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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x} + (- 4 x + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 4 e^{- 2 x} - 2 (- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 + 8 x - 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x - 10)$

= $(8 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 3} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (3 x) + (3 x - 8) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $3 \cdot \cos (3 x) + (3 x - 8) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $3 \cdot \cos (3 x) - 3 (3 x - 8) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${0,9}^{49} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,006 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 15) - 2$

= $- 2 + (3 x - 5 + 15) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (3 x + 10) \cdot e^{- 0,6 x}$