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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + x^{4} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 4} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,1)}^{46} \cdot (- 4 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 320,718 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 8,4) + 5$

= $5 + (2,1 x - 3 + 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $5 + (2,1 x + 5,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten