$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x+1\right)·e^{4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{4x-2}+\left(4x+1\right)·e^{4x-2}·4$

= $4e^{4x-2}+\left(4x+1\right)·4e^{4x-2}$

= $4e^{4x-2}+4\left(4x+1\right)·e^{4x-2}$

= $e^{4x-2}·\left(4+16x+4\right)$

= $e^{4x-2}·\left(16x+8\right)$

= $\left(16x+8\right)·e^{4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{2x}·2$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-12+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-12\right)$

= $\left(-2x^2+2x-12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{75}·\left(-e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $\mathrm{38,833}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x+\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{3,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$