$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x+4}+x^5·e^{4x+4}·4$

= $5x^4·e^{4x+4}+x^5·4e^{4x+4}$

= $5x^4·e^{4x+4}+4x^5·e^{4x+4}$

= $e^{4x+4}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2x^3-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-2x^3-1\right)+e^{-2x}·\left(-6x^2+0\right)$

= $-2·e^{-2x}·\left(-2x^3-1\right)+e^{-2x}·\left(-6x^2\right)$

= $-2·e^{-2x}·\left(-2x^3-1\right)-6·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(4x^3+2-6x^2\right)$

= $e^{-2x}·\left(4x^3-6x^2+2\right)$

= $\left(4x^3-6x^2+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2-4}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2-4}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-9\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-9\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)-2\left(x^2-9\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$