Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 48 = 1.

Somit gilt: 49 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 65 = 1.

Somit gilt: 66 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 10 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 66 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 + 31) mod 3 ≡ (92 mod 3 + 31 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 3 ⋅ 30 +2.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30+1 = 3 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(92 + 31) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 78) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 78 mod 6) mod 6.

28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 78) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 50 aus, ob zufällig 50 mod m = 68 mod m gilt:

m=2: 50 mod 2 = 0 = 0 = 68 mod 2

m=3: 50 mod 3 = 2 = 2 = 68 mod 3

m=4: 50 mod 4 = 2 ≠ 0 = 68 mod 4

m=5: 50 mod 5 = 0 ≠ 3 = 68 mod 5

m=6: 50 mod 6 = 2 = 2 = 68 mod 6

m=7: 50 mod 7 = 1 ≠ 5 = 68 mod 7

m=8: 50 mod 8 = 2 ≠ 4 = 68 mod 8

m=9: 50 mod 9 = 5 = 5 = 68 mod 9

m=10: 50 mod 10 = 0 ≠ 8 = 68 mod 10

m=11: 50 mod 11 = 6 ≠ 2 = 68 mod 11

m=12: 50 mod 12 = 2 ≠ 8 = 68 mod 12

m=13: 50 mod 13 = 11 ≠ 3 = 68 mod 13

m=14: 50 mod 14 = 8 ≠ 12 = 68 mod 14

m=15: 50 mod 15 = 5 ≠ 8 = 68 mod 15

m=16: 50 mod 16 = 2 ≠ 4 = 68 mod 16

m=17: 50 mod 17 = 16 ≠ 0 = 68 mod 17

m=18: 50 mod 18 = 14 = 14 = 68 mod 18

m=19: 50 mod 19 = 12 ≠ 11 = 68 mod 19

m=20: 50 mod 20 = 10 ≠ 8 = 68 mod 20

m=21: 50 mod 21 = 8 ≠ 5 = 68 mod 21

m=22: 50 mod 22 = 6 ≠ 2 = 68 mod 22

m=23: 50 mod 23 = 4 ≠ 22 = 68 mod 23

m=24: 50 mod 24 = 2 ≠ 20 = 68 mod 24

m=25: 50 mod 25 = 0 ≠ 18 = 68 mod 25

m=26: 50 mod 26 = 24 ≠ 16 = 68 mod 26

m=27: 50 mod 27 = 23 ≠ 14 = 68 mod 27

m=28: 50 mod 28 = 22 ≠ 12 = 68 mod 28

m=29: 50 mod 29 = 21 ≠ 10 = 68 mod 29

m=30: 50 mod 30 = 20 ≠ 8 = 68 mod 30

m=31: 50 mod 31 = 19 ≠ 6 = 68 mod 31

m=32: 50 mod 32 = 18 ≠ 4 = 68 mod 32

m=33: 50 mod 33 = 17 ≠ 2 = 68 mod 33

m=34: 50 mod 34 = 16 ≠ 0 = 68 mod 34

m=35: 50 mod 35 = 15 ≠ 33 = 68 mod 35

m=36: 50 mod 36 = 14 ≠ 32 = 68 mod 36

m=37: 50 mod 37 = 13 ≠ 31 = 68 mod 37

m=38: 50 mod 38 = 12 ≠ 30 = 68 mod 38

m=39: 50 mod 39 = 11 ≠ 29 = 68 mod 39

m=40: 50 mod 40 = 10 ≠ 28 = 68 mod 40

m=41: 50 mod 41 = 9 ≠ 27 = 68 mod 41

m=42: 50 mod 42 = 8 ≠ 26 = 68 mod 42

m=43: 50 mod 43 = 7 ≠ 25 = 68 mod 43

m=44: 50 mod 44 = 6 ≠ 24 = 68 mod 44

m=45: 50 mod 45 = 5 ≠ 23 = 68 mod 45

m=46: 50 mod 46 = 4 ≠ 22 = 68 mod 46

m=47: 50 mod 47 = 3 ≠ 21 = 68 mod 47

m=48: 50 mod 48 = 2 ≠ 20 = 68 mod 48

m=49: 50 mod 49 = 1 ≠ 19 = 68 mod 49

m=50: 50 mod 50 = 0 ≠ 18 = 68 mod 50

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (68 - 50) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18