$\text{f(x)}=$ $-5+3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x+4}+x^3·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x+4}+x^3·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $3x^2·e^{-3x+4}-3x^3·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^3-5\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-9x^2+0\right)·e^x+\left(-3x^3-5\right)·e^x$

= $\left(-3x^3-5\right)·e^x-9x^2·e^x$

= $e^x·\left(-3x^3-5-9x^2\right)$

= $e^x·\left(-3x^3-9x^2-5\right)$

= $\left(-3x^3-9x^2-5\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4x}·4$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(-3x\right)+x^3·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $3x^2·\cos \left(-3x\right)+x^3·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $3x^2·\cos \left(-3x\right)+3x^3·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-1$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-1$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,6}\right)-1$

= $-1+\left(\mathrm{0,4}x-1-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-1+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$