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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $- \frac{15}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{4 x - 5} + (- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $(- 25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{4 x - 5} + (- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $(- 25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{4 x - 5} + 4 (- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 20 x^{5} + 8 x^{2} + (- 25 x^{4} + 4 x))$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 20 x^{5} - 25 x^{4} + 8 x^{2} + 4 x)$

= $(- 20 x^{5} - 25 x^{4} + 8 x^{2} + 4 x) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 4 x + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 4 e^{3 x} + (- 4 x + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 4 e^{3 x} + 3 (- 4 x + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 4 - 12 x + 6)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x + 2)$

= $(- 12 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} - x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{47} \cdot (- 4 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,002 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 2,1)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x + 3,1)$

= $(- 0,7 x + 3,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten