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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{8}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{2} + 3 x) + e^{2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (x^{2} + 3 x) + e^{2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 6 x + 2 x + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 8 x + 3)$

= $(2 x^{2} + 8 x + 3) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 16 x^{3} + 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{4} + 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 16 x^{3} + 5) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{4} - 10 x - 16 x^{3} + 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{4} - 16 x^{3} - 10 x + 5)$

= $(8 x^{4} - 16 x^{3} - 10 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(2 x + 3)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $9 {(2 x + 3)}^{2} \cdot (2)$

= $18 {(2 x + 3)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${(- 0,85)}^{35} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 1,8)$

= $(- 0,3 x + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten