$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{21}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+2e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+2e^{x-4}·1$

= $4\cdot \cos \left(x\right)+2e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x^3-4}·3x^2$

= $-9·e^{x^3-4}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(2x-2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(2x-2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(2x-2\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(2x-2\right)+\sqrt{x}·\cos \left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x-2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos \left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x-2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2\cdot \cos \left(2x-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x-2\right)}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·\cos \left(2x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{37}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(2-\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$