Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{2}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{2}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 10 x) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 8 x^{3} - 10 x) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 8 x^{3} - 10 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 15 x^{2} + (- 8 x^{3} - 10 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} - 10 x)$

= $(- 6 x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (- x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (- x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- x^{2} + 2) \cdot (- 2 x + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (- x^{2} + 2) \cdot (- 2 x)$

= $4 \sin (- x^{2} + 2) x$

= $4 x \cdot \sin (- x^{2} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $171,872 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 4$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 4$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x - 2) + 4$

= $4 + (- 0,5 x + 5 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $4 + (- 0,5 x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten