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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 29$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} + 2 x - 29$ = -5.

x^{2} + 2 x - 29

- 5

+ 5

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 83$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{4} - 83$ = -2.

$x^{4} - 83$	=	$- 2$	\| $+ 83$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 32$	=	0	\| $- 32$
$- 2 x^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} + x - 34$ und $g(x) =$ $x - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} + x - 34$	=	$x - 2$	\| $+ 34$
$2 x^{4} + x$	=	$x + 32$	\| $- x$
$2 x^{4}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 2 - 2$ = $- 4$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 4$ )

g( $2$ ) = $2 - 2$ = 0 ⇒ S₂( $2$ |0)