$\text{f(x)}=$ $4-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x-5}+x^3·e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x-5}+x^3·\left(-3e^{-3x-5}\right)$

= $3x^2·e^{-3x-5}-3x^3·e^{-3x-5}$

= $e^{-3x-5}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x+1}·3$

= $-9e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(-x+1\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-x+1\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(-x+1\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(-x+1\right)·\left(-1+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(-x+1\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(-x+1\right)·\left(-1+0\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-x+1\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·(-\sin \left(-x+1\right)·\left(-1\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-x+1\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\sin \left(-x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(4-\mathrm{3,6}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{3,6}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,6}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$