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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{4} \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 4} \cdot 1$

= $3 e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 6)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 8)$

= $(6 x + 8) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot (- e^{- 1,1 x})$

≈ $129,13 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 9$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 9$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x + 0,6) - 9$

= $- 9 + (- 0,2 x + 1 + 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 9 + (- 0,2 x + 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$