Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 51 = 2.

Somit gilt: 53 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 28, weil ja 7 ⋅ 4 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 28 = 2.

Somit gilt: 30 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 12 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.

Somit gilt: 50 ≡ 30 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 + 17997) mod 9 ≡ (9000 mod 9 + 17997 mod 9) mod 9.

9000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 9 ⋅ 1000 +0.

17997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997 = 18000-3 = 9 ⋅ 2000 -3 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(9000 + 17997) mod 9 ≡ (0 + 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 89) mod 10 ≡ (70 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.

70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 89) mod 10 ≡ (0 ⋅ 9) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 230 aus, ob zufällig 230 mod m = 305 mod m gilt:

m=2: 230 mod 2 = 0 ≠ 1 = 305 mod 2

m=3: 230 mod 3 = 2 = 2 = 305 mod 3

m=4: 230 mod 4 = 2 ≠ 1 = 305 mod 4

m=5: 230 mod 5 = 0 = 0 = 305 mod 5

m=6: 230 mod 6 = 2 ≠ 5 = 305 mod 6

m=7: 230 mod 7 = 6 ≠ 4 = 305 mod 7

m=8: 230 mod 8 = 6 ≠ 1 = 305 mod 8

m=9: 230 mod 9 = 5 ≠ 8 = 305 mod 9

m=10: 230 mod 10 = 0 ≠ 5 = 305 mod 10

m=11: 230 mod 11 = 10 ≠ 8 = 305 mod 11

m=12: 230 mod 12 = 2 ≠ 5 = 305 mod 12

m=13: 230 mod 13 = 9 ≠ 6 = 305 mod 13

m=14: 230 mod 14 = 6 ≠ 11 = 305 mod 14

m=15: 230 mod 15 = 5 = 5 = 305 mod 15

m=16: 230 mod 16 = 6 ≠ 1 = 305 mod 16

m=17: 230 mod 17 = 9 ≠ 16 = 305 mod 17

m=18: 230 mod 18 = 14 ≠ 17 = 305 mod 18

m=19: 230 mod 19 = 2 ≠ 1 = 305 mod 19

m=20: 230 mod 20 = 10 ≠ 5 = 305 mod 20

m=21: 230 mod 21 = 20 ≠ 11 = 305 mod 21

m=22: 230 mod 22 = 10 ≠ 19 = 305 mod 22

m=23: 230 mod 23 = 0 ≠ 6 = 305 mod 23

m=24: 230 mod 24 = 14 ≠ 17 = 305 mod 24

m=25: 230 mod 25 = 5 = 5 = 305 mod 25

m=26: 230 mod 26 = 22 ≠ 19 = 305 mod 26

m=27: 230 mod 27 = 14 ≠ 8 = 305 mod 27

m=28: 230 mod 28 = 6 ≠ 25 = 305 mod 28

m=29: 230 mod 29 = 27 ≠ 15 = 305 mod 29

m=30: 230 mod 30 = 20 ≠ 5 = 305 mod 30

m=31: 230 mod 31 = 13 ≠ 26 = 305 mod 31

m=32: 230 mod 32 = 6 ≠ 17 = 305 mod 32

m=33: 230 mod 33 = 32 ≠ 8 = 305 mod 33

m=34: 230 mod 34 = 26 ≠ 33 = 305 mod 34

m=35: 230 mod 35 = 20 ≠ 25 = 305 mod 35

m=36: 230 mod 36 = 14 ≠ 17 = 305 mod 36

m=37: 230 mod 37 = 8 ≠ 9 = 305 mod 37

m=38: 230 mod 38 = 2 ≠ 1 = 305 mod 38

m=39: 230 mod 39 = 35 ≠ 32 = 305 mod 39

m=40: 230 mod 40 = 30 ≠ 25 = 305 mod 40

m=41: 230 mod 41 = 25 ≠ 18 = 305 mod 41

m=42: 230 mod 42 = 20 ≠ 11 = 305 mod 42

m=43: 230 mod 43 = 15 ≠ 4 = 305 mod 43

m=44: 230 mod 44 = 10 ≠ 41 = 305 mod 44

m=45: 230 mod 45 = 5 ≠ 35 = 305 mod 45

m=46: 230 mod 46 = 0 ≠ 29 = 305 mod 46

m=47: 230 mod 47 = 42 ≠ 23 = 305 mod 47

m=48: 230 mod 48 = 38 ≠ 17 = 305 mod 48

m=49: 230 mod 49 = 34 ≠ 11 = 305 mod 49

m=50: 230 mod 50 = 30 ≠ 5 = 305 mod 50

m=51: 230 mod 51 = 26 ≠ 50 = 305 mod 51

m=52: 230 mod 52 = 22 ≠ 45 = 305 mod 52

m=53: 230 mod 53 = 18 ≠ 40 = 305 mod 53

m=54: 230 mod 54 = 14 ≠ 35 = 305 mod 54

m=55: 230 mod 55 = 10 ≠ 30 = 305 mod 55

m=56: 230 mod 56 = 6 ≠ 25 = 305 mod 56

m=57: 230 mod 57 = 2 ≠ 20 = 305 mod 57

m=58: 230 mod 58 = 56 ≠ 15 = 305 mod 58

m=59: 230 mod 59 = 53 ≠ 10 = 305 mod 59

m=60: 230 mod 60 = 50 ≠ 5 = 305 mod 60

m=61: 230 mod 61 = 47 ≠ 0 = 305 mod 61

m=62: 230 mod 62 = 44 ≠ 57 = 305 mod 62

m=63: 230 mod 63 = 41 ≠ 53 = 305 mod 63

m=64: 230 mod 64 = 38 ≠ 49 = 305 mod 64

m=65: 230 mod 65 = 35 ≠ 45 = 305 mod 65

m=66: 230 mod 66 = 32 ≠ 41 = 305 mod 66

m=67: 230 mod 67 = 29 ≠ 37 = 305 mod 67

m=68: 230 mod 68 = 26 ≠ 33 = 305 mod 68

m=69: 230 mod 69 = 23 ≠ 29 = 305 mod 69

m=70: 230 mod 70 = 20 ≠ 25 = 305 mod 70

m=71: 230 mod 71 = 17 ≠ 21 = 305 mod 71

m=72: 230 mod 72 = 14 ≠ 17 = 305 mod 72

m=73: 230 mod 73 = 11 ≠ 13 = 305 mod 73

m=74: 230 mod 74 = 8 ≠ 9 = 305 mod 74

m=75: 230 mod 75 = 5 = 5 = 305 mod 75

m=76: 230 mod 76 = 2 ≠ 1 = 305 mod 76

m=77: 230 mod 77 = 76 ≠ 74 = 305 mod 77

m=78: 230 mod 78 = 74 ≠ 71 = 305 mod 78

m=79: 230 mod 79 = 72 ≠ 68 = 305 mod 79

m=80: 230 mod 80 = 70 ≠ 65 = 305 mod 80

m=81: 230 mod 81 = 68 ≠ 62 = 305 mod 81

m=82: 230 mod 82 = 66 ≠ 59 = 305 mod 82

m=83: 230 mod 83 = 64 ≠ 56 = 305 mod 83

m=84: 230 mod 84 = 62 ≠ 53 = 305 mod 84

m=85: 230 mod 85 = 60 ≠ 50 = 305 mod 85

m=86: 230 mod 86 = 58 ≠ 47 = 305 mod 86

m=87: 230 mod 87 = 56 ≠ 44 = 305 mod 87

m=88: 230 mod 88 = 54 ≠ 41 = 305 mod 88

m=89: 230 mod 89 = 52 ≠ 38 = 305 mod 89

m=90: 230 mod 90 = 50 ≠ 35 = 305 mod 90

m=91: 230 mod 91 = 48 ≠ 32 = 305 mod 91

m=92: 230 mod 92 = 46 ≠ 29 = 305 mod 92

m=93: 230 mod 93 = 44 ≠ 26 = 305 mod 93

m=94: 230 mod 94 = 42 ≠ 23 = 305 mod 94

m=95: 230 mod 95 = 40 ≠ 20 = 305 mod 95

m=96: 230 mod 96 = 38 ≠ 17 = 305 mod 96

m=97: 230 mod 97 = 36 ≠ 14 = 305 mod 97

m=98: 230 mod 98 = 34 ≠ 11 = 305 mod 98

m=99: 230 mod 99 = 32 ≠ 8 = 305 mod 99

m=100: 230 mod 100 = 30 ≠ 5 = 305 mod 100

m=101: 230 mod 101 = 28 ≠ 2 = 305 mod 101

m=102: 230 mod 102 = 26 ≠ 101 = 305 mod 102

m=103: 230 mod 103 = 24 ≠ 99 = 305 mod 103

m=104: 230 mod 104 = 22 ≠ 97 = 305 mod 104

m=105: 230 mod 105 = 20 ≠ 95 = 305 mod 105

m=106: 230 mod 106 = 18 ≠ 93 = 305 mod 106

m=107: 230 mod 107 = 16 ≠ 91 = 305 mod 107

m=108: 230 mod 108 = 14 ≠ 89 = 305 mod 108

m=109: 230 mod 109 = 12 ≠ 87 = 305 mod 109

m=110: 230 mod 110 = 10 ≠ 85 = 305 mod 110

m=111: 230 mod 111 = 8 ≠ 83 = 305 mod 111

m=112: 230 mod 112 = 6 ≠ 81 = 305 mod 112

m=113: 230 mod 113 = 4 ≠ 79 = 305 mod 113

m=114: 230 mod 114 = 2 ≠ 77 = 305 mod 114

m=115: 230 mod 115 = 0 ≠ 75 = 305 mod 115

m=116: 230 mod 116 = 114 ≠ 73 = 305 mod 116

m=117: 230 mod 117 = 113 ≠ 71 = 305 mod 117

m=118: 230 mod 118 = 112 ≠ 69 = 305 mod 118

m=119: 230 mod 119 = 111 ≠ 67 = 305 mod 119

m=120: 230 mod 120 = 110 ≠ 65 = 305 mod 120

m=121: 230 mod 121 = 109 ≠ 63 = 305 mod 121

m=122: 230 mod 122 = 108 ≠ 61 = 305 mod 122

m=123: 230 mod 123 = 107 ≠ 59 = 305 mod 123

m=124: 230 mod 124 = 106 ≠ 57 = 305 mod 124

m=125: 230 mod 125 = 105 ≠ 55 = 305 mod 125

m=126: 230 mod 126 = 104 ≠ 53 = 305 mod 126

m=127: 230 mod 127 = 103 ≠ 51 = 305 mod 127

m=128: 230 mod 128 = 102 ≠ 49 = 305 mod 128

m=129: 230 mod 129 = 101 ≠ 47 = 305 mod 129

m=130: 230 mod 130 = 100 ≠ 45 = 305 mod 130

m=131: 230 mod 131 = 99 ≠ 43 = 305 mod 131

m=132: 230 mod 132 = 98 ≠ 41 = 305 mod 132

m=133: 230 mod 133 = 97 ≠ 39 = 305 mod 133

m=134: 230 mod 134 = 96 ≠ 37 = 305 mod 134

m=135: 230 mod 135 = 95 ≠ 35 = 305 mod 135

m=136: 230 mod 136 = 94 ≠ 33 = 305 mod 136

m=137: 230 mod 137 = 93 ≠ 31 = 305 mod 137

m=138: 230 mod 138 = 92 ≠ 29 = 305 mod 138

m=139: 230 mod 139 = 91 ≠ 27 = 305 mod 139

m=140: 230 mod 140 = 90 ≠ 25 = 305 mod 140

m=141: 230 mod 141 = 89 ≠ 23 = 305 mod 141

m=142: 230 mod 142 = 88 ≠ 21 = 305 mod 142

m=143: 230 mod 143 = 87 ≠ 19 = 305 mod 143

m=144: 230 mod 144 = 86 ≠ 17 = 305 mod 144

m=145: 230 mod 145 = 85 ≠ 15 = 305 mod 145

m=146: 230 mod 146 = 84 ≠ 13 = 305 mod 146

m=147: 230 mod 147 = 83 ≠ 11 = 305 mod 147

m=148: 230 mod 148 = 82 ≠ 9 = 305 mod 148

m=149: 230 mod 149 = 81 ≠ 7 = 305 mod 149

m=150: 230 mod 150 = 80 ≠ 5 = 305 mod 150

m=151: 230 mod 151 = 79 ≠ 3 = 305 mod 151

m=152: 230 mod 152 = 78 ≠ 1 = 305 mod 152

m=153: 230 mod 153 = 77 ≠ 152 = 305 mod 153

m=154: 230 mod 154 = 76 ≠ 151 = 305 mod 154

m=155: 230 mod 155 = 75 ≠ 150 = 305 mod 155

m=156: 230 mod 156 = 74 ≠ 149 = 305 mod 156

m=157: 230 mod 157 = 73 ≠ 148 = 305 mod 157

m=158: 230 mod 158 = 72 ≠ 147 = 305 mod 158

m=159: 230 mod 159 = 71 ≠ 146 = 305 mod 159

m=160: 230 mod 160 = 70 ≠ 145 = 305 mod 160

m=161: 230 mod 161 = 69 ≠ 144 = 305 mod 161

m=162: 230 mod 162 = 68 ≠ 143 = 305 mod 162

m=163: 230 mod 163 = 67 ≠ 142 = 305 mod 163

m=164: 230 mod 164 = 66 ≠ 141 = 305 mod 164

m=165: 230 mod 165 = 65 ≠ 140 = 305 mod 165

m=166: 230 mod 166 = 64 ≠ 139 = 305 mod 166

m=167: 230 mod 167 = 63 ≠ 138 = 305 mod 167

m=168: 230 mod 168 = 62 ≠ 137 = 305 mod 168

m=169: 230 mod 169 = 61 ≠ 136 = 305 mod 169

m=170: 230 mod 170 = 60 ≠ 135 = 305 mod 170

m=171: 230 mod 171 = 59 ≠ 134 = 305 mod 171

m=172: 230 mod 172 = 58 ≠ 133 = 305 mod 172

m=173: 230 mod 173 = 57 ≠ 132 = 305 mod 173

m=174: 230 mod 174 = 56 ≠ 131 = 305 mod 174

m=175: 230 mod 175 = 55 ≠ 130 = 305 mod 175

m=176: 230 mod 176 = 54 ≠ 129 = 305 mod 176

m=177: 230 mod 177 = 53 ≠ 128 = 305 mod 177

m=178: 230 mod 178 = 52 ≠ 127 = 305 mod 178

m=179: 230 mod 179 = 51 ≠ 126 = 305 mod 179

m=180: 230 mod 180 = 50 ≠ 125 = 305 mod 180

m=181: 230 mod 181 = 49 ≠ 124 = 305 mod 181

m=182: 230 mod 182 = 48 ≠ 123 = 305 mod 182

m=183: 230 mod 183 = 47 ≠ 122 = 305 mod 183

m=184: 230 mod 184 = 46 ≠ 121 = 305 mod 184

m=185: 230 mod 185 = 45 ≠ 120 = 305 mod 185

m=186: 230 mod 186 = 44 ≠ 119 = 305 mod 186

m=187: 230 mod 187 = 43 ≠ 118 = 305 mod 187

m=188: 230 mod 188 = 42 ≠ 117 = 305 mod 188

m=189: 230 mod 189 = 41 ≠ 116 = 305 mod 189

m=190: 230 mod 190 = 40 ≠ 115 = 305 mod 190

m=191: 230 mod 191 = 39 ≠ 114 = 305 mod 191

m=192: 230 mod 192 = 38 ≠ 113 = 305 mod 192

m=193: 230 mod 193 = 37 ≠ 112 = 305 mod 193

m=194: 230 mod 194 = 36 ≠ 111 = 305 mod 194

m=195: 230 mod 195 = 35 ≠ 110 = 305 mod 195

m=196: 230 mod 196 = 34 ≠ 109 = 305 mod 196

m=197: 230 mod 197 = 33 ≠ 108 = 305 mod 197

m=198: 230 mod 198 = 32 ≠ 107 = 305 mod 198

m=199: 230 mod 199 = 31 ≠ 106 = 305 mod 199

m=200: 230 mod 200 = 30 ≠ 105 = 305 mod 200

m=201: 230 mod 201 = 29 ≠ 104 = 305 mod 201

m=202: 230 mod 202 = 28 ≠ 103 = 305 mod 202

m=203: 230 mod 203 = 27 ≠ 102 = 305 mod 203

m=204: 230 mod 204 = 26 ≠ 101 = 305 mod 204

m=205: 230 mod 205 = 25 ≠ 100 = 305 mod 205

m=206: 230 mod 206 = 24 ≠ 99 = 305 mod 206

m=207: 230 mod 207 = 23 ≠ 98 = 305 mod 207

m=208: 230 mod 208 = 22 ≠ 97 = 305 mod 208

m=209: 230 mod 209 = 21 ≠ 96 = 305 mod 209

m=210: 230 mod 210 = 20 ≠ 95 = 305 mod 210

m=211: 230 mod 211 = 19 ≠ 94 = 305 mod 211

m=212: 230 mod 212 = 18 ≠ 93 = 305 mod 212

m=213: 230 mod 213 = 17 ≠ 92 = 305 mod 213

m=214: 230 mod 214 = 16 ≠ 91 = 305 mod 214

m=215: 230 mod 215 = 15 ≠ 90 = 305 mod 215

m=216: 230 mod 216 = 14 ≠ 89 = 305 mod 216

m=217: 230 mod 217 = 13 ≠ 88 = 305 mod 217

m=218: 230 mod 218 = 12 ≠ 87 = 305 mod 218

m=219: 230 mod 219 = 11 ≠ 86 = 305 mod 219

m=220: 230 mod 220 = 10 ≠ 85 = 305 mod 220

m=221: 230 mod 221 = 9 ≠ 84 = 305 mod 221

m=222: 230 mod 222 = 8 ≠ 83 = 305 mod 222

m=223: 230 mod 223 = 7 ≠ 82 = 305 mod 223

m=224: 230 mod 224 = 6 ≠ 81 = 305 mod 224

m=225: 230 mod 225 = 5 ≠ 80 = 305 mod 225

m=226: 230 mod 226 = 4 ≠ 79 = 305 mod 226

m=227: 230 mod 227 = 3 ≠ 78 = 305 mod 227

m=228: 230 mod 228 = 2 ≠ 77 = 305 mod 228

m=229: 230 mod 229 = 1 ≠ 76 = 305 mod 229

m=230: 230 mod 230 = 0 ≠ 75 = 305 mod 230

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (305 - 230) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75