$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^3+4\right)·e^{-4x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(9x^2+0\right)·e^{-4x+4}+\left(3x^3+4\right)·e^{-4x+4}·\left(-4\right)$

= $9x^2·e^{-4x+4}+\left(3x^3+4\right)·\left(-4e^{-4x+4}\right)$

= $9x^2·e^{-4x+4}-4\left(3x^3+4\right)·e^{-4x+4}$

= $e^{-4x+4}·\left(-12x^3-16+9x^2\right)$

= $e^{-4x+4}·\left(-12x^3+9x^2-16\right)$

= $\left(-12x^3+9x^2-16\right)·e^{-4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^3+5}·\left(-3x^2\right)$

= $6·e^{-x^3+5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{4x}·4$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x-2\right)$

= $\left(-3x-2\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{78}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,018}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-4$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-4$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,5}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{1,5}x-5-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-4+\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{6,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$