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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{2} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- 3 x - 4} - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- 3 x - 4} - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- x + 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3) - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)$

= $- x - 6 e^{- 3 x - 4} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{3}) + e^{x} \cdot (10 x^{4} - 6 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{3} + (10 x^{4} - 6 x^{2}))$

= $e^{x} \cdot (2 x^{5} + 10 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(2 x^{5} + 10 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\cos (x) - 3) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $6 (\cos (x) - 3) \cdot (- \sin (x))$

= $- 6 (\cos (x) - 3) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 9$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 8,4) - 9$

= $- 9 + (- 1,2 x + 3 + 8,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 9 + (- 1,2 x + 11,4) \cdot e^{- 0,4 x}$