$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x-5}+x^3·e^{-4x-5}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x-5}+x^3·\left(-4e^{-4x-5}\right)$

= $3x^2·e^{-4x-5}-4x^3·e^{-4x-5}$

= $e^{-4x-5}·\left(3x^2-4x^3\right)$

= $e^{-4x-5}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3-2}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3-2}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3+5}·\left(12x^2+0\right)$

= $\frac{1}{4x^3+5}·\left(12x^2\right)$

= $12\frac{x^2}{4x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-8{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-8{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{59}·\left(-e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x+7-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x+5\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$