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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{25} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1} + (2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $(8 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1} + (2 x^{4} + x^{3}) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $(8 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1} + 2 (2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (4 x^{4} + 2 x^{3} + (8 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{2 x - 1} \cdot (4 x^{4} + 10 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{4} + 10 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(x^{2} - 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(x^{2} - 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(x^{2} - 2)}^{2} \cdot (2 x + 0)$

= $- 3 {(x^{2} - 2)}^{2} \cdot (2 x)$

= $- 6 {(x^{2} - 2)}^{2} x$

= $- 6 x {(x^{2} - 2)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{44} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $468,495 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 16)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 20)$

= $(3,2 x - 20) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten