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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 2} - \frac{3}{2} x^{3} + 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 2} - \frac{3}{2} x^{3} + 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2) - \frac{9}{2} x^{2} + 10 x$

= $- 6 e^{- 2 x + 2} - \frac{9}{2} x^{2} + 10 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{3} - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} + 3 - 12 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 12 x^{2} + 3)$

= $(12 x^{3} - 12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 2 x} \cdot (8 x - 2)$

= $\frac{8 x - 2}{4 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${1,15}^{41} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 308,043 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 10,5) + 4$

= $4 + (1,5 x - 3 + 10,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (1,5 x + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten