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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} - 8 x) \cdot e^{4 x - 5} + (2 x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $(10 x^{4} - 8 x) \cdot e^{4 x - 5} + (2 x^{5} - 4 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $(10 x^{4} - 8 x) \cdot e^{4 x - 5} + 4 (2 x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (8 x^{5} - 16 x^{2} + (10 x^{4} - 8 x))$

= $e^{4 x - 5} \cdot (8 x^{5} + 10 x^{4} - 16 x^{2} - 8 x)$

= $(8 x^{5} + 10 x^{4} - 16 x^{2} - 8 x) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 4} \cdot 1$

= $- 3 e^{x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(e^{- x} + 5)}^{2} \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 6 {(e^{- x} + 5)}^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $6 {(e^{- x} + 5)}^{2} \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 1,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x + 2,8)$

= $(- 0,9 x + 2,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten