$\text{f(x)}=$ $3+2e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5-3x\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4-3\right)·e^{-2x+2}+\left(-3x^5-3x\right)·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $\left(-15x^4-3\right)·e^{-2x+2}+\left(-3x^5-3x\right)·\left(-2e^{-2x+2}\right)$

= $\left(-15x^4-3\right)·e^{-2x+2}-2\left(-3x^5-3x\right)·e^{-2x+2}$

= $e^{-2x+2}·\left(6x^5+6x-15x^4-3\right)$

= $e^{-2x+2}·\left(6x^5-15x^4+6x-3\right)$

= $\left(6x^5-15x^4+6x-3\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+7\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{3x}+\left(3x^2+7\right)·e^{3x}·3$

= $6x·e^{3x}+\left(3x^2+7\right)·3e^{3x}$

= $6x·e^{3x}+3\left(3x^2+7\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(9x^2+21+6x\right)$

= $e^{3x}·\left(9x^2+6x+21\right)$

= $\left(9x^2+6x+21\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$