Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 45 = 2.

Somit gilt: 47 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 88 = 8.

Somit gilt: 96 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 22 und erhalten so 30.

Somit gilt: 30 ≡ 96 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(168 + 326) mod 8 ≡ (168 mod 8 + 326 mod 8) mod 8.

168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168 = 160+8 = 8 ⋅ 20 +8.

326 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 326 = 320+6 = 8 ⋅ 40 +6.

Somit gilt:

(168 + 326) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 83) mod 6 ≡ (43 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.

43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 83) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 ≠ 1 = 25 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 = 1 = 25 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 ≠ 1 = 25 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 = 1 = 25 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 8 = 25 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 17) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8