$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{2x}·2$

= $\frac{10}{7}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x-1}+x^5·e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x-1}+x^5·\left(-2e^{-2x-1}\right)$

= $5x^4·e^{-2x-1}-2x^5·e^{-2x-1}$

= $e^{-2x-1}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2-4}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2-4}x$

= $6x{e}^{-x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x}·1$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x-4\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x-4\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x-4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x-8\right)$

= $e^{2x}·\left(4x-6\right)$

= $\left(4x-6\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x-\mathrm{7,5}\right)+5$

= $5+\left(-\mathrm{1,5}x+3-\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $5+\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$