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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +4x -6 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 2 +4x -6 = -1.

x 2 +4x -6 = -1 | +1

x 2 +4x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 2⋅1

x1,2 = -4 ± 16 +20 2

x1,2 = -4 ± 36 2

x1 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

x2 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = -2 ± 9

x1 = -2 - 3 = -5

x2 = -2 + 3 = 1

An den Stellen x1 = -5 und x2 = 1 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 -12 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also x 4 -12 = 4.

x 4 -12 = 4 | +12
x 4 = 16 | ⋅4
x1 = - 16 4 = -2
x2 = 16 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= ( x 2 -13 ) 3 +64 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

( x 2 -13 ) 3 +64 = 0 | -64
( x 2 -13 ) 3 = -64 | ⋅3
x 2 -13 = - 64 3 = -4
x 2 -13 = -4 | +13
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -3 |0), S2( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x 4 -30 x 3 +77 x 2 +5 und g(x)= 2 x 2 +5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

3 x 4 -30 x 3 +77 x 2 +5 = 2 x 2 +5 | -5
3 x 4 -30 x 3 +77 x 2 = 2 x 2 | -2 x 2
3 x 4 -30 x 3 +77 x 2 -2 x 2 = 0
3 x 4 -30 x 3 +75 x 2 = 0
3 x 2 · ( x 2 -10x +25 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -10x +25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 25 2⋅1

x2,3 = +10 ± 100 -100 2

x2,3 = +10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 10 2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 5 ± 0 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 2⋅ 0 2 +5 = 5 ⇒ S1(0| 5 )

g( 5 ) = 2⋅ 5 2 +5 = 55 ⇒ S2( 5 | 55 )