Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $16$^$2$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$-Potenz zu schreiben versuchen, also $16$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $16$^$-2$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $75$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $75$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $75$ und auf $5^3$ = 5³ > $75$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $75$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $75$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{20·20}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$