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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{8} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}} - 3 e^{- 3 x + 2} - 4 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}} - 3 e^{- 3 x + 2} - 4 \cdot \sin (x)$

= $- 3 x^{- 4} - 3 e^{- 3 x + 2} - 4 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $12 x^{- 5} - 3 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) - 4 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{12}{x^{5}} - 3 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) - 4 \cdot \cos (x)$

= $\frac{12}{x^{5}} + 9 e^{- 3 x + 2} - 4 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(2 x + 4) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(2 x + 4) \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 12 x + 2 x + 4)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 14 x + 4)$

= $(3 x^{2} + 14 x + 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 5 x} \cdot (6 x^{2} + 5)$

= $\frac{6 x^{2} + 5}{2 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x + 18) + 3$

= $3 + (- 3 x + 5 + 18) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (- 3 x + 23) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten