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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{8}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 20 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 20 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x} - (- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{5} - 5 x^{4} + (- 20 x^{4} + 20 x^{3}))$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{5} - 25 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(4 x^{5} - 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 2 x + 4)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x + 4) + x^{4} \cdot \cos (- 2 x + 4) \cdot (- 2 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x + 4) + x^{4} \cdot \cos (- 2 x + 4) \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x + 4) + x^{4} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x + 4))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x + 4) - 2 x^{4} \cdot \cos (- 2 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x + 7,6)$

= $(1,6 x + 7,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten