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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{25}{56} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 3} + x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 3} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 5 x} \cdot (2 x - 5)$

= $\frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (2 x - 3)$

$f'(x) =$ $\sin (2 x - 3) \cdot (2 + 0)$

= $\sin (2 x - 3) \cdot (2)$

= $2 \cdot \sin (2 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${0,85}^{39} \cdot (- 3 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,005 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 2$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 2$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 1) + 2$

= $2 + (- 0,5 x + 5 + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $2 + (- 0,5 x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten