$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3x^2}+4x^2-3e^{-2x+3}$

= $\frac{2}{3}{x}^{-2}+4x^2-3e^{-2x+3}$

=> f'(x) = $-\frac{4}{3}{x}^{-3}+8x-3e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3x^3}+8x-3e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{4}{3x^3}+8x+6e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^2+1}·4x$

= $12·e^{2x^2+1}x$

= $12x{e}^{2x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3-3x}·\left(9x^2-3\right)$

= $\frac{9x^2-3}{3x^3-3x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-3x^2+2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $5{\left(-3x^2+2\right)}^4·\left(-6x+0\right)$

= $5{\left(-3x^2+2\right)}^4·\left(-6x\right)$

= $-30{\left(-3x^2+2\right)}^{4}x$

= $-30x{\left(-3x^2+2\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(1-\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,9}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,9}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$