Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{5}{6} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{5}{6} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 2 x + 5} + (- 3 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $- 3 e^{- 2 x + 5} + (- 3 x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $- 3 e^{- 2 x + 5} - 2 (- 3 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 3 + 6 x - 2)$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (6 x - 5)$

= $(6 x - 5) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x)$

= $12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 2} x$

= $12 x e^{- 3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{3} + 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \frac{x^{2}}{- 2 x^{3} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x - 9) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x - 9) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x - 9) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 20)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 25)$

= $(4 x - 25) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten