$\text{f(x)}=$ $5+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+4\right)·e^{-5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-5x-4}+\left(-2x+4\right)·e^{-5x-4}·\left(-5\right)$

= $-2e^{-5x-4}+\left(-2x+4\right)·\left(-5e^{-5x-4}\right)$

= $-2e^{-5x-4}-5\left(-2x+4\right)·e^{-5x-4}$

= $e^{-5x-4}·\left(-2+10x-20\right)$

= $e^{-5x-4}·\left(10x-22\right)$

= $\left(10x-22\right)·e^{-5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+5x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+5\right)·e^{-2x}+\left(-x^2+5x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-2x+5\right)·e^{-2x}+\left(-x^2+5x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-2x+5\right)·e^{-2x}-2\left(-x^2+5x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2x^2-10x-2x+5\right)$

= $e^{-2x}·\left(2x^2-12x+5\right)$

= $\left(2x^2-12x+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+x}·\left(-3x^2+1\right)$

= $\frac{-3x^2+1}{-x^3+x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $15{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $15{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^4·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(3-\mathrm{2,1}x-\mathrm{8,4}\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{2,1}x+3-\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{2,1}x-\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$