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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 5 - x 3 +3 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also x 5 - x 3 +3 = 3.

x 5 - x 3 +3 = 3 | -3
x 5 - x 3 +3 -3 = 0
x 5 - x 3 = 0
x 3 ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

An den Stellen x1 = -1 , x2 = 0 und x3 = 1 gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x -4 ) 4 -14 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also ( x -4 ) 4 -14 = 2.

( x -4 ) 4 -14 = 2 | +14
( x -4 ) 4 = 16 | ⋅4

1. Fall

x -4 = - 16 4 = -2
x -4 = -2 | +4
x1 = 2

2. Fall

x -4 = 16 4 = 2
x -4 = 2 | +4
x2 = 6

An den Stellen x1 = 2 und x2 = 6 gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 ( x -5 ) 3 -128 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 ( x -5 ) 3 -128 = 0 | +128
-2 ( x -5 ) 3 = 128 |: ( -2 )
( x -5 ) 3 = -64 | ⋅3
x -5 = - 64 3 = -4
x -5 = -4 | +5
x = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 4 x 3 -15 x 2 -20x -1 und g(x)= x 2 -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

4 x 3 -15 x 2 -20x -1 = x 2 -1 | +1
4 x 3 -15 x 2 -20x = x 2 | - x 2
4 x 3 -15 x 2 - x 2 -20x = 0
4 x 3 -16 x 2 -20x = 0
4 x ( x 2 -4x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -5 ) 2⋅1

x2,3 = +4 ± 16 +20 2

x2,3 = +4 ± 36 2

x2 = 4 + 36 2 = 4 +6 2 = 10 2 = 5

x3 = 4 - 36 2 = 4 -6 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = 2 ± 9

x1 = 2 - 3 = -1

x2 = 2 + 3 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = ( -1 ) 2 -1 = 0 ⇒ S1( -1 |0)

g(0) = 0 2 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )

g( 5 ) = 5 2 -1 = 24 ⇒ S3( 5 | 24 )