$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $\frac{15}{16}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{x^2}+3e^{-2x+4}$

= $6x^{-2}+3e^{-2x+4}$

=> f'(x) = $-12x^{-3}+3e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{12}{x^3}+3e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $-\frac{12}{x^3}-6e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4-5x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3-10x\right)·e^{2x}+\left(5x^4-5x^2\right)·e^{2x}·2$

= $\left(20x^3-10x\right)·e^{2x}+\left(5x^4-5x^2\right)·2e^{2x}$

= $\left(20x^3-10x\right)·e^{2x}+2\left(5x^4-5x^2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(10x^4-10x^2+\left(20x^3-10x\right))$

= $e^{2x}·\left(10x^4+20x^3-10x^2-10x\right)$

= $\left(10x^4+20x^3-10x^2-10x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+5}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+5}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3x}+\left(2x-3\right)·e^{3x}·3$

= $2e^{3x}+\left(2x-3\right)·3e^{3x}$

= $2e^{3x}+3\left(2x-3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x-9\right)$

= $e^{3x}·\left(6x-7\right)$

= $\left(6x-7\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{31}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{76,144}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$