f(0) = $191$

f(1) = $191$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $191$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $191$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $191$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,972}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $80\cdot {\mathrm{0,972}}^6$ ≈ 67,466.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,972}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,972}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,972}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,972}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,1298}$

Nach ca. 10,13 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 17808.08 Nutzer ist, also f(12) = 17808.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^{12}$	=	$17\mathrm{808,08}$	|:$3000$
$a^{12}$	=	$\mathrm{5,93603}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{5,93603}}$	= $-\mathrm{1,16}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{5,93603}}$	= $\mathrm{1,16}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,16}$ ≈ 1.16 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $3000\cdot {\mathrm{1,16}}^7$ ≈ 8478,659.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer ist, also f(t) = 13000:

$3000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$	=	$13000$	|:$3000$
${\mathrm{1,16}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,16}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,16}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,8796}$

Nach ca. 9,88 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,2}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 6912 Nutzer ist, also f(3) = 6912. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,2}}^t$ ein:

c ⋅ 1.2³ = 6912

c ⋅ 1.728 = 6912 | : 1.728

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $4000\cdot {\mathrm{1,2}}^4$ ≈ 8294,4.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer ist, also f(t) = 24000:

$4000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$24000$	|:$4000$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,8275}$

Nach ca. 9,828 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,899}}^t$ ablesen: a=0.899.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.899($\frac{1}{2}$) ≈ 6.51 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$) ⋅ B = 0,972 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,972.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.972($\frac{1}{2}$) ≈ 24.41 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 3.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$ ≈ 0.82, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,82}}^t$