$\text{f(x)}=$ $2+e^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{7}{4}x}·\frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\sqrt{x}+e^{x-3}+2x^2$

= $\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{2}}+e^{x-3}+2x^2$

=> f'(x) = $\frac{1}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}+e^{x-3}·1+4x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6\sqrt{x}}+e^{x-3}·1+4x$

= $\frac{1}{6\sqrt{x}}+e^{x-3}+4x$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^3-4}·\left(-3x^2\right)$

= $3·e^{-x^3-4}{x}^2$

= $3x^2{e}^{-x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{7x}·7$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x-9\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(3x-9\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(3x-9\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(3-\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{7,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{7,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$