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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{7}{9} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{7}{9} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{28}{45} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 5} + 3 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 5} + 3 x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 5} \cdot (- 1) + 15 x^{4}$

= $- e^{- x + 5} + 15 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 4 x} \cdot (- 15 x^{2} + 4)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 4}{- 5 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(3 x - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(3 x - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (3 x - 4) \cdot (3 + 0)$

= $- 4 (3 x - 4) \cdot (3)$

= $- 12 (3 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{32} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $87,565 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 8$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 5) + 8$

= $8 + (- x + 2 - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $8 + (- x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$