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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 1} + x^{4} \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 1} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 1} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} - 2} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (3 x + 2) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $3 \cdot \cos (- 3 x) + (3 x + 2) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $3 \cdot \cos (- 3 x) + 3 (3 x + 2) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,9}^{63} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x - 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 2)$

= $(- x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$