$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x+1}+x^2·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x+1}+x^2·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $2x·e^{-2x+1}-2x^2·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{3x}·3$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-8\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-3x}+\left(2x^2-8\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x·e^{-3x}+\left(2x^2-8\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x·e^{-3x}-3\left(2x^2-8\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+24+4x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+4x+24\right)$

= $\left(-6x^2+4x+24\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,4435}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{68}·\left(-3e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,092}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(1-\mathrm{0,7}x-\mathrm{4,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}x-\mathrm{3,9}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,7}x-\mathrm{3,9}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$