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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 1} + (2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $(8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 1} + (2 x^{4} - 3 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $(8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 (2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 6 x^{4} + 9 x + 8 x^{3} - 3)$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 6 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x - 3)$

= $(- 6 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - x} \cdot (6 x - 1)$

= $\frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 8 + 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 8)$

= $(4 x^{2} + 4 x + 8) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 1$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 1$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 14,7) - 1$

= $- 1 + (- 2,1 x + 3 - 14,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 1 + (- 2,1 x - 11,7) \cdot e^{- 0,7 x}$