$\text{f(x)}=$ $3-3e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x-2}+x^3·e^{x-2}·1$

= $3x^2·e^{x-2}+x^3·e^{x-2}$

= $e^{x-2}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x^2-3}·4x$

= $-8·e^{2x^2-3}x$

= $-8x{e}^{2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{2x}·2$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(\sin \left(x\right)+1\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-2\left(\sin \left(x\right)+1\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-2\left(\sin \left(x\right)+1\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,088}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}·\left(-4e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,01}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-5+\mathrm{2,5}x-5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{2,5}x-10\right)$

= $\left(\mathrm{2,5}x-10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$