$\text{f(x)}=$ $2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^2-5}·\left(-2x\right)$

= $-6·e^{-x^2-5}x$

= $-6x{e}^{-x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{4x}·4$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+3\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(2x+3\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+\left(2x+3\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+2\left(2x+3\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+8$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+8$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{1,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,6}\right)+8$

= $8+\left(-\mathrm{1,8}x+2+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $8+\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$