$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+2e^{3x-5}·3$

= $-2\cdot \sin \left(x\right)+6e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{7x}·7$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-8\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(2x-8\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2\cdot \cos \left(3x\right)+\left(2x-8\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2\cdot \cos \left(3x\right)-3\left(2x-8\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{2,7}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(3-\mathrm{2,7}x+\mathrm{10,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{13,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{13,8}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$