$\text{f(x)}=$ $-3-e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $-\frac{6}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-2x^2\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-4x\right)·e^{-4x+2}+\left(2x^4-2x^2\right)·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $\left(8x^3-4x\right)·e^{-4x+2}+\left(2x^4-2x^2\right)·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $\left(8x^3-4x\right)·e^{-4x+2}-4\left(2x^4-2x^2\right)·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·(-8x^4+8x^2+\left(8x^3-4x\right))$

= $e^{-4x+2}·\left(-8x^4+8x^3+8x^2-4x\right)$

= $\left(-8x^4+8x^3+8x^2-4x\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{x}·1$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+2\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+2\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2+2\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,044}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{32}·2e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,011}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}\right)+5$

= $5+\left(\mathrm{1,2}x-2+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $5+\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$