Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 80, weil ja 20 ⋅ 4 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.

Somit gilt: 83 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 64 = 7.

Somit gilt: 71 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 20, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 16 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 71 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1599 + 15994) mod 8 ≡ (1599 mod 8 + 15994 mod 8) mod 8.

1599 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599 = 1600-1 = 8 ⋅ 200 -1 = 8 ⋅ 200 - 8 + 7.

15994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15994 = 15000+994 = 8 ⋅ 1875 +994.

Somit gilt:

(1599 + 15994) mod 8 ≡ (7 + 2) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 91) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 91 mod 11) mod 11.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 91) mod 11 ≡ (5 ⋅ 3) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4