$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x-5}+x^4·e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x-5}+x^4·\left(-3e^{-3x-5}\right)$

= $4x^3·e^{-3x-5}-3x^4·e^{-3x-5}$

= $e^{-3x-5}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{4x}·4$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{3x}+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(e^{3x}+1\right)}^3·(e^{3x}·3+0)$

= $-12{\left(e^{3x}+1\right)}^3·\left(3e^{3x}\right)$

= $-36{\left(e^{3x}+1\right)}^3·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{63}·\left(-2e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,1}x-1+\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$