Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 22 = 10.
Somit gilt: 32 mod 11 ≡ 10.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 81 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 81 - 81 = 0.
Somit gilt: 81 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9
Somit gilt: 90 ≡ 81 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 - 14998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 - 14998) mod 3 ≡ (1200 mod 3 - 14998 mod 3) mod 3.
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 15000
Somit gilt:
(1200 - 14998) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 87) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 87) mod 3 ≡ (16 mod 3 ⋅ 87 mod 3) mod 3.
16 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 5 ⋅ 3 + 1 ist.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 87) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
27 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2
m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 1 = 37 mod 3
m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 1 = 37 mod 4
m=5: 27 mod 5 = 2 = 2 = 37 mod 5
m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 1 = 37 mod 6
m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 1 = 37 mod 9
m=10: 27 mod 10 = 7 = 7 = 37 mod 10
m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 1 = 37 mod 12
m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 12 = 37 mod 25
m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 11 = 37 mod 26
m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 10 = 37 mod 27
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 27) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
