$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^x$

= $\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x-4}+x^4·e^{x-4}·1$

= $4x^3·e^{x-4}+x^4·e^{x-4}$

= $e^{x-4}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5+3x^4\right)·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4+12x^3\right)·e^{-x+4}+\left(-x^5+3x^4\right)·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\left(-5x^4+12x^3\right)·e^{-x+4}+\left(-x^5+3x^4\right)·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $\left(-5x^4+12x^3\right)·e^{-x+4}-\left(-x^5+3x^4\right)·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·(x^5-3x^4+\left(-5x^4+12x^3\right))$

= $e^{-x+4}·\left(x^5-8x^4+12x^3\right)$

= $\left(x^5-8x^4+12x^3\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-3}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-3}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{-x}+2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8{\left(e^{-x}+2\right)}^3·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $8{\left(e^{-x}+2\right)}^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $-8{\left(e^{-x}+2\right)}^3·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,044}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{41}·2e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+18\right)-2$

= $-2+\left(3x-5+18\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-2+\left(3x+13\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$