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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x + 4} + 3 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x + 4} + 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x + 4} \cdot 3 + 6 x$

= $- 3 e^{3 x + 4} + 6 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (15 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{15 x^{2} - 10 x}{5 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{5 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{5 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{5 (3 x - 2)}{5 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 29)$

= $(6 x + 29) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{75} \cdot (- 5 e^{- 1,05 x})$

≈ $194,163 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 9$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 9$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 2) - 9$

= $- 9 + (0,5 x - 5 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 9 + (0,5 x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten