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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x + 4}$

= $- 3 {(- 2 x + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- 2 x + 4)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{6}{{(- 2 x + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 7$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x - 2,1) - 7$

= $- 7 + (2,1 x - 3 - 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 7 + (2,1 x - 5,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten