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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 21 e^{- x}$ und $g(x) =$ $4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 21 e^{- x}$	=	$4 e^{x}$	\| $- 4 e^{x}$
$e^{3 x} - 4 e^{x} - 21 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $4 e^{\frac{1}{2} \ln (7)}$ = 10.583 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |10.583)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 7$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 4 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (x^{2} + 6 x) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x}$ = $3$

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x}

=

3

|

- 3

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{3 x}{3 x - 4} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{8 x}{x + 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{8 x}{x + 2} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{8 x}{x + 2} \cdot (3 x - 4) - 7 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x + \frac{8 x (3 x - 4)}{x + 2} - 21 x + 28$	=
$3 x + \frac{24 x^{2} - 32 x}{x + 2} - 21 x + 28$	=
$\frac{24 x^{2} - 32 x}{x + 2} + 3 x - 21 x + 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 32 x}{x + 2} + 3 x - 21 x + 28$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{24 x^{2} - 32 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) - 21 x \cdot (x + 2) + 28 \cdot (x + 2)$	=
$24 x^{2} - 32 x + 3 x (x + 2) - 21 x (x + 2) + 28 x + 56$	=
$24 x^{2} - 32 x + (3 x^{2} + 6 x) + (- 21 x^{2} - 42 x) + 28 x + 56$	=
$6 x^{2} - 40 x + 56$	=

6 x^{2} - 40 x + 56

= 0 |:2

$3 x^{2} - 20 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 28}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 336}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{20+8}{6}$ = $\frac{28}{6}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{20-8}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 20 x + 28$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{20}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{10}{3})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{84}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{10}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

x₂ = $\frac{10}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{14}{3}$ = 4.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $\frac{14}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 11 \cdot 6^{2} - 9 \cdot 6 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 9 x$
	-( $x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 3 x$	$+ 18$
		-( $- 3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 12 | - 7$ = $17$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 12 \| - 7$	=	$17$	\| $+ 7$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 12 \|$	=	$24$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$72$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$72$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$84$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 21) - 12$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $- 21$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$72$
$4 x + 12$	=	$72$	\| $- 12$
$4 x$	=	$60$	\|: $4$
x₂	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 15 - 12$ = -72 < 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 21$ ; $15$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 4 t x - 5 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 4 t x - 5 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 4 t x - 5 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 4 t x - 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 4 t x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{{(- 4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 20 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 20 t$	=	0
$4 t (4 t + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$4 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$4 t$	=	$- 5$	\|: $4$
t₂	=	$- \frac{5}{4}$ = -1.25

Da bei $16 t^{2} + 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} + 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- \frac{5}{4}$ < t < $0$ , also für t > $- \frac{5}{4}$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: