Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 32 = 7.

Somit gilt: 39 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 70 = 1.

Somit gilt: 71 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 14 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 71 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2394 + 125) mod 6 ≡ (2394 mod 6 + 125 mod 6) mod 6.

2394 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394 = 2400-6 = 6 ⋅ 400 -6 = 6 ⋅ 400 - 6 + 0.

125 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 125 = 120+5 = 6 ⋅ 20 +5.

Somit gilt:

(2394 + 125) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 24) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 24) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 68 aus, ob zufällig 68 mod m = 86 mod m gilt:

m=2: 68 mod 2 = 0 = 0 = 86 mod 2

m=3: 68 mod 3 = 2 = 2 = 86 mod 3

m=4: 68 mod 4 = 0 ≠ 2 = 86 mod 4

m=5: 68 mod 5 = 3 ≠ 1 = 86 mod 5

m=6: 68 mod 6 = 2 = 2 = 86 mod 6

m=7: 68 mod 7 = 5 ≠ 2 = 86 mod 7

m=8: 68 mod 8 = 4 ≠ 6 = 86 mod 8

m=9: 68 mod 9 = 5 = 5 = 86 mod 9

m=10: 68 mod 10 = 8 ≠ 6 = 86 mod 10

m=11: 68 mod 11 = 2 ≠ 9 = 86 mod 11

m=12: 68 mod 12 = 8 ≠ 2 = 86 mod 12

m=13: 68 mod 13 = 3 ≠ 8 = 86 mod 13

m=14: 68 mod 14 = 12 ≠ 2 = 86 mod 14

m=15: 68 mod 15 = 8 ≠ 11 = 86 mod 15

m=16: 68 mod 16 = 4 ≠ 6 = 86 mod 16

m=17: 68 mod 17 = 0 ≠ 1 = 86 mod 17

m=18: 68 mod 18 = 14 = 14 = 86 mod 18

m=19: 68 mod 19 = 11 ≠ 10 = 86 mod 19

m=20: 68 mod 20 = 8 ≠ 6 = 86 mod 20

m=21: 68 mod 21 = 5 ≠ 2 = 86 mod 21

m=22: 68 mod 22 = 2 ≠ 20 = 86 mod 22

m=23: 68 mod 23 = 22 ≠ 17 = 86 mod 23

m=24: 68 mod 24 = 20 ≠ 14 = 86 mod 24

m=25: 68 mod 25 = 18 ≠ 11 = 86 mod 25

m=26: 68 mod 26 = 16 ≠ 8 = 86 mod 26

m=27: 68 mod 27 = 14 ≠ 5 = 86 mod 27

m=28: 68 mod 28 = 12 ≠ 2 = 86 mod 28

m=29: 68 mod 29 = 10 ≠ 28 = 86 mod 29

m=30: 68 mod 30 = 8 ≠ 26 = 86 mod 30

m=31: 68 mod 31 = 6 ≠ 24 = 86 mod 31

m=32: 68 mod 32 = 4 ≠ 22 = 86 mod 32

m=33: 68 mod 33 = 2 ≠ 20 = 86 mod 33

m=34: 68 mod 34 = 0 ≠ 18 = 86 mod 34

m=35: 68 mod 35 = 33 ≠ 16 = 86 mod 35

m=36: 68 mod 36 = 32 ≠ 14 = 86 mod 36

m=37: 68 mod 37 = 31 ≠ 12 = 86 mod 37

m=38: 68 mod 38 = 30 ≠ 10 = 86 mod 38

m=39: 68 mod 39 = 29 ≠ 8 = 86 mod 39

m=40: 68 mod 40 = 28 ≠ 6 = 86 mod 40

m=41: 68 mod 41 = 27 ≠ 4 = 86 mod 41

m=42: 68 mod 42 = 26 ≠ 2 = 86 mod 42

m=43: 68 mod 43 = 25 ≠ 0 = 86 mod 43

m=44: 68 mod 44 = 24 ≠ 42 = 86 mod 44

m=45: 68 mod 45 = 23 ≠ 41 = 86 mod 45

m=46: 68 mod 46 = 22 ≠ 40 = 86 mod 46

m=47: 68 mod 47 = 21 ≠ 39 = 86 mod 47

m=48: 68 mod 48 = 20 ≠ 38 = 86 mod 48

m=49: 68 mod 49 = 19 ≠ 37 = 86 mod 49

m=50: 68 mod 50 = 18 ≠ 36 = 86 mod 50

m=51: 68 mod 51 = 17 ≠ 35 = 86 mod 51

m=52: 68 mod 52 = 16 ≠ 34 = 86 mod 52

m=53: 68 mod 53 = 15 ≠ 33 = 86 mod 53

m=54: 68 mod 54 = 14 ≠ 32 = 86 mod 54

m=55: 68 mod 55 = 13 ≠ 31 = 86 mod 55

m=56: 68 mod 56 = 12 ≠ 30 = 86 mod 56

m=57: 68 mod 57 = 11 ≠ 29 = 86 mod 57

m=58: 68 mod 58 = 10 ≠ 28 = 86 mod 58

m=59: 68 mod 59 = 9 ≠ 27 = 86 mod 59

m=60: 68 mod 60 = 8 ≠ 26 = 86 mod 60

m=61: 68 mod 61 = 7 ≠ 25 = 86 mod 61

m=62: 68 mod 62 = 6 ≠ 24 = 86 mod 62

m=63: 68 mod 63 = 5 ≠ 23 = 86 mod 63

m=64: 68 mod 64 = 4 ≠ 22 = 86 mod 64

m=65: 68 mod 65 = 3 ≠ 21 = 86 mod 65

m=66: 68 mod 66 = 2 ≠ 20 = 86 mod 66

m=67: 68 mod 67 = 1 ≠ 19 = 86 mod 67

m=68: 68 mod 68 = 0 ≠ 18 = 86 mod 68

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (86 - 68) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18