$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 5)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₄ = $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 4 +3 -3 -6 = -2

= ${\left[\frac{4}{3}{x}^3+3x\right]}_{-1}^2$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot 2^3+3\cdot 2-\left(\frac{4}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 8+6-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)-3\right)$

= $\frac{32}{3}+6-\left(-\frac{4}{3}-3\right)$

= $\frac{32}{3}+\frac{18}{3}-\left(-\frac{4}{3}-\frac{9}{3}\right)$

= $\frac{50}{3}-1·\left(-\frac{13}{3}\right)$

= $\frac{50}{3}+\frac{13}{3}$

= $21$

= ${\left[-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{5}{3}{x}^3\right]}_1^{16}$

= ${\left[-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{5}{3}{x}^3\right]}_1^{16}$

$=$ $-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3+\frac{5}{3}\cdot {16}^3-\left(-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{1}\right)}^3+\frac{5}{3}\cdot 1^3\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 4^3+\frac{5}{3}\cdot 4096-\left(-\frac{2}{3}\cdot 1^3+\frac{5}{3}\cdot 1\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 64+\frac{20480}{3}-\left(-\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{5}{3}\right)$

= $-\frac{128}{3}+\frac{20480}{3}-\left(-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}\right)$

= $6784-1·1$

= $6784-1$

= $6783$

= ${\left[-e^{-2x+4}\right]}_0^2$

$=$ $-e^{-2\cdot 2+4}+e^{-2\cdot 0+4}$

= $-e^{-4+4}+e^{0+4}$

= $-e^0+e^4$

= $-1+e^4$

= ${\left[-5\cdot \cos \left(x\right)+5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-5\cdot \cos \left(\pi \right)+5\cdot \sin \left(\pi \right)-\left(-5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-5\cdot \left(-1\right)+5\cdot 0-\left(-5\cdot 0+5\cdot 1\right)$

= $5+0-\left(0+5\right)$

= $5-5$

= 0

= ${\left[2\cdot \cos \left(-x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $2\cdot \cos \left(-\left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(-\left(0\right)+\frac{1}{2}\pi \right)$

= $2\cdot \cos (-\pi )-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $2\cdot \left(-1\right)-2\cdot 0$

= $-2+0$

= $-2$