$\text{f(x)}=$ $-5+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4+5x^3\right)·e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3+15x^2\right)·e^{-x-4}+\left(-3x^4+5x^3\right)·e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $\left(-12x^3+15x^2\right)·e^{-x-4}+\left(-3x^4+5x^3\right)·\left(-e^{-x-4}\right)$

= $\left(-12x^3+15x^2\right)·e^{-x-4}-\left(-3x^4+5x^3\right)·e^{-x-4}$

= $e^{-x-4}·(3x^4-5x^3+\left(-12x^3+15x^2\right))$

= $e^{-x-4}·\left(3x^4-17x^3+15x^2\right)$

= $\left(3x^4-17x^3+15x^2\right)·e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+x\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+1\right)·e^x+\left(3x^2+x\right)·e^x$

= $e^x·\left(3x^2+x+6x+1\right)$

= $e^x·\left(3x^2+7x+1\right)$

= $\left(3x^2+7x+1\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-4{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-4{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,039}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+9$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+9$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)+9$

= $9+\left(\mathrm{0,4}x-2+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $9+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$