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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 5 - x 3 -4 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also x 5 - x 3 -4 = -4.

x 5 - x 3 -4 = -4 | +4
x 5 - x 3 -4 +4 = 0
x 5 - x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

An den Stellen x1 = -1 , x2 = 0 und x3 = 1 gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x +2 ) 3 -12 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also - ( x +2 ) 3 -12 = -4.

- ( x +2 ) 3 -12 = -4 | +12
- ( x +2 ) 3 = 8 |: ( -1 )
( x +2 ) 3 = -8 | ⋅3
x +2 = - 8 3 = -2
x +2 = -2 | -2
x = -4

An der Stelle x1 = -4 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - x 4 - x 3 +6 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- x 4 - x 3 +6 x 2 = 0
- x 2 · ( x 2 + x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 + x -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 2⋅1

x2,3 = -1 ± 1 +24 2

x2,3 = -1 ± 25 2

x2 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x3 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = - 1 2 ± 25 4

x1 = - 1 2 - 5 2 = - 6 2 = -3

x2 = - 1 2 + 5 2 = 4 2 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -3 |0), S2(0|0), S3( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -4 x 4 -8 x 3 +32 x 2 -4x -3 und g(x)= -4x -3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-4 x 4 -8 x 3 +32 x 2 -4x -3 = -4x -3 | +3
-4 x 4 -8 x 3 +32 x 2 -4x = -4x | +4x
-4 x 4 -8 x 3 +32 x 2 -4x +4x = 0
-4 x 4 -8 x 3 +32 x 2 = 0
-4 x 2 · ( x 2 +2x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

x2,3 = -2 ± 4 +32 2

x2,3 = -2 ± 36 2

x2 = -2 + 36 2 = -2 +6 2 = 4 2 = 2

x3 = -2 - 36 2 = -2 -6 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = -1 ± 9

x1 = -1 - 3 = -4

x2 = -1 + 3 = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -4 ) = -4⋅( -4 ) -3 = 13 ⇒ S1( -4 | 13 )

g(0) = -4⋅0 -3 = -3 ⇒ S2(0| -3 )

g( 2 ) = -4⋅2 -3 = -11 ⇒ S3( 2 | -11 )