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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 5 + x 2 +1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 5 + x 2 +1 = 1.

x 5 + x 2 +1 = 1 | -1
x 5 + x 2 +1 -1 = 0
x 5 + x 2 = 0
x 2 · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 0 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x 2 -1 ) 3 -29 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also ( x 2 -1 ) 3 -29 = -2.

( x 2 -1 ) 3 -29 = -2 | +29
( x 2 -1 ) 3 = 27 | ⋅3
x 2 -1 = 27 3 = 3
x 2 -1 = 3 | +1
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 ( x 2 -2 ) 3 +16 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 ( x 2 -2 ) 3 +16 = 0 | -16
-2 ( x 2 -2 ) 3 = -16 |: ( -2 )
( x 2 -2 ) 3 = 8 | ⋅3
x 2 -2 = 8 3 = 2
x 2 -2 = 2 | +2
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 3 +16 x 2 -16x +4 und g(x)= 5 x 3 +4 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 3 +16 x 2 -16x +4 = 5 x 3 +4 | -4
x 3 +16 x 2 -16x = 5 x 3 | -5 x 3
x 3 -5 x 3 +16 x 2 -16x = 0
-4 x 3 +16 x 2 -16x = 0
4 x · ( - x 2 +4x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +4x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · ( -4 ) 2⋅( -1 )

x2,3 = -4 ± 16 -16 -2

x2,3 = -4 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -4 -2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +4x -4 = 0 |: -1

x 2 -4x +4 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 2 ± 0 = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 5⋅ 0 3 +4 = 4 ⇒ S1(0| 4 )

g( 2 ) = 5⋅ 2 3 +4 = 44 ⇒ S2( 2 | 44 )