zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x -2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also x 2 + x -2 = 4.

x 2 + x -2 = 4 | -4

x 2 + x -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +24 2

x1,2 = -1 ± 25 2

x1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = - 1 2 ± 25 4

x1 = - 1 2 - 5 2 = - 6 2 = -3

x2 = - 1 2 + 5 2 = 4 2 = 2

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 2 gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x +5 ) 3 +129 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also -2 ( x +5 ) 3 +129 = 1.

-2 ( x +5 ) 3 +129 = 1 | -129
-2 ( x +5 ) 3 = -128 |: ( -2 )
( x +5 ) 3 = 64 | ⋅3
x +5 = 64 3 = 4
x +5 = 4 | -5
x = -1

An der Stelle x1 = -1 gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 x 5 +4 x 4 -70 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x 5 +4 x 4 -70 x 3 = 0
2 x 3 · ( x 2 +2x -35 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -35 ) 2⋅1

x2,3 = -2 ± 4 +140 2

x2,3 = -2 ± 144 2

x2 = -2 + 144 2 = -2 +12 2 = 10 2 = 5

x3 = -2 - 144 2 = -2 -12 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -35 ) = 1+ 35 = 36

x1,2 = -1 ± 36

x1 = -1 - 6 = -7

x2 = -1 + 6 = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -7 |0), S2(0|0), S3( 5 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -2 x 3 + x -17 und g(x)= x -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-2 x 3 + x -17 = x -1 | +17
-2 x 3 + x = x +16 | - x
-2 x 3 = 16 |: ( -2 )
x 3 = -8 | ⋅3
x = - 8 3 = -2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = -2 -1 = -3 ⇒ S1( -2 | -3 )