$\text{f(x)}=$ $-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)+e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)+e^{3x-5}·3$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+3}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-3\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2-3\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2-3\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3\left(x^2-3\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,4641}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{64}·\left(-e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{445,792}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-3+\mathrm{1,5}x+\mathrm{1,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$