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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{7} e^{x}$

= $\frac{8}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + e^{3 x + 2} + 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + e^{3 x + 2} + 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) + e^{3 x + 2} \cdot 3 + 20 x^{3}$

= $- 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 2} + 20 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} + 5} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} + 5} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{x} \cdot 1$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x - 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x - 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x - 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${1,1}^{51} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $129,13 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x + 3,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 7,2)$

= $(- 0,8 x + 7,2) \cdot e^{- 0,2 x}$