Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 22 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.
Somit gilt: 22 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 21 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 21 - 16 = 5.
Somit gilt: 21 mod 8 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 48 und erhalten so 53.
Somit gilt: 53 ≡ 21 ≡ 5 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39992 + 2399) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39992 + 2399) mod 8 ≡ (39992 mod 8 + 2399 mod 8) mod 8.
39992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39992
= 39000
2399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399
= 2400
Somit gilt:
(39992 + 2399) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 77) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.
98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 77) mod 8 ≡ (2 ⋅ 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
49 mod m = 67 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 49 aus, ob zufällig 49 mod m = 67 mod m gilt:
m=2: 49 mod 2 = 1 = 1 = 67 mod 2
m=3: 49 mod 3 = 1 = 1 = 67 mod 3
m=4: 49 mod 4 = 1 ≠ 3 = 67 mod 4
m=5: 49 mod 5 = 4 ≠ 2 = 67 mod 5
m=6: 49 mod 6 = 1 = 1 = 67 mod 6
m=7: 49 mod 7 = 0 ≠ 4 = 67 mod 7
m=8: 49 mod 8 = 1 ≠ 3 = 67 mod 8
m=9: 49 mod 9 = 4 = 4 = 67 mod 9
m=10: 49 mod 10 = 9 ≠ 7 = 67 mod 10
m=11: 49 mod 11 = 5 ≠ 1 = 67 mod 11
m=12: 49 mod 12 = 1 ≠ 7 = 67 mod 12
m=13: 49 mod 13 = 10 ≠ 2 = 67 mod 13
m=14: 49 mod 14 = 7 ≠ 11 = 67 mod 14
m=15: 49 mod 15 = 4 ≠ 7 = 67 mod 15
m=16: 49 mod 16 = 1 ≠ 3 = 67 mod 16
m=17: 49 mod 17 = 15 ≠ 16 = 67 mod 17
m=18: 49 mod 18 = 13 = 13 = 67 mod 18
m=19: 49 mod 19 = 11 ≠ 10 = 67 mod 19
m=20: 49 mod 20 = 9 ≠ 7 = 67 mod 20
m=21: 49 mod 21 = 7 ≠ 4 = 67 mod 21
m=22: 49 mod 22 = 5 ≠ 1 = 67 mod 22
m=23: 49 mod 23 = 3 ≠ 21 = 67 mod 23
m=24: 49 mod 24 = 1 ≠ 19 = 67 mod 24
m=25: 49 mod 25 = 24 ≠ 17 = 67 mod 25
m=26: 49 mod 26 = 23 ≠ 15 = 67 mod 26
m=27: 49 mod 27 = 22 ≠ 13 = 67 mod 27
m=28: 49 mod 28 = 21 ≠ 11 = 67 mod 28
m=29: 49 mod 29 = 20 ≠ 9 = 67 mod 29
m=30: 49 mod 30 = 19 ≠ 7 = 67 mod 30
m=31: 49 mod 31 = 18 ≠ 5 = 67 mod 31
m=32: 49 mod 32 = 17 ≠ 3 = 67 mod 32
m=33: 49 mod 33 = 16 ≠ 1 = 67 mod 33
m=34: 49 mod 34 = 15 ≠ 33 = 67 mod 34
m=35: 49 mod 35 = 14 ≠ 32 = 67 mod 35
m=36: 49 mod 36 = 13 ≠ 31 = 67 mod 36
m=37: 49 mod 37 = 12 ≠ 30 = 67 mod 37
m=38: 49 mod 38 = 11 ≠ 29 = 67 mod 38
m=39: 49 mod 39 = 10 ≠ 28 = 67 mod 39
m=40: 49 mod 40 = 9 ≠ 27 = 67 mod 40
m=41: 49 mod 41 = 8 ≠ 26 = 67 mod 41
m=42: 49 mod 42 = 7 ≠ 25 = 67 mod 42
m=43: 49 mod 43 = 6 ≠ 24 = 67 mod 43
m=44: 49 mod 44 = 5 ≠ 23 = 67 mod 44
m=45: 49 mod 45 = 4 ≠ 22 = 67 mod 45
m=46: 49 mod 46 = 3 ≠ 21 = 67 mod 46
m=47: 49 mod 47 = 2 ≠ 20 = 67 mod 47
m=48: 49 mod 48 = 1 ≠ 19 = 67 mod 48
m=49: 49 mod 49 = 0 ≠ 18 = 67 mod 49
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (67 - 49) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
