Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x - 5} + (- 5 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $- 15 x^{2} \cdot e^{2 x - 5} + (- 5 x^{3} + 5) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $- 15 x^{2} \cdot e^{2 x - 5} + 2 (- 5 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 10 x^{3} + 10 - 15 x^{2})$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 10 x^{3} - 15 x^{2} + 10)$

= $(- 10 x^{3} - 15 x^{2} + 10) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(10 x - 4) \cdot e^{- x} + (5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(10 x - 4) \cdot e^{- x} + (5 x^{2} - 4 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(10 x - 4) \cdot e^{- x} - (5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{2} + 4 x + 10 x - 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{2} + 14 x - 4)$

= $(- 5 x^{2} + 14 x - 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (3 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x + 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x + 3)$

= $(- x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten