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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 2} + (2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $(6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 2} + (2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $(6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 2} + 2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (4 x^{3} - 6 x^{2} + (6 x^{2} - 6 x))$

= $e^{2 x + 2} \cdot (4 x^{3} + 0 - 6 x)$

= $e^{2 x + 2} \cdot (4 x^{3} - 6 x)$

= $(4 x^{3} - 6 x) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x} \cdot 1$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 9)$

= $(- 1,4 x + 9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten