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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - x) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - x) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 1) \cdot e^{4 x - 5} + (3 x^{5} - x) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $(15 x^{4} - 1) \cdot e^{4 x - 5} + (3 x^{5} - x) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $(15 x^{4} - 1) \cdot e^{4 x - 5} + 4 (3 x^{5} - x) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (12 x^{5} - 4 x + 15 x^{4} - 1)$

= $e^{4 x - 5} \cdot (12 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x - 1)$

= $(12 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x - 1) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 x \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 4 x \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 2 - 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 4 x - 2)$

= $(- 4 x^{2} - 4 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 2 x} \cdot (- 10 x + 2)$

= $\frac{- 10 x + 2}{- 5 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 18)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 21)$

= $(- 6 x + 21) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 9,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x + 5,6)$

= $(1,6 x + 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten