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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -8x +18 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 2 -8x +18 = 2.

x 2 -8x +18 = 2 | -2

x 2 -8x +16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 16 2⋅1

x1,2 = +8 ± 64 -64 2

x1,2 = +8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 4 ± 0 = 4

An der Stelle x1 = 4 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x 2 -12 ) 3 -132 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also 2 ( x 2 -12 ) 3 -132 = -4.

2 ( x 2 -12 ) 3 -132 = -4 | +132
2 ( x 2 -12 ) 3 = 128 |:2
( x 2 -12 ) 3 = 64 | ⋅3
x 2 -12 = 64 3 = 4
x 2 -12 = 4 | +12
x 2 = 16 | ⋅2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 4 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 +2 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 +2 x 3 = 0
x 3 ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 -3 x 3 +9x und g(x)= -3 x 3 + x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 -3 x 3 +9x = -3 x 3 + x | - ( -3 x 3 + x )
x 4 -3 x 3 +3 x 3 +9x - x = 0
x 4 +8x = 0
x ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = -3⋅ ( -2 ) 3 -2 = 22 ⇒ S1( -2 | 22 )

g(0) = -3⋅ 0 3 +0 = 0 ⇒ S2(0|0)