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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{4 x + 3} + (- 3 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $- 6 x \cdot e^{4 x + 3} + (- 3 x^{2} + 1) \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $- 6 x \cdot e^{4 x + 3} + 4 (- 3 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (- 12 x^{2} + 4 - 6 x)$

= $e^{4 x + 3} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x + 4)$

= $(- 12 x^{2} - 6 x + 4) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 16 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 16)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 16) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x - 12,6)$

= $(2,4 x - 12,6) \cdot e^{- 0,8 x}$