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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- x - 2} + (3 x - 4) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x - 2} + (3 x - 4) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $3 e^{- x - 2} - (3 x - 4) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 3 x + 4 + 3)$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 3 x + 7)$

= $(- 3 x + 7) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (4 x + 3)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (4 x + 3) + x^{2} \cdot (- \sin (4 x + 3) \cdot (4 + 0))$

= $2 x \cdot \cos (4 x + 3) + x^{2} \cdot (- \sin (4 x + 3) \cdot (4))$

= $2 x \cdot \cos (4 x + 3) + x^{2} \cdot (- 4 \cdot \sin (4 x + 3))$

= $2 x \cdot \cos (4 x + 3) - 4 x^{2} \cdot \sin (4 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{48} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $97,017 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 7$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 7$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 2,8 + 4) + 7$

= $7 + (- 0,4 x + 2,8 + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $7 + (- 0,4 x + 6,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten