Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 24 = 5.

Somit gilt: 29 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 88 = 1.

Somit gilt: 89 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 18 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 72 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 89 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(147 + 247) mod 5 ≡ (147 mod 5 + 247 mod 5) mod 5.

147 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 140+7 = 5 ⋅ 28 +7.

247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247 = 240+7 = 5 ⋅ 48 +7.

Somit gilt:

(147 + 247) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 54) mod 5 ≡ (19 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.

19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 54) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 42 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 = 2 = 42 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 2 = 42 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 = 0 = 42 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 6 = 42 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 2 = 42 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 = 6 = 42 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 12 = 42 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 30) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12