f(0) = $117$

f(1) = $117$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(2) = $117$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(3) = $117$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(4) = $117$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,3}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,3}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,3}$-fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $11\cdot {\mathrm{0,88}}^{12}$ ≈ 2,372.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.1:

$11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{3,1}$	|:$11$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{0,2818}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2818}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2818}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2818}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9079}$

Nach ca. 9,908 Jahre ist also der Bestand = 3.1 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 9.94 kg ist, also f(10) = 9.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ ein:

$40a^{10}$	=	$\mathrm{9,94}$	|:$40$
$a^{10}$	=	$\frac{\mathrm{9,94}}{40}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\frac{\mathrm{9,94}}{40}}$	≈ $-\mathrm{0,87}$
a2	=	$\sqrt[10]{\frac{\mathrm{9,94}}{40}}$	≈ $\mathrm{0,87}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,87}$ ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $40\cdot {\mathrm{0,87}}^{13}$ ≈ 6,544.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$40\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$20$	|:$40$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9773}$

Nach ca. 4,977 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2437.99 € ist, also f(10) = 2437.99. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02¹⁰ = 2437.99

c ⋅ 1.21899 = 2437.99 | : 1.21899

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $2000\cdot {\mathrm{1,02}}^{13}$ ≈ 2587,213.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2600 € ist, also f(t) = 2600:

$2000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$2600$	|:$2000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{13}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,249}$

Nach ca. 13,249 Jahre ist also der Kontostand = 2600 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,915}}^t$ ablesen: a=0.915.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.915($\frac{1}{2}$) ≈ 7.8 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.3}{100}$) ⋅ B = 1,013 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,013.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.013($2$) ≈ 53.66 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$