zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 - x 2 +1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 4 - x 2 +1 = 1.

x 4 - x 2 +1 = 1 | -1
x 4 - x 2 +1 -1 = 0
x 4 - x 2 = 0
x 2 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

An den Stellen x1 = -1 , x2 = 0 und x3 = 1 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 4 +37 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also -2 x 4 +37 = 5.

-2 x 4 +37 = 5 | -37
-2 x 4 = -32 |: ( -2 )
x 4 = 16 | ⋅4
x1 = - 16 4 = -2
x2 = 16 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 - x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 - x 2 = 0
x 2 · ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 4 +4 x 3 -29 x 2 -5 und g(x)= x 2 -5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 4 +4 x 3 -29 x 2 -5 = x 2 -5 | +5
2 x 4 +4 x 3 -29 x 2 = x 2 | - x 2
2 x 4 +4 x 3 -29 x 2 - x 2 = 0
2 x 4 +4 x 3 -30 x 2 = 0
2 x 2 · ( x 2 +2x -15 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -15 ) 2⋅1

x2,3 = -2 ± 4 +60 2

x2,3 = -2 ± 64 2

x2 = -2 + 64 2 = -2 +8 2 = 6 2 = 3

x3 = -2 - 64 2 = -2 -8 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = -1 ± 16

x1 = -1 - 4 = -5

x2 = -1 + 4 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -5 ) = ( -5 ) 2 -5 = 20 ⇒ S1( -5 | 20 )

g(0) = 0 2 -5 = -5 ⇒ S2(0| -5 )

g( 3 ) = 3 2 -5 = 4 ⇒ S3( 3 | 4 )