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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{5} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{5} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{5} + 4 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 20 x^{4} + 8 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 4 x^{5} + 4 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 20 x^{4} + 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 8 x^{2} + (- 20 x^{4} + 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{5} - 20 x^{4} + 8 x^{2} + 8 x)$

= $(- 8 x^{5} - 20 x^{4} + 8 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 4} x$

= $12 x e^{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 1) - 9$

= $- 9 + (- 0,5 x + 1 + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (- 0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten