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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $\frac{11}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 2} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 2} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 2} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 3 x} \cdot (8 x - 3)$

= $\frac{8 x - 3}{4 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x - 8) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (3 x) + (3 x - 8) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x - 8) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,1)}^{63} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 405,265 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 3,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x - 4,5)$

= $(0,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten