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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $11$ Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $27$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

27

:

\int_{11}^{27} 5 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{27} 5 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 27$

= $\frac{1250}{3} - 90$

= $\frac{1250}{3} - \frac{270}{3}$

= $\frac{980}{3}$

≈ 326,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

27

zusammen:

B = 18 + $\frac{980}{3}$ = $\frac{1034}{3}$ ≈ 344.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{7} - \frac{3}{2} e$

≈ 1640,872

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 37 + $\frac{3}{2} e^{7} - \frac{3}{2} e$ ≈ 1677.87

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,9 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$	=	$5$	\| $- 8 e^{0,7}$
$- 8 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 8 e^{0,7} + 5$
$- 8 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 11,11$	\|: $- 8$
$e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$1,3888$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,7$	=	$\ln (1,3888)$

$- 0,9 u + 0,7$	=	$0,3284$	\| $- 0,7$
$- 0,9 u$	=	$- 0,3716$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,4129$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 e^{- 0,2 t + 1} - 2

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$2 e^{- 0,2 t + 1} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 0,2 t + 1}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 0,2 t + 1}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 t + 1$	=	0

$- 0,2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 0,2 t$	=	$- 1$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$5$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 5 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{5} (2 e^{- 0,2 t + 1} - 2) ⅆ t

= ${[- 10 e^{- 0,2 x + 1} - 2 x]}_{0}^{5}$

$=$ $- 10 e^{- 0,2 \cdot 5 + 1} - 2 \cdot 5 - (- 10 e^{- 0,2 \cdot 0 + 1} - 2 \cdot 0)$

= $- 10 e^{- 1 + 1} - 10 - (- 10 e^{0 + 1} + 0)$

= $- 10 e^{0} - 10 - (- 10 e + 0)$

= $- 10 - 10 - (- 10 e + 0)$

= $- 20 + 10 e$

≈ 7,183

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 7,183 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 7,183 m³ ≈ 32,817 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 32,817 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $19$ und Minute $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} 5 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} 5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{1250}{3} - \frac{640}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{610}{3}$

= $\frac{610}{27}$

≈ 22,593

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{3 x - 7}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{16}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{16}{3}}^{u} - \frac{3}{\sqrt{3 x - 7}} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{u} - 3 {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{u}$

= ${[- 2 \sqrt{3 x - 7}]}_{\frac{16}{3}}^{u}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \sqrt{16 - 7}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \sqrt{9}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \cdot 3$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 6$ → $- \infty$

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind ca. 28 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen
von 7 bis 10: ca. 12 Hundert Personen

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.
Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;3] kann man einen Zuwachs von ca. -2 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um -2 Hundert Personen niedriger als die 28 nach 3 Stunden gewesen sein:
B₀ = 28 - -2 = 30 Hundert Personen .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)