$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{10}{9}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{10}{9}{e}^{\frac{9}{7}x}·\frac{9}{7}$

= $\frac{10}{7}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x-5}+x^3·e^{x-5}·1$

= $3x^2·e^{x-5}+x^3·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(2x-2\right)+e^{-x}·\left(2+0\right)$

= $-e^{-x}\left(2x-2\right)+e^{-x}·\left(2\right)$

= $-e^{-x}\left(2x-2\right)+2e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(2-2x+2\right)$

= $e^{-x}·\left(-2x+4\right)$

= $\left(-2x+4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3+1}·\left(9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{3x^3+1}·\left(9x^2\right)$

= $9\frac{x^2}{3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-4+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-4\right)$

= $\left(-2x^2+2x-4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{7,6044}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{7,6044}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{8,745}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{33}·\left(-5e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $\mathrm{503,499}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,6}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{0,8}x-4+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-4+\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$