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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -7x +14 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 2 -7x +14 = 2.

x 2 -7x +14 = 2 | -2

x 2 -7x +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 12 2⋅1

x1,2 = +7 ± 49 -48 2

x1,2 = +7 ± 1 2

x1 = 7 + 1 2 = 7 +1 2 = 8 2 = 4

x2 = 7 - 1 2 = 7 -1 2 = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - 12 = 49 4 - 12 = 49 4 - 48 4 = 1 4

x1,2 = 7 2 ± 1 4

x1 = 7 2 - 1 2 = 6 2 = 3

x2 = 7 2 + 1 2 = 8 2 = 4

An den Stellen x1 = 3 und x2 = 4 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x -3 ) 4 -11 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also ( x -3 ) 4 -11 = 5.

( x -3 ) 4 -11 = 5 | +11
( x -3 ) 4 = 16 | ⋅4

1. Fall

x -3 = - 16 4 = -2
x -3 = -2 | +3
x1 = 1

2. Fall

x -3 = 16 4 = 2
x -3 = 2 | +3
x2 = 5

An den Stellen x1 = 1 und x2 = 5 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 3 - x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 3 - x = 0
x · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 + x 3 -5 x 2 -5x und g(x)= -5 x 2 -5x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 + x 3 -5 x 2 -5x = -5 x 2 -5x | - ( -5 x 2 -5x )
x 6 + x 3 -5 x 2 +5 x 2 -5x +5x = 0
x 6 + x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = -5⋅ ( -1 ) 2 -5⋅( -1 ) = 0 ⇒ S1( -1 |0)

g(0) = -5⋅ 0 2 -5⋅0 = 0 ⇒ S2(0|0)