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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 2 x + 2} + (- 5 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- 5 e^{- 2 x + 2} + (- 5 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $- 5 e^{- 2 x + 2} - 2 (- 5 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 5 + 10 x + 4)$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (10 x - 1)$

= $(10 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 3 x} \cdot (10 x - 3)$

= $\frac{10 x - 3}{5 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 21)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 24)$

= $(9 x + 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,009 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x - 2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x - 1)$

= $(- 0,4 x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$