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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 - x -22 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also x 2 - x -22 = -2.

x 2 - x -22 = -2 | +2

x 2 - x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +80 2

x1,2 = +1 ± 81 2

x1 = 1 + 81 2 = 1 +9 2 = 10 2 = 5

x2 = 1 - 81 2 = 1 -9 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = 1 2 ± 81 4

x1 = 1 2 - 9 2 = - 8 2 = -4

x2 = 1 2 + 9 2 = 10 2 = 5

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 5 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 3 -252 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also 2 x 3 -252 = -2.

2 x 3 -252 = -2 | +252
2 x 3 = 250 |:2
x 3 = 125 | ⋅3
x = 125 3 = 5

An der Stelle x1 = 5 gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 3 - x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 3 - x 2 = 0
x 2 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x 3 +2 x 2 +30x -72 und g(x)= 3 x 3 +5 x 2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

3 x 3 +2 x 2 +30x -72 = 3 x 3 +5 x 2 | -3 x 3 -5 x 2
-3 x 2 +30x -72 = 0 |:3

- x 2 +10x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · ( -1 ) · ( -24 ) 2⋅( -1 )

x1,2 = -10 ± 100 -96 -2

x1,2 = -10 ± 4 -2

x1 = -10 + 4 -2 = -10 +2 -2 = -8 -2 = 4

x2 = -10 - 4 -2 = -10 -2 -2 = -12 -2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +10x -24 = 0 |: -1

x 2 -10x +24 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 24 = 25 - 24 = 1

x1,2 = 5 ± 1

x1 = 5 - 1 = 4

x2 = 5 + 1 = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 4 ) = 3⋅ 4 3 +5⋅ 4 2 = 272 ⇒ S1( 4 | 272 )

g( 6 ) = 3⋅ 6 3 +5⋅ 6 2 = 828 ⇒ S2( 6 | 828 )