$\text{f(x)}=$ $3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x+4}+x^5·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x+4}+x^5·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $5x^4·e^{-3x+4}-3x^5·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{7x}·7$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+6\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+6\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+6\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x-18\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x-17\right)$

= $\left(-3x-17\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{50}·e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,005}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(4-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{4,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$