$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x+4}+x^2·e^{2x+4}·2$

= $2x·e^{2x+4}+x^2·2e^{2x+4}$

= $2x·e^{2x+4}+2x^2·e^{2x+4}$

= $e^{2x+4}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x-1}·1$

= $-2e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{7x}·7$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-3\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-3\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-3\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2-3\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{5,5}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,5}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{6,05}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{6,05}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{6,655}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,655}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{7,3205}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{46}·5e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{400,898}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x-3\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{0,6}x+1-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{0,6}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$