$\text{f(x)}=$ $1+2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x-1}-3\sqrt{x}$

= $-2e^{x-1}-3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2e^{x-1}·1-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x-1}·1-\frac{3}{2\sqrt{x}}$

= $-2e^{x-1}-\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^3+5}·9x^2$

= $-27·e^{3x^3+5}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{3x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2-3}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2-3}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2x+5}$

= $-{\left(2x+5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = ${\left(2x+5\right)}^{-2}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(2x+5\right)}^2}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(2x+5\right)}^2}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{{\left(2x+5\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}·\left(-e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,021}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3-\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,8}\right)+2$

= $2+\left(-\mathrm{1,8}x+3+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $2+\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$