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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} + 6 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} + 6 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + 6 \cdot \cos (x)$

= $4 e^{- 2 x + 5} + 6 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} + e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(\sin (x) + 5)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $5 {(\sin (x) + 5)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $5 {(\sin (x) + 5)}^{4} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{72} \cdot (- 4 e^{- 1,05 x})$

≈ $- 134,181 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 5$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 5$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 2,1) - 5$

= $- 5 + (- 0,3 x + 3 + 2,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 5 + (- 0,3 x + 5,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten