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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (- 4 x^{4} - 5 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (- 4 x^{4} - 5 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{4} - 5 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (- 16 x^{3} - 15 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 4 x^{4} - 5 x^{3}) + e^{2 x} (- 16 x^{3} - 15 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{4} - 10 x^{3} + (- 16 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{4} - 26 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 8 x^{4} - 26 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 1} \cdot 1$

= $- 3 e^{x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (4 x - 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (4 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (4 x - 3) \cdot (4 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (4 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (4 x - 3) \cdot (4)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (4 x - 3) + x^{3} \cdot 4 \cdot \cos (4 x - 3)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (4 x - 3) + 4 x^{3} \cdot \cos (4 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${1,15}^{38} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 202,543 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 3,2) + 4$

= $4 + (- 0,8 x + 2 + 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $4 + (- 0,8 x + 5,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten