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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 9 x$ und $g(x) =$ $- \frac{8}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} - 9 x$	=	$- \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} - 9 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} - 9 x \cdot x^{2}$	=	$- 8$
$x^{6} - 9 x^{3}$	=	$- 8$

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{8}{1^{2}}$ = -8 Somit gilt: S₁( $1$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{8}{2^{2}}$ = -2 Somit gilt: S₂( $2$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x^{2} + 6 x) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 5 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{4 x}{3 x + 8} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 x + 4} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 (x + 2)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 (x + 2)} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (3 x + 8) - 5 \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x + \frac{x (3 x + 8)}{2 (x + 2)} - 15 x - 40$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 2)} - 15 x - 40$	=
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 2)} + 4 x - 15 x - 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 2)} + 4 x - 15 x - 40$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 4 x \cdot (2 (x + 2)) - 15 x \cdot (2 (x + 2)) - 40 \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x^{2} + 8 x + 8 x (x + 2) - 30 x (x + 2) - 80 x - 160$	=
$3 x^{2} + 8 x + (8 x^{2} + 16 x) + (- 30 x^{2} - 60 x) - 80 x - 160$	=
$- 19 x^{2} - 116 x - 160$	=

$- 19 x^{2} - 116 x - 160$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{{(- 116)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 160)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{13 456 - 12 160}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{1 296}}{- 38}$

x₁ = $\frac{116 + \sqrt{1 296}}{- 38}$ = $\frac{116+36}{- 38}$ = $\frac{152}{- 38}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{116 - \sqrt{1 296}}{- 38}$ = $\frac{116-36}{- 38}$ = $\frac{80}{- 38}$ = $- \frac{40}{19}$ ≈ -2.11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{40}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 6 | - 3$ = $15$

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 6 \| - 3$	=	$15$	\| $+ 3$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

$- 3 x + 6$	=	$18$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 4) + 6$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0:

$- (- 3 x + 6)$	=	$18$
$3 x - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 8 + 6$ = -18 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 2 x + t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 2 x + t)$ = 0

$x^{2} - 2 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} - 2 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} - 2 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 4 t$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$2$

Da rechts der Nullstelle t= $2$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $4 + (- 4 \cdot 3 + 4)$ = -4 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + (- 4 t + 4)$ für t > $2$ kleiner 0 und für t < $2$ größer 0

Für t < $2$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +6 ≥ 0:

2. Fall: -3x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0: