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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 3 e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 3 e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 3 e^{x - 3} \cdot 1$

= $3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 3 e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 10 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $10 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x - 2,1) + 3$

= $3 + (0,3 x - 1 - 2,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (0,3 x - 3,1) \cdot e^{- 0,3 x}$