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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{6} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{6} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{x}$

= $\frac{5}{6} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 1} + 2 x^{4} - \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 1} + 2 x^{4} - \sqrt{x}$

= $2 e^{- x + 1} + 2 x^{4} - x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1) + 8 x^{3} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1) + 8 x^{3} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $- 2 e^{- x + 1} + 8 x^{3} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 9 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 8 x - 9 x^{2} + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 4)$

= $(- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $(2 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{58} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 2$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 2$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 6,3) - 2$

= $- 2 + (- 0,9 x + 3 + 6,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 2 + (- 0,9 x + 9,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten