$\text{f(x)}=$ $2-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2-5\right)·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+0\right)·e^{x-5}+\left(4x^2-5\right)·e^{x-5}·1$

= $8x·e^{x-5}+\left(4x^2-5\right)·e^{x-5}$

= $8x·e^{x-5}+\left(4x^2-5\right)·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(4x^2-5+8x\right)$

= $e^{x-5}·\left(4x^2+8x-5\right)$

= $\left(4x^2+8x-5\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^5+2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-25x^4+0\right)·e^x+\left(-5x^5+2\right)·e^x$

= $\left(-5x^5+2\right)·e^x-25x^4·e^x$

= $e^x·\left(-5x^5+2-25x^4\right)$

= $e^x·\left(-5x^5-25x^4+2\right)$

= $\left(-5x^5-25x^4+2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+3}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+3}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-3x^3+5\right)}^2}$

= $2{\left(-3x^3+5\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-4{\left(-3x^3+5\right)}^{-3}·\left(-9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(-3x^3+5\right)}^3}·\left(-9x^2+0\right)$

= $-\frac{4}{{\left(-3x^3+5\right)}^3}·\left(-9x^2\right)$

= $36\frac{x^2}{{\left(-3x^3+5\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{8,745}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{31}·\left(-5e^{\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{380,718}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x-\mathrm{4,8}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{2,4}x-4-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $6+\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$