Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 5} - x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x - 5} - x^{5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x - 5} \cdot 1 - 5 x^{4}$

= $- 3 e^{x - 5} - 5 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 1} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (2 x) + (x - 2) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\sin (2 x) + (x - 2) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\sin (2 x) + 2 (x - 2) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,9}^{63} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 4,8) - 8$

= $- 8 + (- 1,6 x + 2 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (- 1,6 x + 6,8) \cdot e^{- 0,8 x}$