$\text{f(x)}=$ $3-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5-e^{x+2}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4-e^{x+2}·1+0$

= $-10x^4-e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{6x}·6$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x+4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x+4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x+4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x-12\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x-9\right)$

= $\left(-9x-9\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(4-2x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2x+16\right)$

= $\left(-2x+16\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$