$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2+2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x+0\right)·e^{-x}+\left(-2x^2+2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-4x·e^{-x}+\left(-2x^2+2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-4x·e^{-x}-\left(-2x^2+2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(2x^2-2-4x\right)$

= $e^{-x}·\left(2x^2-4x-2\right)$

= $\left(2x^2-4x-2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(3x^4-3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(3x^4-3x^2\right)+e^x·\left(12x^3-6x\right)$

= $e^x·(3x^4-3x^2+\left(12x^3-6x\right))$

= $e^x·\left(3x^4+12x^3-3x^2-6x\right)$

= $\left(3x^4+12x^3-3x^2-6x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-3}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-3}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-3}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-x^3+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-x^3+2\right)}^2·\left(-3x^2+0\right)$

= $3{\left(-x^3+2\right)}^2·\left(-3x^2\right)$

= $-9{\left(-x^3+2\right)}^2{x}^2$

= $-9{\left(\left(-x^3+2\right)x\right)}^2$

= $-9{\left(x\left(-x^3+2\right)\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{8,745}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{36}·5e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{765,759}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,5}x-2\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$