$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x-1\right)·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{4x+3}+\left(-4x-1\right)·e^{4x+3}·4$

= $-4e^{4x+3}+\left(-4x-1\right)·4e^{4x+3}$

= $-4e^{4x+3}+4\left(-4x-1\right)·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(-4-16x-4\right)$

= $e^{4x+3}·\left(-16x-8\right)$

= $\left(-16x-8\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^2+3}·\left(-6x\right)$

= $12·e^{-3x^2+3}x$

= $12x{e}^{-3x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x-1}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x-1}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x-4}+x^2·e^{x-4}·1$

= $2x·e^{x-4}+x^2·e^{x-4}$

= $e^{x-4}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x-4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{75}·3e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,064}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{0,6}x-3+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-6+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$