$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{9}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $8\cdot \cos \left(x\right)-e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-8\cdot \sin \left(x\right)-e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $-8\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(-x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(-x+1\right)+x^4·\cos \left(-x+1\right)·\left(-1+0\right)$

= $4x^3·\sin \left(-x+1\right)+x^4·\cos \left(-x+1\right)·\left(-1\right)$

= $4x^3·\sin \left(-x+1\right)+x^4·\left(-\cos \left(-x+1\right)\right)$

= $4x^3·\sin \left(-x+1\right)-x^4·\cos \left(-x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{62}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,042}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-8$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-8$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{0,4}x+2+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$