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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{6} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 2 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 2 e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x^{3} - 2 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $2 x^{3} - 6 e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 4) \cdot e^{x} + (5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (5 x^{4} - 4 x + 20 x^{3} - 4)$

= $e^{x} \cdot (5 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 4)$

= $(5 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 4) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x - 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x - 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (2 x - 1) + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x - 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 1)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \cos (2 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 1,9 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 1,9 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $1,805 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $1,805 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 1,7148 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,7148 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $1,629 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${(- 0,95)}^{74} \cdot 2 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,045 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 9$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,8) - 9$

= $- 9 + (- 0,3 x + 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 9 + (- 0,3 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten