Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 17 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 17 - 16 = 1.
Somit gilt: 17 mod 8 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 65 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.
Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 56 = 7 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 56 und erhalten so 57.
Somit gilt: 57 ≡ 65 ≡ 1 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3494 + 283) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3494 + 283) mod 7 ≡ (3494 mod 7 + 283 mod 7) mod 7.
3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494
= 3500
283 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 283
= 280
Somit gilt:
(3494 + 283) mod 7 ≡ (1 + 3) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 39) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 39) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.
31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.
39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 39) mod 9 ≡ (4 ⋅ 3) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6