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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{21}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 1} + x^{3} \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 1} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 1} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 4} + x^{2} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 4} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 4} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 7$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 7$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,5) - 7$

= $- 7 + (0,1 x - 1 - 0,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 7 + (0,1 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten