$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x+4}+x^4·e^{x+4}·1$

= $4x^3·e^{x+4}+x^4·e^{x+4}$

= $e^{x+4}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3+3x}·\left(-15x^2+3\right)$

= $\frac{-15x^2+3}{-5x^3+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{-3x-3}$

= $2{\left(-3x-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-2{\left(-3x-3\right)}^{-2}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-3x-3\right)}^2}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-3x-3\right)}^2}·\left(-3\right)$

= $\frac{6}{{\left(-3x-3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{6,0775}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}·\left(-5e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{137,988}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-3+\mathrm{2,1}x+\mathrm{14,7}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,1}x+\mathrm{11,7}\right)$

= $\left(\mathrm{2,1}x+\mathrm{11,7}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$