$\text{f(x)}=$ $4+\frac{5}{7}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^x$

= $\frac{5}{7}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{6}{x^3}+\frac{1}{3}{x}^5+3e^{2x-1}$

= $-6x^{-3}+\frac{1}{3}{x}^5+3e^{2x-1}$

=> f'(x) = $18x^{-4}+\frac{5}{3}{x}^4+3e^{2x-1}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{18}{x^4}+\frac{5}{3}{x}^4+3e^{2x-1}·2$

= $\frac{18}{x^4}+\frac{5}{3}{x}^4+6e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+7\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(3x+7\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $3\cdot \cos \left(3x\right)+\left(3x+7\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(3x\right)-3\left(3x+7\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$