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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 2 x + 3} + (- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- 3 e^{- 2 x + 3} + (- 3 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $- 3 e^{- 2 x + 3} - 2 (- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 3 + 6 x + 4)$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (6 x + 1)$

= $(6 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x} + x^{4} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x} + x^{4} \cdot (- e^{- x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x} - x^{4} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 4} + x^{3} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 4} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 4} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${1,15}^{42} \cdot 4 e^{1,15 x}$

≈ $1416,998 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 2$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 2$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 6) - 2$

= $- 2 + (- 1,5 x + 3 + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 2 + (- 1,5 x + 9) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten