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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{32} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 1) \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + 1) \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x - 1} + (3 x^{3} + 1) \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $9 x^{2} \cdot e^{3 x - 1} + (3 x^{3} + 1) \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $9 x^{2} \cdot e^{3 x - 1} + 3 (3 x^{3} + 1) \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (9 x^{3} + 3 + 9 x^{2})$

= $e^{3 x - 1} \cdot (9 x^{3} + 9 x^{2} + 3)$

= $(9 x^{3} + 9 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 5} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 2 x} \cdot (- 2 x + 2)$

= $\frac{- 2 x + 2}{- x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 3 x)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- 3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- 3 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- 3 x) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 3 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 3 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 4,2) - 9$

= $- 9 + (- 2,1 x + 3 - 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 2,1 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten