Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 9 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 7 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 3 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 21 und erhalten so 24.

Somit gilt: 24 ≡ 38 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15999 - 7996) mod 4 ≡ (15999 mod 4 - 7996 mod 4) mod 4.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 4 ⋅ 1750 +996.

Somit gilt:

(15999 - 7996) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 85) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 85 mod 3) mod 3.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 85) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 39 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 39 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 3 = 39 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 4 = 39 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 = 3 = 39 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 9 = 39 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 10 = 39 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 9 = 39 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 30) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9