$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+2e^{x+1}+4x^5$

= $-2x^{\frac{3}{2}}+2e^{x+1}+4x^5$

=> f'(x) = $-3x^{\frac{1}{2}}+2e^{x+1}·1+20x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-3\sqrt{x}+2e^{x+1}·1+20x^4$

= $-3\sqrt{x}+2e^{x+1}+20x^4$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{3x}·3$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(x^2-9\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2x·\sin \left(3x\right)+\left(x^2-9\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2x·\sin \left(3x\right)+3\left(x^2-9\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$