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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{8}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 5 e^{- 3 x} + (- 5 x + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 5 e^{- 3 x} - 3 (- 5 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 15 x - 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x - 20)$

= $(15 x - 20) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{44} \cdot 3 e^{- 1,15 x}$

≈ $1405,485 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 25,2) - 5$

= $- 5 + (- 3,6 x + 4 - 25,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (- 3,6 x - 21,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten