$\text{f(x)}=$ $1+\frac{1}{3}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{7}{27}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x+5}+x^2·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x+5}+x^2·\left(-3e^{-3x+5}\right)$

= $2x·e^{-3x+5}-3x^2·e^{-3x+5}$

= $e^{-3x+5}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^4+e^{-3x}·4x^3$

= $-3·e^{-3x}{x}^4+4·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5x}·5$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x^2-2}$

= $3{\left(x^2-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(x^2-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x^2-2}}·\left(2x+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{x^2-2}}·\left(2x\right)$

= $3\frac{x}{\sqrt{x^2-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{71}·\left(-4e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,105}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x-\mathrm{22,5}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{4,5}x-5-\mathrm{22,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-5+\left(\mathrm{4,5}x-\mathrm{27,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$