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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 2} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 2} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 1)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (2 x - 1) \cdot (2 + 0)$

= $2 \cdot \sin (2 x - 1) \cdot (2)$

= $4 \cdot \sin (2 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{58} \cdot 3 e^{- 1,1 x}$

≈ $754,913 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 7$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 7$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x + 1,8) + 7$

= $7 + (- 0,6 x + 1 + 1,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $7 + (- 0,6 x + 2,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten