$\text{f(x)}=$ $3+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4x^4}+3e^{-x+4}$

= $-\frac{7}{4}{x}^{-4}+3e^{-x+4}$

=> f'(x) = $7x^{-5}+3e^{-x+4}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{x^5}+3e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\frac{7}{x^5}-3e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4+e^{-2x}·4x^3$

= $-2·e^{-2x}{x}^4+4·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{3x}·3$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+8\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x+8\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\sin \left(x^2\right)+\left(x+8\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\sin \left(x^2\right)+2\left(x+8\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(5-\mathrm{2,5}x-10\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{2,5}x+5-10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{2,5}x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$