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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + x^{5} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x + 6) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x + 6) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x + 6) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,0418 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0418 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,498 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${1,15}^{39} \cdot (- 2 e^{1,15 x})$

≈ $- 465,85 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 2,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x - 7,5)$

= $(2,5 x - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten