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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 1} - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 1} - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)$

= $- 6 e^{- 3 x + 1} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 5 x} \cdot (- 8 x - 5)$

= $\frac{- 8 x - 5}{- 4 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (2 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (2 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (2 x^{3} + 3) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \sin (2 x^{3} + 3) \cdot (6 x^{2})$

= $18 \sin (2 x^{3} + 3) x^{2}$

= $18 x^{2} \cdot \sin (2 x^{3} + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 5$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 8) - 5$

= $- 5 + (- 2 x + 4 - 8) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 5 + (- 2 x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$