Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 77 = 2.

Somit gilt: 79 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.

Somit gilt: 21 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 90 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 21 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2005 + 24998) mod 5 ≡ (2005 mod 5 + 24998 mod 5) mod 5.

2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005 = 2000+5 = 5 ⋅ 400 +5.

24998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24998 = 24000+998 = 5 ⋅ 4800 +998.

Somit gilt:

(2005 + 24998) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 61) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 61) mod 10 ≡ (0 ⋅ 1) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 174 aus, ob zufällig 174 mod m = 219 mod m gilt:

m=2: 174 mod 2 = 0 ≠ 1 = 219 mod 2

m=3: 174 mod 3 = 0 = 0 = 219 mod 3

m=4: 174 mod 4 = 2 ≠ 3 = 219 mod 4

m=5: 174 mod 5 = 4 = 4 = 219 mod 5

m=6: 174 mod 6 = 0 ≠ 3 = 219 mod 6

m=7: 174 mod 7 = 6 ≠ 2 = 219 mod 7

m=8: 174 mod 8 = 6 ≠ 3 = 219 mod 8

m=9: 174 mod 9 = 3 = 3 = 219 mod 9

m=10: 174 mod 10 = 4 ≠ 9 = 219 mod 10

m=11: 174 mod 11 = 9 ≠ 10 = 219 mod 11

m=12: 174 mod 12 = 6 ≠ 3 = 219 mod 12

m=13: 174 mod 13 = 5 ≠ 11 = 219 mod 13

m=14: 174 mod 14 = 6 ≠ 9 = 219 mod 14

m=15: 174 mod 15 = 9 = 9 = 219 mod 15

m=16: 174 mod 16 = 14 ≠ 11 = 219 mod 16

m=17: 174 mod 17 = 4 ≠ 15 = 219 mod 17

m=18: 174 mod 18 = 12 ≠ 3 = 219 mod 18

m=19: 174 mod 19 = 3 ≠ 10 = 219 mod 19

m=20: 174 mod 20 = 14 ≠ 19 = 219 mod 20

m=21: 174 mod 21 = 6 ≠ 9 = 219 mod 21

m=22: 174 mod 22 = 20 ≠ 21 = 219 mod 22

m=23: 174 mod 23 = 13 ≠ 12 = 219 mod 23

m=24: 174 mod 24 = 6 ≠ 3 = 219 mod 24

m=25: 174 mod 25 = 24 ≠ 19 = 219 mod 25

m=26: 174 mod 26 = 18 ≠ 11 = 219 mod 26

m=27: 174 mod 27 = 12 ≠ 3 = 219 mod 27

m=28: 174 mod 28 = 6 ≠ 23 = 219 mod 28

m=29: 174 mod 29 = 0 ≠ 16 = 219 mod 29

m=30: 174 mod 30 = 24 ≠ 9 = 219 mod 30

m=31: 174 mod 31 = 19 ≠ 2 = 219 mod 31

m=32: 174 mod 32 = 14 ≠ 27 = 219 mod 32

m=33: 174 mod 33 = 9 ≠ 21 = 219 mod 33

m=34: 174 mod 34 = 4 ≠ 15 = 219 mod 34

m=35: 174 mod 35 = 34 ≠ 9 = 219 mod 35

m=36: 174 mod 36 = 30 ≠ 3 = 219 mod 36

m=37: 174 mod 37 = 26 ≠ 34 = 219 mod 37

m=38: 174 mod 38 = 22 ≠ 29 = 219 mod 38

m=39: 174 mod 39 = 18 ≠ 24 = 219 mod 39

m=40: 174 mod 40 = 14 ≠ 19 = 219 mod 40

m=41: 174 mod 41 = 10 ≠ 14 = 219 mod 41

m=42: 174 mod 42 = 6 ≠ 9 = 219 mod 42

m=43: 174 mod 43 = 2 ≠ 4 = 219 mod 43

m=44: 174 mod 44 = 42 ≠ 43 = 219 mod 44

m=45: 174 mod 45 = 39 = 39 = 219 mod 45

m=46: 174 mod 46 = 36 ≠ 35 = 219 mod 46

m=47: 174 mod 47 = 33 ≠ 31 = 219 mod 47

m=48: 174 mod 48 = 30 ≠ 27 = 219 mod 48

m=49: 174 mod 49 = 27 ≠ 23 = 219 mod 49

m=50: 174 mod 50 = 24 ≠ 19 = 219 mod 50

m=51: 174 mod 51 = 21 ≠ 15 = 219 mod 51

m=52: 174 mod 52 = 18 ≠ 11 = 219 mod 52

m=53: 174 mod 53 = 15 ≠ 7 = 219 mod 53

m=54: 174 mod 54 = 12 ≠ 3 = 219 mod 54

m=55: 174 mod 55 = 9 ≠ 54 = 219 mod 55

m=56: 174 mod 56 = 6 ≠ 51 = 219 mod 56

m=57: 174 mod 57 = 3 ≠ 48 = 219 mod 57

m=58: 174 mod 58 = 0 ≠ 45 = 219 mod 58

m=59: 174 mod 59 = 56 ≠ 42 = 219 mod 59

m=60: 174 mod 60 = 54 ≠ 39 = 219 mod 60

m=61: 174 mod 61 = 52 ≠ 36 = 219 mod 61

m=62: 174 mod 62 = 50 ≠ 33 = 219 mod 62

m=63: 174 mod 63 = 48 ≠ 30 = 219 mod 63

m=64: 174 mod 64 = 46 ≠ 27 = 219 mod 64

m=65: 174 mod 65 = 44 ≠ 24 = 219 mod 65

m=66: 174 mod 66 = 42 ≠ 21 = 219 mod 66

m=67: 174 mod 67 = 40 ≠ 18 = 219 mod 67

m=68: 174 mod 68 = 38 ≠ 15 = 219 mod 68

m=69: 174 mod 69 = 36 ≠ 12 = 219 mod 69

m=70: 174 mod 70 = 34 ≠ 9 = 219 mod 70

m=71: 174 mod 71 = 32 ≠ 6 = 219 mod 71

m=72: 174 mod 72 = 30 ≠ 3 = 219 mod 72

m=73: 174 mod 73 = 28 ≠ 0 = 219 mod 73

m=74: 174 mod 74 = 26 ≠ 71 = 219 mod 74

m=75: 174 mod 75 = 24 ≠ 69 = 219 mod 75

m=76: 174 mod 76 = 22 ≠ 67 = 219 mod 76

m=77: 174 mod 77 = 20 ≠ 65 = 219 mod 77

m=78: 174 mod 78 = 18 ≠ 63 = 219 mod 78

m=79: 174 mod 79 = 16 ≠ 61 = 219 mod 79

m=80: 174 mod 80 = 14 ≠ 59 = 219 mod 80

m=81: 174 mod 81 = 12 ≠ 57 = 219 mod 81

m=82: 174 mod 82 = 10 ≠ 55 = 219 mod 82

m=83: 174 mod 83 = 8 ≠ 53 = 219 mod 83

m=84: 174 mod 84 = 6 ≠ 51 = 219 mod 84

m=85: 174 mod 85 = 4 ≠ 49 = 219 mod 85

m=86: 174 mod 86 = 2 ≠ 47 = 219 mod 86

m=87: 174 mod 87 = 0 ≠ 45 = 219 mod 87

m=88: 174 mod 88 = 86 ≠ 43 = 219 mod 88

m=89: 174 mod 89 = 85 ≠ 41 = 219 mod 89

m=90: 174 mod 90 = 84 ≠ 39 = 219 mod 90

m=91: 174 mod 91 = 83 ≠ 37 = 219 mod 91

m=92: 174 mod 92 = 82 ≠ 35 = 219 mod 92

m=93: 174 mod 93 = 81 ≠ 33 = 219 mod 93

m=94: 174 mod 94 = 80 ≠ 31 = 219 mod 94

m=95: 174 mod 95 = 79 ≠ 29 = 219 mod 95

m=96: 174 mod 96 = 78 ≠ 27 = 219 mod 96

m=97: 174 mod 97 = 77 ≠ 25 = 219 mod 97

m=98: 174 mod 98 = 76 ≠ 23 = 219 mod 98

m=99: 174 mod 99 = 75 ≠ 21 = 219 mod 99

m=100: 174 mod 100 = 74 ≠ 19 = 219 mod 100

m=101: 174 mod 101 = 73 ≠ 17 = 219 mod 101

m=102: 174 mod 102 = 72 ≠ 15 = 219 mod 102

m=103: 174 mod 103 = 71 ≠ 13 = 219 mod 103

m=104: 174 mod 104 = 70 ≠ 11 = 219 mod 104

m=105: 174 mod 105 = 69 ≠ 9 = 219 mod 105

m=106: 174 mod 106 = 68 ≠ 7 = 219 mod 106

m=107: 174 mod 107 = 67 ≠ 5 = 219 mod 107

m=108: 174 mod 108 = 66 ≠ 3 = 219 mod 108

m=109: 174 mod 109 = 65 ≠ 1 = 219 mod 109

m=110: 174 mod 110 = 64 ≠ 109 = 219 mod 110

m=111: 174 mod 111 = 63 ≠ 108 = 219 mod 111

m=112: 174 mod 112 = 62 ≠ 107 = 219 mod 112

m=113: 174 mod 113 = 61 ≠ 106 = 219 mod 113

m=114: 174 mod 114 = 60 ≠ 105 = 219 mod 114

m=115: 174 mod 115 = 59 ≠ 104 = 219 mod 115

m=116: 174 mod 116 = 58 ≠ 103 = 219 mod 116

m=117: 174 mod 117 = 57 ≠ 102 = 219 mod 117

m=118: 174 mod 118 = 56 ≠ 101 = 219 mod 118

m=119: 174 mod 119 = 55 ≠ 100 = 219 mod 119

m=120: 174 mod 120 = 54 ≠ 99 = 219 mod 120

m=121: 174 mod 121 = 53 ≠ 98 = 219 mod 121

m=122: 174 mod 122 = 52 ≠ 97 = 219 mod 122

m=123: 174 mod 123 = 51 ≠ 96 = 219 mod 123

m=124: 174 mod 124 = 50 ≠ 95 = 219 mod 124

m=125: 174 mod 125 = 49 ≠ 94 = 219 mod 125

m=126: 174 mod 126 = 48 ≠ 93 = 219 mod 126

m=127: 174 mod 127 = 47 ≠ 92 = 219 mod 127

m=128: 174 mod 128 = 46 ≠ 91 = 219 mod 128

m=129: 174 mod 129 = 45 ≠ 90 = 219 mod 129

m=130: 174 mod 130 = 44 ≠ 89 = 219 mod 130

m=131: 174 mod 131 = 43 ≠ 88 = 219 mod 131

m=132: 174 mod 132 = 42 ≠ 87 = 219 mod 132

m=133: 174 mod 133 = 41 ≠ 86 = 219 mod 133

m=134: 174 mod 134 = 40 ≠ 85 = 219 mod 134

m=135: 174 mod 135 = 39 ≠ 84 = 219 mod 135

m=136: 174 mod 136 = 38 ≠ 83 = 219 mod 136

m=137: 174 mod 137 = 37 ≠ 82 = 219 mod 137

m=138: 174 mod 138 = 36 ≠ 81 = 219 mod 138

m=139: 174 mod 139 = 35 ≠ 80 = 219 mod 139

m=140: 174 mod 140 = 34 ≠ 79 = 219 mod 140

m=141: 174 mod 141 = 33 ≠ 78 = 219 mod 141

m=142: 174 mod 142 = 32 ≠ 77 = 219 mod 142

m=143: 174 mod 143 = 31 ≠ 76 = 219 mod 143

m=144: 174 mod 144 = 30 ≠ 75 = 219 mod 144

m=145: 174 mod 145 = 29 ≠ 74 = 219 mod 145

m=146: 174 mod 146 = 28 ≠ 73 = 219 mod 146

m=147: 174 mod 147 = 27 ≠ 72 = 219 mod 147

m=148: 174 mod 148 = 26 ≠ 71 = 219 mod 148

m=149: 174 mod 149 = 25 ≠ 70 = 219 mod 149

m=150: 174 mod 150 = 24 ≠ 69 = 219 mod 150

m=151: 174 mod 151 = 23 ≠ 68 = 219 mod 151

m=152: 174 mod 152 = 22 ≠ 67 = 219 mod 152

m=153: 174 mod 153 = 21 ≠ 66 = 219 mod 153

m=154: 174 mod 154 = 20 ≠ 65 = 219 mod 154

m=155: 174 mod 155 = 19 ≠ 64 = 219 mod 155

m=156: 174 mod 156 = 18 ≠ 63 = 219 mod 156

m=157: 174 mod 157 = 17 ≠ 62 = 219 mod 157

m=158: 174 mod 158 = 16 ≠ 61 = 219 mod 158

m=159: 174 mod 159 = 15 ≠ 60 = 219 mod 159

m=160: 174 mod 160 = 14 ≠ 59 = 219 mod 160

m=161: 174 mod 161 = 13 ≠ 58 = 219 mod 161

m=162: 174 mod 162 = 12 ≠ 57 = 219 mod 162

m=163: 174 mod 163 = 11 ≠ 56 = 219 mod 163

m=164: 174 mod 164 = 10 ≠ 55 = 219 mod 164

m=165: 174 mod 165 = 9 ≠ 54 = 219 mod 165

m=166: 174 mod 166 = 8 ≠ 53 = 219 mod 166

m=167: 174 mod 167 = 7 ≠ 52 = 219 mod 167

m=168: 174 mod 168 = 6 ≠ 51 = 219 mod 168

m=169: 174 mod 169 = 5 ≠ 50 = 219 mod 169

m=170: 174 mod 170 = 4 ≠ 49 = 219 mod 170

m=171: 174 mod 171 = 3 ≠ 48 = 219 mod 171

m=172: 174 mod 172 = 2 ≠ 47 = 219 mod 172

m=173: 174 mod 173 = 1 ≠ 46 = 219 mod 173

m=174: 174 mod 174 = 0 ≠ 45 = 219 mod 174

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (219 - 174) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45