f(0) = $45$

f(1) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(2) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(3) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(4) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,55}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,55}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,55}$-fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,83}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $13\cdot {\mathrm{0,83}}^9$ ≈ 2,43.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,83}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,83}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,83}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,8696}$

Nach ca. 7,87 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 29.82 kg ist, also f(6) = 29.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^6$	=	$\mathrm{29,82}$	|:$60$
$a^6$	=	$\frac{\mathrm{29,82}}{60}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{\mathrm{29,82}}{60}}$	≈ $-\mathrm{0,89}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{\mathrm{29,82}}{60}}$	≈ $\mathrm{0,89}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,89}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $60\cdot {\mathrm{0,89}}^9$ ≈ 21,021.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$60\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$40$	|:$60$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{2}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,4794}$

Nach ca. 3,479 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,82}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 3.04 Millionen Insekten ist, also f(6) = 3.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,82}}^t$ ein:

c ⋅ 0.82⁶ = 3.04

c ⋅ 0.30401 = 3.04 | : 0.30401

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,82}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $10\cdot {\mathrm{0,82}}^8$ ≈ 2,044.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.7:

$10\cdot {\mathrm{0,82}}^t$	=	$\mathrm{3,7}$	|:$10$
${\mathrm{0,82}}^t$	=	$\mathrm{0,37}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,82}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,37}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,37}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,37}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,82}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0101}$

Nach ca. 5,01 Jahre ist also der Bestand = 3.7 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,108}}^t$ ablesen: a=1.108.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.108($2$) ≈ 6.76 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 0,99 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,99.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.99($\frac{1}{2}$) ≈ 68.97 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$