$\text{f(x)}=$ $-1-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-2x\right)·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-2\right)·e^{4x-5}+\left(2x^4-2x\right)·e^{4x-5}·4$

= $\left(8x^3-2\right)·e^{4x-5}+\left(2x^4-2x\right)·4e^{4x-5}$

= $\left(8x^3-2\right)·e^{4x-5}+4\left(2x^4-2x\right)·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(8x^4-8x+8x^3-2\right)$

= $e^{4x-5}·\left(8x^4+8x^3-8x-2\right)$

= $\left(8x^4+8x^3-8x-2\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2+0\right)·e^{-2x}+\left(4x^3+4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $12x^2·e^{-2x}+\left(4x^3+4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $12x^2·e^{-2x}-2\left(4x^3+4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-8x^3-8+12x^2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-8x^3+12x^2-8\right)$

= $\left(-8x^3+12x^2-8\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x+1}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x^3+2\right)·\left(3x^2+0\right)$

= $-\sin \left(x^3+2\right)·\left(3x^2\right)$

= $-3\sin \left(x^3+2\right)x^2$

= $-3x^2·\sin \left(x^3+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(5-\mathrm{2,5}x+10\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{2,5}x+15\right)$

= $\left(-\mathrm{2,5}x+15\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$