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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x

=

0

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{2 x} + 6) \cdot (x + 4)$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{2 x} + 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{2 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 7 e^{2 x}$	=	$- 6$	\|: $- 7$
$e^{2 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$	≈ -0.0771

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{- x}$ = $- 8 e^{- 5 x}$

Lösung einblenden

$- 4 e^{- x}$	=	$- 8 e^{- 5 x}$	\| $+ 8 e^{- 5 x}$
$- 4 e^{- x} + 8 e^{- 5 x}$	=	0
$4 (- e^{4 x} + 2) e^{- 5 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{4 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- e^{4 x}$	=	$- 2$	\|: $- 1$
$e^{4 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (2)$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (2)$	≈ 0.1733

2. Fall:

e^{- 5 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{6 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{6 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 e^{6 x}$	=	$4$	\|: $5$
$e^{6 x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{5})$	≈ -0.0372

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{5})$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt