$\text{f(x)}=$ $-5+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x-3\right)·e^{4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{4x-2}+\left(-4x-3\right)·e^{4x-2}·4$

= $-4e^{4x-2}+\left(-4x-3\right)·4e^{4x-2}$

= $-4e^{4x-2}+4\left(-4x-3\right)·e^{4x-2}$

= $e^{4x-2}·\left(-4-16x-12\right)$

= $e^{4x-2}·\left(-16x-16\right)$

= $\left(-16x-16\right)·e^{4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{2x}·2$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-5{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $5{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^4·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{67}·3e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,097}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x-\mathrm{14,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{18,4}\right)$

= $\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{18,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$