$\text{f(x)}=$ $-2-3e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{7}{3}{x}^5-3e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{35}{3}{x}^4-3e^{2x+2}·2$

= $-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{35}{3}{x}^4-6e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+0\right)·e^{-2x}+\left(-4x^2+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-8x·e^{-2x}+\left(-4x^2+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-8x·e^{-2x}-2\left(-4x^2+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(8x^2-4-8x\right)$

= $e^{-2x}·\left(8x^2-8x-4\right)$

= $\left(8x^2-8x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{6x}·6$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+8\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x+8\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\cos \left(x^2\right)+\left(x+8\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\cos \left(x^2\right)-2\left(x+8\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{30}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{66,212}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-9$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-9$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(5-\mathrm{2,5}x+\mathrm{12,5}\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{2,5}x+5+\mathrm{12,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{17,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$