$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x}+x^5·\left(-e^{-x}\right)$

= $5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^2+1}·\left(-6x\right)$

= $12·e^{-3x^2+1}x$

= $12x{e}^{-3x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3+2x}·\left(-15x^2+2\right)$

= $\frac{-15x^2+2}{-5x^3+2x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-x^2+4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(-x^2+4\right)}^4·\left(-2x+0\right)$

= $-5{\left(-x^2+4\right)}^4·\left(-2x\right)$

= $10{\left(-x^2+4\right)}^{4}x$

= $10x{\left(-x^2+4\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{72}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x-2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$