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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{9}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 2} + x^{3} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 2} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4} \cdot 9 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 3 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{48} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $97,017 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 8$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 8$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 1,8) - 8$

= $- 8 + (- 1,8 x + 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 8 + (- 1,8 x + 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten