$\text{f(x)}=$ $-5-e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{8}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{2x-3}·2$

= $\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)-4e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(3x^3-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(3x^3-3\right)+e^{3x}·\left(9x^2+0\right)$

= $3·e^{3x}\left(3x^3-3\right)+e^{3x}·\left(9x^2\right)$

= $3·e^{3x}\left(3x^3-3\right)+9·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(9x^3-9+9x^2\right)$

= $e^{3x}·\left(9x^3+9x^2-9\right)$

= $\left(9x^3+9x^2-9\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3-2x}·\left(15x^2-2\right)$

= $\frac{15x^2-2}{5x^3-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{-x^3+5}$

= $-3{\left(-x^3+5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(-x^3+5\right)}^{-2}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-x^3+5\right)}^2}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(-x^3+5\right)}^2}·\left(-3x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{{\left(-x^3+5\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(3-\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}\right)+5$

= $5+\left(-\mathrm{0,3}x+3-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $5+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,7}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$