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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{24}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 2 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x - 2 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 - 2 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- 2 + 2 e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 18)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 17)$

= $(3 x - 17) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot 3 e^{- 1,1 x}$

≈ $352,173 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 5) + 1$

= $1 + (- x + 2 - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $1 + (- x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$