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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x -31 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 2 + x -31 = -1.

x 2 + x -31 = -1 | +1

x 2 + x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -30 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +120 2

x1,2 = -1 ± 121 2

x1 = -1 + 121 2 = -1 +11 2 = 10 2 = 5

x2 = -1 - 121 2 = -1 -11 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = - 1 2 ± 121 4

x1 = - 1 2 - 11 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 1 2 + 11 2 = 10 2 = 5

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 5 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x +5 ) 3 +253 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also 2 ( x +5 ) 3 +253 = 3.

2 ( x +5 ) 3 +253 = 3 | -253
2 ( x +5 ) 3 = -250 |:2
( x +5 ) 3 = -125 | ⋅3
x +5 = - 125 3 = -5
x +5 = -5 | -5
x = -10

An der Stelle x1 = -10 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 ( x +2 ) 4 -32 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 ( x +2 ) 4 -32 = 0 | +32
2 ( x +2 ) 4 = 32 |:2
( x +2 ) 4 = 16 | ⋅4

1. Fall

x +2 = - 16 4 = -2
x +2 = -2 | -2
x1 = -4

2. Fall

x +2 = 16 4 = 2
x +2 = 2 | -2
x2 = 0

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -4 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 +13 x 3 -1 und g(x)= 5 x 3 -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 +13 x 3 -1 = 5 x 3 -1 | +1
x 6 +13 x 3 = 5 x 3 | -5 x 3
x 6 +13 x 3 -5 x 3 = 0
x 6 +8 x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = 5⋅ ( -2 ) 3 -1 = -41 ⇒ S1( -2 | -41 )

g(0) = 5⋅ 0 3 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )