$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{5}{8}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{8}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{8}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+3x\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+3\right)·e^{-4x-1}+\left(2x^2+3x\right)·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $\left(4x+3\right)·e^{-4x-1}+\left(2x^2+3x\right)·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $\left(4x+3\right)·e^{-4x-1}-4\left(2x^2+3x\right)·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-8x^2-12x+4x+3\right)$

= $e^{-4x-1}·\left(-8x^2-8x+3\right)$

= $\left(-8x^2-8x+3\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+2\right)·e^{3x}+\left(-3x^2+2x\right)·e^{3x}·3$

= $\left(-6x+2\right)·e^{3x}+\left(-3x^2+2x\right)·3e^{3x}$

= $\left(-6x+2\right)·e^{3x}+3\left(-3x^2+2x\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-9x^2+6x-6x+2\right)$

= $e^{3x}·\left(-9x^2+0+2\right)$

= $e^{3x}·\left(-9x^2+2\right)$

= $\left(-9x^2+2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x^2-5}$

= $-{\left(x^2-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(x^2-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x^2-5}}·\left(2x+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{x^2-5}}·\left(2x\right)$

= $-\frac{x}{\sqrt{x^2-5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{2,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$