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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 4) \cdot e^{- 5 x - 5} + (4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $(12 x^{2} - 4) \cdot e^{- 5 x - 5} + (4 x^{3} - 4 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $(12 x^{2} - 4) \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 (4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 20 x^{3} + 20 x + 12 x^{2} - 4)$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 20 x^{3} + 12 x^{2} + 20 x - 4)$

= $(- 20 x^{3} + 12 x^{2} + 20 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{3 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{3 x^{2} + 1}$

= $3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 1}} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 1}} \cdot (6 x)$

= $9 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${0,85}^{33} \cdot 5 e^{0,85 x}$

≈ $0,023 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 9$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 4,8) - 9$

= $- 9 + (2,4 x - 4 + 4,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 9 + (2,4 x + 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten