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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{21}{20} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 4} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 4} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 x - 5}$

= ${(3 x - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(3 x - 5)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}} \cdot (3)$

= $- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${1,05}^{80} \cdot 3 e^{1,05 x}$

≈ $148,684 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 13,2)$

= $(1,6 x - 13,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten