$\text{f(x)}=$ $2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}\sqrt{x}-3e^{-x-4}$

= $\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{2}}-3e^{-x-4}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}-3e^{-x-4}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3\sqrt{x}}-3e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $\frac{2}{3\sqrt{x}}+3e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^3-3}·\left(-9x^2\right)$

= $-27·e^{-3x^3-3}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{-3x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2-2x}·\left(10x-2\right)$

= $\frac{10x-2}{5x^2-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-x^3-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(-x^3-1\right)·\left(-3x^2+0\right)$

= $-6\left(-x^3-1\right)·\left(-3x^2\right)$

= $18\left(-x^3-1\right)x^2$

= $18x^2\left(-x^3-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-8$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-8$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+6\right)-8$

= $-8+\left(3x-5+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-8+\left(3x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$