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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} + (5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $(25 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} + (5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $(25 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} + 2 (5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (10 x^{5} - 6 x^{3} + (25 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{2 x + 2} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} - 6 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} - 6 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{4} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{4} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (4 x^{4} + 2 x) + e^{3 x} \cdot (16 x^{3} + 2)$

= $3 \cdot e^{3 x} (4 x^{4} + 2 x) + e^{3 x} (16 x^{3} + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{4} + 6 x + 16 x^{3} + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{4} + 16 x^{3} + 6 x + 2)$

= $(12 x^{4} + 16 x^{3} + 6 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{5} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{7} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot (- 4 e^{1,1 x})$

≈ $- 1961,483 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 2,1)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 3,1)$

= $(0,7 x - 3,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten