Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x - 3} + (- 3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $(- 9 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x - 3} + (- 3 x^{3} - 3 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $(- 9 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 (- 3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (12 x^{3} + 12 x - 9 x^{2} - 3)$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (12 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 3)$

= $(12 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 3) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{2} + (8 x^{3} - 4 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x)$

= $(- 4 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 3} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 3} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 3 x^{2} + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 3 x^{2} + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(- 3 x^{2} + 3)}^{4} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- 10 {(- 3 x^{2} + 3)}^{4} \cdot (- 6 x)$

= $60 {(- 3 x^{2} + 3)}^{4} x$

= $60 x {(- 3 x^{2} + 3)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 10,5) + 8$

= $8 + (- 2,1 x + 3 + 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (- 2,1 x + 13,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten