Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 87, weil ja 29 ⋅ 3 = 87 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 87 = 1.

Somit gilt: 88 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 88 = 1.

Somit gilt: 89 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 77 und erhalten so 78.

Somit gilt: 78 ≡ 89 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(299 - 601) mod 3 ≡ (299 mod 3 - 601 mod 3) mod 3.

299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 3 ⋅ 100 -1 = 3 ⋅ 100 - 3 + 2.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(299 - 601) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 28) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 28 mod 4) mod 4.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 28) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6