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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{14}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{4 x + 3} + (x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $(3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{4 x + 3} + (x^{3} + 4 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $(3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{4 x + 3} + 4 (x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (4 x^{3} + 16 x^{2} + (3 x^{2} + 8 x))$

= $e^{4 x + 3} \cdot (4 x^{3} + 19 x^{2} + 8 x)$

= $(4 x^{3} + 19 x^{2} + 8 x) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x - 2) + e^{3 x} \cdot (1 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (x - 2) + e^{3 x} \cdot (1)$

= $3 \cdot e^{3 x} (x - 2) + e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 5)$

= $(3 x - 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (15 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{15 x^{2} + 8 x}{5 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (15 x + 8)}{x \cdot (5 x + 4)}$

= $\frac{15 x + 8}{x \cdot (5 x + 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,1}^{61} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $334,93 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 4,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x + 3,2)$

= $(0,6 x + 3,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten