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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 9 x + 23$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 9 x + 23$ = 5.

x^{2} - 9 x + 23

=

5

|

- 5

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

An den Stellen x₁ = $3$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 2)}^{4} - 79$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also ${(x + 2)}^{4} - 79$ = 2.

${(x + 2)}^{4} - 79$	=	$2$	\| $+ 79$
${(x + 2)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x + 3)}^{3} + 250$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x + 3)}^{3} + 250$	=	0	\| $- 250$
$- 2 {(x + 3)}^{3}$	=	$- 250$	\|: $(- 2)$
${(x + 3)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 3$	=	$5$	\| $- 3$
$x$	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 4$ und $g(x) =$ $- 5 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 4$	=	$- 5 x + 4$	\| $- 4$
$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x$	=	$- 5 x$	\| $+ 5 x$
$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 5 x$	=	0
$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot (x^{2} + x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 5 \cdot (- 2) + 4$ = $14$ ⇒ S₁( $- 2$ | $14$ )

g(0) = $- 5 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )

g( $1$ ) = $- 5 \cdot 1 + 4$ = $- 1$ ⇒ S₃( $1$ | $- 1$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):