$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+e^{3x-2}·3$

= $4\cdot \sin \left(x\right)+3e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+9\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+9\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+9\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x+27\right)$

= $e^{3x}·\left(3x+28\right)$

= $\left(3x+28\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{79}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,017}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{1,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,4}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{1,8}x+2+\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $6+\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{7,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$