$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x+1}-8x^5-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x+1}·\left(-3\right)-40x^4-2\cdot \cos \left(x\right)$

= $9e^{-3x+1}-40x^4-2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^5+e^{-x}·5x^4$

= $-e^{-x}{x}^5+5·e^{-x}{x}^4$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-1}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3-1}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{2x}-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(e^{2x}-3\right)·(e^{2x}·2+0)$

= $-4\left(e^{2x}-3\right)·\left(2e^{2x}\right)$

= $-8\left(e^{2x}-3\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= 0

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-2$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-2$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,8}\right)-2$

= $-2+\left(\mathrm{0,8}x-4-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-2+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$