$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{7}{9}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^x$

= $\frac{7}{9}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-5x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-5x-1}+x^3·e^{-5x-1}·\left(-5\right)$

= $3x^2·e^{-5x-1}+x^3·\left(-5e^{-5x-1}\right)$

= $3x^2·e^{-5x-1}-5x^3·e^{-5x-1}$

= $e^{-5x-1}·\left(-5x^3+3x^2\right)$

= $\left(-5x^3+3x^2\right)·e^{-5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+5}·3$

= $-6e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{2x}·2$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x+12\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x+15\right)$

= $\left(-9x+15\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{4,5}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,5}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{4,05}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,05}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,645}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,645}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,2805}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{61}·5e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,008}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x-21\right)-1$

= $-1+\left(3x-5-21\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-1+\left(3x-26\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$