$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4}{x}^2+3e^{x-3}+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3$

= $\frac{5}{4}{x}^2+3e^{x-3}+2x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}x+3e^{x-3}·1+3x^{\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}x+3e^{x-3}·1+3\sqrt{x}$

= $\frac{5}{2}x+3e^{x-3}+3\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^3-3}·6x^2$

= $18·e^{2x^3-3}{x}^2$

= $18x^2{e}^{2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{6x}·6$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^x·\left(x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x+1\right)-4$

= $-4+\left(x-2+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-4+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$