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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x + 3} + (3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $(12 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x + 3} + (3 x^{4} + 4 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $(12 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x + 3} - 2 (3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 6 x^{4} - 8 x + 12 x^{3} + 4)$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 6 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x + 4)$

= $(- 6 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x + 4) \cdot e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 1)$

= $(- 6 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 10,5) - 9$

= $- 9 + (- 1,5 x + 3 - 10,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (- 1,5 x - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$