$\text{f(x)}=$ $2-2e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $-\frac{10}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3-2e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2-2e^{x+4}·1$

= $15x^2-2e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x+2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·e^{-3x}+\left(-5x+2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-5e^{-3x}+\left(-5x+2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-5e^{-3x}-3\left(-5x+2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-5+15x-6\right)$

= $e^{-3x}·\left(15x-11\right)$

= $\left(15x-11\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2+5x}·\left(10x+5\right)$

= $\frac{10x+5}{5x^2+5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2-5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-2\right)+6$

= $6+\left(-x+2-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $6-x·e^{-\mathrm{0,5}x}$