$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $-\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)-2e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)-2e^{x-1}·1$

= $\cos \left(x\right)-2e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5x}·5$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-2x^3+2}$

= $-2{\left(-2x^3+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-2x^3+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-2x^3+2}}·\left(-6x^2+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-2x^3+2}}·\left(-6x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{\sqrt{-2x^3+2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{49}·\left(-e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

= 0

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-5+\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{4,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$