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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 4} + \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 4} + \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3) - \sin (x)$

= $- 3 e^{- 3 x + 4} - \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 8 x \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 8 x \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} - 4 - 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} - 8 x - 4)$

= $(- 8 x^{2} - 8 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - x} \cdot (2 x - 1)$

= $\frac{2 x - 1}{x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x + 1) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x + 1) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x + 1) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 14,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 11,4)$

= $(- 2,4 x - 11,4) \cdot e^{- 0,8 x}$