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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 5 x - 2} + (3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $3 e^{- 5 x - 2} + (3 x - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $3 e^{- 5 x - 2} - 5 (3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (3 - 15 x + 15)$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (- 15 x + 18)$

= $(- 15 x + 18) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 3 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 3)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 1,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x + 0,5)$

= $(0,5 x + 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten