$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $\frac{15}{16}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x-1}+x^4·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x-1}+x^4·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $4x^3·e^{-4x-1}-4x^4·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{2x}·2$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $3{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $3{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2+\mathrm{0,8}x+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,8}x+2\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$