$\text{f(x)}=$ $-2-2e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x-4}-\frac{7}{3}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x-4}·1-\frac{28}{3}{x}^3$

= $2e^{x-4}-\frac{28}{3}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3-3}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3-3}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3x}·3$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+9\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+9\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+18\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+20\right)$

= $\left(4x+20\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{2,3}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,3}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{2,645}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,645}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{3,0418}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,0418}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{3,498}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{46}·\left(-2e^{\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{1239,169}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,8}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{1,2}x-2+\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-4+\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$