Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $7$ und auf $4^2$ = 4² > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $7$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(200000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000·5)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $9\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·20·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$