$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{7}{9}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{2x}·2$

= $\frac{14}{9}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{x+5}+x^5·e^{x+5}·1$

= $5x^4·e^{x+5}+x^5·e^{x+5}$

= $e^{x+5}·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x-3}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{x-3}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $9{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $9{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,4641}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{62}·\left(-e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{368,423}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x-\mathrm{3,6}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{1,2}x-3-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $6+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$