Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4} + (- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $(- 20 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4} + (- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $(- 20 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4} + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 8 x^{5} - 8 x^{3} + (- 20 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 8 x^{5} - 20 x^{4} - 8 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 8 x^{5} - 20 x^{4} - 8 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(9 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 4 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(9 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 8 x + 9 x^{2} - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 4)$

= $(- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- x - 1}$

= ${(- x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- x - 1}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x - 1}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- x - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x + 11)$

= $(- 1,5 x + 11) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten