Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 65 = 0.

Somit gilt: 65 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 99, weil ja 11 ⋅ 9 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.

Somit gilt: 100 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 90 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 100 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8998 + 61) mod 3 ≡ (8998 mod 3 + 61 mod 3) mod 3.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(8998 + 61) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 60) mod 10 ≡ (57 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.

57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 60) mod 10 ≡ (7 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 58 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 ≠ 0 = 58 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 = 1 = 58 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 ≠ 2 = 58 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 = 3 = 58 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 ≠ 4 = 58 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 2 = 58 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 2 = 58 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 ≠ 4 = 58 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 ≠ 8 = 58 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 3 = 58 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 ≠ 10 = 58 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 6 = 58 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 2 = 58 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 = 13 = 58 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 10 = 58 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 7 = 58 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 ≠ 4 = 58 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 1 = 58 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 ≠ 18 = 58 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 16 = 58 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 14 = 58 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 12 = 58 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 10 = 58 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 8 = 58 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 6 = 58 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 4 = 58 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 2 = 58 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 0 = 58 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 28 = 58 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 27 = 58 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 26 = 58 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 25 = 58 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 24 = 58 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 23 = 58 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 22 = 58 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 21 = 58 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 20 = 58 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 19 = 58 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 18 = 58 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 17 = 58 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 16 = 58 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 15 = 58 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (58 - 43) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15