$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5-2x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4-6x^2\right)·e^{-x}+\left(-2x^5-2x^3\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-10x^4-6x^2\right)·e^{-x}+\left(-2x^5-2x^3\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-10x^4-6x^2\right)·e^{-x}-\left(-2x^5-2x^3\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(2x^5+2x^3+\left(-10x^4-6x^2\right))$

= $e^{-x}·\left(2x^5-10x^4+2x^3-6x^2\right)$

= $\left(2x^5-10x^4+2x^3-6x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(3x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(3x^3+3x\right)+e^{3x}·\left(9x^2+3\right)$

= $3·e^{3x}·\left(3x^3+3x\right)+e^{3x}·\left(9x^2+3\right)$

= $e^{3x}·\left(9x^3+9x+9x^2+3\right)$

= $e^{3x}·\left(9x^3+9x^2+9x+3\right)$

= $\left(9x^3+9x^2+9x+3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{5x}·5$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x^2+4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(x^2+4\right)·\left(2x+0\right)$

= $-6\left(x^2+4\right)·\left(2x\right)$

= $-12\left(x^2+4\right)x$

= $-12x\left(x^2+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{45}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $-\mathrm{72,89}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(1-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,8}\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{0,2}x+1-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $1+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$