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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{3} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{2} - 9 x^{3} - 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{3} + 9 x^{2} - 15)$

= $(- 9 x^{3} + 9 x^{2} - 15) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{- x} + (- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 4 x \cdot e^{- x} + (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- e^{- x})$

= $- 4 x \cdot e^{- x} - (- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x + 2 x^{2} + 3)$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{2} - 4 x + 3)$

= $(2 x^{2} - 4 x + 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 1} + x^{2} \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 1} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 1} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x + 2 x^{2})$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${0,9}^{51} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 9$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 9$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x - 4,5 + 5) + 9$

= $9 + (- 4,5 x - 4,5 + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $9 + (- 4,5 x + 0,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten