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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(16 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{4} + x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(16 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{4} - 3 x + 16 x^{3} + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{4} + 16 x^{3} - 3 x + 1)$

= $(- 12 x^{4} + 16 x^{3} - 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 2 x}{- x^{3} + x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x - 2)}{- x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- (3 x - 2)}{- x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x^{3} - 3)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x^{3} - 3)}^{2}}$

= $- 3 {(3 x^{3} - 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(3 x^{3} - 3)}^{- 3} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(3 x^{3} - 3)}^{3}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{6}{{(3 x^{3} - 3)}^{3}} \cdot (9 x^{2})$

= $54 \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 3)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,1}^{48} \cdot (- 3 e^{1,1 x})$

≈ $- 291,052 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 12,8) - 2$

= $- 2 + (- 3,2 x + 4 - 12,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (- 3,2 x - 8,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten