$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{16}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $4\cdot \cos \left(x\right)-4e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-4x}·\left(-4x-4\right)$

= $\frac{-4x-4}{-2x^2-4x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\cos \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\cos \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{3}}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\cos \left(x^3\right)+\sqrt[3]{x}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $\frac{1}{3}\frac{\cos \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\cos \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-3\sqrt[3]{x}\sin \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{3}\frac{\cos \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^7·\sin \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{0,6}x+1+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $6+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$