Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 36 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.
Somit gilt: 36 mod 9 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 96 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 90 = 6.
Somit gilt: 96 mod 9 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 27 und erhalten so 33.
Somit gilt: 33 ≡ 96 ≡ 6 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45003 - 1797) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45003 - 1797) mod 9 ≡ (45003 mod 9 - 1797 mod 9) mod 9.
45003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45003
= 45000
1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
Somit gilt:
(45003 - 1797) mod 9 ≡ (3 - 6) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 23) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 23) mod 9 ≡ (67 mod 9 ⋅ 23 mod 9) mod 9.
67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.
23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 23) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 43 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 43 mod m gilt:
m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2
m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 43 mod 3
m=4: 31 mod 4 = 3 = 3 = 43 mod 4
m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 3 = 43 mod 5
m=6: 31 mod 6 = 1 = 1 = 43 mod 6
m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 1 = 43 mod 7
m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 3 = 43 mod 8
m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 7 = 43 mod 9
m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 3 = 43 mod 10
m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 10 = 43 mod 11
m=12: 31 mod 12 = 7 = 7 = 43 mod 12
m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 4 = 43 mod 13
m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 1 = 43 mod 14
m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 13 = 43 mod 15
m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 11 = 43 mod 16
m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 9 = 43 mod 17
m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 7 = 43 mod 18
m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 5 = 43 mod 19
m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 3 = 43 mod 20
m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 1 = 43 mod 21
m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 21 = 43 mod 22
m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 20 = 43 mod 23
m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 19 = 43 mod 24
m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 18 = 43 mod 25
m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 17 = 43 mod 26
m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 16 = 43 mod 27
m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 15 = 43 mod 28
m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 14 = 43 mod 29
m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 13 = 43 mod 30
m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 12 = 43 mod 31
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 31) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
