$\text{f(x)}=$ $2+\frac{5}{7}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{10}{7}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^5+3e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{2}{x}^4+3e^{x+4}·1$

= $-\frac{15}{2}{x}^4+3e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x+3}·3$

= $6e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x-1}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x-1}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x-\mathrm{3,2}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{3,2}x-4-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-8+\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$