$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{4}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x+5}+x^5·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x+5}+x^5·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $5x^4·e^{-4x+5}-4x^5·e^{-4x+5}$

= $e^{-4x+5}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^2-5}·\left(-6x\right)$

= $-18·e^{-3x^2-5}x$

= $-18x{e}^{-3x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{6x}·6$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-6\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-6\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-6\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2-12+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-12\right)$

= $\left(2x^2+2x-12\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$