$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x+4}+x^5·e^{2x+4}·2$

= $5x^4·e^{2x+4}+x^5·2e^{2x+4}$

= $5x^4·e^{2x+4}+2x^5·e^{2x+4}$

= $e^{2x+4}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x^3+5}·\left(-9x^2\right)$

= $-18·e^{-3x^3+5}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{-3x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2+x}·\left(10x+1\right)$

= $\frac{10x+1}{5x^2+x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-6\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(2x-6\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(2x-6\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(2x-6\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$