$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x+4}+\left(3x+1\right)·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x+4}+\left(3x+1\right)·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $3e^{-3x+4}-3\left(3x+1\right)·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·\left(3-9x-3\right)$

= $e^{-3x+4}·\left(-9x+0\right)$

= $e^{-3x+4}·\left(-9x\right)$

= $x·\left(-9e^{-3x+4}\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{7x}·7$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+9\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+9\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3\left(x^2+9\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{74}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,022}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x-\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$