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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $- \frac{9}{2} e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2} + (- 5 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $(- 25 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2} + (- 5 x^{5} - x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $(- 25 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 (- 5 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (10 x^{5} + 2 x^{3} + (- 25 x^{4} - 3 x^{2}))$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (10 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(10 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(15 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(15 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{5} - 4 x^{3} + (15 x^{4} - 6 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(6 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 4$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 4$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 4$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 2,8) + 4$

= $4 + (- 0,4 x + 2 - 2,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $4 + (- 0,4 x - 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten