Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + x^{4} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (4 x - 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (4 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 6 x + 4 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 2 x - 3)$

= $(4 x^{2} - 2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 3 x + 5)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- 3 x + 5) + x^{3} \cdot \cos (- 3 x + 5) \cdot (- 3 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 3 x + 5) + x^{3} \cdot \cos (- 3 x + 5) \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 3 x + 5) + x^{3} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x + 5))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 3 x + 5) - 3 x^{3} \cdot \cos (- 3 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x - 5)$

= $(0,6 x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten