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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Es gilt f(x) = 1, also $x^{3} - x + 1$ = 1.

$x^{3} - x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{3} - x + 1 - 1$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 4)}^{4} - 12$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also ${(x + 4)}^{4} - 12$ = 4.

${(x + 4)}^{4} - 12$	=	$4$	\| $+ 12$
${(x + 4)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $- 2$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 162$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} - 162$	=	0	\| $+ 162$
$- 2 x^{4}$	=	$162$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 6 x^{3} - 24 x^{2} - 2$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 6 x^{3} - 24 x^{2} - 2$	=	$- 4 x^{3} - 2$	\| $+ 2$
$x^{4} - 6 x^{3} - 24 x^{2}$	=	$- 4 x^{3}$	\| $+ 4 x^{3}$
$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{3} - 24 x^{2}$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3} - 24 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- 4 \cdot {(- 4)}^{3} - 2$ = $254$ ⇒ S₁( $- 4$ | $254$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{3} - 2$ = $- 2$ ⇒ S₂(0| $- 2$ )

g( $6$ ) = $- 4 \cdot 6^{3} - 2$ = $- 866$ ⇒ S₃( $6$ | $- 866$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):