$\text{f(x)}=$ $4+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x-1}+x^5·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x-1}+x^5·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $5x^4·e^{-4x-1}-4x^5·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3+4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3+4x^2}·\left(-9x^2+8x\right)$

= $\frac{-9x^2+8x}{-3x^3+4x^2}$

= $\frac{-1·\left(9x-8\right)}{-x·\left(3x-4\right)}$

= $\frac{-\left(9x-8\right)}{-x·\left(3x-4\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-3x-1\right)·\left(-3+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-3x-1\right)·\left(-3\right)$

= $6\cdot \cos \left(-3x-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{4,6}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,6}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{5,29}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{5,29}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{6,0835}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{6,0835}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{6,996}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{47}·4e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{2850,089}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-3$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-3$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x+8\right)-3$

= $-3+\left(4x-5+8\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-3+\left(4x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$