$\text{f(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^4+x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{3x}+\left(-x^4+x^3\right)·e^{3x}·3$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{3x}+\left(-x^4+x^3\right)·3e^{3x}$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{3x}+3\left(-x^4+x^3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(-3x^4+3x^3+\left(-4x^3+3x^2\right))$

= $e^{3x}·\left(-3x^4-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^4-x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+5}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2+5}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+5\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(3x+5\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $3\cdot \cos \left(3x\right)+\left(3x+5\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(3x\right)-3\left(3x+5\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(5-\mathrm{2,5}x+15\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{2,5}x+20\right)$

= $\left(-\mathrm{2,5}x+20\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$