$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+5}-5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+5}·\left(-2\right)-5\cdot \cos \left(x\right)$

= $-2e^{-2x+5}-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3+2\right)·e^{-3x}+\left(2x^4+2x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(8x^3+2\right)·e^{-3x}+\left(2x^4+2x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(8x^3+2\right)·e^{-3x}-3\left(2x^4+2x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x^4-6x+8x^3+2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x^4+8x^3-6x+2\right)$

= $\left(-6x^4+8x^3-6x+2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{2x}·2$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-18+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-18\right)$

= $\left(-2x^2+2x-18\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,9683}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{61}·\left(-3e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,005}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,7}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{0,9}x-3+\mathrm{2,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-6+\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$