$\text{f(x)}=$ $5+3e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^4-3\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x^3+0\right)·e^{-2x+5}+\left(-x^4-3\right)·e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-4x^3·e^{-2x+5}+\left(-x^4-3\right)·\left(-2e^{-2x+5}\right)$

= $-4x^3·e^{-2x+5}-2\left(-x^4-3\right)·e^{-2x+5}$

= $e^{-2x+5}·\left(2x^4+6-4x^3\right)$

= $e^{-2x+5}·\left(2x^4-4x^3+6\right)$

= $\left(2x^4-4x^3+6\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·\left(4x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(4x^2-1\right)+e^{2x}·\left(8x+0\right)$

= $2·e^{2x}·\left(4x^2-1\right)+e^{2x}·\left(8x\right)$

= $2·e^{2x}·\left(4x^2-1\right)+8·e^{2x}x$

= $e^{2x}·\left(8x^2-2+8x\right)$

= $e^{2x}·\left(8x^2+8x-2\right)$

= $\left(8x^2+8x-2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{2x}·2$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2-7\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2-7\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2-7\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2-21+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x-21\right)$

= $\left(3x^2+2x-21\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x+\mathrm{9,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{5,6}\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$