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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x + 5} + (- 4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $(- 12 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x + 5} + (- 4 x^{3} + 5 x) \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $(- 12 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x + 5} + 3 (- 4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (- 12 x^{3} + 15 x - 12 x^{2} + 5)$

= $e^{3 x + 5} \cdot (- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x + 5)$

= $(- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x + 5) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 7) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 7) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x + 7) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 0,95)}^{62} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,042 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x + 27) + 2$

= $2 + (- 4,5 x + 5 + 27) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (- 4,5 x + 32) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten