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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{2}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{2}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2}) + e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 8 x)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2}) + e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 8 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} + 12 x^{2} + (12 x^{3} - 8 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x)$

= $(- 9 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $3 e^{3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (4 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (4 x - 1)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (4 x - 1) + x^{5} \cdot \cos (4 x - 1) \cdot (4 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (4 x - 1) + x^{5} \cdot \cos (4 x - 1) \cdot (4)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (4 x - 1) + x^{5} \cdot 4 \cdot \cos (4 x - 1)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (4 x - 1) + 4 x^{5} \cdot \cos (4 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 2$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 2$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x + 3,2) + 2$

= $2 + (0,8 x - 4 + 3,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $2 + (0,8 x - 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten