$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2-2\right)·e^{-5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x+0\right)·e^{-5x-3}+\left(-2x^2-2\right)·e^{-5x-3}·\left(-5\right)$

= $-4x·e^{-5x-3}+\left(-2x^2-2\right)·\left(-5e^{-5x-3}\right)$

= $-4x·e^{-5x-3}-5\left(-2x^2-2\right)·e^{-5x-3}$

= $e^{-5x-3}·\left(10x^2+10-4x\right)$

= $e^{-5x-3}·\left(10x^2-4x+10\right)$

= $\left(10x^2-4x+10\right)·e^{-5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x+4}·2$

= $-6e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3x}·3$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{-2x}+3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(e^{-2x}+3\right)}^4·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $10{\left(e^{-2x}+3\right)}^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-20{\left(e^{-2x}+3\right)}^4·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{71}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,026}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-1+\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$