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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{x - 2} + (- 4 x - 2) \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $- 4 e^{x - 2} + (- 4 x - 2) \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (- 4 - 4 x - 2)$

= $e^{x - 2} \cdot (- 4 x - 6)$

= $(- 4 x - 6) \cdot e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 5 e^{2 x} + (- 5 x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 5 e^{2 x} + 2 (- 5 x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 5 - 10 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x - 3)$

= $(- 10 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 3)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 3}{- 5 x^{3} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(x + 4)}^{4} \cdot (1 + 0)$

= $5 {(x + 4)}^{4} \cdot (1)$

= $5 {(x + 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${0,9}^{52} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,017 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 3)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x - 1)$

= $(- x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten