$\text{f(x)}=$ $1+2e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(4x^3-3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(4x^3-3x^2\right)+e^x·\left(12x^2-6x\right)$

= $e^x·(4x^3-3x^2+\left(12x^2-6x\right))$

= $e^x·\left(4x^3+9x^2-6x\right)$

= $\left(4x^3+9x^2-6x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^5+e^{-x}·5x^4$

= $-e^{-x}{x}^5+5·e^{-x}{x}^4$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x-3}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(x^2+3\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2x·\sin \left(3x\right)+\left(x^2+3\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2x·\sin \left(3x\right)+3\left(x^2+3\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-1+\mathrm{0,5}x-1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x-2\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$