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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x} + (- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} - 5 x^{2} + (- 12 x^{2} - 10 x))$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} - 17 x^{2} - 10 x)$

= $(- 4 x^{3} - 17 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,1}^{48} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $97,017 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 9) + 4$

= $4 + (1,8 x - 2 + 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (1,8 x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten