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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} + \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} + \frac{1}{x^{2}}$

= $- 3 e^{- x - 4} + x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- x - 4} \cdot (- 1) - 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} \cdot (- 1) - \frac{2}{x^{3}}$

= $3 e^{- x - 4} - \frac{2}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{3} - 5 x) + e^{x} \cdot (- 3 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- x^{3} - 5 x - 3 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- x^{3} - 3 x^{2} - 5 x - 5)$

= $(- x^{3} - 3 x^{2} - 5 x - 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x - 8) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x - 8) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x - 8) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 12)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x - 15)$

= $(2,4 x - 15) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten