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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} - 10 x) \cdot e^{- 3 x - 2} + (3 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{3} - 10 x) \cdot e^{- 3 x - 2} + (3 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $(12 x^{3} - 10 x) \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 (3 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (12 x^{3} - 10 x + (- 9 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 9 x^{4} + 12 x^{3} + 15 x^{2} - 10 x)$

= $(- 9 x^{4} + 12 x^{3} + 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 2 + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 1)$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 4$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 4$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x + 4,8 - 1) + 4$

= $4 + (0,8 x + 4,8 - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $4 + (0,8 x + 3,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten