Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.

Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.

Somit gilt: 98 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 18 und erhalten so 20.

Somit gilt: 20 ≡ 98 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 + 396) mod 4 ≡ (76 mod 4 + 396 mod 4) mod 4.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 80-4 = 4 ⋅ 20 -4 = 4 ⋅ 20 - 4 + 0.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

Somit gilt:

(76 + 396) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 78) mod 7 ≡ (59 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.

59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.

78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 78) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 170 aus, ob zufällig 170 mod m = 245 mod m gilt:

m=2: 170 mod 2 = 0 ≠ 1 = 245 mod 2

m=3: 170 mod 3 = 2 = 2 = 245 mod 3

m=4: 170 mod 4 = 2 ≠ 1 = 245 mod 4

m=5: 170 mod 5 = 0 = 0 = 245 mod 5

m=6: 170 mod 6 = 2 ≠ 5 = 245 mod 6

m=7: 170 mod 7 = 2 ≠ 0 = 245 mod 7

m=8: 170 mod 8 = 2 ≠ 5 = 245 mod 8

m=9: 170 mod 9 = 8 ≠ 2 = 245 mod 9

m=10: 170 mod 10 = 0 ≠ 5 = 245 mod 10

m=11: 170 mod 11 = 5 ≠ 3 = 245 mod 11

m=12: 170 mod 12 = 2 ≠ 5 = 245 mod 12

m=13: 170 mod 13 = 1 ≠ 11 = 245 mod 13

m=14: 170 mod 14 = 2 ≠ 7 = 245 mod 14

m=15: 170 mod 15 = 5 = 5 = 245 mod 15

m=16: 170 mod 16 = 10 ≠ 5 = 245 mod 16

m=17: 170 mod 17 = 0 ≠ 7 = 245 mod 17

m=18: 170 mod 18 = 8 ≠ 11 = 245 mod 18

m=19: 170 mod 19 = 18 ≠ 17 = 245 mod 19

m=20: 170 mod 20 = 10 ≠ 5 = 245 mod 20

m=21: 170 mod 21 = 2 ≠ 14 = 245 mod 21

m=22: 170 mod 22 = 16 ≠ 3 = 245 mod 22

m=23: 170 mod 23 = 9 ≠ 15 = 245 mod 23

m=24: 170 mod 24 = 2 ≠ 5 = 245 mod 24

m=25: 170 mod 25 = 20 = 20 = 245 mod 25

m=26: 170 mod 26 = 14 ≠ 11 = 245 mod 26

m=27: 170 mod 27 = 8 ≠ 2 = 245 mod 27

m=28: 170 mod 28 = 2 ≠ 21 = 245 mod 28

m=29: 170 mod 29 = 25 ≠ 13 = 245 mod 29

m=30: 170 mod 30 = 20 ≠ 5 = 245 mod 30

m=31: 170 mod 31 = 15 ≠ 28 = 245 mod 31

m=32: 170 mod 32 = 10 ≠ 21 = 245 mod 32

m=33: 170 mod 33 = 5 ≠ 14 = 245 mod 33

m=34: 170 mod 34 = 0 ≠ 7 = 245 mod 34

m=35: 170 mod 35 = 30 ≠ 0 = 245 mod 35

m=36: 170 mod 36 = 26 ≠ 29 = 245 mod 36

m=37: 170 mod 37 = 22 ≠ 23 = 245 mod 37

m=38: 170 mod 38 = 18 ≠ 17 = 245 mod 38

m=39: 170 mod 39 = 14 ≠ 11 = 245 mod 39

m=40: 170 mod 40 = 10 ≠ 5 = 245 mod 40

m=41: 170 mod 41 = 6 ≠ 40 = 245 mod 41

m=42: 170 mod 42 = 2 ≠ 35 = 245 mod 42

m=43: 170 mod 43 = 41 ≠ 30 = 245 mod 43

m=44: 170 mod 44 = 38 ≠ 25 = 245 mod 44

m=45: 170 mod 45 = 35 ≠ 20 = 245 mod 45

m=46: 170 mod 46 = 32 ≠ 15 = 245 mod 46

m=47: 170 mod 47 = 29 ≠ 10 = 245 mod 47

m=48: 170 mod 48 = 26 ≠ 5 = 245 mod 48

m=49: 170 mod 49 = 23 ≠ 0 = 245 mod 49

m=50: 170 mod 50 = 20 ≠ 45 = 245 mod 50

m=51: 170 mod 51 = 17 ≠ 41 = 245 mod 51

m=52: 170 mod 52 = 14 ≠ 37 = 245 mod 52

m=53: 170 mod 53 = 11 ≠ 33 = 245 mod 53

m=54: 170 mod 54 = 8 ≠ 29 = 245 mod 54

m=55: 170 mod 55 = 5 ≠ 25 = 245 mod 55

m=56: 170 mod 56 = 2 ≠ 21 = 245 mod 56

m=57: 170 mod 57 = 56 ≠ 17 = 245 mod 57

m=58: 170 mod 58 = 54 ≠ 13 = 245 mod 58

m=59: 170 mod 59 = 52 ≠ 9 = 245 mod 59

m=60: 170 mod 60 = 50 ≠ 5 = 245 mod 60

m=61: 170 mod 61 = 48 ≠ 1 = 245 mod 61

m=62: 170 mod 62 = 46 ≠ 59 = 245 mod 62

m=63: 170 mod 63 = 44 ≠ 56 = 245 mod 63

m=64: 170 mod 64 = 42 ≠ 53 = 245 mod 64

m=65: 170 mod 65 = 40 ≠ 50 = 245 mod 65

m=66: 170 mod 66 = 38 ≠ 47 = 245 mod 66

m=67: 170 mod 67 = 36 ≠ 44 = 245 mod 67

m=68: 170 mod 68 = 34 ≠ 41 = 245 mod 68

m=69: 170 mod 69 = 32 ≠ 38 = 245 mod 69

m=70: 170 mod 70 = 30 ≠ 35 = 245 mod 70

m=71: 170 mod 71 = 28 ≠ 32 = 245 mod 71

m=72: 170 mod 72 = 26 ≠ 29 = 245 mod 72

m=73: 170 mod 73 = 24 ≠ 26 = 245 mod 73

m=74: 170 mod 74 = 22 ≠ 23 = 245 mod 74

m=75: 170 mod 75 = 20 = 20 = 245 mod 75

m=76: 170 mod 76 = 18 ≠ 17 = 245 mod 76

m=77: 170 mod 77 = 16 ≠ 14 = 245 mod 77

m=78: 170 mod 78 = 14 ≠ 11 = 245 mod 78

m=79: 170 mod 79 = 12 ≠ 8 = 245 mod 79

m=80: 170 mod 80 = 10 ≠ 5 = 245 mod 80

m=81: 170 mod 81 = 8 ≠ 2 = 245 mod 81

m=82: 170 mod 82 = 6 ≠ 81 = 245 mod 82

m=83: 170 mod 83 = 4 ≠ 79 = 245 mod 83

m=84: 170 mod 84 = 2 ≠ 77 = 245 mod 84

m=85: 170 mod 85 = 0 ≠ 75 = 245 mod 85

m=86: 170 mod 86 = 84 ≠ 73 = 245 mod 86

m=87: 170 mod 87 = 83 ≠ 71 = 245 mod 87

m=88: 170 mod 88 = 82 ≠ 69 = 245 mod 88

m=89: 170 mod 89 = 81 ≠ 67 = 245 mod 89

m=90: 170 mod 90 = 80 ≠ 65 = 245 mod 90

m=91: 170 mod 91 = 79 ≠ 63 = 245 mod 91

m=92: 170 mod 92 = 78 ≠ 61 = 245 mod 92

m=93: 170 mod 93 = 77 ≠ 59 = 245 mod 93

m=94: 170 mod 94 = 76 ≠ 57 = 245 mod 94

m=95: 170 mod 95 = 75 ≠ 55 = 245 mod 95

m=96: 170 mod 96 = 74 ≠ 53 = 245 mod 96

m=97: 170 mod 97 = 73 ≠ 51 = 245 mod 97

m=98: 170 mod 98 = 72 ≠ 49 = 245 mod 98

m=99: 170 mod 99 = 71 ≠ 47 = 245 mod 99

m=100: 170 mod 100 = 70 ≠ 45 = 245 mod 100

m=101: 170 mod 101 = 69 ≠ 43 = 245 mod 101

m=102: 170 mod 102 = 68 ≠ 41 = 245 mod 102

m=103: 170 mod 103 = 67 ≠ 39 = 245 mod 103

m=104: 170 mod 104 = 66 ≠ 37 = 245 mod 104

m=105: 170 mod 105 = 65 ≠ 35 = 245 mod 105

m=106: 170 mod 106 = 64 ≠ 33 = 245 mod 106

m=107: 170 mod 107 = 63 ≠ 31 = 245 mod 107

m=108: 170 mod 108 = 62 ≠ 29 = 245 mod 108

m=109: 170 mod 109 = 61 ≠ 27 = 245 mod 109

m=110: 170 mod 110 = 60 ≠ 25 = 245 mod 110

m=111: 170 mod 111 = 59 ≠ 23 = 245 mod 111

m=112: 170 mod 112 = 58 ≠ 21 = 245 mod 112

m=113: 170 mod 113 = 57 ≠ 19 = 245 mod 113

m=114: 170 mod 114 = 56 ≠ 17 = 245 mod 114

m=115: 170 mod 115 = 55 ≠ 15 = 245 mod 115

m=116: 170 mod 116 = 54 ≠ 13 = 245 mod 116

m=117: 170 mod 117 = 53 ≠ 11 = 245 mod 117

m=118: 170 mod 118 = 52 ≠ 9 = 245 mod 118

m=119: 170 mod 119 = 51 ≠ 7 = 245 mod 119

m=120: 170 mod 120 = 50 ≠ 5 = 245 mod 120

m=121: 170 mod 121 = 49 ≠ 3 = 245 mod 121

m=122: 170 mod 122 = 48 ≠ 1 = 245 mod 122

m=123: 170 mod 123 = 47 ≠ 122 = 245 mod 123

m=124: 170 mod 124 = 46 ≠ 121 = 245 mod 124

m=125: 170 mod 125 = 45 ≠ 120 = 245 mod 125

m=126: 170 mod 126 = 44 ≠ 119 = 245 mod 126

m=127: 170 mod 127 = 43 ≠ 118 = 245 mod 127

m=128: 170 mod 128 = 42 ≠ 117 = 245 mod 128

m=129: 170 mod 129 = 41 ≠ 116 = 245 mod 129

m=130: 170 mod 130 = 40 ≠ 115 = 245 mod 130

m=131: 170 mod 131 = 39 ≠ 114 = 245 mod 131

m=132: 170 mod 132 = 38 ≠ 113 = 245 mod 132

m=133: 170 mod 133 = 37 ≠ 112 = 245 mod 133

m=134: 170 mod 134 = 36 ≠ 111 = 245 mod 134

m=135: 170 mod 135 = 35 ≠ 110 = 245 mod 135

m=136: 170 mod 136 = 34 ≠ 109 = 245 mod 136

m=137: 170 mod 137 = 33 ≠ 108 = 245 mod 137

m=138: 170 mod 138 = 32 ≠ 107 = 245 mod 138

m=139: 170 mod 139 = 31 ≠ 106 = 245 mod 139

m=140: 170 mod 140 = 30 ≠ 105 = 245 mod 140

m=141: 170 mod 141 = 29 ≠ 104 = 245 mod 141

m=142: 170 mod 142 = 28 ≠ 103 = 245 mod 142

m=143: 170 mod 143 = 27 ≠ 102 = 245 mod 143

m=144: 170 mod 144 = 26 ≠ 101 = 245 mod 144

m=145: 170 mod 145 = 25 ≠ 100 = 245 mod 145

m=146: 170 mod 146 = 24 ≠ 99 = 245 mod 146

m=147: 170 mod 147 = 23 ≠ 98 = 245 mod 147

m=148: 170 mod 148 = 22 ≠ 97 = 245 mod 148

m=149: 170 mod 149 = 21 ≠ 96 = 245 mod 149

m=150: 170 mod 150 = 20 ≠ 95 = 245 mod 150

m=151: 170 mod 151 = 19 ≠ 94 = 245 mod 151

m=152: 170 mod 152 = 18 ≠ 93 = 245 mod 152

m=153: 170 mod 153 = 17 ≠ 92 = 245 mod 153

m=154: 170 mod 154 = 16 ≠ 91 = 245 mod 154

m=155: 170 mod 155 = 15 ≠ 90 = 245 mod 155

m=156: 170 mod 156 = 14 ≠ 89 = 245 mod 156

m=157: 170 mod 157 = 13 ≠ 88 = 245 mod 157

m=158: 170 mod 158 = 12 ≠ 87 = 245 mod 158

m=159: 170 mod 159 = 11 ≠ 86 = 245 mod 159

m=160: 170 mod 160 = 10 ≠ 85 = 245 mod 160

m=161: 170 mod 161 = 9 ≠ 84 = 245 mod 161

m=162: 170 mod 162 = 8 ≠ 83 = 245 mod 162

m=163: 170 mod 163 = 7 ≠ 82 = 245 mod 163

m=164: 170 mod 164 = 6 ≠ 81 = 245 mod 164

m=165: 170 mod 165 = 5 ≠ 80 = 245 mod 165

m=166: 170 mod 166 = 4 ≠ 79 = 245 mod 166

m=167: 170 mod 167 = 3 ≠ 78 = 245 mod 167

m=168: 170 mod 168 = 2 ≠ 77 = 245 mod 168

m=169: 170 mod 169 = 1 ≠ 76 = 245 mod 169

m=170: 170 mod 170 = 0 ≠ 75 = 245 mod 170

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (245 - 170) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75