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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{7}{8} e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{7}{8} e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{35}{24} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 1} + x^{5} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 1} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 4} \cdot 9 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (2 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (2 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $- \cos (2 x^{2} + 2) \cdot (4 x + 0)$

= $- \cos (2 x^{2} + 2) \cdot (4 x)$

= $- 4 \cos (2 x^{2} + 2) x$

= $- 4 x \cdot \cos (2 x^{2} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,1}^{48} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $97,017 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 7$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 4,2) - 7$

= $- 7 + (0,6 x - 3 + 4,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 7 + (0,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$