$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x+4}-\frac{5}{4}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x+4}·\left(-2\right)-\frac{15}{4}{x}^2$

= $-6e^{-2x+4}-\frac{15}{4}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(4x^3-3x^4\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+2x}·\left(-3x^2+2\right)$

= $\frac{-3x^2+2}{-x^3+2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3-1}$

= $-2{\left(x^3-1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(x^3-1\right)}^{-2}·\left(3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(x^3-1\right)}^2}·\left(3x^2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(x^3-1\right)}^2}·\left(3x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{{\left(x^3-1\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x+9-2\right)+8$

= $8+\left(\mathrm{1,8}x+9-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $8+\left(\mathrm{1,8}x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$