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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 - x -1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 3 - x -1 = -1.

x 3 - x -1 = -1 | +1
x 3 - x -1 +1 = 0
x 3 - x = 0
x · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

An den Stellen x1 = -1 , x2 = 0 und x3 = 1 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 4 -19 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also - x 4 -19 = -3.

- x 4 -19 = -3 | +19
- x 4 = 16 |: ( -1 )
x 4 = -16 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -3 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -4 x 2 +56x -196 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-4 x 2 +56x -196 = 0 |:4

- x 2 +14x -49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -14 ± 14 2 -4 · ( -1 ) · ( -49 ) 2⋅( -1 )

x1,2 = -14 ± 196 -196 -2

x1,2 = -14 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -14 -2 = 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +14x -49 = 0 |: -1

x 2 -14x +49 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -7 ) 2 - 49 = 49 - 49 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 7 ± 0 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( 7 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 - x 3 -3 x 2 -3 und g(x)= -3 x 2 -3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 - x 3 -3 x 2 -3 = -3 x 2 -3 | +3
x 4 - x 3 -3 x 2 = -3 x 2 | +3 x 2
x 4 - x 3 -3 x 2 +3 x 2 = 0
x 4 - x 3 = 0
x 3 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -3⋅ 0 2 -3 = -3 ⇒ S1(0| -3 )

g( 1 ) = -3⋅ 1 2 -3 = -6 ⇒ S2( 1 | -6 )