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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{10}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x} - e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{x} - e^{- x - 5}$

= $- x^{\frac{1}{2}} - e^{- x - 5}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{x}} - e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{x}} + e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $9 e^{3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 4} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 4} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x - 3}$

= $- 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x - 3}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x - 3}} \cdot (1)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,1}^{60} \cdot (- e^{1,1 x})$

≈ $- 304,482 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 8$

= $- e^{- 0,9 x} - (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 8$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x - 3,6 - 1) + 8$

= $8 + (0,9 x - 3,6 - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $8 + (0,9 x - 4,6) \cdot e^{- 0,9 x}$