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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 x^{3} + \sqrt{x} - 2 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 x^{3} + \sqrt{x} - 2 e^{2 x + 1}$

= $- 9 x^{3} + x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{2 x + 1}$

=> f'(x) = $- 27 x^{2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{2 x + 1} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- 27 x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} - 2 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $- 27 x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} - 4 e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} + 5} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- 3 x^{2} - 1}$

= ${(- 3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- 3 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}} \cdot (- 6 x)$

= $- 3 \frac{x}{\sqrt{- 3 x^{2} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 16)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x - 12)$

= $(- 3,2 x - 12) \cdot e^{- 0,8 x}$