$\text{f(x)}=$ $-4+2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\cdot \cos \left(x\right)+3e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-9\cdot \sin \left(x\right)+3e^{2x+2}·2$

= $-9\cdot \sin \left(x\right)+6e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2-1\right)·e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{3x+5}+\left(-3x^2-1\right)·e^{3x+5}·3$

= $-6x·e^{3x+5}+\left(-3x^2-1\right)·3e^{3x+5}$

= $-6x·e^{3x+5}+3\left(-3x^2-1\right)·e^{3x+5}$

= $e^{3x+5}·\left(-9x^2-3-6x\right)$

= $e^{3x+5}·\left(-9x^2-6x-3\right)$

= $\left(-9x^2-6x-3\right)·e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{2x}·2$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-x-1}$

= ${\left(-x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-x-1}}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-x-1}}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-x-1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-9$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-9$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,8}\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{0,4}x+2+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$