$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-5x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-5x+1}+x^5·e^{-5x+1}·\left(-5\right)$

= $5x^4·e^{-5x+1}+x^5·\left(-5e^{-5x+1}\right)$

= $5x^4·e^{-5x+1}-5x^5·e^{-5x+1}$

= $e^{-5x+1}·\left(-5x^5+5x^4\right)$

= $\left(-5x^5+5x^4\right)·e^{-5x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^3+3}·6x^2$

= $-18·e^{2x^3+3}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{2x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{3x}·3$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x+\mathrm{6,3}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{9,3}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{9,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$