Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $- 2 \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 1} + (- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $(- 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 1} + (- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $(- 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 1} + 5 (- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 5 x^{3} + 15 x^{2} + (- 3 x^{2} + 6 x))$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 5 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x)$

= $(- 5 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + x^{3} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $- e^{- 0,9 x} - (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x - 0,9) + 4$

= $4 + (0,9 x - 1 - 0,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (0,9 x - 1,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten