$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{3}{2}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{2}{e}^x$

= $\frac{3}{2}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $4+e^{-3x-1}+2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x-1}·\left(-3\right)-2\cdot \sin \left(x\right)$

= $-3e^{-3x-1}-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+4}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+4}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+9\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+9\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2+9\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-9$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-9$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-5+\mathrm{2,5}x+5\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{2,5}x-5+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-9+\mathrm{2,5}x·e^{-\mathrm{0,5}x}$