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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 5 - x 3 +3 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also x 5 - x 3 +3 = 3.

x 5 - x 3 +3 = 3 | -3
x 5 - x 3 +3 -3 = 0
x 5 - x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

An den Stellen x1 = -1 , x2 = 0 und x3 = 1 gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x +1 ) 3 +255 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also -2 ( x +1 ) 3 +255 = 5.

-2 ( x +1 ) 3 +255 = 5 | -255
-2 ( x +1 ) 3 = -250 |: ( -2 )
( x +1 ) 3 = 125 | ⋅3
x +1 = 125 3 = 5
x +1 = 5 | -1
x = 4

An der Stelle x1 = 4 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 4 x 4 -20 x 3 -56 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

4 x 4 -20 x 3 -56 x 2 = 0
4 x 2 · ( x 2 -5x -14 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -5x -14 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -14 ) 2⋅1

x2,3 = +5 ± 25 +56 2

x2,3 = +5 ± 81 2

x2 = 5 + 81 2 = 5 +9 2 = 14 2 = 7

x3 = 5 - 81 2 = 5 -9 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - ( -14 ) = 25 4 + 14 = 25 4 + 56 4 = 81 4

x1,2 = 5 2 ± 81 4

x1 = 5 2 - 9 2 = - 4 2 = -2

x2 = 5 2 + 9 2 = 14 2 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0), S3( 7 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 4 +3 x 3 -50 x 2 +2x und g(x)= 3 x 3 +2x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 4 +3 x 3 -50 x 2 +2x = 3 x 3 +2x | - ( 3 x 3 +2x )
2 x 4 +3 x 3 -3 x 3 -50 x 2 +2x -2x = 0
2 x 4 -50 x 2 = 0
2 x 2 · ( x 2 -25 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -25 = 0 | +25
x 2 = 25 | ⋅2
x2 = - 25 = -5
x3 = 25 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -5 ) = 3⋅ ( -5 ) 3 +2⋅( -5 ) = -385 ⇒ S1( -5 | -385 )

g(0) = 3⋅ 0 3 +2⋅0 = 0 ⇒ S2(0|0)

g( 5 ) = 3⋅ 5 3 +2⋅5 = 385 ⇒ S3( 5 | 385 )