$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-x^3-2\right)}^2}$

= $2{\left(-x^3-2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-4{\left(-x^3-2\right)}^{-3}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(-x^3-2\right)}^3}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-\frac{4}{{\left(-x^3-2\right)}^3}·\left(-3x^2\right)$

= $12\frac{x^2}{{\left(-x^3-2\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,5}\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{0,9}x+1-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $7+\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$