$\text{f(x)}=$ $1+\frac{3}{4}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^x$

= $\frac{3}{4}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x-2}+\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x-2}·\left(-3\right)+\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-3e^{-3x-2}+\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{2x}·2$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+3\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(3x+3\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(3x+3\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(3x+3\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-9$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-9$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-4+\mathrm{2,8}x+\mathrm{8,4}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{2,8}x-4+\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-9+\left(\mathrm{2,8}x+\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$