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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x - 4} + (x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x - 4} + (x^{3} + 3 x) \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x - 4} + 3 (x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{3} + 9 x + 3 x^{2} + 3)$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 3)$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 3) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 0) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{5} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 3 - 20 x^{4})$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 20 x^{4} - 3)$

= $(- 12 x^{5} - 20 x^{4} - 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 3 x - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 3 x - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(- 3 x - 2)}^{4} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 10 {(- 3 x - 2)}^{4} \cdot (- 3)$

= $30 {(- 3 x - 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{46} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 3$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 3$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 3,6) - 3$

= $- 3 + (- 3,6 x + 4 + 3,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 3 + (- 3,6 x + 7,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten