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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{4} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 5} + x^{2} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 5} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x^{3} + 3 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 6 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 9 x^{2} + (3 x^{2} + 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x)$

= $(3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (- x + 3)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $2 \cdot \sin (- x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${1,1}^{53} \cdot 2 e^{1,1 x}$

≈ $312,494 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 4)$

= $(0,4 x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten