Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 72 = 8.

Somit gilt: 80 mod 9 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 48 = 1.

Somit gilt: 49 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 8 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 32 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 49 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(498 + 20005) mod 5 ≡ (498 mod 5 + 20005 mod 5) mod 5.

498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498 = 400+98 = 5 ⋅ 80 +98.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(498 + 20005) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 62) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 62) mod 7 ≡ (3 ⋅ 6) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 32 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 = 0 = 32 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 9 = 32 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 8 = 32 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 24) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8