$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{6}{7}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{7}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{6}{7}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x-3}-9x^5$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x-3}·\left(-1\right)-45x^4$

= $e^{-x-3}-45x^4$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x-1\right)·e^{-3x}+\left(2x^2-x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(4x-1\right)·e^{-3x}+\left(2x^2-x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(4x-1\right)·e^{-3x}-3\left(2x^2-x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+3x+4x-1\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+7x-1\right)$

= $\left(-6x^2+7x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{x}·1$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{-x}-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(e^{-x}-1\right)·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $6\left(e^{-x}-1\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-6\left(e^{-x}-1\right)·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x-1\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$