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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Es gilt f(x) = 5, also $x^{3} - x + 5$ = 5.

$x^{3} - x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{3} - x + 5 - 5$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 2)}^{4} - 28$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $- 2 {(x - 2)}^{4} - 28$ = 4.

$- 2 {(x - 2)}^{4} - 28$	=	$4$	\| $+ 28$
$- 2 {(x - 2)}^{4}$	=	$32$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 4 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2}$	=	0
$3 x^{2} \cdot (- x^{2} + 2 x + 35)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 2 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 35}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 2+12}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 2-12}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 35$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂(0|0), S₃( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 5 x - 15$ und $g(x) =$ $- 5 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 5 x - 15$	=	$- 5 x + 1$	\| $+ 15$
$x^{4} - 5 x$	=	$- 5 x + 16$	\| $+ 5 x$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 5 \cdot (- 2) + 1$ = $11$ ⇒ S₁( $- 2$ | $11$ )

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2 + 1$ = $- 9$ ⇒ S₂( $2$ | $- 9$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen