Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 91 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.
Somit gilt: 91 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 77 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 77 - 76 = 1.
Somit gilt: 77 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 40 und erhalten so 41.
Somit gilt: 41 ≡ 77 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (351 + 20994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(351 + 20994) mod 7 ≡ (351 mod 7 + 20994 mod 7) mod 7.
351 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351
= 350
20994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20994
= 21000
Somit gilt:
(351 + 20994) mod 7 ≡ (1 + 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 63) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 63) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 63) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
32 mod m = 42 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 42 mod m gilt:
m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2
m=3: 32 mod 3 = 2 ≠ 0 = 42 mod 3
m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 2 = 42 mod 4
m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 42 mod 5
m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 0 = 42 mod 6
m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 0 = 42 mod 7
m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 2 = 42 mod 8
m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 6 = 42 mod 9
m=10: 32 mod 10 = 2 = 2 = 42 mod 10
m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 9 = 42 mod 11
m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 6 = 42 mod 12
m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 3 = 42 mod 13
m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 0 = 42 mod 14
m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 12 = 42 mod 15
m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 10 = 42 mod 16
m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 8 = 42 mod 17
m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 6 = 42 mod 18
m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 4 = 42 mod 19
m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 2 = 42 mod 20
m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 0 = 42 mod 21
m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 20 = 42 mod 22
m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 19 = 42 mod 23
m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 18 = 42 mod 24
m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 17 = 42 mod 25
m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 16 = 42 mod 26
m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 15 = 42 mod 27
m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 14 = 42 mod 28
m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 13 = 42 mod 29
m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 12 = 42 mod 30
m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 11 = 42 mod 31
m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 10 = 42 mod 32
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 32) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
