$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3-1\right)·e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2+0\right)·e^{x+2}+\left(5x^3-1\right)·e^{x+2}·1$

= $15x^2·e^{x+2}+\left(5x^3-1\right)·e^{x+2}$

= $15x^2·e^{x+2}+\left(5x^3-1\right)·e^{x+2}$

= $e^{x+2}·\left(5x^3-1+15x^2\right)$

= $e^{x+2}·\left(5x^3+15x^2-1\right)$

= $\left(5x^3+15x^2-1\right)·e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x-3}·1$

= $-e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{4x}·4$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3x^2-4}$

= $-2{\left(3x^2-4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(3x^2-4\right)}^{-2}·\left(6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(3x^2-4\right)}^2}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(3x^2-4\right)}^2}·\left(6x\right)$

= $12\frac{x}{{\left(3x^2-4\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{49}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{942,311}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-4+\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{1,2}x-4-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-7+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$