Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{19}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\sqrt[3]{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{19}$ als ${19}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{19}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $91$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $91$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $91$ und auf ${11}^2$ = 11² > $91$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $91$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $91$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $10-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(300\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{300}{3}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $2\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $12\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(8000\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(8000\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)+\lg \left(20x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(8000\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(8000\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(8000\right)+0-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(8000\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$