$\text{f(x)}=$ $-4+2e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x+3}+x^4·e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x+3}+x^4·\left(-3e^{-3x+3}\right)$

= $4x^3·e^{-3x+3}-3x^4·e^{-3x+3}$

= $e^{-3x+3}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3-2}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3-2}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{7x}·7$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+7\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+7\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+7\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+14\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+16\right)$

= $\left(4x+16\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{4,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(5-\mathrm{4,5}x-27\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{4,5}x+5-27\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{4,5}x-22\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$