$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5-x^2\right)·e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4-2x\right)·e^{-2x-3}+\left(-x^5-x^2\right)·e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $\left(-5x^4-2x\right)·e^{-2x-3}+\left(-x^5-x^2\right)·\left(-2e^{-2x-3}\right)$

= $\left(-5x^4-2x\right)·e^{-2x-3}-2\left(-x^5-x^2\right)·e^{-2x-3}$

= $e^{-2x-3}·(2x^5+2x^2+\left(-5x^4-2x\right))$

= $e^{-2x-3}·\left(2x^5-5x^4+2x^2-2x\right)$

= $\left(2x^5-5x^4+2x^2-2x\right)·e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^5+e^{-x}·5x^4$

= $-e^{-x}{x}^5+5·e^{-x}{x}^4$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^2+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^2+3x}·\left(8x+3\right)$

= $\frac{8x+3}{4x^2+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-6\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-6\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-6\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x-18\right)$

= $e^{3x}·\left(3x-17\right)$

= $\left(3x-17\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-2+\mathrm{1,6}x-\mathrm{11,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{13,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{13,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$