$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{18}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^x+\left(x-1\right)·e^x$

= $e^x+\left(x-1\right)·e^x$

= $e^x·\left(1+x-1\right)$

= $e^x·\left(x+0\right)$

= $e^x·x$

= $x·e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{5x}·5$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+8\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+8\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+8\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+8\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x+24\right)$

= $e^{3x}·\left(3x+25\right)$

= $\left(3x+25\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,629}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{74}·2e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,045}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x+\mathrm{9,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{13,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$