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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{24}{25} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 5) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 5) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 0) \cdot e^{x} + (- x^{4} + 5) \cdot e^{x}$

= $(- x^{4} + 5) \cdot e^{x} - 4 x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- x^{4} + 5 - 4 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (- x^{4} - 4 x^{3} + 5)$

= $(- x^{4} - 4 x^{3} + 5) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 5) \cdot e^{4 x - 4} + (- x^{5} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $(- 5 x^{4} + 5) \cdot e^{4 x - 4} + (- x^{5} + 5 x) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $(- 5 x^{4} + 5) \cdot e^{4 x - 4} + 4 (- x^{5} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 4 x^{5} + 20 x - 5 x^{4} + 5)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 4 x^{5} - 5 x^{4} + 20 x + 5)$

= $(- 4 x^{5} - 5 x^{4} + 20 x + 5) \cdot e^{4 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 6)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 3)$

= $(6 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{45} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,009 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 4,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x - 1,8)$

= $(- 1,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten