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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{49}{54} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x - 4} + \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x - 4} + \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x - 4} \cdot 2 + x^{2}$

= $2 e^{2 x - 4} + x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + x^{5} \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 10 x}{- x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x + 10)}{- x \cdot (x + 5)}$

= $\frac{- (3 x + 10)}{- x \cdot (x + 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 3 x^{3} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 3 x^{3} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- 3 x^{3} - 1)}^{3} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $4 {(- 3 x^{3} - 1)}^{3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 36 {(- 3 x^{3} - 1)}^{3} x^{2}$

= $- 36 x^{2} {(- 3 x^{3} - 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,85}^{48} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 1,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x + 2,6)$

= $(- 0,8 x + 2,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten