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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{5}{4} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 5 x} \cdot (- 9 x^{2} - 5)$

= $\frac{- 9 x^{2} - 5}{- 3 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- x^{2} + 1}$

= $- {(- x^{2} + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- x^{2} + 1)}^{- 2} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 1$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 1$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x + 18) + 1$

= $1 + (- 3 x + 5 + 18) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $1 + (- 3 x + 23) \cdot e^{- 0,6 x}$