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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4} + \frac{9}{4} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4} + \frac{9}{4} x^{5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4} \cdot 3 + \frac{45}{4} x^{4}$

= $- 6 e^{3 x + 4} + \frac{45}{4} x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 10 x}{x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x + 10)}{x \cdot (x + 5)}$

= $\frac{3 x + 10}{x \cdot (x + 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 1) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 1) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${1,1}^{50} \cdot (- e^{1,1 x})$

≈ $- 117,391 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 11,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x - 7,2)$

= $(- 2,8 x - 7,2) \cdot e^{- 0,7 x}$