$\text{f(x)}=$ $-1-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x-5}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$

= $e^{x-5}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $e^{x-5}·1+\frac{1}{6}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-5}·1+\frac{1}{6{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

= $e^{x-5}+\frac{1}{6{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x+3}·3$

= $9e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{5x}·5$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x-3\right)+8$

= $8+\left(-\mathrm{0,6}x+3-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $8-\mathrm{0,6}x·e^{-\mathrm{0,2}x}$