Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
=
=
=
≈ 5,701
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
=
=
=
≈ 9,851
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | | ||
u1 | = |
|
=
|
u2 | = |
|
=
|
Da u=
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
|
= | |
|
|
|
= | |: |
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
= |
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 2,873
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,873 m
Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 55 m ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m - 2,873 m ≈ 52,127 m vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 52,127 m.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
- Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.
Von 1 bis 5 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.
Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2
Hundert Personen
von 1 bis 5: ca. -5.3 Hundert Personen
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 10 Stunden maximal. - Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 5 Stunden.