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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{16}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 5 x - 5} + (x - 4) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $e^{- 5 x - 5} + (x - 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $e^{- 5 x - 5} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (1 - 5 x + 20)$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x + 21)$

= $(- 5 x + 21) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x + 4)}{x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{3 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 0,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 2,8)$

= $(- 0,8 x + 2,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten