$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $-\frac{18}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)+e^{2x+4}-4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)+e^{2x+4}·2-4\cdot \cos \left(x\right)$

= $\sin \left(x\right)+2e^{2x+4}-4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^2-5}·\left(-6x\right)$

= $12·e^{-3x^2-5}x$

= $12x{e}^{-3x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{7x}·7$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(3x+9\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $3\cdot \cos \left(-2x\right)+\left(3x+9\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-2x\right)+2\left(3x+9\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$