$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{3}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}\left(-2x^5-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-2x^5-x\right)+e^{-3x}·\left(-10x^4-1\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-2x^5-x\right)+e^{-3x}\left(-10x^4-1\right)$

= $e^{-3x}·\left(6x^5+3x-10x^4-1\right)$

= $e^{-3x}·\left(6x^5-10x^4+3x-1\right)$

= $\left(6x^5-10x^4+3x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-3}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-3}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^x-2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(e^x-2\right)}^4·\left(e^x+0\right)$

= $-10{\left(e^x-2\right)}^4·\left(e^x\right)$

= $-10{\left(e^x-2\right)}^4·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x+6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+11\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+11\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$