$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+4x\right)·e^{-x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+4\right)·e^{-x+5}+\left(2x^2+4x\right)·e^{-x+5}·\left(-1\right)$

= $\left(4x+4\right)·e^{-x+5}+\left(2x^2+4x\right)·\left(-e^{-x+5}\right)$

= $\left(4x+4\right)·e^{-x+5}-\left(2x^2+4x\right)·e^{-x+5}$

= $e^{-x+5}·\left(-2x^2-4x+4x+4\right)$

= $e^{-x+5}·\left(-2x^2+0+4\right)$

= $e^{-x+5}·\left(-2x^2+4\right)$

= $\left(-2x^2+4\right)·e^{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{4x}·4$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-3x^2+3}$

= $3{\left(-3x^2+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-3x^2+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-3x^2+3}}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-3x^2+3}}·\left(-6x\right)$

= $-9\frac{x}{\sqrt{-3x^2+3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+2$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+2$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}\right)+2$

= $2+\left(\mathrm{0,6}x-1+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $2+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$