$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x-5}+x^5·e^{3x-5}·3$

= $5x^4·e^{3x-5}+x^5·3e^{3x-5}$

= $5x^4·e^{3x-5}+3x^5·e^{3x-5}$

= $e^{3x-5}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^3-3}·\left(-6x^2\right)$

= $12·e^{-2x^3-3}{x}^2$

= $12x^2{e}^{-2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{3x}·3$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-x^2+2\right)·\left(-2x+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(-x^2+2\right)·\left(-2x\right)$

= $-6\cos \left(-x^2+2\right)x$

= $-6x·\cos \left(-x^2+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x-14\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x-9\right)$

= $\left(-2x-9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$