$\text{f(x)}=$ $2+\frac{1}{2}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{2}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{2}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-5x-3}+x^3·e^{-5x-3}·\left(-5\right)$

= $3x^2·e^{-5x-3}+x^3·\left(-5e^{-5x-3}\right)$

= $3x^2·e^{-5x-3}-5x^3·e^{-5x-3}$

= $e^{-5x-3}·\left(3x^2-5x^3\right)$

= $e^{-5x-3}·\left(-5x^3+3x^2\right)$

= $\left(-5x^3+3x^2\right)·e^{-5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x^3+5}·\left(-6x^2\right)$

= $6·e^{-2x^3+5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+2}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+2}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+2}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $6\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $6\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{60}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{304,482}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-1$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-1$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}-2\right)-1$

= $-1+\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-1+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$