Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.

Somit gilt: 78 mod 8 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 55 = 7.

Somit gilt: 62 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 77 und erhalten so 84.

Somit gilt: 84 ≡ 62 ≡ 7 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 + 5999) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 5999 mod 3) mod 3.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

5999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 3 ⋅ 2000 -1 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1500 + 5999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 57) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 57) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 60 aus, ob zufällig 60 mod m = 80 mod m gilt:

m=2: 60 mod 2 = 0 = 0 = 80 mod 2

m=3: 60 mod 3 = 0 ≠ 2 = 80 mod 3

m=4: 60 mod 4 = 0 = 0 = 80 mod 4

m=5: 60 mod 5 = 0 = 0 = 80 mod 5

m=6: 60 mod 6 = 0 ≠ 2 = 80 mod 6

m=7: 60 mod 7 = 4 ≠ 3 = 80 mod 7

m=8: 60 mod 8 = 4 ≠ 0 = 80 mod 8

m=9: 60 mod 9 = 6 ≠ 8 = 80 mod 9

m=10: 60 mod 10 = 0 = 0 = 80 mod 10

m=11: 60 mod 11 = 5 ≠ 3 = 80 mod 11

m=12: 60 mod 12 = 0 ≠ 8 = 80 mod 12

m=13: 60 mod 13 = 8 ≠ 2 = 80 mod 13

m=14: 60 mod 14 = 4 ≠ 10 = 80 mod 14

m=15: 60 mod 15 = 0 ≠ 5 = 80 mod 15

m=16: 60 mod 16 = 12 ≠ 0 = 80 mod 16

m=17: 60 mod 17 = 9 ≠ 12 = 80 mod 17

m=18: 60 mod 18 = 6 ≠ 8 = 80 mod 18

m=19: 60 mod 19 = 3 ≠ 4 = 80 mod 19

m=20: 60 mod 20 = 0 = 0 = 80 mod 20

m=21: 60 mod 21 = 18 ≠ 17 = 80 mod 21

m=22: 60 mod 22 = 16 ≠ 14 = 80 mod 22

m=23: 60 mod 23 = 14 ≠ 11 = 80 mod 23

m=24: 60 mod 24 = 12 ≠ 8 = 80 mod 24

m=25: 60 mod 25 = 10 ≠ 5 = 80 mod 25

m=26: 60 mod 26 = 8 ≠ 2 = 80 mod 26

m=27: 60 mod 27 = 6 ≠ 26 = 80 mod 27

m=28: 60 mod 28 = 4 ≠ 24 = 80 mod 28

m=29: 60 mod 29 = 2 ≠ 22 = 80 mod 29

m=30: 60 mod 30 = 0 ≠ 20 = 80 mod 30

m=31: 60 mod 31 = 29 ≠ 18 = 80 mod 31

m=32: 60 mod 32 = 28 ≠ 16 = 80 mod 32

m=33: 60 mod 33 = 27 ≠ 14 = 80 mod 33

m=34: 60 mod 34 = 26 ≠ 12 = 80 mod 34

m=35: 60 mod 35 = 25 ≠ 10 = 80 mod 35

m=36: 60 mod 36 = 24 ≠ 8 = 80 mod 36

m=37: 60 mod 37 = 23 ≠ 6 = 80 mod 37

m=38: 60 mod 38 = 22 ≠ 4 = 80 mod 38

m=39: 60 mod 39 = 21 ≠ 2 = 80 mod 39

m=40: 60 mod 40 = 20 ≠ 0 = 80 mod 40

m=41: 60 mod 41 = 19 ≠ 39 = 80 mod 41

m=42: 60 mod 42 = 18 ≠ 38 = 80 mod 42

m=43: 60 mod 43 = 17 ≠ 37 = 80 mod 43

m=44: 60 mod 44 = 16 ≠ 36 = 80 mod 44

m=45: 60 mod 45 = 15 ≠ 35 = 80 mod 45

m=46: 60 mod 46 = 14 ≠ 34 = 80 mod 46

m=47: 60 mod 47 = 13 ≠ 33 = 80 mod 47

m=48: 60 mod 48 = 12 ≠ 32 = 80 mod 48

m=49: 60 mod 49 = 11 ≠ 31 = 80 mod 49

m=50: 60 mod 50 = 10 ≠ 30 = 80 mod 50

m=51: 60 mod 51 = 9 ≠ 29 = 80 mod 51

m=52: 60 mod 52 = 8 ≠ 28 = 80 mod 52

m=53: 60 mod 53 = 7 ≠ 27 = 80 mod 53

m=54: 60 mod 54 = 6 ≠ 26 = 80 mod 54

m=55: 60 mod 55 = 5 ≠ 25 = 80 mod 55

m=56: 60 mod 56 = 4 ≠ 24 = 80 mod 56

m=57: 60 mod 57 = 3 ≠ 23 = 80 mod 57

m=58: 60 mod 58 = 2 ≠ 22 = 80 mod 58

m=59: 60 mod 59 = 1 ≠ 21 = 80 mod 59

m=60: 60 mod 60 = 0 ≠ 20 = 80 mod 60

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (80 - 60) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20