Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.
Somit gilt: 68 mod 9 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 33 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 33 - 27 = 6.
Somit gilt: 33 mod 9 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 8 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 72 und erhalten so 78.
Somit gilt: 78 ≡ 33 ≡ 6 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 - 1596) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 - 1596) mod 4 ≡ (120 mod 4 - 1596 mod 4) mod 4.
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1500
Somit gilt:
(120 - 1596) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 86) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 86) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 86 mod 5) mod 5.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
86 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 85 + 1 = 17 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 86) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
63 mod m = 93 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 63 aus, ob zufällig 63 mod m = 93 mod m gilt:
m=2: 63 mod 2 = 1 = 1 = 93 mod 2
m=3: 63 mod 3 = 0 = 0 = 93 mod 3
m=4: 63 mod 4 = 3 ≠ 1 = 93 mod 4
m=5: 63 mod 5 = 3 = 3 = 93 mod 5
m=6: 63 mod 6 = 3 = 3 = 93 mod 6
m=7: 63 mod 7 = 0 ≠ 2 = 93 mod 7
m=8: 63 mod 8 = 7 ≠ 5 = 93 mod 8
m=9: 63 mod 9 = 0 ≠ 3 = 93 mod 9
m=10: 63 mod 10 = 3 = 3 = 93 mod 10
m=11: 63 mod 11 = 8 ≠ 5 = 93 mod 11
m=12: 63 mod 12 = 3 ≠ 9 = 93 mod 12
m=13: 63 mod 13 = 11 ≠ 2 = 93 mod 13
m=14: 63 mod 14 = 7 ≠ 9 = 93 mod 14
m=15: 63 mod 15 = 3 = 3 = 93 mod 15
m=16: 63 mod 16 = 15 ≠ 13 = 93 mod 16
m=17: 63 mod 17 = 12 ≠ 8 = 93 mod 17
m=18: 63 mod 18 = 9 ≠ 3 = 93 mod 18
m=19: 63 mod 19 = 6 ≠ 17 = 93 mod 19
m=20: 63 mod 20 = 3 ≠ 13 = 93 mod 20
m=21: 63 mod 21 = 0 ≠ 9 = 93 mod 21
m=22: 63 mod 22 = 19 ≠ 5 = 93 mod 22
m=23: 63 mod 23 = 17 ≠ 1 = 93 mod 23
m=24: 63 mod 24 = 15 ≠ 21 = 93 mod 24
m=25: 63 mod 25 = 13 ≠ 18 = 93 mod 25
m=26: 63 mod 26 = 11 ≠ 15 = 93 mod 26
m=27: 63 mod 27 = 9 ≠ 12 = 93 mod 27
m=28: 63 mod 28 = 7 ≠ 9 = 93 mod 28
m=29: 63 mod 29 = 5 ≠ 6 = 93 mod 29
m=30: 63 mod 30 = 3 = 3 = 93 mod 30
m=31: 63 mod 31 = 1 ≠ 0 = 93 mod 31
m=32: 63 mod 32 = 31 ≠ 29 = 93 mod 32
m=33: 63 mod 33 = 30 ≠ 27 = 93 mod 33
m=34: 63 mod 34 = 29 ≠ 25 = 93 mod 34
m=35: 63 mod 35 = 28 ≠ 23 = 93 mod 35
m=36: 63 mod 36 = 27 ≠ 21 = 93 mod 36
m=37: 63 mod 37 = 26 ≠ 19 = 93 mod 37
m=38: 63 mod 38 = 25 ≠ 17 = 93 mod 38
m=39: 63 mod 39 = 24 ≠ 15 = 93 mod 39
m=40: 63 mod 40 = 23 ≠ 13 = 93 mod 40
m=41: 63 mod 41 = 22 ≠ 11 = 93 mod 41
m=42: 63 mod 42 = 21 ≠ 9 = 93 mod 42
m=43: 63 mod 43 = 20 ≠ 7 = 93 mod 43
m=44: 63 mod 44 = 19 ≠ 5 = 93 mod 44
m=45: 63 mod 45 = 18 ≠ 3 = 93 mod 45
m=46: 63 mod 46 = 17 ≠ 1 = 93 mod 46
m=47: 63 mod 47 = 16 ≠ 46 = 93 mod 47
m=48: 63 mod 48 = 15 ≠ 45 = 93 mod 48
m=49: 63 mod 49 = 14 ≠ 44 = 93 mod 49
m=50: 63 mod 50 = 13 ≠ 43 = 93 mod 50
m=51: 63 mod 51 = 12 ≠ 42 = 93 mod 51
m=52: 63 mod 52 = 11 ≠ 41 = 93 mod 52
m=53: 63 mod 53 = 10 ≠ 40 = 93 mod 53
m=54: 63 mod 54 = 9 ≠ 39 = 93 mod 54
m=55: 63 mod 55 = 8 ≠ 38 = 93 mod 55
m=56: 63 mod 56 = 7 ≠ 37 = 93 mod 56
m=57: 63 mod 57 = 6 ≠ 36 = 93 mod 57
m=58: 63 mod 58 = 5 ≠ 35 = 93 mod 58
m=59: 63 mod 59 = 4 ≠ 34 = 93 mod 59
m=60: 63 mod 60 = 3 ≠ 33 = 93 mod 60
m=61: 63 mod 61 = 2 ≠ 32 = 93 mod 61
m=62: 63 mod 62 = 1 ≠ 31 = 93 mod 62
m=63: 63 mod 63 = 0 ≠ 30 = 93 mod 63
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (93 - 63) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
