$\text{f(x)}=$ $4-2e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $-\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^5-4\right)·e^{-5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^4+0\right)·e^{-5x+4}+\left(-4x^5-4\right)·e^{-5x+4}·\left(-5\right)$

= $-20x^4·e^{-5x+4}+\left(-4x^5-4\right)·\left(-5e^{-5x+4}\right)$

= $-20x^4·e^{-5x+4}-5\left(-4x^5-4\right)·e^{-5x+4}$

= $e^{-5x+4}·\left(20x^5+20-20x^4\right)$

= $e^{-5x+4}·\left(20x^5-20x^4+20\right)$

= $\left(20x^5-20x^4+20\right)·e^{-5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(x^3-2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(x^3-2x^2\right)+e^{-x}·\left(3x^2-4x\right)$

= $-e^{-x}\left(x^3-2x^2\right)+e^{-x}\left(3x^2-4x\right)$

= $e^{-x}·(-x^3+2x^2+\left(3x^2-4x\right))$

= $e^{-x}·\left(-x^3+5x^2-4x\right)$

= $\left(-x^3+5x^2-4x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{2x}·2$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(x+5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(x+5\right)}^4·\left(1+0\right)$

= $15{\left(x+5\right)}^4·\left(1\right)$

= $15{\left(x+5\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}·3e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,05}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+4$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+4$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(1-\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,6}\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{0,8}x+1+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $4+\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$