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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 9 x + 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Es gilt f(x) = -4, also $x^{2} - 9 x + 14$ = -4.

x^{2} - 9 x + 14

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

An den Stellen x₁ = $3$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(8 - 3 x)}^{3} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(8 - 3 x)}^{3} - 5$ = 3.

${(8 - 3 x)}^{3} - 5$	=	$3$
${(- 3 x + 8)}^{3} - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
${(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$- 3 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x - 5$ und $g(x) =$ $- x - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 2 x - 5$	=	$- x - 5$	\| $+ 5$
$x^{3} - 2 x$	=	$- x$	\| $+ x$
$x^{3} - 2 x + x$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- (- 1) - 5$ = $- 4$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 4$ )

g(0) = $- 0 - 5$ = $- 5$ ⇒ S₂(0| $- 5$ )

g( $1$ ) = $- 1 - 5$ = $- 6$ ⇒ S₃( $1$ | $- 6$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen