Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 2) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 2) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} - 2) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} - 2) \cdot (- e^{- x})$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x} - (- 2 x^{5} - 2) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} + 2 - 10 x^{4})$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} + 2)$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} + 2) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x} + (- 4 x + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 4 e^{2 x} + 2 (- 4 x + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 - 8 x + 8)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x + 4)$

= $(- 8 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 18 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x + 18)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x + 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 2$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 2$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x - 2) - 2$

= $- 2 + (- 2 x + 5 - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 2 + (- 2 x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten