$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{3}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2+4x\right)·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+4\right)·e^{4x-5}+\left(-5x^2+4x\right)·e^{4x-5}·4$

= $\left(-10x+4\right)·e^{4x-5}+\left(-5x^2+4x\right)·4e^{4x-5}$

= $\left(-10x+4\right)·e^{4x-5}+4\left(-5x^2+4x\right)·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(-20x^2+16x-10x+4\right)$

= $e^{4x-5}·\left(-20x^2+6x+4\right)$

= $\left(-20x^2+6x+4\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4x-1\right)$

= $\left(4x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$