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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 5) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 5) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{x} + (2 x^{3} - 5) \cdot e^{x}$

= $(2 x^{3} - 5) \cdot e^{x} + 6 x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 5 + 6 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

= $(2 x^{3} + 6 x^{2} - 5) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + x^{3} \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x - 1)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 1) + x^{5} \cdot \cos (3 x - 1) \cdot (3 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 1) + x^{5} \cdot \cos (3 x - 1) \cdot (3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 1) + x^{5} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 1)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 1) + 3 x^{5} \cdot \cos (3 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $36,984 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 1,2) - 6$

= $- 6 + (0,3 x - 3 + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (0,3 x - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten