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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 3 x) \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 3 x) \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x - 4} + (- 4 x^{5} + 3 x) \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $(- 20 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x - 4} + (- 4 x^{5} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $(- 20 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x - 4} + 2 (- 4 x^{5} + 3 x) \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (- 8 x^{5} + 6 x - 20 x^{4} + 3)$

= $e^{2 x - 4} \cdot (- 8 x^{5} - 20 x^{4} + 6 x + 3)$

= $(- 8 x^{5} - 20 x^{4} + 6 x + 3) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 2} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} + 2} x$

= $12 x e^{3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 4 x} \cdot (6 x + 4)$

= $\frac{6 x + 4}{3 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x^{2} + 3) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot \sin (- 2 x) + (2 x^{2} + 3) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $4 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x^{2} + 3) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 21)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 x + 16)$

= $(3 x + 16) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten