$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x-4}-\frac{1}{2}{x}^5+\frac{2}{3x^2}$

= $2e^{-x-4}-\frac{1}{2}{x}^5+\frac{2}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $2e^{-x-4}·\left(-1\right)-\frac{5}{2}{x}^4-\frac{4}{3}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x-4}·\left(-1\right)-\frac{5}{2}{x}^4-\frac{4}{3x^3}$

= $-2e^{-x-4}-\frac{5}{2}{x}^4-\frac{4}{3x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5-4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4-12x^2\right)·e^{-2x}+\left(-2x^5-4x^3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-10x^4-12x^2\right)·e^{-2x}+\left(-2x^5-4x^3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-10x^4-12x^2\right)·e^{-2x}-2\left(-2x^5-4x^3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(4x^5+8x^3+\left(-10x^4-12x^2\right))$

= $e^{-2x}·\left(4x^5-10x^4+8x^3-12x^2\right)$

= $\left(4x^5-10x^4+8x^3-12x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x}·1$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-3x^2-4}$

= $2{\left(-3x^2-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-3x^2-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-3x^2-4}}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-3x^2-4}}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{\sqrt{-3x^2-4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{45}·\left(-2e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,017}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-9$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-9$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-3+\mathrm{2,4}x-\mathrm{2,4}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{2,4}x-3-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-9+\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$