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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 15 e^{x}$ und $g(x) =$ $2 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 15 e^{x}$	=	$2 e^{3 x}$	\| $- 2 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $2 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 22.361 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |22.361)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ parallel zur Geraden y = $35 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $35 x - 3$ gilt m = $35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 2 x

=

35

|

- 35

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

L={ $- 5$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $35 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{x} + 4) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{x} + 4) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 9 e^{x}$	=	$- 4$	\|: $- 9$
$e^{x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.8109

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\ln (\frac{4}{9})$ ; 0; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $1$ }

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{8 x}{2 x - 2} - 4$	=	0
$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{8 x}{2 (x - 1)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{8 x}{2 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{8 x}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{4 x \cdot (3 x - 1)}{x - 1} - 12 x + 4$	=
$8 x + \frac{12 x^{2} - 4 x}{x - 1} - 12 x + 4$	=
$\frac{12 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 8 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 8 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} - 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 8 x \cdot (x - 1) - 12 x \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1)$	=
$12 x^{2} - 4 x + 8 x \cdot (x - 1) - 12 x \cdot (x - 1) + 4 x - 4$	=
$12 x^{2} - 4 x + (8 x^{2} - 8 x) + (- 12 x^{2} + 12 x) + 4 x - 4$	=
$8 x^{2} + 4 x - 4$	=

8 x^{2} + 4 x - 4

= 0 |:4

$2 x^{2} + x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 13 x^{2} + 50 x - 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x^{2} + 50 x - 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 56$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 13 \cdot 2^{2} + 50 \cdot 2 - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 50 x$	$- 56$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 28$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 50 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$28 x$	$- 56$
		-( $28 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 50 x - 56$ = $(x^{2} - 11 x + 28) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 11 x + 28) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 13 \cdot 4^{2} + 50 \cdot 4 - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 50 x$	$- 56$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 50 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$14 x$	$- 56$
		-( $14 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 50 x - 56$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 13 \cdot 7^{2} + 50 \cdot 7 - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 50 x$	$- 56$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 50 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$8 x$	$- 56$
		-( $8 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 50 x - 56$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $2$ ; $4$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x + 4 | + 6$ = $30$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x + 4 \| + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| 4 x + 4 \|$	=	$24$	\|⋅ $3$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$72$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$72$	\| $- 4$
$4 x$	=	$68$	\|: $4$
x₁	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 17 + 4$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$72$
$- 4 x - 4$	=	$72$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$76$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 19) + 4$ = -72 < 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $17$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{2} + 4$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$t x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$t x^{2}$	=	$- 4$	\|: $t$
$x^{2}$	=	$- 4 \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- 4 \cdot \frac{1}{t})}$	= $- 2 \sqrt{(- \frac{1}{t})}$
x₂	=	$\sqrt{(- 4 \cdot \frac{1}{t})}$	= $2 \sqrt{(- \frac{1}{t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$4$	=	0	\| $- 4$
0	=	$- 4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t < 0 gibt es also 2 Lösung(en).

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: