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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 1) \cdot e^{x} + (- 4 x^{3} + x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} + x - 12 x^{2} + 1)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} - 12 x^{2} + x + 1)$

= $(- 4 x^{3} - 12 x^{2} + x + 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 26)$

= $(3 x - 26) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,15 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,3075 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,4729 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,6465 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{79} \cdot (- 3 e^{- 1,05 x})$

≈ $141,604 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 5$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 4) - 5$

= $- 5 + (- 0,8 x + 4 - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 5 - 0,8 x \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten