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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $- \frac{10}{3} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} x^{5} - 3 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{2} x^{5} - 3 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $\frac{25}{2} x^{4} - 3 e^{x + 2} \cdot 1$

= $\frac{25}{2} x^{4} - 3 e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 3} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 3} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 12)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 14)$

= $(4 x + 14) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${1,15}^{40} \cdot 5 e^{1,15 x}$

≈ $1339,318 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 5,6) + 4$

= $4 + (2,8 x - 4 + 5,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $4 + (2,8 x + 1,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten