$\text{f(x)}=$ $1+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x-2}-2\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{x^4}$

= $3e^{2x-2}-2\cdot \sin \left(x\right)+2x^{-4}$

=> f'(x) = $3e^{2x-2}·2-2\cdot \cos \left(x\right)-8x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x-2}·2-2\cdot \cos \left(x\right)-\frac{8}{x^5}$

= $6e^{2x-2}-2\cdot \cos \left(x\right)-\frac{8}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(2x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(2x^2+5x\right)+e^{-2x}·\left(4x+5\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(2x^2+5x\right)+e^{-2x}\left(4x+5\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2-10x+4x+5\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2-6x+5\right)$

= $\left(-4x^2-6x+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+5}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2+5}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3x}+\left(2x+1\right)·e^{3x}·3$

= $2e^{3x}+\left(2x+1\right)·3e^{3x}$

= $2e^{3x}+3\left(2x+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x+3\right)$

= $e^{3x}·\left(6x+5\right)$

= $\left(6x+5\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(4-\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$