$\text{f(x)}=$ $1+\frac{7}{9}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{49}{72}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^4+e^{2x}·4x^3$

= $2·e^{2x}{x}^4+4·e^{2x}{x}^3$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^2+0\right)·e^{-2x}+\left(-5x^3-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-15x^2·e^{-2x}+\left(-5x^3-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-15x^2·e^{-2x}-2\left(-5x^3-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(10x^3+10-15x^2\right)$

= $e^{-2x}·\left(10x^3-15x^2+10\right)$

= $\left(10x^3-15x^2+10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2+3x}·\left(-10x+3\right)$

= $\frac{-10x+3}{-5x^2+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-7\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-7\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-7\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+21+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+21\right)$

= $\left(-3x^2+2x+21\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{0,6}x+1+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$