Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $\frac{64}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5}$	=	$\frac{64}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x$	=	$\frac{64}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x$	=	$64$
$x^{6}$	=	$64$

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{64}{(- 2)}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{64}{2}$ = 32 Somit gilt: S₂( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 4 + 3 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 4 + 3 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $3 e^{3 x} - 1 + 9 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{3 x} - 1 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{3 x} - 1 + 1 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 e^{3 x} + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{x} - 15$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 2 e^{x} - 15

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 2 e^{x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$12 x - 4 x + 8$	=
$8 x + 8$	=

$8 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$8 x$	=	$- 8$	\|: $8$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 4 x^{2} - x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- x$	$- 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 4 x$	$- 4$
		-( $- 4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - x - 4$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - x - 4$ = $(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 4 \cdot {(- 4)}^{2} - (- 4) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- x$	$- 4$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 4$
		-( $- x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - x - 4$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 4)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 4)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x - 12 | - 5$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \| 4 x - 12 \| - 5$	=	$- 17$	\| $+ 5$
$- \| 4 x - 12 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 6 - 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$12$
$- 4 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	0	\|:( $- 4$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (0) - 12$ = -12 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x - 3 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 3 x - 3 t)$ = 0

$x^{2} - 3 x - 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 3 x - 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 3 x + (- 3 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 12 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 12 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 12 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 12 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 12 t + 4$ = 0 wird.

$9 + 12 t + 4$	=	0
$12 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$12 t$	=	$- 13$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{13}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{13}{12}$ beispielsweise für t = -0 der Radikand $9 + (12 \cdot 0 + 4)$ = 13 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + 12 t + 4$ für t > $- \frac{13}{12}$ größer 0 und für t < $- \frac{13}{12}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{13}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: