Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 36 = 5.

Somit gilt: 41 mod 9 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 27 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 41 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 - 114) mod 6 ≡ (300 mod 6 - 114 mod 6) mod 6.

300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 6 ⋅ 50 +0.

114 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 114 = 120-6 = 6 ⋅ 20 -6 = 6 ⋅ 20 - 6 + 0.

Somit gilt:

(300 - 114) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 70) mod 7 ≡ (88 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 70) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 45 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 = 1 = 45 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 0 = 45 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 = 3 = 45 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 5 = 45 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 = 9 = 45 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 0 = 45 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 15 = 45 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 14 = 45 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 13 = 45 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 12 = 45 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 33) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12