Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 88 = 10.

Somit gilt: 98 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 33, weil ja 11 ⋅ 3 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 33 = 0.

Somit gilt: 33 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Somit gilt: 60 ≡ 33 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(597 - 8998) mod 3 ≡ (597 mod 3 - 8998 mod 3) mod 3.

597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597 = 600-3 = 3 ⋅ 200 -3 = 3 ⋅ 200 - 3 + 0.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(597 - 8998) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 53) mod 6 ≡ (46 mod 6 ⋅ 53 mod 6) mod 6.

46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 53) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 = 2 = 30 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 = 6 = 30 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 9 = 30 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 8 = 30 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 22) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8