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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 10 x) \cdot e^{2 x - 5} + (- 4 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(- 20 x^{4} + 10 x) \cdot e^{2 x - 5} + (- 4 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(- 20 x^{4} + 10 x) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (- 4 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 8 x^{5} + 10 x^{2} + (- 20 x^{4} + 10 x))$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 8 x^{5} - 20 x^{4} + 10 x^{2} + 10 x)$

= $(- 8 x^{5} - 20 x^{4} + 10 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 3} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (3 x) + x^{5} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x) + x^{5} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x) + 3 x^{5} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${0,95}^{78} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,018 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 8,4) - 4$

= $- 4 + (1,4 x - 2 + 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (1,4 x + 6,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten