Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $- \frac{7}{5} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- x^{5} + x^{4}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x} - (- x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (x^{5} - x^{4} + (- 5 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{- x} \cdot (x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x + 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x + 1)}^{3}}$

= $- 3 {(3 x + 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $9 {(3 x + 1)}^{- 4} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{{(3 x + 1)}^{4}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{9}{{(3 x + 1)}^{4}} \cdot (3)$

= $\frac{27}{{(3 x + 1)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{31} \cdot 3 e^{- 1,15 x}$

≈ $- 228,431 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 8$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 8$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 3) + 8$

= $8 + (0,5 x - 5 - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $8 + (0,5 x - 8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten