$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{2x}·2$

= $\frac{4}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^x+x^3·e^x$

= $3x^2·e^x+x^3·e^x$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x-4}·3$

= $3e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3+5}·\left(-6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^3+5}·\left(-6x^2\right)$

= $-6\frac{x^2}{-2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+9\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+9\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+9\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x-27\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x-26\right)$

= $\left(-3x-26\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,039}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x+1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,2}x$

= $x·\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}$