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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{14}{27} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 1} + x^{3} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 1} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 1} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 20 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{4} - 15 x^{2} + (- 20 x^{3} + 10 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{4} - 20 x^{3} - 15 x^{2} + 10 x)$

= $(15 x^{4} - 20 x^{3} - 15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(x - 5)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $8 {(x - 5)}^{3} \cdot (1)$

= $8 {(x - 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 0,6) + 6$

= $6 + (0,2 x - 2 - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (0,2 x - 2,6) \cdot e^{- 0,1 x}$