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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Es gilt f(x) = -4, also $x^{4} - 4 x^{2} - 4$ = -4.

$x^{4} - 4 x^{2} - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x^{4} - 4 x^{2} - 4 + 4$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 29)}^{3} - 132$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(x^{2} - 29)}^{3} - 132$ = -4.

$- 2 {(x^{2} - 29)}^{3} - 132$	=	$- 4$	\| $+ 132$
$- 2 {(x^{2} - 29)}^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 29)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 29$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x^{2} - 29$	=	$- 4$	\| $+ 29$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 27 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x - 4$ und $g(x) =$ $- 2 x - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 3 x^{4} + 27 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x - 4$	=	$- 2 x - 4$	\| $+ 4$
$- 3 x^{4} + 27 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x$	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$- 3 x^{4} + 27 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x + 2 x$	=	0
$- 3 x^{4} + 27 x^{3} - 54 x^{2}$	=	0
$3 x^{2} \cdot (- x^{2} + 9 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 2 \cdot 0 - 4$ = $- 4$ ⇒ S₁(0| $- 4$ )

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3 - 4$ = $- 10$ ⇒ S₂( $3$ | $- 10$ )

g( $6$ ) = $- 2 \cdot 6 - 4$ = $- 16$ ⇒ S₃( $6$ | $- 16$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):