$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $-\frac{8}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x+3}+x^3·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x+3}+x^3·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $3x^2·e^{-x+3}-x^3·e^{-x+3}$

= $e^{-x+3}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2+4}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2+4}x$

= $6x{e}^{-x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{3x}+\sqrt{x}·e^{3x}·3$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3e^{3x}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-4+\mathrm{2,8}x-\mathrm{8,4}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{2,8}x-4-\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-3+\left(\mathrm{2,8}x-\mathrm{12,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$