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Aufgabenbeispiele von Funktionsterm bestimmen

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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit f(x)= a x (a>0) verläuft durch den Punkt P(2|1.96). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(2|1.96) in den Funktionsterm f(x)= a x ein und erhalten so die Gleichung:

1.96 = a2 | ⋅2

1.4 = a

( - 1.4 = a nicht zulässig)

Das gesuchte a ist somit 1.4 (Der gesuchte Funktionsterm f(x)= 1,4 x )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| - 1 3 ) und B(-2| - 1 75 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= c · a x (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| - 1 3 ) und B(-2| - 1 75 ) in den Funktionsterm f(x)= c · a x ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 1 3 = c · 1
II: - 1 75 = c · a -2

Aus I ergibt sich ja sofort - 1 3 = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: - 1 75 = - 1 3 a -2

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner a 2 weg!

- 1 3 a 2 = - 1 75 |⋅( a 2 )
- 1 3 a 2 · a 2 = - 1 75 · a 2
- 1 3 = - 1 75 a 2
- 1 3 = - 1 75 a 2 | + 1 3 + 1 75 a 2
1 75 a 2 = 1 3 |⋅75
a 2 = 25 | ⋅2
a1 = - 25 = -5
a2 = 25 = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: - 1 3 = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: f(x)= - 1 3 ⋅ 5 x

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 4 x