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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x^{2} - 5}$

= $- 2 {(3 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(3 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{3 x^{2} - 5}} \cdot (6 x + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{3 x^{2} - 5}} \cdot (6 x)$

= $- 6 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} - 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,9}^{46} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,008 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 8$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 8$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 12) - 8$

= $- 8 + (- 3 x + 5 - 12) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 8 + (- 3 x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten