$\text{f(x)}=$ $-5-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x-5}-3$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x-5}·\left(-3\right)+0$

= $-9e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3x}·3$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-x+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(-x+1\right)}^3·\left(-1+0\right)$

= $4{\left(-x+1\right)}^3·\left(-1\right)$

= $-4{\left(-x+1\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,1}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,1}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$