$\text{f(x)}=$ $-3-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x+2}+\frac{1}{2x^3}-\frac{9}{2}\sqrt{x}$

= $2e^{-x+2}+\frac{1}{2}{x}^{-3}-\frac{9}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2e^{-x+2}·\left(-1\right)-\frac{3}{2}{x}^{-4}-\frac{9}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x+2}·\left(-1\right)-\frac{3}{2x^4}-\frac{9}{4\sqrt{x}}$

= $-2e^{-x+2}-\frac{3}{2x^4}-\frac{9}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{x}·1$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+8\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-3x}+\left(2x^2+8\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x·e^{-3x}+\left(2x^2+8\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x·e^{-3x}-3\left(2x^2+8\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2-24+4x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+4x-24\right)$

= $\left(-6x^2+4x-24\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{3,3}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,3}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{3,63}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,63}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{3,993}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,993}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{4,3923}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{47}·3e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $-\mathrm{264,592}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-3$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-3$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,8}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{1,2}x-3-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-3+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$