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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -11x +33 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also x 2 -11x +33 = 3.

x 2 -11x +33 = 3 | -3

x 2 -11x +30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 1 · 30 2⋅1

x1,2 = +11 ± 121 -120 2

x1,2 = +11 ± 1 2

x1 = 11 + 1 2 = 11 +1 2 = 12 2 = 6

x2 = 11 - 1 2 = 11 -1 2 = 10 2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 2 ) 2 - 30 = 121 4 - 30 = 121 4 - 120 4 = 1 4

x1,2 = 11 2 ± 1 4

x1 = 11 2 - 1 2 = 10 2 = 5

x2 = 11 2 + 1 2 = 12 2 = 6

An den Stellen x1 = 5 und x2 = 6 gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -4 ) 4 -27 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also 2 ( x -4 ) 4 -27 = 5.

2 ( x -4 ) 4 -27 = 5 | +27
2 ( x -4 ) 4 = 32 |:2
( x -4 ) 4 = 16 | ⋅4

1. Fall

x -4 = - 16 4 = -2
x -4 = -2 | +4
x1 = 2

2. Fall

x -4 = 16 4 = 2
x -4 = 2 | +4
x2 = 6

An den Stellen x1 = 2 und x2 = 6 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - x 5 +9 x 4 -20 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- x 5 +9 x 4 -20 x 3 = 0
x 3 · ( - x 2 +9x -20 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +9x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -9 ± 9 2 -4 · ( -1 ) · ( -20 ) 2⋅( -1 )

x2,3 = -9 ± 81 -80 -2

x2,3 = -9 ± 1 -2

x2 = -9 + 1 -2 = -9 +1 -2 = -8 -2 = 4

x3 = -9 - 1 -2 = -9 -1 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +9x -20 = 0 |: -1

x 2 -9x +20 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 2 ) 2 - 20 = 81 4 - 20 = 81 4 - 80 4 = 1 4

x1,2 = 9 2 ± 1 4

x1 = 9 2 - 1 2 = 8 2 = 4

x2 = 9 2 + 1 2 = 10 2 = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 4 |0), S3( 5 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 - x 2 + x -3 und g(x)= - x 2 -3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 - x 2 + x -3 = - x 2 -3 | +3
x 4 - x 2 + x = - x 2 | + x 2
x 4 - x 2 + x 2 + x = 0
x 4 + x = 0
x · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = - ( -1 ) 2 -3 = -4 ⇒ S1( -1 | -4 )

g(0) = - 0 2 -3 = -3 ⇒ S2(0| -3 )