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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 6 x + 3 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $- 6 x - 9 e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 4} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{- x^{2} + 3}$

= $3 {(- x^{2} + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(- x^{2} + 3)}^{- 2} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- x^{2} + 3)}^{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \frac{3}{{(- x^{2} + 3)}^{2}} \cdot (- 2 x)$

= $6 \frac{x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${1,1}^{45} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $72,89 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 16,8) - 2$

= $- 2 + (- 2,4 x + 4 + 16,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (- 2,4 x + 20,8) \cdot e^{- 0,6 x}$