Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 18 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 18 - 15 = 3.
Somit gilt: 18 mod 5 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 89 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 80 = 9.
Somit gilt: 89 mod 10 ≡ 9.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 70 und erhalten so 79.
Somit gilt: 79 ≡ 89 ≡ 9 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26991 - 27007) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26991 - 27007) mod 9 ≡ (26991 mod 9 - 27007 mod 9) mod 9.
26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991
= 27000
27007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27007
= 27000
Somit gilt:
(26991 - 27007) mod 9 ≡ (0 - 7) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 66) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 66) mod 10 ≡ (49 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 66) mod 10 ≡ (9 ⋅ 6) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 46 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 46 mod m gilt:
m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 46 mod 2
m=3: 36 mod 3 = 0 ≠ 1 = 46 mod 3
m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 2 = 46 mod 4
m=5: 36 mod 5 = 1 = 1 = 46 mod 5
m=6: 36 mod 6 = 0 ≠ 4 = 46 mod 6
m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 4 = 46 mod 7
m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 6 = 46 mod 8
m=9: 36 mod 9 = 0 ≠ 1 = 46 mod 9
m=10: 36 mod 10 = 6 = 6 = 46 mod 10
m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 2 = 46 mod 11
m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 10 = 46 mod 12
m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 7 = 46 mod 13
m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 4 = 46 mod 14
m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 1 = 46 mod 15
m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 14 = 46 mod 16
m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 12 = 46 mod 17
m=18: 36 mod 18 = 0 ≠ 10 = 46 mod 18
m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 8 = 46 mod 19
m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 6 = 46 mod 20
m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 4 = 46 mod 21
m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 2 = 46 mod 22
m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 0 = 46 mod 23
m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 22 = 46 mod 24
m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 21 = 46 mod 25
m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 20 = 46 mod 26
m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 19 = 46 mod 27
m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 18 = 46 mod 28
m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 17 = 46 mod 29
m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 16 = 46 mod 30
m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 15 = 46 mod 31
m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 14 = 46 mod 32
m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 13 = 46 mod 33
m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 12 = 46 mod 34
m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 11 = 46 mod 35
m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 10 = 46 mod 36
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 36) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
