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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{4} - \frac{5}{3} e^{- 2}$

≈ 90,771

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 33 + $\frac{5}{3} e^{4} - \frac{5}{3} e^{- 2}$ ≈ 123.77

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{5}{2}$ Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $5$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{5}{2}

und

5

:

\int_{\frac{5}{2}}^{5} 4 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{5} 4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{5}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{5}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 - \frac{4}{3} \cdot 8$

= $36 - \frac{32}{3}$

= $\frac{108}{3} - \frac{32}{3}$

= $\frac{76}{3}$

≈ 25,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{5}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{5}{2}

und

5

zusammen:

B = 16 + $\frac{76}{3}$ = $\frac{124}{3}$ ≈ 41.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,2 e^{0,8 x - 0,7} ⅆ x$ = $19$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,2 e^{0,8 x - 0,7} ⅆ x

= ${[4 e^{0,8 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,8 u - 0,7} - 4 e^{0,8 \cdot 0 - 0,7}$

= $4 e^{0,8 u - 0,7} - 4 e^{0 - 0,7}$

= $4 e^{0,8 u - 0,7} - 4 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,8 u - 0,7} - 4 e^{- 0,7}$	=	$19$	\| $+ 4 e^{- 0,7}$
$4 e^{0,8 u - 0,7}$	=	$4 e^{- 0,7} + 19$
$4 e^{0,8 u - 0,7}$	=	$20,9863$	\|: $4$
$e^{0,8 u - 0,7}$	=	$5,2466$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,7$	=	$\ln (5,2466)$

$0,8 u - 0,7$	=	$1,6576$	\| $+ 0,7$
$0,8 u$	=	$2,3576$	\|: $0,8$
$u$	=	$2,947$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{7} t^{2} + 7

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{7} t^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- \frac{1}{7} t^{2}$	=	$- 7$	\|⋅ $(- 7)$
$t^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
t₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 7 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{7} (- \frac{1}{7} t^{2} + 7) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{21} x^{3} + 7 x]}_{0}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{21} \cdot 7^{3} + 7 \cdot 7 - (- \frac{1}{21} \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{21} \cdot 343 + 49 - (- \frac{1}{21} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{49}{3} + 49 - (0 + 0)$

= $- \frac{49}{3} + \frac{147}{3} + 0$

= $\frac{98}{3}$

≈ 32,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 32,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 32,667 m³ ≈ 12,333 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 12,333 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(x - 2)}^{2} + 4$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (3 {(x - 2)}^{2} + 4) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[{(x - 2)}^{3} + 4 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} ({(3 - 2)}^{3} + 4 \cdot 3 - ({(0 - 2)}^{3} + 4 \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (1^{3} + 12 - ({(- 2)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (1 + 12 - ((- 8) + 0))$

= $\frac{1}{3} (1 + 12 + 8)$

= $\frac{1}{3} \cdot 21$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 3 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 6 + 4}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 2}$ → $0 - \frac{1}{3} e^{- 2}$ = $- \frac{1}{3} e^{- 2}$ ≈ -0.045

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.045

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Die geringste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum sind ca. 14,8 Hundert Personen. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.
Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Hundert Personen
von 1 bis 9: ca. -10.7 Hundert Personen
von 9 bis 10: ca. 0.5 Hundert Personen

Anfangsbestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Hundert Personen zu- und dann wieder 10.7 Hundert Personen abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Hundert Personen weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 14.8+10.2 = 25 Hundert Personen betragen haben.
Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 1 Stunden maximal.

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)