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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 2) + e^{x} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 2) + e^{x} \cdot (- 9 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 2) - 9 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 2 - 9 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 9 x^{2} - 2)$

= $(- 3 x^{3} - 9 x^{2} - 2) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 1,1)}^{53} \cdot (- 3 e^{- 1,1 x})$

≈ $468,742 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 4,8) - 9$

= $- 9 + (0,8 x - 1 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (0,8 x + 3,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten