$\text{f(x)}=$ $4+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}-2x^5·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-2x}+\left(-3x-3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-3e^{-2x}+\left(-3x-3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-3e^{-2x}-2\left(-3x-3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-3+6x+6\right)$

= $e^{-2x}·\left(6x+3\right)$

= $\left(6x+3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{7x}·7$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x-14\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x-11\right)$

= $\left(-6x-11\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x+12\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{2,4}x+4+12\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $6+\left(-\mathrm{2,4}x+16\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$