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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} - (- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (x^{5} + 3 x^{4} + (- 5 x^{4} - 12 x^{3}))$

= $e^{- x} \cdot (x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3})$

= $(x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $117,391 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 7,2) + 4$

= $4 + (- 3,6 x + 4 - 7,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (- 3,6 x - 3,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten