Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 10, weil ja 1 ⋅ 10 = 10 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 10 = 5.

Somit gilt: 15 mod 10 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 81 = 3.

Somit gilt: 84 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 2 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.

Somit gilt: 21 ≡ 84 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(119 - 1197) mod 3 ≡ (119 mod 3 - 1197 mod 3) mod 3.

119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 3 ⋅ 40 -1 = 3 ⋅ 40 - 3 + 2.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(119 - 1197) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 45) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 45 mod 11) mod 11.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 45) mod 11 ≡ (8 ⋅ 1) mod 11 ≡ 8 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6