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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x^{4} + 1) + e^{3 x} \cdot (12 x^{3} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 1) + e^{3 x} \cdot (12 x^{3})$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 1) + 12 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{4} + 3 + 12 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{4} + 12 x^{3} + 3)$

= $(9 x^{4} + 12 x^{3} + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 7) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 7) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x - 7) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 9$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 9$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 1,8) - 9$

= $- 9 + (0,6 x - 2 - 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 9 + (0,6 x - 3,8) \cdot e^{- 0,3 x}$