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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{4} x^{5} + e^{- 3 x + 4} - \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{4} x^{5} + e^{- 3 x + 4} - \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{45}{4} x^{4} + e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3) - \cos (x)$

= $- \frac{45}{4} x^{4} - 3 e^{- 3 x + 4} - \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x + 5} + (- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $(- 12 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x + 5} + (- 4 x^{3} - 3 x) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $(- 12 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x + 5} + 2 (- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 6 x - 12 x^{2} - 3)$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x - 3)$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x - 3) \cdot e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 2}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 0,8) + 6$

= $6 + (0,4 x - 2 - 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $6 + (0,4 x - 2,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten