$\text{f(x)}=$ $e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2+2e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $8x+2e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $8x-4e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{3x}·3$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-3x+1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $5{\left(-3x+1\right)}^4·\left(-3+0\right)$

= $5{\left(-3x+1\right)}^4·\left(-3\right)$

= $-15{\left(-3x+1\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$