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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x - 2} + (- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + (- 2 x^{5} + 5) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + 2 (- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 4 x^{5} + 10 - 10 x^{4})$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 10)$

= $(- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 10) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{3} + 4 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 15 x^{2} + 8 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{3} + 4 x^{2}) + e^{2 x} (- 15 x^{2} + 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{3} + 8 x^{2} + (- 15 x^{2} + 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x)$

= $(- 10 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 18)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 15)$

= $(- 6 x - 15) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{64} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 6$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 6$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 4,9) + 6$

= $6 + (- 0,7 x + 1 + 4,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $6 + (- 0,7 x + 5,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten