$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 4)\; \cdot \; <mn>1</mn>}}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -3 +1.5 = -1.5

= ${\left[\frac{5}{2}{x}^2+5x\right]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+5\cdot \left(-1\right)-\left(\frac{5}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+5\cdot \left(-3\right)\right)$

= $\frac{5}{2}\cdot 1-5-\left(\frac{5}{2}\cdot 9-15\right)$

= $\frac{5}{2}-5-\left(\frac{45}{2}-15\right)$

= $\frac{5}{2}-\frac{10}{2}-\left(\frac{45}{2}-\frac{30}{2}\right)$

= $-\frac{5}{2}-1·\frac{15}{2}$

= $-\frac{5}{2}-\frac{15}{2}$

= $-10$

= ${\left[-8\cdot \cos \left(x\right)+2e^x\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-8\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2e^{\frac{3}{2}\pi }-\left(-8\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+2e^{\frac{1}{2}\pi }\right)$

= $-8\cdot 0+2e^{\frac{3}{2}\pi }-\left(-8\cdot 0+2e^{\frac{1}{2}\pi }\right)$

= $0+2e^{\frac{3}{2}\pi }-\left(0+2e^{\frac{1}{2}\pi }\right)$

= $2e^{\frac{3}{2}\pi }-2e^{\frac{1}{2}\pi }$

= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-5}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 3-5}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 0-5}$

= $\frac{3}{2}{e}^{6-5}-\frac{3}{2}{e}^{0-5}$

= $\frac{3}{2}e-\frac{3}{2}{e}^{-5}$

= $\frac{3}{2}e-\frac{3}{2}{e}^{-5}$

= ${\left[-\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\cos \left(\pi \right)-\sin \left(\pi \right)-\left(-\cos \left(0\right)-\sin \left(0\right)\right)$

= $-\left(-1\right)-0-\left(-1-0\right)$

= $1+0-\left(-1+0\right)$

= $1+1$

= $2$

= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{-3x+5}\right]}_2^5$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 5+5}-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 2+5}$

= $\frac{1}{3}{e}^{-15+5}-\frac{1}{3}{e}^{-6+5}$

= $\frac{1}{3}{e}^{-10}-\frac{1}{3}{e}^{-1}$