Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 16 - 11 = 5.

Somit gilt: 16 mod 11 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 16 = 4.

Somit gilt: 20 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 8 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 20 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18000 - 84) mod 9 ≡ (18000 mod 9 - 84 mod 9) mod 9.

18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 9 ⋅ 2000 +0.

84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 90-6 = 9 ⋅ 10 -6 = 9 ⋅ 10 - 9 + 3.

Somit gilt:

(18000 - 84) mod 9 ≡ (0 - 3) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 37) mod 8 ≡ (55 mod 8 ⋅ 37 mod 8) mod 8.

55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 37) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 ≠ 0 = 32 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 32 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 = 5 = 32 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 9 = 32 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 23) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9