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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- x + 5} + (2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $(8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- x + 5} + (2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot (- e^{- x + 5})$

= $(8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- x + 5} - (2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$

= $e^{- x + 5} \cdot (- 2 x^{4} - 4 x^{2} + (8 x^{3} + 8 x))$

= $e^{- x + 5} \cdot (- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x)$

= $(- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $2 \cdot e^{- x^{2} + 3} x$

= $2 x e^{- x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 2 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x + 2)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 6$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 6$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 22,5) - 6$

= $- 6 + (4,5 x - 5 - 22,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 6 + (4,5 x - 27,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten