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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 x^{3} - e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 x^{3} - e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 18 x^{2} - e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- 18 x^{2} + 2 e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 8 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 16 x^{3} + 8 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 16 x^{3} + 8 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{4} + 12 x^{2} + (- 16 x^{3} + 8 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{4} - 16 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x)$

= $(- 12 x^{4} - 16 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$

= $- {(- 2 x + 5)}^{- 2}$

=> f'(x) = $2 {(- 2 x + 5)}^{- 3} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{3}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{{(- 2 x + 5)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x + 3,8)$

= $(0,8 x + 3,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten