$\text{f(x)}=$ $1-e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x+4}+x^3·e^{2x+4}·2$

= $3x^2·e^{2x+4}+x^3·2e^{2x+4}$

= $3x^2·e^{2x+4}+2x^3·e^{2x+4}$

= $e^{2x+4}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^3+e^x·3x^2$

= $e^x{x}^3+3·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5x}·5$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-6\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-6\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-6\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x-18\right)$

= $e^{3x}·\left(3x-17\right)$

= $\left(3x-17\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$