$\text{f(x)}=$ $3+\frac{1}{2}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{2}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{4}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x-5}+x^2·e^{2x-5}·2$

= $2x·e^{2x-5}+x^2·2e^{2x-5}$

= $2x·e^{2x-5}+2x^2·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3+4\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2+0\right)·e^{3x}+\left(5x^3+4\right)·e^{3x}·3$

= $15x^2·e^{3x}+\left(5x^3+4\right)·3e^{3x}$

= $15x^2·e^{3x}+3\left(5x^3+4\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(15x^3+12+15x^2\right)$

= $e^{3x}·\left(15x^3+15x^2+12\right)$

= $\left(15x^3+15x^2+12\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-3}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-3}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-x+4}$

= $-3{\left(-x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-x+4}}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-x+4}}·\left(-1\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-x+4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $2e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,1}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,1}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,205}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,205}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,3153}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,3153}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,431}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{71}·2e^{\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{63,895}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+3$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+3$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3-\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,4}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{1,8}x+3-\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $3+\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$