$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{3}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-5}+x^4·e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-5}+x^4·\left(-e^{-x-5}\right)$

= $4x^3·e^{-x-5}-x^4·e^{-x-5}$

= $e^{-x-5}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+3}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+3}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-7\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x-7\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x-7\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x-7\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x-14\right)$

= $e^{2x}·\left(4x-12\right)$

= $\left(4x-12\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{10,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{10,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$