$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^5+e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2}{x}^4+e^{2x+3}·2$

= $-\frac{5}{2}{x}^4+2e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+2\right)·e^{-x}+\left(-4x^2+2x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-8x+2\right)·e^{-x}+\left(-4x^2+2x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-8x+2\right)·e^{-x}-\left(-4x^2+2x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(4x^2-2x-8x+2\right)$

= $e^{-x}·\left(4x^2-10x+2\right)$

= $\left(4x^2-10x+2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-3x}·\left(-3x^2-3\right)$

= $\frac{-3x^2-3}{-x^3-3x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(e^x-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(e^x-2\right)}^2·\left(e^x+0\right)$

= $3{\left(e^x-2\right)}^2·\left(e^x\right)$

= $3{\left(e^x-2\right)}^2·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x+\mathrm{9,6}\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{3,2}x+4+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$