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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 5 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 5) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} + 5 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(8 x^{3} + 5) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} + 5 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(8 x^{3} + 5) \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{4} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} + 15 x + 8 x^{3} + 5)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} + 8 x^{3} + 15 x + 5)$

= $(6 x^{4} + 8 x^{3} + 15 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 2) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 2) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 2) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{31} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 76,144 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 7,2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x - 3,2)$

= $(- 3,6 x - 3,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten