$\text{f(x)}=$ $2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x-3}+x^5·e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x-3}+x^5·\left(-2e^{-2x-3}\right)$

= $5x^4·e^{-2x-3}-2x^5·e^{-2x-3}$

= $e^{-2x-3}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x^2+1}·2x$

= $-6·e^{x^2+1}x$

= $-6x{e}^{x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3+5x}·\left(-6x^2+5\right)$

= $\frac{-6x^2+5}{-2x^3+5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+3\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+3\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x+9\right)$

= $e^{3x}·\left(3x+10\right)$

= $\left(3x+10\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{41}·\left(-e^{\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{308,043}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(5-3x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3x+17\right)$

= $\left(-3x+17\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$