$\text{f(x)}=$ $1-2e^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{8}{7}x}·\frac{8}{7}$

= $-\frac{16}{7}{e}^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-5x}·\left(-4x-5\right)$

= $\frac{-4x-5}{-2x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\sin \left(x\right)+4\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $6\left(\sin \left(x\right)+4\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $6\left(\sin \left(x\right)+4\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{67}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $-\mathrm{26,283}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(4-\mathrm{2,8}x+\mathrm{11,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{2,8}x+\mathrm{15,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,8}x+\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$