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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + x^{5} \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (5 x^{4} + 5 x^{5})$

= $e^{5 x - 4} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 3 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 5 x} \cdot (9 x^{2} - 5)$

= $\frac{9 x^{2} - 5}{3 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 x - 3 x^{2} - 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{48} \cdot (- 2 e^{- 0,9 x})$

≈ $- 0,013 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 0,3 + 1)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 1,3)$

= $(- 0,3 x + 1,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten