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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{5} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{5} - 2)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{5} - 2) + e^{x} \cdot (25 x^{4} + 0)$

= $e^{x} (5 x^{5} - 2) + e^{x} \cdot (25 x^{4})$

= $e^{x} (5 x^{5} - 2) + 25 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} - 2 + 25 x^{4})$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} + 25 x^{4} - 2)$

= $(5 x^{5} + 25 x^{4} - 2) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{4 x + 3}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{4 x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{4 x + 3} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{4 x + 3} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{4 x + 3}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{4 x + 3}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 4 \sqrt[3]{x} \cdot e^{4 x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${0,95}^{70} \cdot (- 3 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,083 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 1$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 10,5) - 1$

= $- 1 + (2,1 x - 3 + 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 1 + (2,1 x + 7,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten