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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{18}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 3) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 3 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $(- 15 x^{4} + 3) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 3 x^{5} + 3 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $(- 15 x^{4} + 3) \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (- 3 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (12 x^{5} - 12 x - 15 x^{4} + 3)$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (12 x^{5} - 15 x^{4} - 12 x + 3)$

= $(12 x^{5} - 15 x^{4} - 12 x + 3) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} + x^{3} \cdot e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} + x^{3} \cdot (- e^{- x + 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} - x^{3} \cdot e^{- x + 5}$

= $e^{- x + 5} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 2 x} \cdot (9 x^{2} + 2)$

= $\frac{9 x^{2} + 2}{3 x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 2 x - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 2 x - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(- 2 x - 2)}^{4} \cdot (- 2 + 0)$

= $15 {(- 2 x - 2)}^{4} \cdot (- 2)$

= $- 30 {(- 2 x - 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${1,15}^{38} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $202,543 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 12,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x - 14,6)$

= $(1,8 x - 14,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten