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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{33}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 3) \cdot e^{4 x + 5} + (- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $(- 6 x^{2} - 3) \cdot e^{4 x + 5} + (- 2 x^{3} - 3 x) \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $(- 6 x^{2} - 3) \cdot e^{4 x + 5} + 4 (- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x - 6 x^{2} - 3)$

= $e^{4 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 3)$

= $(- 8 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 3) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 5} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 5} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 3)$

= $(- 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 13,5) + 5$

= $5 + (4,5 x - 5 - 13,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $5 + (4,5 x - 18,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten