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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 + x 2 +4 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also x 3 + x 2 +4 = 4.

x 3 + x 2 +4 = 4 | -4
x 3 + x 2 +4 -4 = 0
x 3 + x 2 = 0
x 2 ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 0 gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x +1 ) 3 +23 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also - ( x +1 ) 3 +23 = -4.

- ( x +1 ) 3 +23 = -4 | -23
- ( x +1 ) 3 = -27 |: ( -1 )
( x +1 ) 3 = 27 | ⋅3
x +1 = 27 3 = 3
x +1 = 3 | -1
x = 2

An der Stelle x1 = 2 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 x 4 -162 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 x 4 -162 = 0 | +162
-2 x 4 = 162 |: ( -2 )
x 4 = -81 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 +8 x 3 + x 2 -4 und g(x)= x 2 -4 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 +8 x 3 + x 2 -4 = x 2 -4 | +4
x 6 +8 x 3 + x 2 = x 2 | - x 2
x 6 +8 x 3 + x 2 - x 2 = 0
x 6 +8 x 3 = 0
x 3 ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = ( -2 ) 2 -4 = 0 ⇒ S1( -2 |0)

g(0) = 0 2 -4 = -4 ⇒ S2(0| -4 )