$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{4}{5}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{\frac{11}{9}x}·\frac{11}{9}$

= $\frac{44}{45}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)+2e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)+2e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $\sin \left(x\right)-4e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x-2}·1$

= $-3e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{7x}·7$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·\sin \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{3}{2}}·\sin \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^2\right)+x^{\frac{3}{2}}·\cos \left(x^2\right)·2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(x^2\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(x^2\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(x^2\right)+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(x^2\right)+2{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{78}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{44,954}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(4-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{6,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{6,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$