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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -4x . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also x 2 -4x = -4.

x 2 -4x = -4 | +4

x 2 -4x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 4 2⋅1

x1,2 = +4 ± 16 -16 2

x1,2 = +4 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 2 ± 0 = 2

An der Stelle x1 = 2 gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 4 -157 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also 2 x 4 -157 = 5.

2 x 4 -157 = 5 | +157
2 x 4 = 162 |:2
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 ( x +3 ) 4 +162 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 ( x +3 ) 4 +162 = 0 | -162
2 ( x +3 ) 4 = -162 |:2
( x +3 ) 4 = -81 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 6 x 3 -8 x 2 -24x +3 und g(x)= 4 x 3 +3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

6 x 3 -8 x 2 -24x +3 = 4 x 3 +3 | -3
6 x 3 -8 x 2 -24x = 4 x 3 | -4 x 3
6 x 3 -4 x 3 -8 x 2 -24x = 0
2 x 3 -8 x 2 -24x = 0
2 x · ( x 2 -4x -12 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

x2,3 = +4 ± 16 +48 2

x2,3 = +4 ± 64 2

x2 = 4 + 64 2 = 4 +8 2 = 12 2 = 6

x3 = 4 - 64 2 = 4 -8 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -12 ) = 4+ 12 = 16

x1,2 = 2 ± 16

x1 = 2 - 4 = -2

x2 = 2 + 4 = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = 4⋅ ( -2 ) 3 +3 = -29 ⇒ S1( -2 | -29 )

g(0) = 4⋅ 0 3 +3 = 3 ⇒ S2(0| 3 )

g( 6 ) = 4⋅ 6 3 +3 = 867 ⇒ S3( 6 | 867 )