$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x-5}+\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x-5}·2-\sin \left(x\right)$

= $2e^{2x-5}-\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^2+1}·\left(8x+0\right)$

= $\frac{1}{4x^2+1}·\left(8x\right)$

= $8\frac{x}{4x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x+9\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x+12\right)$

= $\left(-9x+12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(3-\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$