Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 + x +2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 4 + x +2 = 2.

x 4 + x +2 = 2 | -2
x 4 + x +2 -2 = 0
x 4 + x = 0
x ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | 3
x2 = - 1 3 = -1

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 0 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 +59 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also x 3 +59 = -5.

x 3 +59 = -5 | -59
x 3 = -64 | 3
x = - 64 3 = -4

An der Stelle x1 = -4 gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - ( x -4 ) 4 -16 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- ( x -4 ) 4 -16 = 0 | +16
- ( x -4 ) 4 = 16 |: ( -1 )
( x -4 ) 4 = -16 | 4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 3 + x -20 und g(x)= x -4 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 3 + x -20 = x -4 | +20
2 x 3 + x = x +16 | - x
2 x 3 = 16 |:2
x 3 = 8 | 3
x = 8 3 = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 2 ) = 2 -4 = -2 S1( 2 | -2 )