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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{5} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{5} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (4 x^{5} - 2 x^{2}) + e^{- 3 x} \cdot (20 x^{4} - 4 x)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (4 x^{5} - 2 x^{2}) + e^{- 3 x} \cdot (20 x^{4} - 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{5} + 6 x^{2} + (20 x^{4} - 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{5} + 20 x^{4} + 6 x^{2} - 4 x)$

= $(- 12 x^{5} + 20 x^{4} + 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 4} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{3 x} - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{3 x} - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 6 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 18 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,1}^{61} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $334,93 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 1$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 1$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x + 0,3) + 1$

= $1 + (- 0,1 x + 1 + 0,3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $1 + (- 0,1 x + 1,3) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten