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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) - e^{- 3 x + 5} - \frac{2}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) - e^{- 3 x + 5} - \frac{2}{x^{3}}$

= $\sin (x) - e^{- 3 x + 5} - 2 x^{- 3}$

=> f'(x) = $\cos (x) - e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + 6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\cos (x) - e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{6}{x^{4}}$

= $\cos (x) + 3 e^{- 3 x + 5} + \frac{6}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x} + (- x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 5 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x} + (- x^{5} - 5 x^{4}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 5 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x} + 2 (- x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} - 10 x^{4} + (- 5 x^{4} - 20 x^{3}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 20 x^{3})$

= $(- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (3 x)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x) + x^{\frac{3}{2}} \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) - 3 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x + 18,9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x + 21,9)$

= $(- 2,7 x + 21,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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