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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{5 x + 2} + (3 x + 4) \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $3 e^{5 x + 2} + (3 x + 4) \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $3 e^{5 x + 2} + 5 (3 x + 4) \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (3 + 15 x + 20)$

= $e^{5 x + 2} \cdot (15 x + 23)$

= $(15 x + 23) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- 2 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- 2 x^{2} - 3}$

= ${(- 2 x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{2} - 3}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{2} - 3}} \cdot (- 4 x)$

= $- 2 \frac{x}{\sqrt{- 2 x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot 4 e^{1,05 x}$

≈ $188,805 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 1,6) + 6$

= $6 + (- 1,6 x + 2 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (- 1,6 x + 3,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten