$\text{f(x)}=$ $4+\frac{5}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{15}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x-2}+\cos \left(x\right)-3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x-2}·3-\sin \left(x\right)-3\cdot \cos \left(x\right)$

= $9e^{3x-2}-\sin \left(x\right)-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{3x}+\sqrt{x}·e^{3x}·3$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3e^{3x}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{60}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,046}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,6}\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{0,4}x+2-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $1+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$