$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·\left(3x^4-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(3x^4-5x\right)+e^{2x}·\left(12x^3-5\right)$

= $2·e^{2x}·\left(3x^4-5x\right)+e^{2x}·\left(12x^3-5\right)$

= $e^{2x}·\left(6x^4-10x+12x^3-5\right)$

= $e^{2x}·\left(6x^4+12x^3-10x-5\right)$

= $\left(6x^4+12x^3-10x-5\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-3x}·\left(-2x-3\right)$

= $\frac{-2x-3}{-x^2-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(3x+9\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(3x+9\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(3x+9\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-5$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-5$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x+8\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{1,6}x+4+8\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{1,6}x+12\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$