Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{1}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 3) \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 3) \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 5 x + 5} + (5 x + 3) \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $5 e^{- 5 x + 5} + (5 x + 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $5 e^{- 5 x + 5} - 5 (5 x + 3) \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (5 - 25 x - 15)$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 25 x - 10)$

= $(- 25 x - 10) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 4 x} \cdot (- 12 x^{2} + 4)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 4}{- 4 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(x^{3} + 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(x^{3} + 1)}^{3}}$

= $- 2 {(x^{3} + 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $6 {(x^{3} + 1)}^{- 4} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(x^{3} + 1)}^{4}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{6}{{(x^{3} + 1)}^{4}} \cdot (3 x^{2})$

= $18 \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 8$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 8$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x + 12) - 8$

= $- 8 + (- 3 x + 5 + 12) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 8 + (- 3 x + 17) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten