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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{8}{27} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + (- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $(- 10 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + (- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $(- 10 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + 3 (- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 6 x^{5} - 3 x^{4} + (- 10 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 6 x^{5} - 13 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(- 6 x^{5} - 13 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 2} \cdot 6 x$

= $- 12 \cdot e^{3 x^{2} + 2} x$

= $- 12 x e^{3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 3} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 3} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(x - 4)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $- 12 {(x - 4)}^{3} \cdot (1)$

= $- 12 {(x - 4)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $142,043 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x + 12)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 16)$

= $(- 2 x + 16) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten