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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 3} + x^{5} \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 3} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 3} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(\cos (x) + 3)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 15 {(\cos (x) + 3)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $15 {(\cos (x) + 3)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{61} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 4,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x + 0,8)$

= $(2,4 x + 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$