$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^4+4x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x^3+8x\right)·e^{-x}+\left(-x^4+4x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-4x^3+8x\right)·e^{-x}+\left(-x^4+4x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-4x^3+8x\right)·e^{-x}-\left(-x^4+4x^2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(-4x^3+8x+\left(x^4-4x^2\right))$

= $e^{-x}·\left(x^4-4x^3-4x^2+8x\right)$

= $\left(x^4-4x^3-4x^2+8x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^3-1}·\left(-3x^2\right)$

= $-3·e^{-x^3-1}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{-x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3+3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3+3x^2}·\left(-9x^2+6x\right)$

= $\frac{-9x^2+6x}{-3x^3+3x^2}$

= $\frac{-3·1·\left(3x-2\right)}{-3x·\left(x-1\right)}$

= $\frac{-3\left(3x-2\right)}{-3x·\left(x-1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{2x-2}$

= $-2{\left(2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(2x-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{2x-2}}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{2x-2}}·\left(2\right)$

= $-\frac{2}{\sqrt{2x-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{10,5}-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$