Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{11}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 3 x^{3} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 (- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (9 x^{3} - 15 - 9 x^{2})$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (9 x^{3} - 9 x^{2} - 15)$

= $(9 x^{3} - 9 x^{2} - 15) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 2 \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x + 7,6)$

= $(- 3,6 x + 7,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten