$\text{f(x)}=$ $-5-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-5}+x^2·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-5}+x^2·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $2x·e^{-2x-5}-2x^2·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-x}·\left(-4x-1\right)$

= $\frac{-4x-1}{-2x^2-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(-4x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(-4x-4\right)+x^2·\cos \left(-4x-4\right)·\left(-4+0\right)$

= $2x·\sin \left(-4x-4\right)+x^2·\cos \left(-4x-4\right)·\left(-4\right)$

= $2x·\sin \left(-4x-4\right)+x^2·\left(-4\cdot \cos \left(-4x-4\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-4x-4\right)-4x^2·\cos \left(-4x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-3\right)$

= $\left(-x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$