Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 88 = 1.

Somit gilt: 89 mod 11 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 44 = 6.

Somit gilt: 50 mod 11 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 6 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 6 mod 11 sein, also addieren wir noch 6 auf die 33 und erhalten so 39.

Somit gilt: 39 ≡ 50 ≡ 6 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(345 + 1395) mod 7 ≡ (345 mod 7 + 1395 mod 7) mod 7.

345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345 = 350-5 = 7 ⋅ 50 -5 = 7 ⋅ 50 - 7 + 2.

1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395 = 1400-5 = 7 ⋅ 200 -5 = 7 ⋅ 200 - 7 + 2.

Somit gilt:

(345 + 1395) mod 7 ≡ (2 + 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 61) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 61) mod 10 ≡ (9 ⋅ 1) mod 10 ≡ 9 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 ≠ 1 = 35 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 35 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 = 8 = 35 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 9 = 35 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 26) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9