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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{11}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 2} + x^{2} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 2} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 1} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 1} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 6)$

= $(9 x + 6) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 1,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 4,8)$

= $(- 0,3 x + 4,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten