$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-5x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-5x+5}+x^2·e^{-5x+5}·\left(-5\right)$

= $2x·e^{-5x+5}+x^2·\left(-5e^{-5x+5}\right)$

= $2x·e^{-5x+5}-5x^2·e^{-5x+5}$

= $e^{-5x+5}·\left(-5x^2+2x\right)$

= $\left(-5x^2+2x\right)·e^{-5x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x^2+3}·\left(-2x\right)$

= $-4·e^{-x^2+3}x$

= $-4x{e}^{-x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x}·5$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+8\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+8\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+8\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+16\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+18\right)$

= $\left(4x+18\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-7$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-7$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3-\mathrm{1,8}x+\mathrm{12,6}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{1,8}x+3+\mathrm{12,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{15,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$