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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2} + 2 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2} + 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) - 2 \cdot \sin (x)$

= $- 6 e^{- 3 x + 2} - 2 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(x^{2} + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(x^{2} + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(x^{2} + 4)}^{4} \cdot (2 x + 0)$

= $5 {(x^{2} + 4)}^{4} \cdot (2 x)$

= $10 {(x^{2} + 4)}^{4} x$

= $10 x {(x^{2} + 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{78} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $44,954 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 3$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x + 2,4) + 3$

= $3 + (- 0,8 x + 4 + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $3 + (- 0,8 x + 6,4) \cdot e^{- 0,2 x}$