Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 64 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 64 - 64 = 0.
Somit gilt: 64 mod 4 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 100 für die gilt n ≡ 73 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 73 - 70 = 3.
Somit gilt: 73 mod 10 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.
Somit gilt: 93 ≡ 73 ≡ 3 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (495 + 2004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(495 + 2004) mod 5 ≡ (495 mod 5 + 2004 mod 5) mod 5.
495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 495
= 400
2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(495 + 2004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 51) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 51) mod 7 ≡ (31 mod 7 ⋅ 51 mod 7) mod 7.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 51) mod 7 ≡ (3 ⋅ 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6