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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 5)$

= $(6 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{31} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 76,144 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 2$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 2$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 2,4) + 2$

= $2 + (0,6 x - 2 - 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $2 + (0,6 x - 4,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten