Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 55 = 8.

Somit gilt: 63 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 11 und erhalten so 19.

Somit gilt: 19 ≡ 63 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 1201) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 1201 mod 6) mod 6.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 6 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(1200 - 1201) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 56) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 56 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 56) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 81 aus, ob zufällig 81 mod m = 111 mod m gilt:

m=2: 81 mod 2 = 1 = 1 = 111 mod 2

m=3: 81 mod 3 = 0 = 0 = 111 mod 3

m=4: 81 mod 4 = 1 ≠ 3 = 111 mod 4

m=5: 81 mod 5 = 1 = 1 = 111 mod 5

m=6: 81 mod 6 = 3 = 3 = 111 mod 6

m=7: 81 mod 7 = 4 ≠ 6 = 111 mod 7

m=8: 81 mod 8 = 1 ≠ 7 = 111 mod 8

m=9: 81 mod 9 = 0 ≠ 3 = 111 mod 9

m=10: 81 mod 10 = 1 = 1 = 111 mod 10

m=11: 81 mod 11 = 4 ≠ 1 = 111 mod 11

m=12: 81 mod 12 = 9 ≠ 3 = 111 mod 12

m=13: 81 mod 13 = 3 ≠ 7 = 111 mod 13

m=14: 81 mod 14 = 11 ≠ 13 = 111 mod 14

m=15: 81 mod 15 = 6 = 6 = 111 mod 15

m=16: 81 mod 16 = 1 ≠ 15 = 111 mod 16

m=17: 81 mod 17 = 13 ≠ 9 = 111 mod 17

m=18: 81 mod 18 = 9 ≠ 3 = 111 mod 18

m=19: 81 mod 19 = 5 ≠ 16 = 111 mod 19

m=20: 81 mod 20 = 1 ≠ 11 = 111 mod 20

m=21: 81 mod 21 = 18 ≠ 6 = 111 mod 21

m=22: 81 mod 22 = 15 ≠ 1 = 111 mod 22

m=23: 81 mod 23 = 12 ≠ 19 = 111 mod 23

m=24: 81 mod 24 = 9 ≠ 15 = 111 mod 24

m=25: 81 mod 25 = 6 ≠ 11 = 111 mod 25

m=26: 81 mod 26 = 3 ≠ 7 = 111 mod 26

m=27: 81 mod 27 = 0 ≠ 3 = 111 mod 27

m=28: 81 mod 28 = 25 ≠ 27 = 111 mod 28

m=29: 81 mod 29 = 23 ≠ 24 = 111 mod 29

m=30: 81 mod 30 = 21 = 21 = 111 mod 30

m=31: 81 mod 31 = 19 ≠ 18 = 111 mod 31

m=32: 81 mod 32 = 17 ≠ 15 = 111 mod 32

m=33: 81 mod 33 = 15 ≠ 12 = 111 mod 33

m=34: 81 mod 34 = 13 ≠ 9 = 111 mod 34

m=35: 81 mod 35 = 11 ≠ 6 = 111 mod 35

m=36: 81 mod 36 = 9 ≠ 3 = 111 mod 36

m=37: 81 mod 37 = 7 ≠ 0 = 111 mod 37

m=38: 81 mod 38 = 5 ≠ 35 = 111 mod 38

m=39: 81 mod 39 = 3 ≠ 33 = 111 mod 39

m=40: 81 mod 40 = 1 ≠ 31 = 111 mod 40

m=41: 81 mod 41 = 40 ≠ 29 = 111 mod 41

m=42: 81 mod 42 = 39 ≠ 27 = 111 mod 42

m=43: 81 mod 43 = 38 ≠ 25 = 111 mod 43

m=44: 81 mod 44 = 37 ≠ 23 = 111 mod 44

m=45: 81 mod 45 = 36 ≠ 21 = 111 mod 45

m=46: 81 mod 46 = 35 ≠ 19 = 111 mod 46

m=47: 81 mod 47 = 34 ≠ 17 = 111 mod 47

m=48: 81 mod 48 = 33 ≠ 15 = 111 mod 48

m=49: 81 mod 49 = 32 ≠ 13 = 111 mod 49

m=50: 81 mod 50 = 31 ≠ 11 = 111 mod 50

m=51: 81 mod 51 = 30 ≠ 9 = 111 mod 51

m=52: 81 mod 52 = 29 ≠ 7 = 111 mod 52

m=53: 81 mod 53 = 28 ≠ 5 = 111 mod 53

m=54: 81 mod 54 = 27 ≠ 3 = 111 mod 54

m=55: 81 mod 55 = 26 ≠ 1 = 111 mod 55

m=56: 81 mod 56 = 25 ≠ 55 = 111 mod 56

m=57: 81 mod 57 = 24 ≠ 54 = 111 mod 57

m=58: 81 mod 58 = 23 ≠ 53 = 111 mod 58

m=59: 81 mod 59 = 22 ≠ 52 = 111 mod 59

m=60: 81 mod 60 = 21 ≠ 51 = 111 mod 60

m=61: 81 mod 61 = 20 ≠ 50 = 111 mod 61

m=62: 81 mod 62 = 19 ≠ 49 = 111 mod 62

m=63: 81 mod 63 = 18 ≠ 48 = 111 mod 63

m=64: 81 mod 64 = 17 ≠ 47 = 111 mod 64

m=65: 81 mod 65 = 16 ≠ 46 = 111 mod 65

m=66: 81 mod 66 = 15 ≠ 45 = 111 mod 66

m=67: 81 mod 67 = 14 ≠ 44 = 111 mod 67

m=68: 81 mod 68 = 13 ≠ 43 = 111 mod 68

m=69: 81 mod 69 = 12 ≠ 42 = 111 mod 69

m=70: 81 mod 70 = 11 ≠ 41 = 111 mod 70

m=71: 81 mod 71 = 10 ≠ 40 = 111 mod 71

m=72: 81 mod 72 = 9 ≠ 39 = 111 mod 72

m=73: 81 mod 73 = 8 ≠ 38 = 111 mod 73

m=74: 81 mod 74 = 7 ≠ 37 = 111 mod 74

m=75: 81 mod 75 = 6 ≠ 36 = 111 mod 75

m=76: 81 mod 76 = 5 ≠ 35 = 111 mod 76

m=77: 81 mod 77 = 4 ≠ 34 = 111 mod 77

m=78: 81 mod 78 = 3 ≠ 33 = 111 mod 78

m=79: 81 mod 79 = 2 ≠ 32 = 111 mod 79

m=80: 81 mod 80 = 1 ≠ 31 = 111 mod 80

m=81: 81 mod 81 = 0 ≠ 30 = 111 mod 81

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (111 - 81) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30