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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + x^{5} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot (- 2 x + 4)$

= $e^{x} \cdot (- x^{2} + 4 x - 2 x + 4)$

= $e^{x} \cdot (- x^{2} + 2 x + 4)$

= $(- x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(\sin (x) - 1)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 6 {(\sin (x) - 1)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $- 6 {(\sin (x) - 1)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 8$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 0,4) - 8$

= $- 8 + (0,4 x - 2 - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 8 + (0,4 x - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$