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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 3) \cdot (x + 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 3) \cdot (x + 1)$ = 0.

x (x - 3) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

(x - 3) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(- 8 + 3 x)}^{3} + 120$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also ${(- 8 + 3 x)}^{3} + 120$ = -5.

${(- 8 + 3 x)}^{3} + 120$	=	$- 5$
${(3 x - 8)}^{3} + 120$	=	$- 5$	\| $- 120$
${(3 x - 8)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 8$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$3 x - 8$	=	$- 5$	\| $+ 8$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 20 x + 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

4 x^{2} - 20 x + 16

= 0 |:4

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0), S₂( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 5 x + 53$ und $g(x) =$ $- 5 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} - 5 x + 53$	=	$- 5 x - 1$	\| $- 53$
$- 2 x^{3} - 5 x$	=	$- 5 x - 54$	\| $+ 5 x$
$- 2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3 - 1$ = $- 16$ ⇒ S₁( $3$ | $- 16$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen