$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{5}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^4-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^3+0\right)·e^{-2x}+\left(-5x^4-1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-20x^3·e^{-2x}+\left(-5x^4-1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-20x^3·e^{-2x}-2\left(-5x^4-1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(10x^4+2-20x^3\right)$

= $e^{-2x}·\left(10x^4-20x^3+2\right)$

= $\left(10x^4-20x^3+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^2+2}·\left(-4x\right)$

= $-8·e^{-2x^2+2}x$

= $-8x{e}^{-2x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{2x}·2$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(-2x-3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(-2x-3\right)}^2·\left(-2+0\right)$

= $6{\left(-2x-3\right)}^2·\left(-2\right)$

= $-12{\left(-2x-3\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{40}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $x·\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,2}x}$