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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + x + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Es gilt f(x) = 1, also $x^{2} + x + 1$ = 1.

$x^{2} + x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{2} + x + 1 - 1$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 3)}^{4} - 28$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $2 {(x - 3)}^{4} - 28$ = 4.

$2 {(x - 3)}^{4} - 28$	=	$4$	\| $+ 28$
$2 {(x - 3)}^{4}$	=	$32$	\|: $2$
${(x - 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₂	=	$5$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} - 24 x^{4} + 28 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 4 x^{5} - 24 x^{4} + 28 x^{3}$	=	0
$- 4 x^{3} \cdot (x^{2} + 6 x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} + 145 x$ und $g(x) =$ $- x^{3} - 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 4 x^{3} + 145 x$	=	$- x^{3} - 2 x$	\| $- (- x^{3} - 2 x)$
$- 4 x^{3} + x^{3} + 145 x + 2 x$	=	0
$- 3 x^{3} + 147 x$	=	0
$3 x \cdot (- x^{2} + 49)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 49$	=	0	\| $- 49$
$- x^{2}$	=	$- 49$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₃	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $- {(- 7)}^{3} - 2 \cdot (- 7)$ = $357$ ⇒ S₁( $- 7$ | $357$ )

g(0) = $- 0^{3} - 2 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $7$ ) = $- 7^{3} - 2 \cdot 7$ = $- 357$ ⇒ S₃( $7$ | $- 357$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen