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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +4x -6 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 2 +4x -6 = -1.

x 2 +4x -6 = -1 | +1

x 2 +4x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 2⋅1

x1,2 = -4 ± 16 +20 2

x1,2 = -4 ± 36 2

x1 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

x2 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = -2 ± 9

x1 = -2 - 3 = -5

x2 = -2 + 3 = 1

An den Stellen x1 = -5 und x2 = 1 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3 +2x ) 3 +51 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also 2 ( 3 +2x ) 3 +51 = -3.

2 ( 3 +2x ) 3 +51 = -3
2 ( 2x +3 ) 3 +51 = -3 | -51
2 ( 2x +3 ) 3 = -54 |:2
( 2x +3 ) 3 = -27 | ⋅3
2x +3 = - 27 3 = -3
2x +3 = -3 | -3
2x = -6 |:2
x = -3

An der Stelle x1 = -3 gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 ( x +1 ) 4 -32 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 ( x +1 ) 4 -32 = 0 | +32
2 ( x +1 ) 4 = 32 |:2
( x +1 ) 4 = 16 | ⋅4

1. Fall

x +1 = - 16 4 = -2
x +1 = -2 | -1
x1 = -3

2. Fall

x +1 = 16 4 = 2
x +1 = 2 | -1
x2 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -3 |0), S2( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 5 x 3 -40 x 2 +79x +5 und g(x)= -x +5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

5 x 3 -40 x 2 +79x +5 = -x +5 | -5
5 x 3 -40 x 2 +79x = -x | + x
5 x 3 -40 x 2 +79x + x = 0
5 x 3 -40 x 2 +80x = 0
5 x · ( x 2 -8x +16 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -8x +16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 16 2⋅1

x2,3 = +8 ± 64 -64 2

x2,3 = +8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 4 ± 0 = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -0 +5 = 5 ⇒ S1(0| 5 )

g( 4 ) = -4 +5 = 1 ⇒ S2( 4 | 1 )