$\text{f(x)}=$ $-e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x+5\right)·e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{x-4}+\left(-4x+5\right)·e^{x-4}·1$

= $-4e^{x-4}+\left(-4x+5\right)·e^{x-4}$

= $e^{x-4}·\left(-4-4x+5\right)$

= $e^{x-4}·\left(-4x+1\right)$

= $\left(-4x+1\right)·e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4+e^{-2x}·4x^3$

= $-2·e^{-2x}{x}^4+4·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{6x}·6$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-2x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-2x^2-4\right)·\left(-4x+0\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-2x^2-4\right)·\left(-4x\right)$

= $12\sin \left(-2x^2-4\right)x$

= $12x·\sin \left(-2x^2-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,9282}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{56}·\left(-2e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{415,93}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x+2\right)-1$

= $-1+\left(x-2+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-1+x·e^{-\mathrm{0,5}x}$