$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{3x}·3$

= $\frac{8}{3}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^4+e^{-3x}·4x^3$

= $-3·e^{-3x}{x}^4+4·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(2x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(2x+3\right)+e^{-2x}·\left(2+0\right)$

= $-2·e^{-2x}·\left(2x+3\right)+e^{-2x}·\left(2\right)$

= $-2·e^{-2x}·\left(2x+3\right)+2e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x-6\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x-4\right)$

= $\left(-4x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3-x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3-x^2}·\left(-12x^2-2x\right)$

= $\frac{-12x^2-2x}{-4x^3-x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(6x+1\right)}{-x·\left(4x+1\right)}$

= $\frac{-2\left(6x+1\right)}{-x·\left(4x+1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(2x+4\right)}^2}$

= $2{\left(2x+4\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-4{\left(2x+4\right)}^{-3}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^3}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^3}·\left(2\right)$

= $-\frac{8}{{\left(2x+4\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(3-\mathrm{2,4}x-\mathrm{16,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{13,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{13,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$