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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{20}{27} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 4 x + 1} + (3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $6 x \cdot e^{- 4 x + 1} + (3 x^{2} - 4) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $6 x \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 12 x^{2} + 16 + 6 x)$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 12 x^{2} + 6 x + 16)$

= $(- 12 x^{2} + 6 x + 16) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(6 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{3} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(6 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 6 x + 6 x^{2} - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 3)$

= $(- 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} + 2} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- x^{3} - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- x^{3} - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(- x^{3} - 4)}^{4} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $5 {(- x^{3} - 4)}^{4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 15 {(- x^{3} - 4)}^{4} x^{2}$

= $- 15 x^{2} {(- x^{3} - 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,1}^{62} \cdot (- 3 e^{1,1 x})$

≈ $- 1105,268 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 6)$

= $(1,8 x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten