$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{12}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x-1}+x^4·e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x-1}+x^4·\left(-3e^{-3x-1}\right)$

= $4x^3·e^{-3x-1}-3x^4·e^{-3x-1}$

= $e^{-3x-1}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-4}·\left(-10x+0\right)$

= $\frac{1}{-5x^2-4}·\left(-10x\right)$

= $-10\frac{x}{-5x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+4\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(2x^2+4\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $4x·\sin \left(2x\right)+\left(2x^2+4\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $4x·\sin \left(2x\right)+2\left(2x^2+4\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{76}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,02}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-4+\mathrm{1,2}x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,2}x-10\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-10\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$