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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{3}{2} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{3}{2} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{2} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{2} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 0) \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 5 x^{5} - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 (- 5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (25 x^{5} + 15 - 25 x^{4})$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (25 x^{5} - 25 x^{4} + 15)$

= $(25 x^{5} - 25 x^{4} + 15) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{3} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 4 - 12 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 4)$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 8) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 8) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x + 8) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x + 8) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x + 8) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 4,2) + 5$

= $5 + (- 1,4 x + 2 + 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $5 + (- 1,4 x + 6,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten