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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{- x - 5} + (- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- 10 x \cdot e^{- x - 5} + (- 5 x^{2} - 3) \cdot (- e^{- x - 5})$

= $- 10 x \cdot e^{- x - 5} - (- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (5 x^{2} + 3 - 10 x)$

= $e^{- x - 5} \cdot (5 x^{2} - 10 x + 3)$

= $(5 x^{2} - 10 x + 3) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $- 4 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- x + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- x + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(- x + 2)}^{2} \cdot (- 1 + 0)$

= $6 {(- x + 2)}^{2} \cdot (- 1)$

= $- 6 {(- x + 2)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{60} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $304,482 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 1$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 1$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 14,7) + 1$

= $1 + (2,1 x - 3 + 14,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $1 + (2,1 x + 11,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten