$\text{f(x)}=$ $1+3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4+4x\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3+4\right)·e^{2x}+\left(5x^4+4x\right)·e^{2x}·2$

= $\left(20x^3+4\right)·e^{2x}+\left(5x^4+4x\right)·2e^{2x}$

= $\left(20x^3+4\right)·e^{2x}+2\left(5x^4+4x\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(10x^4+8x+20x^3+4\right)$

= $e^{2x}·\left(10x^4+20x^3+8x+4\right)$

= $\left(10x^4+20x^3+8x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x}·1$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(-2x^3+1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(-2x^3+1\right)}^4·\left(-6x^2+0\right)$

= $15{\left(-2x^3+1\right)}^4·\left(-6x^2\right)$

= $-90{\left(-2x^3+1\right)}^4{x}^2$

= $-90x^2{\left(-2x^3+1\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{117,391}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$