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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{35}{54} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x - 5} + (4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(20 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x - 5} + (4 x^{5} - 5 x) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(20 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (8 x^{5} - 10 x + 20 x^{4} - 5)$

= $e^{2 x - 5} \cdot (8 x^{5} + 20 x^{4} - 10 x - 5)$

= $(8 x^{5} + 20 x^{4} - 10 x - 5) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} + 5} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - 2} \cdot (15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{3} - 2} \cdot (15 x^{2})$

= $15 \frac{x^{2}}{5 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{2 x^{3} - 1}$

= $2 {(2 x^{3} - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(2 x^{3} - 1)}^{- 2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{2}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}} \cdot (6 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x - 5,4) - 8$

= $- 8 + (- 1,8 x + 2 - 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 8 + (- 1,8 x - 3,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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