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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x -4 ) ( x -3 ) 2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also x ( x -4 ) ( x -3 ) 2 = 0.

x ( x -4 ) ( x -3 ) 2 = 0
x ( x -3 ) 2 · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -3 ) 2 · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -3 ) 2 = 0 | ⋅2
x -3 = 0
x -3 = 0 | +3
x2 = 3

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x3 = 4

An den Stellen x1 = 0, x2 = 3 und x3 = 4 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -5 ) 3 +19 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also 2 ( x -5 ) 3 +19 = 3.

2 ( x -5 ) 3 +19 = 3 | -19
2 ( x -5 ) 3 = -16 |:2
( x -5 ) 3 = -8 | ⋅3
x -5 = - 8 3 = -2
x -5 = -2 | +5
x = 3

An der Stelle x1 = 3 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 5 x 4 +5 x 3 -150 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

5 x 4 +5 x 3 -150 x 2 = 0
5 x 2 · ( x 2 + x -30 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 + x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -30 ) 2⋅1

x2,3 = -1 ± 1 +120 2

x2,3 = -1 ± 121 2

x2 = -1 + 121 2 = -1 +11 2 = 10 2 = 5

x3 = -1 - 121 2 = -1 -11 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = - 1 2 ± 121 4

x1 = - 1 2 - 11 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 1 2 + 11 2 = 10 2 = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -6 |0), S2(0|0), S3( 5 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -5 x 4 +45 x 2 + x -2 und g(x)= x -2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-5 x 4 +45 x 2 + x -2 = x -2 | +2
-5 x 4 +45 x 2 + x = x | - x
-5 x 4 +45 x 2 + x - x = 0
-5 x 4 +45 x 2 = 0
5 x 2 · ( - x 2 +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +9 = 0 | -9
- x 2 = -9 |: ( -1 )
x 2 = 9 | ⋅2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -3 ) = -3 -2 = -5 ⇒ S1( -3 | -5 )

g(0) = 0 -2 = -2 ⇒ S2(0| -2 )

g( 3 ) = 3 -2 = 1 ⇒ S3( 3 | 1 )