= ${\left[3e^{x-2}\right]}_2^4$

$=$ $3e^{4-2}-3e^{2-2}$

= $3e^2-3e^0$

= $3e^2-3$

= ${\left[\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2x-4$\right|\right)\right]}_4^5$

$=$ $\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2\cdot 5-4$\right|\right)-\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2\cdot 4-4$\right|\right)$

= $\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 10-4$\right|\right)-\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 8-4$\right|\right)$

= $\frac{5}{2}\ln \left(6\right)-\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 8-4$\right|\right)$

= $\frac{5}{2}\ln \left(6\right)-\frac{5}{2}\ln \left(4\right)$

= ${\left[-e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}\right]}_0^u$

$=$ $-e^{-\mathrm{0,3}u+\mathrm{0,6}}+e^{-\mathrm{0,3}\cdot 0+\mathrm{0,6}}$

= $-e^{-\mathrm{0,3}u+\mathrm{0,6}}+e^{0+\mathrm{0,6}}$

= $-e^{-\mathrm{0,3}u+\mathrm{0,6}}+e^{\mathrm{0,6}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-4e^{-\mathrm{0,5}x+1}-2x\right]}_0^2$

$=$ $-4e^{-\mathrm{0,5}\cdot 2+1}-2\cdot 2-\left(-4e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0+1}-2\cdot 0\right)$

= $-4e^{-1+1}-4-\left(-4e^{0+1}+0\right)$

= $-4e^0-4-(-4e+0)$

= $-4-4-\left(-4e+0\right)$

= $-8+4e$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,873 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 2,873 m ≈ 47,127 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 47,127 m.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{\pi }$ ${\left[\sin (2x+\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{\pi }·\left(\sin (2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\pi )-\sin (2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(\sin \left(4\pi \right)-\sin \left(2\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(0-0\right)$

= 0

= ${\left[-{\left(x-2\right)}^{-2}\right]}_4^u$

= ${\left[-\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}\right]}_4^u$

$=$ $-\frac{1}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{1}{{\left(4-2\right)}^2}$

= $-\frac{1}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{1}{2^2}$

= $-\frac{1}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{1}{4}$ → $0+\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.

2. Anfangsbestand

   Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 7 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.1 Hundert Personen zu- und dann wieder 12 Hundert Personen abgenommen hat, also insgesamt um |1.1-12| = 10.9 Hundert Personen weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 18.1+10.9 = 29 Hundert Personen betragen haben.