$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^2+2}·\left(-2x\right)$

= $-2·e^{-x^2+2}x$

= $-2x{e}^{-x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x-5}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(2x\right)+\left(3x-6\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $3\cdot \cos \left(2x\right)+\left(3x-6\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(2x\right)-2\left(3x-6\right)·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$