$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{12}{25}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x+3}-4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x+3}·1-12x^2$

= $e^{x+3}-12x^2$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{3x}·3$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(2x+8\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(2x+8\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(2x+8\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{54}·\left(-e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,003}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x-6\right)-6$

= $-6+\left(x-2-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-6+\left(x-8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$