$\text{f(x)}=$ $1-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}\left(x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(x^2-2x\right)+e^{-x}·\left(2x-2\right)$

= $-e^{-x}\left(x^2-2x\right)+e^{-x}\left(2x-2\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x+2x-2\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^2+4x-2\right)$

= $\left(-x^2+4x-2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x-4}·3$

= $3e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{6x}·6$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-3\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(3x-3\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)+\left(3x-3\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)-3\left(3x-3\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,629}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{68}·2e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,061}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{6,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{6,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$