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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (2 x - 1)$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x - 1)$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \sin (2 x - 1) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \sin (2 x - 1) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 1)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 1)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 2 \cdot \cos (2 x - 1)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 1)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 2 \frac{\cos (2 x - 1)}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{69} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 28,978 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 2,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 6,4)$

= $(0,4 x - 6,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten