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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{2 x} + (5 x - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 e^{2 x} + (5 x - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 e^{2 x} + 2 (5 x - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (5 + 10 x - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (10 x + 3)$

= $(10 x + 3) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{2} + 3} \cdot 6 x$

= $6 \cdot e^{3 x^{2} + 3} x$

= $6 x e^{3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x + 1} + x^{2} \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x + 1} + x^{2} \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 7$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 7$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 3,2) + 7$

= $7 + (1,6 x - 4 + 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $7 + (1,6 x - 0,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten