$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $\frac{33}{8}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x-3}+\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x-3}·\left(-3\right)+\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-3e^{-3x-3}+\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^2-5}·\left(-4x\right)$

= $-4·e^{-2x^2-5}x$

= $-4x{e}^{-2x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{x}·1$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-8\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-8\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-8\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-8\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x+24\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x+27\right)$

= $\left(-9x+27\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{46}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,2}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{0,6}x+1-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $6+\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$