$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{6}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{6}{5}x}·\frac{6}{5}$

= $-\frac{6}{5}{e}^{\frac{6}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(3x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(3x^2+x\right)+e^{-3x}·\left(6x+1\right)$

= $-3·e^{-3x}·\left(3x^2+x\right)+e^{-3x}·\left(6x+1\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x^2-3x+6x+1\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x^2+3x+1\right)$

= $\left(-9x^2+3x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+0\right)·e^{2x}+\left(4x^2+1\right)·e^{2x}·2$

= $8x·e^{2x}+\left(4x^2+1\right)·2e^{2x}$

= $8x·e^{2x}+2\left(4x^2+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(8x^2+2+8x\right)$

= $e^{2x}·\left(8x^2+8x+2\right)$

= $\left(8x^2+8x+2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{3x}·3$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(x-3\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $\cos \left(-2x\right)+\left(x-3\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $\cos \left(-2x\right)+2\left(x-3\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{61}·e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+12\right)-3$

= $-3+\left(2x-4+12\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-3+\left(2x+8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$