$\text{f(x)}=$ $5+2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x+3}-\frac{1}{2}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x+3}·3-\frac{5}{2}{x}^4$

= $6e^{3x+3}-\frac{5}{2}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{2x}·2$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x+15\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x+16\right)$

= $\left(-3x+16\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-9$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-9$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{1,5}x-5+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-9+\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$