$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{5x-3}+x^5·e^{5x-3}·5$

= $5x^4·e^{5x-3}+x^5·5e^{5x-3}$

= $5x^4·e^{5x-3}+5x^5·e^{5x-3}$

= $e^{5x-3}·\left(5x^4+5x^5\right)$

= $e^{5x-3}·\left(5x^5+5x^4\right)$

= $\left(5x^5+5x^4\right)·e^{5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(5x^4-3x^5\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{3x}·3$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-7\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(3x-7\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $3\cdot \cos \left(-2x\right)+\left(3x-7\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-2x\right)+2\left(3x-7\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+2$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+2$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2x-10+4\right)+2$

= $2+\left(-2x-10+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $2+\left(-2x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$