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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3} \cdot 9 x^{2}$

= $- 27 \cdot e^{3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 4} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} + 4} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 2) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 2) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x + 2) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 9$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 4,5) + 9$

= $9 + (0,9 x - 3 + 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $9 + (0,9 x + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten