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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + \cos (x) - e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + \cos (x) - e^{- x - 2}$

= $- 2 x^{- 3} + \cos (x) - e^{- x - 2}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4} - \sin (x) - e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}} - \sin (x) - e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $\frac{6}{x^{4}} - \sin (x) + e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 4 x}{2 x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{2 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{2 (3 x - 2)}{2 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x - 9) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) + (3 x - 9) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x - 9) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${1,15}^{32} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $87,565 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 3$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x + 5,4 + 2) + 3$

= $3 + (- 1,8 x + 5,4 + 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $3 + (- 1,8 x + 7,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten