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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + x) \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + x) \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $(4 x + 1) \cdot e^{x + 2} + (2 x^{2} + x) \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $(4 x + 1) \cdot e^{x + 2} + (2 x^{2} + x) \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (2 x^{2} + x + 4 x + 1)$

= $e^{x + 2} \cdot (2 x^{2} + 5 x + 1)$

= $(2 x^{2} + 5 x + 1) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 5} + x^{2} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 5} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(- 3 x - 3)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(- 3 x - 3)}^{2}}$

= $2 {(- 3 x - 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 4 {(- 3 x - 3)}^{- 3} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{{(- 3 x - 3)}^{3}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{4}{{(- 3 x - 3)}^{3}} \cdot (- 3)$

= $\frac{12}{{(- 3 x - 3)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{45} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 538,769 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 8$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 8$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x - 0,6) - 8$

= $- 8 + (0,3 x - 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 8 + (0,3 x - 1,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten