$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x}·1$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\cos \left(4x-2\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(4x-2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\cos \left(4x-2\right)+x^{\frac{1}{4}}·(-\sin \left(4x-2\right)·\left(4+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\cos \left(4x-2\right)+\sqrt[4]{x}·(-\sin \left(4x-2\right)·\left(4+0\right))$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(4x-2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·(-\sin \left(4x-2\right)·\left(4\right))$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(4x-2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-4\cdot \sin \left(4x-2\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(4x-2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-4\sqrt[4]{x}·\sin \left(4x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{44}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{468,495}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(5-3x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3x+17\right)$

= $\left(-3x+17\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$