$\text{f(x)}=$ $-5-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x+3}-3x^5$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x+3}·1-15x^4$

= $-3e^{x+3}-15x^4$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^2-3}·4x$

= $-12·e^{2x^2-3}x$

= $-12x{e}^{2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{5x}·5$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-8{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-8{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^3·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{133,176}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(3-\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}\right)+2$

= $2+\left(-\mathrm{0,3}x+3-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $2+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$