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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 1} + (- 5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $(- 15 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 1} + (- 5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $(- 15 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 1} + 5 (- 5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (- 25 x^{3} + 10 x^{2} + (- 15 x^{2} + 4 x))$

= $e^{5 x - 1} \cdot (- 25 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x)$

= $(- 25 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $- 4 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 4 x} \cdot (6 x^{2} - 4)$

= $\frac{6 x^{2} - 4}{2 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(\cos (x) + 2)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 10 {(\cos (x) + 2)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $10 {(\cos (x) + 2)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 3$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 3$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x + 1,5) - 3$

= $- 3 + (- 0,3 x + 1 + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 3 + (- 0,3 x + 2,5) \cdot e^{- 0,3 x}$