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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 5} + (5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $(20 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 5} + (5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $(20 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 (5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 20 x^{4} + 12 x^{2} + (20 x^{3} - 6 x))$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 20 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x)$

= $(- 20 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} + 4} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} + 4} x$

= $4 x e^{2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5 x} \cdot (- 3 x^{2} - 5)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 5}{- x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (3 x^{2} - 5) \cdot (6 x + 0)$

= $2 \cdot \cos (3 x^{2} - 5) \cdot (6 x)$

= $12 \cos (3 x^{2} - 5) x$

= $12 x \cdot \cos (3 x^{2} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 7$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 7$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 5) + 7$

= $7 + (- 2,5 x + 5 - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $7 - 2,5 x \cdot e^{- 0,5 x}$