$\text{f(x)}=$ $4-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{3x}·3$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x-5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+\left(x-5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+3\left(x-5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x+\mathrm{4,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x-\mathrm{0,5}\right)$

= $\left(\mathrm{4,5}x-\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$