$\text{f(x)}=$ $4-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-3x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-3x-2\right)+e^{3x}·\left(-3+0\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-3x-2\right)+e^{3x}·\left(-3\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-3x-2\right)-3e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-3-9x-6\right)$

= $e^{3x}·\left(-9x-9\right)$

= $\left(-9x-9\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{-x-5}$

= $3{\left(-x-5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(-x-5\right)}^{-2}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-x-5\right)}^2}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-x-5\right)}^2}·\left(-1\right)$

= $\frac{3}{{\left(-x-5\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,8}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$