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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 5) \cdot e^{- 4 x - 2} + (5 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $(25 x^{4} + 5) \cdot e^{- 4 x - 2} + (5 x^{5} + 5 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $(25 x^{4} + 5) \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 (5 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 20 x^{5} - 20 x + 25 x^{4} + 5)$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 20 x^{5} + 25 x^{4} - 20 x + 5)$

= $(- 20 x^{5} + 25 x^{4} - 20 x + 5) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 6 x}{- 2 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (x - 1)}{- x \cdot (2 x - 3)}$

= $\frac{- 6 (x - 1)}{- x \cdot (2 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 1) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 9,6) + 9$

= $9 + (- 2,4 x + 3 - 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $9 + (- 2,4 x - 6,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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