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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{4} - 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{4} - 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{3} - 6 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{3} - 6 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{4} - 4 x^{3} + (- 12 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{4} - 16 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} - 16 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 3 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{- 3 x - 5} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 3 x - 5}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 3 x - 5}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{47} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 3,8)$

= $(0,7 x - 3,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten