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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{18}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} + 3 e^{3 x + 4} + \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} + 3 e^{3 x + 4} + \sin (x)$

= $3 x^{- 2} + 3 e^{3 x + 4} + \sin (x)$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 3} + 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 + \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}} + 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 + \cos (x)$

= $- \frac{6}{x^{3}} + 9 e^{3 x + 4} + \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 4 x^{3} - 3 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 4 x^{3} - 3 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 9 x^{2} + (- 12 x^{2} - 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 21 x^{2} - 6 x)$

= $(- 12 x^{3} - 21 x^{2} - 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x - 8) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x - 8) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x - 8) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 9)$

= $(- 1,2 x + 9) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten