Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$ = ${\left(3^3\right)}^{-1}$ = $3^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-3}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $25$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $25$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $25$ und auf ${18}^2$ = 18² > $25$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $25$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $25$ < ${18}^2$ = 18²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\frac{15}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)-\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$