$\text{f(x)}=$ $2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)-e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)-e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-2x+\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{2x}·2$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{3x+1}$

= $-2{\left(3x+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(3x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{3x+1}}·\left(3+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{3x+1}}·\left(3\right)$

= $-\frac{3}{\sqrt{3x+1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{1,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$