Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 11 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 21 = 1.

Somit gilt: 22 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 49 = 7 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 49 und erhalten so 50.

Somit gilt: 50 ≡ 22 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(602 - 12002) mod 6 ≡ (602 mod 6 - 12002 mod 6) mod 6.

602 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602 = 600+2 = 6 ⋅ 100 +2.

12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 6 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(602 - 12002) mod 6 ≡ (2 - 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 78) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 78 mod 10) mod 10.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 78) mod 10 ≡ (8 ⋅ 8) mod 10 ≡ 64 mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4