Aufgabenbeispiele von allgemein
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Graph-Term-Zuordnung BF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Der Graph von hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = .
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph von nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da = 1.Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = .
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph von hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = .
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph von erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = .
Graph-Term-Zuordnung LF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph von erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = = 1 und f(-1) = = -1. Im Gegensatz zu hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = .
Zu Graph Nr. 2:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = .
Zu Graph Nr. 3:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = .
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph von nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da = 1.Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = .
Graph-Term-Zuordnung 2 BF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph von erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = .
Zu Graph Nr. 2:
Den Graph von erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = = 1 und f(-1) = = -1. Im Gegensatz zu hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = .
Zu Graph Nr. 3:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = .
Zu Graph Nr. 4:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = .
Graph-Term-Zuordnung 2 LF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Der Graph von hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = .
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph von hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = .
Zu Graph Nr. 3:
Den Graph von erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) = .
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph von nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da = 1.Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = .
Graph-Term-Zuordn BF + Transf.
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = .
Zu Graph Nr. 2:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.
Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = .
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph von nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da = 1.Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = .
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph von nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da = 1.Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.
Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = .
Graph-Term-Zuordn LF + Transf.
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph von erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = .
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph von hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = .
Zu Graph Nr. 3:
Den Graph von erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = .
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph von erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = .
Ableitungen am Graph finden
Beispiel:
Gegeben ist eine Funktion f. Eine der 4 Abbildungen unten zeigt den Graph von f, eine andere zeigt den Graph der Ableitungsfunktion f'. Eine weitere Abbildung zeigt den Graph einer Stammfunktion F (von f). Die verbleibende vierte Abbildung zeigt den Graph einer ganz anderen Funktion g. Ordne die Graphen den Funktionen f, f', F und G zu
Als Vorgehensweise empfiehlt es sich, die markanten Punkte in Bezug auf die Ableitung, also Punkte mit waagrechter Tangente wie z.B. Hoch- und Tiefpunkte, bei den einzelnen Graphen zu betrachten.
Zu Graph Nr. 1:
Beim Graph Nr. 1 können wir bei x = -2 und bei x = -0.7 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.
Da ja genau an diesen Stellen der Graph 2 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 2 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 1 zeigen.
Zu Graph Nr. 2:
Beim Graph Nr. 2 können wir bei x = -1.3 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.
Da ja genau an diesen Stellen der Graph 3 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 3 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 2 zeigen.
Zu Graph Nr. 3:
Beim Graph Nr. 3 können wir keine Punkte mit waagrechter Tangente finden.
Zu Graph Nr. 4:
Beim Graph Nr. 4 können wir bei x = -1.3 und bei x = 0 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.
Wir fassen also zusammen:
- Der Graph 2 zeigt die Ableitung vom Graph 1
- Der Graph 3 zeigt die Ableitung vom Graph 2
- Der Graph 4 scheint zu einer ganz anderen Funktion zu gehören.
Somit gilt:
Der Graph 1 gehört zur Funktion F(x).
Der Graph 2 gehört zur Funktion f(x).
Der Graph 3 gehört zur Funktion f '(x).
Der Graph 4 gehört zur Funktion g(x).
Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|4)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
x1 | = |
2. Fall:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Schnittpkt-Anzahl in Abh. von Parameter
Beispiel:
Die Gerade y = m⋅x schneidet den Graph der Funktion f mit
Bestimme diese Werte von m.
An der Abbildung kann man erkennen, dass die Geraden, die den Graph von f berühren, der spannende Grenzfall sind.
Da ja y = m⋅x für jedes m immer durch den Ursprung O(0|0) verläuft, suchen wir also eine Tangente (von außen) an den Graphen von f durch den Ursprung:
Zuerst wird die Ableitung von f berechnet:
Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.
Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)=
y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)
einsetzen:
0 =
Die Lösung der Gleichung:
|
= | |⋅ 3 | |
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
u1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
u2 | = |
|
L={
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x =
=
=
Man kann jetzt an der Abbildung gut erkennen, für m =
Wird die Gerade noch steiler als bei m =
Wird die Geraden weniger steil oder sogar negativ, also für also für alle
m >
Die richtige Lösung wäre hier also: m =
Parameter für Symmetrie finden
Beispiel:
Für welches a liegt beim Graph der Funktion fa mit
Gib die dann vorliegende Symmetrie an.
Man erkennt schnell, das keine Symmetrie zum Koordinatenssystem vorliegt, wenn nicht mindestens einer der Summanden von
Durch scharfes Hinsehen könnte man a = 3 erkennen. Man kann aber auch einfach bei jedem Summanden den Koeffizient anschauen und dann a so wählen, dass der Koeffizient = 0 wird:
-
( a - 2 ) x 4 ( 2 - 2 ) · x 4 + ( 2 - 3 ) · x 3 - 3 x 2 + ( - 2 + 3 ) · x - x 3 - 3 x 2 + x -
( a - 3 ) x 3 ( 3 - 2 ) · x 4 + ( 3 - 3 ) · x 3 - 3 x 2 + ( - 3 + 3 ) · x x 4 - 3 x 2 -
- 3 x 2 -
( - a + 3 ) x ( 3 - 2 ) · x 4 + ( 3 - 3 ) · x 3 - 3 x 2 + ( - 3 + 3 ) · x x 4 - 3 x 2
Für a = 3 hat f3(x) =
Verschiebung Integral allg.
Beispiel:
Es gilt
Bestimme a, b und I.
Der Graph von f(x
Somit gilt a = -4 und b = -3.
Das
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
- Nach wie vielen Sekunden erreicht die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals
236 25 - Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
- Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Tank?
- y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) =
- 1 100 ⋅ 2 4 + 1 2 ⋅ 2 2 + 4 146 25
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|10.25) einblenden5 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
- 1 100 ⋅ 0 4 + 1 2 ⋅ 0 2 + 4 4 - 1 100 ⋅ 10 4 + 1 2 ⋅ 10 2 + 4 - 46 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.5
- Erster t-Wert bei y =
236 25 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
236 25 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
236 25 - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 + 4 = 236 25 | - 236 25 - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 - 136 25 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
t 2 Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 1 100 u 2 + 1 2 u - 136 25 = 0 |⋅ 100 100 ( - 1 100 u 2 + 1 2 u - 136 25 ) = 0 - u 2 + 50 u - 544 Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
- b ± b 2 - 4 a · c 2 a u1,2 =
- 50 ± 50 2 - 4 · ( - 1 ) · ( - 544 ) 2 ⋅ ( - 1 ) u1,2 =
- 50 ± 2 500 - 2 176 - 2 u1,2 =
- 50 ± 324 - 2 u1 =
- 50 + 324 - 2 - 50 + 18 - 2 - 32 - 2 16 u2 =
- 50 - 324 - 2 - 50 - 18 - 2 - 68 - 2 34 Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "
" teilen:- 1 - u 2 + 50 u - 544 0 |:- 1 u 2 - 50 u + 544 vor dem Einsetzen in x1,2 =
- p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =( p 2 ) 2 - q D =
( - 25 ) 2 - 544 625 - =544 81 x1,2 =
±25 81 x1 =
-25 9 x2 =
+25 9 Rücksubstitution:
u1:
t 2 16 x 2 = 16 | ⋅ 2 x1 = - 16 = - 4 x2 = 16 = 4 u2:
t 2 34 x 2 = 34 | ⋅ 2 x3 = - 34 ≈ - 5,831 x4 = 34 ≈ 5,831 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert
236 25 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
∫ 0 3 ( - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 + 4 ) ⅆ t ∫ 0 3 ( - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 + 4 ) ⅆ t =
[ - 1 500 x 5 + 1 6 x 3 + 4 x ] 0 3 = - 1 500 ⋅ 3 5 + 1 6 ⋅ 3 3 + 4 ⋅ 3 - ( - 1 500 ⋅ 0 5 + 1 6 ⋅ 0 3 + 4 ⋅ 0 ) =
- 1 500 ⋅ 243 + 1 6 ⋅ 27 + 12 - ( - 1 500 ⋅ 0 + 1 6 ⋅ 0 + 0 ) =
- 243 500 + 9 2 + 12 - ( 0 + 0 + 0 ) =
- 243 500 + 2250 500 + 6000 500 + 0 =
8007 500
= 16,01416.01 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- t-Wert beim maximalen Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:
- 1 100 t 4 + 1 2 t 2 + 4 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
t 2 Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 1 100 u 2 + 1 2 u + 4 = 0 |⋅ 100 100 ( - 1 100 u 2 + 1 2 u + 4 ) = 0 - u 2 + 50 u + 400 Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
- b ± b 2 - 4 a · c 2 a u1,2 =
- 50 ± 50 2 - 4 · ( - 1 ) · 400 2 ⋅ ( - 1 ) u1,2 =
- 50 ± 2 500 + 1 600 - 2 u1,2 =
- 50 ± 4 100 - 2 u1 =
- 50 + 4 100 - 2 u2 =
- 50 - 4 100 - 2 Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "
" teilen:- 1 - u 2 + 50 u + 400 0 |:- 1 u 2 - 50 u - 400 vor dem Einsetzen in x1,2 =
- p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =( p 2 ) 2 - q D =
( - 25 ) 2 - ( - 400 ) 625 + =400 1025 x1,2 =
±25 1 025 x1 =
-25 1 025 x2 =
+25 1 025 Rücksubstitution:
u1:
t 2 - 50 + 4 100 - 2 x 2 = - 7,0156 | ⋅ 2 Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
u2:
t 2 - 50 - 4 100 - 2 x 2 = 57,0156 | ⋅ 2 x1 = - 57,0156 ≈ - 7,551 x2 = 57,0156 ≈ 7,551 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
7,551 Da f(6.6) ≈ 7 > 0 und f(8.6) ≈ -12.9 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 7.55.
Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 7.55 min.