$\text{f(x)}=$ $2-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4+5x^2\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3+10x\right)·e^{-2x+1}+\left(3x^4+5x^2\right)·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $\left(12x^3+10x\right)·e^{-2x+1}+\left(3x^4+5x^2\right)·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $\left(12x^3+10x\right)·e^{-2x+1}-2\left(3x^4+5x^2\right)·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·(-6x^4-10x^2+\left(12x^3+10x\right))$

= $e^{-2x+1}·\left(-6x^4+12x^3-10x^2+10x\right)$

= $\left(-6x^4+12x^3-10x^2+10x\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2-x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x-1\right)·e^{-x}+\left(-2x^2-x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-4x-1\right)·e^{-x}+\left(-2x^2-x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-4x-1\right)·e^{-x}-\left(-2x^2-x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(2x^2+x-4x-1\right)$

= $e^{-x}·\left(2x^2-3x-1\right)$

= $\left(2x^2-3x-1\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(x^2\right)+x^3·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+x^3·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+2x^3\cos \left(x^2\right)x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+2x^4·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+5$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+5$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)+5$

= $5+\left(-\mathrm{0,4}x+2+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $5+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$