$\text{f(x)}=$ $2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2-2x}·\left(-6x-2\right)$

= $\frac{-6x-2}{-3x^2-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x+8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x+8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x+8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x-16\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x-14\right)$

= $\left(-4x-14\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{45}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,009}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$