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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{9} e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{9} e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{14}{15} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + 2 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + 2 e^{3 x + 1}$

= $- 2 x^{- 3} + 2 e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4} + 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}} + 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $\frac{6}{x^{4}} + 6 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 5 x} \cdot (4 x + 5)$

= $\frac{4 x + 5}{2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 27 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 2$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 2$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 14) - 2$

= $- 2 + (- 2,8 x + 4 - 14) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 2 + (- 2,8 x - 10) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten