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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 2) \cdot e^{5 x + 3} + (4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $(12 x^{2} + 2) \cdot e^{5 x + 3} + (4 x^{3} + 2 x) \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $(12 x^{2} + 2) \cdot e^{5 x + 3} + 5 (4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (20 x^{3} + 10 x + 12 x^{2} + 2)$

= $e^{5 x + 3} \cdot (20 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x + 2)$

= $(20 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x + 2) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (4 x^{2} - 5) + e^{- 2 x} \cdot (8 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5) + e^{- 2 x} \cdot (8 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5) + 8 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{2} + 10 + 8 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{2} + 8 x + 10)$

= $(- 8 x^{2} + 8 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 1} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 1} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 18)$

= $(- 9 x - 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 8$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 8$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 9,6) + 8$

= $8 + (- 2,4 x + 4 - 9,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $8 + (- 2,4 x - 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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