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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} - \frac{2}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} - \frac{2}{3 x^{4}}$

= $- 2 e^{- x - 1} - \frac{2}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) + \frac{8}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) + \frac{8}{3 x^{5}}$

= $2 e^{- x - 1} + \frac{8}{3 x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 8)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 7)$

= $(2 x - 7) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 3} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 3} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 3 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x - 3)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 3)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x + 2)$

= $(0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten