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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 3 e^{x + 1} + \frac{9}{4 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 3 e^{x + 1} + \frac{9}{4 x^{2}}$

= $\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 3 e^{x + 1} + \frac{9}{4} x^{- 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 3 e^{x + 1} \cdot 1 - \frac{9}{2} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 3 e^{x + 1} \cdot 1 - \frac{9}{2 x^{3}}$

= $\frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 3 e^{x + 1} - \frac{9}{2 x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} - 1}$

= $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot 3 e^{- 1,1 x}$

≈ $352,173 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 9,8) - 5$

= $- 5 + (1,4 x - 2 - 9,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (1,4 x - 11,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten