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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 2 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 2 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + 4 e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0))$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4))$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{2} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 1)$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + 4 x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 4,2) + 3$

= $3 + (0,6 x - 2 - 4,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (0,6 x - 6,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten