$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3-3\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x^2+0\right)·e^{-x}+\left(-2x^3-3\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-6x^2·e^{-x}+\left(-2x^3-3\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-6x^2·e^{-x}-\left(-2x^3-3\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(2x^3+3-6x^2\right)$

= $e^{-x}·\left(2x^3-6x^2+3\right)$

= $\left(2x^3-6x^2+3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-2x}+\left(-2x+1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}+\left(-2x+1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-2e^{-2x}-2\left(-2x+1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2+4x-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(4x-4\right)$

= $\left(4x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+x}·\left(6x+1\right)$

= $\frac{6x+1}{3x^2+x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3\sqrt[4]{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^9·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{46}·\left(-e^{-\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{80,18}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-2+\mathrm{1,4}x+7\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x+5\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$