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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 1) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 1) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 0) \cdot e^{x} + (- 5 x^{3} - 1) \cdot e^{x}$

= $(- 5 x^{3} - 1) \cdot e^{x} - 15 x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 1 - 15 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 15 x^{2} - 1)$

= $(- 5 x^{3} - 15 x^{2} - 1) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 9) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 9) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} + 9) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 5,4) + 2$

= $2 + (- 0,9 x + 1 - 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (- 0,9 x - 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$