$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{5}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x+3}+\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x+3}·1+\cos \left(x\right)$

= $2e^{x+3}+\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2+4x\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+4\right)·e^{2x}+\left(-5x^2+4x\right)·e^{2x}·2$

= $\left(-10x+4\right)·e^{2x}+\left(-5x^2+4x\right)·2e^{2x}$

= $\left(-10x+4\right)·e^{2x}+2\left(-5x^2+4x\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-10x^2+8x-10x+4\right)$

= $e^{2x}·\left(-10x^2-2x+4\right)$

= $\left(-10x^2-2x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{5x}·5$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{2x+3}$

= $-2{\left(2x+3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(2x+3\right)}^{-2}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}·\left(2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}·\left(2\right)$

= $\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-1+\mathrm{0,5}x+\mathrm{2,5}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,5}x-1+\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,5}x+\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$