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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 3} + (4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 3} + (4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $(12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 (4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x^{2} + (12 x^{2} - 8 x))$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 12 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x)$

= $(- 12 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{x} \cdot 1$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{2 x} - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{2 x} - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (e^{2 x} - 3) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 2 (e^{2 x} - 3) \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 4 (e^{2 x} - 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${0,85}^{37} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,002 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x + 11)$

= $(- 1,5 x + 11) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten