f(0) = $69$

f(1) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $7000\cdot {\mathrm{1,06}}^{13}$ ≈ 14930,498.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 27000 € ist, also f(t) = 27000:

$7000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$27000$	|:$7000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{27}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{23,1672}$

Nach ca. 23,167 Jahre ist also der Kontostand = 27000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 58.82 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 58.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ ein:

$75a^{10}$	=	$\mathrm{58,82}$	|:$75$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,78427}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,78427}}$	≈ $-\mathrm{0,976}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,78427}}$	≈ $\mathrm{0,976}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,976}$ ≈ 0.976 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,976}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $75\cdot {\mathrm{0,976}}^{11}$ ≈ 57,413.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65:

$75\cdot {\mathrm{0,976}}^t$	=	$65$	|:$75$
${\mathrm{0,976}}^t$	=	$\frac{13}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,976}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,976}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,8907}$

Nach ca. 5,891 Jahre ist also der Bestand = 65 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,83}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 2.24 Millionen Insekten ist, also f(9) = 2.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,83}}^t$ ein:

c ⋅ 0.83⁹ = 2.24

c ⋅ 0.18694 = 2.24 | : 0.18694

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,83}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12\cdot {\mathrm{0,83}}^{12}$ ≈ 1,283.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.9:

$12\cdot {\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{3,9}$	|:$12$
${\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{0,325}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,83}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,325}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,325}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,325}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0319}$

Nach ca. 6,032 Jahre ist also der Bestand = 3.9 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,067}}^t$ ablesen: a=1.067.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.067($2$) ≈ 10.69 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.26($2$) ≈ 3 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$