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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{2} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{2} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{5} \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 1} + x^{2} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 1} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 2) - 4$

= $- 4 + (- 0,5 x + 1 + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 + (- 0,5 x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten