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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 2 + x = 2.

x 2 + x = 2 | -2

x 2 + x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 1 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 4 +27 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also -2 x 4 +27 = -5.

-2 x 4 +27 = -5 | -27
-2 x 4 = -32 |: ( -2 )
x 4 = 16 | ⋅4
x1 = - 16 4 = -2
x2 = 16 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 - x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 - x 3 = 0
x 3 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 - x 3 + x 2 -4 und g(x)= x 2 -4 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 - x 3 + x 2 -4 = x 2 -4 | +4
x 6 - x 3 + x 2 = x 2 | - x 2
x 6 - x 3 + x 2 - x 2 = 0
x 6 - x 3 = 0
x 3 · ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 0 2 -4 = -4 ⇒ S1(0| -4 )

g( 1 ) = 1 2 -4 = -3 ⇒ S2( 1 | -3 )