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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $\frac{77}{40} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{4 x - 2} + (- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $- 6 x \cdot e^{4 x - 2} + (- 3 x^{2} - 5) \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $- 6 x \cdot e^{4 x - 2} + 4 (- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 12 x^{2} - 20 - 6 x)$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x - 20)$

= $(- 12 x^{2} - 6 x - 20) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 4} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 4} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} - 18 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x - 18)$

= $(6 x^{2} + 4 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x + 0,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x - 0,4)$

= $(0,2 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten