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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 2 x^{3} + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Es gilt f(x) = 1, also $x^{4} - 2 x^{3} + 1$ = 1.

$x^{4} - 2 x^{3} + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{4} - 2 x^{3} + 1 - 1$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 2)}^{4} - 82$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also ${(x + 2)}^{4} - 82$ = -1.

${(x + 2)}^{4} - 82$	=	$- 1$	\| $+ 82$
${(x + 2)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{5} + 2 x^{4} + 24 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{5} + 2 x^{4} + 24 x^{3}$	=	0
$x^{3} (- x^{2} + 2 x + 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 2 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 2+10}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 2-10}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x + 128$ und $g(x) =$ $3 x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 3 x + 128$	=	$3 x + 3$	\| $- 128$
$x^{3} + 3 x$	=	$3 x - 125$	\| $- 3 x$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $3 \cdot (- 5) + 3$ = $- 12$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 12$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen