$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{8}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(4x^4-2x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(4x^4-2x^3\right)+e^x·\left(16x^3-6x^2\right)$

= $e^x·(4x^4-2x^3+\left(16x^3-6x^2\right))$

= $e^x·\left(4x^4+14x^3-6x^2\right)$

= $\left(4x^4+14x^3-6x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x^2-4}·4x$

= $-4·e^{2x^2-4}x$

= $-4x{e}^{2x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{5x}·5$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x+9\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $\cos \left(3x\right)+\left(x+9\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $\cos \left(3x\right)-3\left(x+9\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(5-4x+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4x+9\right)$

= $\left(-4x+9\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$