Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 91 = 0.

Somit gilt: 91 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 70 = 2.

Somit gilt: 72 mod 10 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 72 ≡ 2 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 - 23996) mod 6 ≡ (5997 mod 6 - 23996 mod 6) mod 6.

5997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 6 ⋅ 1000 -3 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 3.

23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 24000-4 = 6 ⋅ 4000 -4 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(5997 - 23996) mod 6 ≡ (3 - 2) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 69) mod 5 ≡ (98 mod 5 ⋅ 69 mod 5) mod 5.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.

69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 69) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4