$\text{f(x)}=$ $3+\frac{5}{8}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{8}{e}^{2x}·2$

= $\frac{5}{4}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-5\right)·e^{x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{x+5}+\left(-2x-5\right)·e^{x+5}·1$

= $-2e^{x+5}+\left(-2x-5\right)·e^{x+5}$

= $e^{x+5}·\left(-2-2x-5\right)$

= $e^{x+5}·\left(-2x-7\right)$

= $\left(-2x-7\right)·e^{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x^3-2}·9x^2$

= $27·e^{3x^3-2}{x}^2$

= $27x^2{e}^{3x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{7x}·7$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x^2-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(x^2-4\right)}^2·\left(2x+0\right)$

= $-9{\left(x^2-4\right)}^2·\left(2x\right)$

= $-18{\left(x^2-4\right)}^{2}x$

= $-18x{\left(x^2-4\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{46}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-7$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-7$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(3-\mathrm{2,4}x+\mathrm{16,8}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{2,4}x+3+\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{19,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$