$\text{f(x)}=$ $-1+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x\right)-4e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x+2}·2$

= $6e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{5x}·5$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+3\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+3\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+6\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+8\right)$

= $\left(4x+8\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-5+\mathrm{2,5}x-\mathrm{17,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{2,5}x-\mathrm{22,5}\right)$

= $\left(\mathrm{2,5}x-\mathrm{22,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$