$\text{f(x)}=$ $-2-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^5+x\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^4+1\right)·e^{-2x+1}+\left(3x^5+x\right)·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $\left(15x^4+1\right)·e^{-2x+1}+\left(3x^5+x\right)·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $\left(15x^4+1\right)·e^{-2x+1}-2\left(3x^5+x\right)·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-6x^5-2x+15x^4+1\right)$

= $e^{-2x+1}·\left(-6x^5+15x^4-2x+1\right)$

= $\left(-6x^5+15x^4-2x+1\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3+2}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3+2}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7x}·7$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2-2\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2-2\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3\left(x^2-2\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,996}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{34}·4e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{463,219}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x+1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x+3\right)$

= $\left(-x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$