Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 27 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 27 - 25 = 2.
Somit gilt: 27 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 60 für die gilt n ≡ 65 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.
Somit gilt: 65 mod 10 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 50 und erhalten so 55.
Somit gilt: 55 ≡ 65 ≡ 5 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1800 - 270) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1800 - 270) mod 9 ≡ (1800 mod 9 - 270 mod 9) mod 9.
1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270
= 270
Somit gilt:
(1800 - 270) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 70) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 70) mod 10 ≡ (57 mod 10 ⋅ 70 mod 10) mod 10.
57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.
70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 70) mod 10 ≡ (7 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4