Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{2}{3} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{2}{3} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{10}{21} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 3} + x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 3} + x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) + 5 x^{4}$

= $- 3 e^{- 3 x + 3} + 5 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + x} \cdot (4 x + 1)$

= $\frac{4 x + 1}{2 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 16)$

= $(- 6 x - 16) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,9}^{45} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,009 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 4,5) - 5$

= $- 5 + (- 0,9 x + 1 - 4,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (- 0,9 x - 3,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten