Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 81 = 1.

Somit gilt: 82 mod 9 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.

Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 70 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 89 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6001 + 15000) mod 3 ≡ (6001 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.

6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 3 ⋅ 2000 +1.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(6001 + 15000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 98) mod 11 ≡ (60 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 98) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 152 aus, ob zufällig 152 mod m = 197 mod m gilt:

m=2: 152 mod 2 = 0 ≠ 1 = 197 mod 2

m=3: 152 mod 3 = 2 = 2 = 197 mod 3

m=4: 152 mod 4 = 0 ≠ 1 = 197 mod 4

m=5: 152 mod 5 = 2 = 2 = 197 mod 5

m=6: 152 mod 6 = 2 ≠ 5 = 197 mod 6

m=7: 152 mod 7 = 5 ≠ 1 = 197 mod 7

m=8: 152 mod 8 = 0 ≠ 5 = 197 mod 8

m=9: 152 mod 9 = 8 = 8 = 197 mod 9

m=10: 152 mod 10 = 2 ≠ 7 = 197 mod 10

m=11: 152 mod 11 = 9 ≠ 10 = 197 mod 11

m=12: 152 mod 12 = 8 ≠ 5 = 197 mod 12

m=13: 152 mod 13 = 9 ≠ 2 = 197 mod 13

m=14: 152 mod 14 = 12 ≠ 1 = 197 mod 14

m=15: 152 mod 15 = 2 = 2 = 197 mod 15

m=16: 152 mod 16 = 8 ≠ 5 = 197 mod 16

m=17: 152 mod 17 = 16 ≠ 10 = 197 mod 17

m=18: 152 mod 18 = 8 ≠ 17 = 197 mod 18

m=19: 152 mod 19 = 0 ≠ 7 = 197 mod 19

m=20: 152 mod 20 = 12 ≠ 17 = 197 mod 20

m=21: 152 mod 21 = 5 ≠ 8 = 197 mod 21

m=22: 152 mod 22 = 20 ≠ 21 = 197 mod 22

m=23: 152 mod 23 = 14 ≠ 13 = 197 mod 23

m=24: 152 mod 24 = 8 ≠ 5 = 197 mod 24

m=25: 152 mod 25 = 2 ≠ 22 = 197 mod 25

m=26: 152 mod 26 = 22 ≠ 15 = 197 mod 26

m=27: 152 mod 27 = 17 ≠ 8 = 197 mod 27

m=28: 152 mod 28 = 12 ≠ 1 = 197 mod 28

m=29: 152 mod 29 = 7 ≠ 23 = 197 mod 29

m=30: 152 mod 30 = 2 ≠ 17 = 197 mod 30

m=31: 152 mod 31 = 28 ≠ 11 = 197 mod 31

m=32: 152 mod 32 = 24 ≠ 5 = 197 mod 32

m=33: 152 mod 33 = 20 ≠ 32 = 197 mod 33

m=34: 152 mod 34 = 16 ≠ 27 = 197 mod 34

m=35: 152 mod 35 = 12 ≠ 22 = 197 mod 35

m=36: 152 mod 36 = 8 ≠ 17 = 197 mod 36

m=37: 152 mod 37 = 4 ≠ 12 = 197 mod 37

m=38: 152 mod 38 = 0 ≠ 7 = 197 mod 38

m=39: 152 mod 39 = 35 ≠ 2 = 197 mod 39

m=40: 152 mod 40 = 32 ≠ 37 = 197 mod 40

m=41: 152 mod 41 = 29 ≠ 33 = 197 mod 41

m=42: 152 mod 42 = 26 ≠ 29 = 197 mod 42

m=43: 152 mod 43 = 23 ≠ 25 = 197 mod 43

m=44: 152 mod 44 = 20 ≠ 21 = 197 mod 44

m=45: 152 mod 45 = 17 = 17 = 197 mod 45

m=46: 152 mod 46 = 14 ≠ 13 = 197 mod 46

m=47: 152 mod 47 = 11 ≠ 9 = 197 mod 47

m=48: 152 mod 48 = 8 ≠ 5 = 197 mod 48

m=49: 152 mod 49 = 5 ≠ 1 = 197 mod 49

m=50: 152 mod 50 = 2 ≠ 47 = 197 mod 50

m=51: 152 mod 51 = 50 ≠ 44 = 197 mod 51

m=52: 152 mod 52 = 48 ≠ 41 = 197 mod 52

m=53: 152 mod 53 = 46 ≠ 38 = 197 mod 53

m=54: 152 mod 54 = 44 ≠ 35 = 197 mod 54

m=55: 152 mod 55 = 42 ≠ 32 = 197 mod 55

m=56: 152 mod 56 = 40 ≠ 29 = 197 mod 56

m=57: 152 mod 57 = 38 ≠ 26 = 197 mod 57

m=58: 152 mod 58 = 36 ≠ 23 = 197 mod 58

m=59: 152 mod 59 = 34 ≠ 20 = 197 mod 59

m=60: 152 mod 60 = 32 ≠ 17 = 197 mod 60

m=61: 152 mod 61 = 30 ≠ 14 = 197 mod 61

m=62: 152 mod 62 = 28 ≠ 11 = 197 mod 62

m=63: 152 mod 63 = 26 ≠ 8 = 197 mod 63

m=64: 152 mod 64 = 24 ≠ 5 = 197 mod 64

m=65: 152 mod 65 = 22 ≠ 2 = 197 mod 65

m=66: 152 mod 66 = 20 ≠ 65 = 197 mod 66

m=67: 152 mod 67 = 18 ≠ 63 = 197 mod 67

m=68: 152 mod 68 = 16 ≠ 61 = 197 mod 68

m=69: 152 mod 69 = 14 ≠ 59 = 197 mod 69

m=70: 152 mod 70 = 12 ≠ 57 = 197 mod 70

m=71: 152 mod 71 = 10 ≠ 55 = 197 mod 71

m=72: 152 mod 72 = 8 ≠ 53 = 197 mod 72

m=73: 152 mod 73 = 6 ≠ 51 = 197 mod 73

m=74: 152 mod 74 = 4 ≠ 49 = 197 mod 74

m=75: 152 mod 75 = 2 ≠ 47 = 197 mod 75

m=76: 152 mod 76 = 0 ≠ 45 = 197 mod 76

m=77: 152 mod 77 = 75 ≠ 43 = 197 mod 77

m=78: 152 mod 78 = 74 ≠ 41 = 197 mod 78

m=79: 152 mod 79 = 73 ≠ 39 = 197 mod 79

m=80: 152 mod 80 = 72 ≠ 37 = 197 mod 80

m=81: 152 mod 81 = 71 ≠ 35 = 197 mod 81

m=82: 152 mod 82 = 70 ≠ 33 = 197 mod 82

m=83: 152 mod 83 = 69 ≠ 31 = 197 mod 83

m=84: 152 mod 84 = 68 ≠ 29 = 197 mod 84

m=85: 152 mod 85 = 67 ≠ 27 = 197 mod 85

m=86: 152 mod 86 = 66 ≠ 25 = 197 mod 86

m=87: 152 mod 87 = 65 ≠ 23 = 197 mod 87

m=88: 152 mod 88 = 64 ≠ 21 = 197 mod 88

m=89: 152 mod 89 = 63 ≠ 19 = 197 mod 89

m=90: 152 mod 90 = 62 ≠ 17 = 197 mod 90

m=91: 152 mod 91 = 61 ≠ 15 = 197 mod 91

m=92: 152 mod 92 = 60 ≠ 13 = 197 mod 92

m=93: 152 mod 93 = 59 ≠ 11 = 197 mod 93

m=94: 152 mod 94 = 58 ≠ 9 = 197 mod 94

m=95: 152 mod 95 = 57 ≠ 7 = 197 mod 95

m=96: 152 mod 96 = 56 ≠ 5 = 197 mod 96

m=97: 152 mod 97 = 55 ≠ 3 = 197 mod 97

m=98: 152 mod 98 = 54 ≠ 1 = 197 mod 98

m=99: 152 mod 99 = 53 ≠ 98 = 197 mod 99

m=100: 152 mod 100 = 52 ≠ 97 = 197 mod 100

m=101: 152 mod 101 = 51 ≠ 96 = 197 mod 101

m=102: 152 mod 102 = 50 ≠ 95 = 197 mod 102

m=103: 152 mod 103 = 49 ≠ 94 = 197 mod 103

m=104: 152 mod 104 = 48 ≠ 93 = 197 mod 104

m=105: 152 mod 105 = 47 ≠ 92 = 197 mod 105

m=106: 152 mod 106 = 46 ≠ 91 = 197 mod 106

m=107: 152 mod 107 = 45 ≠ 90 = 197 mod 107

m=108: 152 mod 108 = 44 ≠ 89 = 197 mod 108

m=109: 152 mod 109 = 43 ≠ 88 = 197 mod 109

m=110: 152 mod 110 = 42 ≠ 87 = 197 mod 110

m=111: 152 mod 111 = 41 ≠ 86 = 197 mod 111

m=112: 152 mod 112 = 40 ≠ 85 = 197 mod 112

m=113: 152 mod 113 = 39 ≠ 84 = 197 mod 113

m=114: 152 mod 114 = 38 ≠ 83 = 197 mod 114

m=115: 152 mod 115 = 37 ≠ 82 = 197 mod 115

m=116: 152 mod 116 = 36 ≠ 81 = 197 mod 116

m=117: 152 mod 117 = 35 ≠ 80 = 197 mod 117

m=118: 152 mod 118 = 34 ≠ 79 = 197 mod 118

m=119: 152 mod 119 = 33 ≠ 78 = 197 mod 119

m=120: 152 mod 120 = 32 ≠ 77 = 197 mod 120

m=121: 152 mod 121 = 31 ≠ 76 = 197 mod 121

m=122: 152 mod 122 = 30 ≠ 75 = 197 mod 122

m=123: 152 mod 123 = 29 ≠ 74 = 197 mod 123

m=124: 152 mod 124 = 28 ≠ 73 = 197 mod 124

m=125: 152 mod 125 = 27 ≠ 72 = 197 mod 125

m=126: 152 mod 126 = 26 ≠ 71 = 197 mod 126

m=127: 152 mod 127 = 25 ≠ 70 = 197 mod 127

m=128: 152 mod 128 = 24 ≠ 69 = 197 mod 128

m=129: 152 mod 129 = 23 ≠ 68 = 197 mod 129

m=130: 152 mod 130 = 22 ≠ 67 = 197 mod 130

m=131: 152 mod 131 = 21 ≠ 66 = 197 mod 131

m=132: 152 mod 132 = 20 ≠ 65 = 197 mod 132

m=133: 152 mod 133 = 19 ≠ 64 = 197 mod 133

m=134: 152 mod 134 = 18 ≠ 63 = 197 mod 134

m=135: 152 mod 135 = 17 ≠ 62 = 197 mod 135

m=136: 152 mod 136 = 16 ≠ 61 = 197 mod 136

m=137: 152 mod 137 = 15 ≠ 60 = 197 mod 137

m=138: 152 mod 138 = 14 ≠ 59 = 197 mod 138

m=139: 152 mod 139 = 13 ≠ 58 = 197 mod 139

m=140: 152 mod 140 = 12 ≠ 57 = 197 mod 140

m=141: 152 mod 141 = 11 ≠ 56 = 197 mod 141

m=142: 152 mod 142 = 10 ≠ 55 = 197 mod 142

m=143: 152 mod 143 = 9 ≠ 54 = 197 mod 143

m=144: 152 mod 144 = 8 ≠ 53 = 197 mod 144

m=145: 152 mod 145 = 7 ≠ 52 = 197 mod 145

m=146: 152 mod 146 = 6 ≠ 51 = 197 mod 146

m=147: 152 mod 147 = 5 ≠ 50 = 197 mod 147

m=148: 152 mod 148 = 4 ≠ 49 = 197 mod 148

m=149: 152 mod 149 = 3 ≠ 48 = 197 mod 149

m=150: 152 mod 150 = 2 ≠ 47 = 197 mod 150

m=151: 152 mod 151 = 1 ≠ 46 = 197 mod 151

m=152: 152 mod 152 = 0 ≠ 45 = 197 mod 152

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (197 - 152) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45