$\text{f(x)}=$ $4-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^x$

= $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2+5\right)·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+0\right)·e^{4x+5}+\left(4x^2+5\right)·e^{4x+5}·4$

= $8x·e^{4x+5}+\left(4x^2+5\right)·4e^{4x+5}$

= $8x·e^{4x+5}+4\left(4x^2+5\right)·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(16x^2+20+8x\right)$

= $e^{4x+5}·\left(16x^2+8x+20\right)$

= $\left(16x^2+8x+20\right)·e^{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x^3-2}·\left(-9x^2\right)$

= $9·e^{-3x^3-2}{x}^2$

= $9x^2{e}^{-3x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5x}·5$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(3x-5\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(5-3x+18\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3x+23\right)$

= $\left(-3x+23\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$