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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + x^{4} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 2} + x^{3} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 2} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $4,6 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,29 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 5,29 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,0835 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,996 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{43} \cdot (- 4 e^{- 1,15 x})$

≈ $1629,548 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 1,5)$

= $(- 0,3 x + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten