$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{7}{6}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{6}{e}^{2x}·2$

= $\frac{7}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x\left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(4x-3\right)+e^x·\left(4+0\right)$

= $e^x\left(4x-3\right)+e^x·\left(4\right)$

= $e^x\left(4x-3\right)+4e^x$

= $e^x·\left(4x-3+4\right)$

= $e^x·\left(4x+1\right)$

= $\left(4x+1\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·\left(-x^3-2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(-x^3-2x^2\right)+e^{2x}·\left(-3x^2-4x\right)$

= $2·e^{2x}\left(-x^3-2x^2\right)+e^{2x}\left(-3x^2-4x\right)$

= $e^{2x}·(-3x^2-4x+\left(-2x^3-4x^2\right))$

= $e^{2x}·\left(-2x^3-7x^2-4x\right)$

= $\left(-2x^3-7x^2-4x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3-4x}·\left(15x^2-4\right)$

= $\frac{15x^2-4}{5x^3-4x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x+2\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x+2\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x+2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(6x+4+3\right)$

= $e^{2x}·\left(6x+7\right)$

= $\left(6x+7\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+9$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+9$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-2+2\right)+9$

= $9+\left(-x-2+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $9-x·e^{-\mathrm{0,5}x}$