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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 3 x^{5} + 5 x) + e^{3 x} \cdot (- 15 x^{4} + 5)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{5} + 5 x) + e^{3 x} (- 15 x^{4} + 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{5} + 15 x - 15 x^{4} + 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{5} - 15 x^{4} + 15 x + 5)$

= $(- 9 x^{5} - 15 x^{4} + 15 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $6 x \cdot \sin (x^{3}) + (3 x^{2} - 5) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $6 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x^{2} - 5) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${1,15}^{44} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 468,495 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 5$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 1,6) - 5$

= $- 5 + (- 0,4 x + 4 + 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 5 + (- 0,4 x + 5,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten