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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 1} - 4 \cdot \cos (x) - \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 1} - 4 \cdot \cos (x) - \frac{1}{x^{2}}$

= $3 e^{2 x + 1} - 4 \cdot \cos (x) - x^{- 2}$

=> f'(x) = $3 e^{2 x + 1} \cdot 2 + 4 \cdot \sin (x) + 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 1} \cdot 2 + 4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{3}}$

= $6 e^{2 x + 1} + 4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{5} + e^{- x} \cdot 5 x^{4}$

= $- e^{- x} x^{5} + 5 \cdot e^{- x} x^{4}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (e^{3 x} - 3) \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 6 (e^{3 x} - 3) \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 18 (e^{3 x} - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $251,638 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x - 13)$

= $(- 4,5 x - 13) \cdot e^{- 0,9 x}$