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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -10x +19 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also x 2 -10x +19 = -5.

x 2 -10x +19 = -5 | +5

x 2 -10x +24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 24 2⋅1

x1,2 = +10 ± 100 -96 2

x1,2 = +10 ± 4 2

x1 = 10 + 4 2 = 10 +2 2 = 12 2 = 6

x2 = 10 - 4 2 = 10 -2 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 24 = 25 - 24 = 1

x1,2 = 5 ± 1

x1 = 5 - 1 = 4

x2 = 5 + 1 = 6

An den Stellen x1 = 4 und x2 = 6 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 3 -125 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also 2 x 3 -125 = 3.

2 x 3 -125 = 3 | +125
2 x 3 = 128 |:2
x 3 = 64 | ⋅3
x = 64 3 = 4

An der Stelle x1 = 4 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 x 4 +162 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 x 4 +162 = 0 | -162
-2 x 4 = -162 |: ( -2 )
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -3 |0), S2( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -4 x 3 -8 x 2 +97x +5 und g(x)= x +5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-4 x 3 -8 x 2 +97x +5 = x +5 | -5
-4 x 3 -8 x 2 +97x = x | - x
-4 x 3 -8 x 2 +97x - x = 0
-4 x 3 -8 x 2 +96x = 0
-4 x · ( x 2 +2x -24 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -24 ) 2⋅1

x2,3 = -2 ± 4 +96 2

x2,3 = -2 ± 100 2

x2 = -2 + 100 2 = -2 +10 2 = 8 2 = 4

x3 = -2 - 100 2 = -2 -10 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = -1 ± 25

x1 = -1 - 5 = -6

x2 = -1 + 5 = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -6 ) = -6 +5 = -1 ⇒ S1( -6 | -1 )

g(0) = 0 +5 = 5 ⇒ S2(0| 5 )

g( 4 ) = 4 +5 = 9 ⇒ S3( 4 | 9 )