$\text{f(x)}=$ $5-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}\left(2x^4+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(2x^4+5\right)+e^{-2x}·\left(8x^3+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(2x^4+5\right)+e^{-2x}·\left(8x^3\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(2x^4+5\right)+8·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-4x^4-10+8x^3\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x^4+8x^3-10\right)$

= $\left(-4x^4+8x^3-10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{2x}·2$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-8\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x-8\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)+\left(2x-8\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)-2\left(2x-8\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{72}·\left(-4e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

= $-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-2+\mathrm{1,4}x-7\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x-9\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x-9\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$