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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 8 x^{2} + 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Es gilt f(x) = 2, also $x^{5} - 8 x^{2} + 2$ = 2.

$x^{5} - 8 x^{2} + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x^{5} - 8 x^{2} + 2 - 2$	=	0
$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x^{2} - 21)}^{3} - 68$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also ${(x^{2} - 21)}^{3} - 68$ = -4.

${(x^{2} - 21)}^{3} - 68$	=	$- 4$	\| $+ 68$
${(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 21$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x^{2} - 21$	=	$4$	\| $+ 21$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x + 5)}^{3} + 54$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x + 5)}^{3} + 54$	=	0	\| $- 54$
$- 2 {(x + 5)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
${(x + 5)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 5$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$x$	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x$ und $g(x) =$ $2 x^{3} - 5 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x$	=	$2 x^{3} - 5 x^{2}$	\| $- (2 x^{3} - 5 x^{2})$
$- 2 x^{3} - 2 x^{3} - 13 x^{2} + 5 x^{2} + 32 x$	=	0
$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x$	=	0
$- 4 x \cdot (x^{2} + 2 x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $2 \cdot {(- 4)}^{3} - 5 \cdot {(- 4)}^{2}$ = $- 208$ ⇒ S₁( $- 4$ | $- 208$ )

g(0) = $2 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2}$ = $- 4$ ⇒ S₃( $2$ | $- 4$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):