$\text{f(x)}=$ $2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x-4}-4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x-4}·1-8x$

= $2e^{x-4}-8x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x-5}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x-5}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x+9\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $\cos \left(3x\right)+\left(x+9\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $\cos \left(3x\right)-3\left(x+9\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{52}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,004}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x-9\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,8}x-12\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x-12\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$