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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 5} + x^{2} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 5} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (12 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{12 x^{2} + 8 x}{4 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{4 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{4 (3 x + 2)}{4 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 21 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 21)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 21) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{67} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 26,283 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x + 7,6)$

= $(- 3,6 x + 7,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten