$\text{f(x)}=$ $4+3e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{21}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x-2}+x^3·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x-2}+x^3·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $3x^2·e^{-2x-2}-2x^3·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^3+1}·9x^2$

= $-27·e^{3x^3+1}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3-4x}·\left(-15x^2-4\right)$

= $\frac{-15x^2-4}{-5x^3-4x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{2x-2}$

= $-3{\left(2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(2x-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x-2}}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x-2}}·\left(2\right)$

= $-\frac{3}{\sqrt{2x-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{35}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{0,6}x+1+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$