$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x-3}-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x-3}·2+\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

= $4e^{2x-3}+\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-4}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-4}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(2x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(2x^3+3\right)·\left(6x^2+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(2x^3+3\right)·\left(6x^2\right)$

= $-12\cos \left(2x^3+3\right)x^2$

= $-12x^2·\cos \left(2x^3+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{49}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{942,311}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x-\mathrm{5,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{8,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$