$\text{f(x)}=$ $e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x-5}-\frac{1}{2}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x-5}·\left(-3\right)-\frac{5}{2}{x}^4$

= $9e^{-3x-5}-\frac{5}{2}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+2\right)·e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x-5}+\left(3x+2\right)·e^{3x-5}·3$

= $3e^{3x-5}+\left(3x+2\right)·3e^{3x-5}$

= $3e^{3x-5}+3\left(3x+2\right)·e^{3x-5}$

= $e^{3x-5}·\left(9x+6+3\right)$

= $e^{3x-5}·\left(9x+9\right)$

= $\left(9x+9\right)·e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x-2}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x-2}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(3x-5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(3x-5\right)}^2·\left(3+0\right)$

= $-9{\left(3x-5\right)}^2·\left(3\right)$

= $-27{\left(3x-5\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$