$\text{f(x)}=$ $e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x-5}+x^4·e^{x-5}·1$

= $4x^3·e^{x-5}+x^4·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x-5}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{x-5}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{5x+1}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{5x+1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{5x+1}+x^{\frac{1}{2}}·e^{5x+1}·5$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{5x+1}+\sqrt{x}·e^{5x+1}·5$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{5x+1}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·5e^{5x+1}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{5x+1}}{\sqrt{x}}+5\sqrt{x}·e^{5x+1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(4-\mathrm{3,6}x+\mathrm{14,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{18,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{18,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$