Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{7}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 2 e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} - 2 e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{x} + (- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4} + (- 15 x^{4} + 20 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{5} - 10 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(- 3 x^{5} - 10 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{3} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x - 3))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) - 4 x^{3} \cdot \cos (- 4 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot 3 e^{- 1,1 x}$

≈ $352,173 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 8,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x + 5,4)$

= $(1,2 x + 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten