f(0) = $172$

f(1) = $172$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(2) = $172$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(3) = $172$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(4) = $172$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,45}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,45}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,45}$-fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=14 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $14\cdot {\mathrm{1,2}}^{12}$ ≈ 124,825.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 84 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 84:

$14\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$84$	|:$14$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,8275}$

Nach ca. 9,828 Stunden ist also der Bestand = 84 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 7.17 Millionen Insekten ist, also f(3) = 7.17. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^3$	=	$\mathrm{7,17}$	|:$13$
$a^3$	=	$\mathrm{0,55154}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{0,55154}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{0,55154}}$ ≈ 0.82 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,82}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $13\cdot {\mathrm{0,82}}^{10}$ ≈ 1,787.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,82}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,82}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,82}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,82}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,3889}$

Nach ca. 7,389 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2687.83 € ist, also f(10) = 2687.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ ein:

c ⋅ 1.03¹⁰ = 2687.83

c ⋅ 1.34392 = 2687.83 | : 1.34392

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^{12}$ ≈ 2851,522.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2600 € ist, also f(t) = 2600:

$2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$2600$	|:$2000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{13}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,876}$

Nach ca. 8,876 Jahre ist also der Kontostand = 2600 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,863}}^t$ ablesen: a=0.863.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.863($\frac{1}{2}$) ≈ 4.7 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.94($\frac{1}{2}$) ≈ 11.2 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{14,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$