$\text{f(x)}=$ $4+\frac{3}{4}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{4}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+2\right)·e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x-2}+\left(3x+2\right)·e^{3x-2}·3$

= $3e^{3x-2}+\left(3x+2\right)·3e^{3x-2}$

= $3e^{3x-2}+3\left(3x+2\right)·e^{3x-2}$

= $e^{3x-2}·\left(3+9x+6\right)$

= $e^{3x-2}·\left(9x+9\right)$

= $\left(9x+9\right)·e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x^2-2}·\left(-4x\right)$

= $12·e^{-2x^2-2}x$

= $12x{e}^{-2x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{2x}·2$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-3\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x-3\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)+\left(2x-3\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)-2\left(2x-3\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{62}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(5-\mathrm{3,5}x-\mathrm{17,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{3,5}x-\mathrm{12,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,5}x-\mathrm{12,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$