$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-2x\right)·e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x-2\right)·e^{x-2}+\left(-5x^2-2x\right)·e^{x-2}·1$

= $\left(-10x-2\right)·e^{x-2}+\left(-5x^2-2x\right)·e^{x-2}$

= $e^{x-2}·\left(-5x^2-2x-10x-2\right)$

= $e^{x-2}·\left(-5x^2-12x-2\right)$

= $\left(-5x^2-12x-2\right)·e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x^3+5}·3x^2$

= $9·e^{x^3+5}{x}^2$

= $9x^2{e}^{x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{2x}·2$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3x}+\left(2x-1\right)·e^{3x}·3$

= $2e^{3x}+\left(2x-1\right)·3e^{3x}$

= $2e^{3x}+3\left(2x-1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x-3\right)$

= $e^{3x}·\left(6x-1\right)$

= $\left(6x-1\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x+\mathrm{0,9}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{0,9}x-3+\mathrm{0,9}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-8+\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{2,1}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$