Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 1} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 15)$

= $(- 9 x - 15) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 5$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 5$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 1) - 5$

= $- 5 + (0,5 x - 5 - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 5 + (0,5 x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten