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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{18}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 29)$

= $(6 x + 29) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{43} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

≈ $2036,935 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x - 3,6) - 3$

= $- 3 + (- 0,6 x + 3 - 3,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 3 + (- 0,6 x - 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten