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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -22 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 2 -2x -22 = 2.

x 2 -2x -22 = 2 | -2

x 2 -2x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -24 ) 2⋅1

x1,2 = +2 ± 4 +96 2

x1,2 = +2 ± 100 2

x1 = 2 + 100 2 = 2 +10 2 = 12 2 = 6

x2 = 2 - 100 2 = 2 -10 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = 1 ± 25

x1 = 1 - 5 = -4

x2 = 1 + 5 = 6

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 6 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( -4 -2x ) 3 +123 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also 2 ( -4 -2x ) 3 +123 = -5.

2 ( -4 -2x ) 3 +123 = -5
2 ( -2x -4 ) 3 +123 = -5 | -123
2 ( -2x -4 ) 3 = -128 |:2
( -2x -4 ) 3 = -64 | ⋅3
-2x -4 = - 64 3 = -4
-2x -4 = -4 | +4
-2x = 0 |:(-2 )
x = 0

An der Stelle x1 = 0 gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - ( x -1 ) 4 +16 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- ( x -1 ) 4 +16 = 0 | -16
- ( x -1 ) 4 = -16 |: ( -1 )
( x -1 ) 4 = 16 | ⋅4

1. Fall

x -1 = - 16 4 = -2
x -1 = -2 | +1
x1 = -1

2. Fall

x -1 = 16 4 = 2
x -1 = 2 | +1
x2 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 + x 3 - x 2 -1 und g(x)= x 3 -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 + x 3 - x 2 -1 = x 3 -1 | +1
x 4 + x 3 - x 2 = x 3 | - x 3
x 4 + x 3 - x 3 - x 2 = 0
x 4 - x 2 = 0
x 2 ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = ( -1 ) 3 -1 = -2 ⇒ S1( -1 | -2 )

g(0) = 0 3 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )

g( 1 ) = 1 3 -1 = 0 ⇒ S3( 1 |0)