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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{21}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{4} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{4} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 2 x^{4} + 1) + e^{- 3 x} \cdot (- 8 x^{3} + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{4} + 1) + e^{- 3 x} \cdot (- 8 x^{3})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{4} + 1) - 8 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 3 - 8 x^{3})$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 8 x^{3} - 3)$

= $(6 x^{4} - 8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 12)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 x - 7)$

= $(- 3 x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten