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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 5} + x^{2} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 5} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x + 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} + x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 10 x + 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} - 3 x - 10 x + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} - 13 x + 1)$

= $(15 x^{2} - 13 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 3 x} \cdot (2 x - 3)$

= $\frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x - 1) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x - 1) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x - 1) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 6$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 6$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 0,9) + 6$

= $6 + (- 0,9 x + 1 - 0,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $6 + (- 0,9 x + 0,1) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten