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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 4} + (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 4} + (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (- 4 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} + 2)$

= $e^{x - 4} \cdot (- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x + 4} + x^{3} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 4} + x^{3} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 4} - x^{3} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x - 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (x - 3) + x^{4} \cdot \cos (x - 3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x - 3) + x^{4} \cdot \cos (x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${0,95}^{75} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,021 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 3,2) + 6$

= $6 + (- 0,8 x + 1 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (- 0,8 x - 2,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten