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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{x^{2} + 2} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{x^{2} + 2} x$

= $- 2 x e^{x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 3 x} \cdot (6 x + 3)$

= $\frac{6 x + 3}{3 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 4)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2)$

= $- 4 \cdot \cos (2 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 2,3 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $2,645 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $2,645 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,0418 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0418 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,498 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{49} \cdot 2 e^{- 1,15 x}$

≈ $- 1884,622 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x - 1)$

= $(- 0,6 x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$