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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{20} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x + 5} + x^{5} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x + 5} + x^{5} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + x^{5} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${0,85}^{32} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,006 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 6,2)$

= $(- 1,4 x + 6,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten