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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $- \frac{12}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + x^{3} \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{x - 2} \cdot 1$

= $- e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${1,1}^{54} \cdot (- 4 e^{1,1 x})$

≈ $- 687,488 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 9$

= $e^{- 0,2 x} + (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 9$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x - 1,4) + 9$

= $9 + (- 0,2 x + 1 - 1,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $9 + (- 0,2 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$