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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{11}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x} - 2 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x} - 2 e^{- 3 x - 1}$

= $3 x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- 3 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}} - 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{x}} + 6 e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (4 x^{3} - 4) + e^{- 3 x} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} - 4) + e^{- 3 x} \cdot (12 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} - 4) + 12 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 12 + 12 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 12)$

= $(- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x + 8) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (3 x) + (3 x + 8) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x + 8) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 3,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x + 5,6)$

= $(- 1,2 x + 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten