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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} + x^{4})$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} + 0) \cdot e^{4 x - 5} + (- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + (- 2 x^{3} + 2) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + 4 (- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 6 x^{2} - 8 x^{3} + 8)$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 8 x^{3} - 6 x^{2} + 8)$

= $(- 8 x^{3} - 6 x^{2} + 8) \cdot e^{4 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 8 x}{x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x + 8)}{x \cdot (x + 4)}$

= $\frac{3 x + 8}{x \cdot (x + 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $6 x \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 9 x^{2} - 21)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x - 21)$

= $(9 x^{2} + 6 x - 21) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{48} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $97,017 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 4$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 4$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 1,6 - 1) - 4$

= $- 4 + (0,8 x - 1,6 - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 4 + (0,8 x - 2,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten