$\text{f(x)}=$ $2+\frac{1}{4}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $\frac{11}{32}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x+1}+x^2·e^{x+1}·1$

= $2x·e^{x+1}+x^2·e^{x+1}$

= $e^{x+1}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x-1}·1$

= $-e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2+3}·\left(-10x+0\right)$

= $\frac{1}{-5x^2+3}·\left(-10x\right)$

= $-10\frac{x}{-5x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{3x}+\left(3x^2-3\right)·e^{3x}·3$

= $6x·e^{3x}+\left(3x^2-3\right)·3e^{3x}$

= $6x·e^{3x}+3\left(3x^2-3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(9x^2-9+6x\right)$

= $e^{3x}·\left(9x^2+6x-9\right)$

= $\left(9x^2+6x-9\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{76}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,02}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x-3\right)+8$

= $8+\left(-\mathrm{0,6}x+1-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $8+\left(-\mathrm{0,6}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$