$\text{f(x)}=$ $1+\frac{1}{4}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{4}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^2+e^{3x}·2x$

= $3·e^{3x}{x}^2+2·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2x}·2$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(-5x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(-5x+3\right)+x^5·\cos \left(-5x+3\right)·\left(-5+0\right)$

= $5x^4·\sin \left(-5x+3\right)+x^5·\cos \left(-5x+3\right)·\left(-5\right)$

= $5x^4·\sin \left(-5x+3\right)+x^5·\left(-5\cdot \cos \left(-5x+3\right)\right)$

= $5x^4·\sin \left(-5x+3\right)-5x^5·\cos \left(-5x+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{36}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x+8\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+8\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$