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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{5 x - 2} + (- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $- 4 x \cdot e^{5 x - 2} + (- 2 x^{2} + 4) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $- 4 x \cdot e^{5 x - 2} + 5 (- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 10 x^{2} + 20 - 4 x)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 10 x^{2} - 4 x + 20)$

= $(- 10 x^{2} - 4 x + 20) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} + 3} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot (- 4 e^{1,05 x})$

≈ $- 188,805 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 7$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 1,6) - 7$

= $- 7 + (0,4 x - 4 + 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 7 + (0,4 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten