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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 2} + (- 5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $(- 25 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 2} + (- 5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $(- 25 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 2} + 2 (- 5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 10 x^{5} - 10 x^{4} + (- 25 x^{4} - 20 x^{3}))$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 10 x^{5} - 35 x^{4} - 20 x^{3})$

= $(- 10 x^{5} - 35 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 2} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} - 2} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(x - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(x - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(x - 4)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $12 {(x - 4)}^{3} \cdot (1)$

= $12 {(x - 4)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 7$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 7$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 1,2) - 7$

= $- 7 + (0,6 x - 1 + 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 7 + (0,6 x + 0,2) \cdot e^{- 0,6 x}$