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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 1} + x^{2} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 1} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

= $\frac{6 (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{3 x^{3} + 5}$

= $2 {(3 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(3 x^{3} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{3 x^{3} + 5}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{3 x^{3} + 5}} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{\sqrt{3 x^{3} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{40} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,002 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x - 14)$

= $(- 3,6 x - 14) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten