Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 70 = 5.

Somit gilt: 75 mod 10 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.

Somit gilt: 22 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 70 und erhalten so 72.

Somit gilt: 72 ≡ 22 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3507 + 140) mod 7 ≡ (3507 mod 7 + 140 mod 7) mod 7.

3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507 = 3500+7 = 7 ⋅ 500 +7.

140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140 = 140+0 = 7 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(3507 + 140) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 21) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 21 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 21) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 59 aus, ob zufällig 59 mod m = 86 mod m gilt:

m=2: 59 mod 2 = 1 ≠ 0 = 86 mod 2

m=3: 59 mod 3 = 2 = 2 = 86 mod 3

m=4: 59 mod 4 = 3 ≠ 2 = 86 mod 4

m=5: 59 mod 5 = 4 ≠ 1 = 86 mod 5

m=6: 59 mod 6 = 5 ≠ 2 = 86 mod 6

m=7: 59 mod 7 = 3 ≠ 2 = 86 mod 7

m=8: 59 mod 8 = 3 ≠ 6 = 86 mod 8

m=9: 59 mod 9 = 5 = 5 = 86 mod 9

m=10: 59 mod 10 = 9 ≠ 6 = 86 mod 10

m=11: 59 mod 11 = 4 ≠ 9 = 86 mod 11

m=12: 59 mod 12 = 11 ≠ 2 = 86 mod 12

m=13: 59 mod 13 = 7 ≠ 8 = 86 mod 13

m=14: 59 mod 14 = 3 ≠ 2 = 86 mod 14

m=15: 59 mod 15 = 14 ≠ 11 = 86 mod 15

m=16: 59 mod 16 = 11 ≠ 6 = 86 mod 16

m=17: 59 mod 17 = 8 ≠ 1 = 86 mod 17

m=18: 59 mod 18 = 5 ≠ 14 = 86 mod 18

m=19: 59 mod 19 = 2 ≠ 10 = 86 mod 19

m=20: 59 mod 20 = 19 ≠ 6 = 86 mod 20

m=21: 59 mod 21 = 17 ≠ 2 = 86 mod 21

m=22: 59 mod 22 = 15 ≠ 20 = 86 mod 22

m=23: 59 mod 23 = 13 ≠ 17 = 86 mod 23

m=24: 59 mod 24 = 11 ≠ 14 = 86 mod 24

m=25: 59 mod 25 = 9 ≠ 11 = 86 mod 25

m=26: 59 mod 26 = 7 ≠ 8 = 86 mod 26

m=27: 59 mod 27 = 5 = 5 = 86 mod 27

m=28: 59 mod 28 = 3 ≠ 2 = 86 mod 28

m=29: 59 mod 29 = 1 ≠ 28 = 86 mod 29

m=30: 59 mod 30 = 29 ≠ 26 = 86 mod 30

m=31: 59 mod 31 = 28 ≠ 24 = 86 mod 31

m=32: 59 mod 32 = 27 ≠ 22 = 86 mod 32

m=33: 59 mod 33 = 26 ≠ 20 = 86 mod 33

m=34: 59 mod 34 = 25 ≠ 18 = 86 mod 34

m=35: 59 mod 35 = 24 ≠ 16 = 86 mod 35

m=36: 59 mod 36 = 23 ≠ 14 = 86 mod 36

m=37: 59 mod 37 = 22 ≠ 12 = 86 mod 37

m=38: 59 mod 38 = 21 ≠ 10 = 86 mod 38

m=39: 59 mod 39 = 20 ≠ 8 = 86 mod 39

m=40: 59 mod 40 = 19 ≠ 6 = 86 mod 40

m=41: 59 mod 41 = 18 ≠ 4 = 86 mod 41

m=42: 59 mod 42 = 17 ≠ 2 = 86 mod 42

m=43: 59 mod 43 = 16 ≠ 0 = 86 mod 43

m=44: 59 mod 44 = 15 ≠ 42 = 86 mod 44

m=45: 59 mod 45 = 14 ≠ 41 = 86 mod 45

m=46: 59 mod 46 = 13 ≠ 40 = 86 mod 46

m=47: 59 mod 47 = 12 ≠ 39 = 86 mod 47

m=48: 59 mod 48 = 11 ≠ 38 = 86 mod 48

m=49: 59 mod 49 = 10 ≠ 37 = 86 mod 49

m=50: 59 mod 50 = 9 ≠ 36 = 86 mod 50

m=51: 59 mod 51 = 8 ≠ 35 = 86 mod 51

m=52: 59 mod 52 = 7 ≠ 34 = 86 mod 52

m=53: 59 mod 53 = 6 ≠ 33 = 86 mod 53

m=54: 59 mod 54 = 5 ≠ 32 = 86 mod 54

m=55: 59 mod 55 = 4 ≠ 31 = 86 mod 55

m=56: 59 mod 56 = 3 ≠ 30 = 86 mod 56

m=57: 59 mod 57 = 2 ≠ 29 = 86 mod 57

m=58: 59 mod 58 = 1 ≠ 28 = 86 mod 58

m=59: 59 mod 59 = 0 ≠ 27 = 86 mod 59

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (86 - 59) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27