$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{6}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x-3}+\left(2x-5\right)·e^{2x-3}·2$

= $2e^{2x-3}+\left(2x-5\right)·2e^{2x-3}$

= $2e^{2x-3}+2\left(2x-5\right)·e^{2x-3}$

= $e^{2x-3}·\left(2+4x-10\right)$

= $e^{2x-3}·\left(4x-8\right)$

= $\left(4x-8\right)·e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x-4}·3$

= $9e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x-1}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{3x-1}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-2x-2}$

= $-2{\left(-2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-2x-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-2x-2}}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-2x-2}}·\left(-2\right)$

= $\frac{2}{\sqrt{-2x-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{3,2805}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{46}·\left(-5e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,039}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$