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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x - 3} + (- 3 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} + (- 3 x^{4} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 (- 3 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (9 x^{4} - 3 - 12 x^{3})$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (9 x^{4} - 12 x^{3} - 3)$

= $(9 x^{4} - 12 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 5} \cdot 1$

= $3 e^{x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 2} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 2} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 16)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 13)$

= $(6 x - 13) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 6,3)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 5,3)$

= $(0,9 x + 5,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten