$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $\frac{21}{16}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $6\cdot \sin \left(x\right)-3e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $6\cdot \sin \left(x\right)+6e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3+3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2+0\right)·e^x+\left(4x^3+3\right)·e^x$

= $\left(4x^3+3\right)·e^x+12x^2·e^x$

= $e^x·\left(4x^3+3+12x^2\right)$

= $e^x·\left(4x^3+12x^2+3\right)$

= $\left(4x^3+12x^2+3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{2x}·2$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x+6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x+6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x+6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-12\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-11\right)$

= $\left(-2x-11\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x+\mathrm{22,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x+\mathrm{17,5}\right)$

= $\left(\mathrm{4,5}x+\mathrm{17,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$