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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- x - 2} + (- 5 x - 1) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- 5 e^{- x - 2} + (- 5 x - 1) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $- 5 e^{- x - 2} - (- 5 x - 1) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 5 + 5 x + 1)$

= $e^{- x - 2} \cdot (5 x - 4)$

= $(5 x - 4) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $15 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{3} + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $15 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 (5 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{3} - 8 + 15 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{3} + 15 x^{2} - 8)$

= $(- 10 x^{3} + 15 x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 2 x} \cdot (- 10 x - 2)$

= $\frac{- 10 x - 2}{- 5 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 7) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} - 7) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot 4 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 28)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 x - 23)$

= $(- 4 x - 23) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten