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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 5$ und $g(x) =$ $\frac{14}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{14}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$\frac{14}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$14$
$x^{2} - 5 x$	=	$14$

x^{2} - 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{14}{(- 2)}$ = -7 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-7)

x₂ = $7$ : f( $7$ )= $\frac{14}{7}$ = 2 Somit gilt: S₂( $7$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 3 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $18 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x + 6$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 3 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 3 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 3 e^{x}

=

18

|

- 18

e^{2 x} + 3 e^{x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 6 e^{2 x}$ = $e^{5 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 6 e^{2 x}$	=	$e^{5 x}$	\| $- e^{5 x}$
$e^{8 x} - e^{5 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 3} + \frac{- 12 x}{2 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 3$ }

\frac{6 x - 12 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x - 12 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 3}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x - 12 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{8 x}{x + 3} \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x - 12 x + \frac{8 x (2 x + 1)}{x + 3}$	=
$6 x - 12 x + \frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 3}$	=
$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 3} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 3} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 6 x \cdot (x + 3) - 12 x \cdot (x + 3)$	=
$16 x^{2} + 8 x + 6 x (x + 3) - 12 x (x + 3)$	=
$16 x^{2} + 8 x + (6 x^{2} + 18 x) + (- 12 x^{2} - 36 x)$	=
$10 x^{2} - 10 x$	=

$10 x^{2} - 10 x$	=	0
$10 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 9 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 9 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 6 | - 8$ = $4$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 6 \| - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$\| - 2 x - 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

$- 2 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 9) - 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0:

$- (- 2 x - 6)$	=	$12$
$2 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 3 - 6$ = -12 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 5 x - 4 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 16 t$ = 0 wird.

$25 + 16 t$	=	0
$16 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$16 t$	=	$- 25$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{25}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{25}{16}$ beispielsweise für t = -1 der Radikand $25 + 16 \cdot (- 1)$ = 9 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 16 t$ für t > $- \frac{25}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{25}{16}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{25}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -6 ≥ 0:

2. Fall: -2x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0: