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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 5) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{4} + 5) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} + 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(15 x^{4} + 5) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 10 x + 15 x^{4} + 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} + 15 x^{4} - 10 x + 5)$

= $(- 6 x^{5} + 15 x^{4} - 10 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 5 x} \cdot (12 x^{2} - 5)$

= $\frac{12 x^{2} - 5}{4 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 1}$

= ${(- 2 x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(- 2 x - 1)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- 2 x - 1)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{{(- 2 x - 1)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{{(- 2 x - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${1,15}^{44} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $468,495 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x + 18,9) - 7$

= $- 7 + (2,7 x - 3 + 18,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (2,7 x + 15,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten