Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 50 = 5.

Somit gilt: 55 mod 10 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 77 = 9.

Somit gilt: 86 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 33 und erhalten so 42.

Somit gilt: 42 ≡ 86 ≡ 9 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45005 + 905) mod 9 ≡ (45005 mod 9 + 905 mod 9) mod 9.

45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005 = 45000+5 = 9 ⋅ 5000 +5.

905 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 905 = 900+5 = 9 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(45005 + 905) mod 9 ≡ (5 + 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 47) mod 8 ≡ (21 mod 8 ⋅ 47 mod 8) mod 8.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 47) mod 8 ≡ (5 ⋅ 7) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4