Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2) \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2) \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{4 x - 1} + (- 3 x^{4} - 2) \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{4 x - 1} + (- 3 x^{4} - 2) \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{4 x - 1} + 4 (- 3 x^{4} - 2) \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (- 12 x^{4} - 8 - 12 x^{3})$

= $e^{4 x - 1} \cdot (- 12 x^{4} - 12 x^{3} - 8)$

= $(- 12 x^{4} - 12 x^{3} - 8) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 9) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 9) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 9) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,1}^{62} \cdot (- 2 e^{1,1 x})$

≈ $- 736,846 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 1$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 1$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 2,4) + 1$

= $1 + (- 1,2 x + 3 + 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $1 + (- 1,2 x + 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten