$\text{f(x)}=$ $-3-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)-e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)-e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $2\cdot \sin \left(x\right)+e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2+2x}·\left(-2x+2\right)$

= $\frac{-2x+2}{-x^2+2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(2x+8\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(2x+8\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(2x+8\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$