Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 86 - 85 = 1.
Somit gilt: 86 mod 5 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 30 für die gilt n ≡ 34 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.
Somit gilt: 34 mod 10 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 30 für die gilt: n ≡ 4 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 2 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 4 mod 10 sein, also addieren wir noch 4 auf die 20 und erhalten so 24.
Somit gilt: 24 ≡ 34 ≡ 4 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (799 - 203) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(799 - 203) mod 4 ≡ (799 mod 4 - 203 mod 4) mod 4.
799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799
= 700
203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 200
Somit gilt:
(799 - 203) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 78) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 78) mod 3 ≡ (44 mod 3 ⋅ 78 mod 3) mod 3.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 78) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6