$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4+2x^3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3+6x^2\right)·e^x+\left(2x^4+2x^3\right)·e^x$

= $e^x·(2x^4+2x^3+\left(8x^3+6x^2\right))$

= $e^x·\left(2x^4+10x^3+6x^2\right)$

= $\left(2x^4+10x^3+6x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^3+2}·\left(-6x^2\right)$

= $12·e^{-2x^3+2}{x}^2$

= $12x^2{e}^{-2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x-4}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x-4}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{2x^2-4}$

= $2{\left(2x^2-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(2x^2-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{2x^2-4}}·\left(4x+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{2x^2-4}}·\left(4x\right)$

= $4\frac{x}{\sqrt{2x^2-4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-2+\mathrm{1,4}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x-\mathrm{7,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x-\mathrm{7,6}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$