f(0) = $8$

f(1) = $8$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(2) = $8$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(3) = $8$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(4) = $8$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,55}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,55}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,55}$-fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $40\cdot {\mathrm{0,92}}^8$ ≈ 20,529.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$40\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$20$	|:$40$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,313}$

Nach ca. 8,313 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 6842.85 € ist, also f(8) = 6842.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^8$	=	$6\mathrm{842,85}$	|:$5000$
$a^8$	=	$\mathrm{1,36857}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{1,36857}}$	= $-\mathrm{1,04}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{1,36857}}$	= $\mathrm{1,04}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,04}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^{10}$ ≈ 7401,221.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5400 € ist, also f(t) = 5400:

$5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$5400$	|:$5000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{27}{25}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{25}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{25}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{25}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9623}$

Nach ca. 1,962 Jahre ist also der Kontostand = 5400 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 8.59 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 8.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ ein:

c ⋅ 1.29³ = 8.59

c ⋅ 2.14669 = 8.59 | : 2.14669

c = 4

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $4\cdot {\mathrm{1,29}}^{12}$ ≈ 84,945.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 44 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 44:

$4\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$44$	|:$4$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,4167}$

Nach ca. 9,417 Stunden ist also der Bestand = 44 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,917}}^t$ ablesen: a=0.917.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.917($\frac{1}{2}$) ≈ 8 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2($2$) ≈ 3.8 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.9 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,9}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,9}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,9}}}$ ≈ 0.89, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,89}}^t$