$\text{f(x)}=$ $4+\frac{3}{2}{e}^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{2}{e}^{\frac{7}{4}x}·\frac{7}{4}$

= $\frac{21}{8}{e}^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x+5}+\frac{4}{x^2}+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $2e^{-x+5}+4x^{-2}+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $2e^{-x+5}·\left(-1\right)-8x^{-3}+\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x+5}·\left(-1\right)-\frac{8}{x^3}+\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-2e^{-x+5}-\frac{8}{x^3}+\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-7\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x^2-7\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $4x·\sin \left(-2x\right)+\left(2x^2-7\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $4x·\sin \left(-2x\right)-2\left(2x^2-7\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,8}\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{0,6}x+2+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $1+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$