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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{4}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{4}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{x}$

= $\frac{4}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} - \frac{3}{4} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} - \frac{3}{4} \sqrt{x}$

= $- 2 e^{- 2 x + 5} - \frac{3}{4} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) - \frac{3}{8} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) - \frac{3}{8 \sqrt{x}}$

= $4 e^{- 2 x + 5} - \frac{3}{8 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} + (x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} + (x^{4} + 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 15 x + 4 x^{3} + 5)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3} - 15 x + 5)$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3} - 15 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- 3 x} - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- 3 x} - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(e^{- 3 x} - 4)}^{2} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $- 9 {(e^{- 3 x} - 4)}^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $27 {(e^{- 3 x} - 4)}^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 2,4) - 1$

= $- 1 + (2,4 x - 3 - 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (2,4 x - 5,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten