$\text{f(x)}=$ $3-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)-2e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)-2e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $\cos \left(x\right)+4e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x+2}+x^5·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x+2}+x^5·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $5x^4·e^{-4x+2}-4x^5·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·\left(5x^4-4x^5\right)$

= $e^{-4x+2}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{7x}·7$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-x+3}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-x+3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-x+3}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-x+3}+\sqrt{x}·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-x+3}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-x+3}}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·e^{-x+3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{67}·\left(-e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,032}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-3$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-3$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{8,4}-2\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{8,4}-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-3+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$