Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt[5]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{18}$ als ${18}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{18}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{8}$ um: $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$ = ${\left(2^3\right)}^{-1}$ = $2^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-3}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $580643160$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $580643160$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $580643160$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $580643160$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $580643160$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $580643160$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{125}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+0+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$