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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{16} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 5} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} + 5} x$

= $12 x e^{2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 15 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 15)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,4 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 3,4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,89 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,89 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,4565 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,4565 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,088 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${0,85}^{39} \cdot (- 4 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,007 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 13,2)$

= $(1,6 x - 13,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten