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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 5) \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 5) \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 0) \cdot e^{- x + 1} + (x^{3} - 5) \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 1} + (x^{3} - 5) \cdot (- e^{- x + 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 1} - (x^{3} - 5) \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{3} + 5 + 3 x^{2})$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2} + 5)$

= $(- x^{3} + 3 x^{2} + 5) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{x - 2} \cdot 1$

= $- e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 3 x} \cdot (- 2 x + 3)$

= $\frac{- 2 x + 3}{- x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 16 + 6 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x + 16)$

= $(- 6 x^{2} + 6 x + 16) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{78} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $44,954 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 0,6)$

= $(0,1 x - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten