f(0) = $132$

f(1) = $132$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(2) = $132$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(3) = $132$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(4) = $132$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,1}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,1}$-fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^{12}$ ≈ 15765,341.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10500 € ist, also f(t) = 10500:

$7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$10500$	|:$7000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,9928}$

Nach ca. 5,993 Jahre ist also der Kontostand = 10500 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 20935.34 Nutzer ist, also f(10) = 20935.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^{10}$	=	$20\mathrm{935,34}$	|:$4000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{5,23384}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{5,23384}}$	= $-\mathrm{1,18}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{5,23384}}$	= $\mathrm{1,18}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,18}$ ≈ 1.18 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $4000\cdot {\mathrm{1,18}}^8$ ≈ 15035,437.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

$4000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$	=	$11000$	|:$4000$
${\mathrm{1,18}}^t$	=	$\frac{11}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,18}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,18}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,1119}$

Nach ca. 6,112 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.4}{100}$) ⋅ B = 0,986 ⋅ B. Somit ist das a=0,986.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,986}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 72.91 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 72.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,986}}^t$ ein:

c ⋅ 0.986² = 72.91

c ⋅ 0.9722 = 72.91 | : 0.9722

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,986}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $75\cdot {\mathrm{0,986}}^{13}$ ≈ 62,44.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 68.9:

$75\cdot {\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{68,9}$	|:$75$
${\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{0,9187}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,986}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9187}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9187}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9187}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,986}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0143}$

Nach ca. 6,014 Jahre ist also der Bestand = 68.9 Millionen Einwohner.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ ablesen: a=0.962.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.962($\frac{1}{2}$) ≈ 17.89 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,87.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.87($\frac{1}{2}$) ≈ 4.98 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^4$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$	≈ $-\mathrm{0,841}$
a2	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$	≈ $\mathrm{0,841}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,841}$ ≈ 0.84, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$