$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x+4}+x^5·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x+4}+x^5·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $5x^4·e^{-2x+4}-2x^5·e^{-2x+4}$

= $e^{-2x+4}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}·\left(-2x\right)$

= $4·e^{-x^2+5}x$

= $4x{e}^{-x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{6x}·6$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(2x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(2x+5\right)·\left(2+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(2x+5\right)·\left(2\right)$

= $-4\cdot \cos \left(2x+5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{66}·3e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,102}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-9$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-9$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(4-\mathrm{3,6}x+\mathrm{3,6}\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{3,6}x+4+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{7,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$