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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + x^{5} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 6 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{3} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 6 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} + 6 x - 6 x^{2} - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 3)$

= $(4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{3} + 2}$

= $2 {(2 x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(2 x^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 x^{3} + 2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{2 x^{3} + 2}} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 12,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 9,6)$

= $(- 2,1 x - 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten