2x}·\left(4x^5+10x^4+8\right)$

= $\left(4x^5+10x^4+8\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-6{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-6{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x+\mathrm{12,6}\right)+8$

= $8+\left(\mathrm{1,8}x-3+\mathrm{12,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $8+\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$