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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 5} + 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 5} + 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 5} \cdot (- 1) + 9 x^{2}$

= $e^{- x + 5} + 9 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 3) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 3) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 3) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,15}^{47} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $712,522 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 3) + 4$

= $4 + (0,5 x - 1 + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$