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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{21}{2}$ Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $15$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 6 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 6 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 2 + $122$ = $124$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{5 - 2} - 3 e^{2 - 2}$

= $3 e^{3} - 3 e^{0}$

= $3 e^{3} - 3$

≈ 57,257

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 9 + $3 e^{3} - 3$ ≈ 66.26

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x + 4) ⅆ x$ = $168$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x + 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} + 4 u - (2 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3)$

= $2 u^{2} + 4 u - (2 \cdot 9 + 12)$

= $2 u^{2} + 4 u - (18 + 12)$

= $2 u^{2} + 4 u - 1 \cdot 30$

= $2 u^{2} + 4 u - 30$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $168$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} + 4 u - 30

=

168

|

- 168

2 u^{2} + 4 u - 198

= 0 |:2

$u^{2} + 2 u - 99$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 99)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 396}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{400}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 2+20}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 2-20}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 99)$ = $1$ $+$ $99$ = $100$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{100}$

x₁ = $- 1$ - $10$ = -11

x₂ = $- 1$ + $10$ = 9

Da u= $- 11$ < 3 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

e^{- 0,3 t + 1,2} - 1

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$e^{- 0,3 t + 1,2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 1,2$	=	0

$- 0,3 t + 1,2$	=	0	\| $- 1,2$
$- 0,3 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$4$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{4} (e^{- 0,3 t + 1,2} - 1) ⅆ t

= ${[- \frac{10}{3} e^{- 0,3 x + 1,2} - x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 4 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 1,2} - 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{- 1,2 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{0 + 1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{0} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} - 4 + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{10}{3} - \frac{12}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{22}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

≈ 3,734

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,734 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 3,734 m³ ≈ 46,266 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 46,266 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{9}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $e^{- 2 u + 2} - e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $e^{- 2 u + 2} - e^{- 4 + 2}$

= $e^{- 2 u + 2} - e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{- 2 u + 2} - e^{- 2}$ → $0 - e^{- 2}$ = $- e^{- 2}$ ≈ -0.135

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.135

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 2 Minuten in den Tank hinein?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 3 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 6 Liter
von 3 bis 5: ca. -0.4 Liter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 3 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 3 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.
Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.
reiner Zuwachs nach 2 min
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z₂ = 12.9 Liter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)