$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+2}+\frac{8}{3}\sqrt{x}$

= $-2e^{3x+2}+\frac{8}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2e^{3x+2}·3+\frac{4}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+2}·3+\frac{4}{3\sqrt{x}}$

= $-6e^{3x+2}+\frac{4}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^3-5}·\left(-3x^2\right)$

= $-3·e^{-x^3-5}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{-x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3-4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3-4x^2}·\left(12x^2-8x\right)$

= $\frac{12x^2-8x}{4x^3-4x^2}$

= $\frac{4·1·\left(3x-2\right)}{4x·\left(x-1\right)}$

= $\frac{4\left(3x-2\right)}{4x·\left(x-1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-7\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-7\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2-7\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{41}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{308,043}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(5-\mathrm{2,5}x-\mathrm{17,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{2,5}x-\mathrm{12,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,5}x-\mathrm{12,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$