$\text{f(x)}=$ $1+2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-x^3+2\right)+e^{3x}·\left(-3x^2+0\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-x^3+2\right)+e^{3x}·\left(-3x^2\right)$

= $3·e^{3x}·\left(-x^3+2\right)-3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(-3x^3+6-3x^2\right)$

= $e^{3x}·\left(-3x^3-3x^2+6\right)$

= $\left(-3x^3-3x^2+6\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{7x}·7$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{-x}+4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(e^{-x}+4\right)}^2·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $9{\left(e^{-x}+4\right)}^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $-9{\left(e^{-x}+4\right)}^2·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,9282}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{65}·2e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $-\mathrm{980,741}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,3}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-3+\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,8}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{0,3}x-3-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $3+\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$