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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(10 x + 3) \cdot e^{4 x + 5} + (5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $(10 x + 3) \cdot e^{4 x + 5} + (5 x^{2} + 3 x) \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $(10 x + 3) \cdot e^{4 x + 5} + 4 (5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (20 x^{2} + 12 x + 10 x + 3)$

= $e^{4 x + 5} \cdot (20 x^{2} + 22 x + 3)$

= $(20 x^{2} + 22 x + 3) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 4 x - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 4 e^{3 x} + (- 4 x - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 4 e^{3 x} + 3 (- 4 x - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 4 - 12 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x - 10)$

= $(- 12 x - 10) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $12 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2)$

= $24 {(2 x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 5$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 5$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 2,5) - 5$

= $- 5 + (0,5 x - 1 + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 5 + (0,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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