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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + x^{3} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{3} + 9 x^{2} + (15 x^{2} + 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{3} + 24 x^{2} + 6 x)$

= $(15 x^{3} + 24 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 4} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 4} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5} + x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 6) + 3$

= $3 + (- 1,2 x + 2 + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (- 1,2 x + 8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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