$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x-3}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x-3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-4\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-4\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(1+2x-8\right)$

= $e^{2x}·\left(2x-7\right)$

= $\left(2x-7\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,017}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$