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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{8}{7} e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{8}{7} e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{7} e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{4}{3} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x - 1} + x^{4} \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 1} + x^{4} \cdot (- e^{- x - 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 1} - x^{4} \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} + 1} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 1} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 1} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{2 x} + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{2 x} + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (e^{2 x} + 1) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $4 (e^{2 x} + 1) \cdot (2 e^{2 x})$

= $8 (e^{2 x} + 1) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 16,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 13,8)$

= $(- 2,4 x - 13,8) \cdot e^{- 0,8 x}$