$\text{f(x)}=$ $1+\frac{3}{5}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{3}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x+2}+x^4·e^{3x+2}·3$

= $4x^3·e^{3x+2}+x^4·3e^{3x+2}$

= $4x^3·e^{3x+2}+3x^4·e^{3x+2}$

= $e^{3x+2}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{2x}·2$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x-14\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x-11\right)$

= $\left(-6x-11\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x-4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$