$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)-e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)-e^{3x+3}·3$

= $3\cdot \cos \left(x\right)-3e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^3+3}·\left(-9x^2\right)$

= $-27·e^{-3x^3+3}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{-3x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2-5x}·\left(4x-5\right)$

= $\frac{4x-5}{2x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2+2\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2+2\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2+2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+4+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x+4\right)$

= $\left(2x^2+2x+4\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(1-\mathrm{0,7}x-\mathrm{2,1}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{0,7}x+1-\mathrm{2,1}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{0,7}x-\mathrm{1,1}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$