$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-3x^4-3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-3x^4-3x^2\right)+e^{-2x}·\left(-12x^3-6x\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-3x^4-3x^2\right)+e^{-2x}\left(-12x^3-6x\right)$

= $e^{-2x}·(6x^4+6x^2+\left(-12x^3-6x\right))$

= $e^{-2x}·\left(6x^4-12x^3+6x^2-6x\right)$

= $\left(6x^4-12x^3+6x^2-6x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x}·1$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x-9\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x-8\right)$

= $\left(-3x-8\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(5-x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x-1\right)$

= $\left(-x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$