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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x - 4} + x^{3} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x - 4} + x^{3} \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4} + 10 x^{3} + (- 20 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4} - 10 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(10 x^{4} - 10 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 2} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 2} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 15 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 15)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{32} \cdot 3 e^{- 1,15 x}$

≈ $262,695 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 7$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 3,6) - 7$

= $- 7 + (1,2 x - 3 + 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 7 + (1,2 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten