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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{3} - 12 x - 9 x^{2} - 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 4)$

= $(- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 4) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x} \cdot 1$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} + 5}$

= $3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} + 5}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} + 5}} \cdot (2 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 1$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 1$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 6) - 1$

= $- 1 + (- 1,5 x + 5 + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 1 + (- 1,5 x + 11) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten