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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 15 x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{3} + 2 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 15 x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{3} - 6 x - 15 x^{2} + 2)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{3} - 15 x^{2} - 6 x + 2)$

= $(15 x^{3} - 15 x^{2} - 6 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 5 x} \cdot (4 x + 5)$

= $\frac{4 x + 5}{2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- x - 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- x - 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- x - 1) + \sqrt{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x - 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x - 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \cos (- x - 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x - 1)}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot \cos (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 9)$

= $(1,2 x - 9) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten