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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5} + (- 3 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $(- 15 x^{4} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5} + (- 3 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $(- 15 x^{4} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 (- 3 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (12 x^{5} + 20 x^{3} + (- 15 x^{4} - 15 x^{2}))$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (12 x^{5} - 15 x^{4} + 20 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(12 x^{5} - 15 x^{4} + 20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(4 x^{3} - 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (x^{4} - 5 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(4 x^{3} - 10 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 15 x^{2} + (4 x^{3} - 10 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 15 x^{2} - 10 x)$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 21)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 18)$

= $(9 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 19,6) + 2$

= $2 + (- 2,8 x + 4 - 19,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (- 2,8 x - 15,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten