$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{8}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5-x^3\right)·e^{-x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4-3x^2\right)·e^{-x-1}+\left(-2x^5-x^3\right)·e^{-x-1}·\left(-1\right)$

= $\left(-10x^4-3x^2\right)·e^{-x-1}+\left(-2x^5-x^3\right)·\left(-e^{-x-1}\right)$

= $\left(-10x^4-3x^2\right)·e^{-x-1}-\left(-2x^5-x^3\right)·e^{-x-1}$

= $e^{-x-1}·(2x^5+x^3+\left(-10x^4-3x^2\right))$

= $e^{-x-1}·\left(2x^5-10x^4+x^3-3x^2\right)$

= $\left(2x^5-10x^4+x^3-3x^2\right)·e^{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{5x}·5$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(3x-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(3x-1\right)·\left(3+0\right)$

= $-4\left(3x-1\right)·\left(3\right)$

= $-12\left(3x-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{65}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,001}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+3$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+3$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{1,6}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(2-\mathrm{1,6}x+8\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{1,6}x+2+8\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $3+\left(-\mathrm{1,6}x+10\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$