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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{3} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (3 x^{2} - 3 x^{3})$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 x - 3 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 4 x} \cdot (4 x - 4)$

= $\frac{4 x - 4}{2 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (- 5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (- 5 x + 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (- 5 x + 3) + x^{4} \cdot (- \sin (- 5 x + 3) \cdot (- 5 + 0))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (- 5 x + 3) + x^{4} \cdot (- \sin (- 5 x + 3) \cdot (- 5))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (- 5 x + 3) + x^{4} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x + 3)$

= $4 x^{3} \cdot \cos (- 5 x + 3) + 5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x - 7,2 - 3) - 1$

= $- 1 + (2,4 x - 7,2 - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (2,4 x - 10,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten