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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{8}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{3} + e^{- 2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 2 x}{- x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x + 2)}{- x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{- (3 x + 2)}{- x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{2} + 2}$

= $- 3 {(2 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(2 x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} + 2}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} + 2}} \cdot (4 x)$

= $- 6 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 1,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 4,2)$

= $(- 1,2 x + 4,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten