$\text{f(x)}=$ $4+\frac{5}{6}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{6}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{5}{2}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{x}·1$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{3x}+4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(e^{3x}+4\right)}^2·(e^{3x}·3+0)$

= $6{\left(e^{3x}+4\right)}^2·\left(3e^{3x}\right)$

= $18{\left(e^{3x}+4\right)}^2·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{5,5}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,5}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{6,05}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,05}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{6,655}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,655}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{7,3205}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{47}·\left(-5e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{440,987}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$