$\text{f(x)}=$ $1+\frac{5}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{10}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x-1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x-1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x-1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x+3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x+5\right)$

= $\left(-6x+5\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^3+3}·3x^2$

= $-6·e^{x^3+3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+3x^2}·\left(6x^2+6x\right)$

= $\frac{6x^2+6x}{2x^3+3x^2}$

= $\frac{6·1·\left(x+1\right)}{x·\left(2x+3\right)}$

= $\frac{6\left(x+1\right)}{x·\left(2x+3\right)}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-2x^3-4}$

= $2{\left(-2x^3-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-2x^3-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-2x^3-4}}·\left(-6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-2x^3-4}}·\left(-6x^2\right)$

= $-6\frac{x^2}{\sqrt{-2x^3-4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,629}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{64}·2e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-3+\mathrm{2,1}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,1}x+\mathrm{5,4}\right)$

= $\left(\mathrm{2,1}x+\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$