Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (x) - 4 e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - x} \cdot (9 x^{2} - 1)$

= $\frac{9 x^{2} - 1}{3 x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- x + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- x + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (- x + 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 (- x + 5) \cdot (- 1)$

= $- 2 (- x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $1258,189 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 9$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 9$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 2,8) + 9$

= $9 + (- 1,4 x + 2 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $9 + (- 1,4 x + 4,8) \cdot e^{- 0,7 x}$