$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $-\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^5-2e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}{x}^4-2e^{x+3}·1$

= $\frac{5}{2}{x}^4-2e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2-5}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2-5}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{3x}+5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(e^{3x}+5\right)}^4·(e^{3x}·3+0)$

= $10{\left(e^{3x}+5\right)}^4·\left(3e^{3x}\right)$

= $30{\left(e^{3x}+5\right)}^4·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{30}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,008}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$