Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $442404$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $442404$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $442404$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $442404$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $442404$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $442404$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(\mathrm{0,003}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.003}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+0+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+0+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$