$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{16}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^5+\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{2x+4}·2$

= $-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-4e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^3-2}·3x^2$

= $-6·e^{x^3-2}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(2x\right)+x^5·\cos \left(2x\right)·2$

= $5x^4·\sin \left(2x\right)+x^5·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $5x^4·\sin \left(2x\right)+2x^5·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-5+\mathrm{0,5}x+1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,5}x-4\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$