Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.
Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 98 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.
Somit gilt: 98 mod 6 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 18 und erhalten so 20.
Somit gilt: 20 ≡ 98 ≡ 2 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 + 396) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 + 396) mod 4 ≡ (76 mod 4 + 396 mod 4) mod 4.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 80
396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396
= 300
Somit gilt:
(76 + 396) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 78) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 78) mod 7 ≡ (59 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 78) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
170 mod m = 245 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 170 aus, ob zufällig 170 mod m = 245 mod m gilt:
m=2: 170 mod 2 = 0 ≠ 1 = 245 mod 2
m=3: 170 mod 3 = 2 = 2 = 245 mod 3
m=4: 170 mod 4 = 2 ≠ 1 = 245 mod 4
m=5: 170 mod 5 = 0 = 0 = 245 mod 5
m=6: 170 mod 6 = 2 ≠ 5 = 245 mod 6
m=7: 170 mod 7 = 2 ≠ 0 = 245 mod 7
m=8: 170 mod 8 = 2 ≠ 5 = 245 mod 8
m=9: 170 mod 9 = 8 ≠ 2 = 245 mod 9
m=10: 170 mod 10 = 0 ≠ 5 = 245 mod 10
m=11: 170 mod 11 = 5 ≠ 3 = 245 mod 11
m=12: 170 mod 12 = 2 ≠ 5 = 245 mod 12
m=13: 170 mod 13 = 1 ≠ 11 = 245 mod 13
m=14: 170 mod 14 = 2 ≠ 7 = 245 mod 14
m=15: 170 mod 15 = 5 = 5 = 245 mod 15
m=16: 170 mod 16 = 10 ≠ 5 = 245 mod 16
m=17: 170 mod 17 = 0 ≠ 7 = 245 mod 17
m=18: 170 mod 18 = 8 ≠ 11 = 245 mod 18
m=19: 170 mod 19 = 18 ≠ 17 = 245 mod 19
m=20: 170 mod 20 = 10 ≠ 5 = 245 mod 20
m=21: 170 mod 21 = 2 ≠ 14 = 245 mod 21
m=22: 170 mod 22 = 16 ≠ 3 = 245 mod 22
m=23: 170 mod 23 = 9 ≠ 15 = 245 mod 23
m=24: 170 mod 24 = 2 ≠ 5 = 245 mod 24
m=25: 170 mod 25 = 20 = 20 = 245 mod 25
m=26: 170 mod 26 = 14 ≠ 11 = 245 mod 26
m=27: 170 mod 27 = 8 ≠ 2 = 245 mod 27
m=28: 170 mod 28 = 2 ≠ 21 = 245 mod 28
m=29: 170 mod 29 = 25 ≠ 13 = 245 mod 29
m=30: 170 mod 30 = 20 ≠ 5 = 245 mod 30
m=31: 170 mod 31 = 15 ≠ 28 = 245 mod 31
m=32: 170 mod 32 = 10 ≠ 21 = 245 mod 32
m=33: 170 mod 33 = 5 ≠ 14 = 245 mod 33
m=34: 170 mod 34 = 0 ≠ 7 = 245 mod 34
m=35: 170 mod 35 = 30 ≠ 0 = 245 mod 35
m=36: 170 mod 36 = 26 ≠ 29 = 245 mod 36
m=37: 170 mod 37 = 22 ≠ 23 = 245 mod 37
m=38: 170 mod 38 = 18 ≠ 17 = 245 mod 38
m=39: 170 mod 39 = 14 ≠ 11 = 245 mod 39
m=40: 170 mod 40 = 10 ≠ 5 = 245 mod 40
m=41: 170 mod 41 = 6 ≠ 40 = 245 mod 41
m=42: 170 mod 42 = 2 ≠ 35 = 245 mod 42
m=43: 170 mod 43 = 41 ≠ 30 = 245 mod 43
m=44: 170 mod 44 = 38 ≠ 25 = 245 mod 44
m=45: 170 mod 45 = 35 ≠ 20 = 245 mod 45
m=46: 170 mod 46 = 32 ≠ 15 = 245 mod 46
m=47: 170 mod 47 = 29 ≠ 10 = 245 mod 47
m=48: 170 mod 48 = 26 ≠ 5 = 245 mod 48
m=49: 170 mod 49 = 23 ≠ 0 = 245 mod 49
m=50: 170 mod 50 = 20 ≠ 45 = 245 mod 50
m=51: 170 mod 51 = 17 ≠ 41 = 245 mod 51
m=52: 170 mod 52 = 14 ≠ 37 = 245 mod 52
m=53: 170 mod 53 = 11 ≠ 33 = 245 mod 53
m=54: 170 mod 54 = 8 ≠ 29 = 245 mod 54
m=55: 170 mod 55 = 5 ≠ 25 = 245 mod 55
m=56: 170 mod 56 = 2 ≠ 21 = 245 mod 56
m=57: 170 mod 57 = 56 ≠ 17 = 245 mod 57
m=58: 170 mod 58 = 54 ≠ 13 = 245 mod 58
m=59: 170 mod 59 = 52 ≠ 9 = 245 mod 59
m=60: 170 mod 60 = 50 ≠ 5 = 245 mod 60
m=61: 170 mod 61 = 48 ≠ 1 = 245 mod 61
m=62: 170 mod 62 = 46 ≠ 59 = 245 mod 62
m=63: 170 mod 63 = 44 ≠ 56 = 245 mod 63
m=64: 170 mod 64 = 42 ≠ 53 = 245 mod 64
m=65: 170 mod 65 = 40 ≠ 50 = 245 mod 65
m=66: 170 mod 66 = 38 ≠ 47 = 245 mod 66
m=67: 170 mod 67 = 36 ≠ 44 = 245 mod 67
m=68: 170 mod 68 = 34 ≠ 41 = 245 mod 68
m=69: 170 mod 69 = 32 ≠ 38 = 245 mod 69
m=70: 170 mod 70 = 30 ≠ 35 = 245 mod 70
m=71: 170 mod 71 = 28 ≠ 32 = 245 mod 71
m=72: 170 mod 72 = 26 ≠ 29 = 245 mod 72
m=73: 170 mod 73 = 24 ≠ 26 = 245 mod 73
m=74: 170 mod 74 = 22 ≠ 23 = 245 mod 74
m=75: 170 mod 75 = 20 = 20 = 245 mod 75
m=76: 170 mod 76 = 18 ≠ 17 = 245 mod 76
m=77: 170 mod 77 = 16 ≠ 14 = 245 mod 77
m=78: 170 mod 78 = 14 ≠ 11 = 245 mod 78
m=79: 170 mod 79 = 12 ≠ 8 = 245 mod 79
m=80: 170 mod 80 = 10 ≠ 5 = 245 mod 80
m=81: 170 mod 81 = 8 ≠ 2 = 245 mod 81
m=82: 170 mod 82 = 6 ≠ 81 = 245 mod 82
m=83: 170 mod 83 = 4 ≠ 79 = 245 mod 83
m=84: 170 mod 84 = 2 ≠ 77 = 245 mod 84
m=85: 170 mod 85 = 0 ≠ 75 = 245 mod 85
m=86: 170 mod 86 = 84 ≠ 73 = 245 mod 86
m=87: 170 mod 87 = 83 ≠ 71 = 245 mod 87
m=88: 170 mod 88 = 82 ≠ 69 = 245 mod 88
m=89: 170 mod 89 = 81 ≠ 67 = 245 mod 89
m=90: 170 mod 90 = 80 ≠ 65 = 245 mod 90
m=91: 170 mod 91 = 79 ≠ 63 = 245 mod 91
m=92: 170 mod 92 = 78 ≠ 61 = 245 mod 92
m=93: 170 mod 93 = 77 ≠ 59 = 245 mod 93
m=94: 170 mod 94 = 76 ≠ 57 = 245 mod 94
m=95: 170 mod 95 = 75 ≠ 55 = 245 mod 95
m=96: 170 mod 96 = 74 ≠ 53 = 245 mod 96
m=97: 170 mod 97 = 73 ≠ 51 = 245 mod 97
m=98: 170 mod 98 = 72 ≠ 49 = 245 mod 98
m=99: 170 mod 99 = 71 ≠ 47 = 245 mod 99
m=100: 170 mod 100 = 70 ≠ 45 = 245 mod 100
m=101: 170 mod 101 = 69 ≠ 43 = 245 mod 101
m=102: 170 mod 102 = 68 ≠ 41 = 245 mod 102
m=103: 170 mod 103 = 67 ≠ 39 = 245 mod 103
m=104: 170 mod 104 = 66 ≠ 37 = 245 mod 104
m=105: 170 mod 105 = 65 ≠ 35 = 245 mod 105
m=106: 170 mod 106 = 64 ≠ 33 = 245 mod 106
m=107: 170 mod 107 = 63 ≠ 31 = 245 mod 107
m=108: 170 mod 108 = 62 ≠ 29 = 245 mod 108
m=109: 170 mod 109 = 61 ≠ 27 = 245 mod 109
m=110: 170 mod 110 = 60 ≠ 25 = 245 mod 110
m=111: 170 mod 111 = 59 ≠ 23 = 245 mod 111
m=112: 170 mod 112 = 58 ≠ 21 = 245 mod 112
m=113: 170 mod 113 = 57 ≠ 19 = 245 mod 113
m=114: 170 mod 114 = 56 ≠ 17 = 245 mod 114
m=115: 170 mod 115 = 55 ≠ 15 = 245 mod 115
m=116: 170 mod 116 = 54 ≠ 13 = 245 mod 116
m=117: 170 mod 117 = 53 ≠ 11 = 245 mod 117
m=118: 170 mod 118 = 52 ≠ 9 = 245 mod 118
m=119: 170 mod 119 = 51 ≠ 7 = 245 mod 119
m=120: 170 mod 120 = 50 ≠ 5 = 245 mod 120
m=121: 170 mod 121 = 49 ≠ 3 = 245 mod 121
m=122: 170 mod 122 = 48 ≠ 1 = 245 mod 122
m=123: 170 mod 123 = 47 ≠ 122 = 245 mod 123
m=124: 170 mod 124 = 46 ≠ 121 = 245 mod 124
m=125: 170 mod 125 = 45 ≠ 120 = 245 mod 125
m=126: 170 mod 126 = 44 ≠ 119 = 245 mod 126
m=127: 170 mod 127 = 43 ≠ 118 = 245 mod 127
m=128: 170 mod 128 = 42 ≠ 117 = 245 mod 128
m=129: 170 mod 129 = 41 ≠ 116 = 245 mod 129
m=130: 170 mod 130 = 40 ≠ 115 = 245 mod 130
m=131: 170 mod 131 = 39 ≠ 114 = 245 mod 131
m=132: 170 mod 132 = 38 ≠ 113 = 245 mod 132
m=133: 170 mod 133 = 37 ≠ 112 = 245 mod 133
m=134: 170 mod 134 = 36 ≠ 111 = 245 mod 134
m=135: 170 mod 135 = 35 ≠ 110 = 245 mod 135
m=136: 170 mod 136 = 34 ≠ 109 = 245 mod 136
m=137: 170 mod 137 = 33 ≠ 108 = 245 mod 137
m=138: 170 mod 138 = 32 ≠ 107 = 245 mod 138
m=139: 170 mod 139 = 31 ≠ 106 = 245 mod 139
m=140: 170 mod 140 = 30 ≠ 105 = 245 mod 140
m=141: 170 mod 141 = 29 ≠ 104 = 245 mod 141
m=142: 170 mod 142 = 28 ≠ 103 = 245 mod 142
m=143: 170 mod 143 = 27 ≠ 102 = 245 mod 143
m=144: 170 mod 144 = 26 ≠ 101 = 245 mod 144
m=145: 170 mod 145 = 25 ≠ 100 = 245 mod 145
m=146: 170 mod 146 = 24 ≠ 99 = 245 mod 146
m=147: 170 mod 147 = 23 ≠ 98 = 245 mod 147
m=148: 170 mod 148 = 22 ≠ 97 = 245 mod 148
m=149: 170 mod 149 = 21 ≠ 96 = 245 mod 149
m=150: 170 mod 150 = 20 ≠ 95 = 245 mod 150
m=151: 170 mod 151 = 19 ≠ 94 = 245 mod 151
m=152: 170 mod 152 = 18 ≠ 93 = 245 mod 152
m=153: 170 mod 153 = 17 ≠ 92 = 245 mod 153
m=154: 170 mod 154 = 16 ≠ 91 = 245 mod 154
m=155: 170 mod 155 = 15 ≠ 90 = 245 mod 155
m=156: 170 mod 156 = 14 ≠ 89 = 245 mod 156
m=157: 170 mod 157 = 13 ≠ 88 = 245 mod 157
m=158: 170 mod 158 = 12 ≠ 87 = 245 mod 158
m=159: 170 mod 159 = 11 ≠ 86 = 245 mod 159
m=160: 170 mod 160 = 10 ≠ 85 = 245 mod 160
m=161: 170 mod 161 = 9 ≠ 84 = 245 mod 161
m=162: 170 mod 162 = 8 ≠ 83 = 245 mod 162
m=163: 170 mod 163 = 7 ≠ 82 = 245 mod 163
m=164: 170 mod 164 = 6 ≠ 81 = 245 mod 164
m=165: 170 mod 165 = 5 ≠ 80 = 245 mod 165
m=166: 170 mod 166 = 4 ≠ 79 = 245 mod 166
m=167: 170 mod 167 = 3 ≠ 78 = 245 mod 167
m=168: 170 mod 168 = 2 ≠ 77 = 245 mod 168
m=169: 170 mod 169 = 1 ≠ 76 = 245 mod 169
m=170: 170 mod 170 = 0 ≠ 75 = 245 mod 170
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (245 - 170) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
