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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 2 e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} - 2 e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 2 e^{x - 1} \cdot 1$

= $12 x^{2} - 2 e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - x^{2}) + e^{x} \cdot (- 12 x^{3} - 2 x)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - x^{2} + (- 12 x^{3} - 2 x))$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 12 x^{3} - x^{2} - 2 x)$

= $(- 3 x^{4} - 12 x^{3} - x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 2} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 2} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 14 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 14)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 14) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{67} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 26,283 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 5,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x + 6,4)$

= $(- 0,9 x + 6,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten