Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 54 = 7.

Somit gilt: 61 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 56 = 3.

Somit gilt: 59 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 32 und erhalten so 35.

Somit gilt: 35 ≡ 59 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(153 + 30) mod 3 ≡ (153 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.

153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 150+3 = 3 ⋅ 50 +3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(153 + 30) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 77) mod 9 ≡ (46 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.

46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.

77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 77) mod 9 ≡ (1 ⋅ 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8