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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{27}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (4 x^{4} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (4 x^{4} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 3 x) + e^{x} \cdot (16 x^{3} + 3)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 3 x + 16 x^{3} + 3)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x + 3)$

= $(4 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x + 3) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 2} + (x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 2} + (x^{2} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 (x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{2} + 3 x + 2 x - 1)$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{2} + 5 x - 1)$

= $(- 3 x^{2} + 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 5 x} \cdot (- 4 x - 5)$

= $\frac{- 4 x - 5}{- 2 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 8)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 7)$

= $(- 2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,3153 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,3153 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,431 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,05}^{63} \cdot (- 2 e^{1,05 x})$

≈ $- 43,247 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 6$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 6$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 6) + 6$

= $6 + (x - 2 + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $6 + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten