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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{4} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x - 5} + (2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $(6 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x - 5} + (2 x^{3} - 2 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $(6 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 4 x^{3} + 4 x + 6 x^{2} - 2)$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 2)$

= $(- 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (2 x) + (2 x - 1) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 \cdot \cos (2 x) + (2 x - 1) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 \cdot \cos (2 x) - 2 (2 x - 1) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $2451,854 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 4$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 1,2) - 4$

= $- 4 + (- 0,4 x + 2 - 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 4 + (- 0,4 x + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten