$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{2}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-3}-2\cdot \cos \left(x\right)+2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-3}·\left(-3\right)+2\cdot \sin \left(x\right)+2\cdot \cos \left(x\right)$

= $3e^{-3x-3}+2\cdot \sin \left(x\right)+2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x-5}·2$

= $-4e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(3x-2\right)}^2}$

= $-3{\left(3x-2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $6{\left(3x-2\right)}^{-3}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{{\left(3x-2\right)}^3}·\left(3+0\right)$

= $\frac{6}{{\left(3x-2\right)}^3}·\left(3\right)$

= $\frac{18}{{\left(3x-2\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x+\mathrm{12,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x+\mathrm{8,8}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x+\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$