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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{x}$

= $\frac{6}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2 x^{2}} + 3 e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2 x^{2}} + 3 e^{x + 5}$

= $- 2 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} x^{- 2} + 3 e^{x + 5}$

=> f'(x) = $- 2 \cdot \cos (x) + 3 x^{- 3} + 3 e^{x + 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x^{3}} + 3 e^{x + 5} \cdot 1$

= $- 2 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x^{3}} + 3 e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $- 4 x \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $- 4 x \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (10 x^{2} + 15 - 4 x)$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (10 x^{2} - 4 x + 15)$

= $(10 x^{2} - 4 x + 15) \cdot e^{- 5 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x + 2,4) + 3$

= $3 + (- 0,6 x + 2 + 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (- 0,6 x + 4,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten