Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 28, weil ja 7 ⋅ 4 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 28 = 3.

Somit gilt: 31 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 16 = 6.

Somit gilt: 22 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 8 und erhalten so 14.

Somit gilt: 14 ≡ 22 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(278 + 215) mod 7 ≡ (278 mod 7 + 215 mod 7) mod 7.

278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278 = 280-2 = 7 ⋅ 40 -2 = 7 ⋅ 40 - 7 + 5.

215 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 215 = 210+5 = 7 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(278 + 215) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 84) mod 4 ≡ (89 mod 4 ⋅ 84 mod 4) mod 4.

89 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 22 ⋅ 4 + 1 ist.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 84) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 48 aus, ob zufällig 48 mod m = 63 mod m gilt:

m=2: 48 mod 2 = 0 ≠ 1 = 63 mod 2

m=3: 48 mod 3 = 0 = 0 = 63 mod 3

m=4: 48 mod 4 = 0 ≠ 3 = 63 mod 4

m=5: 48 mod 5 = 3 = 3 = 63 mod 5

m=6: 48 mod 6 = 0 ≠ 3 = 63 mod 6

m=7: 48 mod 7 = 6 ≠ 0 = 63 mod 7

m=8: 48 mod 8 = 0 ≠ 7 = 63 mod 8

m=9: 48 mod 9 = 3 ≠ 0 = 63 mod 9

m=10: 48 mod 10 = 8 ≠ 3 = 63 mod 10

m=11: 48 mod 11 = 4 ≠ 8 = 63 mod 11

m=12: 48 mod 12 = 0 ≠ 3 = 63 mod 12

m=13: 48 mod 13 = 9 ≠ 11 = 63 mod 13

m=14: 48 mod 14 = 6 ≠ 7 = 63 mod 14

m=15: 48 mod 15 = 3 = 3 = 63 mod 15

m=16: 48 mod 16 = 0 ≠ 15 = 63 mod 16

m=17: 48 mod 17 = 14 ≠ 12 = 63 mod 17

m=18: 48 mod 18 = 12 ≠ 9 = 63 mod 18

m=19: 48 mod 19 = 10 ≠ 6 = 63 mod 19

m=20: 48 mod 20 = 8 ≠ 3 = 63 mod 20

m=21: 48 mod 21 = 6 ≠ 0 = 63 mod 21

m=22: 48 mod 22 = 4 ≠ 19 = 63 mod 22

m=23: 48 mod 23 = 2 ≠ 17 = 63 mod 23

m=24: 48 mod 24 = 0 ≠ 15 = 63 mod 24

m=25: 48 mod 25 = 23 ≠ 13 = 63 mod 25

m=26: 48 mod 26 = 22 ≠ 11 = 63 mod 26

m=27: 48 mod 27 = 21 ≠ 9 = 63 mod 27

m=28: 48 mod 28 = 20 ≠ 7 = 63 mod 28

m=29: 48 mod 29 = 19 ≠ 5 = 63 mod 29

m=30: 48 mod 30 = 18 ≠ 3 = 63 mod 30

m=31: 48 mod 31 = 17 ≠ 1 = 63 mod 31

m=32: 48 mod 32 = 16 ≠ 31 = 63 mod 32

m=33: 48 mod 33 = 15 ≠ 30 = 63 mod 33

m=34: 48 mod 34 = 14 ≠ 29 = 63 mod 34

m=35: 48 mod 35 = 13 ≠ 28 = 63 mod 35

m=36: 48 mod 36 = 12 ≠ 27 = 63 mod 36

m=37: 48 mod 37 = 11 ≠ 26 = 63 mod 37

m=38: 48 mod 38 = 10 ≠ 25 = 63 mod 38

m=39: 48 mod 39 = 9 ≠ 24 = 63 mod 39

m=40: 48 mod 40 = 8 ≠ 23 = 63 mod 40

m=41: 48 mod 41 = 7 ≠ 22 = 63 mod 41

m=42: 48 mod 42 = 6 ≠ 21 = 63 mod 42

m=43: 48 mod 43 = 5 ≠ 20 = 63 mod 43

m=44: 48 mod 44 = 4 ≠ 19 = 63 mod 44

m=45: 48 mod 45 = 3 ≠ 18 = 63 mod 45

m=46: 48 mod 46 = 2 ≠ 17 = 63 mod 46

m=47: 48 mod 47 = 1 ≠ 16 = 63 mod 47

m=48: 48 mod 48 = 0 ≠ 15 = 63 mod 48

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (63 - 48) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15