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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Es gilt f(x) = -1, also $x^{3} - x - 1$ = -1.

$x^{3} - x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{3} - x - 1 + 1$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 4)}^{4} - 165$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(x - 4)}^{4} - 165$ = -3.

$2 {(x - 4)}^{4} - 165$	=	$- 3$	\| $+ 165$
$2 {(x - 4)}^{4}$	=	$162$	\|: $2$
${(x - 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
x₂	=	$7$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x^{2} - 21)}^{3} - 64$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x^{2} - 21)}^{3} - 64$	=	0	\| $+ 64$
${(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 21$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x^{2} - 21$	=	$4$	\| $+ 21$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{4} + 25 x^{3} - 65 x^{2} + x$ und $g(x) =$ $5 x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{4} + 25 x^{3} - 65 x^{2} + x$	=	$5 x^{2} + x$	\| $- (5 x^{2} + x)$
$5 x^{4} + 25 x^{3} - 65 x^{2} - 5 x^{2} + x - x$	=	0
$5 x^{4} + 25 x^{3} - 70 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} \cdot (x^{2} + 5 x - 14)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $5 \cdot {(- 7)}^{2} - 7$ = $238$ ⇒ S₁( $- 7$ | $238$ )

g(0) = $5 \cdot 0^{2} + 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $2$ ) = $5 \cdot 2^{2} + 2$ = $22$ ⇒ S₃( $2$ | $22$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):