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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 5 x^{3}) \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 5 x^{3}) \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{5 x - 4} + (- 4 x^{4} + 5 x^{3}) \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $(- 16 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{5 x - 4} + (- 4 x^{4} + 5 x^{3}) \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $(- 16 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{5 x - 4} + 5 (- 4 x^{4} + 5 x^{3}) \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (- 20 x^{4} + 25 x^{3} + (- 16 x^{3} + 15 x^{2}))$

= $e^{5 x - 4} \cdot (- 20 x^{4} + 9 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(- 20 x^{4} + 9 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 3) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 6 x + 3) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + 3 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 6 x + 3) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 9 x - 6 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 3 x + 3)$

= $(- 9 x^{2} + 3 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x + 5)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x + 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x + 5) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 5) \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 5 x + 5) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 5) \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x + 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 5) \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x + 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x + 5))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x + 5)}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${1,05}^{71} \cdot 5 e^{1,05 x}$

≈ $159,739 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 7,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x - 3,2)$

= $(- 1,2 x - 3,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten