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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 3) \cdot (x - 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0.

x (x + 3) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

(x + 3) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 1)}^{3} + 65$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also ${(x + 1)}^{3} + 65$ = 1.

${(x + 1)}^{3} + 65$	=	$1$	\| $- 65$
${(x + 1)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x + 1$	=	$- 4$	\| $- 1$
$x$	=	$- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(8 + 3 x)}^{3} + 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(8 + 3 x)}^{3} + 16$	=	0
$- 2 {(3 x + 8)}^{3} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 2 {(3 x + 8)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $(- 2)$
${(3 x + 8)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$3 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} - 7 x^{2} - 90 x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} - 7 x^{2} - 90 x$	=	$- 4 x^{3} - 4 x^{2}$	\| $- (- 4 x^{3} - 4 x^{2})$
$- x^{3} + 4 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x^{2} - 90 x$	=	0
$3 x^{3} - 3 x^{2} - 90 x$	=	0
$3 x \cdot (x^{2} - x - 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- 4 \cdot {(- 5)}^{3} - 4 \cdot {(- 5)}^{2}$ = $400$ ⇒ S₁( $- 5$ | $400$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $6$ ) = $- 4 \cdot 6^{3} - 4 \cdot 6^{2}$ = $- 1 008$ ⇒ S₃( $6$ | $- 1 008$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):