Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 50 = 4.

Somit gilt: 54 mod 10 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 100, weil ja 20 ⋅ 5 = 100 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 100 = 0.

Somit gilt: 100 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Somit gilt: 30 ≡ 100 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 - 3000) mod 6 ≡ (57 mod 6 - 3000 mod 6) mod 6.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 6 ⋅ 10 -3 = 6 ⋅ 10 - 6 + 3.

3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 6 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(57 - 3000) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 33) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 33 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

33 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 8 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 33) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 47 aus, ob zufällig 47 mod m = 65 mod m gilt:

m=2: 47 mod 2 = 1 = 1 = 65 mod 2

m=3: 47 mod 3 = 2 = 2 = 65 mod 3

m=4: 47 mod 4 = 3 ≠ 1 = 65 mod 4

m=5: 47 mod 5 = 2 ≠ 0 = 65 mod 5

m=6: 47 mod 6 = 5 = 5 = 65 mod 6

m=7: 47 mod 7 = 5 ≠ 2 = 65 mod 7

m=8: 47 mod 8 = 7 ≠ 1 = 65 mod 8

m=9: 47 mod 9 = 2 = 2 = 65 mod 9

m=10: 47 mod 10 = 7 ≠ 5 = 65 mod 10

m=11: 47 mod 11 = 3 ≠ 10 = 65 mod 11

m=12: 47 mod 12 = 11 ≠ 5 = 65 mod 12

m=13: 47 mod 13 = 8 ≠ 0 = 65 mod 13

m=14: 47 mod 14 = 5 ≠ 9 = 65 mod 14

m=15: 47 mod 15 = 2 ≠ 5 = 65 mod 15

m=16: 47 mod 16 = 15 ≠ 1 = 65 mod 16

m=17: 47 mod 17 = 13 ≠ 14 = 65 mod 17

m=18: 47 mod 18 = 11 = 11 = 65 mod 18

m=19: 47 mod 19 = 9 ≠ 8 = 65 mod 19

m=20: 47 mod 20 = 7 ≠ 5 = 65 mod 20

m=21: 47 mod 21 = 5 ≠ 2 = 65 mod 21

m=22: 47 mod 22 = 3 ≠ 21 = 65 mod 22

m=23: 47 mod 23 = 1 ≠ 19 = 65 mod 23

m=24: 47 mod 24 = 23 ≠ 17 = 65 mod 24

m=25: 47 mod 25 = 22 ≠ 15 = 65 mod 25

m=26: 47 mod 26 = 21 ≠ 13 = 65 mod 26

m=27: 47 mod 27 = 20 ≠ 11 = 65 mod 27

m=28: 47 mod 28 = 19 ≠ 9 = 65 mod 28

m=29: 47 mod 29 = 18 ≠ 7 = 65 mod 29

m=30: 47 mod 30 = 17 ≠ 5 = 65 mod 30

m=31: 47 mod 31 = 16 ≠ 3 = 65 mod 31

m=32: 47 mod 32 = 15 ≠ 1 = 65 mod 32

m=33: 47 mod 33 = 14 ≠ 32 = 65 mod 33

m=34: 47 mod 34 = 13 ≠ 31 = 65 mod 34

m=35: 47 mod 35 = 12 ≠ 30 = 65 mod 35

m=36: 47 mod 36 = 11 ≠ 29 = 65 mod 36

m=37: 47 mod 37 = 10 ≠ 28 = 65 mod 37

m=38: 47 mod 38 = 9 ≠ 27 = 65 mod 38

m=39: 47 mod 39 = 8 ≠ 26 = 65 mod 39

m=40: 47 mod 40 = 7 ≠ 25 = 65 mod 40

m=41: 47 mod 41 = 6 ≠ 24 = 65 mod 41

m=42: 47 mod 42 = 5 ≠ 23 = 65 mod 42

m=43: 47 mod 43 = 4 ≠ 22 = 65 mod 43

m=44: 47 mod 44 = 3 ≠ 21 = 65 mod 44

m=45: 47 mod 45 = 2 ≠ 20 = 65 mod 45

m=46: 47 mod 46 = 1 ≠ 19 = 65 mod 46

m=47: 47 mod 47 = 0 ≠ 18 = 65 mod 47

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (65 - 47) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18