$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^3-5\right)·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(9x^2+0\right)·e^{-x+4}+\left(3x^3-5\right)·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $9x^2·e^{-x+4}+\left(3x^3-5\right)·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $9x^2·e^{-x+4}-\left(3x^3-5\right)·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·\left(-3x^3+5+9x^2\right)$

= $e^{-x+4}·\left(-3x^3+9x^2+5\right)$

= $\left(-3x^3+9x^2+5\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x-5}·3$

= $6e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-4x^2}·\left(-3x^2-8x\right)$

= $\frac{-3x^2-8x}{-x^3-4x^2}$

= $\frac{-1·\left(3x+8\right)}{-x·\left(x+4\right)}$

= $\frac{-\left(3x+8\right)}{-x·\left(x+4\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x+4\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\sin \left(x^2\right)+\left(x+4\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\sin \left(x^2\right)+2\left(x+4\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{36}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{153,152}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,2}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{0,8}x-4-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-5+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$