Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 80 = 9.

Somit gilt: 89 mod 10 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 7 ⋅ 3

Somit gilt: 21 ≡ 99 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(179 + 8996) mod 9 ≡ (179 mod 9 + 8996 mod 9) mod 9.

179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179 = 180-1 = 9 ⋅ 20 -1 = 9 ⋅ 20 - 9 + 8.

8996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8996 = 9000-4 = 9 ⋅ 1000 -4 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(179 + 8996) mod 9 ≡ (8 + 5) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 35) mod 6 ≡ (65 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.

35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 35) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6