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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{14}{27} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} + 5)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (2 x^{4} + 5) + e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (2 x^{4} + 5) + e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (2 x^{4} + 5) + 8 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} - 10 + 8 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 8 x^{3} - 10)$

= $(- 4 x^{4} + 8 x^{3} - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 8 x}{- x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x - 8)}{- x \cdot (x - 4)}$

= $\frac{- (3 x - 8)}{- x \cdot (x - 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $- \cos (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $- \cos (2 x - 5) \cdot (2)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 14,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x - 17,4)$

= $(2,4 x - 17,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten