$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{15}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x-3\right)·e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·e^{3x+4}+\left(-5x-3\right)·e^{3x+4}·3$

= $-5e^{3x+4}+\left(-5x-3\right)·3e^{3x+4}$

= $-5e^{3x+4}+3\left(-5x-3\right)·e^{3x+4}$

= $e^{3x+4}·\left(-5-15x-9\right)$

= $e^{3x+4}·\left(-15x-14\right)$

= $\left(-15x-14\right)·e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^3-5}·\left(-6x^2\right)$

= $-12·e^{-2x^3-5}{x}^2$

= $-12x^2{e}^{-2x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{2x}·2$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x+10\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+12\right)$

= $\left(-4x+12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{7,2}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{1,2}x-2+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-4+\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$