$\text{f(x)}=$ $-4+e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4x\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+4\right)·e^{-4x+3}+\left(x^2+4x\right)·e^{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $\left(2x+4\right)·e^{-4x+3}+\left(x^2+4x\right)·\left(-4e^{-4x+3}\right)$

= $\left(2x+4\right)·e^{-4x+3}-4\left(x^2+4x\right)·e^{-4x+3}$

= $e^{-4x+3}·\left(-4x^2-16x+2x+4\right)$

= $e^{-4x+3}·\left(-4x^2-14x+4\right)$

= $\left(-4x^2-14x+4\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{5x}·5$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\cos \left(2x\right)+x^4·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $4x^3·\cos \left(2x\right)+x^4·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $4x^3·\cos \left(2x\right)-2x^4·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{3,45}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,45}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{3,9675}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,9675}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{4,5626}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,5626}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{5,247}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{46}·3e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{1858,754}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{2,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$