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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{7}{24} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 3} - \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 3} - \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 3} \cdot 2 - \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

= $4 e^{2 x + 3} - \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 21)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 23)$

= $(6 x + 23) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${1,1}^{57} \cdot 2 e^{1,1 x}$

≈ $457,523 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x + 2) + 2$

= $2 + (- x + 2 + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $2 + (- x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten