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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 2 e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $\frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 6 e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 1} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{3} + 1} \cdot (12 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(x^{3} - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x^{3} - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (x^{3} - 4) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $4 (x^{3} - 4) \cdot (3 x^{2})$

= $12 (x^{3} - 4) x^{2}$

= $12 x^{2} (x^{3} - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,15 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,3075 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,4729 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,6465 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{75} \cdot (- 3 e^{- 1,05 x})$

≈ $116,498 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 20)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 x - 15)$

= $(- 4 x - 15) \cdot e^{- 0,8 x}$