$\text{f(x)}=$ $-2+e^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{7}{6}x}·\frac{7}{6}$

= $\frac{7}{6}{e}^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^3+1}·9x^2$

= $-9·e^{3x^3+1}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{5x}·5$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+7\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+7\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+7\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,629}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}·2e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,055}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x+\mathrm{7,2}\right)+8$

= $8+\left(\mathrm{1,8}x-3+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $8+\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$