$\text{f(x)}=$ $1+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{x+3}+x^5·e^{x+3}·1$

= $5x^4·e^{x+3}+x^5·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x+4}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{3x+4}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x-1}+x^3·e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x-1}+x^3·\left(-3e^{-3x-1}\right)$

= $3x^2·e^{-3x-1}-3x^3·e^{-3x-1}$

= $e^{-3x-1}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x-1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{133,176}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(5-4x-20\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4x-15\right)$

= $\left(-4x-15\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$