$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-3x-2\right)+e^{-3x}·\left(-3+0\right)$

= $-3·e^{-3x}·\left(-3x-2\right)+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3·e^{-3x}·\left(-3x-2\right)-3e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3+9x+6\right)$

= $e^{-3x}·\left(9x+3\right)$

= $\left(9x+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4-3x^2\right)·e^{3x}+\left(5x^5-x^3\right)·e^{3x}·3$

= $\left(25x^4-3x^2\right)·e^{3x}+\left(5x^5-x^3\right)·3e^{3x}$

= $\left(25x^4-3x^2\right)·e^{3x}+3\left(5x^5-x^3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(15x^5-3x^3+\left(25x^4-3x^2\right))$

= $e^{3x}·\left(15x^5+25x^4-3x^3-3x^2\right)$

= $\left(15x^5+25x^4-3x^3-3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3+5x}·\left(3x^2+5\right)$

= $\frac{3x^2+5}{x^3+5x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-3x^2-1}$

= $-3{\left(-3x^2-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-3x^2-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-3x^2-1}}·\left(-6x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-3x^2-1}}·\left(-6x\right)$

= $9\frac{x}{\sqrt{-3x^2-1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$