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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 3} + 3 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 3} + 3 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3) + 3 \cdot \cos (x)$

= $- 3 e^{- 3 x - 3} + 3 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x - 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 1 + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x - 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x - 2) - e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 1 + 2 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $(2 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{x} + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{x} + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(e^{x} + 4)}^{4} \cdot (e^{x} + 0)$

= $15 {(e^{x} + 4)}^{4} \cdot (e^{x})$

= $15 {(e^{x} + 4)}^{4} \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,95}^{60} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,046 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 5$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 5$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 3) + 5$

= $5 + (- 1,5 x + 3 - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $5 - 1,5 x \cdot e^{- 0,5 x}$