$\text{f(x)}=$ $4+3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+2e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2e^{3x+4}·3$

= $2\cdot \cos \left(x\right)+6e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x}+x^5·e^{3x}·3$

= $5x^4·e^{3x}+x^5·3e^{3x}$

= $5x^4·e^{3x}+3x^5·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+4}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+4}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{4,6}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,6}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{5,29}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,29}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{6,0835}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,0835}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{6,996}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{44}·\left(-4e^{\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{1873,98}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x-\mathrm{4,8}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{1,6}x-4-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-3+\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$