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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x - 3}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} + 0) \cdot e^{4 x - 3} + (4 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

= $20 x^{4} \cdot e^{4 x - 3} + (4 x^{5} + 2) \cdot 4 e^{4 x - 3}$

= $20 x^{4} \cdot e^{4 x - 3} + 4 (4 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x - 3}$

= $e^{4 x - 3} \cdot (16 x^{5} + 8 + 20 x^{4})$

= $e^{4 x - 3} \cdot (16 x^{5} + 20 x^{4} + 8)$

= $(16 x^{5} + 20 x^{4} + 8) \cdot e^{4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 1) \cdot e^{- x - 1} + (- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $(- 16 x^{3} + 1) \cdot e^{- x - 1} + (- 4 x^{4} + x) \cdot (- e^{- x - 1})$

= $(- 16 x^{3} + 1) \cdot e^{- x - 1} - (- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (4 x^{4} - x - 16 x^{3} + 1)$

= $e^{- x - 1} \cdot (4 x^{4} - 16 x^{3} - x + 1)$

= $(4 x^{4} - 16 x^{3} - x + 1) \cdot e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 5 x} \cdot (- 8 x - 5)$

= $\frac{- 8 x - 5}{- 4 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x + 1)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (x + 1)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x + 1) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x + 1) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x + 1)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x + 1) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 x - 1)$

= $(- 3 x - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten