$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $\frac{4}{9}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-4\right)·e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{3x-5}+\left(-x-4\right)·e^{3x-5}·3$

= $-e^{3x-5}+\left(-x-4\right)·3e^{3x-5}$

= $-e^{3x-5}+3\left(-x-4\right)·e^{3x-5}$

= $e^{3x-5}·\left(-1-3x-12\right)$

= $e^{3x-5}·\left(-3x-13\right)$

= $\left(-3x-13\right)·e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{5x}·5$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+6\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+6\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+6\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+6\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-2+\mathrm{0,2}x+1\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{0,2}x-2+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-7+\left(\mathrm{0,2}x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$