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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 2)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also ${(x - 2)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ = 0.

${(x - 2)}^{2} {(x - 3)}^{2}$	=	0
${((x - 2) \cdot (x - 3))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x - 2) \cdot (x - 3)$	=	0

(x - 2) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

An den Stellen x₁ = $2$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 3)}^{4} - 12$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also ${(x + 3)}^{4} - 12$ = 4.

${(x + 3)}^{4} - 12$	=	$4$	\| $+ 12$
${(x + 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 3$	=	$- 2$	\| $- 3$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $- 1$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 18 x^{3} - 28 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 18 x^{3} - 28 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} \cdot (- x^{2} + 9 x - 14)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9+5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9-5}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0), S₃( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x^{2} - 51$ und $g(x) =$ $3 x^{2} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 51$	=	$3 x^{2} + 3$	\| $+ 51$
$2 x^{3} + 3 x^{2}$	=	$3 x^{2} + 54$	\| $- 3 x^{2}$
$2 x^{3}$	=	$54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $3$ ) = $3 \cdot 3^{2} + 3$ = $30$ ⇒ S₁( $3$ | $30$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen