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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x + 2} + x^{2} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x + 2} + x^{2} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + x^{4} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (3 x - 4) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + (3 x - 4) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (3 x - 4) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $38,833 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 5$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 5$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 0,2) + 5$

= $5 + (0,2 x - 2 - 0,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $5 + (0,2 x - 2,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten