Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{15}{16} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) - 2 e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) - 2 e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - 2 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 5 \cdot \cos (x) + 4 e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 5} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 8)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 7)$

= $(2 x - 7) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x + 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 x + 1)$

= $(2 x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$