Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 16 - 16 = 0.

Somit gilt: 16 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 91 = 0.

Somit gilt: 91 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 56 = 8 ⋅ 7

Somit gilt: 56 ≡ 91 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13998 - 13997) mod 7 ≡ (13998 mod 7 - 13997 mod 7) mod 7.

13998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13998 = 14000-2 = 7 ⋅ 2000 -2 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 5.

13997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13997 = 14000-3 = 7 ⋅ 2000 -3 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(13998 - 13997) mod 7 ≡ (5 - 4) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 87) mod 4 ≡ (42 mod 4 ⋅ 87 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 87) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 158 aus, ob zufällig 158 mod m = 233 mod m gilt:

m=2: 158 mod 2 = 0 ≠ 1 = 233 mod 2

m=3: 158 mod 3 = 2 = 2 = 233 mod 3

m=4: 158 mod 4 = 2 ≠ 1 = 233 mod 4

m=5: 158 mod 5 = 3 = 3 = 233 mod 5

m=6: 158 mod 6 = 2 ≠ 5 = 233 mod 6

m=7: 158 mod 7 = 4 ≠ 2 = 233 mod 7

m=8: 158 mod 8 = 6 ≠ 1 = 233 mod 8

m=9: 158 mod 9 = 5 ≠ 8 = 233 mod 9

m=10: 158 mod 10 = 8 ≠ 3 = 233 mod 10

m=11: 158 mod 11 = 4 ≠ 2 = 233 mod 11

m=12: 158 mod 12 = 2 ≠ 5 = 233 mod 12

m=13: 158 mod 13 = 2 ≠ 12 = 233 mod 13

m=14: 158 mod 14 = 4 ≠ 9 = 233 mod 14

m=15: 158 mod 15 = 8 = 8 = 233 mod 15

m=16: 158 mod 16 = 14 ≠ 9 = 233 mod 16

m=17: 158 mod 17 = 5 ≠ 12 = 233 mod 17

m=18: 158 mod 18 = 14 ≠ 17 = 233 mod 18

m=19: 158 mod 19 = 6 ≠ 5 = 233 mod 19

m=20: 158 mod 20 = 18 ≠ 13 = 233 mod 20

m=21: 158 mod 21 = 11 ≠ 2 = 233 mod 21

m=22: 158 mod 22 = 4 ≠ 13 = 233 mod 22

m=23: 158 mod 23 = 20 ≠ 3 = 233 mod 23

m=24: 158 mod 24 = 14 ≠ 17 = 233 mod 24

m=25: 158 mod 25 = 8 = 8 = 233 mod 25

m=26: 158 mod 26 = 2 ≠ 25 = 233 mod 26

m=27: 158 mod 27 = 23 ≠ 17 = 233 mod 27

m=28: 158 mod 28 = 18 ≠ 9 = 233 mod 28

m=29: 158 mod 29 = 13 ≠ 1 = 233 mod 29

m=30: 158 mod 30 = 8 ≠ 23 = 233 mod 30

m=31: 158 mod 31 = 3 ≠ 16 = 233 mod 31

m=32: 158 mod 32 = 30 ≠ 9 = 233 mod 32

m=33: 158 mod 33 = 26 ≠ 2 = 233 mod 33

m=34: 158 mod 34 = 22 ≠ 29 = 233 mod 34

m=35: 158 mod 35 = 18 ≠ 23 = 233 mod 35

m=36: 158 mod 36 = 14 ≠ 17 = 233 mod 36

m=37: 158 mod 37 = 10 ≠ 11 = 233 mod 37

m=38: 158 mod 38 = 6 ≠ 5 = 233 mod 38

m=39: 158 mod 39 = 2 ≠ 38 = 233 mod 39

m=40: 158 mod 40 = 38 ≠ 33 = 233 mod 40

m=41: 158 mod 41 = 35 ≠ 28 = 233 mod 41

m=42: 158 mod 42 = 32 ≠ 23 = 233 mod 42

m=43: 158 mod 43 = 29 ≠ 18 = 233 mod 43

m=44: 158 mod 44 = 26 ≠ 13 = 233 mod 44

m=45: 158 mod 45 = 23 ≠ 8 = 233 mod 45

m=46: 158 mod 46 = 20 ≠ 3 = 233 mod 46

m=47: 158 mod 47 = 17 ≠ 45 = 233 mod 47

m=48: 158 mod 48 = 14 ≠ 41 = 233 mod 48

m=49: 158 mod 49 = 11 ≠ 37 = 233 mod 49

m=50: 158 mod 50 = 8 ≠ 33 = 233 mod 50

m=51: 158 mod 51 = 5 ≠ 29 = 233 mod 51

m=52: 158 mod 52 = 2 ≠ 25 = 233 mod 52

m=53: 158 mod 53 = 52 ≠ 21 = 233 mod 53

m=54: 158 mod 54 = 50 ≠ 17 = 233 mod 54

m=55: 158 mod 55 = 48 ≠ 13 = 233 mod 55

m=56: 158 mod 56 = 46 ≠ 9 = 233 mod 56

m=57: 158 mod 57 = 44 ≠ 5 = 233 mod 57

m=58: 158 mod 58 = 42 ≠ 1 = 233 mod 58

m=59: 158 mod 59 = 40 ≠ 56 = 233 mod 59

m=60: 158 mod 60 = 38 ≠ 53 = 233 mod 60

m=61: 158 mod 61 = 36 ≠ 50 = 233 mod 61

m=62: 158 mod 62 = 34 ≠ 47 = 233 mod 62

m=63: 158 mod 63 = 32 ≠ 44 = 233 mod 63

m=64: 158 mod 64 = 30 ≠ 41 = 233 mod 64

m=65: 158 mod 65 = 28 ≠ 38 = 233 mod 65

m=66: 158 mod 66 = 26 ≠ 35 = 233 mod 66

m=67: 158 mod 67 = 24 ≠ 32 = 233 mod 67

m=68: 158 mod 68 = 22 ≠ 29 = 233 mod 68

m=69: 158 mod 69 = 20 ≠ 26 = 233 mod 69

m=70: 158 mod 70 = 18 ≠ 23 = 233 mod 70

m=71: 158 mod 71 = 16 ≠ 20 = 233 mod 71

m=72: 158 mod 72 = 14 ≠ 17 = 233 mod 72

m=73: 158 mod 73 = 12 ≠ 14 = 233 mod 73

m=74: 158 mod 74 = 10 ≠ 11 = 233 mod 74

m=75: 158 mod 75 = 8 = 8 = 233 mod 75

m=76: 158 mod 76 = 6 ≠ 5 = 233 mod 76

m=77: 158 mod 77 = 4 ≠ 2 = 233 mod 77

m=78: 158 mod 78 = 2 ≠ 77 = 233 mod 78

m=79: 158 mod 79 = 0 ≠ 75 = 233 mod 79

m=80: 158 mod 80 = 78 ≠ 73 = 233 mod 80

m=81: 158 mod 81 = 77 ≠ 71 = 233 mod 81

m=82: 158 mod 82 = 76 ≠ 69 = 233 mod 82

m=83: 158 mod 83 = 75 ≠ 67 = 233 mod 83

m=84: 158 mod 84 = 74 ≠ 65 = 233 mod 84

m=85: 158 mod 85 = 73 ≠ 63 = 233 mod 85

m=86: 158 mod 86 = 72 ≠ 61 = 233 mod 86

m=87: 158 mod 87 = 71 ≠ 59 = 233 mod 87

m=88: 158 mod 88 = 70 ≠ 57 = 233 mod 88

m=89: 158 mod 89 = 69 ≠ 55 = 233 mod 89

m=90: 158 mod 90 = 68 ≠ 53 = 233 mod 90

m=91: 158 mod 91 = 67 ≠ 51 = 233 mod 91

m=92: 158 mod 92 = 66 ≠ 49 = 233 mod 92

m=93: 158 mod 93 = 65 ≠ 47 = 233 mod 93

m=94: 158 mod 94 = 64 ≠ 45 = 233 mod 94

m=95: 158 mod 95 = 63 ≠ 43 = 233 mod 95

m=96: 158 mod 96 = 62 ≠ 41 = 233 mod 96

m=97: 158 mod 97 = 61 ≠ 39 = 233 mod 97

m=98: 158 mod 98 = 60 ≠ 37 = 233 mod 98

m=99: 158 mod 99 = 59 ≠ 35 = 233 mod 99

m=100: 158 mod 100 = 58 ≠ 33 = 233 mod 100

m=101: 158 mod 101 = 57 ≠ 31 = 233 mod 101

m=102: 158 mod 102 = 56 ≠ 29 = 233 mod 102

m=103: 158 mod 103 = 55 ≠ 27 = 233 mod 103

m=104: 158 mod 104 = 54 ≠ 25 = 233 mod 104

m=105: 158 mod 105 = 53 ≠ 23 = 233 mod 105

m=106: 158 mod 106 = 52 ≠ 21 = 233 mod 106

m=107: 158 mod 107 = 51 ≠ 19 = 233 mod 107

m=108: 158 mod 108 = 50 ≠ 17 = 233 mod 108

m=109: 158 mod 109 = 49 ≠ 15 = 233 mod 109

m=110: 158 mod 110 = 48 ≠ 13 = 233 mod 110

m=111: 158 mod 111 = 47 ≠ 11 = 233 mod 111

m=112: 158 mod 112 = 46 ≠ 9 = 233 mod 112

m=113: 158 mod 113 = 45 ≠ 7 = 233 mod 113

m=114: 158 mod 114 = 44 ≠ 5 = 233 mod 114

m=115: 158 mod 115 = 43 ≠ 3 = 233 mod 115

m=116: 158 mod 116 = 42 ≠ 1 = 233 mod 116

m=117: 158 mod 117 = 41 ≠ 116 = 233 mod 117

m=118: 158 mod 118 = 40 ≠ 115 = 233 mod 118

m=119: 158 mod 119 = 39 ≠ 114 = 233 mod 119

m=120: 158 mod 120 = 38 ≠ 113 = 233 mod 120

m=121: 158 mod 121 = 37 ≠ 112 = 233 mod 121

m=122: 158 mod 122 = 36 ≠ 111 = 233 mod 122

m=123: 158 mod 123 = 35 ≠ 110 = 233 mod 123

m=124: 158 mod 124 = 34 ≠ 109 = 233 mod 124

m=125: 158 mod 125 = 33 ≠ 108 = 233 mod 125

m=126: 158 mod 126 = 32 ≠ 107 = 233 mod 126

m=127: 158 mod 127 = 31 ≠ 106 = 233 mod 127

m=128: 158 mod 128 = 30 ≠ 105 = 233 mod 128

m=129: 158 mod 129 = 29 ≠ 104 = 233 mod 129

m=130: 158 mod 130 = 28 ≠ 103 = 233 mod 130

m=131: 158 mod 131 = 27 ≠ 102 = 233 mod 131

m=132: 158 mod 132 = 26 ≠ 101 = 233 mod 132

m=133: 158 mod 133 = 25 ≠ 100 = 233 mod 133

m=134: 158 mod 134 = 24 ≠ 99 = 233 mod 134

m=135: 158 mod 135 = 23 ≠ 98 = 233 mod 135

m=136: 158 mod 136 = 22 ≠ 97 = 233 mod 136

m=137: 158 mod 137 = 21 ≠ 96 = 233 mod 137

m=138: 158 mod 138 = 20 ≠ 95 = 233 mod 138

m=139: 158 mod 139 = 19 ≠ 94 = 233 mod 139

m=140: 158 mod 140 = 18 ≠ 93 = 233 mod 140

m=141: 158 mod 141 = 17 ≠ 92 = 233 mod 141

m=142: 158 mod 142 = 16 ≠ 91 = 233 mod 142

m=143: 158 mod 143 = 15 ≠ 90 = 233 mod 143

m=144: 158 mod 144 = 14 ≠ 89 = 233 mod 144

m=145: 158 mod 145 = 13 ≠ 88 = 233 mod 145

m=146: 158 mod 146 = 12 ≠ 87 = 233 mod 146

m=147: 158 mod 147 = 11 ≠ 86 = 233 mod 147

m=148: 158 mod 148 = 10 ≠ 85 = 233 mod 148

m=149: 158 mod 149 = 9 ≠ 84 = 233 mod 149

m=150: 158 mod 150 = 8 ≠ 83 = 233 mod 150

m=151: 158 mod 151 = 7 ≠ 82 = 233 mod 151

m=152: 158 mod 152 = 6 ≠ 81 = 233 mod 152

m=153: 158 mod 153 = 5 ≠ 80 = 233 mod 153

m=154: 158 mod 154 = 4 ≠ 79 = 233 mod 154

m=155: 158 mod 155 = 3 ≠ 78 = 233 mod 155

m=156: 158 mod 156 = 2 ≠ 77 = 233 mod 156

m=157: 158 mod 157 = 1 ≠ 76 = 233 mod 157

m=158: 158 mod 158 = 0 ≠ 75 = 233 mod 158

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (233 - 158) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75