$\text{f(x)}=$ $3+e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x+2}+x^2·e^{2x+2}·2$

= $2x·e^{2x+2}+x^2·2e^{2x+2}$

= $2x·e^{2x+2}+2x^2·e^{2x+2}$

= $e^{2x+2}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^3-1}·\left(-9x^2\right)$

= $27·e^{-3x^3-1}{x}^2$

= $27x^2{e}^{-3x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x}·5$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x-5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x-5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x-5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x+15\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x+17\right)$

= $\left(-6x+17\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{56}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{2,1}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,7}x-1+\mathrm{2,1}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{1,1}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$