Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 76 = 0.

Somit gilt: 76 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 68 = 2.

Somit gilt: 70 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 70 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(126 - 18003) mod 6 ≡ (126 mod 6 - 18003 mod 6) mod 6.

126 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 126 = 120+6 = 6 ⋅ 20 +6.

18003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003 = 18000+3 = 6 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(126 - 18003) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 60) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 60) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 127 aus, ob zufällig 127 mod m = 177 mod m gilt:

m=2: 127 mod 2 = 1 = 1 = 177 mod 2

m=3: 127 mod 3 = 1 ≠ 0 = 177 mod 3

m=4: 127 mod 4 = 3 ≠ 1 = 177 mod 4

m=5: 127 mod 5 = 2 = 2 = 177 mod 5

m=6: 127 mod 6 = 1 ≠ 3 = 177 mod 6

m=7: 127 mod 7 = 1 ≠ 2 = 177 mod 7

m=8: 127 mod 8 = 7 ≠ 1 = 177 mod 8

m=9: 127 mod 9 = 1 ≠ 6 = 177 mod 9

m=10: 127 mod 10 = 7 = 7 = 177 mod 10

m=11: 127 mod 11 = 6 ≠ 1 = 177 mod 11

m=12: 127 mod 12 = 7 ≠ 9 = 177 mod 12

m=13: 127 mod 13 = 10 ≠ 8 = 177 mod 13

m=14: 127 mod 14 = 1 ≠ 9 = 177 mod 14

m=15: 127 mod 15 = 7 ≠ 12 = 177 mod 15

m=16: 127 mod 16 = 15 ≠ 1 = 177 mod 16

m=17: 127 mod 17 = 8 ≠ 7 = 177 mod 17

m=18: 127 mod 18 = 1 ≠ 15 = 177 mod 18

m=19: 127 mod 19 = 13 ≠ 6 = 177 mod 19

m=20: 127 mod 20 = 7 ≠ 17 = 177 mod 20

m=21: 127 mod 21 = 1 ≠ 9 = 177 mod 21

m=22: 127 mod 22 = 17 ≠ 1 = 177 mod 22

m=23: 127 mod 23 = 12 ≠ 16 = 177 mod 23

m=24: 127 mod 24 = 7 ≠ 9 = 177 mod 24

m=25: 127 mod 25 = 2 = 2 = 177 mod 25

m=26: 127 mod 26 = 23 ≠ 21 = 177 mod 26

m=27: 127 mod 27 = 19 ≠ 15 = 177 mod 27

m=28: 127 mod 28 = 15 ≠ 9 = 177 mod 28

m=29: 127 mod 29 = 11 ≠ 3 = 177 mod 29

m=30: 127 mod 30 = 7 ≠ 27 = 177 mod 30

m=31: 127 mod 31 = 3 ≠ 22 = 177 mod 31

m=32: 127 mod 32 = 31 ≠ 17 = 177 mod 32

m=33: 127 mod 33 = 28 ≠ 12 = 177 mod 33

m=34: 127 mod 34 = 25 ≠ 7 = 177 mod 34

m=35: 127 mod 35 = 22 ≠ 2 = 177 mod 35

m=36: 127 mod 36 = 19 ≠ 33 = 177 mod 36

m=37: 127 mod 37 = 16 ≠ 29 = 177 mod 37

m=38: 127 mod 38 = 13 ≠ 25 = 177 mod 38

m=39: 127 mod 39 = 10 ≠ 21 = 177 mod 39

m=40: 127 mod 40 = 7 ≠ 17 = 177 mod 40

m=41: 127 mod 41 = 4 ≠ 13 = 177 mod 41

m=42: 127 mod 42 = 1 ≠ 9 = 177 mod 42

m=43: 127 mod 43 = 41 ≠ 5 = 177 mod 43

m=44: 127 mod 44 = 39 ≠ 1 = 177 mod 44

m=45: 127 mod 45 = 37 ≠ 42 = 177 mod 45

m=46: 127 mod 46 = 35 ≠ 39 = 177 mod 46

m=47: 127 mod 47 = 33 ≠ 36 = 177 mod 47

m=48: 127 mod 48 = 31 ≠ 33 = 177 mod 48

m=49: 127 mod 49 = 29 ≠ 30 = 177 mod 49

m=50: 127 mod 50 = 27 = 27 = 177 mod 50

m=51: 127 mod 51 = 25 ≠ 24 = 177 mod 51

m=52: 127 mod 52 = 23 ≠ 21 = 177 mod 52

m=53: 127 mod 53 = 21 ≠ 18 = 177 mod 53

m=54: 127 mod 54 = 19 ≠ 15 = 177 mod 54

m=55: 127 mod 55 = 17 ≠ 12 = 177 mod 55

m=56: 127 mod 56 = 15 ≠ 9 = 177 mod 56

m=57: 127 mod 57 = 13 ≠ 6 = 177 mod 57

m=58: 127 mod 58 = 11 ≠ 3 = 177 mod 58

m=59: 127 mod 59 = 9 ≠ 0 = 177 mod 59

m=60: 127 mod 60 = 7 ≠ 57 = 177 mod 60

m=61: 127 mod 61 = 5 ≠ 55 = 177 mod 61

m=62: 127 mod 62 = 3 ≠ 53 = 177 mod 62

m=63: 127 mod 63 = 1 ≠ 51 = 177 mod 63

m=64: 127 mod 64 = 63 ≠ 49 = 177 mod 64

m=65: 127 mod 65 = 62 ≠ 47 = 177 mod 65

m=66: 127 mod 66 = 61 ≠ 45 = 177 mod 66

m=67: 127 mod 67 = 60 ≠ 43 = 177 mod 67

m=68: 127 mod 68 = 59 ≠ 41 = 177 mod 68

m=69: 127 mod 69 = 58 ≠ 39 = 177 mod 69

m=70: 127 mod 70 = 57 ≠ 37 = 177 mod 70

m=71: 127 mod 71 = 56 ≠ 35 = 177 mod 71

m=72: 127 mod 72 = 55 ≠ 33 = 177 mod 72

m=73: 127 mod 73 = 54 ≠ 31 = 177 mod 73

m=74: 127 mod 74 = 53 ≠ 29 = 177 mod 74

m=75: 127 mod 75 = 52 ≠ 27 = 177 mod 75

m=76: 127 mod 76 = 51 ≠ 25 = 177 mod 76

m=77: 127 mod 77 = 50 ≠ 23 = 177 mod 77

m=78: 127 mod 78 = 49 ≠ 21 = 177 mod 78

m=79: 127 mod 79 = 48 ≠ 19 = 177 mod 79

m=80: 127 mod 80 = 47 ≠ 17 = 177 mod 80

m=81: 127 mod 81 = 46 ≠ 15 = 177 mod 81

m=82: 127 mod 82 = 45 ≠ 13 = 177 mod 82

m=83: 127 mod 83 = 44 ≠ 11 = 177 mod 83

m=84: 127 mod 84 = 43 ≠ 9 = 177 mod 84

m=85: 127 mod 85 = 42 ≠ 7 = 177 mod 85

m=86: 127 mod 86 = 41 ≠ 5 = 177 mod 86

m=87: 127 mod 87 = 40 ≠ 3 = 177 mod 87

m=88: 127 mod 88 = 39 ≠ 1 = 177 mod 88

m=89: 127 mod 89 = 38 ≠ 88 = 177 mod 89

m=90: 127 mod 90 = 37 ≠ 87 = 177 mod 90

m=91: 127 mod 91 = 36 ≠ 86 = 177 mod 91

m=92: 127 mod 92 = 35 ≠ 85 = 177 mod 92

m=93: 127 mod 93 = 34 ≠ 84 = 177 mod 93

m=94: 127 mod 94 = 33 ≠ 83 = 177 mod 94

m=95: 127 mod 95 = 32 ≠ 82 = 177 mod 95

m=96: 127 mod 96 = 31 ≠ 81 = 177 mod 96

m=97: 127 mod 97 = 30 ≠ 80 = 177 mod 97

m=98: 127 mod 98 = 29 ≠ 79 = 177 mod 98

m=99: 127 mod 99 = 28 ≠ 78 = 177 mod 99

m=100: 127 mod 100 = 27 ≠ 77 = 177 mod 100

m=101: 127 mod 101 = 26 ≠ 76 = 177 mod 101

m=102: 127 mod 102 = 25 ≠ 75 = 177 mod 102

m=103: 127 mod 103 = 24 ≠ 74 = 177 mod 103

m=104: 127 mod 104 = 23 ≠ 73 = 177 mod 104

m=105: 127 mod 105 = 22 ≠ 72 = 177 mod 105

m=106: 127 mod 106 = 21 ≠ 71 = 177 mod 106

m=107: 127 mod 107 = 20 ≠ 70 = 177 mod 107

m=108: 127 mod 108 = 19 ≠ 69 = 177 mod 108

m=109: 127 mod 109 = 18 ≠ 68 = 177 mod 109

m=110: 127 mod 110 = 17 ≠ 67 = 177 mod 110

m=111: 127 mod 111 = 16 ≠ 66 = 177 mod 111

m=112: 127 mod 112 = 15 ≠ 65 = 177 mod 112

m=113: 127 mod 113 = 14 ≠ 64 = 177 mod 113

m=114: 127 mod 114 = 13 ≠ 63 = 177 mod 114

m=115: 127 mod 115 = 12 ≠ 62 = 177 mod 115

m=116: 127 mod 116 = 11 ≠ 61 = 177 mod 116

m=117: 127 mod 117 = 10 ≠ 60 = 177 mod 117

m=118: 127 mod 118 = 9 ≠ 59 = 177 mod 118

m=119: 127 mod 119 = 8 ≠ 58 = 177 mod 119

m=120: 127 mod 120 = 7 ≠ 57 = 177 mod 120

m=121: 127 mod 121 = 6 ≠ 56 = 177 mod 121

m=122: 127 mod 122 = 5 ≠ 55 = 177 mod 122

m=123: 127 mod 123 = 4 ≠ 54 = 177 mod 123

m=124: 127 mod 124 = 3 ≠ 53 = 177 mod 124

m=125: 127 mod 125 = 2 ≠ 52 = 177 mod 125

m=126: 127 mod 126 = 1 ≠ 51 = 177 mod 126

m=127: 127 mod 127 = 0 ≠ 50 = 177 mod 127

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (177 - 127) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50