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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{7}{16} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{7}{3} \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{7}{3} \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} \cdot \cos (x) - 6 e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 4 x - 5} + (3 x - 2) \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $3 e^{- 4 x - 5} + (3 x - 2) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $3 e^{- 4 x - 5} - 4 (3 x - 2) \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (3 - 12 x + 8)$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 12 x + 11)$

= $(- 12 x + 11) \cdot e^{- 4 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x} \cdot (- 4 x + 2)$

= $\frac{- 4 x + 2}{- 2 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} - 1}$

= $- {(- 2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x^{3} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} - 1}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} - 1}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 2 x^{3} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,9}^{60} \cdot (- 3 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 4,8) + 9$

= $9 + (- 1,6 x + 2 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $9 + (- 1,6 x + 6,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten