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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + x^{3} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} + e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 8 x}{- 4 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{- 4 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{- 4 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- 4 (3 x - 2)}{- 4 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- x^{3} - 2}$

= $- 3 {(- x^{3} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- x^{3} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- x^{3} - 2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- x^{3} - 2}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $\frac{9}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{3} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 0,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 4,4)$

= $(0,4 x - 4,4) \cdot e^{- 0,1 x}$