$\text{f(x)}=$ $2+\frac{7}{6}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{6}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x+1}+x^3·e^{-4x+1}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x+1}+x^3·\left(-4e^{-4x+1}\right)$

= $3x^2·e^{-4x+1}-4x^3·e^{-4x+1}$

= $e^{-4x+1}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2+4\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+0\right)·e^x+\left(-5x^2+4\right)·e^x$

= $\left(-5x^2+4\right)·e^x-10x·e^x$

= $e^x·\left(-5x^2+4-10x\right)$

= $e^x·\left(-5x^2-10x+4\right)$

= $\left(-5x^2-10x+4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-4}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3-4}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-x^2-5\right)·\left(-2x+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-x^2-5\right)·\left(-2x\right)$

= $-4\cos \left(-x^2-5\right)x$

= $-4x·\cos \left(-x^2-5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+3$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+3$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,6}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{0,6}x+3-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $3+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$