Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1} + (- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $(- 20 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1} + (- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $(- 20 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1} + 3 (- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 12 x^{5} + 3 x^{4} + (- 20 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 12 x^{5} - 17 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 12 x^{5} - 17 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 2) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 2) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x - 2) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $490,371 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 1$

= $- e^{- 0,3 x} - (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 1$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x + 1,5) - 1$

= $- 1 + (0,3 x - 1 + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 1 + (0,3 x + 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten