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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{4} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{4} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{5}{16} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + 3 e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + 3 e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 3 e^{x + 5} \cdot 1$

= $5 x^{4} + 3 e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 3 e^{- 2 x} + (- 3 x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 3 e^{- 2 x} - 2 (- 3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 3 + 6 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x - 7)$

= $(6 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 4} + x^{2} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 4} + x^{2} \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${1,15}^{37} \cdot 5 e^{1,15 x}$

≈ $880,623 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 17,5) - 4$

= $- 4 + (3,5 x - 5 + 17,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (3,5 x + 12,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten