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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{21}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 4} + (- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $(- 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 4} + (- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot (- e^{- x - 4})$

= $(- 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 4} - (- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + (- 4 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{- x - 4} \cdot (x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 16 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 16)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 16) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${1,05}^{76} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $40,774 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 4,2) - 9$

= $- 9 + (- 2,1 x + 3 + 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 2,1 x + 7,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten