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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + x^{5} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} - 10 x^{2} + (6 x^{2} + 10 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} - 4 x^{2} + 10 x)$

= $(- 4 x^{3} - 4 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x} \cdot (6 x - 5)$

= $\frac{6 x - 5}{3 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 20)$

= $(- 6 x + 20) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{80} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,017 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x + 2,4) + 4$

= $4 + (- 0,4 x + 1 + 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $4 + (- 0,4 x + 3,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten