$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x-2\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-2x-2}+\left(-3x-2\right)·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $-3e^{-2x-2}+\left(-3x-2\right)·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $-3e^{-2x-2}-2\left(-3x-2\right)·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-3+6x+4\right)$

= $e^{-2x-2}·\left(6x+1\right)$

= $\left(6x+1\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^2+5}·\left(-4x\right)$

= $8·e^{-2x^2+5}x$

= $8x{e}^{-2x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{3x}·3$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(x^2\right)+x^4·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $4x^3·\sin \left(x^2\right)+x^4·2\cos \left(x^2\right)x$

= $4x^3·\sin \left(x^2\right)+2x^4\cos \left(x^2\right)x$

= $4x^3·\sin \left(x^2\right)+2x^5·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-3e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{2,4435}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{70}·\left(-3e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,083}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{4,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,9}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,9}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$