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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 6 + x 3 -3 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also x 6 + x 3 -3 = -3.

x 6 + x 3 -3 = -3 | +3
x 6 + x 3 -3 +3 = 0
x 6 + x 3 = 0
x 3 ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 0 gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x 2 -11 ) 3 +6 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also ( x 2 -11 ) 3 +6 = -2.

( x 2 -11 ) 3 +6 = -2 | -6
( x 2 -11 ) 3 = -8 | ⋅3
x 2 -11 = - 8 3 = -2
x 2 -11 = -2 | +11
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -5 x 4 +20 x 3 +105 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-5 x 4 +20 x 3 +105 x 2 = 0
5 x 2 ( - x 2 +4x +21 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +4x +21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · 21 2⋅( -1 )

x2,3 = -4 ± 16 +84 -2

x2,3 = -4 ± 100 -2

x2 = -4 + 100 -2 = -4 +10 -2 = 6 -2 = -3

x3 = -4 - 100 -2 = -4 -10 -2 = -14 -2 = 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +4x +21 = 0 |: -1

x 2 -4x -21 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -21 ) = 4+ 21 = 25

x1,2 = 2 ± 25

x1 = 2 - 5 = -3

x2 = 2 + 5 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -3 |0), S2(0|0), S3( 7 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -5 x 3 -5 x 2 +145x +1 und g(x)= -5x +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-5 x 3 -5 x 2 +145x +1 = -5x +1 | -1
-5 x 3 -5 x 2 +145x = -5x | +5x
-5 x 3 -5 x 2 +145x +5x = 0
-5 x 3 -5 x 2 +150x = 0
-5 x ( x 2 + x -30 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 + x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -30 ) 2⋅1

x2,3 = -1 ± 1 +120 2

x2,3 = -1 ± 121 2

x2 = -1 + 121 2 = -1 +11 2 = 10 2 = 5

x3 = -1 - 121 2 = -1 -11 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = - 1 2 ± 121 4

x1 = - 1 2 - 11 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 1 2 + 11 2 = 10 2 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -6 ) = -5⋅( -6 ) +1 = 31 ⇒ S1( -6 | 31 )

g(0) = -5⋅0 +1 = 1 ⇒ S2(0| 1 )

g( 5 ) = -5⋅5 +1 = -24 ⇒ S3( 5 | -24 )