Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 70 = 8.

Somit gilt: 78 mod 10 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 55 = 3.

Somit gilt: 58 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 44 und erhalten so 47.

Somit gilt: 47 ≡ 58 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 + 3002) mod 6 ≡ (181 mod 6 + 3002 mod 6) mod 6.

181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 6 ⋅ 30 +1.

3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 6 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(181 + 3002) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 59) mod 3 ≡ (17 mod 3 ⋅ 59 mod 3) mod 3.

17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 59) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 46 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 = 0 = 46 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 = 1 = 46 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 = 2 = 46 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 ≠ 1 = 46 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 = 4 = 46 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 4 = 46 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 6 = 46 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 ≠ 1 = 46 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 ≠ 6 = 46 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 2 = 46 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 = 10 = 46 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 7 = 46 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 4 = 46 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 ≠ 1 = 46 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 14 = 46 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 12 = 46 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 10 = 46 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 8 = 46 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 6 = 46 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 4 = 46 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 2 = 46 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 0 = 46 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 22 = 46 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 21 = 46 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 20 = 46 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 19 = 46 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 18 = 46 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 17 = 46 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 16 = 46 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 15 = 46 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 14 = 46 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 13 = 46 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 12 = 46 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 34) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12