Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 42 = 4.

Somit gilt: 46 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 18 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 72 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 61 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8004 + 32003) mod 8 ≡ (8004 mod 8 + 32003 mod 8) mod 8.

8004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 8 ⋅ 1000 +4.

32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003 = 32000+3 = 8 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(8004 + 32003) mod 8 ≡ (4 + 3) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 65) mod 5 ≡ (20 mod 5 ⋅ 65 mod 5) mod 5.

20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 65) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 83 aus, ob zufällig 83 mod m = 113 mod m gilt:

m=2: 83 mod 2 = 1 = 1 = 113 mod 2

m=3: 83 mod 3 = 2 = 2 = 113 mod 3

m=4: 83 mod 4 = 3 ≠ 1 = 113 mod 4

m=5: 83 mod 5 = 3 = 3 = 113 mod 5

m=6: 83 mod 6 = 5 = 5 = 113 mod 6

m=7: 83 mod 7 = 6 ≠ 1 = 113 mod 7

m=8: 83 mod 8 = 3 ≠ 1 = 113 mod 8

m=9: 83 mod 9 = 2 ≠ 5 = 113 mod 9

m=10: 83 mod 10 = 3 = 3 = 113 mod 10

m=11: 83 mod 11 = 6 ≠ 3 = 113 mod 11

m=12: 83 mod 12 = 11 ≠ 5 = 113 mod 12

m=13: 83 mod 13 = 5 ≠ 9 = 113 mod 13

m=14: 83 mod 14 = 13 ≠ 1 = 113 mod 14

m=15: 83 mod 15 = 8 = 8 = 113 mod 15

m=16: 83 mod 16 = 3 ≠ 1 = 113 mod 16

m=17: 83 mod 17 = 15 ≠ 11 = 113 mod 17

m=18: 83 mod 18 = 11 ≠ 5 = 113 mod 18

m=19: 83 mod 19 = 7 ≠ 18 = 113 mod 19

m=20: 83 mod 20 = 3 ≠ 13 = 113 mod 20

m=21: 83 mod 21 = 20 ≠ 8 = 113 mod 21

m=22: 83 mod 22 = 17 ≠ 3 = 113 mod 22

m=23: 83 mod 23 = 14 ≠ 21 = 113 mod 23

m=24: 83 mod 24 = 11 ≠ 17 = 113 mod 24

m=25: 83 mod 25 = 8 ≠ 13 = 113 mod 25

m=26: 83 mod 26 = 5 ≠ 9 = 113 mod 26

m=27: 83 mod 27 = 2 ≠ 5 = 113 mod 27

m=28: 83 mod 28 = 27 ≠ 1 = 113 mod 28

m=29: 83 mod 29 = 25 ≠ 26 = 113 mod 29

m=30: 83 mod 30 = 23 = 23 = 113 mod 30

m=31: 83 mod 31 = 21 ≠ 20 = 113 mod 31

m=32: 83 mod 32 = 19 ≠ 17 = 113 mod 32

m=33: 83 mod 33 = 17 ≠ 14 = 113 mod 33

m=34: 83 mod 34 = 15 ≠ 11 = 113 mod 34

m=35: 83 mod 35 = 13 ≠ 8 = 113 mod 35

m=36: 83 mod 36 = 11 ≠ 5 = 113 mod 36

m=37: 83 mod 37 = 9 ≠ 2 = 113 mod 37

m=38: 83 mod 38 = 7 ≠ 37 = 113 mod 38

m=39: 83 mod 39 = 5 ≠ 35 = 113 mod 39

m=40: 83 mod 40 = 3 ≠ 33 = 113 mod 40

m=41: 83 mod 41 = 1 ≠ 31 = 113 mod 41

m=42: 83 mod 42 = 41 ≠ 29 = 113 mod 42

m=43: 83 mod 43 = 40 ≠ 27 = 113 mod 43

m=44: 83 mod 44 = 39 ≠ 25 = 113 mod 44

m=45: 83 mod 45 = 38 ≠ 23 = 113 mod 45

m=46: 83 mod 46 = 37 ≠ 21 = 113 mod 46

m=47: 83 mod 47 = 36 ≠ 19 = 113 mod 47

m=48: 83 mod 48 = 35 ≠ 17 = 113 mod 48

m=49: 83 mod 49 = 34 ≠ 15 = 113 mod 49

m=50: 83 mod 50 = 33 ≠ 13 = 113 mod 50

m=51: 83 mod 51 = 32 ≠ 11 = 113 mod 51

m=52: 83 mod 52 = 31 ≠ 9 = 113 mod 52

m=53: 83 mod 53 = 30 ≠ 7 = 113 mod 53

m=54: 83 mod 54 = 29 ≠ 5 = 113 mod 54

m=55: 83 mod 55 = 28 ≠ 3 = 113 mod 55

m=56: 83 mod 56 = 27 ≠ 1 = 113 mod 56

m=57: 83 mod 57 = 26 ≠ 56 = 113 mod 57

m=58: 83 mod 58 = 25 ≠ 55 = 113 mod 58

m=59: 83 mod 59 = 24 ≠ 54 = 113 mod 59

m=60: 83 mod 60 = 23 ≠ 53 = 113 mod 60

m=61: 83 mod 61 = 22 ≠ 52 = 113 mod 61

m=62: 83 mod 62 = 21 ≠ 51 = 113 mod 62

m=63: 83 mod 63 = 20 ≠ 50 = 113 mod 63

m=64: 83 mod 64 = 19 ≠ 49 = 113 mod 64

m=65: 83 mod 65 = 18 ≠ 48 = 113 mod 65

m=66: 83 mod 66 = 17 ≠ 47 = 113 mod 66

m=67: 83 mod 67 = 16 ≠ 46 = 113 mod 67

m=68: 83 mod 68 = 15 ≠ 45 = 113 mod 68

m=69: 83 mod 69 = 14 ≠ 44 = 113 mod 69

m=70: 83 mod 70 = 13 ≠ 43 = 113 mod 70

m=71: 83 mod 71 = 12 ≠ 42 = 113 mod 71

m=72: 83 mod 72 = 11 ≠ 41 = 113 mod 72

m=73: 83 mod 73 = 10 ≠ 40 = 113 mod 73

m=74: 83 mod 74 = 9 ≠ 39 = 113 mod 74

m=75: 83 mod 75 = 8 ≠ 38 = 113 mod 75

m=76: 83 mod 76 = 7 ≠ 37 = 113 mod 76

m=77: 83 mod 77 = 6 ≠ 36 = 113 mod 77

m=78: 83 mod 78 = 5 ≠ 35 = 113 mod 78

m=79: 83 mod 79 = 4 ≠ 34 = 113 mod 79

m=80: 83 mod 80 = 3 ≠ 33 = 113 mod 80

m=81: 83 mod 81 = 2 ≠ 32 = 113 mod 81

m=82: 83 mod 82 = 1 ≠ 31 = 113 mod 82

m=83: 83 mod 83 = 0 ≠ 30 = 113 mod 83

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (113 - 83) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30