Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 2} - 4 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 2} - 4 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) - 4 \cdot \cos (x)$

= $- 3 e^{- 3 x - 2} - 4 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 8,4)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x + 4,4)$

= $(1,2 x + 4,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten