$\text{f(x)}=$ $4+\frac{4}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{12}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x-5}+x^3·e^{5x-5}·5$

= $3x^2·e^{5x-5}+x^3·5e^{5x-5}$

= $3x^2·e^{5x-5}+5x^3·e^{5x-5}$

= $e^{5x-5}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x+1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x+1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x+1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-1\right)$

= $\left(-2x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-1}·\left(-10x+0\right)$

= $\frac{1}{-5x^2-1}·\left(-10x\right)$

= $-10\frac{x}{-5x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2-4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2-4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+8+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x+8\right)$

= $\left(-2x^2+2x+8\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$