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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{49}{64} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 5 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 5 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 5) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{5} - 5 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 25 x^{4} - 5) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{5} - 5 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 25 x^{4} - 5) \cdot e^{3 x} + 3 (- 5 x^{5} - 5 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{5} - 15 x - 25 x^{4} - 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{5} - 25 x^{4} - 15 x - 5)$

= $(- 15 x^{5} - 25 x^{4} - 15 x - 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x - 9) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) + (3 x - 9) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x - 9) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $117,391 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 5$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 5$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 1,5) + 5$

= $5 + (- 1,5 x + 3 - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $5 + (- 1,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten