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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} + (- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $(- 5 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} + (- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $(- 5 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} + 2 (- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 2 x^{5} + 10 x^{3} + (- 5 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 2 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(- 2 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${0,85}^{42} \cdot 5 e^{0,85 x}$

≈ $0,005 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 1)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x - 6)$

= $(x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten