$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4}{x}^2+e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}x+e^{2x-2}·2$

= $\frac{5}{2}x+2e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x-2}·2$

= $2e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3+5x}·\left(12x^2+5\right)$

= $\frac{12x^2+5}{4x^3+5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(3x+1\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(3x+1\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(3x+1\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-7$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-7$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-5+\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{0,5}x-5+\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-7+\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$