$\text{f(x)}=$ $2+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x+2}+x^3·e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x+2}+x^3·\left(-e^{-x+2}\right)$

= $3x^2·e^{-x+2}-x^3·e^{-x+2}$

= $e^{-x+2}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x}+x^3·e^{3x}·3$

= $3x^2·e^{3x}+x^3·3e^{3x}$

= $3x^2·e^{3x}+3x^3·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x}·1$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(3x-6\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(3x-6\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(3x-6\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x-\mathrm{1,4}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{1,4}x+2-\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $6+\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$