$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{3}{5}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{5}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4+3x\right)·e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3+3\right)·e^{3x+4}+\left(3x^4+3x\right)·e^{3x+4}·3$

= $\left(12x^3+3\right)·e^{3x+4}+\left(3x^4+3x\right)·3e^{3x+4}$

= $\left(12x^3+3\right)·e^{3x+4}+3\left(3x^4+3x\right)·e^{3x+4}$

= $e^{3x+4}·\left(9x^4+9x+12x^3+3\right)$

= $e^{3x+4}·\left(9x^4+12x^3+9x+3\right)$

= $\left(9x^4+12x^3+9x+3\right)·e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^4-2x^2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x^3-4x\right)·e^x+\left(-x^4-2x^2\right)·e^x$

= $e^x·(-x^4-2x^2+\left(-4x^3-4x\right))$

= $e^x·\left(-x^4-4x^3-2x^2-4x\right)$

= $\left(-x^4-4x^3-2x^2-4x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{-x+2}$

= ${\left(-x+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(-x+2\right)}^{-2}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-x+2\right)}^2}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(-x+2\right)}^2}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{{\left(-x+2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{0,4}x-1+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-8+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$