Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 80 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.
Somit gilt: 80 mod 6 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 31 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.
Somit gilt: 31 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 40 und erhalten so 41.
Somit gilt: 41 ≡ 31 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30006 + 66) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30006 + 66) mod 6 ≡ (30006 mod 6 + 66 mod 6) mod 6.
30006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30006
= 30000
66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66
= 60
Somit gilt:
(30006 + 66) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 86) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 86) mod 7 ≡ (92 mod 7 ⋅ 86 mod 7) mod 7.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 86) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4