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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + x) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + x) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(4 x + 1) \cdot e^{2 x - 1} + (2 x^{2} + x) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $(4 x + 1) \cdot e^{2 x - 1} + (2 x^{2} + x) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $(4 x + 1) \cdot e^{2 x - 1} + 2 (2 x^{2} + x) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 4 x + 1)$

= $e^{2 x - 1} \cdot (4 x^{2} + 6 x + 1)$

= $(4 x^{2} + 6 x + 1) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} - 10 x) \cdot e^{2 x} + (- x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 4 x^{3} - 10 x) \cdot e^{2 x} + (- x^{4} - 5 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 4 x^{3} - 10 x) \cdot e^{2 x} + 2 (- x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{4} - 10 x^{2} + (- 4 x^{3} - 10 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x)$

= $(- 2 x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\cos (x) - 1) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $6 (\cos (x) - 1) \cdot (- \sin (x))$

= $- 6 (\cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${0,85}^{32} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,006 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 1,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x + 6,5)$

= $(- 1,5 x + 6,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten