$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $\frac{9}{4}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^2}-2e^{3x+1}$

= $-3x^{-2}-2e^{3x+1}$

=> f'(x) = $6x^{-3}-2e^{3x+1}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^3}-2e^{3x+1}·3$

= $\frac{6}{x^3}-6e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2+5x}·\left(-10x+5\right)$

= $\frac{-10x+5}{-5x^2+5x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(2x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(2x+4\right)·\left(2+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(2x+4\right)·\left(2\right)$

= $4\cdot \sin \left(2x+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^x·\left(x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{4,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(5-\mathrm{4,5}x+\mathrm{13,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{4,5}x+\mathrm{18,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{4,5}x+\mathrm{18,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$