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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 4 x + 3} + (4 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 3} + (4 x^{2} + 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 (4 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 16 x^{2} - 4 + 8 x)$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 16 x^{2} + 8 x - 4)$

= $(- 16 x^{2} + 8 x - 4) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{5} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{5} - 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 2 x^{5} - 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 10 x^{4} + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{5} - 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 10 x^{4})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{5} - 2) - 10 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{5} + 6 - 10 x^{4})$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{5} - 10 x^{4} + 6)$

= $(6 x^{5} - 10 x^{4} + 6) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 2} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} - 2} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) - 3 x^{5} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{43} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 407,387 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 7$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 7$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 6) + 7$

= $7 + (1,2 x - 3 - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $7 + (1,2 x - 9) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten