Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 36 = 3.

Somit gilt: 39 mod 9 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.

Somit gilt: 90 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.

Somit gilt: 50 ≡ 90 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 + 17996) mod 9 ≡ (87 mod 9 + 17996 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 9 ⋅ 10 -3 = 9 ⋅ 10 - 9 + 6.

17996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17996 = 18000-4 = 9 ⋅ 2000 -4 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(87 + 17996) mod 9 ≡ (6 + 5) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 76) mod 7 ≡ (50 mod 7 ⋅ 76 mod 7) mod 7.

50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 76) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 ≠ 2 = 26 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 = 2 = 26 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 2 = 26 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 = 2 = 26 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 8 = 26 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 18) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8