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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 2 x + 2} + (- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- 5 e^{- 2 x + 2} + (- 5 x - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $- 5 e^{- 2 x + 2} - 2 (- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 5 + 10 x + 2)$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (10 x - 3)$

= $(10 x - 3) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} - 2}$

= $3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 2}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 2}} \cdot (2 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 17,5) + 4$

= $4 + (- 2,5 x + 5 - 17,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (- 2,5 x - 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten