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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \cos (2 x - π) - 3$ = $- 3$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (2 x - π) - 3

=

- 3

|

+ 3

- 3 \cdot \cos (2 x - π)

=

0

|:

- 3

\cos (2 x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$\frac{1}{2} π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) - 3$ = $-2,7$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) - 3

=

-2,7

|

+ 3

- 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0,3

|:

- 3

\cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,1

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$1,671$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3,342$
$4 x + π$	=	$3,342$	\| $- π$
$4 x$	=	$3,342 - π$
$4 x$	=	$0,2004$	\|: $4$
x₁	=	$0,0501$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $- 0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,671$
bzw. bei - $1,671$ +2π= $4,612$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$4,612$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$9,224$
$4 x + π$	=	$9,224$	\| $- π$
$4 x$	=	$9,224 - π$
$4 x$	=	$6,0824$	\|: $4$
x₂	=	$1,5206$

L={ $0,0501$ ; $1,5206$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(x^{2} - 3 x) \cdot (3 \cdot \cos (2 x + π) - 3)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{2} - 3 x) (3 \cdot \cos (2 x + π) - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

3 \cdot \cos (2 x + π) - 3

= 0 |

+ 3

3 \cdot \cos (2 x + π)

=

3

|:

3

\cos (2 x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $3$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + \frac{1}{2} {(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + \frac{1}{2} {(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} + u - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} + u - 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $0,5$

{(\sin (x))}^{2}

=

0,5

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{0,5}

≈

- 0,707

\sin (x)

=

- 0,707

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.78524716339515

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,498$

1. Fall:

x₁

=

5,498

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,707$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,498$ =-2.3564 bzw. bei -2.3564+2π= $3,927$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,927

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{0,5}

≈

0,707

\sin (x)

=

0,707

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.78524716339515

1. Fall:

x₃

=

0,785

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,707$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,785$ = $2,356$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

2,356

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $0,785$ ; $2,356$ ; $3,927$ ; $5,498$ }

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):