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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x - 5) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(8 x - 5) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{2} - 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(8 x - 5) \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (8 x - 5 + (- 12 x^{2} + 15 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 23 x - 5)$

= $(- 12 x^{2} + 23 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 1} + (5 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $(20 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 1} + (5 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $(20 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 (5 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (20 x^{3} - 9 x^{2} + (- 25 x^{4} + 15 x^{3}))$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 25 x^{4} + 35 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 25 x^{4} + 35 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 2} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 2} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 1,1)}^{53} \cdot 5 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 781,236 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x - 9 - 3) - 9$

= $- 9 + (1,8 x - 9 - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 9 + (1,8 x - 12) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten