Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 77 = 4.

Somit gilt: 81 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 24 = 3.

Somit gilt: 27 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 68 = 17 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 68 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 27 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15005 + 1996) mod 5 ≡ (15005 mod 5 + 1996 mod 5) mod 5.

15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005 = 15000+5 = 5 ⋅ 3000 +5.

1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 5 ⋅ 380 +96.

Somit gilt:

(15005 + 1996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 57) mod 3 ≡ (94 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.

94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 57) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 45 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 = 1 = 45 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 0 = 45 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 = 3 = 45 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 5 = 45 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 = 9 = 45 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 0 = 45 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 15 = 45 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 14 = 45 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 13 = 45 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 12 = 45 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 33) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12