$\text{f(x)}=$ $5-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x+1}+x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x+1}·1+4x^3$

= $-3e^{x+1}+4x^3$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x-2}·3$

= $3e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{7x}·7$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

= ${\left(x+2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-2{\left(x+2\right)}^{-3}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(x+2\right)}^3}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(x+2\right)}^3}·\left(1\right)$

= $-\frac{2}{{\left(x+2\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x+\mathrm{11,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{15,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$