f(0) = $124$

f(1) = $124$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $124$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $124$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $124$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $100\cdot {\mathrm{0,88}}^{12}$ ≈ 21,567.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$100\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$40$	|:$100$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{2}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,1679}$

Nach ca. 7,168 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=24 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $24\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 38.44 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 38.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $24\cdot a^t$ ein:

$24a^3$	=	$\mathrm{38,44}$	|:$24$
$a^3$	=	$\mathrm{1,60167}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{1,60167}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{1,60167}}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $24\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $24\cdot {\mathrm{1,17}}^5$ ≈ 52,619.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 44 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 44:

$24\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$44$	|:$24$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{11}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,8606}$

Nach ca. 3,861 Stunden ist also der Bestand = 44 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Stunden der Bestand 19.38 Millionen Bakterien ist, also f(4) = 19.38. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ ein:

c ⋅ 1.29⁴ = 19.38

c ⋅ 2.76923 = 19.38 | : 2.76923

c = 7

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $7\cdot {\mathrm{1,29}}^{12}$ ≈ 148,653.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 27 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 27:

$7\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$27$	|:$7$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{27}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,3013}$

Nach ca. 5,301 Stunden ist also der Bestand = 27 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,031}}^t$ ablesen: a=1.031.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.031($2$) ≈ 22.7 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2($2$) ≈ 3.8 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$