$\text{f(x)}=$ $-3+e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x+5}+x^3·e^{2x+5}·2$

= $3x^2·e^{2x+5}+x^3·2e^{2x+5}$

= $3x^2·e^{2x+5}+2x^3·e^{2x+5}$

= $e^{2x+5}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x-2\right)·e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{2x-2}+\left(4x-2\right)·e^{2x-2}·2$

= $4e^{2x-2}+\left(4x-2\right)·2e^{2x-2}$

= $4e^{2x-2}+2\left(4x-2\right)·e^{2x-2}$

= $e^{2x-2}·\left(4+8x-4\right)$

= $e^{2x-2}·\left(8x+0\right)$

= $e^{2x-2}·8x$

= $x·8e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x}·1$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+8\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+9\right)$

= $\left(-2x+9\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,7}\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{0,9}x+3+\mathrm{2,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{5,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$