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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 2} + (- 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $(- 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 2} + (- 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $(- 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 (- 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (8 x^{3} + 12 x^{2} + (- 6 x^{2} - 6 x))$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (8 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x)$

= $(8 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (2 x^{4} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (2 x^{4} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (2 x^{4} - 3 x) + e^{- 3 x} \cdot (8 x^{3} - 3)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (2 x^{4} - 3 x) + e^{- 3 x} \cdot (8 x^{3} - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} + 9 x + 8 x^{3} - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x - 3)$

= $(- 6 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x} \cdot (10 x - 4)$

= $\frac{10 x - 4}{5 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x + 8)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 9)$

= $(- 2 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 3,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x - 5,6)$

= $(0,6 x - 5,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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