$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{9}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x+1}+\frac{7}{4}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x+1}·\left(-3\right)+\frac{21}{4}{x}^2$

= $-9e^{-3x+1}+\frac{21}{4}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(3x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(3x^2+1\right)·\left(6x+0\right)$

= $\cos \left(3x^2+1\right)·\left(6x\right)$

= $6\cos \left(3x^2+1\right)x$

= $6x·\cos \left(3x^2+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-3$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-3$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,9}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{0,9}x-3-\mathrm{0,9}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-3+\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{3,9}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$