$\text{f(x)}=$ $1-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-5x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-5x+2}+x^5·e^{-5x+2}·\left(-5\right)$

= $5x^4·e^{-5x+2}+x^5·\left(-5e^{-5x+2}\right)$

= $5x^4·e^{-5x+2}-5x^5·e^{-5x+2}$

= $e^{-5x+2}·\left(-5x^5+5x^4\right)$

= $\left(-5x^5+5x^4\right)·e^{-5x+2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x-1}·1$

= $3e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-9\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x-9\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x-9\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x-9\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$