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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 -8x +1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 4 -8x +1 = 1.

x 4 -8x +1 = 1 | -1
x 4 -8x +1 -1 = 0
x 4 -8x = 0
x ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

An den Stellen x1 = 0 und x2 = 2 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 4 +80 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also - x 4 +80 = -1.

- x 4 +80 = -1 | -80
- x 4 = -81 |: ( -1 )
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 x 3 -2 x 2 -84x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x 3 -2 x 2 -84x = 0
2 x ( x 2 - x -42 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 - x -42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -42 ) 2⋅1

x2,3 = +1 ± 1 +168 2

x2,3 = +1 ± 169 2

x2 = 1 + 169 2 = 1 +13 2 = 14 2 = 7

x3 = 1 - 169 2 = 1 -13 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -42 ) = 1 4 + 42 = 1 4 + 168 4 = 169 4

x1,2 = 1 2 ± 169 4

x1 = 1 2 - 13 2 = - 12 2 = -6

x2 = 1 2 + 13 2 = 14 2 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -6 |0), S2(0|0), S3( 7 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 - x 2 +5x -1 und g(x)= 5x -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 - x 2 +5x -1 = 5x -1 | +1
x 4 - x 2 +5x = 5x | -5x
x 4 - x 2 +5x -5x = 0
x 4 - x 2 = 0
x 2 ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = 5⋅( -1 ) -1 = -6 ⇒ S1( -1 | -6 )

g(0) = 5⋅0 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )

g( 1 ) = 5⋅1 -1 = 4 ⇒ S3( 1 | 4 )