Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x^{3} + 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Es gilt f(x) = 2, also $x^{4} - x^{3} + 2$ = 2.

$x^{4} - x^{3} + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x^{4} - x^{3} + 2 - 2$	=	0
$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 4 - 3 x)}^{3} + 245$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- 2 {(- 4 - 3 x)}^{3} + 245$ = -5.

$- 2 {(- 4 - 3 x)}^{3} + 245$	=	$- 5$
$- 2 {(- 3 x - 4)}^{3} + 245$	=	$- 5$	\| $- 245$
$- 2 {(- 3 x - 4)}^{3}$	=	$- 250$	\|: $(- 2)$
${(- 3 x - 4)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x - 4$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$- 3 x - 4$	=	$5$	\| $+ 4$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $4 x^{3} + 16 x^{2} - 82 x + 4$ und $g(x) =$ $2 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$4 x^{3} + 16 x^{2} - 82 x + 4$	=	$2 x + 4$	\| $- 4$
$4 x^{3} + 16 x^{2} - 82 x$	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$4 x^{3} + 16 x^{2} - 82 x - 2 x$	=	0
$4 x^{3} + 16 x^{2} - 84 x$	=	0
$4 x (x^{2} + 4 x - 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $2 \cdot (- 7) + 4$ = $- 10$ ⇒ S₁( $- 7$ | $- 10$ )

g(0) = $2 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )

g( $3$ ) = $2 \cdot 3 + 4$ = $10$ ⇒ S₃( $3$ | $10$ )

Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):