Wir suchen den Logarithmus von $1000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $10$^$6$ = $1000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100000}$ um: $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100000}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $22$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $22$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $22$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $22$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $22$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+9$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>80</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>80</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{5}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)$

= $\lg \left(25x^{-5}\right)-\lg \left(5x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(5\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$