$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{1}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{7}{36}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+4}-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+4}·\left(-2\right)+3\cdot \sin \left(x\right)$

= $-2e^{-2x+4}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-5x^2-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-5x^2-x\right)+e^{-2x}·\left(-10x-1\right)$

= $-2·e^{-2x}·\left(-5x^2-x\right)+e^{-2x}·\left(-10x-1\right)$

= $e^{-2x}·\left(10x^2+2x-10x-1\right)$

= $e^{-2x}·\left(10x^2-8x-1\right)$

= $\left(10x^2-8x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{4x}·4$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(2x^2+1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(2x^2+1\right)}^4·\left(4x+0\right)$

= $-5{\left(2x^2+1\right)}^4·\left(4x\right)$

= $-20{\left(2x^2+1\right)}^{4}x$

= $-20x{\left(2x^2+1\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+9$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+9$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,8}\right)+9$

= $9+\left(-\mathrm{0,3}x+1+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $9+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$