f(0) = $59$

f(1) = $59$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(2) = $59$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(3) = $59$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(4) = $59$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,3}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,3}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,3}$-fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $1000\cdot {\mathrm{1,18}}^5$ ≈ 2287,758.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer ist, also f(t) = 4000:

$1000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$	=	$4000$	|:$1000$
${\mathrm{1,18}}^t$	=	$4$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,18}}^t\right)$	=	$\lg \left(4\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$	=	$\lg \left(4\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(4\right)}{\lg \left(\mathrm{1,18}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3757}$

Nach ca. 8,376 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 43.67 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 43.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ ein:

$65a^{10}$	=	$\mathrm{43,67}$	|:$65$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,67185}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,67185}}$	≈ $-\mathrm{0,961}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,67185}}$	≈ $\mathrm{0,961}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,961}$ ≈ 0.961 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,961}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $65\cdot {\mathrm{0,961}}^{13}$ ≈ 38,754.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 57.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 57.7:

$65\cdot {\mathrm{0,961}}^t$	=	$\mathrm{57,7}$	|:$65$
${\mathrm{0,961}}^t$	=	$\mathrm{0,8877}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,961}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8877}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,961}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8877}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,961}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8877}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,961}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9944}$

Nach ca. 2,994 Jahre ist also der Bestand = 57.7 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 3.33 Millionen Insekten ist, also f(11) = 3.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ ein:

c ⋅ 0.89¹¹ = 3.33

c ⋅ 0.27752 = 3.33 | : 0.27752

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12\cdot {\mathrm{0,89}}^{12}$ ≈ 2,964.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

$12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{2,3}$	|:$12$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,1917}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1917}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1917}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,1917}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,1746}$

Nach ca. 14,175 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,046}}^t$ ablesen: a=1.046.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.046($2$) ≈ 15.41 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 12.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12.3}{100}$) ⋅ B = 0,877 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,877.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.877($\frac{1}{2}$) ≈ 5.28 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,7}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $-\mathrm{1,159}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $\mathrm{1,159}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,159}$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$