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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x - 4} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x - 4} - 5 x$

$f'(x) =$ $e^{x - 4} \cdot 1 - 5$

= $e^{x - 4} - 5$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{5} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + (x^{5} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 (x^{5} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (5 x^{4} + 2 x^{5} + 8)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4} + 8)$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4} + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 3 x} \cdot (3 x^{2} + 3)$

= $\frac{3 x^{2} + 3}{x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) - 3 x^{5} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $47,201 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x + 4 - 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot 0,8 x$

= $x \cdot 0,8 e^{- 0,2 x}$