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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} - \frac{1}{4} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} - \frac{1}{4} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} \cdot (- 1) - \frac{3}{4} x^{2}$

= $3 e^{- x - 4} - \frac{3}{4} x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 4 x} \cdot (9 x^{2} + 4)$

= $\frac{9 x^{2} + 4}{3 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- x - 5}$

= $2 {(- x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- x - 5}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x - 5}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x - 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${1,15}^{32} \cdot 3 e^{1,15 x}$

≈ $262,695 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 7$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 7$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x - 0,6) + 7$

= $7 + (0,2 x - 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $7 + (0,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$