$\text{f(x)}=$ $2-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x-2}+x^4·e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x-2}+x^4·\left(-3e^{-3x-2}\right)$

= $4x^3·e^{-3x-2}-3x^4·e^{-3x-2}$

= $e^{-3x-2}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-5}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-5}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-2x-5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-2x-5\right)·\left(-2+0\right)$

= $2\left(-2x-5\right)·\left(-2\right)$

= $-4\left(-2x-5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{68}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,031}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-1+\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$