$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{\mathrm{(3\; -\; 0)\; \cdot \; <mn>4</mn>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{12}}{2}$ = 6.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-3}}{2}$ = -1.5.

I₃ = $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 6 -1.5 -2 = 2.5

= ${\left[-\frac{5}{3}{x}^3+2x^2\right]}_1^5$

$=$ $-\frac{5}{3}\cdot 5^3+2\cdot 5^2-\left(-\frac{5}{3}\cdot 1^3+2\cdot 1^2\right)$

= $-\frac{5}{3}\cdot 125+2\cdot 25-\left(-\frac{5}{3}\cdot 1+2\cdot 1\right)$

= $-\frac{625}{3}+50-\left(-\frac{5}{3}+2\right)$

= $-\frac{625}{3}+\frac{150}{3}-\left(-\frac{5}{3}+\frac{6}{3}\right)$

= $-\frac{475}{3}-1·\frac{1}{3}$

= $-\frac{475}{3}-\frac{1}{3}$

= $-\frac{476}{3}$

= ${\left[\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}{x}^4\right]}_4^9$

= ${\left[\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{3}{4}{x}^4\right]}_4^9$

$=$ $\frac{1}{2}\sqrt{9}-\frac{3}{4}\cdot 9^4-\left(\frac{1}{2}\sqrt{4}-\frac{3}{4}\cdot 4^4\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 3-\frac{3}{4}\cdot 6561-\left(\frac{1}{2}\cdot 2-\frac{3}{4}\cdot 256\right)$

= $\frac{3}{2}-\frac{19683}{4}-\left(1-192\right)$

= $\frac{6}{4}-\frac{19683}{4}-1·\left(-191\right)$

= $-\frac{19677}{4}+191$

= $-\frac{19677}{4}+\frac{764}{4}$

= $-\frac{18913}{4}$

= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{-2x+2}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 4+2}-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 1+2}$

= $\frac{3}{2}{e}^{-8+2}-\frac{3}{2}{e}^{-2+2}$

= $\frac{3}{2}{e}^{-6}-\frac{3}{2}{e}^0$

= $\frac{3}{2}{e}^{-6}-\frac{3}{2}$

= ${\left[\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)+3\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(\frac{5}{2}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{5}{2}\cdot \left(-1\right)+3\cdot 0-\left(\frac{5}{2}\cdot 1+3\cdot 0\right)$

= $-\frac{5}{2}+0-\left(\frac{5}{2}+0\right)$

= $-\frac{5}{2}+0-\left(\frac{5}{2}+0\right)$

= $-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$

= $-5$

= ${\left[\frac{1}{9}{\left(-3x+5\right)}^3\right]}_2^4$

$=$ $\frac{1}{9}\cdot {\left(-3\cdot 4+5\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-3\cdot 2+5\right)}^3$

= $\frac{1}{9}\cdot {\left(-12+5\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-6+5\right)}^3$

= $\frac{1}{9}\cdot {\left(-7\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-1\right)}^3$

= $\frac{1}{9}\cdot \left(-343\right)-\frac{1}{9}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{343}{9}+\frac{1}{9}$

= $-38$