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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x - 5} + (3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5} + (3 x^{3} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 (3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 9 x^{3} + 12 + 9 x^{2})$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 12)$

= $(- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 12) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{3} + e^{- 2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 5 x} \cdot (6 x + 5)$

= $\frac{6 x + 5}{3 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 19)$

= $(- 3 x + 19) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 9$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 1,5) + 9$

= $9 + (- 0,3 x + 3 + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $9 + (- 0,3 x + 4,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten