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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{18}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x + 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x + 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- x + 3) \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $- e^{- 5 x - 2} + (- x + 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $- e^{- 5 x - 2} - 5 (- x + 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (- 1 + 5 x - 15)$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (5 x - 16)$

= $(5 x - 16) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 3 x - 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{- 3 x - 3} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 3 x - 3}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 3 x - 3}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 3 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 1,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x - 3,5)$

= $(1,5 x - 3,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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