$\text{f(x)}=$ $1+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x+2}+x^4·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x+2}+x^4·\left(-2e^{-2x+2}\right)$

= $4x^3·e^{-2x+2}-2x^4·e^{-2x+2}$

= $e^{-2x+2}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^2+3}·\left(-6x\right)$

= $12·e^{-3x^2+3}x$

= $12x{e}^{-3x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{2x}·2$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2-2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2-2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2-2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+4+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x+4\right)$

= $\left(-2x^2+2x+4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{52}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{142,043}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,4}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{0,4}x-2+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-9+\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$