Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} + (x^{3} + x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} + (x^{3} + x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} + 2 (x^{3} + x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 2 x + 3 x^{2} + 1)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1)$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 16)$

= $(- 6 x - 16) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,1}^{64} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $445,792 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 0,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 0,4)$

= $(- 0,3 x + 0,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten