Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 63 - 56 = 7.
Somit gilt: 63 mod 8 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 72 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 72, weil ja 24 ⋅ 3 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.
Somit gilt: 72 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3
Somit gilt: 81 ≡ 72 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 + 1203) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 + 1203) mod 4 ≡ (1200 mod 4 + 1203 mod 4) mod 4.
1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
1203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
Somit gilt:
(1200 + 1203) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 82) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 82) mod 3 ≡ (79 mod 3 ⋅ 82 mod 3) mod 3.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 82) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 24 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6