$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{4}{5}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $\frac{2}{5}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x+5}+x^2·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x+5}+x^2·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $2x·e^{-4x+5}-4x^2·e^{-4x+5}$

= $e^{-4x+5}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2-3}·\left(10x+0\right)$

= $\frac{1}{5x^2-3}·\left(10x\right)$

= $10\frac{x}{5x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-9{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-9{\left(\sin \left(x\right)+4\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}·\left(-e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{27,598}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5}\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{0,5}x+1-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$