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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{8}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $- 2 \cdot \sin (x) + 9 e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x - 5} + (2 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x - 5} + (2 x^{2} + 3) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $4 x \cdot e^{2 x - 5} + 2 (2 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (4 x^{2} + 6 + 4 x)$

= $e^{2 x - 5} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 6)$

= $(4 x^{2} + 4 x + 6) \cdot e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 10)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 13)$

= $(6 x + 13) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 0,85)}^{43} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 2,5) - 6$

= $- 6 + (0,5 x - 5 + 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (0,5 x - 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten