$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^2+e^{3x}·2x$

= $3·e^{3x}{x}^2+2·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4+3x^2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3+6x\right)·e^x+\left(5x^4+3x^2\right)·e^x$

= $e^x·(5x^4+3x^2+\left(20x^3+6x\right))$

= $e^x·\left(5x^4+20x^3+3x^2+6x\right)$

= $\left(5x^4+20x^3+3x^2+6x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+x^2}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\frac{-3x^2+2x}{-x^3+x^2}$

= $\frac{-1·\left(3x-2\right)}{-x·\left(x-1\right)}$

= $\frac{-\left(3x-2\right)}{-x·\left(x-1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-3x^2-4}$

= $-2{\left(-3x^2-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-3x^2-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-3x^2-4}}·\left(-6x+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-3x^2-4}}·\left(-6x\right)$

= $6\frac{x}{\sqrt{-3x^2-4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{5,5}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,5}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{6,05}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,05}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{6,655}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{6,655}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{7,3205}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{61}·\left(-5e^{-\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $\mathrm{1674,649}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$