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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + x) \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + x) \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x + 3} + (- x^{3} + x) \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $(- 3 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x + 3} + (- x^{3} + x) \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $(- 3 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x + 3} + 3 (- x^{3} + x) \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x - 3 x^{2} + 1)$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)$

= $(- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 5) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 5) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{x} + (- 3 x^{4} + 5) \cdot e^{x}$

= $(- 3 x^{4} + 5) \cdot e^{x} - 12 x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} + 5 - 12 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 5)$

= $(- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 3 x} \cdot (10 x - 3)$

= $\frac{10 x - 3}{5 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x^{2} + 4) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $4 x \cdot \sin (x^{3}) + (2 x^{2} + 4) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $4 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x^{2} + 4) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{61} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 334,93 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 8) - 7$

= $- 7 + (- 1,6 x + 2 - 8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 7 + (- 1,6 x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten