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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{5} + 3 e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{5} + 3 e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{40}{3} x^{4} + 3 e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{40}{3} x^{4} - 3 e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 3}{- 2 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(3 x + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(3 x + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(3 x + 4)}^{3} \cdot (3 + 0)$

= $8 {(3 x + 4)}^{3} \cdot (3)$

= $24 {(3 x + 4)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{49} \cdot (- 3 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,017 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x + 14)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x + 19)$

= $(- 3,5 x + 19) \cdot e^{- 0,7 x}$