$\text{f(x)}=$ $-2-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^x$

= $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-1\right)·e^{5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{5x+3}+\left(x^2-1\right)·e^{5x+3}·5$

= $2x·e^{5x+3}+\left(x^2-1\right)·5e^{5x+3}$

= $2x·e^{5x+3}+5\left(x^2-1\right)·e^{5x+3}$

= $e^{5x+3}·\left(5x^2-5+2x\right)$

= $e^{5x+3}·\left(5x^2+2x-5\right)$

= $\left(5x^2+2x-5\right)·e^{5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x^2+1}·\left(-4x\right)$

= $12·e^{-2x^2+1}x$

= $12x{e}^{-2x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{2x}·2$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·\sin \left(-3x\right)$

= $x^{\frac{3}{2}}·\sin \left(-3x\right)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·\sin \left(-3x\right)+x^{\frac{3}{2}}·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(-3x\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(-3x\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(-3x\right)-3{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,8424}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,8424}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,566}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{44}·3e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(1-\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$