$\text{f(x)}=$ $4+2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x+5}+x^4·e^{x+5}·1$

= $4x^3·e^{x+5}+x^4·e^{x+5}$

= $e^{x+5}·\left(4x^3+x^4\right)$

= $e^{x+5}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x^2-4}·2x$

= $-6·e^{x^2-4}x$

= $-6x{e}^{x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3-5}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^3-5}·\left(-9x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{-3x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(3x-6\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $3\cdot \sin \left(3x\right)+\left(3x-6\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $3\cdot \sin \left(3x\right)+3\left(3x-6\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+8$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+8$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3x-9+5\right)+8$

= $8+\left(-3x-9+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $8+\left(-3x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$