$\text{f(x)}=$ $3-e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $-\frac{5}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4+5x^2\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3+10x\right)·e^{-3x-2}+\left(5x^4+5x^2\right)·e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $\left(20x^3+10x\right)·e^{-3x-2}+\left(5x^4+5x^2\right)·\left(-3e^{-3x-2}\right)$

= $\left(20x^3+10x\right)·e^{-3x-2}-3\left(5x^4+5x^2\right)·e^{-3x-2}$

= $e^{-3x-2}·(-15x^4-15x^2+\left(20x^3+10x\right))$

= $e^{-3x-2}·\left(-15x^4+20x^3-15x^2+10x\right)$

= $\left(-15x^4+20x^3-15x^2+10x\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2-5x}·\left(4x-5\right)$

= $\frac{4x-5}{2x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(3x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(3x+1\right)·\left(3+0\right)$

= $-\cos \left(3x+1\right)·\left(3\right)$

= $-3\cdot \cos \left(3x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-2+\mathrm{1,4}x-7\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x-9\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x-9\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$