$\text{f(x)}=$ $2+e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot \sin \left(x\right)+2e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(x\right)+2e^{x+3}·1$

= $-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(x\right)+2e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+4}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+4}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+8\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+8\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2+8\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(4-\mathrm{2,8}x+\mathrm{11,2}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{2,8}x+4+\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $3+\left(-\mathrm{2,8}x+\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$