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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{9}{7} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{9}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{7} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{45}{49} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{3 x} + (4 x - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 e^{3 x} + (4 x - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 e^{3 x} + 3 (4 x - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (4 + 12 x - 9)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x - 5)$

= $(12 x - 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 2) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 2) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} + 2) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $36,984 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 2,6)$

= $(0,9 x + 2,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten