Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 64 = 4.
Somit gilt: 68 mod 8 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 50 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 50 - 50 = 0.
Somit gilt: 50 mod 10 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10
Somit gilt: 40 ≡ 50 ≡ 0 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (103 + 151) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(103 + 151) mod 5 ≡ (103 mod 5 + 151 mod 5) mod 5.
103 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 103
= 100
151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
Somit gilt:
(103 + 151) mod 5 ≡ (3 + 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 56) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 56) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 56 mod 6) mod 6.
92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 56) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 29 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 29 mod m gilt:
m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2
m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3
m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 29 mod 4
m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 4 = 29 mod 5
m=6: 23 mod 6 = 5 = 5 = 29 mod 6
m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 1 = 29 mod 7
m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 5 = 29 mod 8
m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 2 = 29 mod 9
m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 9 = 29 mod 10
m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 7 = 29 mod 11
m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 5 = 29 mod 12
m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 3 = 29 mod 13
m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 1 = 29 mod 14
m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 14 = 29 mod 15
m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 13 = 29 mod 16
m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 12 = 29 mod 17
m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 11 = 29 mod 18
m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 10 = 29 mod 19
m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 9 = 29 mod 20
m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 8 = 29 mod 21
m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 7 = 29 mod 22
m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 6 = 29 mod 23
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 23) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
