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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 - x -1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 4 - x -1 = -1.

x 4 - x -1 = -1 | +1
x 4 - x -1 +1 = 0
x 4 - x = 0
x · ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

An den Stellen x1 = 0 und x2 = 1 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x -4 ) 4 +30 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also -2 ( x -4 ) 4 +30 = -2.

-2 ( x -4 ) 4 +30 = -2 | -30
-2 ( x -4 ) 4 = -32 |: ( -2 )
( x -4 ) 4 = 16 | ⋅4

1. Fall

x -4 = - 16 4 = -2
x -4 = -2 | +4
x1 = 2

2. Fall

x -4 = 16 4 = 2
x -4 = 2 | +4
x2 = 6

An den Stellen x1 = 2 und x2 = 6 gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 + x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 + x 3 = 0
x 3 · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 4 -11 x 3 +16 x 2 +1 und g(x)= x 3 +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 4 -11 x 3 +16 x 2 +1 = x 3 +1 | -1
2 x 4 -11 x 3 +16 x 2 = x 3 | - x 3
2 x 4 -11 x 3 - x 3 +16 x 2 = 0
2 x 4 -12 x 3 +16 x 2 = 0
2 x 2 · ( x 2 -6x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -6x +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

x2,3 = +6 ± 36 -32 2

x2,3 = +6 ± 4 2

x2 = 6 + 4 2 = 6 +2 2 = 8 2 = 4

x3 = 6 - 4 2 = 6 -2 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 8 = 9 - 8 = 1

x1,2 = 3 ± 1

x1 = 3 - 1 = 2

x2 = 3 + 1 = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 0 3 +1 = 1 ⇒ S1(0| 1 )

g( 2 ) = 2 3 +1 = 9 ⇒ S2( 2 | 9 )

g( 4 ) = 4 3 +1 = 65 ⇒ S3( 4 | 65 )