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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{9}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 4) \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 4) \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{3 x - 2} + (- 2 x + 4) \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $- 2 e^{3 x - 2} + (- 2 x + 4) \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $- 2 e^{3 x - 2} + 3 (- 2 x + 4) \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 2 - 6 x + 12)$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 6 x + 10)$

= $(- 6 x + 10) \cdot e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{5} - 6 x^{2} + (25 x^{4} + 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{5} + 25 x^{4} - 6 x^{2} + 4 x)$

= $(- 15 x^{5} + 25 x^{4} - 6 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 4} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 4} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 1$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 1$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x - 2,5) + 1$

= $1 + (- 0,5 x + 5 - 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $1 + (- 0,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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