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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 - x -14 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also x 2 - x -14 = -2.

x 2 - x -14 = -2 | +2

x 2 - x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +48 2

x1,2 = +1 ± 49 2

x1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

x2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = 1 2 ± 49 4

x1 = 1 2 - 7 2 = - 6 2 = -3

x2 = 1 2 + 7 2 = 8 2 = 4

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 4 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x +5 ) 3 +17 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also -2 ( x +5 ) 3 +17 = 1.

-2 ( x +5 ) 3 +17 = 1 | -17
-2 ( x +5 ) 3 = -16 |: ( -2 )
( x +5 ) 3 = 8 | ⋅3
x +5 = 8 3 = 2
x +5 = 2 | -5
x = -3

An der Stelle x1 = -3 gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 3 -2 x 2 -3x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 3 -2 x 2 -3x = 0
x · ( x 2 -2x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -2x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

x2,3 = +2 ± 4 +12 2

x2,3 = +2 ± 16 2

x2 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

x3 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = 1 ± 4

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = 1 + 2 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 3 +2 x 2 -3 und g(x)= 3 x 2 -3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 3 +2 x 2 -3 = 3 x 2 -3 | +3
x 3 +2 x 2 = 3 x 2 | -3 x 2
x 3 +2 x 2 -3 x 2 = 0
x 3 - x 2 = 0
x 2 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 3⋅ 0 2 -3 = -3 ⇒ S1(0| -3 )

g( 1 ) = 3⋅ 1 2 -3 = 0 ⇒ S2( 1 |0)