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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 5} + \frac{3}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 5} + \frac{3}{x^{2}}$

= $3 e^{- x + 5} + 3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) - 6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) - \frac{6}{x^{3}}$

= $- 3 e^{- x + 5} - \frac{6}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 2} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- x^{3} - 3) \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \cos (- x^{3} - 3) \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \cos (- x^{3} - 3) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \cos (- x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{45} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 538,769 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 2)$

= $(0,4 x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$