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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- x - 1} + (- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $(- 10 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- x - 1} + (- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot (- e^{- x - 1})$

= $(- 10 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- x - 1} - (- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (2 x^{5} + x^{2} + (- 10 x^{4} - 2 x))$

= $e^{- x - 1} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{2} - 2 x)$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{2} - 2 x) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- x^{3} - 5} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x + 4)}{x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{3 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 27 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 16,8) - 5$

= $- 5 + (- 2,8 x + 4 - 16,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (- 2,8 x - 12,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten