$\text{f(x)}=$ $2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x+2}+2\sqrt{x}$

= $-e^{x+2}+2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-e^{x+2}·1+x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x+2}·1+\frac{1}{\sqrt{x}}$

= $-e^{x+2}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x$

= $2x·e^x+x^2·e^x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{4x}·4$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{-x}-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(e^{-x}-2\right)·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $-6\left(e^{-x}-2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $6\left(e^{-x}-2\right)·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{57}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $-\mathrm{228,762}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x+\mathrm{14,4}\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{3,6}x-4+\mathrm{14,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-7+\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$