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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 5} + x^{2} \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 5} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 5} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 6 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) + e^{3 x} (- 12 x^{3} - 6 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 6 x^{3} + (- 12 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 18 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 9 x^{4} - 18 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 3} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 3} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 4 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot 4 e^{1,15 x}$

≈ $532,702 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 6$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x - 4,2) - 6$

= $- 6 + (0,6 x - 3 - 4,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 6 + (0,6 x - 7,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten