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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{6} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{5}{6} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 3} + x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 3} + x^{5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3) + 5 x^{4}$

= $- 9 e^{- 3 x - 3} + 5 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{4} - 10 x^{3} + (20 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(10 x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} + 2}$

= ${(3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 2}} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 2}} \cdot (6 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x + 0,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 1,6)$

= $(- 0,3 x + 1,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten