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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
- sin( 3x + 1 2 π) +1 = 1

Lösung einblenden
- sin( 3x + 1 2 π) +1 = 1 | -1
- sin( 3x + 1 2 π) = 0 |:-1
canvas
sin( 3x + 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x + 1 2 π = 0

oder

3x + 1 2 π = 0+2π
3x + 1 2 π = 2π |⋅ 2
2( 3x + 1 2 π) = 4π
6x + π = 4π | - π
6x = 3π |:6
x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x + 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

3x + 1 2 π = π |⋅ 2
2( 3x + 1 2 π) = 2π
6x + π = 2π | - π
6x = π |:6
x2 = 1 6 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ cos( x ) = -3 |:2
cos( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
-3⋅ cos( x - 1 2 π) +2 = 3,35

Lösung einblenden
-3⋅ cos( x - 1 2 π) +2 = 3,35 | -2
-3⋅ cos( x - 1 2 π) = 1,35 |:-3
canvas
cos( x - 1 2 π) = -0,45 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0375616658422

1. Fall:

x - 1 2 π = 2,038 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 4,076
2x - π = 4,076 | + π
2x = 4,076 + π
2x = 7,2176 |:2
x1 = 3,6088

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - 1 2 π) = -0,45 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,038
bzw. bei - 2,038 +2π= 4,246 liegen muss.

2. Fall:

x - 1 2 π = 4,246 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 8,492
2x - π = 8,492 | + π
2x = 8,492 + π
2x = 11,6336 |:2
x2 = 5,8168

L={ 3,6088 ; 5,8168 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) = 0
( sin( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( x 3 -4 x 2 ) · ( 2⋅ sin( x - π) -2 ) = 0

Lösung einblenden
( x 3 -4 x 2 ) ( 2⋅ sin( x - π) -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 -4 x 2 = 0
x 2 ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

2. Fall:

2⋅ sin( x - π) -2 = 0 | +2
2⋅ sin( x - π) = 2 |:2
canvas
sin( x - π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 1 2 π | + π
x3 = 3 2 π

L={0; 4 ; 3 2 π }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -2⋅ cos( x ) +1 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -2⋅ cos( x ) +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!