$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{5}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x+4}+x^4·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x+4}+x^4·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $4x^3·e^{-3x+4}-3x^4·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5x}·5$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{-3x}-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(e^{-3x}-4\right)·(e^{-3x}·\left(-3\right)+0)$

= $6\left(e^{-3x}-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-18\left(e^{-3x}-4\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{8,745}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{36}·\left(-5e^{\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{765,759}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$