$\text{f(x)}=$ $3+\frac{2}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-2e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x}·1$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(4x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(4x-4\right)+x^3·(-\sin \left(4x-4\right)·\left(4+0\right))$

= $3x^2·\cos \left(4x-4\right)+x^3·(-\sin \left(4x-4\right)·\left(4\right))$

= $3x^2·\cos \left(4x-4\right)+x^3·\left(-4\cdot \sin \left(4x-4\right)\right)$

= $3x^2·\cos \left(4x-4\right)-4x^3·\sin \left(4x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$