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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{5}{4} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + x^{3} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(15 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 4 x^{4} + (15 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} + 11 x^{4} + 8 x^{3})$

= $(- 6 x^{5} + 11 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - 5 x} \cdot (15 x^{2} - 5)$

= $\frac{15 x^{2} - 5}{5 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $2 \cdot \sin (2 x - 5) \cdot (2)$

= $4 \cdot \sin (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 6) + 8$

= $8 + (2 x - 4 - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $8 + (2 x - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten