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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{7}{10} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} - 6 x^{5} - \frac{5}{4 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} - 6 x^{5} - \frac{5}{4 x^{3}}$

= $- 3 e^{- x - 4} - 6 x^{5} - \frac{5}{4} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- x - 4} \cdot (- 1) - 30 x^{4} + \frac{15}{4} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} \cdot (- 1) - 30 x^{4} + \frac{15}{4 x^{4}}$

= $3 e^{- x - 4} - 30 x^{4} + \frac{15}{4 x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $9 e^{3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- 3 x^{2} - 1}$

= ${(- 3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- 3 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}} \cdot (- 6 x)$

= $- 3 \frac{x}{\sqrt{- 3 x^{2} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${0,95}^{74} \cdot (- 2 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,045 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x + 2,7) + 5$

= $5 + (2,7 x - 3 + 2,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $5 + (2,7 x - 0,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten