Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 24 = 6.

Somit gilt: 30 mod 8 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 36 = 7.

Somit gilt: 43 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 9 und erhalten so 16.

Somit gilt: 16 ≡ 43 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23998 - 2400) mod 6 ≡ (23998 mod 6 - 2400 mod 6) mod 6.

23998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 24000-2 = 6 ⋅ 4000 -2 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 4.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(23998 - 2400) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 43) mod 9 ≡ (26 mod 9 ⋅ 43 mod 9) mod 9.

26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 43) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 99 aus, ob zufällig 99 mod m = 126 mod m gilt:

m=2: 99 mod 2 = 1 ≠ 0 = 126 mod 2

m=3: 99 mod 3 = 0 = 0 = 126 mod 3

m=4: 99 mod 4 = 3 ≠ 2 = 126 mod 4

m=5: 99 mod 5 = 4 ≠ 1 = 126 mod 5

m=6: 99 mod 6 = 3 ≠ 0 = 126 mod 6

m=7: 99 mod 7 = 1 ≠ 0 = 126 mod 7

m=8: 99 mod 8 = 3 ≠ 6 = 126 mod 8

m=9: 99 mod 9 = 0 = 0 = 126 mod 9

m=10: 99 mod 10 = 9 ≠ 6 = 126 mod 10

m=11: 99 mod 11 = 0 ≠ 5 = 126 mod 11

m=12: 99 mod 12 = 3 ≠ 6 = 126 mod 12

m=13: 99 mod 13 = 8 ≠ 9 = 126 mod 13

m=14: 99 mod 14 = 1 ≠ 0 = 126 mod 14

m=15: 99 mod 15 = 9 ≠ 6 = 126 mod 15

m=16: 99 mod 16 = 3 ≠ 14 = 126 mod 16

m=17: 99 mod 17 = 14 ≠ 7 = 126 mod 17

m=18: 99 mod 18 = 9 ≠ 0 = 126 mod 18

m=19: 99 mod 19 = 4 ≠ 12 = 126 mod 19

m=20: 99 mod 20 = 19 ≠ 6 = 126 mod 20

m=21: 99 mod 21 = 15 ≠ 0 = 126 mod 21

m=22: 99 mod 22 = 11 ≠ 16 = 126 mod 22

m=23: 99 mod 23 = 7 ≠ 11 = 126 mod 23

m=24: 99 mod 24 = 3 ≠ 6 = 126 mod 24

m=25: 99 mod 25 = 24 ≠ 1 = 126 mod 25

m=26: 99 mod 26 = 21 ≠ 22 = 126 mod 26

m=27: 99 mod 27 = 18 = 18 = 126 mod 27

m=28: 99 mod 28 = 15 ≠ 14 = 126 mod 28

m=29: 99 mod 29 = 12 ≠ 10 = 126 mod 29

m=30: 99 mod 30 = 9 ≠ 6 = 126 mod 30

m=31: 99 mod 31 = 6 ≠ 2 = 126 mod 31

m=32: 99 mod 32 = 3 ≠ 30 = 126 mod 32

m=33: 99 mod 33 = 0 ≠ 27 = 126 mod 33

m=34: 99 mod 34 = 31 ≠ 24 = 126 mod 34

m=35: 99 mod 35 = 29 ≠ 21 = 126 mod 35

m=36: 99 mod 36 = 27 ≠ 18 = 126 mod 36

m=37: 99 mod 37 = 25 ≠ 15 = 126 mod 37

m=38: 99 mod 38 = 23 ≠ 12 = 126 mod 38

m=39: 99 mod 39 = 21 ≠ 9 = 126 mod 39

m=40: 99 mod 40 = 19 ≠ 6 = 126 mod 40

m=41: 99 mod 41 = 17 ≠ 3 = 126 mod 41

m=42: 99 mod 42 = 15 ≠ 0 = 126 mod 42

m=43: 99 mod 43 = 13 ≠ 40 = 126 mod 43

m=44: 99 mod 44 = 11 ≠ 38 = 126 mod 44

m=45: 99 mod 45 = 9 ≠ 36 = 126 mod 45

m=46: 99 mod 46 = 7 ≠ 34 = 126 mod 46

m=47: 99 mod 47 = 5 ≠ 32 = 126 mod 47

m=48: 99 mod 48 = 3 ≠ 30 = 126 mod 48

m=49: 99 mod 49 = 1 ≠ 28 = 126 mod 49

m=50: 99 mod 50 = 49 ≠ 26 = 126 mod 50

m=51: 99 mod 51 = 48 ≠ 24 = 126 mod 51

m=52: 99 mod 52 = 47 ≠ 22 = 126 mod 52

m=53: 99 mod 53 = 46 ≠ 20 = 126 mod 53

m=54: 99 mod 54 = 45 ≠ 18 = 126 mod 54

m=55: 99 mod 55 = 44 ≠ 16 = 126 mod 55

m=56: 99 mod 56 = 43 ≠ 14 = 126 mod 56

m=57: 99 mod 57 = 42 ≠ 12 = 126 mod 57

m=58: 99 mod 58 = 41 ≠ 10 = 126 mod 58

m=59: 99 mod 59 = 40 ≠ 8 = 126 mod 59

m=60: 99 mod 60 = 39 ≠ 6 = 126 mod 60

m=61: 99 mod 61 = 38 ≠ 4 = 126 mod 61

m=62: 99 mod 62 = 37 ≠ 2 = 126 mod 62

m=63: 99 mod 63 = 36 ≠ 0 = 126 mod 63

m=64: 99 mod 64 = 35 ≠ 62 = 126 mod 64

m=65: 99 mod 65 = 34 ≠ 61 = 126 mod 65

m=66: 99 mod 66 = 33 ≠ 60 = 126 mod 66

m=67: 99 mod 67 = 32 ≠ 59 = 126 mod 67

m=68: 99 mod 68 = 31 ≠ 58 = 126 mod 68

m=69: 99 mod 69 = 30 ≠ 57 = 126 mod 69

m=70: 99 mod 70 = 29 ≠ 56 = 126 mod 70

m=71: 99 mod 71 = 28 ≠ 55 = 126 mod 71

m=72: 99 mod 72 = 27 ≠ 54 = 126 mod 72

m=73: 99 mod 73 = 26 ≠ 53 = 126 mod 73

m=74: 99 mod 74 = 25 ≠ 52 = 126 mod 74

m=75: 99 mod 75 = 24 ≠ 51 = 126 mod 75

m=76: 99 mod 76 = 23 ≠ 50 = 126 mod 76

m=77: 99 mod 77 = 22 ≠ 49 = 126 mod 77

m=78: 99 mod 78 = 21 ≠ 48 = 126 mod 78

m=79: 99 mod 79 = 20 ≠ 47 = 126 mod 79

m=80: 99 mod 80 = 19 ≠ 46 = 126 mod 80

m=81: 99 mod 81 = 18 ≠ 45 = 126 mod 81

m=82: 99 mod 82 = 17 ≠ 44 = 126 mod 82

m=83: 99 mod 83 = 16 ≠ 43 = 126 mod 83

m=84: 99 mod 84 = 15 ≠ 42 = 126 mod 84

m=85: 99 mod 85 = 14 ≠ 41 = 126 mod 85

m=86: 99 mod 86 = 13 ≠ 40 = 126 mod 86

m=87: 99 mod 87 = 12 ≠ 39 = 126 mod 87

m=88: 99 mod 88 = 11 ≠ 38 = 126 mod 88

m=89: 99 mod 89 = 10 ≠ 37 = 126 mod 89

m=90: 99 mod 90 = 9 ≠ 36 = 126 mod 90

m=91: 99 mod 91 = 8 ≠ 35 = 126 mod 91

m=92: 99 mod 92 = 7 ≠ 34 = 126 mod 92

m=93: 99 mod 93 = 6 ≠ 33 = 126 mod 93

m=94: 99 mod 94 = 5 ≠ 32 = 126 mod 94

m=95: 99 mod 95 = 4 ≠ 31 = 126 mod 95

m=96: 99 mod 96 = 3 ≠ 30 = 126 mod 96

m=97: 99 mod 97 = 2 ≠ 29 = 126 mod 97

m=98: 99 mod 98 = 1 ≠ 28 = 126 mod 98

m=99: 99 mod 99 = 0 ≠ 27 = 126 mod 99

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (126 - 99) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27