$\text{f(x)}=$ $3-e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $-\frac{3}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2-2\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+0\right)·e^{-2x+1}+\left(-4x^2-2\right)·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $-8x·e^{-2x+1}+\left(-4x^2-2\right)·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $-8x·e^{-2x+1}-2\left(-4x^2-2\right)·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(8x^2+4-8x\right)$

= $e^{-2x+1}·\left(8x^2-8x+4\right)$

= $\left(8x^2-8x+4\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x-6\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x-6\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x-6\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{65}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,036}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{1,2}x-3-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $6+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$