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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{15}{16} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}} - e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}} - e^{3 x - 5}$

= $5 x^{- 3} - e^{3 x - 5}$

=> f'(x) = $- 15 x^{- 4} - e^{3 x - 5} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{15}{x^{4}} - e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $- \frac{15}{x^{4}} - 3 e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $9 e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${1,15}^{32} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $87,565 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 1,6) + 5$

= $5 + (- 1,6 x + 2 - 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (- 1,6 x + 0,4) \cdot e^{- 0,8 x}$