$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $\frac{5}{4}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^4+e^x·4x^3$

= $e^x{x}^4+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^5+e^{2x}·5x^4$

= $2·e^{2x}{x}^5+5·e^{2x}{x}^4$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+5x^2}·\left(6x^2+10x\right)$

= $\frac{6x^2+10x}{2x^3+5x^2}$

= $\frac{2·1·\left(3x+5\right)}{x·\left(2x+5\right)}$

= $\frac{2\left(3x+5\right)}{x·\left(2x+5\right)}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x}$

= $x^{\frac{3}{2}}·e^{2x}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·e^{2x}+x^{\frac{3}{2}}·e^{2x}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x}·2$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·2e^{2x}$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x}+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)$

= $\left(2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,996}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{31}·\left(-4e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $\mathrm{304,574}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x+\mathrm{9,6}\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{2,4}x+4+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$