$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x-2}-\frac{5}{3}{x}^2+2\sqrt{x}$

= $2e^{3x-2}-\frac{5}{3}{x}^2+2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2e^{3x-2}·3-\frac{10}{3}x+x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x-2}·3-\frac{10}{3}x+\frac{1}{\sqrt{x}}$

= $6e^{3x-2}-\frac{10}{3}x+\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5+4\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+0\right)·e^x+\left(-3x^5+4\right)·e^x$

= $\left(-3x^5+4\right)·e^x-15x^4·e^x$

= $e^x·\left(-3x^5+4-15x^4\right)$

= $e^x·\left(-3x^5-15x^4+4\right)$

= $\left(-3x^5-15x^4+4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2+5x}·\left(4x+5\right)$

= $\frac{4x+5}{2x^2+5x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $12{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-12{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x-\mathrm{9,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$