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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1} + (- x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $(- 5 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1} + (- x^{5} - 3 x^{3}) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $(- 5 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 (- x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (4 x^{5} + 12 x^{3} + (- 5 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (4 x^{5} - 5 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(4 x^{5} - 5 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{5} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{5} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x^{5} - 4 x^{2}) + e^{- 3 x} \cdot (- 25 x^{4} - 8 x)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x^{5} - 4 x^{2}) + e^{- 3 x} (- 25 x^{4} - 8 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} + 12 x^{2} + (- 25 x^{4} - 8 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} - 25 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x)$

= $(15 x^{5} - 25 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 2} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 2} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 9) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 9) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} + 9) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 6$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 6$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 5,4) - 6$

= $- 6 + (- 0,9 x + 3 + 5,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 6 + (- 0,9 x + 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten