Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 51 = 0.

Somit gilt: 51 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 90 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 61 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18007 + 4496) mod 9 ≡ (18007 mod 9 + 4496 mod 9) mod 9.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496 = 4500-4 = 9 ⋅ 500 -4 = 9 ⋅ 500 - 9 + 5.

Somit gilt:

(18007 + 4496) mod 9 ≡ (7 + 5) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 65) mod 3 ≡ (41 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.

41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.

65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 65) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 191 aus, ob zufällig 191 mod m = 241 mod m gilt:

m=2: 191 mod 2 = 1 = 1 = 241 mod 2

m=3: 191 mod 3 = 2 ≠ 1 = 241 mod 3

m=4: 191 mod 4 = 3 ≠ 1 = 241 mod 4

m=5: 191 mod 5 = 1 = 1 = 241 mod 5

m=6: 191 mod 6 = 5 ≠ 1 = 241 mod 6

m=7: 191 mod 7 = 2 ≠ 3 = 241 mod 7

m=8: 191 mod 8 = 7 ≠ 1 = 241 mod 8

m=9: 191 mod 9 = 2 ≠ 7 = 241 mod 9

m=10: 191 mod 10 = 1 = 1 = 241 mod 10

m=11: 191 mod 11 = 4 ≠ 10 = 241 mod 11

m=12: 191 mod 12 = 11 ≠ 1 = 241 mod 12

m=13: 191 mod 13 = 9 ≠ 7 = 241 mod 13

m=14: 191 mod 14 = 9 ≠ 3 = 241 mod 14

m=15: 191 mod 15 = 11 ≠ 1 = 241 mod 15

m=16: 191 mod 16 = 15 ≠ 1 = 241 mod 16

m=17: 191 mod 17 = 4 ≠ 3 = 241 mod 17

m=18: 191 mod 18 = 11 ≠ 7 = 241 mod 18

m=19: 191 mod 19 = 1 ≠ 13 = 241 mod 19

m=20: 191 mod 20 = 11 ≠ 1 = 241 mod 20

m=21: 191 mod 21 = 2 ≠ 10 = 241 mod 21

m=22: 191 mod 22 = 15 ≠ 21 = 241 mod 22

m=23: 191 mod 23 = 7 ≠ 11 = 241 mod 23

m=24: 191 mod 24 = 23 ≠ 1 = 241 mod 24

m=25: 191 mod 25 = 16 = 16 = 241 mod 25

m=26: 191 mod 26 = 9 ≠ 7 = 241 mod 26

m=27: 191 mod 27 = 2 ≠ 25 = 241 mod 27

m=28: 191 mod 28 = 23 ≠ 17 = 241 mod 28

m=29: 191 mod 29 = 17 ≠ 9 = 241 mod 29

m=30: 191 mod 30 = 11 ≠ 1 = 241 mod 30

m=31: 191 mod 31 = 5 ≠ 24 = 241 mod 31

m=32: 191 mod 32 = 31 ≠ 17 = 241 mod 32

m=33: 191 mod 33 = 26 ≠ 10 = 241 mod 33

m=34: 191 mod 34 = 21 ≠ 3 = 241 mod 34

m=35: 191 mod 35 = 16 ≠ 31 = 241 mod 35

m=36: 191 mod 36 = 11 ≠ 25 = 241 mod 36

m=37: 191 mod 37 = 6 ≠ 19 = 241 mod 37

m=38: 191 mod 38 = 1 ≠ 13 = 241 mod 38

m=39: 191 mod 39 = 35 ≠ 7 = 241 mod 39

m=40: 191 mod 40 = 31 ≠ 1 = 241 mod 40

m=41: 191 mod 41 = 27 ≠ 36 = 241 mod 41

m=42: 191 mod 42 = 23 ≠ 31 = 241 mod 42

m=43: 191 mod 43 = 19 ≠ 26 = 241 mod 43

m=44: 191 mod 44 = 15 ≠ 21 = 241 mod 44

m=45: 191 mod 45 = 11 ≠ 16 = 241 mod 45

m=46: 191 mod 46 = 7 ≠ 11 = 241 mod 46

m=47: 191 mod 47 = 3 ≠ 6 = 241 mod 47

m=48: 191 mod 48 = 47 ≠ 1 = 241 mod 48

m=49: 191 mod 49 = 44 ≠ 45 = 241 mod 49

m=50: 191 mod 50 = 41 = 41 = 241 mod 50

m=51: 191 mod 51 = 38 ≠ 37 = 241 mod 51

m=52: 191 mod 52 = 35 ≠ 33 = 241 mod 52

m=53: 191 mod 53 = 32 ≠ 29 = 241 mod 53

m=54: 191 mod 54 = 29 ≠ 25 = 241 mod 54

m=55: 191 mod 55 = 26 ≠ 21 = 241 mod 55

m=56: 191 mod 56 = 23 ≠ 17 = 241 mod 56

m=57: 191 mod 57 = 20 ≠ 13 = 241 mod 57

m=58: 191 mod 58 = 17 ≠ 9 = 241 mod 58

m=59: 191 mod 59 = 14 ≠ 5 = 241 mod 59

m=60: 191 mod 60 = 11 ≠ 1 = 241 mod 60

m=61: 191 mod 61 = 8 ≠ 58 = 241 mod 61

m=62: 191 mod 62 = 5 ≠ 55 = 241 mod 62

m=63: 191 mod 63 = 2 ≠ 52 = 241 mod 63

m=64: 191 mod 64 = 63 ≠ 49 = 241 mod 64

m=65: 191 mod 65 = 61 ≠ 46 = 241 mod 65

m=66: 191 mod 66 = 59 ≠ 43 = 241 mod 66

m=67: 191 mod 67 = 57 ≠ 40 = 241 mod 67

m=68: 191 mod 68 = 55 ≠ 37 = 241 mod 68

m=69: 191 mod 69 = 53 ≠ 34 = 241 mod 69

m=70: 191 mod 70 = 51 ≠ 31 = 241 mod 70

m=71: 191 mod 71 = 49 ≠ 28 = 241 mod 71

m=72: 191 mod 72 = 47 ≠ 25 = 241 mod 72

m=73: 191 mod 73 = 45 ≠ 22 = 241 mod 73

m=74: 191 mod 74 = 43 ≠ 19 = 241 mod 74

m=75: 191 mod 75 = 41 ≠ 16 = 241 mod 75

m=76: 191 mod 76 = 39 ≠ 13 = 241 mod 76

m=77: 191 mod 77 = 37 ≠ 10 = 241 mod 77

m=78: 191 mod 78 = 35 ≠ 7 = 241 mod 78

m=79: 191 mod 79 = 33 ≠ 4 = 241 mod 79

m=80: 191 mod 80 = 31 ≠ 1 = 241 mod 80

m=81: 191 mod 81 = 29 ≠ 79 = 241 mod 81

m=82: 191 mod 82 = 27 ≠ 77 = 241 mod 82

m=83: 191 mod 83 = 25 ≠ 75 = 241 mod 83

m=84: 191 mod 84 = 23 ≠ 73 = 241 mod 84

m=85: 191 mod 85 = 21 ≠ 71 = 241 mod 85

m=86: 191 mod 86 = 19 ≠ 69 = 241 mod 86

m=87: 191 mod 87 = 17 ≠ 67 = 241 mod 87

m=88: 191 mod 88 = 15 ≠ 65 = 241 mod 88

m=89: 191 mod 89 = 13 ≠ 63 = 241 mod 89

m=90: 191 mod 90 = 11 ≠ 61 = 241 mod 90

m=91: 191 mod 91 = 9 ≠ 59 = 241 mod 91

m=92: 191 mod 92 = 7 ≠ 57 = 241 mod 92

m=93: 191 mod 93 = 5 ≠ 55 = 241 mod 93

m=94: 191 mod 94 = 3 ≠ 53 = 241 mod 94

m=95: 191 mod 95 = 1 ≠ 51 = 241 mod 95

m=96: 191 mod 96 = 95 ≠ 49 = 241 mod 96

m=97: 191 mod 97 = 94 ≠ 47 = 241 mod 97

m=98: 191 mod 98 = 93 ≠ 45 = 241 mod 98

m=99: 191 mod 99 = 92 ≠ 43 = 241 mod 99

m=100: 191 mod 100 = 91 ≠ 41 = 241 mod 100

m=101: 191 mod 101 = 90 ≠ 39 = 241 mod 101

m=102: 191 mod 102 = 89 ≠ 37 = 241 mod 102

m=103: 191 mod 103 = 88 ≠ 35 = 241 mod 103

m=104: 191 mod 104 = 87 ≠ 33 = 241 mod 104

m=105: 191 mod 105 = 86 ≠ 31 = 241 mod 105

m=106: 191 mod 106 = 85 ≠ 29 = 241 mod 106

m=107: 191 mod 107 = 84 ≠ 27 = 241 mod 107

m=108: 191 mod 108 = 83 ≠ 25 = 241 mod 108

m=109: 191 mod 109 = 82 ≠ 23 = 241 mod 109

m=110: 191 mod 110 = 81 ≠ 21 = 241 mod 110

m=111: 191 mod 111 = 80 ≠ 19 = 241 mod 111

m=112: 191 mod 112 = 79 ≠ 17 = 241 mod 112

m=113: 191 mod 113 = 78 ≠ 15 = 241 mod 113

m=114: 191 mod 114 = 77 ≠ 13 = 241 mod 114

m=115: 191 mod 115 = 76 ≠ 11 = 241 mod 115

m=116: 191 mod 116 = 75 ≠ 9 = 241 mod 116

m=117: 191 mod 117 = 74 ≠ 7 = 241 mod 117

m=118: 191 mod 118 = 73 ≠ 5 = 241 mod 118

m=119: 191 mod 119 = 72 ≠ 3 = 241 mod 119

m=120: 191 mod 120 = 71 ≠ 1 = 241 mod 120

m=121: 191 mod 121 = 70 ≠ 120 = 241 mod 121

m=122: 191 mod 122 = 69 ≠ 119 = 241 mod 122

m=123: 191 mod 123 = 68 ≠ 118 = 241 mod 123

m=124: 191 mod 124 = 67 ≠ 117 = 241 mod 124

m=125: 191 mod 125 = 66 ≠ 116 = 241 mod 125

m=126: 191 mod 126 = 65 ≠ 115 = 241 mod 126

m=127: 191 mod 127 = 64 ≠ 114 = 241 mod 127

m=128: 191 mod 128 = 63 ≠ 113 = 241 mod 128

m=129: 191 mod 129 = 62 ≠ 112 = 241 mod 129

m=130: 191 mod 130 = 61 ≠ 111 = 241 mod 130

m=131: 191 mod 131 = 60 ≠ 110 = 241 mod 131

m=132: 191 mod 132 = 59 ≠ 109 = 241 mod 132

m=133: 191 mod 133 = 58 ≠ 108 = 241 mod 133

m=134: 191 mod 134 = 57 ≠ 107 = 241 mod 134

m=135: 191 mod 135 = 56 ≠ 106 = 241 mod 135

m=136: 191 mod 136 = 55 ≠ 105 = 241 mod 136

m=137: 191 mod 137 = 54 ≠ 104 = 241 mod 137

m=138: 191 mod 138 = 53 ≠ 103 = 241 mod 138

m=139: 191 mod 139 = 52 ≠ 102 = 241 mod 139

m=140: 191 mod 140 = 51 ≠ 101 = 241 mod 140

m=141: 191 mod 141 = 50 ≠ 100 = 241 mod 141

m=142: 191 mod 142 = 49 ≠ 99 = 241 mod 142

m=143: 191 mod 143 = 48 ≠ 98 = 241 mod 143

m=144: 191 mod 144 = 47 ≠ 97 = 241 mod 144

m=145: 191 mod 145 = 46 ≠ 96 = 241 mod 145

m=146: 191 mod 146 = 45 ≠ 95 = 241 mod 146

m=147: 191 mod 147 = 44 ≠ 94 = 241 mod 147

m=148: 191 mod 148 = 43 ≠ 93 = 241 mod 148

m=149: 191 mod 149 = 42 ≠ 92 = 241 mod 149

m=150: 191 mod 150 = 41 ≠ 91 = 241 mod 150

m=151: 191 mod 151 = 40 ≠ 90 = 241 mod 151

m=152: 191 mod 152 = 39 ≠ 89 = 241 mod 152

m=153: 191 mod 153 = 38 ≠ 88 = 241 mod 153

m=154: 191 mod 154 = 37 ≠ 87 = 241 mod 154

m=155: 191 mod 155 = 36 ≠ 86 = 241 mod 155

m=156: 191 mod 156 = 35 ≠ 85 = 241 mod 156

m=157: 191 mod 157 = 34 ≠ 84 = 241 mod 157

m=158: 191 mod 158 = 33 ≠ 83 = 241 mod 158

m=159: 191 mod 159 = 32 ≠ 82 = 241 mod 159

m=160: 191 mod 160 = 31 ≠ 81 = 241 mod 160

m=161: 191 mod 161 = 30 ≠ 80 = 241 mod 161

m=162: 191 mod 162 = 29 ≠ 79 = 241 mod 162

m=163: 191 mod 163 = 28 ≠ 78 = 241 mod 163

m=164: 191 mod 164 = 27 ≠ 77 = 241 mod 164

m=165: 191 mod 165 = 26 ≠ 76 = 241 mod 165

m=166: 191 mod 166 = 25 ≠ 75 = 241 mod 166

m=167: 191 mod 167 = 24 ≠ 74 = 241 mod 167

m=168: 191 mod 168 = 23 ≠ 73 = 241 mod 168

m=169: 191 mod 169 = 22 ≠ 72 = 241 mod 169

m=170: 191 mod 170 = 21 ≠ 71 = 241 mod 170

m=171: 191 mod 171 = 20 ≠ 70 = 241 mod 171

m=172: 191 mod 172 = 19 ≠ 69 = 241 mod 172

m=173: 191 mod 173 = 18 ≠ 68 = 241 mod 173

m=174: 191 mod 174 = 17 ≠ 67 = 241 mod 174

m=175: 191 mod 175 = 16 ≠ 66 = 241 mod 175

m=176: 191 mod 176 = 15 ≠ 65 = 241 mod 176

m=177: 191 mod 177 = 14 ≠ 64 = 241 mod 177

m=178: 191 mod 178 = 13 ≠ 63 = 241 mod 178

m=179: 191 mod 179 = 12 ≠ 62 = 241 mod 179

m=180: 191 mod 180 = 11 ≠ 61 = 241 mod 180

m=181: 191 mod 181 = 10 ≠ 60 = 241 mod 181

m=182: 191 mod 182 = 9 ≠ 59 = 241 mod 182

m=183: 191 mod 183 = 8 ≠ 58 = 241 mod 183

m=184: 191 mod 184 = 7 ≠ 57 = 241 mod 184

m=185: 191 mod 185 = 6 ≠ 56 = 241 mod 185

m=186: 191 mod 186 = 5 ≠ 55 = 241 mod 186

m=187: 191 mod 187 = 4 ≠ 54 = 241 mod 187

m=188: 191 mod 188 = 3 ≠ 53 = 241 mod 188

m=189: 191 mod 189 = 2 ≠ 52 = 241 mod 189

m=190: 191 mod 190 = 1 ≠ 51 = 241 mod 190

m=191: 191 mod 191 = 0 ≠ 50 = 241 mod 191

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (241 - 191) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50