Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 4 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 4 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 4) \cdot e^{x} + (x^{5} + 4 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 4 x + 5 x^{4} + 4)$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4} + 4 x + 4)$

= $(x^{5} + 5 x^{4} + 4 x + 4) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 5)$

= $(3 x - 5) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{42} \cdot 4 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,004 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 2,4)$

= $(0,3 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$