$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{3x}·3$

= $\frac{21}{8}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x-1}+x^3·e^{2x-1}·2$

= $3x^2·e^{2x-1}+x^3·2e^{2x-1}$

= $3x^2·e^{2x-1}+2x^3·e^{2x-1}$

= $e^{2x-1}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x^3-2}·6x^2$

= $-12·e^{2x^3-2}{x}^2$

= $-12x^2{e}^{2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{6x}·6$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+7\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+7\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+7\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2-21+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-21\right)$

= $\left(-3x^2+2x-21\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$