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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x}$ = $e^{2}$

$e^{x}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x

=

2

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 7 e^{- 2 x}$	=	$0$	\|: $- 7$
$e^{- 2 x}$	=	$0$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{- 2 x} - 4 e^{- 7 x}$ = 0

Lösung einblenden

$6 e^{- 2 x} - 4 e^{- 7 x}$	=	0
$2 (3 e^{5 x} - 2) \cdot e^{- 7 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{5 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$3 e^{5 x}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{5 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.0811

2. Fall:

e^{- 7 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{3})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 9 e^{x} + 20$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 9 e^{x} + 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - e^{- x} - 20 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 - e^{- x} - 20 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- e^{- x} - 20 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 20$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):