$\text{f(x)}=$ $1-e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{8}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+3e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+3e^{x-5}·1$

= $-3\cdot \sin \left(x\right)+3e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x^3+2}·9x^2$

= $27·e^{3x^3+2}{x}^2$

= $27x^2{e}^{3x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+8\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+8\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+8\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-x}$

f'(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f'''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x-\mathrm{7,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{12,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{12,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$