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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + x^{4} \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 2 x} \cdot (- 8 x + 2)$

= $\frac{- 8 x + 2}{- 4 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (5 x + 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (5 x + 3) + x^{3} \cdot \cos (5 x + 3) \cdot (5 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (5 x + 3) + x^{3} \cdot \cos (5 x + 3) \cdot (5)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (5 x + 3) + x^{3} \cdot 5 \cdot \cos (5 x + 3)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (5 x + 3) + 5 x^{3} \cdot \cos (5 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,15 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,3075 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,4729 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,6465 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{73} \cdot 3 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 105,667 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 1,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 6,5)$

= $(- 0,5 x + 6,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten