$\text{f(x)}=$ $5-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·e^{5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{5x-4}+\left(2x+5\right)·e^{5x-4}·5$

= $2e^{5x-4}+\left(2x+5\right)·5e^{5x-4}$

= $2e^{5x-4}+5\left(2x+5\right)·e^{5x-4}$

= $e^{5x-4}·\left(2+10x+25\right)$

= $e^{5x-4}·\left(10x+27\right)$

= $\left(10x+27\right)·e^{5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^3-3}·\left(-3x^2\right)$

= $6·e^{-x^3-3}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-3}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-3}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-x^3+4\right)·\left(-3x^2+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(-x^3+4\right)·\left(-3x^2\right)$

= $-6\sin \left(-x^3+4\right)x^2$

= $-6x^2·\sin \left(-x^3+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+5$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+5$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(4-\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,2}\right)+5$

= $5+\left(-\mathrm{0,8}x+4-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $5+\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$