$\text{f(x)}=$ $3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x+4\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-4x+5}+\left(-x+4\right)·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $-e^{-4x+5}+\left(-x+4\right)·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $-e^{-4x+5}-4\left(-x+4\right)·e^{-4x+5}$

= $e^{-4x+5}·\left(-1+4x-16\right)$

= $e^{-4x+5}·\left(4x-17\right)$

= $\left(4x-17\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^2+5}·4x$

= $8·e^{2x^2+5}x$

= $8x{e}^{2x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x-3}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x-3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x+10\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+12\right)$

= $\left(-4x+12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{66}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,034}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(3-\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$