$\text{f(x)}=$ $3+\frac{8}{9}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{8}{9}{e}^{3x}·3$

= $\frac{8}{3}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x-5}+x^4·e^{x-5}·1$

= $4x^3·e^{x-5}+x^4·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^2-4}·\left(-2x\right)$

= $2·e^{-x^2-4}x$

= $2x{e}^{-x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+3}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+6\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+7\right)$

= $\left(-2x+7\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-4\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$