$\text{f(x)}=$ $3+3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x+2}+x^4·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x+2}+x^4·\left(-2e^{-2x+2}\right)$

= $4x^3·e^{-2x+2}-2x^4·e^{-2x+2}$

= $e^{-2x+2}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^3-3}·\left(-9x^2\right)$

= $-27·e^{-3x^3-3}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{-3x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2-5}·\left(4x+0\right)$

= $\frac{1}{2x^2-5}·\left(4x\right)$

= $4\frac{x}{2x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x-1\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x\right)+\left(x-1\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\cos \left(-3x\right)+3\left(x-1\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{0,4}x+2+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$