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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} - \frac{5}{3} \sqrt{x} + 2 e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} - \frac{5}{3} \sqrt{x} + 2 e^{- x - 4}$

= $2 x^{5} - \frac{5}{3} x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{- x - 4}$

=> f'(x) = $10 x^{4} - \frac{5}{6} x^{- \frac{1}{2}} + 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $10 x^{4} - \frac{5}{6 \sqrt{x}} + 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $10 x^{4} - \frac{5}{6 \sqrt{x}} - 2 e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} - 10 x) \cdot e^{2 x} + (- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 3 x^{2} - 10 x) \cdot e^{2 x} + (- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 3 x^{2} - 10 x) \cdot e^{2 x} + 2 (- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{2} - 10 x + (- 2 x^{3} - 10 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 13 x^{2} - 10 x)$

= $(- 2 x^{3} - 13 x^{2} - 10 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{4} - 3 x^{5})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,15}^{47} \cdot 5 e^{1,15 x}$

≈ $3562,612 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 3 - 3)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 6)$

= $(1,5 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten