$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^3+5}·9x^2$

= $18·e^{3x^3+5}{x}^2$

= $18x^2{e}^{3x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{6x}·6$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(-5x-3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-5x-3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(-5x-3\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(-5x-3\right)·\left(-5+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(-5x-3\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(-5x-3\right)·\left(-5+0\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-5x-3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·(-\sin \left(-5x-3\right)·\left(-5\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-5x-3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·5\cdot \sin \left(-5x-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-5x-3\right)}{\sqrt{x}}+5\sqrt{x}·\sin \left(-5x-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-8$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-8$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x+5\right)-8$

= $-8+\left(x-5+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-8+x·e^{-\mathrm{0,2}x}$