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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (\cos (x) + 2) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 4 (\cos (x) + 2) \cdot (- \sin (x))$

= $4 (\cos (x) + 2) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,0706 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0706 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,61 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{34} \cdot 5 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,02 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 2,8) - 4$

= $- 4 + (1,4 x - 2 - 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (1,4 x - 4,8) \cdot e^{- 0,7 x}$