$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{5}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{5}{3}x}·\frac{5}{3}$

= $-\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^5+3e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $20x^4+3e^{x-2}·1$

= $20x^4+3e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x+5}·3$

= $6e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{2x}·2$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x+5}$

= $-3{\left(x+5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(x+5\right)}^{-2}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(x+5\right)}^2}·\left(1+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(x+5\right)}^2}·\left(1\right)$

= $\frac{3}{{\left(x+5\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{5,8564}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{61}·\left(-4e^{-\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $\mathrm{1339,719}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(5-3x+15\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3x+20\right)$

= $\left(-3x+20\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$