$\text{f(x)}=$ $4+\frac{3}{2}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{2}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{6}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x+5}+x^2·e^{x+5}·1$

= $2x·e^{x+5}+x^2·e^{x+5}$

= $e^{x+5}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x}+x^3·e^{3x}·3$

= $3x^2·e^{3x}+x^3·3e^{3x}$

= $3x^2·e^{3x}+3x^3·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3x}·3$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^2\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^4·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{3,6}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,6}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{3,24}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,24}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,916}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,916}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,6244}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{54}·\left(-4e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,014}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{1,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(2-\mathrm{1,6}x-\mathrm{11,2}\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{1,6}x+2-\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $7+\left(-\mathrm{1,6}x-\mathrm{9,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$