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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 4} + \frac{1}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 4} + \frac{1}{x^{3}}$

= $- 3 e^{x + 4} + x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 e^{x + 4} \cdot 1 - 3 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 4} \cdot 1 - \frac{3}{x^{4}}$

= $- 3 e^{x + 4} - \frac{3}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $6 e^{2 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

= $\frac{2 (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (2 x^{3} + 5) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (2 x^{3} + 5) \cdot (6 x^{2})$

= $- 18 \cos (2 x^{3} + 5) x^{2}$

= $- 18 x^{2} \cdot \cos (2 x^{3} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,05 x}$

f'(x) = $- e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,05}^{64} \cdot (- e^{1,05 x})$

≈ $- 22,705 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 1,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 0,4)$

= $(- 0,8 x + 0,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten