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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{3}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + x^{3} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 3 x^{3} + x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (- 9 x^{2} + 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{3} + x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (- 9 x^{2} + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{3} - 2 x^{2} + (- 9 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{3} - 11 x^{2} + 2 x)$

= $(6 x^{3} - 11 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 2)$

= $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x - 1,2) - 3$

= $- 3 + (0,6 x - 3 - 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 3 + (0,6 x - 4,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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