Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 60 = 8.

Somit gilt: 68 mod 10 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 32 = 3.

Somit gilt: 35 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 35 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 2999) mod 3 ≡ (12000 mod 3 - 2999 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(12000 - 2999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 62) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 62) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 ≠ 1 = 35 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 35 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 = 8 = 35 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 9 = 35 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 26) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9