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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - x^{3} - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Es gilt f(x) = -4, also $x^{5} - x^{3} - 4$ = -4.

$x^{5} - x^{3} - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x^{5} - x^{3} - 4 + 4$	=	0
$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 2)}^{4} + 82$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- {(x + 2)}^{4} + 82$ = 1.

$- {(x + 2)}^{4} + 82$	=	$1$	\| $- 82$
$- {(x + 2)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x + 2)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x + 4)}^{3} - 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x + 4)}^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- {(x + 4)}^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
${(x + 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$x$	=	$- 6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{2} + 17 x + 112$ und $g(x) =$ $3 x^{2} + 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- x^{2} + 17 x + 112

=

3 x^{2} + 5 x

|

- 3 x^{2}

- 5 x

- 4 x^{2} + 12 x + 112

= 0 |:4

$- x^{2} + 3 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 28}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 3+11}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 3-11}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 28$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $3 \cdot {(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4)$ = $28$ ⇒ S₁( $- 4$ | $28$ )

g( $7$ ) = $3 \cdot 7^{2} + 5 \cdot 7$ = $182$ ⇒ S₂( $7$ | $182$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):