$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{7}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{7}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{8}{7}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+3}+2x^4-\frac{2}{x^2}$

= $-2e^{-x+3}+2x^4-2x^{-2}$

=> f'(x) = $-2e^{-x+3}·\left(-1\right)+8x^3+4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+3}·\left(-1\right)+8x^3+\frac{4}{x^3}$

= $2e^{-x+3}+8x^3+\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{2x}·2$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^2\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^4·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-x}$

f'(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f'''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(3-\mathrm{2,4}x-\mathrm{4,8}\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{2,4}x+3-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$