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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{4}{15} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 4} + x^{3} \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 4} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 4} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x + 3)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 4 x + 3) + e^{3 x} \cdot (- 4 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 4 x + 3) + e^{3 x} \cdot (- 4)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 4 x + 3) - 4 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 4 - 12 x + 9)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x + 5)$

= $(- 12 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 16)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 18)$

= $(4 x + 18) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 4,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x + 1,2)$

= $(0,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten