Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 21 - 16 = 5.
Somit gilt: 21 mod 8 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 23 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.
Somit gilt: 23 mod 4 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 60 und erhalten so 63.
Somit gilt: 63 ≡ 23 ≡ 3 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (360 + 358) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(360 + 358) mod 9 ≡ (360 mod 9 + 358 mod 9) mod 9.
360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360
= 360
358 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 358
= 360
Somit gilt:
(360 + 358) mod 9 ≡ (0 + 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 64) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 64) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 64 mod 7) mod 7.
84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 64) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
