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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3 e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} + 3 e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $6 x + 3 e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $6 x + 9 e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 1} + x^{2} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 1} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} - 2 x}{- 3 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (9 x + 2)}{- x \cdot (3 x + 1)}$

= $\frac{- (9 x + 2)}{- x \cdot (3 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 3 x) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 3 x)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 2 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,8 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 1,8 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,62 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 1,62 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,458 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,458 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,3122 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${0,9}^{52} \cdot (- 2 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,008 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 0,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x - 2,6)$

= $(0,6 x - 2,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten