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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{6}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{6}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x - 1)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x - 1) + e^{3 x} \cdot (3 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (3 x - 1) + e^{3 x} \cdot (3)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (3 x - 1) + 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 0)$

= $e^{3 x} \cdot 9 x$

= $x \cdot 9 e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 2} \cdot 4 x$

= $8 \cdot e^{2 x^{2} + 2} x$

= $8 x e^{2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x + 4) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x + 4) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x + 4) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $44,954 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 1,8) - 9$

= $- 9 + (0,9 x - 1 + 1,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (0,9 x + 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten