Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 6 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 84, weil ja 28 ⋅ 3 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.

Somit gilt: 86 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 86 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(352 + 90) mod 9 ≡ (352 mod 9 + 90 mod 9) mod 9.

352 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352 = 360-8 = 9 ⋅ 40 -8 = 9 ⋅ 40 - 9 + 1.

90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 9 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(352 + 90) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 52) mod 8 ≡ (67 mod 8 ⋅ 52 mod 8) mod 8.

67 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 8 ⋅ 8 + 3 ist.

52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 52) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 156 aus, ob zufällig 156 mod m = 201 mod m gilt:

m=2: 156 mod 2 = 0 ≠ 1 = 201 mod 2

m=3: 156 mod 3 = 0 = 0 = 201 mod 3

m=4: 156 mod 4 = 0 ≠ 1 = 201 mod 4

m=5: 156 mod 5 = 1 = 1 = 201 mod 5

m=6: 156 mod 6 = 0 ≠ 3 = 201 mod 6

m=7: 156 mod 7 = 2 ≠ 5 = 201 mod 7

m=8: 156 mod 8 = 4 ≠ 1 = 201 mod 8

m=9: 156 mod 9 = 3 = 3 = 201 mod 9

m=10: 156 mod 10 = 6 ≠ 1 = 201 mod 10

m=11: 156 mod 11 = 2 ≠ 3 = 201 mod 11

m=12: 156 mod 12 = 0 ≠ 9 = 201 mod 12

m=13: 156 mod 13 = 0 ≠ 6 = 201 mod 13

m=14: 156 mod 14 = 2 ≠ 5 = 201 mod 14

m=15: 156 mod 15 = 6 = 6 = 201 mod 15

m=16: 156 mod 16 = 12 ≠ 9 = 201 mod 16

m=17: 156 mod 17 = 3 ≠ 14 = 201 mod 17

m=18: 156 mod 18 = 12 ≠ 3 = 201 mod 18

m=19: 156 mod 19 = 4 ≠ 11 = 201 mod 19

m=20: 156 mod 20 = 16 ≠ 1 = 201 mod 20

m=21: 156 mod 21 = 9 ≠ 12 = 201 mod 21

m=22: 156 mod 22 = 2 ≠ 3 = 201 mod 22

m=23: 156 mod 23 = 18 ≠ 17 = 201 mod 23

m=24: 156 mod 24 = 12 ≠ 9 = 201 mod 24

m=25: 156 mod 25 = 6 ≠ 1 = 201 mod 25

m=26: 156 mod 26 = 0 ≠ 19 = 201 mod 26

m=27: 156 mod 27 = 21 ≠ 12 = 201 mod 27

m=28: 156 mod 28 = 16 ≠ 5 = 201 mod 28

m=29: 156 mod 29 = 11 ≠ 27 = 201 mod 29

m=30: 156 mod 30 = 6 ≠ 21 = 201 mod 30

m=31: 156 mod 31 = 1 ≠ 15 = 201 mod 31

m=32: 156 mod 32 = 28 ≠ 9 = 201 mod 32

m=33: 156 mod 33 = 24 ≠ 3 = 201 mod 33

m=34: 156 mod 34 = 20 ≠ 31 = 201 mod 34

m=35: 156 mod 35 = 16 ≠ 26 = 201 mod 35

m=36: 156 mod 36 = 12 ≠ 21 = 201 mod 36

m=37: 156 mod 37 = 8 ≠ 16 = 201 mod 37

m=38: 156 mod 38 = 4 ≠ 11 = 201 mod 38

m=39: 156 mod 39 = 0 ≠ 6 = 201 mod 39

m=40: 156 mod 40 = 36 ≠ 1 = 201 mod 40

m=41: 156 mod 41 = 33 ≠ 37 = 201 mod 41

m=42: 156 mod 42 = 30 ≠ 33 = 201 mod 42

m=43: 156 mod 43 = 27 ≠ 29 = 201 mod 43

m=44: 156 mod 44 = 24 ≠ 25 = 201 mod 44

m=45: 156 mod 45 = 21 = 21 = 201 mod 45

m=46: 156 mod 46 = 18 ≠ 17 = 201 mod 46

m=47: 156 mod 47 = 15 ≠ 13 = 201 mod 47

m=48: 156 mod 48 = 12 ≠ 9 = 201 mod 48

m=49: 156 mod 49 = 9 ≠ 5 = 201 mod 49

m=50: 156 mod 50 = 6 ≠ 1 = 201 mod 50

m=51: 156 mod 51 = 3 ≠ 48 = 201 mod 51

m=52: 156 mod 52 = 0 ≠ 45 = 201 mod 52

m=53: 156 mod 53 = 50 ≠ 42 = 201 mod 53

m=54: 156 mod 54 = 48 ≠ 39 = 201 mod 54

m=55: 156 mod 55 = 46 ≠ 36 = 201 mod 55

m=56: 156 mod 56 = 44 ≠ 33 = 201 mod 56

m=57: 156 mod 57 = 42 ≠ 30 = 201 mod 57

m=58: 156 mod 58 = 40 ≠ 27 = 201 mod 58

m=59: 156 mod 59 = 38 ≠ 24 = 201 mod 59

m=60: 156 mod 60 = 36 ≠ 21 = 201 mod 60

m=61: 156 mod 61 = 34 ≠ 18 = 201 mod 61

m=62: 156 mod 62 = 32 ≠ 15 = 201 mod 62

m=63: 156 mod 63 = 30 ≠ 12 = 201 mod 63

m=64: 156 mod 64 = 28 ≠ 9 = 201 mod 64

m=65: 156 mod 65 = 26 ≠ 6 = 201 mod 65

m=66: 156 mod 66 = 24 ≠ 3 = 201 mod 66

m=67: 156 mod 67 = 22 ≠ 0 = 201 mod 67

m=68: 156 mod 68 = 20 ≠ 65 = 201 mod 68

m=69: 156 mod 69 = 18 ≠ 63 = 201 mod 69

m=70: 156 mod 70 = 16 ≠ 61 = 201 mod 70

m=71: 156 mod 71 = 14 ≠ 59 = 201 mod 71

m=72: 156 mod 72 = 12 ≠ 57 = 201 mod 72

m=73: 156 mod 73 = 10 ≠ 55 = 201 mod 73

m=74: 156 mod 74 = 8 ≠ 53 = 201 mod 74

m=75: 156 mod 75 = 6 ≠ 51 = 201 mod 75

m=76: 156 mod 76 = 4 ≠ 49 = 201 mod 76

m=77: 156 mod 77 = 2 ≠ 47 = 201 mod 77

m=78: 156 mod 78 = 0 ≠ 45 = 201 mod 78

m=79: 156 mod 79 = 77 ≠ 43 = 201 mod 79

m=80: 156 mod 80 = 76 ≠ 41 = 201 mod 80

m=81: 156 mod 81 = 75 ≠ 39 = 201 mod 81

m=82: 156 mod 82 = 74 ≠ 37 = 201 mod 82

m=83: 156 mod 83 = 73 ≠ 35 = 201 mod 83

m=84: 156 mod 84 = 72 ≠ 33 = 201 mod 84

m=85: 156 mod 85 = 71 ≠ 31 = 201 mod 85

m=86: 156 mod 86 = 70 ≠ 29 = 201 mod 86

m=87: 156 mod 87 = 69 ≠ 27 = 201 mod 87

m=88: 156 mod 88 = 68 ≠ 25 = 201 mod 88

m=89: 156 mod 89 = 67 ≠ 23 = 201 mod 89

m=90: 156 mod 90 = 66 ≠ 21 = 201 mod 90

m=91: 156 mod 91 = 65 ≠ 19 = 201 mod 91

m=92: 156 mod 92 = 64 ≠ 17 = 201 mod 92

m=93: 156 mod 93 = 63 ≠ 15 = 201 mod 93

m=94: 156 mod 94 = 62 ≠ 13 = 201 mod 94

m=95: 156 mod 95 = 61 ≠ 11 = 201 mod 95

m=96: 156 mod 96 = 60 ≠ 9 = 201 mod 96

m=97: 156 mod 97 = 59 ≠ 7 = 201 mod 97

m=98: 156 mod 98 = 58 ≠ 5 = 201 mod 98

m=99: 156 mod 99 = 57 ≠ 3 = 201 mod 99

m=100: 156 mod 100 = 56 ≠ 1 = 201 mod 100

m=101: 156 mod 101 = 55 ≠ 100 = 201 mod 101

m=102: 156 mod 102 = 54 ≠ 99 = 201 mod 102

m=103: 156 mod 103 = 53 ≠ 98 = 201 mod 103

m=104: 156 mod 104 = 52 ≠ 97 = 201 mod 104

m=105: 156 mod 105 = 51 ≠ 96 = 201 mod 105

m=106: 156 mod 106 = 50 ≠ 95 = 201 mod 106

m=107: 156 mod 107 = 49 ≠ 94 = 201 mod 107

m=108: 156 mod 108 = 48 ≠ 93 = 201 mod 108

m=109: 156 mod 109 = 47 ≠ 92 = 201 mod 109

m=110: 156 mod 110 = 46 ≠ 91 = 201 mod 110

m=111: 156 mod 111 = 45 ≠ 90 = 201 mod 111

m=112: 156 mod 112 = 44 ≠ 89 = 201 mod 112

m=113: 156 mod 113 = 43 ≠ 88 = 201 mod 113

m=114: 156 mod 114 = 42 ≠ 87 = 201 mod 114

m=115: 156 mod 115 = 41 ≠ 86 = 201 mod 115

m=116: 156 mod 116 = 40 ≠ 85 = 201 mod 116

m=117: 156 mod 117 = 39 ≠ 84 = 201 mod 117

m=118: 156 mod 118 = 38 ≠ 83 = 201 mod 118

m=119: 156 mod 119 = 37 ≠ 82 = 201 mod 119

m=120: 156 mod 120 = 36 ≠ 81 = 201 mod 120

m=121: 156 mod 121 = 35 ≠ 80 = 201 mod 121

m=122: 156 mod 122 = 34 ≠ 79 = 201 mod 122

m=123: 156 mod 123 = 33 ≠ 78 = 201 mod 123

m=124: 156 mod 124 = 32 ≠ 77 = 201 mod 124

m=125: 156 mod 125 = 31 ≠ 76 = 201 mod 125

m=126: 156 mod 126 = 30 ≠ 75 = 201 mod 126

m=127: 156 mod 127 = 29 ≠ 74 = 201 mod 127

m=128: 156 mod 128 = 28 ≠ 73 = 201 mod 128

m=129: 156 mod 129 = 27 ≠ 72 = 201 mod 129

m=130: 156 mod 130 = 26 ≠ 71 = 201 mod 130

m=131: 156 mod 131 = 25 ≠ 70 = 201 mod 131

m=132: 156 mod 132 = 24 ≠ 69 = 201 mod 132

m=133: 156 mod 133 = 23 ≠ 68 = 201 mod 133

m=134: 156 mod 134 = 22 ≠ 67 = 201 mod 134

m=135: 156 mod 135 = 21 ≠ 66 = 201 mod 135

m=136: 156 mod 136 = 20 ≠ 65 = 201 mod 136

m=137: 156 mod 137 = 19 ≠ 64 = 201 mod 137

m=138: 156 mod 138 = 18 ≠ 63 = 201 mod 138

m=139: 156 mod 139 = 17 ≠ 62 = 201 mod 139

m=140: 156 mod 140 = 16 ≠ 61 = 201 mod 140

m=141: 156 mod 141 = 15 ≠ 60 = 201 mod 141

m=142: 156 mod 142 = 14 ≠ 59 = 201 mod 142

m=143: 156 mod 143 = 13 ≠ 58 = 201 mod 143

m=144: 156 mod 144 = 12 ≠ 57 = 201 mod 144

m=145: 156 mod 145 = 11 ≠ 56 = 201 mod 145

m=146: 156 mod 146 = 10 ≠ 55 = 201 mod 146

m=147: 156 mod 147 = 9 ≠ 54 = 201 mod 147

m=148: 156 mod 148 = 8 ≠ 53 = 201 mod 148

m=149: 156 mod 149 = 7 ≠ 52 = 201 mod 149

m=150: 156 mod 150 = 6 ≠ 51 = 201 mod 150

m=151: 156 mod 151 = 5 ≠ 50 = 201 mod 151

m=152: 156 mod 152 = 4 ≠ 49 = 201 mod 152

m=153: 156 mod 153 = 3 ≠ 48 = 201 mod 153

m=154: 156 mod 154 = 2 ≠ 47 = 201 mod 154

m=155: 156 mod 155 = 1 ≠ 46 = 201 mod 155

m=156: 156 mod 156 = 0 ≠ 45 = 201 mod 156

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (201 - 156) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45