Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 83 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.
Somit gilt: 83 mod 10 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 97 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.
Somit gilt: 97 mod 8 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 16 = 2 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 16 und erhalten so 17.
Somit gilt: 17 ≡ 97 ≡ 1 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 + 3195) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 + 3195) mod 8 ≡ (87 mod 8 + 3195 mod 8) mod 8.
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 80
3195 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3195
= 3200
Somit gilt:
(87 + 3195) mod 8 ≡ (7 + 3) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 79) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 79) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 79) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6