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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x} + (- 2 x + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 2 e^{- 2 x} - 2 (- 2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 + 4 x - 8)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x - 10)$

= $(4 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 4 x - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 4 e^{3 x} + (- 4 x - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 4 e^{3 x} + 3 (- 4 x - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 4 - 12 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x - 10)$

= $(- 12 x - 10) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 2,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x - 1,4)$

= $(- 0,8 x - 1,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten