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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 4} + (- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $(- 4 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 4} + (- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $(- 4 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 4} + 4 (- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (- 4 x^{4} + 12 x^{3} + (- 4 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{4 x + 4} \cdot (- 4 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 4 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 27 \cdot e^{- 3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 4} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 4} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x + 5)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 5) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 4 x + 5) \cdot (- 4 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 4 x + 5) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 4 x + 5) \cdot (- 4 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 4 x + 5) \cdot (- 4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 5)}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x - 3)$

= $(- 1,2 x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten