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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{8} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{x - 1} + (3 x - 1) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $3 e^{x - 1} + (3 x - 1) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (3 + 3 x - 1)$

= $e^{x - 1} \cdot (3 x + 2)$

= $(3 x + 2) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{4} - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{4} - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 (5 x^{4} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 6 + 20 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 20 x^{3} + 6)$

= $(- 10 x^{4} + 20 x^{3} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 4) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 4) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{40} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $267,864 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 1,8) - 3$

= $- 3 + (- 0,3 x + 3 + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (- 0,3 x + 4,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten