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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ = 0.

$x {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$	=	0
$x {((x + 4) \cdot (x - 4))}^{2}$	=	0
${((x + 4) \cdot (x - 4))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x + 4) \cdot (x - 4))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 4) \cdot (x - 4)$	=	0

(x + 4) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

x₃

=

0

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 4)}^{4} + 84$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(x - 4)}^{4} + 84$ = 3.

$- {(x - 4)}^{4} + 84$	=	$3$	\| $- 84$
$- {(x - 4)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
x₂	=	$7$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{5} - 12 x^{4} - 16 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4 x^{5} - 12 x^{4} - 16 x^{3}$	=	0
$4 x^{3} \cdot (x^{2} - 3 x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x^{2} + 130$ und $g(x) =$ $3 x^{2} + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} + 3 x^{2} + 130$	=	$3 x^{2} + 2$	\| $- 130$
$2 x^{3} + 3 x^{2}$	=	$3 x^{2} - 128$	\| $- 3 x^{2}$
$2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $3 \cdot {(- 4)}^{2} + 2$ = $50$ ⇒ S₁( $- 4$ | $50$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen