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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -8x +10 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also x 2 -8x +10 = 3.

x 2 -8x +10 = 3 | -3

x 2 -8x +7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 7 2⋅1

x1,2 = +8 ± 64 -28 2

x1,2 = +8 ± 36 2

x1 = 8 + 36 2 = 8 +6 2 = 14 2 = 7

x2 = 8 - 36 2 = 8 -6 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 7 = 16 - 7 = 9

x1,2 = 4 ± 9

x1 = 4 - 3 = 1

x2 = 4 + 3 = 7

An den Stellen x1 = 1 und x2 = 7 gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x -4 ) 4 -85 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also - ( x -4 ) 4 -85 = -4.

- ( x -4 ) 4 -85 = -4 | +85
- ( x -4 ) 4 = 81 |: ( -1 )
( x -4 ) 4 = -81 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -4 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 3 x 4 -3 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

3 x 4 -3 x 2 = 0
3 x 2 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 -2 x 3 -1 und g(x)= - x 3 -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 -2 x 3 -1 = - x 3 -1 | +1
x 4 -2 x 3 = - x 3 | + x 3
x 4 -2 x 3 + x 3 = 0
x 4 - x 3 = 0
x 3 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = - 0 3 -1 = -1 ⇒ S1(0| -1 )

g( 1 ) = - 1 3 -1 = -2 ⇒ S2( 1 | -2 )