$\text{f(x)}=$ $2-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^2+5}·4x$

= $12·e^{2x^2+5}x$

= $12x{e}^{2x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{4x}·4$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-5x+5}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-5x+5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-5x+5}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-5x+5}·\left(-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-5x+5}+\sqrt{x}·e^{-5x+5}·\left(-5\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-5x+5}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-5e^{-5x+5}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-5x+5}}{\sqrt{x}}-5\sqrt{x}·e^{-5x+5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{4,5}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,5}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{4,05}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,05}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,645}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,645}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,2805}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{56}·5e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,014}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$