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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{1}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{1}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 6 x^{3} + 3 e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 6 x^{3} + 3 e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 18 x^{2} + 3 e^{x + 4} \cdot 1$

= $- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 18 x^{2} + 3 e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \sin (- 4 x + 1) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \sin (- 4 x + 1) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 4 x + 1)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 4 x + 1) \cdot (- 4)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 4 x + 1)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x + 1))$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 4 x + 1)}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 4 \frac{\cos (- 4 x + 1)}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,95}^{62} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,042 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 3$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 25,2) + 3$

= $3 + (- 3,6 x + 4 + 25,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $3 + (- 3,6 x + 29,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten