$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{8}{9}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{8}{9}{e}^{2x}·2$

= $\frac{16}{9}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x^4-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $12x^3·e^{-3x}+\left(3x^4-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $12x^3·e^{-3x}-3\left(3x^4-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x^4+12+12x^3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x^4+12x^3+12\right)$

= $\left(-9x^4+12x^3+12\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{7x}·7$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\sin \left(x\right)-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(\sin \left(x\right)-2\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-6{\left(\sin \left(x\right)-2\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-6{\left(\sin \left(x\right)-2\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(4-\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$