$\text{f(x)}=$ $-5-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+1-2e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x+0-2e^{2x+4}·2$

= $3x-4e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-x}·\left(-10x-1\right)$

= $\frac{-10x-1}{-5x^2-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-1\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(x^2-1\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2x·\sin \left(3x\right)+\left(x^2-1\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2x·\sin \left(3x\right)+3\left(x^2-1\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,9282}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{51}·\left(-2e^{-\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $\mathrm{258,26}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(5-x+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x+9\right)$

= $\left(-x+9\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$