$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{10}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{10}{9}x}·\frac{10}{9}$

= $-\frac{10}{3}{e}^{\frac{10}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+2}-\frac{3}{x^2}$

= $-2e^{-x+2}-3x^{-2}$

=> f'(x) = $-2e^{-x+2}·\left(-1\right)+6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+2}·\left(-1\right)+\frac{6}{x^3}$

= $2e^{-x+2}+\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x}·1$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-3x}+\left(2x^2+2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x·e^{-3x}+\left(2x^2+2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x·e^{-3x}-3\left(2x^2+2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2-6+4x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+4x-6\right)$

= $\left(-6x^2+4x-6\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{1083,657}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x-\mathrm{6,3}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{9,3}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{9,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$