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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x} + 3 e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt{x} + 3 e^{- 2 x + 2}$

= $4 x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{- 2 x + 2}$

=> f'(x) = $2 x^{- \frac{1}{2}} + 3 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{x}} + 3 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{\sqrt{x}} - 6 e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 x \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{2} + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 6 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} - 4 - 6 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} - 6 x - 4)$

= $(6 x^{2} - 6 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 5} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{3} + 5} \cdot (12 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\cos (x) - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\cos (x) - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 3$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 12) - 3$

= $- 3 + (- 2,4 x + 3 - 12) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 3 + (- 2,4 x - 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten