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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $- 5 \cdot \cos (x) - 9 e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 5 e^{- 3 x} + (- 5 x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 5 e^{- 3 x} - 3 (- 5 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 15 x + 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x + 10)$

= $(15 x + 10) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x - 8) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 \cdot \sin (2 x) + (2 x - 8) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x - 8) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,1}^{63} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $2026,325 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 16,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 13,8)$

= $(- 2,4 x - 13,8) \cdot e^{- 0,8 x}$