$\text{f(x)}=$ $2+\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{3x^3}+3e^{3x-2}+\frac{1}{4}{x}^4$

= $\frac{7}{3}{x}^{-3}+3e^{3x-2}+\frac{1}{4}{x}^4$

=> f'(x) = $-7x^{-4}+3e^{3x-2}·3+x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{x^4}+3e^{3x-2}·3+x^3$

= $-\frac{7}{x^4}+9e^{3x-2}+x^3$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^3-3}·\left(-6x^2\right)$

= $-12·e^{-2x^3-3}{x}^2$

= $-12x^2{e}^{-2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^2-3}·\left(8x+0\right)$

= $\frac{1}{4x^2-3}·\left(8x\right)$

= $8\frac{x}{4x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-9\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3x}+\left(2x-9\right)·e^{3x}·3$

= $2e^{3x}+\left(2x-9\right)·3e^{3x}$

= $2e^{3x}+3\left(2x-9\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x-27\right)$

= $e^{3x}·\left(6x-25\right)$

= $\left(6x-25\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{72}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+9$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+9$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x-\mathrm{2,8}\right)+9$

= $9+\left(-\mathrm{1,4}x+2-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $9+\left(-\mathrm{1,4}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$