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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 2 x^{2} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{3} - 2 x^{2} - 5$ = -5.

$x^{3} - 2 x^{2} - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 5$	=	0
$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x^{2} - 22)}^{3} - 24$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(x^{2} - 22)}^{3} - 24$ = 3.

${(x^{2} - 22)}^{3} - 24$	=	$3$	\| $+ 24$
${(x^{2} - 22)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 22$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 22$	=	$3$	\| $+ 22$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x$	=	0
$2 x \cdot (x^{2} - 3 x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - x - 1$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{2} - x - 1$	=	$- 3 x^{2} - 1$	\| $+ 1$
$- 2 x^{2} - x$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3 x^{2}$
$- 2 x^{2} + 3 x^{2} - x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 3 \cdot 0^{2} - 1$ = $- 1$ ⇒ S₁(0| $- 1$ )

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{2} - 1$ = $- 4$ ⇒ S₂( $1$ | $- 4$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen