$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{9}{14}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)-3e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)-3e^{3x-2}·3$

= $2\cdot \sin \left(x\right)-9e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3-3x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2-3\right)·e^{-3x}+\left(5x^3-3x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(15x^2-3\right)·e^{-3x}+\left(5x^3-3x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(15x^2-3\right)·e^{-3x}-3\left(5x^3-3x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-15x^3+9x+15x^2-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-15x^3+15x^2+9x-3\right)$

= $\left(-15x^3+15x^2+9x-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3-x}·\left(6x^2-1\right)$

= $\frac{6x^2-1}{2x^3-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-2x^2+3\right)}^3}$

= ${\left(-2x^2+3\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-3{\left(-2x^2+3\right)}^{-4}·\left(-4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-2x^2+3\right)}^4}·\left(-4x+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-2x^2+3\right)}^4}·\left(-4x\right)$

= $12\frac{x}{{\left(-2x^2+3\right)}^4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-3+\mathrm{2,4}x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{2,4}x+9\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+9\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$