$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{7}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{7}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{9}{7}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x+5}+x^2·e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x+5}+x^2·\left(-2e^{-2x+5}\right)$

= $2x·e^{-2x+5}-2x^2·e^{-2x+5}$

= $e^{-2x+5}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(3x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(3x^2+1\right)+e^{3x}·\left(6x+0\right)$

= $3·e^{3x}·\left(3x^2+1\right)+e^{3x}·\left(6x\right)$

= $3·e^{3x}·\left(3x^2+1\right)+6·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(9x^2+3+6x\right)$

= $e^{3x}·\left(9x^2+6x+3\right)$

= $\left(9x^2+6x+3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{3x}·3$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·\sin \left(2x\right)$

= $x^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(2x\right)$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·\sin \left(2x\right)+x^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(2x\right)·2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·\sin \left(2x\right)+\frac{1}{\sqrt{x}}·\cos \left(2x\right)·2$

= $-\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+2\frac{\cos \left(2x\right)}{\sqrt{x}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-2\right)-6$

= $-6+\left(-x+2-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-6-x·e^{-\mathrm{0,5}x}$