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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 2} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 2} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 2} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} - 1} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 2 x^{3} - 3)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 2 x^{3} - 3)}^{3}}$

= $- 2 {(- 2 x^{3} - 3)}^{- 3}$

=> f'(x) = $6 {(- 2 x^{3} - 3)}^{- 4} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- 2 x^{3} - 3)}^{4}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{6}{{(- 2 x^{3} - 3)}^{4}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 36 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} - 3)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 1,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 5,2)$

= $(0,4 x - 5,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten