Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.
Somit gilt: 57 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 29 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 27, weil ja 9 ⋅ 3 = 27 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 29 - 27 = 2.
Somit gilt: 29 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.
Somit gilt: 62 ≡ 29 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18007 + 279) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18007 + 279) mod 9 ≡ (18007 mod 9 + 279 mod 9) mod 9.
18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007
= 18000
279 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279
= 270
Somit gilt:
(18007 + 279) mod 9 ≡ (7 + 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 97) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 97) mod 7 ≡ (79 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.
79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 97) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 24 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
