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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{16} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 3} + (- 2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $(- 6 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 3} + (- 2 x^{3} - 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $(- 6 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 (- 2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (10 x^{3} + 10 x - 6 x^{2} - 2)$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (10 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 2)$

= $(10 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 3} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 4) - 6$

= $- 6 + (4 x - 5 - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (4 x - 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten