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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -10x +22 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 2 -10x +22 = 1.

x 2 -10x +22 = 1 | -1

x 2 -10x +21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 21 2⋅1

x1,2 = +10 ± 100 -84 2

x1,2 = +10 ± 16 2

x1 = 10 + 16 2 = 10 +4 2 = 14 2 = 7

x2 = 10 - 16 2 = 10 -4 2 = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 21 = 25 - 21 = 4

x1,2 = 5 ± 4

x1 = 5 - 2 = 3

x2 = 5 + 2 = 7

An den Stellen x1 = 3 und x2 = 7 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 +5 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also x 3 +5 = -3.

x 3 +5 = -3 | -5
x 3 = -8 | ⋅3
x = - 8 3 = -2

An der Stelle x1 = -2 gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 4 x 4 -4 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

4 x 4 -4 x 2 = 0
4 x 2 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 5 x 3 + x 2 - x -15 und g(x)= 5 x 3 +5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

5 x 3 + x 2 - x -15 = 5 x 3 +5 | -5 x 3 -5

x 2 - x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +80 2

x1,2 = +1 ± 81 2

x1 = 1 + 81 2 = 1 +9 2 = 10 2 = 5

x2 = 1 - 81 2 = 1 -9 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = 1 2 ± 81 4

x1 = 1 2 - 9 2 = - 8 2 = -4

x2 = 1 2 + 9 2 = 10 2 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -4 ) = 5⋅ ( -4 ) 3 +5 = -315 ⇒ S1( -4 | -315 )

g( 5 ) = 5⋅ 5 3 +5 = 630 ⇒ S2( 5 | 630 )