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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -9 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also x 2 -9 = -5.

x 2 -9 = -5 | +9
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 4 -164 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also 2 ( x -3 ) 4 -164 = -2.

2 ( x -3 ) 4 -164 = -2 | +164
2 ( x -3 ) 4 = 162 |:2
( x -3 ) 4 = 81 | ⋅4

1. Fall

x -3 = - 81 4 = -3
x -3 = -3 | +3
x1 = 0

2. Fall

x -3 = 81 4 = 3
x -3 = 3 | +3
x2 = 6

An den Stellen x1 = 0 und x2 = 6 gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 4 x 5 -4 x 4 -168 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

4 x 5 -4 x 4 -168 x 3 = 0
4 x 3 · ( x 2 - x -42 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 - x -42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -42 ) 2⋅1

x2,3 = +1 ± 1 +168 2

x2,3 = +1 ± 169 2

x2 = 1 + 169 2 = 1 +13 2 = 14 2 = 7

x3 = 1 - 169 2 = 1 -13 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -42 ) = 1 4 + 42 = 1 4 + 168 4 = 169 4

x1,2 = 1 2 ± 169 4

x1 = 1 2 - 13 2 = - 12 2 = -6

x2 = 1 2 + 13 2 = 14 2 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -6 |0), S2(0|0), S3( 7 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 -2x -2 und g(x)= -x -2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 -2x -2 = -x -2 | +2
x 4 -2x = -x | + x
x 4 -2x + x = 0
x 4 - x = 0
x · ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -0 -2 = -2 ⇒ S1(0| -2 )

g( 1 ) = -1 -2 = -3 ⇒ S2( 1 | -3 )