$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5+4x^3\right)·e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+12x^2\right)·e^{x+2}+\left(-3x^5+4x^3\right)·e^{x+2}·1$

= $\left(-15x^4+12x^2\right)·e^{x+2}+\left(-3x^5+4x^3\right)·e^{x+2}$

= $e^{x+2}·(-3x^5+4x^3+\left(-15x^4+12x^2\right))$

= $e^{x+2}·\left(-3x^5-15x^4+4x^3+12x^2\right)$

= $\left(-3x^5-15x^4+4x^3+12x^2\right)·e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^2+3}·4x$

= $-12·e^{2x^2+3}x$

= $-12x{e}^{2x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{6x}·6$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-8\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-8\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-8\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-8\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x+24\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x+25\right)$

= $\left(-3x+25\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x+5\right)+6$

= $6+\left(x-2+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $6+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$