Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 90 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 90 - 84 = 6.
Somit gilt: 90 mod 7 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 54 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 48 = 6.
Somit gilt: 54 mod 8 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 64 = 8 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 64 und erhalten so 70.
Somit gilt: 70 ≡ 54 ≡ 6 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (401 - 11997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(401 - 11997) mod 4 ≡ (401 mod 4 - 11997 mod 4) mod 4.
401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
11997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 11000
Somit gilt:
(401 - 11997) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 26) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 26) mod 6 ≡ (22 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.
22 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 3 ⋅ 6 + 4 ist.
26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 26) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6