Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.

Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 81 und erhalten so 84.

Somit gilt: 84 ≡ 93 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12002 + 17996) mod 6 ≡ (12002 mod 6 + 17996 mod 6) mod 6.

12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 6 ⋅ 2000 +2.

17996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17996 = 18000-4 = 6 ⋅ 3000 -4 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(12002 + 17996) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 100) mod 7 ≡ (51 mod 7 ⋅ 100 mod 7) mod 7.

51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.

100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 100) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10