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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 5 -4 x 3 -1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 5 -4 x 3 -1 = -1.

x 5 -4 x 3 -1 = -1 | +1
x 5 -4 x 3 -1 +1 = 0
x 5 -4 x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 , x2 = 0 und x3 = 2 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x 2 -27 ) 3 +12 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also 2 ( x 2 -27 ) 3 +12 = -4.

2 ( x 2 -27 ) 3 +12 = -4 | -12
2 ( x 2 -27 ) 3 = -16 |:2
( x 2 -27 ) 3 = -8 | ⋅3
x 2 -27 = - 8 3 = -2
x 2 -27 = -2 | +27
x 2 = 25 | ⋅2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

An den Stellen x1 = -5 und x2 = 5 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 +8 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 +8 x 2 = 0
x 2 · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 4 - x 2 -5x +162 und g(x)= - x 2 -5x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 4 - x 2 -5x +162 = - x 2 -5x | -162 + x 2 +5x
2 x 4 = -162 |:2
x 4 = -81 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).