$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x+4}+x^5·e^{3x+4}·3$

= $5x^4·e^{3x+4}+x^5·3e^{3x+4}$

= $5x^4·e^{3x+4}+3x^5·e^{3x+4}$

= $e^{3x+4}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+2}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+2}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(e^{-x}-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(e^{-x}-5\right)}^3·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $4{\left(e^{-x}-5\right)}^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $-4{\left(e^{-x}-5\right)}^3·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x-\mathrm{14,4}\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{2,4}x+4-\mathrm{14,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$