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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 4} + x^{4} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 4} + x^{4} \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} - 3} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} - 3} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 4} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 2)$

= $(3 x - 2) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${0,85}^{35} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,003 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 1) + 9$

= $9 + (- 0,5 x + 1 + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (- 0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$