$\text{f(x)}=$ $-4+e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}-2x^5·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-5x}·\left(-3x^2-5\right)$

= $\frac{-3x^2-5}{-x^3-5x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(2x+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(2x+1\right)}^3·\left(2+0\right)$

= $12{\left(2x+1\right)}^3·\left(2\right)$

= $24{\left(2x+1\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x-\mathrm{1,6}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{1,6}x-4-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-8+\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$