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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 2 x^{2} - 5 x) + e^{3 x} \cdot (- 4 x - 5)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 2 x^{2} - 5 x) + e^{3 x} \cdot (- 4 x - 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 15 x - 4 x - 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 19 x - 5)$

= $(- 6 x^{2} - 19 x - 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} - 3 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x - 3)$

= $(6 x^{2} + 4 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 7,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x + 2,5)$

= $(1,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten