Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 12, weil ja 2 ⋅ 6 = 12 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 12 = 5.

Somit gilt: 17 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 55 = 0.

Somit gilt: 55 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Somit gilt: 40 ≡ 55 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 + 90) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 90 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(6000 + 90) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 80) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 80) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 53 mod m gilt:

m=2: 38 mod 2 = 0 ≠ 1 = 53 mod 2

m=3: 38 mod 3 = 2 = 2 = 53 mod 3

m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 1 = 53 mod 4

m=5: 38 mod 5 = 3 = 3 = 53 mod 5

m=6: 38 mod 6 = 2 ≠ 5 = 53 mod 6

m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 4 = 53 mod 7

m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 5 = 53 mod 8

m=9: 38 mod 9 = 2 ≠ 8 = 53 mod 9

m=10: 38 mod 10 = 8 ≠ 3 = 53 mod 10

m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 9 = 53 mod 11

m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 5 = 53 mod 12

m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 1 = 53 mod 13

m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 11 = 53 mod 14

m=15: 38 mod 15 = 8 = 8 = 53 mod 15

m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 5 = 53 mod 16

m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 2 = 53 mod 17

m=18: 38 mod 18 = 2 ≠ 17 = 53 mod 18

m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 15 = 53 mod 19

m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 13 = 53 mod 20

m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 11 = 53 mod 21

m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 9 = 53 mod 22

m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 7 = 53 mod 23

m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 5 = 53 mod 24

m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 3 = 53 mod 25

m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 1 = 53 mod 26

m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 26 = 53 mod 27

m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 25 = 53 mod 28

m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 24 = 53 mod 29

m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 23 = 53 mod 30

m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 22 = 53 mod 31

m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 21 = 53 mod 32

m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 20 = 53 mod 33

m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 19 = 53 mod 34

m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 18 = 53 mod 35

m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 17 = 53 mod 36

m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 16 = 53 mod 37

m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 15 = 53 mod 38

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (53 - 38) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15