$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{7}{36}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{3x}·3$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{-3x-2}$

= $3{\left(-3x-2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(-3x-2\right)}^{-2}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-3x-2\right)}^2}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-3x-2\right)}^2}·\left(-3\right)$

= $\frac{9}{{\left(-3x-2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-3+\mathrm{2,1}x-\mathrm{6,3}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{9,3}\right)$

= $\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{9,3}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$