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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4} + 4 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4} + 4 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3) + 4 \cdot \cos (x)$

= $- 6 e^{- 3 x + 4} + 4 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(12 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(12 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} - 4 x^{2} + (12 x^{3} + 4 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} + 12 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x)$

= $(- 6 x^{4} + 12 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 3} \cdot (10 x + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{2} + 3} \cdot (10 x)$

= $10 \frac{x}{5 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{x} + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{x} + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (e^{x} + 5) \cdot (e^{x} + 0)$

= $2 (e^{x} + 5) \cdot (e^{x})$

= $2 (e^{x} + 5) \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,05}^{61} \cdot 4 e^{1,05 x}$

≈ $78,453 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 1,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 5,2)$

= $(- 0,4 x + 5,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten