$\text{f(x)}=$ $-5+2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^x$

= $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+4\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+0\right)·e^{-2x-2}+\left(4x^4+4\right)·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $16x^3·e^{-2x-2}+\left(4x^4+4\right)·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $16x^3·e^{-2x-2}-2\left(4x^4+4\right)·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-8x^4-8+16x^3\right)$

= $e^{-2x-2}·\left(-8x^4+16x^3-8\right)$

= $\left(-8x^4+16x^3-8\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2+4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x+0\right)·e^{-3x}+\left(-2x^2+4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-4x·e^{-3x}+\left(-2x^2+4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-4x·e^{-3x}-3\left(-2x^2+4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(6x^2-12-4x\right)$

= $e^{-3x}·\left(6x^2-4x-12\right)$

= $\left(6x^2-4x-12\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3+2}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^3+2}·\left(-9x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{-3x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x+5}$

= $-{\left(x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x+5}}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{x+5}}·\left(1\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,024}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(2-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,8}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{0,2}x+2-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $6+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$