$\text{f(x)}=$ $-5+2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x+2\right)·e^{5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{5x+3}+\left(-3x+2\right)·e^{5x+3}·5$

= $-3e^{5x+3}+\left(-3x+2\right)·5e^{5x+3}$

= $-3e^{5x+3}+5\left(-3x+2\right)·e^{5x+3}$

= $e^{5x+3}·\left(-3-15x+10\right)$

= $e^{5x+3}·\left(-15x+7\right)$

= $\left(-15x+7\right)·e^{5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x+1}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x+1}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x-4\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\sin \left(x^2\right)+\left(x-4\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\sin \left(x^2\right)+2\left(x-4\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{7,6044}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{7,6044}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{8,745}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{36}·5e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{765,759}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$