$\text{f(x)}=$ $2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4-4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3-12x^2\right)·e^{-x}+\left(-2x^4-4x^3\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-8x^3-12x^2\right)·e^{-x}+\left(-2x^4-4x^3\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-8x^3-12x^2\right)·e^{-x}-\left(-2x^4-4x^3\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(2x^4+4x^3+\left(-8x^3-12x^2\right))$

= $e^{-x}·\left(2x^4-4x^3-12x^2\right)$

= $\left(2x^4-4x^3-12x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^2-2}·\left(-6x\right)$

= $12·e^{-3x^2-2}x$

= $12x{e}^{-3x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{5x}·5$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{-2x}$

= $x^{\frac{3}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{3}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{-2x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{-2x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{-2x}-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)$

= $\left(-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{5,25}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,25}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{5,7881}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,7881}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{6,0775}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{64}·\left(-5e^{\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{113,523}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-1\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$