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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} + 3 e^{- 3 x - 2} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} + 3 e^{- 3 x - 2} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} + 3 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

= $- 5 x^{4} - 9 e^{- 3 x - 2} + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x - 0,1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 0,9)$

= $(- 0,1 x + 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$