$\text{f(x)}=$ $3+e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(x^5+x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(x^5+x^2\right)+e^x·\left(5x^4+2x\right)$

= $e^x·(x^5+x^2+\left(5x^4+2x\right))$

= $e^x·\left(x^5+5x^4+x^2+2x\right)$

= $\left(x^5+5x^4+x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{6x}·6$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(\sin \left(x\right)+4\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-2\left(\sin \left(x\right)+4\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-2\left(\sin \left(x\right)+4\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{75}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,021}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(4-\mathrm{3,6}x+\mathrm{14,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{18,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{18,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$