$\text{f(x)}=$ $3+\frac{5}{7}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{7}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x+2}+4x^3-2\sqrt{x}$

= $-e^{-2x+2}+4x^3-2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-e^{-2x+2}·\left(-2\right)+12x^2-x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x+2}·\left(-2\right)+12x^2-\frac{1}{\sqrt{x}}$

= $2e^{-2x+2}+12x^2-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^5+e^{3x}·5x^4$

= $3·e^{3x}{x}^5+5·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{6x}·6$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-6\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x^2-6\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $4x·\sin \left(x^3\right)+\left(2x^2-6\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $4x·\sin \left(x^3\right)+3\left(2x^2-6\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{3,4}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,4}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,89}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,89}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,4565}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,4565}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,088}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{48}·\left(-4e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x-\mathrm{14,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{10,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$