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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 0) \cdot e^{3 x + 1} + (2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $10 x^{4} \cdot e^{3 x + 1} + (2 x^{5} - 1) \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $10 x^{4} \cdot e^{3 x + 1} + 3 (2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (6 x^{5} - 3 + 10 x^{4})$

= $e^{3 x + 1} \cdot (6 x^{5} + 10 x^{4} - 3)$

= $(6 x^{5} + 10 x^{4} - 3) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{- 3 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{- 3 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- 3 (3 x - 2)}{- 3 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 24 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${1,05}^{80} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $49,561 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x + 10,5) - 9$

= $- 9 + (- 3,5 x + 5 + 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 3,5 x + 15,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten