$\text{f(x)}=$ $3-e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{8}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $9{\left(\sqrt{x}\right)}^3+2x^3-e^{3x+1}$

= $9x^{\frac{3}{2}}+2x^3-e^{3x+1}$

=> f'(x) = $\frac{27}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+6x^2-e^{3x+1}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{27}{2}\sqrt{x}+6x^2-e^{3x+1}·3$

= $\frac{27}{2}\sqrt{x}+6x^2-3e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^4+e^{3x}·4x^3$

= $3·e^{3x}{x}^4+4·e^{3x}{x}^3$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3+3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3+3x^2}·\left(-15x^2+6x\right)$

= $\frac{-15x^2+6x}{-5x^3+3x^2}$

= $\frac{-3·1·\left(5x-2\right)}{-x·\left(5x-3\right)}$

= $\frac{-3\left(5x-2\right)}{-x·\left(5x-3\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-2x^2-3}$

= $-3{\left(-2x^2-3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-2x^2-3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-2x^2-3}}·\left(-4x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-2x^2-3}}·\left(-4x\right)$

= $6\frac{x}{\sqrt{-2x^2-3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^x·\left(x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+3$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+3$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x+\mathrm{16,8}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{2,4}x-4+\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $3+\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{12,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$