$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^4-2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-16x^3+0\right)·e^{-x}+\left(-4x^4-2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-16x^3·e^{-x}+\left(-4x^4-2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-16x^3·e^{-x}-\left(-4x^4-2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(4x^4+2-16x^3\right)$

= $e^{-x}·\left(4x^4-16x^3+2\right)$

= $\left(4x^4-16x^3+2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{4x}·4$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-3x}+\sqrt{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+4$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+4$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{0,8}x-2+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $4+\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$