Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{3} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{3} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{5}{21} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 2,5) + 1$

= $1 + (2,5 x - 5 - 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $1 + (2,5 x - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten