Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 10 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 10 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{- x} - (- 2 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} - 5 x^{3} + (- 10 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} - 5 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} - 5 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 4} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 4} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{3 x} + 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{3 x} + 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (e^{3 x} + 3) \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 2 (e^{3 x} + 3) \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 6 (e^{3 x} + 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 6$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 6$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x + 2,4) + 6$

= $6 + (- 0,4 x + 1 + 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $6 + (- 0,4 x + 3,4) \cdot e^{- 0,4 x}$