Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.

Somit gilt: 77 mod 11 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 70 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 38 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6005 + 1196) mod 6 ≡ (6005 mod 6 + 1196 mod 6) mod 6.

6005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6005 = 6000+5 = 6 ⋅ 1000 +5.

1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1200-4 = 6 ⋅ 200 -4 = 6 ⋅ 200 - 6 + 2.

Somit gilt:

(6005 + 1196) mod 6 ≡ (5 + 2) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 39) mod 5 ≡ (42 mod 5 ⋅ 39 mod 5) mod 5.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 39) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 40 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 = 4 = 40 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 10 = 40 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 9 = 40 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 31) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9