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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{4} - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{4} - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{4} - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 9 - 12 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 12 x^{3} - 9)$

= $(- 9 x^{4} - 12 x^{3} - 9) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x + 1) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x + 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x + 1) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x + 31,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x + 36,5)$

= $(- 4,5 x + 36,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten