$\text{f(x)}=$ $-1-e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3-4x\right)·e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x^2-4\right)·e^{-2x-4}+\left(-2x^3-4x\right)·e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $\left(-6x^2-4\right)·e^{-2x-4}+\left(-2x^3-4x\right)·\left(-2e^{-2x-4}\right)$

= $\left(-6x^2-4\right)·e^{-2x-4}-2\left(-2x^3-4x\right)·e^{-2x-4}$

= $e^{-2x-4}·\left(4x^3+8x-6x^2-4\right)$

= $e^{-2x-4}·\left(4x^3-6x^2+8x-4\right)$

= $\left(4x^3-6x^2+8x-4\right)·e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^2-1}·2x$

= $-2·e^{x^2-1}x$

= $-2x{e}^{x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{3x}·3$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(-2x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(-2x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(-2x\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(-2x\right)+\sqrt{x}·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-2x\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-2x\right)}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+3$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+3$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x-1\right)+3$

= $3+\left(x-5-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $3+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$