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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (2 x - 5 x^{2})$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{x^{2} - 2} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{x^{2} - 2} x$

= $2 x e^{x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 5 x} \cdot (6 x + 5)$

= $\frac{6 x + 5}{3 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\sin (x) + 3) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $6 (\sin (x) + 3) \cdot (\cos (x))$

= $6 (\sin (x) + 3) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x + 3,2 - 1)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x + 2,2)$

= $(0,8 x + 2,2) \cdot e^{- 0,8 x}$