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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{4} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{4} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{4} + 1) + e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (x^{4} + 1) + e^{2 x} \cdot (4 x^{3})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (x^{4} + 1) + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 2 + 4 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3} + 2)$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x + 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 13,5) - 8$

= $- 8 + (4,5 x - 5 - 13,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 8 + (4,5 x - 18,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten