Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 95 - 93 = 2.
Somit gilt: 95 mod 3 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 51 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 51 - 45 = 6.
Somit gilt: 51 mod 9 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 54 = 6 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 54 und erhalten so 60.
Somit gilt: 60 ≡ 51 ≡ 6 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25000 - 2000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25000 - 2000) mod 5 ≡ (25000 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(25000 - 2000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 86) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 86) mod 8 ≡ (95 mod 8 ⋅ 86 mod 8) mod 8.
95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 86) mod 8 ≡ (7 ⋅ 6) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:
m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2
m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3
m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4
m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5
m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6
m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7
m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8
m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9
m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10
m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
