$\text{f(x)}=$ $2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^4}+e^{x+2}$

= $5x^{-4}+e^{x+2}$

=> f'(x) = $-20x^{-5}+e^{x+2}·1$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{20}{x^5}+e^{x+2}·1$

= $-\frac{20}{x^5}+e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^2+4}·\left(-2x\right)$

= $4·e^{-x^2+4}x$

= $4x{e}^{-x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{6x}·6$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-3x^2-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(-3x^2-1\right)·\left(-6x+0\right)$

= $-2\left(-3x^2-1\right)·\left(-6x\right)$

= $12\left(-3x^2-1\right)x$

= $12x\left(-3x^2-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{47}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,007}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$