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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $\frac{7}{20} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} - 2) \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} - 2) \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 0) \cdot e^{3 x + 5} + (x^{5} - 2) \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 5} + (x^{5} - 2) \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 5} + 3 (x^{5} - 2) \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (3 x^{5} - 6 + 5 x^{4})$

= $e^{3 x + 5} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4} - 6)$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4} - 6) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} - 6 x^{2} + (- 15 x^{4} + 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} - 15 x^{4} - 6 x^{2} + 4 x)$

= $(9 x^{5} - 15 x^{4} - 6 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 4 x} \cdot (6 x + 4)$

= $\frac{6 x + 4}{3 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 3 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 3)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${0,85}^{30} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,008 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 6$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 6$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x + 2,4) + 6$

= $6 + (- 0,6 x + 1 + 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $6 + (- 0,6 x + 3,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten