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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - x) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - x) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(10 x - 1) \cdot e^{2 x + 5} + (5 x^{2} - x) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $(10 x - 1) \cdot e^{2 x + 5} + (5 x^{2} - x) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $(10 x - 1) \cdot e^{2 x + 5} + 2 (5 x^{2} - x) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (10 x^{2} - 2 x + 10 x - 1)$

= $e^{2 x + 5} \cdot (10 x^{2} + 8 x - 1)$

= $(10 x^{2} + 8 x - 1) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4 x} \cdot (- 4 x + 4)$

= $\frac{- 4 x + 4}{- 2 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{3 x} + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{3 x} + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(e^{3 x} + 5)}^{3} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $4 {(e^{3 x} + 5)}^{3} \cdot (3 e^{3 x})$

= $12 {(e^{3 x} + 5)}^{3} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 6$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 6$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 10,5) + 6$

= $6 + (3,5 x - 5 + 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $6 + (3,5 x + 5,5) \cdot e^{- 0,7 x}$