$\text{f(x)}=$ $-3-e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $-\frac{7}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x-3}+x^4·e^{3x-3}·3$

= $4x^3·e^{3x-3}+x^4·3e^{3x-3}$

= $4x^3·e^{3x-3}+3x^4·e^{3x-3}$

= $e^{3x-3}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5+3x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+9x^2\right)·e^{-3x}+\left(-3x^5+3x^3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(-15x^4+9x^2\right)·e^{-3x}+\left(-3x^5+3x^3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(-15x^4+9x^2\right)·e^{-3x}-3\left(-3x^5+3x^3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(9x^5-9x^3+\left(-15x^4+9x^2\right))$

= $e^{-3x}·\left(9x^5-15x^4-9x^3+9x^2\right)$

= $\left(9x^5-15x^4-9x^3+9x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-2x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-2x+4\right)·\left(-2+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-2x+4\right)·\left(-2\right)$

= $-4\cdot \cos \left(-2x+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(3-\mathrm{1,2}x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-3\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$