$\text{f(x)}=$ $2-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x-4}+x^2·e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x-4}+x^2·\left(-3e^{-3x-4}\right)$

= $2x·e^{-3x-4}-3x^2·e^{-3x-4}$

= $e^{-3x-4}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{2x}·2$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x+9\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $\cos \left(x^3\right)+\left(x+9\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $\cos \left(x^3\right)-3\left(x+9\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{46}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{619,585}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,8}\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{0,4}x-2-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-7+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$