$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x+5}+2\sqrt[3]{x}$

= $-e^{-x+5}+2x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-e^{-x+5}·\left(-1\right)+\frac{2}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x+5}·\left(-1\right)+\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

= $e^{-x+5}+\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-9x^2+6x\right)·e^{2x}+\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{2x}·2$

= $\left(-9x^2+6x\right)·e^{2x}+\left(-3x^3+3x^2\right)·2e^{2x}$

= $\left(-9x^2+6x\right)·e^{2x}+2\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(-9x^2+6x+\left(-6x^3+6x^2\right))$

= $e^{2x}·\left(-6x^3-3x^2+6x\right)$

= $\left(-6x^3-3x^2+6x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{7x}·7$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x-4\right)}^2}$

= $-2{\left(-2x-4\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $4{\left(-2x-4\right)}^{-3}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{{\left(-2x-4\right)}^3}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{4}{{\left(-2x-4\right)}^3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{8}{{\left(-2x-4\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{47}·\left(-e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

= 0

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,1}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{2,1}x-\mathrm{6,3}+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{2,1}x-\mathrm{3,3}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,1}x-\mathrm{3,3}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$