$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^5+e^{2x}·5x^4$

= $2·e^{2x}{x}^5+5·e^{2x}{x}^4$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+5x}·\left(-3x^2+5\right)$

= $\frac{-3x^2+5}{-x^3+5x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^x-1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(e^x-1\right)}^4·\left(e^x+0\right)$

= $-5{\left(e^x-1\right)}^4·\left(e^x\right)$

= $-5{\left(e^x-1\right)}^4·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-3+\mathrm{2,1}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,1}x+\mathrm{5,4}\right)$

= $\left(\mathrm{2,1}x+\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$