$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x+4}+4x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x+4}·\left(-2\right)+16x^3$

= $6e^{-2x+4}+16x^3$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3-5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3-5x^2}·\left(-6x^2-10x\right)$

= $\frac{-6x^2-10x}{-2x^3-5x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(3x+5\right)}{-x·\left(2x+5\right)}$

= $\frac{-2\left(3x+5\right)}{-x·\left(2x+5\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-x+3}$

= ${\left(-x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-x+3}}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-x+3}}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-x+3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x-4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x+1\right)$

= $\left(-2x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$