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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1} + (- x^{4} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (- x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (3 x^{4} + 15 - 4 x^{3})$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{3} + 15)$

= $(3 x^{4} - 4 x^{3} + 15) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 2 x} \cdot (6 x + 2)$

= $\frac{6 x + 2}{3 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 28)$

= $(3 x + 28) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x + 7)$

= $(1,8 x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten