Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 1) \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 1) \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{3 x + 5} + (5 x^{4} + 1) \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $20 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + (5 x^{4} + 1) \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $20 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + 3 (5 x^{4} + 1) \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (15 x^{4} + 3 + 20 x^{3})$

= $e^{3 x + 5} \cdot (15 x^{4} + 20 x^{3} + 3)$

= $(15 x^{4} + 20 x^{3} + 3) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 3) \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 3) \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 4 x + 2} + (4 x^{2} + 3) \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 2} + (4 x^{2} + 3) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 (4 x^{2} + 3) \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 16 x^{2} - 12 + 8 x)$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 16 x^{2} + 8 x - 12)$

= $(- 16 x^{2} + 8 x - 12) \cdot e^{- 4 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 3} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 3} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(2 x^{3} + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(2 x^{3} + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (2 x^{3} + 2) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $2 (2 x^{3} + 2) \cdot (6 x^{2})$

= $12 (2 x^{3} + 2) x^{2}$

= $12 x^{2} (2 x^{3} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $819,401 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x - 14)$

= $(4,5 x - 14) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten