Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $21$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $21$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $21$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $21$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $21$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $21$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(2500\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500·4)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x\right)-\lg \left(\frac{8}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^{10}}\right)$

= $\lg \left(2x\right)-\lg \left(8x^{-4}\right)+\lg \left(4x^{-10}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(8\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$