$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $\frac{6}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x+2}+x^2·e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x+2}+x^2·\left(-e^{-x+2}\right)$

= $2x·e^{-x+2}-x^2·e^{-x+2}$

= $e^{-x+2}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(4x^4-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(4x^4-5x\right)+e^{-3x}·\left(16x^3-5\right)$

= $-3·e^{-3x}·\left(4x^4-5x\right)+e^{-3x}·\left(16x^3-5\right)$

= $e^{-3x}·\left(-12x^4+15x+16x^3-5\right)$

= $e^{-3x}·\left(-12x^4+16x^3+15x-5\right)$

= $\left(-12x^4+16x^3+15x-5\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{5x}·5$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x-2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x-2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x-2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x+4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x+7\right)$

= $\left(-6x+7\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{42}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(4-\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$