$\text{f(x)}=$ $2+\frac{3}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{9}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)+e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+e^{x-2}·1$

= $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3-2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3-2x^2}·\left(-15x^2-4x\right)$

= $\frac{-15x^2-4x}{-5x^3-2x^2}$

= $\frac{-1·\left(15x+4\right)}{-x·\left(5x+2\right)}$

= $\frac{-\left(15x+4\right)}{-x·\left(5x+2\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-8\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x-8\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x-8\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x-8\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{27,598}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x-9\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{1,5}x+3-9\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{1,5}x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$