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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -4 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also x 2 -2x -4 = -5.

x 2 -2x -4 = -5 | +5

x 2 -2x +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

An der Stelle x1 = 1 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 4 +19 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also - x 4 +19 = 3.

- x 4 +19 = 3 | -19
- x 4 = -16 |: ( -1 )
x 4 = 16 | ⋅4
x1 = - 16 4 = -2
x2 = 16 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 4 x 5 -12 x 4 -40 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

4 x 5 -12 x 4 -40 x 3 = 0
4 x 3 · ( x 2 -3x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -3x -10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -10 ) 2⋅1

x2,3 = +3 ± 9 +40 2

x2,3 = +3 ± 49 2

x2 = 3 + 49 2 = 3 +7 2 = 10 2 = 5

x3 = 3 - 49 2 = 3 -7 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -10 ) = 9 4 + 10 = 9 4 + 40 4 = 49 4

x1,2 = 3 2 ± 49 4

x1 = 3 2 - 7 2 = - 4 2 = -2

x2 = 3 2 + 7 2 = 10 2 = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0), S3( 5 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 5 - x 3 -5 x 2 +1 und g(x)= -5 x 2 +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 5 - x 3 -5 x 2 +1 = -5 x 2 +1 | -1
x 5 - x 3 -5 x 2 = -5 x 2 | +5 x 2
x 5 - x 3 -5 x 2 +5 x 2 = 0
x 5 - x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = -5⋅ ( -1 ) 2 +1 = -4 ⇒ S1( -1 | -4 )

g(0) = -5⋅ 0 2 +1 = 1 ⇒ S2(0| 1 )

g( 1 ) = -5⋅ 1 2 +1 = -4 ⇒ S3( 1 | -4 )