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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{5}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{4} e^{x}$

= $\frac{5}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 4 x + 3} + (4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 3} + (4 x^{2} - 3) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 (4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 16 x^{2} + 12 + 8 x)$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 16 x^{2} + 8 x + 12)$

= $(- 16 x^{2} + 8 x + 12) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{5} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{5} - x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (4 x^{5} - x) + e^{- 3 x} \cdot (20 x^{4} - 1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (4 x^{5} - x) + e^{- 3 x} (20 x^{4} - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{5} + 3 x + 20 x^{4} - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{5} + 20 x^{4} + 3 x - 1)$

= $(- 12 x^{5} + 20 x^{4} + 3 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 5 x} \cdot (- 9 x^{2} + 5)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 5}{- 3 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 5)$

= $(2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x + 10,5) + 3$

= $3 + (- 3,5 x + 5 + 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (- 3,5 x + 15,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten