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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 3) + e^{x} \cdot (- 20 x^{3} + 0)$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 3) + e^{x} \cdot (- 20 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 3) - 20 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 3 - 20 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3)$

= $(- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (x + 2) + e^{- 3 x} \cdot (1 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (x + 2) + e^{- 3 x} \cdot (1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (x + 2) + e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 5)$

= $(- 3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x - 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x - 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x - 3) + \sqrt{x} \cdot \cos (x - 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 6$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 1,5) + 6$

= $6 + (- 1,5 x + 3 - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $6 + (- 1,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$