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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{3}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{3}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{x^{2} - 2} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{x^{2} - 2} x$

= $2 x e^{x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (9 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{9 x^{2} - 8 x}{3 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (9 x - 8)}{x \cdot (3 x - 4)}$

= $\frac{9 x - 8}{x \cdot (3 x - 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 10 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x + 10)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${0,85}^{30} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,008 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 5,4) - 5$

= $- 5 + (1,8 x - 2 - 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (1,8 x - 7,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten