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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (2 x^{2} - 3) + e^{3 x} \cdot (4 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (2 x^{2} - 3) + e^{3 x} \cdot (4 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (2 x^{2} - 3) + 4 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} - 9 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x - 9)$

= $(6 x^{2} + 4 x - 9) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 1} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(e^{2 x} + 1)}^{4} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 15 {(e^{2 x} + 1)}^{4} \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 30 {(e^{2 x} + 1)}^{4} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,9}^{47} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,007 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x - 11)$

= $(x - 11) \cdot e^{- 0,2 x}$