$\text{f(x)}=$ $5-e^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-5x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-5x^2-5\right)+e^{3x}·\left(-10x+0\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-5x^2-5\right)+e^{3x}·\left(-10x\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-5x^2-5\right)-10·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(-15x^2-15-10x\right)$

= $e^{3x}·\left(-15x^2-10x-15\right)$

= $\left(-15x^2-10x-15\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-x\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x-1\right)·e^{3x}+\left(x^2-x\right)·e^{3x}·3$

= $\left(2x-1\right)·e^{3x}+\left(x^2-x\right)·3e^{3x}$

= $\left(2x-1\right)·e^{3x}+3\left(x^2-x\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2-3x+2x-1\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2-x-1\right)$

= $\left(3x^2-x-1\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3x}·3$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{3x}+5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(e^{3x}+5\right)·(e^{3x}·3+0)$

= $-4\left(e^{3x}+5\right)·\left(3e^{3x}\right)$

= $-12\left(e^{3x}+5\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x-\mathrm{6,3}\right)+2$

= $2+\left(-\mathrm{0,9}x+3-\mathrm{6,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $2+\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{3,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$