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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{4}{x^{2}}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{4}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 4$	=

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $2$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 5 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 5 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{\frac{1}{4} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{\frac{1}{4} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$4 e^{\frac{1}{4} x} + 1 - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{\frac{1}{4} x} + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 4 x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{15 x}{- 2 x + 1} \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x + \frac{4 x (2 x - 1)}{3 x + 1} + \frac{15 x (2 x - 1)}{- 2 x + 1}$	=
$9 x + \frac{4 x (2 x - 1)}{3 x + 1} - 15 x$	=
$9 x + \frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} - 15 x$	=
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} + 9 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} + 9 x - 15 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 9 x \cdot (3 x + 1) - 15 x \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 4 x + 9 x (3 x + 1) - 15 x (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 4 x + (27 x^{2} + 9 x) + (- 45 x^{2} - 15 x)$	=
$- 10 x^{2} - 10 x$	=

$- 10 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 10 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x - 15 | + 3$ = $18$

Lösung einblenden

$\| 3 x - 15 \| + 3$	=	$18$	\| $- 3$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$15$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

$3 x - 15$	=	$15$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 10 - 15$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 15$ < 0:

$- (3 x - 15)$	=	$15$
$- 3 x + 15$	=	$15$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (0) - 15$ = -15 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 5 t x - t) \cdot e^{- x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 5 t x - t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 5 t x - t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 5 t x - t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 5 t x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{{(- 5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} + 4 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} + 4 t$	=	0
$t (25 t + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$25 t$	=	$- 4$	\|: $25$
t₂	=	$- \frac{4}{25}$ = -0.16

Für t = $- \frac{4}{25}$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -15 ≥ 0:

2. Fall: 3x -15 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 15$ < 0: