f(0) = $199$

f(1) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,83}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $10\cdot {\mathrm{0,83}}^4$ ≈ 4,746.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.3:

$10\cdot {\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{1,3}$	|:$10$
${\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{0,13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,83}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,9495}$

Nach ca. 10,95 Jahre ist also der Bestand = 1.3 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 10260.66 Nutzer ist, also f(6) = 10260.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^6$	=	$10\mathrm{260,66}$	|:$4000$
$a^6$	=	$\mathrm{2,56517}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{2,56517}}$	= $-\mathrm{1,17}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{2,56517}}$	= $\mathrm{1,17}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,17}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $4000\cdot {\mathrm{1,17}}^9$ ≈ 16433,601.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer ist, also f(t) = 24000:

$4000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$24000$	|:$4000$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,4122}$

Nach ca. 11,412 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.9 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ ein:

c ⋅ 0.86¹¹ = 1.9

c ⋅ 0.19032 = 1.9 | : 0.19032

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $10\cdot {\mathrm{0,86}}^{10}$ ≈ 2,213.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.5:

$10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{5,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,55}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,55}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,55}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,55}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,9638}$

Nach ca. 3,964 Jahre ist also der Bestand = 5.5 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ablesen: a=1.14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14($2$) ≈ 5.29 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 12.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12.7}{100}$) ⋅ B = 0,873 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,873.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.873($\frac{1}{2}$) ≈ 5.1 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 9.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{9,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{9,6}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{9,6}}}$ ≈ 0.93, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,93}}^t$