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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $\frac{7}{10} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 5 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{5} + 2 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 5 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{5} - 4 x^{3} + (- 5 x^{4} + 6 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(2 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} - 3} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4 x}{- x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x - 4)}{- x \cdot (x - 2)}$

= $\frac{- (3 x - 4)}{- x \cdot (x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 2 e^{2 x}$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 2 \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 3) + 4$

= $4 + (0,6 x - 1 + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (0,6 x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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