$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{16}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5+2\right)·e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4+0\right)·e^{2x+3}+\left(-2x^5+2\right)·e^{2x+3}·2$

= $-10x^4·e^{2x+3}+\left(-2x^5+2\right)·2e^{2x+3}$

= $-10x^4·e^{2x+3}+2\left(-2x^5+2\right)·e^{2x+3}$

= $e^{2x+3}·\left(-4x^5+4-10x^4\right)$

= $e^{2x+3}·\left(-4x^5-10x^4+4\right)$

= $\left(-4x^5-10x^4+4\right)·e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{-2x}+\left(-4x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}+\left(-4x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-4e^{-2x}-2\left(-4x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4+8x+10\right)$

= $e^{-2x}·\left(8x+6\right)$

= $\left(8x+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2+3x}·\left(-10x+3\right)$

= $\frac{-10x+3}{-5x^2+3x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-x^3+5\right)·\left(-3x^2+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(-x^3+5\right)·\left(-3x^2\right)$

= $6\sin \left(-x^3+5\right)x^2$

= $6x^2·\sin \left(-x^3+5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{63}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,001}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(1-\mathrm{0,7}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,7}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$