Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 84 = 4.

Somit gilt: 88 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 48 = 2.

Somit gilt: 50 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 40 und erhalten so 42.

Somit gilt: 42 ≡ 50 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3502 - 2793) mod 7 ≡ (3502 mod 7 - 2793 mod 7) mod 7.

3502 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3502 = 3500+2 = 7 ⋅ 500 +2.

2793 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2793 = 2800-7 = 7 ⋅ 400 -7 = 7 ⋅ 400 - 7 + 0.

Somit gilt:

(3502 - 2793) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 79) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 79) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 64 aus, ob zufällig 64 mod m = 84 mod m gilt:

m=2: 64 mod 2 = 0 = 0 = 84 mod 2

m=3: 64 mod 3 = 1 ≠ 0 = 84 mod 3

m=4: 64 mod 4 = 0 = 0 = 84 mod 4

m=5: 64 mod 5 = 4 = 4 = 84 mod 5

m=6: 64 mod 6 = 4 ≠ 0 = 84 mod 6

m=7: 64 mod 7 = 1 ≠ 0 = 84 mod 7

m=8: 64 mod 8 = 0 ≠ 4 = 84 mod 8

m=9: 64 mod 9 = 1 ≠ 3 = 84 mod 9

m=10: 64 mod 10 = 4 = 4 = 84 mod 10

m=11: 64 mod 11 = 9 ≠ 7 = 84 mod 11

m=12: 64 mod 12 = 4 ≠ 0 = 84 mod 12

m=13: 64 mod 13 = 12 ≠ 6 = 84 mod 13

m=14: 64 mod 14 = 8 ≠ 0 = 84 mod 14

m=15: 64 mod 15 = 4 ≠ 9 = 84 mod 15

m=16: 64 mod 16 = 0 ≠ 4 = 84 mod 16

m=17: 64 mod 17 = 13 ≠ 16 = 84 mod 17

m=18: 64 mod 18 = 10 ≠ 12 = 84 mod 18

m=19: 64 mod 19 = 7 ≠ 8 = 84 mod 19

m=20: 64 mod 20 = 4 = 4 = 84 mod 20

m=21: 64 mod 21 = 1 ≠ 0 = 84 mod 21

m=22: 64 mod 22 = 20 ≠ 18 = 84 mod 22

m=23: 64 mod 23 = 18 ≠ 15 = 84 mod 23

m=24: 64 mod 24 = 16 ≠ 12 = 84 mod 24

m=25: 64 mod 25 = 14 ≠ 9 = 84 mod 25

m=26: 64 mod 26 = 12 ≠ 6 = 84 mod 26

m=27: 64 mod 27 = 10 ≠ 3 = 84 mod 27

m=28: 64 mod 28 = 8 ≠ 0 = 84 mod 28

m=29: 64 mod 29 = 6 ≠ 26 = 84 mod 29

m=30: 64 mod 30 = 4 ≠ 24 = 84 mod 30

m=31: 64 mod 31 = 2 ≠ 22 = 84 mod 31

m=32: 64 mod 32 = 0 ≠ 20 = 84 mod 32

m=33: 64 mod 33 = 31 ≠ 18 = 84 mod 33

m=34: 64 mod 34 = 30 ≠ 16 = 84 mod 34

m=35: 64 mod 35 = 29 ≠ 14 = 84 mod 35

m=36: 64 mod 36 = 28 ≠ 12 = 84 mod 36

m=37: 64 mod 37 = 27 ≠ 10 = 84 mod 37

m=38: 64 mod 38 = 26 ≠ 8 = 84 mod 38

m=39: 64 mod 39 = 25 ≠ 6 = 84 mod 39

m=40: 64 mod 40 = 24 ≠ 4 = 84 mod 40

m=41: 64 mod 41 = 23 ≠ 2 = 84 mod 41

m=42: 64 mod 42 = 22 ≠ 0 = 84 mod 42

m=43: 64 mod 43 = 21 ≠ 41 = 84 mod 43

m=44: 64 mod 44 = 20 ≠ 40 = 84 mod 44

m=45: 64 mod 45 = 19 ≠ 39 = 84 mod 45

m=46: 64 mod 46 = 18 ≠ 38 = 84 mod 46

m=47: 64 mod 47 = 17 ≠ 37 = 84 mod 47

m=48: 64 mod 48 = 16 ≠ 36 = 84 mod 48

m=49: 64 mod 49 = 15 ≠ 35 = 84 mod 49

m=50: 64 mod 50 = 14 ≠ 34 = 84 mod 50

m=51: 64 mod 51 = 13 ≠ 33 = 84 mod 51

m=52: 64 mod 52 = 12 ≠ 32 = 84 mod 52

m=53: 64 mod 53 = 11 ≠ 31 = 84 mod 53

m=54: 64 mod 54 = 10 ≠ 30 = 84 mod 54

m=55: 64 mod 55 = 9 ≠ 29 = 84 mod 55

m=56: 64 mod 56 = 8 ≠ 28 = 84 mod 56

m=57: 64 mod 57 = 7 ≠ 27 = 84 mod 57

m=58: 64 mod 58 = 6 ≠ 26 = 84 mod 58

m=59: 64 mod 59 = 5 ≠ 25 = 84 mod 59

m=60: 64 mod 60 = 4 ≠ 24 = 84 mod 60

m=61: 64 mod 61 = 3 ≠ 23 = 84 mod 61

m=62: 64 mod 62 = 2 ≠ 22 = 84 mod 62

m=63: 64 mod 63 = 1 ≠ 21 = 84 mod 63

m=64: 64 mod 64 = 0 ≠ 20 = 84 mod 64

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (84 - 64) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20