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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{12} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{2} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 4 x} \cdot (6 x^{2} + 4)$

= $\frac{6 x^{2} + 4}{2 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{3 x} + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{3 x} + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 10 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 30 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 7$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 2,8) - 7$

= $- 7 + (2,8 x - 4 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 7 + (2,8 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$