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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} + 3 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{5} + 3 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} + 3 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- 20 x^{4} + 6 e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- x^{2} + 2}$

= $2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2}} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${(- 0,9)}^{56} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 0,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 5,5)$

= $(0,5 x - 5,5) \cdot e^{- 0,1 x}$