$\text{f(x)}=$ $-5-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^x$

= $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $2\cdot \sin \left(x\right)-e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2+0\right)·e^{2x}+\left(-4x^3+1\right)·e^{2x}·2$

= $-12x^2·e^{2x}+\left(-4x^3+1\right)·2e^{2x}$

= $-12x^2·e^{2x}+2\left(-4x^3+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-8x^3+2-12x^2\right)$

= $e^{2x}·\left(-8x^3-12x^2+2\right)$

= $\left(-8x^3-12x^2+2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x}·1$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2-12+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-12\right)$

= $\left(-3x^2+2x-12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,431}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{62}·2e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{41,188}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(3-\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,1}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,1}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$