$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x-4}-5x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x-4}·\left(-1\right)-15x^2$

= $3e^{-x-4}-15x^2$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^2+5}·\left(-2x\right)$

= $2·e^{-x^2+5}x$

= $2x{e}^{-x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{4x}·4$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $10{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $10{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-3e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{3,45}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,45}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{3,9675}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,9675}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{4,5626}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,5626}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{5,247}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{44}·\left(-3e^{\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{1405,485}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-1+\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,7}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{0,9}x-1+\mathrm{2,7}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $3+\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,7}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$