$\text{f(x)}=$ $-2+e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{2x-3}·2$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)+6e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{7x}·7$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(2x^2-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(2x^2-4\right)}^3·\left(4x+0\right)$

= $12{\left(2x^2-4\right)}^3·\left(4x\right)$

= $48{\left(2x^2-4\right)}^{3}x$

= $48x{\left(2x^2-4\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,0725}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{70}·5e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,138}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x-\mathrm{0,7}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,7}x-1-\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,7}x-\mathrm{1,7}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$