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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 4) \cdot e^{5 x + 3} + (2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $(6 x^{2} + 4) \cdot e^{5 x + 3} + (2 x^{3} + 4 x) \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $(6 x^{2} + 4) \cdot e^{5 x + 3} + 5 (2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (10 x^{3} + 20 x + 6 x^{2} + 4)$

= $e^{5 x + 3} \cdot (10 x^{3} + 6 x^{2} + 20 x + 4)$

= $(10 x^{3} + 6 x^{2} + 20 x + 4) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} - 4) \cdot e^{x} + (5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (5 x^{3} - 4 x + 15 x^{2} - 4)$

= $e^{x} \cdot (5 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 4)$

= $(5 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 4) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 2} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{3} + 2} \cdot (12 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(2 x^{2} + 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(2 x^{2} + 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(2 x^{2} + 1)}^{4} \cdot (4 x + 0)$

= $- 10 {(2 x^{2} + 1)}^{4} \cdot (4 x)$

= $- 40 {(2 x^{2} + 1)}^{4} x$

= $- 40 x {(2 x^{2} + 1)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x - 3,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,2 x - 5,6)$

= $(1,2 x - 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten