$\text{f(x)}=$ $-5+3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-e^{2x-5}+5\sqrt[3]{x}$

= $-2x^3-e^{2x-5}+5x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-6x^2-e^{2x-5}·2+\frac{5}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-e^{2x-5}·2+\frac{5}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

= $-6x^2-2e^{2x-5}+\frac{5}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x^3-5}·3x^2$

= $9·e^{x^3-5}{x}^2$

= $9x^2{e}^{x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{2x}·2$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,9282}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{50}·2e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{234,782}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,8}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{1,8}x-3+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-8+\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$