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Aufgabenbeispiele von nach x auflösen

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x -5 ) 2 · ( x -3 ) . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also x ( x -5 ) 2 · ( x -3 ) = 0.

x ( x -5 ) 2 · ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -5 ) 2 · ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -5 ) 2 = 0 | ⋅2
x -5 = 0
x -5 = 0 | +5
x2 = 5

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x3 = 3

An den Stellen x1 = 0, x2 = 3 und x3 = 5 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 3 -7 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also - x 3 -7 = 1.

- x 3 -7 = 1 | +7
- x 3 = 8 |: ( -1 )
x 3 = -8 | ⋅3
x = - 8 3 = -2

An der Stelle x1 = -2 gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 5 x 4 -50 x 3 +105 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

5 x 4 -50 x 3 +105 x 2 = 0
5 x 2 · ( x 2 -10x +21 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -10x +21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 21 2⋅1

x2,3 = +10 ± 100 -84 2

x2,3 = +10 ± 16 2

x2 = 10 + 16 2 = 10 +4 2 = 14 2 = 7

x3 = 10 - 16 2 = 10 -4 2 = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 21 = 25 - 21 = 4

x1,2 = 5 ± 4

x1 = 5 - 2 = 3

x2 = 5 + 2 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 3 |0), S3( 7 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 5 x 4 +5 x 3 -100 x 2 -3x +3 und g(x)= -3x +3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

5 x 4 +5 x 3 -100 x 2 -3x +3 = -3x +3 | -3
5 x 4 +5 x 3 -100 x 2 -3x = -3x | +3x
5 x 4 +5 x 3 -100 x 2 -3x +3x = 0
5 x 4 +5 x 3 -100 x 2 = 0
5 x 2 · ( x 2 + x -20 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 + x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

x2,3 = -1 ± 1 +80 2

x2,3 = -1 ± 81 2

x2 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

x3 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = - 1 2 ± 81 4

x1 = - 1 2 - 9 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 1 2 + 9 2 = 8 2 = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -5 ) = -3⋅( -5 ) +3 = 18 ⇒ S1( -5 | 18 )

g(0) = -3⋅0 +3 = 3 ⇒ S2(0| 3 )

g( 4 ) = -3⋅4 +3 = -9 ⇒ S3( 4 | -9 )