$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+4\right)·e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-x+2}+\left(-2x+4\right)·e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x+2}+\left(-2x+4\right)·\left(-e^{-x+2}\right)$

= $-2e^{-x+2}-\left(-2x+4\right)·e^{-x+2}$

= $e^{-x+2}·\left(-2+2x-4\right)$

= $e^{-x+2}·\left(2x-6\right)$

= $\left(2x-6\right)·e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^2+3}·6x$

= $-6·e^{3x^2+3}x$

= $-6x{e}^{3x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-3}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-3}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-2x+5}$

= $3{\left(-2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-2x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-2x+5}}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-2x+5}}·\left(-2\right)$

= $-\frac{3}{\sqrt{-2x+5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,6244}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{59}·4e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,008}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x+3\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{1,5}x+5+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{1,5}x+8\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$