$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{18}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-3e^{3x+1}·3$

= $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-9e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^2+4}·6x$

= $-18·e^{3x^2+4}x$

= $-18x{e}^{3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3x}·3$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{-3x^2+4}$

= $3{\left(-3x^2+4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(-3x^2+4\right)}^{-2}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-3x^2+4\right)}^2}·\left(-6x+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-3x^2+4\right)}^2}·\left(-6x\right)$

= $18\frac{x}{{\left(-3x^2+4\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-6\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{1,2}x+2-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{1,2}x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$