Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 16 = 3.

Somit gilt: 19 mod 8 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 99, weil ja 11 ⋅ 9 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.

Somit gilt: 100 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 27 und erhalten so 28.

Somit gilt: 28 ≡ 100 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28005 - 346) mod 7 ≡ (28005 mod 7 - 346 mod 7) mod 7.

28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005 = 28000+5 = 7 ⋅ 4000 +5.

346 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 346 = 350-4 = 7 ⋅ 50 -4 = 7 ⋅ 50 - 7 + 3.

Somit gilt:

(28005 - 346) mod 7 ≡ (5 - 3) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 75) mod 10 ≡ (97 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 75) mod 10 ≡ (7 ⋅ 5) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6