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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 2 x) \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 2 x) \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{x + 1} + (- x^{4} - 2 x) \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{x + 1} + (- x^{4} - 2 x) \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (- x^{4} - 2 x - 4 x^{3} - 2)$

= $e^{x + 1} \cdot (- x^{4} - 4 x^{3} - 2 x - 2)$

= $(- x^{4} - 4 x^{3} - 2 x - 2) \cdot e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 6 x^{2} + (- 12 x^{2} + 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x)$

= $(- 8 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 5} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 5} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x - 5} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 5}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x + 4) - 9$

= $- 9 + (- 4 x + 5 + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (- 4 x + 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten