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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{9}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{9}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{9}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 3} + \frac{3}{2 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 3} + \frac{3}{2 x^{4}}$

= $3 e^{- x + 3} + \frac{3}{2} x^{- 4}$

=> f'(x) = $3 e^{- x + 3} \cdot (- 1) - 6 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 3} \cdot (- 1) - \frac{6}{x^{5}}$

= $- 3 e^{- x + 3} - \frac{6}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $27 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 2 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 2 x}{- 2 x^{3} + x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x - 1)}{- x \cdot (2 x - 1)}$

= $\frac{- 2 (3 x - 1)}{- x \cdot (2 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 5)$

= $(- 2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 7,2) + 2$

= $2 + (1,8 x - 2 + 7,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (1,8 x + 5,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten