Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2} + (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2} + (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (15 x^{4} - 3 x^{3} + (- 20 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (15 x^{4} - 23 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(15 x^{4} - 23 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 5} \cdot 3 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 5 x} \cdot (2 x - 5)$

= $\frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 4 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 4) + 8$

= $8 + (- 0,8 x + 2 + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $8 + (- 0,8 x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten