Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 33 = 8.

Somit gilt: 41 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 88 und erhalten so 96.

Somit gilt: 96 ≡ 41 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3204 + 2394) mod 8 ≡ (3204 mod 8 + 2394 mod 8) mod 8.

3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204 = 3200+4 = 8 ⋅ 400 +4.

2394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394 = 2400-6 = 8 ⋅ 300 -6 = 8 ⋅ 300 - 8 + 2.

Somit gilt:

(3204 + 2394) mod 8 ≡ (4 + 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 62) mod 10 ≡ (30 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.

30 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 3 ⋅ 10 + 0 ist.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 62) mod 10 ≡ (0 ⋅ 2) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4