$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{2x}·2$

= $\frac{8}{5}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x+3}+x^2·e^{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x+3}+x^2·\left(-4e^{-4x+3}\right)$

= $2x·e^{-4x+3}-4x^2·e^{-4x+3}$

= $e^{-4x+3}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^5-2x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-25x^4-6x^2\right)·e^{2x}+\left(-5x^5-2x^3\right)·e^{2x}·2$

= $\left(-25x^4-6x^2\right)·e^{2x}+\left(-5x^5-2x^3\right)·2e^{2x}$

= $\left(-25x^4-6x^2\right)·e^{2x}+2\left(-5x^5-2x^3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(-10x^5-4x^3+\left(-25x^4-6x^2\right))$

= $e^{2x}·\left(-10x^5-25x^4-4x^3-6x^2\right)$

= $\left(-10x^5-25x^4-4x^3-6x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{2x}·2$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x+5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x+5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x+5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x-15\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x-12\right)$

= $\left(-9x-12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(4-\mathrm{3,6}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{7,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{7,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$