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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{x}$

= $(x^{2} + 1) \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 1 + 2 x)$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

= $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} - 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{5} - 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + (x^{5} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{5} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 + 5 x^{4})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4} + 2)$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4} + 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(e^{3 x} - 5)}^{2} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 9 {(e^{3 x} - 5)}^{2} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 27 {(e^{3 x} - 5)}^{2} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot (- 5 e^{- 1,1 x})$

≈ $645,65 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x - 0,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 0,6)$

= $(- 0,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten