Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.
Somit gilt: 32 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 71 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 71 - 63 = 8.
Somit gilt: 71 mod 9 ≡ 8.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 45 = 5 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 45 und erhalten so 53.
Somit gilt: 53 ≡ 71 ≡ 8 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24995 + 2503) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24995 + 2503) mod 5 ≡ (24995 mod 5 + 2503 mod 5) mod 5.
24995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24995
= 24000
2503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2503
= 2500
Somit gilt:
(24995 + 2503) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 50) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 50) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.
92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.
50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 50) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
206 mod m = 281 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 206 aus, ob zufällig 206 mod m = 281 mod m gilt:
m=2: 206 mod 2 = 0 ≠ 1 = 281 mod 2
m=3: 206 mod 3 = 2 = 2 = 281 mod 3
m=4: 206 mod 4 = 2 ≠ 1 = 281 mod 4
m=5: 206 mod 5 = 1 = 1 = 281 mod 5
m=6: 206 mod 6 = 2 ≠ 5 = 281 mod 6
m=7: 206 mod 7 = 3 ≠ 1 = 281 mod 7
m=8: 206 mod 8 = 6 ≠ 1 = 281 mod 8
m=9: 206 mod 9 = 8 ≠ 2 = 281 mod 9
m=10: 206 mod 10 = 6 ≠ 1 = 281 mod 10
m=11: 206 mod 11 = 8 ≠ 6 = 281 mod 11
m=12: 206 mod 12 = 2 ≠ 5 = 281 mod 12
m=13: 206 mod 13 = 11 ≠ 8 = 281 mod 13
m=14: 206 mod 14 = 10 ≠ 1 = 281 mod 14
m=15: 206 mod 15 = 11 = 11 = 281 mod 15
m=16: 206 mod 16 = 14 ≠ 9 = 281 mod 16
m=17: 206 mod 17 = 2 ≠ 9 = 281 mod 17
m=18: 206 mod 18 = 8 ≠ 11 = 281 mod 18
m=19: 206 mod 19 = 16 ≠ 15 = 281 mod 19
m=20: 206 mod 20 = 6 ≠ 1 = 281 mod 20
m=21: 206 mod 21 = 17 ≠ 8 = 281 mod 21
m=22: 206 mod 22 = 8 ≠ 17 = 281 mod 22
m=23: 206 mod 23 = 22 ≠ 5 = 281 mod 23
m=24: 206 mod 24 = 14 ≠ 17 = 281 mod 24
m=25: 206 mod 25 = 6 = 6 = 281 mod 25
m=26: 206 mod 26 = 24 ≠ 21 = 281 mod 26
m=27: 206 mod 27 = 17 ≠ 11 = 281 mod 27
m=28: 206 mod 28 = 10 ≠ 1 = 281 mod 28
m=29: 206 mod 29 = 3 ≠ 20 = 281 mod 29
m=30: 206 mod 30 = 26 ≠ 11 = 281 mod 30
m=31: 206 mod 31 = 20 ≠ 2 = 281 mod 31
m=32: 206 mod 32 = 14 ≠ 25 = 281 mod 32
m=33: 206 mod 33 = 8 ≠ 17 = 281 mod 33
m=34: 206 mod 34 = 2 ≠ 9 = 281 mod 34
m=35: 206 mod 35 = 31 ≠ 1 = 281 mod 35
m=36: 206 mod 36 = 26 ≠ 29 = 281 mod 36
m=37: 206 mod 37 = 21 ≠ 22 = 281 mod 37
m=38: 206 mod 38 = 16 ≠ 15 = 281 mod 38
m=39: 206 mod 39 = 11 ≠ 8 = 281 mod 39
m=40: 206 mod 40 = 6 ≠ 1 = 281 mod 40
m=41: 206 mod 41 = 1 ≠ 35 = 281 mod 41
m=42: 206 mod 42 = 38 ≠ 29 = 281 mod 42
m=43: 206 mod 43 = 34 ≠ 23 = 281 mod 43
m=44: 206 mod 44 = 30 ≠ 17 = 281 mod 44
m=45: 206 mod 45 = 26 ≠ 11 = 281 mod 45
m=46: 206 mod 46 = 22 ≠ 5 = 281 mod 46
m=47: 206 mod 47 = 18 ≠ 46 = 281 mod 47
m=48: 206 mod 48 = 14 ≠ 41 = 281 mod 48
m=49: 206 mod 49 = 10 ≠ 36 = 281 mod 49
m=50: 206 mod 50 = 6 ≠ 31 = 281 mod 50
m=51: 206 mod 51 = 2 ≠ 26 = 281 mod 51
m=52: 206 mod 52 = 50 ≠ 21 = 281 mod 52
m=53: 206 mod 53 = 47 ≠ 16 = 281 mod 53
m=54: 206 mod 54 = 44 ≠ 11 = 281 mod 54
m=55: 206 mod 55 = 41 ≠ 6 = 281 mod 55
m=56: 206 mod 56 = 38 ≠ 1 = 281 mod 56
m=57: 206 mod 57 = 35 ≠ 53 = 281 mod 57
m=58: 206 mod 58 = 32 ≠ 49 = 281 mod 58
m=59: 206 mod 59 = 29 ≠ 45 = 281 mod 59
m=60: 206 mod 60 = 26 ≠ 41 = 281 mod 60
m=61: 206 mod 61 = 23 ≠ 37 = 281 mod 61
m=62: 206 mod 62 = 20 ≠ 33 = 281 mod 62
m=63: 206 mod 63 = 17 ≠ 29 = 281 mod 63
m=64: 206 mod 64 = 14 ≠ 25 = 281 mod 64
m=65: 206 mod 65 = 11 ≠ 21 = 281 mod 65
m=66: 206 mod 66 = 8 ≠ 17 = 281 mod 66
m=67: 206 mod 67 = 5 ≠ 13 = 281 mod 67
m=68: 206 mod 68 = 2 ≠ 9 = 281 mod 68
m=69: 206 mod 69 = 68 ≠ 5 = 281 mod 69
m=70: 206 mod 70 = 66 ≠ 1 = 281 mod 70
m=71: 206 mod 71 = 64 ≠ 68 = 281 mod 71
m=72: 206 mod 72 = 62 ≠ 65 = 281 mod 72
m=73: 206 mod 73 = 60 ≠ 62 = 281 mod 73
m=74: 206 mod 74 = 58 ≠ 59 = 281 mod 74
m=75: 206 mod 75 = 56 = 56 = 281 mod 75
m=76: 206 mod 76 = 54 ≠ 53 = 281 mod 76
m=77: 206 mod 77 = 52 ≠ 50 = 281 mod 77
m=78: 206 mod 78 = 50 ≠ 47 = 281 mod 78
m=79: 206 mod 79 = 48 ≠ 44 = 281 mod 79
m=80: 206 mod 80 = 46 ≠ 41 = 281 mod 80
m=81: 206 mod 81 = 44 ≠ 38 = 281 mod 81
m=82: 206 mod 82 = 42 ≠ 35 = 281 mod 82
m=83: 206 mod 83 = 40 ≠ 32 = 281 mod 83
m=84: 206 mod 84 = 38 ≠ 29 = 281 mod 84
m=85: 206 mod 85 = 36 ≠ 26 = 281 mod 85
m=86: 206 mod 86 = 34 ≠ 23 = 281 mod 86
m=87: 206 mod 87 = 32 ≠ 20 = 281 mod 87
m=88: 206 mod 88 = 30 ≠ 17 = 281 mod 88
m=89: 206 mod 89 = 28 ≠ 14 = 281 mod 89
m=90: 206 mod 90 = 26 ≠ 11 = 281 mod 90
m=91: 206 mod 91 = 24 ≠ 8 = 281 mod 91
m=92: 206 mod 92 = 22 ≠ 5 = 281 mod 92
m=93: 206 mod 93 = 20 ≠ 2 = 281 mod 93
m=94: 206 mod 94 = 18 ≠ 93 = 281 mod 94
m=95: 206 mod 95 = 16 ≠ 91 = 281 mod 95
m=96: 206 mod 96 = 14 ≠ 89 = 281 mod 96
m=97: 206 mod 97 = 12 ≠ 87 = 281 mod 97
m=98: 206 mod 98 = 10 ≠ 85 = 281 mod 98
m=99: 206 mod 99 = 8 ≠ 83 = 281 mod 99
m=100: 206 mod 100 = 6 ≠ 81 = 281 mod 100
m=101: 206 mod 101 = 4 ≠ 79 = 281 mod 101
m=102: 206 mod 102 = 2 ≠ 77 = 281 mod 102
m=103: 206 mod 103 = 0 ≠ 75 = 281 mod 103
m=104: 206 mod 104 = 102 ≠ 73 = 281 mod 104
m=105: 206 mod 105 = 101 ≠ 71 = 281 mod 105
m=106: 206 mod 106 = 100 ≠ 69 = 281 mod 106
m=107: 206 mod 107 = 99 ≠ 67 = 281 mod 107
m=108: 206 mod 108 = 98 ≠ 65 = 281 mod 108
m=109: 206 mod 109 = 97 ≠ 63 = 281 mod 109
m=110: 206 mod 110 = 96 ≠ 61 = 281 mod 110
m=111: 206 mod 111 = 95 ≠ 59 = 281 mod 111
m=112: 206 mod 112 = 94 ≠ 57 = 281 mod 112
m=113: 206 mod 113 = 93 ≠ 55 = 281 mod 113
m=114: 206 mod 114 = 92 ≠ 53 = 281 mod 114
m=115: 206 mod 115 = 91 ≠ 51 = 281 mod 115
m=116: 206 mod 116 = 90 ≠ 49 = 281 mod 116
m=117: 206 mod 117 = 89 ≠ 47 = 281 mod 117
m=118: 206 mod 118 = 88 ≠ 45 = 281 mod 118
m=119: 206 mod 119 = 87 ≠ 43 = 281 mod 119
m=120: 206 mod 120 = 86 ≠ 41 = 281 mod 120
m=121: 206 mod 121 = 85 ≠ 39 = 281 mod 121
m=122: 206 mod 122 = 84 ≠ 37 = 281 mod 122
m=123: 206 mod 123 = 83 ≠ 35 = 281 mod 123
m=124: 206 mod 124 = 82 ≠ 33 = 281 mod 124
m=125: 206 mod 125 = 81 ≠ 31 = 281 mod 125
m=126: 206 mod 126 = 80 ≠ 29 = 281 mod 126
m=127: 206 mod 127 = 79 ≠ 27 = 281 mod 127
m=128: 206 mod 128 = 78 ≠ 25 = 281 mod 128
m=129: 206 mod 129 = 77 ≠ 23 = 281 mod 129
m=130: 206 mod 130 = 76 ≠ 21 = 281 mod 130
m=131: 206 mod 131 = 75 ≠ 19 = 281 mod 131
m=132: 206 mod 132 = 74 ≠ 17 = 281 mod 132
m=133: 206 mod 133 = 73 ≠ 15 = 281 mod 133
m=134: 206 mod 134 = 72 ≠ 13 = 281 mod 134
m=135: 206 mod 135 = 71 ≠ 11 = 281 mod 135
m=136: 206 mod 136 = 70 ≠ 9 = 281 mod 136
m=137: 206 mod 137 = 69 ≠ 7 = 281 mod 137
m=138: 206 mod 138 = 68 ≠ 5 = 281 mod 138
m=139: 206 mod 139 = 67 ≠ 3 = 281 mod 139
m=140: 206 mod 140 = 66 ≠ 1 = 281 mod 140
m=141: 206 mod 141 = 65 ≠ 140 = 281 mod 141
m=142: 206 mod 142 = 64 ≠ 139 = 281 mod 142
m=143: 206 mod 143 = 63 ≠ 138 = 281 mod 143
m=144: 206 mod 144 = 62 ≠ 137 = 281 mod 144
m=145: 206 mod 145 = 61 ≠ 136 = 281 mod 145
m=146: 206 mod 146 = 60 ≠ 135 = 281 mod 146
m=147: 206 mod 147 = 59 ≠ 134 = 281 mod 147
m=148: 206 mod 148 = 58 ≠ 133 = 281 mod 148
m=149: 206 mod 149 = 57 ≠ 132 = 281 mod 149
m=150: 206 mod 150 = 56 ≠ 131 = 281 mod 150
m=151: 206 mod 151 = 55 ≠ 130 = 281 mod 151
m=152: 206 mod 152 = 54 ≠ 129 = 281 mod 152
m=153: 206 mod 153 = 53 ≠ 128 = 281 mod 153
m=154: 206 mod 154 = 52 ≠ 127 = 281 mod 154
m=155: 206 mod 155 = 51 ≠ 126 = 281 mod 155
m=156: 206 mod 156 = 50 ≠ 125 = 281 mod 156
m=157: 206 mod 157 = 49 ≠ 124 = 281 mod 157
m=158: 206 mod 158 = 48 ≠ 123 = 281 mod 158
m=159: 206 mod 159 = 47 ≠ 122 = 281 mod 159
m=160: 206 mod 160 = 46 ≠ 121 = 281 mod 160
m=161: 206 mod 161 = 45 ≠ 120 = 281 mod 161
m=162: 206 mod 162 = 44 ≠ 119 = 281 mod 162
m=163: 206 mod 163 = 43 ≠ 118 = 281 mod 163
m=164: 206 mod 164 = 42 ≠ 117 = 281 mod 164
m=165: 206 mod 165 = 41 ≠ 116 = 281 mod 165
m=166: 206 mod 166 = 40 ≠ 115 = 281 mod 166
m=167: 206 mod 167 = 39 ≠ 114 = 281 mod 167
m=168: 206 mod 168 = 38 ≠ 113 = 281 mod 168
m=169: 206 mod 169 = 37 ≠ 112 = 281 mod 169
m=170: 206 mod 170 = 36 ≠ 111 = 281 mod 170
m=171: 206 mod 171 = 35 ≠ 110 = 281 mod 171
m=172: 206 mod 172 = 34 ≠ 109 = 281 mod 172
m=173: 206 mod 173 = 33 ≠ 108 = 281 mod 173
m=174: 206 mod 174 = 32 ≠ 107 = 281 mod 174
m=175: 206 mod 175 = 31 ≠ 106 = 281 mod 175
m=176: 206 mod 176 = 30 ≠ 105 = 281 mod 176
m=177: 206 mod 177 = 29 ≠ 104 = 281 mod 177
m=178: 206 mod 178 = 28 ≠ 103 = 281 mod 178
m=179: 206 mod 179 = 27 ≠ 102 = 281 mod 179
m=180: 206 mod 180 = 26 ≠ 101 = 281 mod 180
m=181: 206 mod 181 = 25 ≠ 100 = 281 mod 181
m=182: 206 mod 182 = 24 ≠ 99 = 281 mod 182
m=183: 206 mod 183 = 23 ≠ 98 = 281 mod 183
m=184: 206 mod 184 = 22 ≠ 97 = 281 mod 184
m=185: 206 mod 185 = 21 ≠ 96 = 281 mod 185
m=186: 206 mod 186 = 20 ≠ 95 = 281 mod 186
m=187: 206 mod 187 = 19 ≠ 94 = 281 mod 187
m=188: 206 mod 188 = 18 ≠ 93 = 281 mod 188
m=189: 206 mod 189 = 17 ≠ 92 = 281 mod 189
m=190: 206 mod 190 = 16 ≠ 91 = 281 mod 190
m=191: 206 mod 191 = 15 ≠ 90 = 281 mod 191
m=192: 206 mod 192 = 14 ≠ 89 = 281 mod 192
m=193: 206 mod 193 = 13 ≠ 88 = 281 mod 193
m=194: 206 mod 194 = 12 ≠ 87 = 281 mod 194
m=195: 206 mod 195 = 11 ≠ 86 = 281 mod 195
m=196: 206 mod 196 = 10 ≠ 85 = 281 mod 196
m=197: 206 mod 197 = 9 ≠ 84 = 281 mod 197
m=198: 206 mod 198 = 8 ≠ 83 = 281 mod 198
m=199: 206 mod 199 = 7 ≠ 82 = 281 mod 199
m=200: 206 mod 200 = 6 ≠ 81 = 281 mod 200
m=201: 206 mod 201 = 5 ≠ 80 = 281 mod 201
m=202: 206 mod 202 = 4 ≠ 79 = 281 mod 202
m=203: 206 mod 203 = 3 ≠ 78 = 281 mod 203
m=204: 206 mod 204 = 2 ≠ 77 = 281 mod 204
m=205: 206 mod 205 = 1 ≠ 76 = 281 mod 205
m=206: 206 mod 206 = 0 ≠ 75 = 281 mod 206
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (281 - 206) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
