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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- x + 2} + (- 2 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $(- 10 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- x + 2} + (- 2 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot (- e^{- x + 2})$

= $(- 10 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- x + 2} - (- 2 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (2 x^{5} + 3 x^{2} + (- 10 x^{4} - 6 x))$

= $e^{- x + 2} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x)$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{5} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} + 2 - 25 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} - 25 x^{4} + 2)$

= $(- 10 x^{5} - 25 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 4 x} \cdot (15 x^{2} + 4)$

= $\frac{15 x^{2} + 4}{5 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 27 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 27)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 27) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 20) - 9$

= $- 9 + (4 x - 5 - 20) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (4 x - 25) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten