zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 5 -4 x 3 -3 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also x 5 -4 x 3 -3 = -3.

x 5 -4 x 3 -3 = -3 | +3
x 5 -4 x 3 -3 +3 = 0
x 5 -4 x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 , x2 = 0 und x3 = 2 gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( 3 +2x ) 3 +32 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also ( 3 +2x ) 3 +32 = 5.

( 3 +2x ) 3 +32 = 5
( 2x +3 ) 3 +32 = 5 | -32
( 2x +3 ) 3 = -27 | ⋅3
2x +3 = - 27 3 = -3
2x +3 = -3 | -3
2x = -6 |:2
x = -3

An der Stelle x1 = -3 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 4 x 4 -4 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

4 x 4 -4 x 2 = 0
4 x 2 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -3 x 4 +3 x 3 +126 x 2 +4x -1 und g(x)= 4x -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-3 x 4 +3 x 3 +126 x 2 +4x -1 = 4x -1 | +1
-3 x 4 +3 x 3 +126 x 2 +4x = 4x | -4x
-3 x 4 +3 x 3 +126 x 2 +4x -4x = 0
-3 x 4 +3 x 3 +126 x 2 = 0
3 x 2 · ( - x 2 + x +42 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 + x +42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -1 ± 1 2 -4 · ( -1 ) · 42 2⋅( -1 )

x2,3 = -1 ± 1 +168 -2

x2,3 = -1 ± 169 -2

x2 = -1 + 169 -2 = -1 +13 -2 = 12 -2 = -6

x3 = -1 - 169 -2 = -1 -13 -2 = -14 -2 = 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 + x +42 = 0 |: -1

x 2 - x -42 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -42 ) = 1 4 + 42 = 1 4 + 168 4 = 169 4

x1,2 = 1 2 ± 169 4

x1 = 1 2 - 13 2 = - 12 2 = -6

x2 = 1 2 + 13 2 = 14 2 = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -6 ) = 4⋅( -6 ) -1 = -25 ⇒ S1( -6 | -25 )

g(0) = 4⋅0 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )

g( 7 ) = 4⋅7 -1 = 27 ⇒ S3( 7 | 27 )