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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{3} - 9 x^{2} + (- 15 x^{2} - 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{3} - 24 x^{2} - 6 x)$

= $(- 15 x^{3} - 24 x^{2} - 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{2} + 1) \cdot (2 x + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (x^{2} + 1) \cdot (2 x)$

= $- 4 \cos (x^{2} + 1) x$

= $- 4 x \cdot \cos (x^{2} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 1,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 3,4)$

= $(- 0,2 x + 3,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten