$\text{f(x)}=$ $-1+2e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^3+5\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-9x^2+0\right)·e^{2x}+\left(-3x^3+5\right)·e^{2x}·2$

= $-9x^2·e^{2x}+\left(-3x^3+5\right)·2e^{2x}$

= $-9x^2·e^{2x}+2\left(-3x^3+5\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-6x^3+10-9x^2\right)$

= $e^{2x}·\left(-6x^3-9x^2+10\right)$

= $\left(-6x^3-9x^2+10\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{x}·1$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{-x}-5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(e^{-x}-5\right)}^2·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $9{\left(e^{-x}-5\right)}^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $-9{\left(e^{-x}-5\right)}^2·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{1,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(2-\mathrm{1,8}x-\mathrm{12,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{10,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{10,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$