$\text{f(x)}=$ $2-e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $-\frac{7}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\cdot \sin \left(x\right)-e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-8\cdot \cos \left(x\right)-e^{x-1}·1$

= $-8\cdot \cos \left(x\right)-e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3+2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2+0\right)·e^{-3x}+\left(5x^3+2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $15x^2·e^{-3x}+\left(5x^3+2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $15x^2·e^{-3x}-3\left(5x^3+2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-15x^3-6+15x^2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-15x^3+15x^2-6\right)$

= $\left(-15x^3+15x^2-6\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{x}·1$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{3x-4}$

= $2{\left(3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(3x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{3x-4}}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{3x-4}}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{\sqrt{3x-4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{31}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-4$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-4$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+\mathrm{10,5}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{3,5}x-5+\mathrm{10,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-4+\left(\mathrm{3,5}x+\mathrm{5,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$