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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + x^{4} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(2 x + 4) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(2 x + 4) \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 8 x + 2 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 10 x + 4)$

= $(2 x^{2} + 10 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(2 x^{2} + 2)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(2 x^{2} + 2)}^{2}}$

= $3 {(2 x^{2} + 2)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 {(2 x^{2} + 2)}^{- 3} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(2 x^{2} + 2)}^{3}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{6}{{(2 x^{2} + 2)}^{3}} \cdot (4 x)$

= $- 24 \frac{x}{{(2 x^{2} + 2)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{65} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 23,84 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 4$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 4$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 5,4) - 4$

= $- 4 + (- 0,9 x + 1 - 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 4 + (- 0,9 x - 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten