Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{5} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{5} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{6}{5} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5} + (3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(15 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5} + (3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(15 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (6 x^{5} + 10 x^{4} + (15 x^{4} + 20 x^{3}))$

= $e^{2 x - 5} \cdot (6 x^{5} + 25 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(6 x^{5} + 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 8)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 11)$

= $(6 x + 11) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{42} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 6$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 6$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 9,6) + 6$

= $6 + (1,6 x - 4 + 9,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $6 + (1,6 x + 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten