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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 5) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 5) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{4 x - 4} + (5 x^{4} + 5) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $20 x^{3} \cdot e^{4 x - 4} + (5 x^{4} + 5) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $20 x^{3} \cdot e^{4 x - 4} + 4 (5 x^{4} + 5) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (20 x^{4} + 20 + 20 x^{3})$

= $e^{4 x - 4} \cdot (20 x^{4} + 20 x^{3} + 20)$

= $(20 x^{4} + 20 x^{3} + 20) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 18)$

= $(- 9 x + 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 1$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 1$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 12,6) + 1$

= $1 + (1,8 x - 2 + 12,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $1 + (1,8 x + 10,6) \cdot e^{- 0,9 x}$