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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Es gilt f(x) = -3, also $x^{4} - x - 3$ = -3.

$x^{4} - x - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$x^{4} - x - 3 + 3$	=	0
$x^{4} - x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 3)}^{3} - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also ${(x - 3)}^{3} - 3$ = 5.

${(x - 3)}^{3} - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
${(x - 3)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$x$	=	$5$

An der Stelle x₁ = $5$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(3 + 2 x)}^{3} + 125$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(3 + 2 x)}^{3} + 125$	=	0
${(2 x + 3)}^{3} + 125$	=	0	\| $- 125$
${(2 x + 3)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$2 x + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{4} + 9 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x - 1$ und $g(x) =$ $2 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$3 x^{4} + 9 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x - 1$	=	$2 x - 1$	\| $+ 1$
$3 x^{4} + 9 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x$	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$3 x^{4} + 9 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x - 2 x$	=	0
$3 x^{4} + 9 x^{3} - 54 x^{2}$	=	0
$3 x^{2} \cdot (x^{2} + 3 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 6$ ) = $2 \cdot (- 6) - 1$ = $- 13$ ⇒ S₁( $- 6$ | $- 13$ )

g(0) = $2 \cdot 0 - 1$ = $- 1$ ⇒ S₂(0| $- 1$ )

g( $3$ ) = $2 \cdot 3 - 1$ = $5$ ⇒ S₃( $3$ | $5$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):