Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{x + 2} + (x^{2} - 4 x) \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $(2 x - 4) \cdot e^{x + 2} + (x^{2} - 4 x) \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{2} - 4 x + 2 x - 4)$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$

= $(x^{2} - 2 x - 4) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 5 x} \cdot (- 6 x^{2} - 5)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 5}{- 2 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 3)$

= $(2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 6$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 9) + 6$

= $6 + (- 1,8 x + 3 - 9) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $6 + (- 1,8 x - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$