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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{5}{16} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 1} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 1} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (3 x + 8) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) + (3 x + 8) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (3 x + 8) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x - 2) + 3$

= $3 + (- 0,5 x + 1 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $3 + (- 0,5 x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$