$\text{f(x)}=$ $2-3e^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{11}{9}x}·\frac{11}{9}$

= $-\frac{11}{3}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x+3}+2x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x+3}·1+8x^3$

= $-2e^{x+3}+8x^3$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x^2+1}·4x$

= $-8·e^{2x^2+1}x$

= $-8x{e}^{2x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2x}·2$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x+14\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+16\right)$

= $\left(-4x+16\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,088}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}·4e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,031}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{2,7}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(3-\mathrm{2,7}x+\mathrm{13,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{16,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{16,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$