$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $-\frac{10}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^5+x^2\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-25x^4+2x\right)·e^{-3x-5}+\left(-5x^5+x^2\right)·e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $\left(-25x^4+2x\right)·e^{-3x-5}+\left(-5x^5+x^2\right)·\left(-3e^{-3x-5}\right)$

= $\left(-25x^4+2x\right)·e^{-3x-5}-3\left(-5x^5+x^2\right)·e^{-3x-5}$

= $e^{-3x-5}·(15x^5-3x^2+\left(-25x^4+2x\right))$

= $e^{-3x-5}·\left(15x^5-25x^4-3x^2+2x\right)$

= $\left(15x^5-25x^4-3x^2+2x\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x}+x^5·\left(-e^{-x}\right)$

= $5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x-3}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(3x^2-2\right)}^2}$

= $2{\left(3x^2-2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-4{\left(3x^2-2\right)}^{-3}·\left(6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(3x^2-2\right)}^3}·\left(6x+0\right)$

= $-\frac{4}{{\left(3x^2-2\right)}^3}·\left(6x\right)$

= $-24\frac{x}{{\left(3x^2-2\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,431}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}·\left(-2e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{55,195}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+18\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x+13\right)$

= $\left(3x+13\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$