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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{5 x - 3} + (- 4 x - 3) \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $- 4 e^{5 x - 3} + (- 4 x - 3) \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $- 4 e^{5 x - 3} + 5 (- 4 x - 3) \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (- 4 - 20 x - 15)$

= $e^{5 x - 3} \cdot (- 20 x - 19)$

= $(- 20 x - 19) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 2 x^{2} + 1) + e^{2 x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 1) + e^{2 x} \cdot (- 4 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 1) - 4 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 2 - 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 4 x + 2)$

= $(- 4 x^{2} - 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x - 1)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 \cdot \sin (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot \sin (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{37} \cdot 5 e^{- 1,15 x}$

≈ $- 880,623 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 3)$

= $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten