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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 2} + x^{4} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 2} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 15 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 15 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 8 x^{4} + (- 15 x^{4} - 16 x^{3}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 23 x^{4} - 16 x^{3})$

= $(- 6 x^{5} - 23 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{x} \cdot 1$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (3 x - 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 12) + 5$

= $5 + (2,4 x - 3 + 12) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (2,4 x + 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten