$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^5+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5x^4+0\right)·e^{-2x}+\left(x^5+4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+\left(x^5+4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2\left(x^5+4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5-8+5x^4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4-8\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4-8\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x+3}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{x+3}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{2x+5}$

= $-{\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(2x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+5}}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+5}}·\left(2\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-3+\mathrm{1,5}x+9\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{1,5}x-3+9\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-6+\left(\mathrm{1,5}x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$