$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{1}{4}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{4}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-6x^5+e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-30x^4+e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $-30x^4-2e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{5x}·5$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(x+1\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $\sin \left(3x\right)+\left(x+1\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $\sin \left(3x\right)+3\left(x+1\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{47}·e^{\mathrm{0,85}x}$

= 0

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x+\mathrm{16,8}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{2,4}x+4+\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{20,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$