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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 4 x - 1} + (x - 5) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $e^{- 4 x - 1} + (x - 5) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $e^{- 4 x - 1} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x + 20 + 1)$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x + 21)$

= $(- 4 x + 21) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} - 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} - 2} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} + x^{3} \cdot e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} + x^{3} \cdot (- e^{- x + 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} - x^{3} \cdot e^{- x + 5}$

= $e^{- x + 5} \cdot (3 x^{2} - x^{3})$

= $e^{- x + 5} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x + 2,8 + 1) + 5$

= $5 + (- 0,7 x + 2,8 + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $5 + (- 0,7 x + 3,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten