$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x+2}+x^3·e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x+2}+x^3·\left(-3e^{-3x+2}\right)$

= $3x^2·e^{-3x+2}-3x^3·e^{-3x+2}$

= $e^{-3x+2}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-3x}+\left(-x-1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-e^{-3x}+\left(-x-1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-e^{-3x}-3\left(-x-1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-1+3x+3\right)$

= $e^{-3x}·\left(3x+2\right)$

= $\left(3x+2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{3x}·3$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x+9\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x+10\right)$

= $\left(-3x+10\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{41}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,001}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x-2\right)$

= $\left(3x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$