$\text{f(x)}=$ $3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x+4}+x^4·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x+4}+x^4·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $4x^3·e^{-2x+4}-2x^4·e^{-2x+4}$

= $e^{-2x+4}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2-2x}·\left(10x-2\right)$

= $\frac{10x-2}{5x^2-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(-3x\right)+x^5·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $5x^4·\sin \left(-3x\right)+x^5·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $5x^4·\sin \left(-3x\right)-3x^5·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}·3e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,083}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-5\right)+6$

= $6+\left(-x+2-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $6+\left(-x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$