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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{4}} - e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{4}} - e^{2 x - 2}$

= $\frac{2}{3} x^{- 4} - e^{2 x - 2}$

=> f'(x) = $- \frac{8}{3} x^{- 5} - e^{2 x - 2} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{8}{3 x^{5}} - e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- \frac{8}{3 x^{5}} - 2 e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 2} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 2} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 x + 3 x^{2} - 21)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 21)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 21) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{65} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 23,84 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 8$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x + 4,5 - 3) - 8$

= $- 8 + (1,5 x + 4,5 - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 8 + (1,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten