Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 80 = 6.

Somit gilt: 86 mod 10 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.

Somit gilt: 44 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 10 und erhalten so 14.

Somit gilt: 14 ≡ 44 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11994 + 2399) mod 6 ≡ (11994 mod 6 + 2399 mod 6) mod 6.

11994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11994 = 12000-6 = 6 ⋅ 2000 -6 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 0.

2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399 = 2400-1 = 6 ⋅ 400 -1 = 6 ⋅ 400 - 6 + 5.

Somit gilt:

(11994 + 2399) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 91) mod 3 ≡ (58 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 91) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 48 mod 2

m=3: 38 mod 3 = 2 ≠ 0 = 48 mod 3

m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 0 = 48 mod 4

m=5: 38 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5

m=6: 38 mod 6 = 2 ≠ 0 = 48 mod 6

m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 38 mod 9 = 2 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 38 mod 10 = 8 = 8 = 48 mod 10

m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 0 = 48 mod 12

m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 3 = 48 mod 15

m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 38 mod 18 = 2 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 15 = 48 mod 33

m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 14 = 48 mod 34

m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 13 = 48 mod 35

m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 12 = 48 mod 36

m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 11 = 48 mod 37

m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 10 = 48 mod 38

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 38) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10