Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 73 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 73 - 66 = 7.
Somit gilt: 73 mod 11 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 56 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.
Somit gilt: 56 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 10 und erhalten so 11.
Somit gilt: 11 ≡ 56 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44996 + 278) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44996 + 278) mod 9 ≡ (44996 mod 9 + 278 mod 9) mod 9.
44996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44996
= 45000
278 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278
= 270
Somit gilt:
(44996 + 278) mod 9 ≡ (5 + 8) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 76) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 76) mod 3 ≡ (61 mod 3 ⋅ 76 mod 3) mod 3.
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 20 ⋅ 3 + 1 ist.
76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 76) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 24 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
