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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{x - 3} + (- 4 x + 5) \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $- 4 e^{x - 3} + (- 4 x + 5) \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (- 4 - 4 x + 5)$

= $e^{x - 3} \cdot (- 4 x + 1)$

= $(- 4 x + 1) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 1} \cdot 2 x$

= $- 6 \cdot e^{x^{2} - 1} x$

= $- 6 x e^{x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- x^{2} + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- x^{2} + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (- 2 x + 0)$

= $9 {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (- 2 x)$

= $- 18 {(- x^{2} + 5)}^{2} x$

= $- 18 x {(- x^{2} + 5)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${1,15}^{32} \cdot (- 3 e^{1,15 x})$

≈ $- 262,695 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x + 15) - 2$

= $- 2 + (- 3 x + 5 + 15) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (- 3 x + 20) \cdot e^{- 0,6 x}$