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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x + 2} + x^{2} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x + 2} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 3 x^{2} - 4 x) + e^{- x} \cdot (- 6 x - 4)$

= $- e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} - 4 x) + e^{- x} \cdot (- 6 x - 4)$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 4)$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 2 x - 4)$

= $(3 x^{2} - 2 x - 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 5 x} \cdot (4 x + 5)$

= $\frac{4 x + 5}{2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x - 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${0,85}^{49} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x - 18,9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x - 15,9)$

= $(- 2,7 x - 15,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten