$\text{f(x)}=$ $4+3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^4-x^3\right)·e^{-4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^3-3x^2\right)·e^{-4x-2}+\left(-5x^4-x^3\right)·e^{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $\left(-20x^3-3x^2\right)·e^{-4x-2}+\left(-5x^4-x^3\right)·\left(-4e^{-4x-2}\right)$

= $\left(-20x^3-3x^2\right)·e^{-4x-2}-4\left(-5x^4-x^3\right)·e^{-4x-2}$

= $e^{-4x-2}·(20x^4+4x^3+\left(-20x^3-3x^2\right))$

= $e^{-4x-2}·\left(20x^4-16x^3-3x^2\right)$

= $\left(20x^4-16x^3-3x^2\right)·e^{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x^3-2}·\left(-9x^2\right)$

= $9·e^{-3x^3-2}{x}^2$

= $9x^2{e}^{-3x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{7x}·7$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{2x}-1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(e^{2x}-1\right)}^3·(e^{2x}·2+0)$

= $-4{\left(e^{2x}-1\right)}^3·\left(2e^{2x}\right)$

= $-8{\left(e^{2x}-1\right)}^3·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{5,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$