$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{18}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x-3}+x^3·e^{5x-3}·5$

= $3x^2·e^{5x-3}+x^3·5e^{5x-3}$

= $3x^2·e^{5x-3}+5x^3·e^{5x-3}$

= $e^{5x-3}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(3x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(3x+1\right)+e^x·\left(3+0\right)$

= $e^x\left(3x+1\right)+e^x·\left(3\right)$

= $e^x\left(3x+1\right)+3e^x$

= $e^x·\left(3+3x+1\right)$

= $e^x·\left(3x+4\right)$

= $\left(3x+4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{4x}·4$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-3x^3+4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(-3x^3+4\right)}^2·\left(-9x^2+0\right)$

= $-9{\left(-3x^3+4\right)}^2·\left(-9x^2\right)$

= $81{\left(-3x^3+4\right)}^2{x}^2$

= $81{\left(\left(-3x^3+4\right)x\right)}^2$

= $81{\left(x\left(-3x^3+4\right)\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-4+\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$