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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{x}$

= $(x^{2} + 1) \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 1 + 2 x)$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

= $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 3}$

= ${(- x^{3} + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(- x^{3} + 3)}^{- 2} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- x^{3} + 3)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{{(- x^{3} + 3)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $171,872 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 8$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 4) - 8$

= $- 8 + (x - 2 - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 8 + (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten