$\text{f(x)}=$ $5+\frac{2}{3}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{2x}·2$

= $\frac{4}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $3x^2+2e^{2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $6x+2e^{2x-4}·2$

= $6x+4e^{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^3-3}·\left(-9x^2\right)$

= $27·e^{-3x^3-3}{x}^2$

= $27x^2{e}^{-3x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3-3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3-3x^2}·\left(-6x^2-6x\right)$

= $\frac{-6x^2-6x}{-2x^3-3x^2}$

= $\frac{-6·1·\left(x+1\right)}{-x·\left(2x+3\right)}$

= $\frac{-6\left(x+1\right)}{-x·\left(2x+3\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-2\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-2\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2-2\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x-\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$