Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 44 = 10.

Somit gilt: 54 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.

Somit gilt: 44 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 30 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 44 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16003 + 20001) mod 4 ≡ (16003 mod 4 + 20001 mod 4) mod 4.

16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 4 ⋅ 4000 +3.

20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 4 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(16003 + 20001) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 45) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 45 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 45) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 159 aus, ob zufällig 159 mod m = 204 mod m gilt:

m=2: 159 mod 2 = 1 ≠ 0 = 204 mod 2

m=3: 159 mod 3 = 0 = 0 = 204 mod 3

m=4: 159 mod 4 = 3 ≠ 0 = 204 mod 4

m=5: 159 mod 5 = 4 = 4 = 204 mod 5

m=6: 159 mod 6 = 3 ≠ 0 = 204 mod 6

m=7: 159 mod 7 = 5 ≠ 1 = 204 mod 7

m=8: 159 mod 8 = 7 ≠ 4 = 204 mod 8

m=9: 159 mod 9 = 6 = 6 = 204 mod 9

m=10: 159 mod 10 = 9 ≠ 4 = 204 mod 10

m=11: 159 mod 11 = 5 ≠ 6 = 204 mod 11

m=12: 159 mod 12 = 3 ≠ 0 = 204 mod 12

m=13: 159 mod 13 = 3 ≠ 9 = 204 mod 13

m=14: 159 mod 14 = 5 ≠ 8 = 204 mod 14

m=15: 159 mod 15 = 9 = 9 = 204 mod 15

m=16: 159 mod 16 = 15 ≠ 12 = 204 mod 16

m=17: 159 mod 17 = 6 ≠ 0 = 204 mod 17

m=18: 159 mod 18 = 15 ≠ 6 = 204 mod 18

m=19: 159 mod 19 = 7 ≠ 14 = 204 mod 19

m=20: 159 mod 20 = 19 ≠ 4 = 204 mod 20

m=21: 159 mod 21 = 12 ≠ 15 = 204 mod 21

m=22: 159 mod 22 = 5 ≠ 6 = 204 mod 22

m=23: 159 mod 23 = 21 ≠ 20 = 204 mod 23

m=24: 159 mod 24 = 15 ≠ 12 = 204 mod 24

m=25: 159 mod 25 = 9 ≠ 4 = 204 mod 25

m=26: 159 mod 26 = 3 ≠ 22 = 204 mod 26

m=27: 159 mod 27 = 24 ≠ 15 = 204 mod 27

m=28: 159 mod 28 = 19 ≠ 8 = 204 mod 28

m=29: 159 mod 29 = 14 ≠ 1 = 204 mod 29

m=30: 159 mod 30 = 9 ≠ 24 = 204 mod 30

m=31: 159 mod 31 = 4 ≠ 18 = 204 mod 31

m=32: 159 mod 32 = 31 ≠ 12 = 204 mod 32

m=33: 159 mod 33 = 27 ≠ 6 = 204 mod 33

m=34: 159 mod 34 = 23 ≠ 0 = 204 mod 34

m=35: 159 mod 35 = 19 ≠ 29 = 204 mod 35

m=36: 159 mod 36 = 15 ≠ 24 = 204 mod 36

m=37: 159 mod 37 = 11 ≠ 19 = 204 mod 37

m=38: 159 mod 38 = 7 ≠ 14 = 204 mod 38

m=39: 159 mod 39 = 3 ≠ 9 = 204 mod 39

m=40: 159 mod 40 = 39 ≠ 4 = 204 mod 40

m=41: 159 mod 41 = 36 ≠ 40 = 204 mod 41

m=42: 159 mod 42 = 33 ≠ 36 = 204 mod 42

m=43: 159 mod 43 = 30 ≠ 32 = 204 mod 43

m=44: 159 mod 44 = 27 ≠ 28 = 204 mod 44

m=45: 159 mod 45 = 24 = 24 = 204 mod 45

m=46: 159 mod 46 = 21 ≠ 20 = 204 mod 46

m=47: 159 mod 47 = 18 ≠ 16 = 204 mod 47

m=48: 159 mod 48 = 15 ≠ 12 = 204 mod 48

m=49: 159 mod 49 = 12 ≠ 8 = 204 mod 49

m=50: 159 mod 50 = 9 ≠ 4 = 204 mod 50

m=51: 159 mod 51 = 6 ≠ 0 = 204 mod 51

m=52: 159 mod 52 = 3 ≠ 48 = 204 mod 52

m=53: 159 mod 53 = 0 ≠ 45 = 204 mod 53

m=54: 159 mod 54 = 51 ≠ 42 = 204 mod 54

m=55: 159 mod 55 = 49 ≠ 39 = 204 mod 55

m=56: 159 mod 56 = 47 ≠ 36 = 204 mod 56

m=57: 159 mod 57 = 45 ≠ 33 = 204 mod 57

m=58: 159 mod 58 = 43 ≠ 30 = 204 mod 58

m=59: 159 mod 59 = 41 ≠ 27 = 204 mod 59

m=60: 159 mod 60 = 39 ≠ 24 = 204 mod 60

m=61: 159 mod 61 = 37 ≠ 21 = 204 mod 61

m=62: 159 mod 62 = 35 ≠ 18 = 204 mod 62

m=63: 159 mod 63 = 33 ≠ 15 = 204 mod 63

m=64: 159 mod 64 = 31 ≠ 12 = 204 mod 64

m=65: 159 mod 65 = 29 ≠ 9 = 204 mod 65

m=66: 159 mod 66 = 27 ≠ 6 = 204 mod 66

m=67: 159 mod 67 = 25 ≠ 3 = 204 mod 67

m=68: 159 mod 68 = 23 ≠ 0 = 204 mod 68

m=69: 159 mod 69 = 21 ≠ 66 = 204 mod 69

m=70: 159 mod 70 = 19 ≠ 64 = 204 mod 70

m=71: 159 mod 71 = 17 ≠ 62 = 204 mod 71

m=72: 159 mod 72 = 15 ≠ 60 = 204 mod 72

m=73: 159 mod 73 = 13 ≠ 58 = 204 mod 73

m=74: 159 mod 74 = 11 ≠ 56 = 204 mod 74

m=75: 159 mod 75 = 9 ≠ 54 = 204 mod 75

m=76: 159 mod 76 = 7 ≠ 52 = 204 mod 76

m=77: 159 mod 77 = 5 ≠ 50 = 204 mod 77

m=78: 159 mod 78 = 3 ≠ 48 = 204 mod 78

m=79: 159 mod 79 = 1 ≠ 46 = 204 mod 79

m=80: 159 mod 80 = 79 ≠ 44 = 204 mod 80

m=81: 159 mod 81 = 78 ≠ 42 = 204 mod 81

m=82: 159 mod 82 = 77 ≠ 40 = 204 mod 82

m=83: 159 mod 83 = 76 ≠ 38 = 204 mod 83

m=84: 159 mod 84 = 75 ≠ 36 = 204 mod 84

m=85: 159 mod 85 = 74 ≠ 34 = 204 mod 85

m=86: 159 mod 86 = 73 ≠ 32 = 204 mod 86

m=87: 159 mod 87 = 72 ≠ 30 = 204 mod 87

m=88: 159 mod 88 = 71 ≠ 28 = 204 mod 88

m=89: 159 mod 89 = 70 ≠ 26 = 204 mod 89

m=90: 159 mod 90 = 69 ≠ 24 = 204 mod 90

m=91: 159 mod 91 = 68 ≠ 22 = 204 mod 91

m=92: 159 mod 92 = 67 ≠ 20 = 204 mod 92

m=93: 159 mod 93 = 66 ≠ 18 = 204 mod 93

m=94: 159 mod 94 = 65 ≠ 16 = 204 mod 94

m=95: 159 mod 95 = 64 ≠ 14 = 204 mod 95

m=96: 159 mod 96 = 63 ≠ 12 = 204 mod 96

m=97: 159 mod 97 = 62 ≠ 10 = 204 mod 97

m=98: 159 mod 98 = 61 ≠ 8 = 204 mod 98

m=99: 159 mod 99 = 60 ≠ 6 = 204 mod 99

m=100: 159 mod 100 = 59 ≠ 4 = 204 mod 100

m=101: 159 mod 101 = 58 ≠ 2 = 204 mod 101

m=102: 159 mod 102 = 57 ≠ 0 = 204 mod 102

m=103: 159 mod 103 = 56 ≠ 101 = 204 mod 103

m=104: 159 mod 104 = 55 ≠ 100 = 204 mod 104

m=105: 159 mod 105 = 54 ≠ 99 = 204 mod 105

m=106: 159 mod 106 = 53 ≠ 98 = 204 mod 106

m=107: 159 mod 107 = 52 ≠ 97 = 204 mod 107

m=108: 159 mod 108 = 51 ≠ 96 = 204 mod 108

m=109: 159 mod 109 = 50 ≠ 95 = 204 mod 109

m=110: 159 mod 110 = 49 ≠ 94 = 204 mod 110

m=111: 159 mod 111 = 48 ≠ 93 = 204 mod 111

m=112: 159 mod 112 = 47 ≠ 92 = 204 mod 112

m=113: 159 mod 113 = 46 ≠ 91 = 204 mod 113

m=114: 159 mod 114 = 45 ≠ 90 = 204 mod 114

m=115: 159 mod 115 = 44 ≠ 89 = 204 mod 115

m=116: 159 mod 116 = 43 ≠ 88 = 204 mod 116

m=117: 159 mod 117 = 42 ≠ 87 = 204 mod 117

m=118: 159 mod 118 = 41 ≠ 86 = 204 mod 118

m=119: 159 mod 119 = 40 ≠ 85 = 204 mod 119

m=120: 159 mod 120 = 39 ≠ 84 = 204 mod 120

m=121: 159 mod 121 = 38 ≠ 83 = 204 mod 121

m=122: 159 mod 122 = 37 ≠ 82 = 204 mod 122

m=123: 159 mod 123 = 36 ≠ 81 = 204 mod 123

m=124: 159 mod 124 = 35 ≠ 80 = 204 mod 124

m=125: 159 mod 125 = 34 ≠ 79 = 204 mod 125

m=126: 159 mod 126 = 33 ≠ 78 = 204 mod 126

m=127: 159 mod 127 = 32 ≠ 77 = 204 mod 127

m=128: 159 mod 128 = 31 ≠ 76 = 204 mod 128

m=129: 159 mod 129 = 30 ≠ 75 = 204 mod 129

m=130: 159 mod 130 = 29 ≠ 74 = 204 mod 130

m=131: 159 mod 131 = 28 ≠ 73 = 204 mod 131

m=132: 159 mod 132 = 27 ≠ 72 = 204 mod 132

m=133: 159 mod 133 = 26 ≠ 71 = 204 mod 133

m=134: 159 mod 134 = 25 ≠ 70 = 204 mod 134

m=135: 159 mod 135 = 24 ≠ 69 = 204 mod 135

m=136: 159 mod 136 = 23 ≠ 68 = 204 mod 136

m=137: 159 mod 137 = 22 ≠ 67 = 204 mod 137

m=138: 159 mod 138 = 21 ≠ 66 = 204 mod 138

m=139: 159 mod 139 = 20 ≠ 65 = 204 mod 139

m=140: 159 mod 140 = 19 ≠ 64 = 204 mod 140

m=141: 159 mod 141 = 18 ≠ 63 = 204 mod 141

m=142: 159 mod 142 = 17 ≠ 62 = 204 mod 142

m=143: 159 mod 143 = 16 ≠ 61 = 204 mod 143

m=144: 159 mod 144 = 15 ≠ 60 = 204 mod 144

m=145: 159 mod 145 = 14 ≠ 59 = 204 mod 145

m=146: 159 mod 146 = 13 ≠ 58 = 204 mod 146

m=147: 159 mod 147 = 12 ≠ 57 = 204 mod 147

m=148: 159 mod 148 = 11 ≠ 56 = 204 mod 148

m=149: 159 mod 149 = 10 ≠ 55 = 204 mod 149

m=150: 159 mod 150 = 9 ≠ 54 = 204 mod 150

m=151: 159 mod 151 = 8 ≠ 53 = 204 mod 151

m=152: 159 mod 152 = 7 ≠ 52 = 204 mod 152

m=153: 159 mod 153 = 6 ≠ 51 = 204 mod 153

m=154: 159 mod 154 = 5 ≠ 50 = 204 mod 154

m=155: 159 mod 155 = 4 ≠ 49 = 204 mod 155

m=156: 159 mod 156 = 3 ≠ 48 = 204 mod 156

m=157: 159 mod 157 = 2 ≠ 47 = 204 mod 157

m=158: 159 mod 158 = 1 ≠ 46 = 204 mod 158

m=159: 159 mod 159 = 0 ≠ 45 = 204 mod 159

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (204 - 159) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45