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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (- x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- x + 1) + e^{2 x} \cdot (- 1 + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- x + 1) + e^{2 x} \cdot (- 1)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- x + 1) - e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 1 - 2 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

= $(- 2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 1,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 0,4)$

= $(- 0,8 x + 0,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten