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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 5 x) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 5 x) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 1} + (5 x^{4} + 5 x) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $(20 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 1} + (5 x^{4} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $(20 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 1} + 2 (5 x^{4} + 5 x) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (10 x^{4} + 10 x + 20 x^{3} + 5)$

= $e^{2 x - 1} \cdot (10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x + 5)$

= $(10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x + 5) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x} \cdot (4 x + 2)$

= $\frac{4 x + 2}{2 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 28)$

= $(3 x + 28) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{36} \cdot 5 e^{- 1,15 x}$

≈ $765,759 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 3) - 4$

= $- 4 + (- 1,5 x + 3 - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 - 1,5 x \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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