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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{8}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(6 x - 5) \cdot e^{5 x - 2} + (3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $(6 x - 5) \cdot e^{5 x - 2} + (3 x^{2} - 5 x) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $(6 x - 5) \cdot e^{5 x - 2} + 5 (3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (15 x^{2} - 25 x + 6 x - 5)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (15 x^{2} - 19 x - 5)$

= $(15 x^{2} - 19 x - 5) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 4 x} \cdot (8 x - 4)$

= $\frac{8 x - 4}{4 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 27) - 5$

= $- 5 + (4,5 x - 5 + 27) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (4,5 x + 22) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten