Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 54 = 1.

Somit gilt: 55 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 40 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 61 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(600 - 303) mod 6 ≡ (600 mod 6 - 303 mod 6) mod 6.

600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 6 ⋅ 100 +0.

303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 6 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(600 - 303) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 29) mod 9 ≡ (86 mod 9 ⋅ 29 mod 9) mod 9.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 29) mod 9 ≡ (5 ⋅ 2) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 155 aus, ob zufällig 155 mod m = 230 mod m gilt:

m=2: 155 mod 2 = 1 ≠ 0 = 230 mod 2

m=3: 155 mod 3 = 2 = 2 = 230 mod 3

m=4: 155 mod 4 = 3 ≠ 2 = 230 mod 4

m=5: 155 mod 5 = 0 = 0 = 230 mod 5

m=6: 155 mod 6 = 5 ≠ 2 = 230 mod 6

m=7: 155 mod 7 = 1 ≠ 6 = 230 mod 7

m=8: 155 mod 8 = 3 ≠ 6 = 230 mod 8

m=9: 155 mod 9 = 2 ≠ 5 = 230 mod 9

m=10: 155 mod 10 = 5 ≠ 0 = 230 mod 10

m=11: 155 mod 11 = 1 ≠ 10 = 230 mod 11

m=12: 155 mod 12 = 11 ≠ 2 = 230 mod 12

m=13: 155 mod 13 = 12 ≠ 9 = 230 mod 13

m=14: 155 mod 14 = 1 ≠ 6 = 230 mod 14

m=15: 155 mod 15 = 5 = 5 = 230 mod 15

m=16: 155 mod 16 = 11 ≠ 6 = 230 mod 16

m=17: 155 mod 17 = 2 ≠ 9 = 230 mod 17

m=18: 155 mod 18 = 11 ≠ 14 = 230 mod 18

m=19: 155 mod 19 = 3 ≠ 2 = 230 mod 19

m=20: 155 mod 20 = 15 ≠ 10 = 230 mod 20

m=21: 155 mod 21 = 8 ≠ 20 = 230 mod 21

m=22: 155 mod 22 = 1 ≠ 10 = 230 mod 22

m=23: 155 mod 23 = 17 ≠ 0 = 230 mod 23

m=24: 155 mod 24 = 11 ≠ 14 = 230 mod 24

m=25: 155 mod 25 = 5 = 5 = 230 mod 25

m=26: 155 mod 26 = 25 ≠ 22 = 230 mod 26

m=27: 155 mod 27 = 20 ≠ 14 = 230 mod 27

m=28: 155 mod 28 = 15 ≠ 6 = 230 mod 28

m=29: 155 mod 29 = 10 ≠ 27 = 230 mod 29

m=30: 155 mod 30 = 5 ≠ 20 = 230 mod 30

m=31: 155 mod 31 = 0 ≠ 13 = 230 mod 31

m=32: 155 mod 32 = 27 ≠ 6 = 230 mod 32

m=33: 155 mod 33 = 23 ≠ 32 = 230 mod 33

m=34: 155 mod 34 = 19 ≠ 26 = 230 mod 34

m=35: 155 mod 35 = 15 ≠ 20 = 230 mod 35

m=36: 155 mod 36 = 11 ≠ 14 = 230 mod 36

m=37: 155 mod 37 = 7 ≠ 8 = 230 mod 37

m=38: 155 mod 38 = 3 ≠ 2 = 230 mod 38

m=39: 155 mod 39 = 38 ≠ 35 = 230 mod 39

m=40: 155 mod 40 = 35 ≠ 30 = 230 mod 40

m=41: 155 mod 41 = 32 ≠ 25 = 230 mod 41

m=42: 155 mod 42 = 29 ≠ 20 = 230 mod 42

m=43: 155 mod 43 = 26 ≠ 15 = 230 mod 43

m=44: 155 mod 44 = 23 ≠ 10 = 230 mod 44

m=45: 155 mod 45 = 20 ≠ 5 = 230 mod 45

m=46: 155 mod 46 = 17 ≠ 0 = 230 mod 46

m=47: 155 mod 47 = 14 ≠ 42 = 230 mod 47

m=48: 155 mod 48 = 11 ≠ 38 = 230 mod 48

m=49: 155 mod 49 = 8 ≠ 34 = 230 mod 49

m=50: 155 mod 50 = 5 ≠ 30 = 230 mod 50

m=51: 155 mod 51 = 2 ≠ 26 = 230 mod 51

m=52: 155 mod 52 = 51 ≠ 22 = 230 mod 52

m=53: 155 mod 53 = 49 ≠ 18 = 230 mod 53

m=54: 155 mod 54 = 47 ≠ 14 = 230 mod 54

m=55: 155 mod 55 = 45 ≠ 10 = 230 mod 55

m=56: 155 mod 56 = 43 ≠ 6 = 230 mod 56

m=57: 155 mod 57 = 41 ≠ 2 = 230 mod 57

m=58: 155 mod 58 = 39 ≠ 56 = 230 mod 58

m=59: 155 mod 59 = 37 ≠ 53 = 230 mod 59

m=60: 155 mod 60 = 35 ≠ 50 = 230 mod 60

m=61: 155 mod 61 = 33 ≠ 47 = 230 mod 61

m=62: 155 mod 62 = 31 ≠ 44 = 230 mod 62

m=63: 155 mod 63 = 29 ≠ 41 = 230 mod 63

m=64: 155 mod 64 = 27 ≠ 38 = 230 mod 64

m=65: 155 mod 65 = 25 ≠ 35 = 230 mod 65

m=66: 155 mod 66 = 23 ≠ 32 = 230 mod 66

m=67: 155 mod 67 = 21 ≠ 29 = 230 mod 67

m=68: 155 mod 68 = 19 ≠ 26 = 230 mod 68

m=69: 155 mod 69 = 17 ≠ 23 = 230 mod 69

m=70: 155 mod 70 = 15 ≠ 20 = 230 mod 70

m=71: 155 mod 71 = 13 ≠ 17 = 230 mod 71

m=72: 155 mod 72 = 11 ≠ 14 = 230 mod 72

m=73: 155 mod 73 = 9 ≠ 11 = 230 mod 73

m=74: 155 mod 74 = 7 ≠ 8 = 230 mod 74

m=75: 155 mod 75 = 5 = 5 = 230 mod 75

m=76: 155 mod 76 = 3 ≠ 2 = 230 mod 76

m=77: 155 mod 77 = 1 ≠ 76 = 230 mod 77

m=78: 155 mod 78 = 77 ≠ 74 = 230 mod 78

m=79: 155 mod 79 = 76 ≠ 72 = 230 mod 79

m=80: 155 mod 80 = 75 ≠ 70 = 230 mod 80

m=81: 155 mod 81 = 74 ≠ 68 = 230 mod 81

m=82: 155 mod 82 = 73 ≠ 66 = 230 mod 82

m=83: 155 mod 83 = 72 ≠ 64 = 230 mod 83

m=84: 155 mod 84 = 71 ≠ 62 = 230 mod 84

m=85: 155 mod 85 = 70 ≠ 60 = 230 mod 85

m=86: 155 mod 86 = 69 ≠ 58 = 230 mod 86

m=87: 155 mod 87 = 68 ≠ 56 = 230 mod 87

m=88: 155 mod 88 = 67 ≠ 54 = 230 mod 88

m=89: 155 mod 89 = 66 ≠ 52 = 230 mod 89

m=90: 155 mod 90 = 65 ≠ 50 = 230 mod 90

m=91: 155 mod 91 = 64 ≠ 48 = 230 mod 91

m=92: 155 mod 92 = 63 ≠ 46 = 230 mod 92

m=93: 155 mod 93 = 62 ≠ 44 = 230 mod 93

m=94: 155 mod 94 = 61 ≠ 42 = 230 mod 94

m=95: 155 mod 95 = 60 ≠ 40 = 230 mod 95

m=96: 155 mod 96 = 59 ≠ 38 = 230 mod 96

m=97: 155 mod 97 = 58 ≠ 36 = 230 mod 97

m=98: 155 mod 98 = 57 ≠ 34 = 230 mod 98

m=99: 155 mod 99 = 56 ≠ 32 = 230 mod 99

m=100: 155 mod 100 = 55 ≠ 30 = 230 mod 100

m=101: 155 mod 101 = 54 ≠ 28 = 230 mod 101

m=102: 155 mod 102 = 53 ≠ 26 = 230 mod 102

m=103: 155 mod 103 = 52 ≠ 24 = 230 mod 103

m=104: 155 mod 104 = 51 ≠ 22 = 230 mod 104

m=105: 155 mod 105 = 50 ≠ 20 = 230 mod 105

m=106: 155 mod 106 = 49 ≠ 18 = 230 mod 106

m=107: 155 mod 107 = 48 ≠ 16 = 230 mod 107

m=108: 155 mod 108 = 47 ≠ 14 = 230 mod 108

m=109: 155 mod 109 = 46 ≠ 12 = 230 mod 109

m=110: 155 mod 110 = 45 ≠ 10 = 230 mod 110

m=111: 155 mod 111 = 44 ≠ 8 = 230 mod 111

m=112: 155 mod 112 = 43 ≠ 6 = 230 mod 112

m=113: 155 mod 113 = 42 ≠ 4 = 230 mod 113

m=114: 155 mod 114 = 41 ≠ 2 = 230 mod 114

m=115: 155 mod 115 = 40 ≠ 0 = 230 mod 115

m=116: 155 mod 116 = 39 ≠ 114 = 230 mod 116

m=117: 155 mod 117 = 38 ≠ 113 = 230 mod 117

m=118: 155 mod 118 = 37 ≠ 112 = 230 mod 118

m=119: 155 mod 119 = 36 ≠ 111 = 230 mod 119

m=120: 155 mod 120 = 35 ≠ 110 = 230 mod 120

m=121: 155 mod 121 = 34 ≠ 109 = 230 mod 121

m=122: 155 mod 122 = 33 ≠ 108 = 230 mod 122

m=123: 155 mod 123 = 32 ≠ 107 = 230 mod 123

m=124: 155 mod 124 = 31 ≠ 106 = 230 mod 124

m=125: 155 mod 125 = 30 ≠ 105 = 230 mod 125

m=126: 155 mod 126 = 29 ≠ 104 = 230 mod 126

m=127: 155 mod 127 = 28 ≠ 103 = 230 mod 127

m=128: 155 mod 128 = 27 ≠ 102 = 230 mod 128

m=129: 155 mod 129 = 26 ≠ 101 = 230 mod 129

m=130: 155 mod 130 = 25 ≠ 100 = 230 mod 130

m=131: 155 mod 131 = 24 ≠ 99 = 230 mod 131

m=132: 155 mod 132 = 23 ≠ 98 = 230 mod 132

m=133: 155 mod 133 = 22 ≠ 97 = 230 mod 133

m=134: 155 mod 134 = 21 ≠ 96 = 230 mod 134

m=135: 155 mod 135 = 20 ≠ 95 = 230 mod 135

m=136: 155 mod 136 = 19 ≠ 94 = 230 mod 136

m=137: 155 mod 137 = 18 ≠ 93 = 230 mod 137

m=138: 155 mod 138 = 17 ≠ 92 = 230 mod 138

m=139: 155 mod 139 = 16 ≠ 91 = 230 mod 139

m=140: 155 mod 140 = 15 ≠ 90 = 230 mod 140

m=141: 155 mod 141 = 14 ≠ 89 = 230 mod 141

m=142: 155 mod 142 = 13 ≠ 88 = 230 mod 142

m=143: 155 mod 143 = 12 ≠ 87 = 230 mod 143

m=144: 155 mod 144 = 11 ≠ 86 = 230 mod 144

m=145: 155 mod 145 = 10 ≠ 85 = 230 mod 145

m=146: 155 mod 146 = 9 ≠ 84 = 230 mod 146

m=147: 155 mod 147 = 8 ≠ 83 = 230 mod 147

m=148: 155 mod 148 = 7 ≠ 82 = 230 mod 148

m=149: 155 mod 149 = 6 ≠ 81 = 230 mod 149

m=150: 155 mod 150 = 5 ≠ 80 = 230 mod 150

m=151: 155 mod 151 = 4 ≠ 79 = 230 mod 151

m=152: 155 mod 152 = 3 ≠ 78 = 230 mod 152

m=153: 155 mod 153 = 2 ≠ 77 = 230 mod 153

m=154: 155 mod 154 = 1 ≠ 76 = 230 mod 154

m=155: 155 mod 155 = 0 ≠ 75 = 230 mod 155

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (230 - 155) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75