$\text{f(x)}=$ $3-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}\sqrt{x}-\frac{5}{2x^4}-e^{x+3}$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{5}{2}{x}^{-4}-e^{x+3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}+10x^{-5}-e^{x+3}·1$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{8\sqrt{x}}+\frac{10}{x^5}-e^{x+3}·1$

= $\frac{3}{8\sqrt{x}}+\frac{10}{x^5}-e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x^3+1}·3x^2$

= $3·e^{x^3+1}{x}^2$

= $3x^2{e}^{x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4x}·4$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-8\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2-8\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2-8\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+2\left(x^2-8\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-4+\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{11,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$