Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 55 - 49 = 6.
Somit gilt: 55 mod 7 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 40 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.
Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5
Somit gilt: 30 ≡ 40 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3000 - 6000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3000 - 6000) mod 6 ≡ (3000 mod 6 - 6000 mod 6) mod 6.
3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(3000 - 6000) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 23) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 23) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 26 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 26 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 ≠ 2 = 26 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 = 2 = 26 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 1 = 26 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 2 = 26 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 5 = 26 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 = 2 = 26 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 8 = 26 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 6 = 26 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 4 = 26 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 2 = 26 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 0 = 26 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 12 = 26 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 11 = 26 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 10 = 26 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 9 = 26 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 8 = 26 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 18) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8