Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + x^{5} \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x + 2} + x^{2} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x + 2} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 2,3 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $2,645 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $2,645 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,0418 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0418 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,498 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot 2 e^{- 1,15 x}$

≈ $231,61 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 3,2) + 9$

= $9 + (0,8 x - 1 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $9 + (0,8 x - 4,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten