$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $-\frac{9}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-5x+3}+x^3·e^{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $3x^2·e^{-5x+3}+x^3·\left(-5e^{-5x+3}\right)$

= $3x^2·e^{-5x+3}-5x^3·e^{-5x+3}$

= $e^{-5x+3}·\left(-5x^3+3x^2\right)$

= $\left(-5x^3+3x^2\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{3x}·3$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{-2x}-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(e^{-2x}-4\right)}^2·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-9{\left(e^{-2x}-4\right)}^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $18{\left(e^{-2x}-4\right)}^2·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,4641}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{46}·\left(-e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{80,18}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(4-2x-10\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2x-6\right)$

= $\left(-2x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$