$\text{f(x)}=$ $-5+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3-4\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2+0\right)·e^{-4x+2}+\left(4x^3-4\right)·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $12x^2·e^{-4x+2}+\left(4x^3-4\right)·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $12x^2·e^{-4x+2}-4\left(4x^3-4\right)·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·\left(-16x^3+16+12x^2\right)$

= $e^{-4x+2}·\left(-16x^3+12x^2+16\right)$

= $\left(-16x^3+12x^2+16\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x-4\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-4x+5}+\left(-3x-4\right)·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $-3e^{-4x+5}+\left(-3x-4\right)·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $-3e^{-4x+5}-4\left(-3x-4\right)·e^{-4x+5}$

= $e^{-4x+5}·\left(-3+12x+16\right)$

= $e^{-4x+5}·\left(12x+13\right)$

= $\left(12x+13\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2x}·2$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-10+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-10\right)$

= $\left(-2x^2+2x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-5\right)$

= $\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$