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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) - 2 e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) - 2 e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $4 \cdot \cos (x) - 2 e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $4 \cdot \cos (x) + 2 e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 4 x - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{2} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 4 x - 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{2} + 3 x - 4 x - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{2} - x - 1)$

= $(6 x^{2} - x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \sin (x^{2}) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 2 \cos (x^{2}) \sqrt{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 1$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 1$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 1,8) - 1$

= $- 1 + (- 1,8 x + 2 + 1,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 1 + (- 1,8 x + 3,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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