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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (5 x^{4} - 3 x^{5})$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 4 x} \cdot (15 x^{2} + 4)$

= $\frac{15 x^{2} + 4}{5 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(2 x - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(2 x - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(2 x - 1)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $4 {(2 x - 1)}^{3} \cdot (2)$

= $8 {(2 x - 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $490,371 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x - 4,8 + 2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x - 2,8)$

= $(- 1,6 x - 2,8) \cdot e^{- 0,8 x}$