$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^3-x\right)·e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-9x^2-1\right)·e^{3x-4}+\left(-3x^3-x\right)·e^{3x-4}·3$

= $\left(-9x^2-1\right)·e^{3x-4}+\left(-3x^3-x\right)·3e^{3x-4}$

= $\left(-9x^2-1\right)·e^{3x-4}+3\left(-3x^3-x\right)·e^{3x-4}$

= $e^{3x-4}·\left(-9x^3-3x-9x^2-1\right)$

= $e^{3x-4}·\left(-9x^3-9x^2-3x-1\right)$

= $\left(-9x^3-9x^2-3x-1\right)·e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-2x}+\left(-x-3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-e^{-2x}+\left(-x-3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-e^{-2x}-2\left(-x-3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-1+2x+6\right)$

= $e^{-2x}·\left(2x+5\right)$

= $\left(2x+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4x}·4$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3x+2}$

= $-2{\left(3x+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(3x+2\right)}^{-2}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3\right)$

= $\frac{6}{{\left(3x+2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,629}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{76}·\left(-2e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,041}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(3-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$