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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{4}{5} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{4}{5} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x - 3} + (- 3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} + (- 3 x^{3} + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} - 2 (- 3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (6 x^{3} - 2 - 9 x^{2})$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (6 x^{3} - 9 x^{2} - 2)$

= $(6 x^{3} - 9 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{73} \cdot 5 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 176,112 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 8$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 8$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 4,8) + 8$

= $8 + (- 2,4 x + 4 - 4,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $8 + (- 2,4 x - 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten