Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 90 = 7.
Somit gilt: 97 mod 10 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 96 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 88 = 8.
Somit gilt: 96 mod 11 ≡ 8.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 66 und erhalten so 74.
Somit gilt: 74 ≡ 96 ≡ 8 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30005 - 2399) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30005 - 2399) mod 6 ≡ (30005 mod 6 - 2399 mod 6) mod 6.
30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005
= 30000
2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399
= 2400
Somit gilt:
(30005 - 2399) mod 6 ≡ (5 - 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 81) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 81) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.
80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.
81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 81) mod 11 ≡ (3 ⋅ 4) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 32 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
