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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 4} + x^{5} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 4} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 4} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 6 x^{3} + (15 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} + 15 x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 6 x^{5} + 15 x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + x} \cdot (- 4 x + 1)$

= $\frac{- 4 x + 1}{- 2 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (- 2 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (- 2 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- 2 x^{3} + 1) \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (- 2 x^{3} + 1) \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \sin (- 2 x^{3} + 1) x^{2}$

= $12 x^{2} \cdot \sin (- 2 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 14,4) - 8$

= $- 8 + (- 3,6 x + 4 - 14,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 8 + (- 3,6 x - 10,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten