Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.

Somit gilt: 39 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 44 = 3.

Somit gilt: 47 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 66 und erhalten so 69.

Somit gilt: 69 ≡ 47 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 - 1998) mod 4 ≡ (20000 mod 4 - 1998 mod 4) mod 4.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 4 ⋅ 475 +98.

Somit gilt:

(20000 - 1998) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 24) mod 9 ≡ (66 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 24) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 0 = 36 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 = 1 = 36 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 = 6 = 36 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 10 = 36 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 26) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10