$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x+3}+x^4·e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x+3}+x^4·\left(-3e^{-3x+3}\right)$

= $4x^3·e^{-3x+3}-3x^4·e^{-3x+3}$

= $e^{-3x+3}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{7x}·7$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x-2}+x^2·e^{x-2}·1$

= $2x·e^{x-2}+x^2·e^{x-2}$

= $e^{x-2}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x-2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{70}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{30,426}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x-\mathrm{6,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{10,4}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$