Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 33 = 1.

Somit gilt: 34 mod 11 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 63 = 1.

Somit gilt: 64 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 27 und erhalten so 28.

Somit gilt: 28 ≡ 64 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 - 1604) mod 8 ≡ (85 mod 8 - 1604 mod 8) mod 8.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80+5 = 8 ⋅ 10 +5.

1604 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 8 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(85 - 1604) mod 8 ≡ (5 - 4) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 85) mod 10 ≡ (65 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 85) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 46 aus, ob zufällig 46 mod m = 66 mod m gilt:

m=2: 46 mod 2 = 0 = 0 = 66 mod 2

m=3: 46 mod 3 = 1 ≠ 0 = 66 mod 3

m=4: 46 mod 4 = 2 = 2 = 66 mod 4

m=5: 46 mod 5 = 1 = 1 = 66 mod 5

m=6: 46 mod 6 = 4 ≠ 0 = 66 mod 6

m=7: 46 mod 7 = 4 ≠ 3 = 66 mod 7

m=8: 46 mod 8 = 6 ≠ 2 = 66 mod 8

m=9: 46 mod 9 = 1 ≠ 3 = 66 mod 9

m=10: 46 mod 10 = 6 = 6 = 66 mod 10

m=11: 46 mod 11 = 2 ≠ 0 = 66 mod 11

m=12: 46 mod 12 = 10 ≠ 6 = 66 mod 12

m=13: 46 mod 13 = 7 ≠ 1 = 66 mod 13

m=14: 46 mod 14 = 4 ≠ 10 = 66 mod 14

m=15: 46 mod 15 = 1 ≠ 6 = 66 mod 15

m=16: 46 mod 16 = 14 ≠ 2 = 66 mod 16

m=17: 46 mod 17 = 12 ≠ 15 = 66 mod 17

m=18: 46 mod 18 = 10 ≠ 12 = 66 mod 18

m=19: 46 mod 19 = 8 ≠ 9 = 66 mod 19

m=20: 46 mod 20 = 6 = 6 = 66 mod 20

m=21: 46 mod 21 = 4 ≠ 3 = 66 mod 21

m=22: 46 mod 22 = 2 ≠ 0 = 66 mod 22

m=23: 46 mod 23 = 0 ≠ 20 = 66 mod 23

m=24: 46 mod 24 = 22 ≠ 18 = 66 mod 24

m=25: 46 mod 25 = 21 ≠ 16 = 66 mod 25

m=26: 46 mod 26 = 20 ≠ 14 = 66 mod 26

m=27: 46 mod 27 = 19 ≠ 12 = 66 mod 27

m=28: 46 mod 28 = 18 ≠ 10 = 66 mod 28

m=29: 46 mod 29 = 17 ≠ 8 = 66 mod 29

m=30: 46 mod 30 = 16 ≠ 6 = 66 mod 30

m=31: 46 mod 31 = 15 ≠ 4 = 66 mod 31

m=32: 46 mod 32 = 14 ≠ 2 = 66 mod 32

m=33: 46 mod 33 = 13 ≠ 0 = 66 mod 33

m=34: 46 mod 34 = 12 ≠ 32 = 66 mod 34

m=35: 46 mod 35 = 11 ≠ 31 = 66 mod 35

m=36: 46 mod 36 = 10 ≠ 30 = 66 mod 36

m=37: 46 mod 37 = 9 ≠ 29 = 66 mod 37

m=38: 46 mod 38 = 8 ≠ 28 = 66 mod 38

m=39: 46 mod 39 = 7 ≠ 27 = 66 mod 39

m=40: 46 mod 40 = 6 ≠ 26 = 66 mod 40

m=41: 46 mod 41 = 5 ≠ 25 = 66 mod 41

m=42: 46 mod 42 = 4 ≠ 24 = 66 mod 42

m=43: 46 mod 43 = 3 ≠ 23 = 66 mod 43

m=44: 46 mod 44 = 2 ≠ 22 = 66 mod 44

m=45: 46 mod 45 = 1 ≠ 21 = 66 mod 45

m=46: 46 mod 46 = 0 ≠ 20 = 66 mod 46

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (66 - 46) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20