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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} - 1} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 2 x - 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (- 2 x - 3) + x^{3} \cdot (- \sin (- 2 x - 3) \cdot (- 2 + 0))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 2 x - 3) + x^{3} \cdot (- \sin (- 2 x - 3) \cdot (- 2))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 2 x - 3) + x^{3} \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x - 3)$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 2 x - 3) + 2 x^{3} \cdot \sin (- 2 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,9}^{50} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x - 4,4)$

= $(- 2,8 x - 4,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten