$\text{f(x)}=$ $4-3e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·e^{5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{5x+4}+\left(2x-4\right)·e^{5x+4}·5$

= $2e^{5x+4}+\left(2x-4\right)·5e^{5x+4}$

= $2e^{5x+4}+5\left(2x-4\right)·e^{5x+4}$

= $e^{5x+4}·\left(2+10x-20\right)$

= $e^{5x+4}·\left(10x-18\right)$

= $\left(10x-18\right)·e^{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{4x}·4$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x^2+3\right)·\left(2x+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2+3\right)·\left(2x\right)$

= $6\cos \left(x^2+3\right)x$

= $6x·\cos \left(x^2+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x-8\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{1,6}x-4-8\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $7+\left(\mathrm{1,6}x-12\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$