Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (x) - 6 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 10 x \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{2} + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 10 x \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x - 10 x^{2} + 10)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} - 10 x + 10)$

= $(- 10 x^{2} - 10 x + 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (9 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{9 x^{2} + 8 x}{3 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (9 x + 8)}{x \cdot (3 x + 4)}$

= $\frac{9 x + 8}{x \cdot (3 x + 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\sin (x^{3} + 5) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\sin (x^{3} + 5) \cdot (3 x^{2})$

= $3 \sin (x^{3} + 5) x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x + 3 - 2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x + 1)$

= $(0,6 x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten