$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{21}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)-e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)-e^{2x+5}·2$

= $5\cdot \sin \left(x\right)-2e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^2+5}·6x$

= $-6·e^{3x^2+5}x$

= $-6x{e}^{3x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{7x}·7$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(2x\right)+x^3·\cos \left(2x\right)·2$

= $3x^2·\sin \left(2x\right)+x^3·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $3x^2·\sin \left(2x\right)+2x^3·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{0,3}x+1-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $3+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$