Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 {(\sqrt{x})}^{3} + 3 e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 {(\sqrt{x})}^{3} + 3 e^{- 2 x - 4}$

= $8 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{- 2 x - 4}$

=> f'(x) = $12 x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $12 \sqrt{x} + 3 e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $12 \sqrt{x} - 6 e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{- 3 x} - 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{- 3 x} - 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} - 2)}^{2} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $3 {(e^{- 3 x} - 2)}^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 9 {(e^{- 3 x} - 2)}^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{41} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 8$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 8$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 5,4) + 8$

= $8 + (0,9 x - 3 - 5,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $8 + (0,9 x - 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$