$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{3}{2}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{2}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{9}{2}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+e^{-3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $5\cdot \sin \left(x\right)-3e^{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-3}·1$

= $e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{5x}·5$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\sin \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\sin \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\sin \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(x^2\right)·2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\sin \left(x^2\right)+\sqrt[3]{x}·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2\sqrt[3]{x}\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-5$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-5$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x-9\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{1,5}x+3-9\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{1,5}x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$