$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{8}{15}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x+5}+x^3·e^{4x+5}·4$

= $3x^2·e^{4x+5}+x^3·4e^{4x+5}$

= $3x^2·e^{4x+5}+4x^3·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x-5}·1$

= $2e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7x}·7$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x+4\right)}^3}$

= $-2{\left(-2x+4\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $6{\left(-2x+4\right)}^{-4}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{{\left(-2x+4\right)}^4}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{6}{{\left(-2x+4\right)}^4}·\left(-2\right)$

= $-\frac{12}{{\left(-2x+4\right)}^4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+1$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+1$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-4+\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,4}x-4-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$