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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 3 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $(- 12 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 3 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $(- 12 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 (- 3 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (9 x^{4} + 6 x^{2} + (- 12 x^{3} - 4 x))$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x)$

= $(9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x^{3} + 3) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (2 x^{3} + 3) \cdot (6 x^{2})$

= $- 18 \sin (2 x^{3} + 3) x^{2}$

= $- 18 x^{2} \cdot \sin (2 x^{3} + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{65} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 3,2) - 9$

= $- 9 + (- 0,8 x + 1 + 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (- 0,8 x + 4,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten