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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 5) \cdot e^{2 x - 3} + (4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $(12 x^{2} - 5) \cdot e^{2 x - 3} + (4 x^{3} - 5 x) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $(12 x^{2} - 5) \cdot e^{2 x - 3} + 2 (4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (8 x^{3} - 10 x + 12 x^{2} - 5)$

= $e^{2 x - 3} \cdot (8 x^{3} + 12 x^{2} - 10 x - 5)$

= $(8 x^{3} + 12 x^{2} - 10 x - 5) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 3 x} \cdot (2 x + 3)$

= $\frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{- 2 x + 1}$

= $2 {(- 2 x + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(- 2 x + 1)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $\frac{4}{{(- 2 x + 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 6$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 6$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 1,4) + 6$

= $6 + (0,7 x - 1 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $6 + (0,7 x - 2,4) \cdot e^{- 0,7 x}$