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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 4} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 2)$

= $(3 x - 2) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $133,176 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x - 1,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,6 x + 1,2)$

= $(- 0,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$