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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + x^{4} \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} - 1} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} - 1} x$

= $4 x e^{2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x + 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x + 5} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x + 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${0,95}^{75} \cdot (- 4 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,085 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 10,5) + 3$

= $3 + (- 1,5 x + 3 + 10,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $3 + (- 1,5 x + 13,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten