$\text{f(x)}=$ $2-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^4+e^x·4x^3$

= $e^x{x}^4+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x-1}+x^5·e^{4x-1}·4$

= $5x^4·e^{4x-1}+x^5·4e^{4x-1}$

= $5x^4·e^{4x-1}+4x^5·e^{4x-1}$

= $e^{4x-1}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x}·1$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x}+\left(3x+5\right)·e^{3x}·3$

= $3e^{3x}+\left(3x+5\right)·3e^{3x}$

= $3e^{3x}+3\left(3x+5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3+9x+15\right)$

= $e^{3x}·\left(9x+18\right)$

= $\left(9x+18\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-4$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-4$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x+6\right)-4$

= $-4+\left(-2x+5+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-4+\left(-2x+11\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$