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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \sin (3 x + π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

- \sin (3 x + π) + 3

=

3

|

- 3

- \sin (3 x + π)

=

0

|:

- 1

\sin (3 x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + π

=

0

oder

$3 x + π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$π$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0

L={0; $\frac{1}{3} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$\cos (x - \frac{3}{2} π) + 1$ = $1,3$

Lösung einblenden

\cos (x - \frac{3}{2} π) + 1

=

1,3

|

- 1

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

0,3

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

$x - \frac{3}{2} π$	=	$1,266$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$2,532$
$2 x - 3 π$	=	$2,532$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$2,532 + 3 π$
$2 x$	=	$11,9568$	\|: $2$
x₁	=	$5,9784$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{3}{2} π)$ = $0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,266$
bzw. bei - $1,266$ +2π= $5,017$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

5,017

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$5,017 - 2 π$	\|⋅ 2
$2 x - 3 π$	=	$10,034 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$10,034 - π$
$2 x$	=	$6,8924$	\|: $2$
x₂	=	$3,4462$

L={ $3,4462$ ; $5,9784$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 5 {(\sin (x))}^{2} + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - 5 {(\sin (x))}^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $4$

{(\sin (x))}^{2}

=

4

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{4}

=

- 2

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{4}

=

2

\sin (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$3 \cos (3 x - \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$3 \sin (x) \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

2. Fall:

\cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$6 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₄	=	0

Da $\cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₅ = $\frac{1}{3} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $π$ , x₆ = 0 + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{2}{3} π$
x₇ = $\frac{1}{3} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{3} π$ , x₈ = 0 + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $4$

\cos (x)

=

4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

L={ $π$ }

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)