$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{5}{32}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x+2}+\frac{7}{4}\sqrt{x}$

= $2e^{-3x+2}+\frac{7}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2e^{-3x+2}·\left(-3\right)+\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x+2}·\left(-3\right)+\frac{7}{8\sqrt{x}}$

= $-6e^{-3x+2}+\frac{7}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(2x-2\right)+e^{3x}·\left(2+0\right)$

= $3·e^{3x}·\left(2x-2\right)+e^{3x}·\left(2\right)$

= $3·e^{3x}·\left(2x-2\right)+2e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x-6\right)$

= $e^{3x}·\left(6x-4\right)$

= $\left(6x-4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-x^2-1}$

= $3{\left(-x^2-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-x^2-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-x^2-1}}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-x^2-1}}·\left(-2x\right)$

= $-3\frac{x}{\sqrt{-x^2-1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,431}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{60}·\left(-2e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{37,358}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-9$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-9$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-5+\mathrm{2,5}x+\mathrm{2,5}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{2,5}x-5+\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-9+\left(\mathrm{2,5}x-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$