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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -20 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also x 2 -2x -20 = 4.

x 2 -2x -20 = 4 | -4

x 2 -2x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -24 ) 2⋅1

x1,2 = +2 ± 4 +96 2

x1,2 = +2 ± 100 2

x1 = 2 + 100 2 = 2 +10 2 = 12 2 = 6

x2 = 2 - 100 2 = 2 -10 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = 1 ± 25

x1 = 1 - 5 = -4

x2 = 1 + 5 = 6

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 6 gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x 2 -19 ) 3 -28 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also - ( x 2 -19 ) 3 -28 = -1.

- ( x 2 -19 ) 3 -28 = -1 | +28
- ( x 2 -19 ) 3 = 27 |: ( -1 )
( x 2 -19 ) 3 = -27 | ⋅3
x 2 -19 = - 27 3 = -3
x 2 -19 = -3 | +19
x 2 = 16 | ⋅2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 4 gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 + x 4 -12 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 + x 4 -12 x 3 = 0
x 3 · ( x 2 + x -12 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 + x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

x2,3 = -1 ± 1 +48 2

x2,3 = -1 ± 49 2

x2 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x3 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -4 |0), S2(0|0), S3( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 5 -6 x 3 +1 und g(x)= -5 x 3 +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 5 -6 x 3 +1 = -5 x 3 +1 | -1
x 5 -6 x 3 = -5 x 3 | +5 x 3
x 5 -6 x 3 +5 x 3 = 0
x 5 - x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = -5⋅ ( -1 ) 3 +1 = 6 ⇒ S1( -1 | 6 )

g(0) = -5⋅ 0 3 +1 = 1 ⇒ S2(0| 1 )

g( 1 ) = -5⋅ 1 3 +1 = -4 ⇒ S3( 1 | -4 )