$\text{f(x)}=$ $5-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2+1\right)·e^{2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+0\right)·e^{2x-4}+\left(-4x^2+1\right)·e^{2x-4}·2$

= $-8x·e^{2x-4}+\left(-4x^2+1\right)·2e^{2x-4}$

= $-8x·e^{2x-4}+2\left(-4x^2+1\right)·e^{2x-4}$

= $e^{2x-4}·\left(-8x^2+2-8x\right)$

= $e^{2x-4}·\left(-8x^2-8x+2\right)$

= $\left(-8x^2-8x+2\right)·e^{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·\left(-5x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(-5x-1\right)+e^{2x}·\left(-5+0\right)$

= $2·e^{2x}·\left(-5x-1\right)+e^{2x}·\left(-5\right)$

= $2·e^{2x}·\left(-5x-1\right)-5e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-5-10x-2\right)$

= $e^{2x}·\left(-10x-7\right)$

= $\left(-10x-7\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-3x^2+2}$

= $-3{\left(-3x^2+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-3x^2+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-3x^2+2}}·\left(-6x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-3x^2+2}}·\left(-6x\right)$

= $9\frac{x}{\sqrt{-3x^2+2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+8\right)$

= $\left(2x+8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$