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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{8}{9} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{8}{9} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{32}{45} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 1} + x^{2} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 1} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 20 x^{3} + 8 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 20 x^{3} + 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 8 x^{2} + (- 20 x^{3} + 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} - 20 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x)$

= $(- 10 x^{4} - 20 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x - 12)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x - 10)$

= $(6 x - 10) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 3,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x - 2,5)$

= $(- 0,7 x - 2,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten