Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 90 = 7.
Somit gilt: 97 mod 9 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 101 für die gilt n ≡ 61 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 61 - 55 = 6.
Somit gilt: 61 mod 11 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 6 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 6 mod 11 sein, also addieren wir noch 6 auf die 88 und erhalten so 94.
Somit gilt: 94 ≡ 61 ≡ 6 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1000 - 1500) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1000 - 1500) mod 5 ≡ (1000 mod 5 - 1500 mod 5) mod 5.
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(1000 - 1500) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 58) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 58) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 58 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 58) mod 8 ≡ (5 ⋅ 2) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6