$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{3x}·3$

= $e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^4+e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $16x^3+e^{x-5}·1$

= $16x^3+e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x}·1$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x}+\sqrt{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,7}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,7}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,43}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,43}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,187}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,187}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,9683}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{47}·3e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,021}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+4$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+4$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{1,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(2-\mathrm{1,6}x+\mathrm{3,2}\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{1,6}x+2+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $4+\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$