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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (x^{3} + 4 x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (3 x^{2} + 8 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (x^{3} + 4 x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (3 x^{2} + 8 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 8 x^{2} + (3 x^{2} + 8 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x)$

= $(- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} + 1} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (3 x - 4)$

$f'(x) =$ $\cos (3 x - 4) \cdot (3 + 0)$

= $\cos (3 x - 4) \cdot (3)$

= $3 \cdot \cos (3 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $27,598 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 10,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 7,5)$

= $(- 2,1 x - 7,5) \cdot e^{- 0,7 x}$