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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -13x +43 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 2 -13x +43 = 1.

x 2 -13x +43 = 1 | -1

x 2 -13x +42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 42 2⋅1

x1,2 = +13 ± 169 -168 2

x1,2 = +13 ± 1 2

x1 = 13 + 1 2 = 13 +1 2 = 14 2 = 7

x2 = 13 - 1 2 = 13 -1 2 = 12 2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 42 = 169 4 - 42 = 169 4 - 168 4 = 1 4

x1,2 = 13 2 ± 1 4

x1 = 13 2 - 1 2 = 12 2 = 6

x2 = 13 2 + 1 2 = 14 2 = 7

An den Stellen x1 = 6 und x2 = 7 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 -76 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also x 4 -76 = 5.

x 4 -76 = 5 | +76
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 +8x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 +8x = 0
x · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 3 +2 x 2 - x +16 und g(x)= 2 x 2 - x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 3 +2 x 2 - x +16 = 2 x 2 - x | -16 -2 x 2 + x
2 x 3 = -16 |:2
x 3 = -8 | ⋅3
x = - 8 3 = -2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = 2⋅ ( -2 ) 2 - ( -2 ) = 10 ⇒ S1( -2 | 10 )