$\text{f(x)}=$ $5+\frac{1}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{4}{15}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3x^4}-e^{x+2}-3x^5$

= $\frac{2}{3}{x}^{-4}-e^{x+2}-3x^5$

=> f'(x) = $-\frac{8}{3}{x}^{-5}-e^{x+2}·1-15x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{3x^5}-e^{x+2}·1-15x^4$

= $-\frac{8}{3x^5}-e^{x+2}-15x^4$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{3x}·3$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-14+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-14\right)$

= $\left(-2x^2+2x-14\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-4+\mathrm{2,8}x-\mathrm{8,4}\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{2,8}x-4-\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $7+\left(\mathrm{2,8}x-\mathrm{12,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$