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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 5)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 5)$ = 0.

x {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x + 2)}^{2} \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $5$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x^{2} - 22)}^{3} + 31$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $- {(x^{2} - 22)}^{3} + 31$ = 4.

$- {(x^{2} - 22)}^{3} + 31$	=	$4$	\| $- 31$
$- {(x^{2} - 22)}^{3}$	=	$- 27$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 22)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 22$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 22$	=	$3$	\| $+ 22$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x + 4)}^{3} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x + 4)}^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$2 {(x + 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x + 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$x$	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 86 x^{2} + x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 86 x^{2} + x$	=	$- 4 x^{2} + x$	\| $- (- 4 x^{2} + x)$
$- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 86 x^{2} + 4 x^{2} + x - x$	=	0
$- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 90 x^{2}$	=	0
$3 x^{2} \cdot (- x^{2} + x + 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 1+11}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 1-11}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- 4 \cdot {(- 5)}^{2} - 5$ = $- 105$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 105$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} + 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $6$ ) = $- 4 \cdot 6^{2} + 6$ = $- 138$ ⇒ S₃( $6$ | $- 138$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):