$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-5x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-5x-5}+x^2·e^{-5x-5}·\left(-5\right)$

= $2x·e^{-5x-5}+x^2·\left(-5e^{-5x-5}\right)$

= $2x·e^{-5x-5}-5x^2·e^{-5x-5}$

= $e^{-5x-5}·\left(-5x^2+2x\right)$

= $\left(-5x^2+2x\right)·e^{-5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{3x}·3$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x-4\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x\right)+\left(x-4\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\cos \left(-3x\right)+3\left(x-4\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,021}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x+5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·x$

= $x·e^{-\mathrm{0,2}x}$