$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{15}{28}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-x^3-3e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-3e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $-3x^2+6e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^5+e^{-3x}·5x^4$

= $-3·e^{-3x}{x}^5+5·e^{-3x}{x}^4$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3-2x}·\left(6x^2-2\right)$

= $\frac{6x^2-2}{2x^3-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x+9\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x+9\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x+9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(3+6x+18\right)$

= $e^{2x}·\left(6x+21\right)$

= $\left(6x+21\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^x·\left(x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+5$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+5$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+\mathrm{24,5}\right)+5$

= $5+\left(\mathrm{3,5}x-5+\mathrm{24,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $5+\left(\mathrm{3,5}x+\mathrm{19,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$