$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}{x}^3+2e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{2}{x}^2+2e^{3x-4}·3$

= $-\frac{15}{2}{x}^2+6e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-3x^5+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-3x^5+5\right)+e^{3x}·\left(-15x^4+0\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-3x^5+5\right)+e^{3x}·\left(-15x^4\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-3x^5+5\right)-15·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(-9x^5+15-15x^4\right)$

= $e^{3x}·\left(-9x^5-15x^4+15\right)$

= $\left(-9x^5-15x^4+15\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{4x}·4$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(-x+2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(-x+2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(-x+2\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-x+2\right)·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(-x+2\right)+\sqrt{x}·\cos \left(-x+2\right)·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x+2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos \left(-x+2\right)·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x+2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-\cos \left(-x+2\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x+2\right)}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·\cos \left(-x+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{1,629}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{75}·\left(-2e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,043}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+3$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+3$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(5-\mathrm{0,5}x-2\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{0,5}x+5-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $3+\left(-\mathrm{0,5}x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$