$\text{f(x)}=$ $2-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4x^3+e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $-12x^2-2e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+1\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+1\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x+3\right)$

= $e^{3x}·\left(3x+4\right)$

= $\left(3x+4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{6x}·6$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-2x^3-4\right)}^2}$

= $3{\left(-2x^3-4\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-6{\left(-2x^3-4\right)}^{-3}·\left(-6x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(-2x^3-4\right)}^3}·\left(-6x^2+0\right)$

= $-\frac{6}{{\left(-2x^3-4\right)}^3}·\left(-6x^2\right)$

= $36\frac{x^2}{{\left(-2x^3-4\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+10\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+6\right)$

= $\left(2x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$