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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 4 x^{3} - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 (- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (12 x^{3} + 3 - 12 x^{2})$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (12 x^{3} - 12 x^{2} + 3)$

= $(12 x^{3} - 12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2} + (4 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $(20 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2} + (4 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $(20 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2} + 4 (4 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (16 x^{5} + 20 x^{3} + (20 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{4 x + 2} \cdot (16 x^{5} + 20 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(16 x^{5} + 20 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 3 x} \cdot (- 4 x - 3)$

= $\frac{- 4 x - 3}{- 2 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x^{2} - 3) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $4 x \cdot \sin (2 x) + (2 x^{2} - 3) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $4 x \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x^{2} - 3) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,9}^{62} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,006 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x + 1,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 5,6)$

= $(- 0,8 x + 5,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten