$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-1}+\sqrt{x}$

= $-e^{-3x-1}+x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-e^{-3x-1}·\left(-3\right)+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-1}·\left(-3\right)+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

= $3e^{-3x-1}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x-3}·2$

= $4e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3-5x}·\left(-15x^2-5\right)$

= $\frac{-15x^2-5}{-5x^3-5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(2x+4\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+\left(2x+4\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+2\left(2x+4\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-7$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-7$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-2\right)-7$

= $-7+\left(-x+2-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-7-x·e^{-\mathrm{0,5}x}$