$\text{f(x)}=$ $2-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x-1}+x^3·e^{2x-1}·2$

= $3x^2·e^{2x-1}+x^3·2e^{2x-1}$

= $3x^2·e^{2x-1}+2x^3·e^{2x-1}$

= $e^{2x-1}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{4x}·4$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+4\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x+4\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(3x+4\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(3x+4\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x+27\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x+22\right)$

= $\left(\mathrm{4,5}x+22\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$