$\text{f(x)}=$ $-1+e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x-4}+x^5·e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x-4}+x^5·\left(-2e^{-2x-4}\right)$

= $5x^4·e^{-2x-4}-2x^5·e^{-2x-4}$

= $e^{-2x-4}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^2+4}·\left(-2x\right)$

= $-2·e^{-x^2+4}x$

= $-2x{e}^{-x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^2+3}·\left(-8x+0\right)$

= $\frac{1}{-4x^2+3}·\left(-8x\right)$

= $-8\frac{x}{-4x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-5{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $5{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}^4·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(1-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,6}\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{0,1}x+1+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$