$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5-4\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+0\right)·e^{-x}+\left(-3x^5-4\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-15x^4·e^{-x}+\left(-3x^5-4\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-15x^4·e^{-x}-\left(-3x^5-4\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(3x^5+4-15x^4\right)$

= $e^{-x}·\left(3x^5-15x^4+4\right)$

= $\left(3x^5-15x^4+4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x+5}·3$

= $3e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-2}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{-x^2-2}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{-x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-7\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(3x-7\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(3x-7\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(3x-7\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{1,2155}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{68}·\left(-e^{\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{27,598}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-3+\mathrm{1,5}x-9\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x-12\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x-12\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$