Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{20} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (3 x) + x^{3} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot \sin (3 x) + x^{3} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (3 x) + 3 x^{3} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,9}^{50} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 11,2) - 5$

= $- 5 + (- 1,6 x + 2 + 11,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 5 + (- 1,6 x + 13,2) \cdot e^{- 0,8 x}$