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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 2} + (2 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $(10 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 2} + (2 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $(10 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 2} - (2 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 2 x^{5} - 4 x^{3} + (10 x^{4} + 12 x^{2}))$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(- 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 3} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} + 3} x$

= $- 4 x e^{x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- x^{2} + 4}$

= $- 3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- x^{2} + 4}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- x^{2} + 4}} \cdot (- 2 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 0,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 2,8)$

= $(0,2 x - 2,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten