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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 2} + (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 2} + (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (12 x^{2} - 20 x - 6 x + 5)$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (12 x^{2} - 26 x + 5)$

= $(12 x^{2} - 26 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 5} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 2 x + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 2 x + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(- 2 x + 5)}^{3} \cdot (- 2 + 0)$

= $12 {(- 2 x + 5)}^{3} \cdot (- 2)$

= $- 24 {(- 2 x + 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 16,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x + 20,8)$

= $(- 2,4 x + 20,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten