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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 4} + \frac{4}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 4} + \frac{4}{x^{4}}$

= $e^{3 x + 4} + 4 x^{- 4}$

=> f'(x) = $e^{3 x + 4} \cdot 3 - 16 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{16}{x^{5}}$

= $3 e^{3 x + 4} - \frac{16}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 1} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 1} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 7) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 7) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x - 7) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,1}^{48} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $97,017 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 9) + 3$

= $3 + (- 1,5 x + 3 + 9) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $3 + (- 1,5 x + 12) \cdot e^{- 0,5 x}$