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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 3 x - 4} + (- 3 x + 3) \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x - 4} + (- 3 x + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $- 3 e^{- 3 x - 4} - 3 (- 3 x + 3) \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3 + 9 x - 9)$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (9 x - 12)$

= $(9 x - 12) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 2) + e^{x} \cdot (3 + 0)$

= $e^{x} \cdot (3 x - 2) + e^{x} \cdot (3)$

= $e^{x} \cdot (3 x - 2) + 3 e^{x}$

= $e^{x} \cdot (3 + 3 x - 2)$

= $e^{x} \cdot (3 x + 1)$

= $(3 x + 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 5 x} \cdot (- 8 x - 5)$

= $\frac{- 8 x - 5}{- 4 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\cos (x) - 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\cos (x) - 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 3 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $3 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 6,3) + 4$

= $4 + (2,1 x - 3 + 6,3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $4 + (2,1 x + 3,3) \cdot e^{- 0,7 x}$