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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} - 2} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} - 2} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 3 x} \cdot (2 x - 3)$

= $\frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 5,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 4,4)$

= $(- 0,9 x - 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten