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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 2 x^{3} + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Es gilt f(x) = 5, also $x^{4} - 2 x^{3} + 5$ = 5.

$x^{4} - 2 x^{3} + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{4} - 2 x^{3} + 5 - 5$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 5)}^{4} + 33$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- 2 {(x - 5)}^{4} + 33$ = 1.

$- 2 {(x - 5)}^{4} + 33$	=	$1$	\| $- 33$
$- 2 {(x - 5)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x - 5)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
x₁	=	$3$

2. Fall

x - 5

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 5$	=	$2$	\| $+ 5$
x₂	=	$7$

An den Stellen x₁ = $3$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 20 x^{2} - 105 x + 5$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 20 x^{2} - 105 x + 5$	=	$- 4 x^{3} + 5$	\| $- 5$
$x^{3} - 20 x^{2} - 105 x$	=	$- 4 x^{3}$	\| $+ 4 x^{3}$
$x^{3} + 4 x^{3} - 20 x^{2} - 105 x$	=	0
$5 x^{3} - 20 x^{2} - 105 x$	=	0
$5 x \cdot (x^{2} - 4 x - 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- 4 \cdot {(- 3)}^{3} + 5$ = $113$ ⇒ S₁( $- 3$ | $113$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{3} + 5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$ )

g( $7$ ) = $- 4 \cdot 7^{3} + 5$ = $- 1 367$ ⇒ S₃( $7$ | $- 1 367$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):