$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{4x-1}+x^2·e^{4x-1}·4$

= $2x·e^{4x-1}+x^2·4e^{4x-1}$

= $2x·e^{4x-1}+4x^2·e^{4x-1}$

= $e^{4x-1}·\left(4x^2+2x\right)$

= $\left(4x^2+2x\right)·e^{4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(2x+1\right)+e^{-3x}·\left(2+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(2x+1\right)+e^{-3x}·\left(2\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(2x+1\right)+2e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x-1\right)$

= $\left(-6x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{6x}·6$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x^2+9\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $2x·\cos \left(-3x\right)+\left(x^2+9\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $2x·\cos \left(-3x\right)+3\left(x^2+9\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}·\left(-4e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,184}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x-10\right)+7$

= $7+\left(2x-4-10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $7+\left(2x-14\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$