Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{8}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 1) \cdot e^{- 5 x - 1} + (- 3 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $(- 12 x^{3} + 1) \cdot e^{- 5 x - 1} + (- 3 x^{4} + x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $(- 12 x^{3} + 1) \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 (- 3 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (15 x^{4} - 5 x - 12 x^{3} + 1)$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (15 x^{4} - 12 x^{3} - 5 x + 1)$

= $(15 x^{4} - 12 x^{3} - 5 x + 1) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $6 e^{3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x - 12)$

= $(1,8 x - 12) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten