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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} - e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{5} - e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} - e^{x - 4} \cdot 1$

= $- 20 x^{4} - e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 3} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} + 3} x$

= $18 x e^{3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 7$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 7$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 16,8) + 7$

= $7 + (2,4 x - 4 + 16,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $7 + (2,4 x + 12,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten