$\text{f(x)}=$ $-5+2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x+5\right)·e^{-3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{-3x+1}+\left(4x+5\right)·e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

= $4e^{-3x+1}+\left(4x+5\right)·\left(-3e^{-3x+1}\right)$

= $4e^{-3x+1}-3\left(4x+5\right)·e^{-3x+1}$

= $e^{-3x+1}·\left(4-12x-15\right)$

= $e^{-3x+1}·\left(-12x-11\right)$

= $\left(-12x-11\right)·e^{-3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(-x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(-x^2+5\right)+e^x·\left(-2x+0\right)$

= $e^x·\left(-x^2+5\right)+e^x·\left(-2x\right)$

= $e^x·\left(-x^2+5\right)-2·e^{x}x$

= $e^x·\left(-x^2+5-2x\right)$

= $e^x·\left(-x^2-2x+5\right)$

= $\left(-x^2-2x+5\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(5-x+7\right)-5$

= $-5+\left(-x+5+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-5+\left(-x+12\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$