Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 46 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 46 - 40 = 6.
Somit gilt: 46 mod 8 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 42 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.
Somit gilt: 42 mod 4 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 12 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.
Somit gilt: 50 ≡ 42 ≡ 2 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (177 + 2401) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(177 + 2401) mod 6 ≡ (177 mod 6 + 2401 mod 6) mod 6.
177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
2401 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401
= 2400
Somit gilt:
(177 + 2401) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 57) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 57) mod 10 ≡ (75 mod 10 ⋅ 57 mod 10) mod 10.
75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.
57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 57) mod 10 ≡ (5 ⋅ 7) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6