$\text{f(x)}=$ $-e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-3x}+\left(-3x+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}+\left(-3x+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-3e^{-3x}-3\left(-3x+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3+9x-9\right)$

= $e^{-3x}·\left(9x-12\right)$

= $\left(9x-12\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{38}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{202,543}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-3\right)$

= $\left(-x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$