Aufgabenbeispiele von Ähnlichkeit

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Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=7.5cm, a=7cm und α=63°

Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe hc ab.

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Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel α nicht die längere Seite sondern die kürzere Seite a gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw nicht anwenden und das Dreieck lässt sich nicht eindeutig konstruieren. Dies sieht man spätestens wenn man es versucht zu konstruieren.

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  1. Zuerst zeichnen wir die Strecke, die an dem gegebenen Winkel anliegt, also c ein und benennen die Enden Strecke B und A. (schwarz)

  2. Jetzt zeichnen wir in A den Winkel α=63° ein (blau).

  3. Die Strecke a=7cm liegt zwischen B und C, also muss der Punkt C den Abstand a=7cm vom Punkt B haben und somit auf dem Kreis um B mit Radius 7cm liegen. Deswegen zeichnen wir diesen Kreisbogen (in rot) ein.

  4. Jetzt erkennen wir aber, dass dieser Kreisbogen die Halbgerade in 2 Punkten schneidet. Es gibt also zwei mögliche Dreiecke, die man mit den gegebenen Werten konstruieren könnte.

  5. Es ist also keine eindeutige Konstruktion möglich.

Kongruenzsätze

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: b=4.5cm, c=7cm und γ=82°

Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.

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Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel γ die längere Seite c gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren:

Ähnliche Dreiecke

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=7cm, b=4.5cm und c=4.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=5.85cm.

Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 5.85 4.5 = 1.3

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 1.3 ⋅ 4.5 = 5.85
a' = k ⋅ a = 1.3 ⋅ 7 = 9.1

Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=5cm, b=3.5cm und c=5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=10.5cm.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 10.5 5 = 2.1

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 2.1 ⋅ 3.5 = 7.35
a' = k ⋅ a = 2.1 ⋅ 5 = 10.5