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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x) - 3 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x) - 3 e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $\sin (x) - 3 e^{x + 3} \cdot 1$

= $\sin (x) - 3 e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} + 4} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(e^{- 3 x} + 1)}^{2} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $9 {(e^{- 3 x} + 1)}^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 27 {(e^{- 3 x} + 1)}^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{33} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $- 100,7 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 2,8) - 4$

= $- 4 + (0,4 x - 1 + 2,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (0,4 x + 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$