Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 49 = 4.

Somit gilt: 53 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 32 = 6.

Somit gilt: 38 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 20, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 16 und erhalten so 22.

Somit gilt: 22 ≡ 38 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 + 93) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 93 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(6000 + 93) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 98) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 98) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 109 aus, ob zufällig 109 mod m = 159 mod m gilt:

m=2: 109 mod 2 = 1 = 1 = 159 mod 2

m=3: 109 mod 3 = 1 ≠ 0 = 159 mod 3

m=4: 109 mod 4 = 1 ≠ 3 = 159 mod 4

m=5: 109 mod 5 = 4 = 4 = 159 mod 5

m=6: 109 mod 6 = 1 ≠ 3 = 159 mod 6

m=7: 109 mod 7 = 4 ≠ 5 = 159 mod 7

m=8: 109 mod 8 = 5 ≠ 7 = 159 mod 8

m=9: 109 mod 9 = 1 ≠ 6 = 159 mod 9

m=10: 109 mod 10 = 9 = 9 = 159 mod 10

m=11: 109 mod 11 = 10 ≠ 5 = 159 mod 11

m=12: 109 mod 12 = 1 ≠ 3 = 159 mod 12

m=13: 109 mod 13 = 5 ≠ 3 = 159 mod 13

m=14: 109 mod 14 = 11 ≠ 5 = 159 mod 14

m=15: 109 mod 15 = 4 ≠ 9 = 159 mod 15

m=16: 109 mod 16 = 13 ≠ 15 = 159 mod 16

m=17: 109 mod 17 = 7 ≠ 6 = 159 mod 17

m=18: 109 mod 18 = 1 ≠ 15 = 159 mod 18

m=19: 109 mod 19 = 14 ≠ 7 = 159 mod 19

m=20: 109 mod 20 = 9 ≠ 19 = 159 mod 20

m=21: 109 mod 21 = 4 ≠ 12 = 159 mod 21

m=22: 109 mod 22 = 21 ≠ 5 = 159 mod 22

m=23: 109 mod 23 = 17 ≠ 21 = 159 mod 23

m=24: 109 mod 24 = 13 ≠ 15 = 159 mod 24

m=25: 109 mod 25 = 9 = 9 = 159 mod 25

m=26: 109 mod 26 = 5 ≠ 3 = 159 mod 26

m=27: 109 mod 27 = 1 ≠ 24 = 159 mod 27

m=28: 109 mod 28 = 25 ≠ 19 = 159 mod 28

m=29: 109 mod 29 = 22 ≠ 14 = 159 mod 29

m=30: 109 mod 30 = 19 ≠ 9 = 159 mod 30

m=31: 109 mod 31 = 16 ≠ 4 = 159 mod 31

m=32: 109 mod 32 = 13 ≠ 31 = 159 mod 32

m=33: 109 mod 33 = 10 ≠ 27 = 159 mod 33

m=34: 109 mod 34 = 7 ≠ 23 = 159 mod 34

m=35: 109 mod 35 = 4 ≠ 19 = 159 mod 35

m=36: 109 mod 36 = 1 ≠ 15 = 159 mod 36

m=37: 109 mod 37 = 35 ≠ 11 = 159 mod 37

m=38: 109 mod 38 = 33 ≠ 7 = 159 mod 38

m=39: 109 mod 39 = 31 ≠ 3 = 159 mod 39

m=40: 109 mod 40 = 29 ≠ 39 = 159 mod 40

m=41: 109 mod 41 = 27 ≠ 36 = 159 mod 41

m=42: 109 mod 42 = 25 ≠ 33 = 159 mod 42

m=43: 109 mod 43 = 23 ≠ 30 = 159 mod 43

m=44: 109 mod 44 = 21 ≠ 27 = 159 mod 44

m=45: 109 mod 45 = 19 ≠ 24 = 159 mod 45

m=46: 109 mod 46 = 17 ≠ 21 = 159 mod 46

m=47: 109 mod 47 = 15 ≠ 18 = 159 mod 47

m=48: 109 mod 48 = 13 ≠ 15 = 159 mod 48

m=49: 109 mod 49 = 11 ≠ 12 = 159 mod 49

m=50: 109 mod 50 = 9 = 9 = 159 mod 50

m=51: 109 mod 51 = 7 ≠ 6 = 159 mod 51

m=52: 109 mod 52 = 5 ≠ 3 = 159 mod 52

m=53: 109 mod 53 = 3 ≠ 0 = 159 mod 53

m=54: 109 mod 54 = 1 ≠ 51 = 159 mod 54

m=55: 109 mod 55 = 54 ≠ 49 = 159 mod 55

m=56: 109 mod 56 = 53 ≠ 47 = 159 mod 56

m=57: 109 mod 57 = 52 ≠ 45 = 159 mod 57

m=58: 109 mod 58 = 51 ≠ 43 = 159 mod 58

m=59: 109 mod 59 = 50 ≠ 41 = 159 mod 59

m=60: 109 mod 60 = 49 ≠ 39 = 159 mod 60

m=61: 109 mod 61 = 48 ≠ 37 = 159 mod 61

m=62: 109 mod 62 = 47 ≠ 35 = 159 mod 62

m=63: 109 mod 63 = 46 ≠ 33 = 159 mod 63

m=64: 109 mod 64 = 45 ≠ 31 = 159 mod 64

m=65: 109 mod 65 = 44 ≠ 29 = 159 mod 65

m=66: 109 mod 66 = 43 ≠ 27 = 159 mod 66

m=67: 109 mod 67 = 42 ≠ 25 = 159 mod 67

m=68: 109 mod 68 = 41 ≠ 23 = 159 mod 68

m=69: 109 mod 69 = 40 ≠ 21 = 159 mod 69

m=70: 109 mod 70 = 39 ≠ 19 = 159 mod 70

m=71: 109 mod 71 = 38 ≠ 17 = 159 mod 71

m=72: 109 mod 72 = 37 ≠ 15 = 159 mod 72

m=73: 109 mod 73 = 36 ≠ 13 = 159 mod 73

m=74: 109 mod 74 = 35 ≠ 11 = 159 mod 74

m=75: 109 mod 75 = 34 ≠ 9 = 159 mod 75

m=76: 109 mod 76 = 33 ≠ 7 = 159 mod 76

m=77: 109 mod 77 = 32 ≠ 5 = 159 mod 77

m=78: 109 mod 78 = 31 ≠ 3 = 159 mod 78

m=79: 109 mod 79 = 30 ≠ 1 = 159 mod 79

m=80: 109 mod 80 = 29 ≠ 79 = 159 mod 80

m=81: 109 mod 81 = 28 ≠ 78 = 159 mod 81

m=82: 109 mod 82 = 27 ≠ 77 = 159 mod 82

m=83: 109 mod 83 = 26 ≠ 76 = 159 mod 83

m=84: 109 mod 84 = 25 ≠ 75 = 159 mod 84

m=85: 109 mod 85 = 24 ≠ 74 = 159 mod 85

m=86: 109 mod 86 = 23 ≠ 73 = 159 mod 86

m=87: 109 mod 87 = 22 ≠ 72 = 159 mod 87

m=88: 109 mod 88 = 21 ≠ 71 = 159 mod 88

m=89: 109 mod 89 = 20 ≠ 70 = 159 mod 89

m=90: 109 mod 90 = 19 ≠ 69 = 159 mod 90

m=91: 109 mod 91 = 18 ≠ 68 = 159 mod 91

m=92: 109 mod 92 = 17 ≠ 67 = 159 mod 92

m=93: 109 mod 93 = 16 ≠ 66 = 159 mod 93

m=94: 109 mod 94 = 15 ≠ 65 = 159 mod 94

m=95: 109 mod 95 = 14 ≠ 64 = 159 mod 95

m=96: 109 mod 96 = 13 ≠ 63 = 159 mod 96

m=97: 109 mod 97 = 12 ≠ 62 = 159 mod 97

m=98: 109 mod 98 = 11 ≠ 61 = 159 mod 98

m=99: 109 mod 99 = 10 ≠ 60 = 159 mod 99

m=100: 109 mod 100 = 9 ≠ 59 = 159 mod 100

m=101: 109 mod 101 = 8 ≠ 58 = 159 mod 101

m=102: 109 mod 102 = 7 ≠ 57 = 159 mod 102

m=103: 109 mod 103 = 6 ≠ 56 = 159 mod 103

m=104: 109 mod 104 = 5 ≠ 55 = 159 mod 104

m=105: 109 mod 105 = 4 ≠ 54 = 159 mod 105

m=106: 109 mod 106 = 3 ≠ 53 = 159 mod 106

m=107: 109 mod 107 = 2 ≠ 52 = 159 mod 107

m=108: 109 mod 108 = 1 ≠ 51 = 159 mod 108

m=109: 109 mod 109 = 0 ≠ 50 = 159 mod 109

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (159 - 109) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50