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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x - 1} + x^{3} \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x - 1} + x^{3} \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $6 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x - 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x - 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x - 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x - 27)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x - 25)$

= $(6 x - 25) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${1,15}^{41} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $308,043 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 7$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 7$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x - 6) + 7$

= $7 + (- 1,5 x + 5 - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $7 + (- 1,5 x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$