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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{18}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 4) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 4) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{5 x + 4} + (2 x^{3} - 4) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $6 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + (2 x^{3} - 4) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $6 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + 5 (2 x^{3} - 4) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (10 x^{3} - 20 + 6 x^{2})$

= $e^{5 x + 4} \cdot (10 x^{3} + 6 x^{2} - 20)$

= $(10 x^{3} + 6 x^{2} - 20) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x} \cdot (6 x^{2} + 3)$

= $\frac{6 x^{2} + 3}{2 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- 3 x + 5}$

= $2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- 3 x + 5}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 3 x + 5}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{\sqrt{- 3 x + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,05)}^{64} \cdot (- 4 e^{- 1,05 x})$

≈ $- 90,819 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 4$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x + 1) + 4$

= $4 + (x - 5 + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $4 + (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten