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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ = 0.

$x {(x + 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}$	=	0
$x {((x + 1) \cdot (x - 3))}^{2}$	=	0
${((x + 1) \cdot (x - 3))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x + 1) \cdot (x - 3))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 1) \cdot (x - 3)$	=	0

(x + 1) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

x₃

=

0

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 3)}^{4} + 19$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(x - 3)}^{4} + 19$ = 3.

${(x - 3)}^{4} + 19$	=	$3$	\| $- 19$
${(x - 3)}^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 3 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 2 x^{2} + 8 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{3} + 2 x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (- x^{2} + 2 x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + x^{2} + x - 4$ und $g(x) =$ $- 5 x^{3} - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{3} + x^{2} + x - 4$	=	$- 5 x^{3} - 4$	\| $+ 4$
$- 5 x^{3} + x^{2} + x$	=	$- 5 x^{3}$	\| $+ 5 x^{3}$
$- 5 x^{3} + 5 x^{3} + x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot {(- 1)}^{3} - 4$ = $1$ ⇒ S₁( $- 1$ | $1$ )

g(0) = $- 5 \cdot 0^{3} - 4$ = $- 4$ ⇒ S₂(0| $- 4$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen