Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 11 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 27:
11 27 5 x -2 x
= 11 27 5 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 27

= [ 10 3 ( x -2 ) 3 ] 11 27

= 10 3 ( 27 -2 ) 3 - 10 3 ( 11 -2 ) 3

= 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 9 ) 3

= 10 3 5 3 - 10 3 3 3

= 10 3 125 - 10 3 27

= 1250 3 -90

= 1250 3 - 270 3

= 980 3


≈ 326,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 27 zusammen:
B = 18 + 980 3 = 1034 3 ≈ 344.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 3 e 2x -1 x

= [ 3 2 e 2x -1 ] 1 4

= 3 2 e 24 -1 - 3 2 e 21 -1

= 3 2 e 8 -1 - 3 2 e 2 -1

= 3 2 e 7 - 3 2 e

= 3 2 e 7 - 3 2 e


≈ 1640,872
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 37 + 3 2 e 7 - 3 2 e ≈ 1677.87

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 7,2 e -0,9x +0,7 x = 5

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0 u 7,2 e -0,9x +0,7 x

= [ -8 e -0,9x +0,7 ] 0 u

= -8 e -0,9u +0,7 +8 e -0,90 +0,7

= -8 e -0,9u +0,7 +8 e 0 +0,7

= -8 e -0,9u +0,7 +8 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-8 e -0,9u +0,7 +8 e 0,7 = 5 | -8 e 0,7
-8 e -0,9u +0,7 = -8 e 0,7 +5
-8 e -0,9u +0,7 = -11,11 |:-8
e -0,9u +0,7 = 1,3888 |ln(⋅)
-0,9u +0,7 = ln( 1,3888 )
-0,9u +0,7 = 0,3284 | -0,7
-0,9u = -0,3716 |:(-0,9 )
u = 0,4129

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Die Funktion f mit f(t)= 2 e -0,2t +1 -2 beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

2 e -0,2t +1 -2 = 0 | +2
2 e -0,2t +1 = 2 |:2
e -0,2t +1 = 1 |ln(⋅)
-0,2t +1 = 0
-0,2t +1 = 0 | -1
-0,2t = -1 |:(-0,2 )
t = 5

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 5 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
I = 0 5 ( 2 e -0,2t +1 -2 ) t

= [ -10 e -0,2x +1 -2x ] 0 5

= -10 e -0,25 +1 -25 - ( -10 e -0,20 +1 -20 )

= -10 e -1 +1 -10 - ( -10 e 0 +1 +0)

= -10 e 0 -10 - ( -10e+0)

= -10 -10 - (-10e+0)

= -20 +10e


≈ 7,183

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 7,183 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 7,183 m³ ≈ 32,817 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 32,817 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 und Minute 28 .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 28 -19 19 28 5 x -3 x
= 1 9 19 28 5 ( x -3 ) 1 2 x

= 1 9 [ 10 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= 1 9 [ 10 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 1 9 ( 10 3 ( 28 -3 ) 3 - 10 3 ( 19 -3 ) 3 )

= 1 9 ( 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 16 ) 3 )

= 1 9 ( 10 3 5 3 - 10 3 4 3 )

= 1 9 ( 10 3 125 - 10 3 64 )

= 1 9 ( 1250 3 - 640 3 )

= 1 9 · 610 3

= 610 27


≈ 22,593

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 16 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 16 3 u - 3 3x -7 x
= 16 3 u -3 ( 3x -7 ) - 1 2 x

= [ -2 ( 3x -7 ) 1 2 ] 16 3 u

= [ -2 3x -7 ] 16 3 u

= -2 3u -7 +2 3( 16 3 ) -7

= -2 3u -7 +2 16 -7

= -2 3u -7 +2 9

= -2 3u -7 +23

= -2 3u -7 +6

Für u → ∞ gilt: A(u) = -2 3u -7 +6 -

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
  2. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind ca. 28 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen

von 7 bis 10: ca. 12 Hundert Personen

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.

  2. Anfangsbestand

    Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;3] kann man einen Zuwachs von ca. -2 erkennen.
    Bei Beobachtungsbeginn muss somit die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um -2 Hundert Personen niedriger als die 28 nach 3 Stunden gewesen sein:
    B0 = 28 - -2 = 30 Hundert Personen .