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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{7}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{7}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + x^{4} \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{59} \cdot 4 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 1107,206 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 2$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 2$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 9) - 2$

= $- 2 + (- 1,8 x + 2 + 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 2 + (- 1,8 x + 11) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten