$\text{f(x)}=$ $2+\frac{7}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{14}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^2-4}·\left(-2x\right)$

= $-6·e^{-x^2-4}x$

= $-6x{e}^{-x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2+4x}·\left(-2x+4\right)$

= $\frac{-2x+4}{-x^2+4x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(-3x\right)+x^4·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $4x^3·\sin \left(-3x\right)+x^4·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $4x^3·\sin \left(-3x\right)-3x^4·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{35}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,3}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-3+\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$