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Graph-Term-Zuordnung BF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

g(x)= $\sqrt{x}$

h(x)= $x^{2}$

i(x)= $e^{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

x^{2}

hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{2}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Graph-Term-Zuordnung LF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\cos (x)$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $\frac{1}{x}$

i(x)= $\sin (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $e^{x}$ .

Graph-Term-Zuordnung 2 BF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

g(x)= $x^{3}$

h(x)= $\sin (x)$

i(x)= $\cos (x)$

j(x)= $e^{x}$

k(x)= $\frac{1}{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos (x)$ .

Graph-Term-Zuordnung 2 LF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x}$

g(x)= $\cos (x)$

h(x)= $x^{2}$

i(x)= $\frac{1}{x}$

j(x)= $x^{3}$

k(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

x^{2}

hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{2}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $e^{x}$ .

Graph-Term-Zuordn BF + Transf.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x} + 1$

g(x)= $\frac{1}{x}$

h(x)= $\frac{1}{x} + 1$

i(x)= $\cos (x)$

j(x)= $\cos (x) + 1$

k(x)= $e^{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = $\cos (x) + 1$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $e^{x} + 1$ .

Graph-Term-Zuordn LF + Transf.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\sqrt{x}$

g(x)= $- \frac{1}{x^{2}}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

j(x)= $- \sqrt{x}$

k(x)= $- x^{3}$

1

2

3

4

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Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $- \frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Ableitungen am Graph finden

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f. Eine der 4 Abbildungen unten zeigt den Graph von f, eine andere zeigt den Graph der Ableitungsfunktion f'. Eine weitere Abbildung zeigt den Graph einer Stammfunktion F (von f). Die verbleibende vierte Abbildung zeigt den Graph einer ganz anderen Funktion g. Ordne die Graphen den Funktionen f, f', F und G zu

1

2

3

4

Lösung einblenden

Als Vorgehensweise empfiehlt es sich, die markanten Punkte in Bezug auf die Ableitung, also Punkte mit waagrechter Tangente wie z.B. Hoch- und Tiefpunkte, bei den einzelnen Graphen zu betrachten.

Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph Nr. 1 können wir bei x = -2 und bei x = -0.7 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 2 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 2 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 1 zeigen.

Zu Graph Nr. 2:

Beim Graph Nr. 2 können wir bei x = -1.3 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 3 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 3 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 2 zeigen.

Zu Graph Nr. 3:

Beim Graph Nr. 3 können wir keine Punkte mit waagrechter Tangente finden.

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph Nr. 4 können wir bei x = -1.3 und bei x = 0 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Wir fassen also zusammen:

Der Graph 2 zeigt die Ableitung vom Graph 1
Der Graph 3 zeigt die Ableitung vom Graph 2
Der Graph 4 scheint zu einer ganz anderen Funktion zu gehören.

Somit gilt:

Der Graph 1 gehört zur Funktion F(x).

Der Graph 2 gehört zur Funktion f(x).

Der Graph 3 gehört zur Funktion f '(x).

Der Graph 4 gehört zur Funktion g(x).

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|4)

Lösung einblenden

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 1$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot {(x + 2)}^{2}$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 + 1) \cdot {(0 + 2)}^{2}$ = $4$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $(x + 1) {(x + 2)}^{2}$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2}$	=	0
$3 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

L={0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung! $1$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot {(x - 1)}^{2}$ = $3 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2}$

Schnittpkt-Anzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Die Gerade y = m⋅x schneidet den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ für bestimmte Werte von m genau 2 mal.

Bestimme diese Werte von m.

Lösung einblenden

An der Abbildung kann man erkennen, dass die Geraden, die den Graph von f berühren, der spannende Grenzfall sind.

Da ja y = m⋅x für jedes m immer durch den Ursprung O(0|0) verläuft, suchen wir also eine Tangente (von außen) an den Graphen von f durch den Ursprung:

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 x^{2} - 4 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2 u^{2} - 4 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(2 u^{2} - 4 u) \cdot (0 - u)$ + $\frac{2}{3} u^{3} - 2 u^{2}$

$- (2 u^{2} - 4 u) u + \frac{2}{3} u^{3} - 2 u^{2}$ = 0

$- 2 u^{3} + 4 u^{2} + \frac{2}{3} u^{3} - 2 u^{2}$ = 0

$- \frac{4}{3} u^{3} + 2 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$- \frac{4}{3} u^{3} + 2 u^{2}$	=	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} u^{3} + 2 u^{2})$	=
$- 4 u^{3} + 6 u^{2}$	=
$2 u^{2} (- 2 u + 3)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$- 2 u + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 2 u$	=	$- 3$	\|:( $- 2$ )
u₂	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={0; $\frac{3}{2}$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x = $\frac{3}{2}$ in die Ableitung $f'(x) =$ $2 x^{2} - 4 x$ ein:
$m = f'(\frac{3}{2}) =$ $2 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 \cdot (\frac{3}{2})$
= $\frac{9}{2} - 6$
= $- \frac{3}{2}$

Man kann jetzt an der Abbildung gut erkennen, für m = $- \frac{3}{2}$ bzw. für m = $0$ die Gerade y = m⋅x den Graphen der Funktion berührt und somit nur zwei gemeiname Punkte mit dem Graph von f hat.

Wird die Gerade noch steiler als bei m = $- \frac{3}{2}$ , also für m < $- \frac{3}{2}$ , schneidet die Gerade den Graph von f nur in einem Punkt.

Wird die Geraden weniger steil oder sogar negativ, also für also für alle m > $- \frac{3}{2}$ - eben außer m = 0, so hat die Gerade mit dem Graph von f sogar drei gemeinsame Punkte (siehe z.B. die grünen Geraden in der Abbildung).

Die richtige Lösung wäre hier also: m = $- \frac{3}{2}$ oder m = $0$

Parameter für Symmetrie finden

Beispiel:

Für welches a liegt beim Graph der Funktion f_a mit $f_{a} (x) =$ $(a - 2) x^{4} + (a - 3) x^{3} - 3 x^{2} + (- a + 3) x$ eine Symmetrie zum Koordinatenssystem vor ?

Gib die dann vorliegende Symmetrie an.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, das keine Symmetrie zum Koordinatenssystem vorliegt, wenn nicht mindestens einer der Summanden von $(a - 2) x^{4} + (a - 3) x^{3} - 3 x^{2} + (- a + 3) x$ rausfällt, so dass nur noch gerade oder ungerade Summanden übrig bleiben.

Durch scharfes Hinsehen könnte man a = 3 erkennen. Man kann aber auch einfach bei jedem Summanden den Koeffizient anschauen und dann a so wählen, dass der Koeffizient = 0 wird:

$(a - 2) x^{4}$ wird 0 für a = 2 => f₂(x) = $(2 - 2) \cdot x^{4} + (2 - 3) \cdot x^{3} - 3 x^{2} + (- 2 + 3) \cdot x$ = $- x^{3} - 3 x^{2} + x$
$(a - 3) x^{3}$ wird 0 für a = 3 => f₃(x) = $(3 - 2) \cdot x^{4} + (3 - 3) \cdot x^{3} - 3 x^{2} + (- 3 + 3) \cdot x$ = $x^{4} - 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$ kann nie = 0 werden, da ja gar kein a im Koeffizient ist.
$(- a + 3) x$ wird 0 für a = 3 => f₃(x) = $(3 - 2) \cdot x^{4} + (3 - 3) \cdot x^{3} - 3 x^{2} + (- 3 + 3) \cdot x$ = $x^{4} - 3 x^{2}$

Für a = 3 hat f₃(x) = $x^{4} - 3 x^{2}$ also nur gerade Summanden und ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse.

Verschiebung Integral allg.

Beispiel:

Es gilt $\int_{-1}^{0} f(x) ⅆ x$ = 15. Für bestimmte Werte von a und b kann der Wert des Integrals I = $\int_{a}^{b} (f(x+3)+3) ⅆ x$ berechnet werden.

Bestimme a, b und I.

Lösung einblenden

Der Graph von f(x +3) ist gegenüber dem Graph von f um 3 Einheiten nach links verschoben. Dementsprechend hat auch das Integral über f(x +3) den Wert 15, wenn man die Grenzen auch um 3 Einheiten nach links verschiebt. Die Integralgrenzen müssen also um 3 kleiner sein, als bei $\int_{-1}^{0} f(x) ⅆ x$ , also 15 = $\int_{-1}^{0} f(x) ⅆ x$ = $\int_{-4}^{-3} f(x+3) ⅆ x$ .

Somit gilt a = -4 und b = -3.

Das +3 nach dem f(x +3) verschiebt den Graph noch zusätzlich um 3 nach oben. Dadurch wird der Inhalt unter dem Graph noch um ein Rechteck mit Höhe 3 und Breite -3 - -4 = 1 vergrößert. Das gesuchte Integral berechnet sich also als
$\int_{-4}^{-3} (f(x+3)+3) ⅆ x$ = $\int_{-4}^{-3} f(x+3) ⅆ x$ + $\int_{-4}^{-3} 3 ⅆ x$ = 15 + 3⋅1 = 15 + 3 = 18

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} + 4$ beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 10 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
Nach wie vielen Sekunden erreicht die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals $\frac{236}{25}$ m³/min?
Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Tank?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $- \frac{1}{100} \cdot 2^{4} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 4$ = $\frac{146}{25}$ ≈ 5.8

t-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $5$ |10.25) einblenden

$f(t) =$ $- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} + 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- \frac{1}{25} t^{3} + t + 0$

= $- \frac{1}{25} t^{3} + t$

$f''(t) =$ $- \frac{3}{25} t^{2} + 1$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{1}{25} t^{3} + t$	=	\|⋅ 25
$25 (- \frac{1}{25} t^{3} + t)$	=
$- t^{3} + 25 t$	=
$t (- t^{2} + 25)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- t^{2} + 25$	=	0	\| $- 25$
$- t^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$t^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₂	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
t₃	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Die Lösungen $- 5$ , 0, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

1.: t= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $- \frac{3}{25} \cdot {(- 5)}^{2} + 1$ = $- \frac{3}{25} \cdot 25 + 1$ = $- 2$ <0

Das heißt bei t = $- 5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $- \frac{1}{100} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(- 5)}^{2} + 4$ = $\frac{41}{4}$ ≈ 10.25
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 5$ | $\frac{41}{4}$ )

≈ H:(-5|10.25)

2.: t= $0$

f''( $0$ ) = $- \frac{3}{25} \cdot 0^{2} + 1$ = $- \frac{3}{25} \cdot 0 + 1$ = $1$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{1}{100} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 4$ = $4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $4$ )

3.: t= $5$

f''( $5$ ) = $- \frac{3}{25} \cdot 5^{2} + 1$ = $- \frac{3}{25} \cdot 25 + 1$ = $- 2$ <0

Das heißt bei t = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $- \frac{1}{100} \cdot 5^{4} + \frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 4$ = $\frac{41}{4}$ ≈ 10.25
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5$ | $\frac{41}{4}$ )

≈ H:(5|10.25)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- \frac{1}{100} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 4$ = $4$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) = $- \frac{1}{100} \cdot 10^{4} + \frac{1}{2} \cdot 10^{2} + 4$ = $- 46$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

Bei t = $5$ ist also der größte Wert der Funktion.

Erster t-Wert bei y = $\frac{236}{25}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{236}{25}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{236}{25}$ und lösen nach t auf:

- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} + 4

=

\frac{236}{25}

|

- \frac{236}{25}

- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} - \frac{136}{25}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{136}{25}$	=	0	\|⋅ 100
$100 (- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{136}{25})$	=	0

$- u^{2} + 50 u - 544$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{50^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 544)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{2 500 - 2 176}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{324}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 50 + \sqrt{324}}{- 2}$ = $\frac{- 50+18}{- 2}$ = $\frac{- 32}{- 2}$ = $16$

u₂ = $\frac{- 50 - \sqrt{324}}{- 2}$ = $\frac{- 50-18}{- 2}$ = $\frac{- 68}{- 2}$ = $34$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} + 50 u - 544$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} - 50 u + 544$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 25)}^{2} - 544$ = $625$ $-$ $544$ = $81$

x_1,2 = $25$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $25$ - $9$ = 16

x₂ = $25$ + $9$ = 34

Rücksubstitution:

u₁: $t^{2}$ = $16$

$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

u₂: $t^{2}$ = $34$

$x^{2}$	=	$34$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{34}$	≈ $- 5,831$
x₄	=	$\sqrt{34}$	≈ $5,831$

Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert $\frac{236}{25}$ annimmt, ist also nach 4 min.

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} + 4) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} + 4) ⅆ t$
= ${[- \frac{1}{500} x^{5} + \frac{1}{6} x^{3} + 4 x]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{1}{500} \cdot 3^{5} + \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3 - (- \frac{1}{500} \cdot 0^{5} + \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0)$
= $- \frac{1}{500} \cdot 243 + \frac{1}{6} \cdot 27 + 12 - (- \frac{1}{500} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot 0 + 0)$
= $- \frac{243}{500} + \frac{9}{2} + 12 - (0 + 0 + 0)$
= $- \frac{243}{500} + \frac{2250}{500} + \frac{6000}{500} + 0$
= $\frac{8007}{500}$

= 16,014

16.01 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

t-Wert beim maximalen Bestand

Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{1}{2} u + 4$	=	0	\|⋅ 100
$100 (- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{1}{2} u + 4)$	=	0

$- u^{2} + 50 u + 400$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{50^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 400}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{2 500 + 1 600}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{4 100}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 50 + \sqrt{4 100}}{- 2}$ ≈ -7.02

u₂ = $\frac{- 50 - \sqrt{4 100}}{- 2}$ ≈ 57.02

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} + 50 u + 400$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} - 50 u - 400$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 25)}^{2} - (- 400)$ = $625$ $+$ $400$ = $1025$

x_1,2 = $25$ ± $\sqrt{1 025}$

x₁ = $25$ - $\sqrt{1 025}$ ≈ -7.016

x₂ = $25$ + $\sqrt{1 025}$ ≈ 57.016

Rücksubstitution:

u₁: $t^{2}$ = $\frac{- 50 + \sqrt{4 100}}{- 2}$

x^{2}

=

- 7,0156

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u₂: $t^{2}$ = $\frac{- 50 - \sqrt{4 100}}{- 2}$

$x^{2}$	=	$57,0156$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{57,0156}$	≈ $- 7,551$
x₂	=	$\sqrt{57,0156}$	≈ $7,551$

Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit $7,551$ .

Da f(6.6) ≈ 7 > 0 und f(8.6) ≈ -12.9 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 7.55.

Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 7.55 min.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Graph-Term-Zuordnung BF

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

Graph-Term-Zuordnung LF

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

Graph-Term-Zuordnung 2 BF

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

Graph-Term-Zuordnung 2 LF

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

Graph-Term-Zuordn BF + Transf.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

Graph-Term-Zuordn LF + Transf.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

Ableitungen am Graph finden

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

Wir fassen also zusammen:

Term mit Eigenschaften finden

Nullstellen und Faktorisieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpkt-Anzahl in Abh. von Parameter

Parameter für Symmetrie finden

Verschiebung Integral allg.

Anwendungen

1.: t=-5

2.: t=0

3.: t=5

Randwertuntersuchung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: t= $- 5$

2.: t= $0$

3.: t= $5$