Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.

Somit gilt: 39 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 33 = 7.

Somit gilt: 40 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 88 und erhalten so 95.

Somit gilt: 95 ≡ 40 ≡ 7 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1594 - 796) mod 8 ≡ (1594 mod 8 - 796 mod 8) mod 8.

1594 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1594 = 1600-6 = 8 ⋅ 200 -6 = 8 ⋅ 200 - 8 + 2.

796 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796 = 800-4 = 8 ⋅ 100 -4 = 8 ⋅ 100 - 8 + 4.

Somit gilt:

(1594 - 796) mod 8 ≡ (2 - 4) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 50) mod 11 ≡ (40 mod 11 ⋅ 50 mod 11) mod 11.

40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.

50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 50) mod 11 ≡ (7 ⋅ 6) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 167 aus, ob zufällig 167 mod m = 242 mod m gilt:

m=2: 167 mod 2 = 1 ≠ 0 = 242 mod 2

m=3: 167 mod 3 = 2 = 2 = 242 mod 3

m=4: 167 mod 4 = 3 ≠ 2 = 242 mod 4

m=5: 167 mod 5 = 2 = 2 = 242 mod 5

m=6: 167 mod 6 = 5 ≠ 2 = 242 mod 6

m=7: 167 mod 7 = 6 ≠ 4 = 242 mod 7

m=8: 167 mod 8 = 7 ≠ 2 = 242 mod 8

m=9: 167 mod 9 = 5 ≠ 8 = 242 mod 9

m=10: 167 mod 10 = 7 ≠ 2 = 242 mod 10

m=11: 167 mod 11 = 2 ≠ 0 = 242 mod 11

m=12: 167 mod 12 = 11 ≠ 2 = 242 mod 12

m=13: 167 mod 13 = 11 ≠ 8 = 242 mod 13

m=14: 167 mod 14 = 13 ≠ 4 = 242 mod 14

m=15: 167 mod 15 = 2 = 2 = 242 mod 15

m=16: 167 mod 16 = 7 ≠ 2 = 242 mod 16

m=17: 167 mod 17 = 14 ≠ 4 = 242 mod 17

m=18: 167 mod 18 = 5 ≠ 8 = 242 mod 18

m=19: 167 mod 19 = 15 ≠ 14 = 242 mod 19

m=20: 167 mod 20 = 7 ≠ 2 = 242 mod 20

m=21: 167 mod 21 = 20 ≠ 11 = 242 mod 21

m=22: 167 mod 22 = 13 ≠ 0 = 242 mod 22

m=23: 167 mod 23 = 6 ≠ 12 = 242 mod 23

m=24: 167 mod 24 = 23 ≠ 2 = 242 mod 24

m=25: 167 mod 25 = 17 = 17 = 242 mod 25

m=26: 167 mod 26 = 11 ≠ 8 = 242 mod 26

m=27: 167 mod 27 = 5 ≠ 26 = 242 mod 27

m=28: 167 mod 28 = 27 ≠ 18 = 242 mod 28

m=29: 167 mod 29 = 22 ≠ 10 = 242 mod 29

m=30: 167 mod 30 = 17 ≠ 2 = 242 mod 30

m=31: 167 mod 31 = 12 ≠ 25 = 242 mod 31

m=32: 167 mod 32 = 7 ≠ 18 = 242 mod 32

m=33: 167 mod 33 = 2 ≠ 11 = 242 mod 33

m=34: 167 mod 34 = 31 ≠ 4 = 242 mod 34

m=35: 167 mod 35 = 27 ≠ 32 = 242 mod 35

m=36: 167 mod 36 = 23 ≠ 26 = 242 mod 36

m=37: 167 mod 37 = 19 ≠ 20 = 242 mod 37

m=38: 167 mod 38 = 15 ≠ 14 = 242 mod 38

m=39: 167 mod 39 = 11 ≠ 8 = 242 mod 39

m=40: 167 mod 40 = 7 ≠ 2 = 242 mod 40

m=41: 167 mod 41 = 3 ≠ 37 = 242 mod 41

m=42: 167 mod 42 = 41 ≠ 32 = 242 mod 42

m=43: 167 mod 43 = 38 ≠ 27 = 242 mod 43

m=44: 167 mod 44 = 35 ≠ 22 = 242 mod 44

m=45: 167 mod 45 = 32 ≠ 17 = 242 mod 45

m=46: 167 mod 46 = 29 ≠ 12 = 242 mod 46

m=47: 167 mod 47 = 26 ≠ 7 = 242 mod 47

m=48: 167 mod 48 = 23 ≠ 2 = 242 mod 48

m=49: 167 mod 49 = 20 ≠ 46 = 242 mod 49

m=50: 167 mod 50 = 17 ≠ 42 = 242 mod 50

m=51: 167 mod 51 = 14 ≠ 38 = 242 mod 51

m=52: 167 mod 52 = 11 ≠ 34 = 242 mod 52

m=53: 167 mod 53 = 8 ≠ 30 = 242 mod 53

m=54: 167 mod 54 = 5 ≠ 26 = 242 mod 54

m=55: 167 mod 55 = 2 ≠ 22 = 242 mod 55

m=56: 167 mod 56 = 55 ≠ 18 = 242 mod 56

m=57: 167 mod 57 = 53 ≠ 14 = 242 mod 57

m=58: 167 mod 58 = 51 ≠ 10 = 242 mod 58

m=59: 167 mod 59 = 49 ≠ 6 = 242 mod 59

m=60: 167 mod 60 = 47 ≠ 2 = 242 mod 60

m=61: 167 mod 61 = 45 ≠ 59 = 242 mod 61

m=62: 167 mod 62 = 43 ≠ 56 = 242 mod 62

m=63: 167 mod 63 = 41 ≠ 53 = 242 mod 63

m=64: 167 mod 64 = 39 ≠ 50 = 242 mod 64

m=65: 167 mod 65 = 37 ≠ 47 = 242 mod 65

m=66: 167 mod 66 = 35 ≠ 44 = 242 mod 66

m=67: 167 mod 67 = 33 ≠ 41 = 242 mod 67

m=68: 167 mod 68 = 31 ≠ 38 = 242 mod 68

m=69: 167 mod 69 = 29 ≠ 35 = 242 mod 69

m=70: 167 mod 70 = 27 ≠ 32 = 242 mod 70

m=71: 167 mod 71 = 25 ≠ 29 = 242 mod 71

m=72: 167 mod 72 = 23 ≠ 26 = 242 mod 72

m=73: 167 mod 73 = 21 ≠ 23 = 242 mod 73

m=74: 167 mod 74 = 19 ≠ 20 = 242 mod 74

m=75: 167 mod 75 = 17 = 17 = 242 mod 75

m=76: 167 mod 76 = 15 ≠ 14 = 242 mod 76

m=77: 167 mod 77 = 13 ≠ 11 = 242 mod 77

m=78: 167 mod 78 = 11 ≠ 8 = 242 mod 78

m=79: 167 mod 79 = 9 ≠ 5 = 242 mod 79

m=80: 167 mod 80 = 7 ≠ 2 = 242 mod 80

m=81: 167 mod 81 = 5 ≠ 80 = 242 mod 81

m=82: 167 mod 82 = 3 ≠ 78 = 242 mod 82

m=83: 167 mod 83 = 1 ≠ 76 = 242 mod 83

m=84: 167 mod 84 = 83 ≠ 74 = 242 mod 84

m=85: 167 mod 85 = 82 ≠ 72 = 242 mod 85

m=86: 167 mod 86 = 81 ≠ 70 = 242 mod 86

m=87: 167 mod 87 = 80 ≠ 68 = 242 mod 87

m=88: 167 mod 88 = 79 ≠ 66 = 242 mod 88

m=89: 167 mod 89 = 78 ≠ 64 = 242 mod 89

m=90: 167 mod 90 = 77 ≠ 62 = 242 mod 90

m=91: 167 mod 91 = 76 ≠ 60 = 242 mod 91

m=92: 167 mod 92 = 75 ≠ 58 = 242 mod 92

m=93: 167 mod 93 = 74 ≠ 56 = 242 mod 93

m=94: 167 mod 94 = 73 ≠ 54 = 242 mod 94

m=95: 167 mod 95 = 72 ≠ 52 = 242 mod 95

m=96: 167 mod 96 = 71 ≠ 50 = 242 mod 96

m=97: 167 mod 97 = 70 ≠ 48 = 242 mod 97

m=98: 167 mod 98 = 69 ≠ 46 = 242 mod 98

m=99: 167 mod 99 = 68 ≠ 44 = 242 mod 99

m=100: 167 mod 100 = 67 ≠ 42 = 242 mod 100

m=101: 167 mod 101 = 66 ≠ 40 = 242 mod 101

m=102: 167 mod 102 = 65 ≠ 38 = 242 mod 102

m=103: 167 mod 103 = 64 ≠ 36 = 242 mod 103

m=104: 167 mod 104 = 63 ≠ 34 = 242 mod 104

m=105: 167 mod 105 = 62 ≠ 32 = 242 mod 105

m=106: 167 mod 106 = 61 ≠ 30 = 242 mod 106

m=107: 167 mod 107 = 60 ≠ 28 = 242 mod 107

m=108: 167 mod 108 = 59 ≠ 26 = 242 mod 108

m=109: 167 mod 109 = 58 ≠ 24 = 242 mod 109

m=110: 167 mod 110 = 57 ≠ 22 = 242 mod 110

m=111: 167 mod 111 = 56 ≠ 20 = 242 mod 111

m=112: 167 mod 112 = 55 ≠ 18 = 242 mod 112

m=113: 167 mod 113 = 54 ≠ 16 = 242 mod 113

m=114: 167 mod 114 = 53 ≠ 14 = 242 mod 114

m=115: 167 mod 115 = 52 ≠ 12 = 242 mod 115

m=116: 167 mod 116 = 51 ≠ 10 = 242 mod 116

m=117: 167 mod 117 = 50 ≠ 8 = 242 mod 117

m=118: 167 mod 118 = 49 ≠ 6 = 242 mod 118

m=119: 167 mod 119 = 48 ≠ 4 = 242 mod 119

m=120: 167 mod 120 = 47 ≠ 2 = 242 mod 120

m=121: 167 mod 121 = 46 ≠ 0 = 242 mod 121

m=122: 167 mod 122 = 45 ≠ 120 = 242 mod 122

m=123: 167 mod 123 = 44 ≠ 119 = 242 mod 123

m=124: 167 mod 124 = 43 ≠ 118 = 242 mod 124

m=125: 167 mod 125 = 42 ≠ 117 = 242 mod 125

m=126: 167 mod 126 = 41 ≠ 116 = 242 mod 126

m=127: 167 mod 127 = 40 ≠ 115 = 242 mod 127

m=128: 167 mod 128 = 39 ≠ 114 = 242 mod 128

m=129: 167 mod 129 = 38 ≠ 113 = 242 mod 129

m=130: 167 mod 130 = 37 ≠ 112 = 242 mod 130

m=131: 167 mod 131 = 36 ≠ 111 = 242 mod 131

m=132: 167 mod 132 = 35 ≠ 110 = 242 mod 132

m=133: 167 mod 133 = 34 ≠ 109 = 242 mod 133

m=134: 167 mod 134 = 33 ≠ 108 = 242 mod 134

m=135: 167 mod 135 = 32 ≠ 107 = 242 mod 135

m=136: 167 mod 136 = 31 ≠ 106 = 242 mod 136

m=137: 167 mod 137 = 30 ≠ 105 = 242 mod 137

m=138: 167 mod 138 = 29 ≠ 104 = 242 mod 138

m=139: 167 mod 139 = 28 ≠ 103 = 242 mod 139

m=140: 167 mod 140 = 27 ≠ 102 = 242 mod 140

m=141: 167 mod 141 = 26 ≠ 101 = 242 mod 141

m=142: 167 mod 142 = 25 ≠ 100 = 242 mod 142

m=143: 167 mod 143 = 24 ≠ 99 = 242 mod 143

m=144: 167 mod 144 = 23 ≠ 98 = 242 mod 144

m=145: 167 mod 145 = 22 ≠ 97 = 242 mod 145

m=146: 167 mod 146 = 21 ≠ 96 = 242 mod 146

m=147: 167 mod 147 = 20 ≠ 95 = 242 mod 147

m=148: 167 mod 148 = 19 ≠ 94 = 242 mod 148

m=149: 167 mod 149 = 18 ≠ 93 = 242 mod 149

m=150: 167 mod 150 = 17 ≠ 92 = 242 mod 150

m=151: 167 mod 151 = 16 ≠ 91 = 242 mod 151

m=152: 167 mod 152 = 15 ≠ 90 = 242 mod 152

m=153: 167 mod 153 = 14 ≠ 89 = 242 mod 153

m=154: 167 mod 154 = 13 ≠ 88 = 242 mod 154

m=155: 167 mod 155 = 12 ≠ 87 = 242 mod 155

m=156: 167 mod 156 = 11 ≠ 86 = 242 mod 156

m=157: 167 mod 157 = 10 ≠ 85 = 242 mod 157

m=158: 167 mod 158 = 9 ≠ 84 = 242 mod 158

m=159: 167 mod 159 = 8 ≠ 83 = 242 mod 159

m=160: 167 mod 160 = 7 ≠ 82 = 242 mod 160

m=161: 167 mod 161 = 6 ≠ 81 = 242 mod 161

m=162: 167 mod 162 = 5 ≠ 80 = 242 mod 162

m=163: 167 mod 163 = 4 ≠ 79 = 242 mod 163

m=164: 167 mod 164 = 3 ≠ 78 = 242 mod 164

m=165: 167 mod 165 = 2 ≠ 77 = 242 mod 165

m=166: 167 mod 166 = 1 ≠ 76 = 242 mod 166

m=167: 167 mod 167 = 0 ≠ 75 = 242 mod 167

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (242 - 167) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75