Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 72 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 72 - 70 = 2.
Somit gilt: 72 mod 10 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 76 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 76 - 76 = 0.
Somit gilt: 76 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4
Somit gilt: 20 ≡ 76 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19999 - 82) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19999 - 82) mod 4 ≡ (19999 mod 4 - 82 mod 4) mod 4.
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
Somit gilt:
(19999 - 82) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 17) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 17) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.
20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 17) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6