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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{2} - e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 x^{2} - e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $- 14 x - e^{x + 5} \cdot 1$

= $- 14 x - e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5} + (- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $(- 25 x^{4} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5} + (- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $(- 25 x^{4} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5} + 2 (- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 10 x^{5} - 6 x^{2} + (- 25 x^{4} - 6 x))$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x)$

= $(- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (3 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (3 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (3 x^{3} - 1) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (3 x^{3} - 1) \cdot (9 x^{2})$

= $- 18 \cos (3 x^{3} - 1) x^{2}$

= $- 18 x^{2} \cdot \cos (3 x^{3} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,1}^{64} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $445,792 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 12)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x + 16)$

= $(- 2,4 x + 16) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten