$\text{f(x)}=$ $-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4+20x^3\right)·e^{x+2}+\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{x+2}·1$

= $\left(-10x^4+20x^3\right)·e^{x+2}+\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{x+2}$

= $e^{x+2}·(-2x^5+5x^4+\left(-10x^4+20x^3\right))$

= $e^{x+2}·\left(-2x^5-5x^4+20x^3\right)$

= $\left(-2x^5-5x^4+20x^3\right)·e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3+2}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3+2}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{6x}·6$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2-2\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2-2\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+2\left(x^2-2\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{2,1}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,1}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{2,205}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,205}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{2,3153}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,3153}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{2,431}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{78}·\left(-2e^{\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{89,907}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{10,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{10,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$