$\text{f(x)}=$ $-5-2e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $-\frac{5}{4}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{3x^3}+3e^{2x+5}$

= $-\frac{8}{3}{x}^{-3}+3e^{2x+5}$

=> f'(x) = $8x^{-4}+3e^{2x+5}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^4}+3e^{2x+5}·2$

= $\frac{8}{x^4}+6e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^3-3}·3x^2$

= $-3·e^{x^3-3}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3+x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3+x^2}·\left(-6x^2+2x\right)$

= $\frac{-6x^2+2x}{-2x^3+x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(3x-1\right)}{-x·\left(2x-1\right)}$

= $\frac{-2\left(3x-1\right)}{-x·\left(2x-1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(-2x+5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(-2x+5\right)}^4·\left(-2+0\right)$

= $-10{\left(-2x+5\right)}^4·\left(-2\right)$

= $20{\left(-2x+5\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x+\mathrm{10,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{13,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{13,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$