$\text{f(x)}=$ $4+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x-5}+\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x-5}·\left(-2\right)-\sin \left(x\right)$

= $6e^{-2x-5}-\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3-3x^2\right)·e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2-6x\right)·e^{x-3}+\left(-4x^3-3x^2\right)·e^{x-3}·1$

= $\left(-12x^2-6x\right)·e^{x-3}+\left(-4x^3-3x^2\right)·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·(-4x^3-3x^2+\left(-12x^2-6x\right))$

= $e^{x-3}·\left(-4x^3-15x^2-6x\right)$

= $\left(-4x^3-15x^2-6x\right)·e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{4x}·4$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{-x}+4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(e^{-x}+4\right)}^4·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $-15{\left(e^{-x}+4\right)}^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $15{\left(e^{-x}+4\right)}^4·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x+\mathrm{4,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$