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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{7}{15} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 5} + x^{5} + 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x - 5} + x^{5} + 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x - 5} \cdot 1 + 5 x^{4} + 5 \cdot \cos (x)$

= $- 2 e^{x - 5} + 5 x^{4} + 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} + 2} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (- x + 3)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $3 \cdot \sin (- x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,05}^{65} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $23,84 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 5,4) + 4$

= $4 + (1,8 x - 2 - 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (1,8 x - 7,4) \cdot e^{- 0,9 x}$