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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - x^{3} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Es gilt f(x) = -1, also $x^{5} - x^{3} - 1$ = -1.

$x^{5} - x^{3} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{5} - x^{3} - 1 + 1$	=	0
$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 4 - 2 x)}^{3} - 124$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $2 {(- 4 - 2 x)}^{3} - 124$ = 4.

$2 {(- 4 - 2 x)}^{3} - 124$	=	$4$
$2 {(- 2 x - 4)}^{3} - 124$	=	$4$	\| $+ 124$
$2 {(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x - 4$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$- 2 x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

An der Stelle x₁ = $- 4$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x + 3)}^{4} + 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x + 3)}^{4} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- {(x + 3)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x + 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 3$	=	$- 2$	\| $- 3$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $4 x^{4} - 28 x^{3} + 36 x^{2} - 4$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 36 x^{2} - 4$	=	$- 4 x^{2} - 4$	\| $+ 4$
$4 x^{4} - 28 x^{3} + 36 x^{2}$	=	$- 4 x^{2}$	\| $+ 4 x^{2}$
$4 x^{4} - 28 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x^{2}$	=	0
$4 x^{4} - 28 x^{3} + 40 x^{2}$	=	0
$4 x^{2} \cdot (x^{2} - 7 x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} - 4$ = $- 4$ ⇒ S₁(0| $- 4$ )

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} - 4$ = $- 20$ ⇒ S₂( $2$ | $- 20$ )

g( $5$ ) = $- 4 \cdot 5^{2} - 4$ = $- 104$ ⇒ S₃( $5$ | $- 104$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):