$\text{f(x)}=$ $2+\frac{6}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $\frac{4}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x+5}+x^4·e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x+5}+x^4·\left(-2e^{-2x+5}\right)$

= $4x^3·e^{-2x+5}-2x^4·e^{-2x+5}$

= $e^{-2x+5}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{3x}·3$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-6\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-6\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2-6\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,3122}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{62}·2e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-1$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-1$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-1+\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,5}\right)-1$

= $-1+\left(\mathrm{0,9}x-1+\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-1+\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$