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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 4 - 3} - 3 e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $3 e^{8 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$

≈ 444,136

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 73 + $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$ ≈ 517.14

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 8 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:

\int_{5}^{8} \frac{3}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{8} 3 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{8}$

$=$ $3 \ln (| 8 - 3 |) - 3 \ln (| 5 - 3 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (| 5 - 3 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (2)$

≈ 2,749

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:

B = 18 + $3 \ln (| 5 |) - 3 \ln (| 2 |)$ ≈ 20.75

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,3 x + 0,2} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,3 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,3 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,3 u + 0,2} + 8 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 8 e^{- 0,3 u + 0,2} + 8 e^{0 + 0,2}$

= $- 8 e^{- 0,3 u + 0,2} + 8 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,3 u + 0,2} + 8 e^{0,2}$	=	$4$	\| $- 8 e^{0,2}$
$- 8 e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$- 8 e^{0,2} + 4$
$- 8 e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$- 5,7712$	\|: $- 8$
$e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$0,7214$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,2$	=	$\ln (0,7214)$

$- 0,3 u + 0,2$	=	$- 0,3266$	\| $- 0,2$
$- 0,3 u$	=	$- 0,5266$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,7553$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{8} t^{2} + 8

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{8} t^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- \frac{1}{8} t^{2}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 8)$
$t^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
t₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{8} (- \frac{1}{8} t^{2} + 8) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{24} x^{3} + 8 x]}_{0}^{8}$

$=$ $- \frac{1}{24} \cdot 8^{3} + 8 \cdot 8 - (- \frac{1}{24} \cdot 0^{3} + 8 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{24} \cdot 512 + 64 - (- \frac{1}{24} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{64}{3} + 64 - (0 + 0)$

= $- \frac{64}{3} + \frac{192}{3} + 0$

= $\frac{128}{3}$

≈ 42,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 42,667 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 40 m ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m - 42,667 m ≈ -2,667 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = -2,667 m.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $11$ und Minute $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 11}

\int_{11}^{27} \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{16}

\int_{11}^{27} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= $\frac{1}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

= $\frac{1}{16} (\frac{250}{3} - 18)$

= $\frac{1}{16} (\frac{250}{3} - \frac{54}{3})$

= $\frac{1}{16} \cdot \frac{196}{3}$

= $\frac{49}{12}$

≈ 4,083

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(2 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(2 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(2 \cdot 3 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
2 Sekunden nach Beobachtungsbeginn ist Radfahrer1 ca. 21,2 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.
Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 0.2 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit der Vorsprung des 1. Radfahrers um 0.2 Meter niedriger als die 21.2 nach 2 s gewesen sein:
B₀ = 21.2 - 0.2 = 21 Meter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)