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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (- 2 x^{5} - 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (- 2 x^{5} - 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 2 x^{5} - 3 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (- 10 x^{4} - 9 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 2 x^{5} - 3 x^{3}) + e^{3 x} (- 10 x^{4} - 9 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{5} - 9 x^{3} + (- 10 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{5} - 10 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 6 x^{5} - 10 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{5} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 25 x^{4} - 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{5} - 3 x) + e^{2 x} (- 25 x^{4} - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} - 6 x - 25 x^{4} - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 6 x - 3)$

= $(- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 6 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot (- 3 e^{1,05 x})$

≈ $- 110,951 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 1,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 0,8)$

= $(- 0,4 x + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten