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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x -5 ) · ( x +1 ) . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also x ( x -5 ) · ( x +1 ) = 0.

x ( x -5 ) · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -5 ) · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x3 = -1

An den Stellen x1 = -1 , x2 = 0 und x3 = 5 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x 2 -32 ) 3 +59 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also - ( x 2 -32 ) 3 +59 = -5.

- ( x 2 -32 ) 3 +59 = -5 | -59
- ( x 2 -32 ) 3 = -64 |: ( -1 )
( x 2 -32 ) 3 = 64 | ⋅3
x 2 -32 = 64 3 = 4
x 2 -32 = 4 | +32
x 2 = 36 | ⋅2
x1 = - 36 = -6
x2 = 36 = 6

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 6 gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 2 - x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -2 x 3 -7 x 2 +30x -1 und g(x)= -3 x 2 -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-2 x 3 -7 x 2 +30x -1 = -3 x 2 -1 | +1
-2 x 3 -7 x 2 +30x = -3 x 2 | +3 x 2
-2 x 3 -7 x 2 +3 x 2 +30x = 0
-2 x 3 -4 x 2 +30x = 0
-2 x · ( x 2 +2x -15 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -15 ) 2⋅1

x2,3 = -2 ± 4 +60 2

x2,3 = -2 ± 64 2

x2 = -2 + 64 2 = -2 +8 2 = 6 2 = 3

x3 = -2 - 64 2 = -2 -8 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = -1 ± 16

x1 = -1 - 4 = -5

x2 = -1 + 4 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -5 ) = -3⋅ ( -5 ) 2 -1 = -76 ⇒ S1( -5 | -76 )

g(0) = -3⋅ 0 2 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )

g( 3 ) = -3⋅ 3 2 -1 = -28 ⇒ S3( 3 | -28 )