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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{2 x - 5} + (x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(2 x + 5) \cdot e^{2 x - 5} + (x^{2} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(2 x + 5) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{2} + 10 x + 2 x + 5)$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{2} + 12 x + 5)$

= $(2 x^{2} + 12 x + 5) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $8 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $8 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 5 x} \cdot (- 2 x + 5)$

= $\frac{- 2 x + 5}{- x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x - 3) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x - 3) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x - 3) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{31} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 2,4) - 4$

= $- 4 + (- 0,8 x + 2 + 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (- 0,8 x + 4,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten