$\text{f(x)}=$ $2+\frac{1}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{2}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^5+e^{3x}·5x^4$

= $3·e^{3x}{x}^5+5·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{5x}·5$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-14+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-14\right)$

= $\left(-2x^2+2x-14\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,0725}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}·\left(-5e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,23}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-8\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-8\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$