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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{49}{54} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{2} x^{2} + 2 e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{2} x^{2} + 2 e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $7 x + 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $7 x - 2 e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3) + e^{x} \cdot (- 16 x^{3} + 0)$

= $e^{x} (- 4 x^{4} + 3) + e^{x} \cdot (- 16 x^{3})$

= $e^{x} (- 4 x^{4} + 3) - 16 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3 - 16 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} - 16 x^{3} + 3)$

= $(- 4 x^{4} - 16 x^{3} + 3) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 1} \cdot (10 x + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{2} + 1} \cdot (10 x)$

= $10 \frac{x}{5 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${1,1}^{50} \cdot 2 e^{1,1 x}$

≈ $234,782 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x + 14)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x + 10)$

= $(2 x + 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten