$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $\frac{27}{8}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(x^5+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(x^5+5x\right)+e^{3x}·\left(5x^4+5\right)$

= $3·e^{3x}·\left(x^5+5x\right)+e^{3x}·\left(5x^4+5\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^5+15x+5x^4+5\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4+15x+5\right)$

= $\left(3x^5+5x^4+15x+5\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(4x^4+x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(4x^4+x^2\right)+e^{-2x}·\left(16x^3+2x\right)$

= $-2·e^{-2x}·\left(4x^4+x^2\right)+e^{-2x}·\left(16x^3+2x\right)$

= $e^{-2x}·(-8x^4-2x^2+\left(16x^3+2x\right))$

= $e^{-2x}·\left(-8x^4+16x^3-2x^2+2x\right)$

= $\left(-8x^4+16x^3-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{3x}·3$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-x^3+4\right)·\left(-3x^2+0\right)$

= $3\cdot \sin \left(-x^3+4\right)·\left(-3x^2\right)$

= $-9\sin \left(-x^3+4\right)x^2$

= $-9x^2·\sin \left(-x^3+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,9282}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{58}·\left(-2e^{-\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{503,275}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,2}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{1,2}x-2-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-4+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{9,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$