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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - \frac{5}{2} \sqrt{x} + 3 e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - \frac{5}{2} \sqrt{x} + 3 e^{2 x - 3}$

= $2 x^{3} - \frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{2 x - 3}$

=> f'(x) = $6 x^{2} - \frac{5}{4} x^{- \frac{1}{2}} + 3 e^{2 x - 3} \cdot 2$

$f'(x) =$ $6 x^{2} - \frac{5}{4 \sqrt{x}} + 3 e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $6 x^{2} - \frac{5}{4 \sqrt{x}} + 6 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x + 4} + (- x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $(- 4 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x + 4} + (- x^{4} + 4 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $(- 4 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 (- x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (3 x^{4} - 12 x^{2} + (- 4 x^{3} + 8 x))$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x)$

= $(3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 3 x} \cdot (4 x - 3)$

= $\frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 5) + x^{3} \cdot \cos (2 x + 5) \cdot (2 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 5) + x^{3} \cdot \cos (2 x + 5) \cdot (2)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 5) + x^{3} \cdot 2 \cdot \cos (2 x + 5)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 5) + 2 x^{3} \cdot \cos (2 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x + + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot 0,6 x$

= $x \cdot 0,6 e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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