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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 1} + x^{4} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 1} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 1} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} + 4} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} + 4} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x^{3} + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(2 x^{3} + 2)}^{2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $9 {(2 x^{3} + 2)}^{2} \cdot (6 x^{2})$

= $54 {(2 x^{3} + 2)}^{2} x^{2}$

= $54 {((2 x^{3} + 2) x)}^{2}$

= $54 {(x (2 x^{3} + 2))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{48} \cdot 2 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,013 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 6$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 2,4) - 6$

= $- 6 + (1,2 x - 3 - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 6 + (1,2 x - 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$