Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 33 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 28 = 5.

Somit gilt: 33 mod 7 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 89 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.

Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 20 und erhalten so 24.

Somit gilt: 24 ≡ 89 ≡ 4 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3996 + 1197) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3996 + 1197) mod 4 ≡ (3996 mod 4 + 1197 mod 4) mod 4.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

Somit gilt:

(3996 + 1197) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 87) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6