Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 51 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 51 - 51 = 0.
Somit gilt: 51 mod 3 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 61 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.
Somit gilt: 61 mod 3 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 90 und erhalten so 91.
Somit gilt: 91 ≡ 61 ≡ 1 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18007 + 4496) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18007 + 4496) mod 9 ≡ (18007 mod 9 + 4496 mod 9) mod 9.
18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007
= 18000
4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496
= 4500
Somit gilt:
(18007 + 4496) mod 9 ≡ (7 + 5) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 65) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 65) mod 3 ≡ (41 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.
41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.
65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 65) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
191 mod m = 241 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 191 aus, ob zufällig 191 mod m = 241 mod m gilt:
m=2: 191 mod 2 = 1 = 1 = 241 mod 2
m=3: 191 mod 3 = 2 ≠ 1 = 241 mod 3
m=4: 191 mod 4 = 3 ≠ 1 = 241 mod 4
m=5: 191 mod 5 = 1 = 1 = 241 mod 5
m=6: 191 mod 6 = 5 ≠ 1 = 241 mod 6
m=7: 191 mod 7 = 2 ≠ 3 = 241 mod 7
m=8: 191 mod 8 = 7 ≠ 1 = 241 mod 8
m=9: 191 mod 9 = 2 ≠ 7 = 241 mod 9
m=10: 191 mod 10 = 1 = 1 = 241 mod 10
m=11: 191 mod 11 = 4 ≠ 10 = 241 mod 11
m=12: 191 mod 12 = 11 ≠ 1 = 241 mod 12
m=13: 191 mod 13 = 9 ≠ 7 = 241 mod 13
m=14: 191 mod 14 = 9 ≠ 3 = 241 mod 14
m=15: 191 mod 15 = 11 ≠ 1 = 241 mod 15
m=16: 191 mod 16 = 15 ≠ 1 = 241 mod 16
m=17: 191 mod 17 = 4 ≠ 3 = 241 mod 17
m=18: 191 mod 18 = 11 ≠ 7 = 241 mod 18
m=19: 191 mod 19 = 1 ≠ 13 = 241 mod 19
m=20: 191 mod 20 = 11 ≠ 1 = 241 mod 20
m=21: 191 mod 21 = 2 ≠ 10 = 241 mod 21
m=22: 191 mod 22 = 15 ≠ 21 = 241 mod 22
m=23: 191 mod 23 = 7 ≠ 11 = 241 mod 23
m=24: 191 mod 24 = 23 ≠ 1 = 241 mod 24
m=25: 191 mod 25 = 16 = 16 = 241 mod 25
m=26: 191 mod 26 = 9 ≠ 7 = 241 mod 26
m=27: 191 mod 27 = 2 ≠ 25 = 241 mod 27
m=28: 191 mod 28 = 23 ≠ 17 = 241 mod 28
m=29: 191 mod 29 = 17 ≠ 9 = 241 mod 29
m=30: 191 mod 30 = 11 ≠ 1 = 241 mod 30
m=31: 191 mod 31 = 5 ≠ 24 = 241 mod 31
m=32: 191 mod 32 = 31 ≠ 17 = 241 mod 32
m=33: 191 mod 33 = 26 ≠ 10 = 241 mod 33
m=34: 191 mod 34 = 21 ≠ 3 = 241 mod 34
m=35: 191 mod 35 = 16 ≠ 31 = 241 mod 35
m=36: 191 mod 36 = 11 ≠ 25 = 241 mod 36
m=37: 191 mod 37 = 6 ≠ 19 = 241 mod 37
m=38: 191 mod 38 = 1 ≠ 13 = 241 mod 38
m=39: 191 mod 39 = 35 ≠ 7 = 241 mod 39
m=40: 191 mod 40 = 31 ≠ 1 = 241 mod 40
m=41: 191 mod 41 = 27 ≠ 36 = 241 mod 41
m=42: 191 mod 42 = 23 ≠ 31 = 241 mod 42
m=43: 191 mod 43 = 19 ≠ 26 = 241 mod 43
m=44: 191 mod 44 = 15 ≠ 21 = 241 mod 44
m=45: 191 mod 45 = 11 ≠ 16 = 241 mod 45
m=46: 191 mod 46 = 7 ≠ 11 = 241 mod 46
m=47: 191 mod 47 = 3 ≠ 6 = 241 mod 47
m=48: 191 mod 48 = 47 ≠ 1 = 241 mod 48
m=49: 191 mod 49 = 44 ≠ 45 = 241 mod 49
m=50: 191 mod 50 = 41 = 41 = 241 mod 50
m=51: 191 mod 51 = 38 ≠ 37 = 241 mod 51
m=52: 191 mod 52 = 35 ≠ 33 = 241 mod 52
m=53: 191 mod 53 = 32 ≠ 29 = 241 mod 53
m=54: 191 mod 54 = 29 ≠ 25 = 241 mod 54
m=55: 191 mod 55 = 26 ≠ 21 = 241 mod 55
m=56: 191 mod 56 = 23 ≠ 17 = 241 mod 56
m=57: 191 mod 57 = 20 ≠ 13 = 241 mod 57
m=58: 191 mod 58 = 17 ≠ 9 = 241 mod 58
m=59: 191 mod 59 = 14 ≠ 5 = 241 mod 59
m=60: 191 mod 60 = 11 ≠ 1 = 241 mod 60
m=61: 191 mod 61 = 8 ≠ 58 = 241 mod 61
m=62: 191 mod 62 = 5 ≠ 55 = 241 mod 62
m=63: 191 mod 63 = 2 ≠ 52 = 241 mod 63
m=64: 191 mod 64 = 63 ≠ 49 = 241 mod 64
m=65: 191 mod 65 = 61 ≠ 46 = 241 mod 65
m=66: 191 mod 66 = 59 ≠ 43 = 241 mod 66
m=67: 191 mod 67 = 57 ≠ 40 = 241 mod 67
m=68: 191 mod 68 = 55 ≠ 37 = 241 mod 68
m=69: 191 mod 69 = 53 ≠ 34 = 241 mod 69
m=70: 191 mod 70 = 51 ≠ 31 = 241 mod 70
m=71: 191 mod 71 = 49 ≠ 28 = 241 mod 71
m=72: 191 mod 72 = 47 ≠ 25 = 241 mod 72
m=73: 191 mod 73 = 45 ≠ 22 = 241 mod 73
m=74: 191 mod 74 = 43 ≠ 19 = 241 mod 74
m=75: 191 mod 75 = 41 ≠ 16 = 241 mod 75
m=76: 191 mod 76 = 39 ≠ 13 = 241 mod 76
m=77: 191 mod 77 = 37 ≠ 10 = 241 mod 77
m=78: 191 mod 78 = 35 ≠ 7 = 241 mod 78
m=79: 191 mod 79 = 33 ≠ 4 = 241 mod 79
m=80: 191 mod 80 = 31 ≠ 1 = 241 mod 80
m=81: 191 mod 81 = 29 ≠ 79 = 241 mod 81
m=82: 191 mod 82 = 27 ≠ 77 = 241 mod 82
m=83: 191 mod 83 = 25 ≠ 75 = 241 mod 83
m=84: 191 mod 84 = 23 ≠ 73 = 241 mod 84
m=85: 191 mod 85 = 21 ≠ 71 = 241 mod 85
m=86: 191 mod 86 = 19 ≠ 69 = 241 mod 86
m=87: 191 mod 87 = 17 ≠ 67 = 241 mod 87
m=88: 191 mod 88 = 15 ≠ 65 = 241 mod 88
m=89: 191 mod 89 = 13 ≠ 63 = 241 mod 89
m=90: 191 mod 90 = 11 ≠ 61 = 241 mod 90
m=91: 191 mod 91 = 9 ≠ 59 = 241 mod 91
m=92: 191 mod 92 = 7 ≠ 57 = 241 mod 92
m=93: 191 mod 93 = 5 ≠ 55 = 241 mod 93
m=94: 191 mod 94 = 3 ≠ 53 = 241 mod 94
m=95: 191 mod 95 = 1 ≠ 51 = 241 mod 95
m=96: 191 mod 96 = 95 ≠ 49 = 241 mod 96
m=97: 191 mod 97 = 94 ≠ 47 = 241 mod 97
m=98: 191 mod 98 = 93 ≠ 45 = 241 mod 98
m=99: 191 mod 99 = 92 ≠ 43 = 241 mod 99
m=100: 191 mod 100 = 91 ≠ 41 = 241 mod 100
m=101: 191 mod 101 = 90 ≠ 39 = 241 mod 101
m=102: 191 mod 102 = 89 ≠ 37 = 241 mod 102
m=103: 191 mod 103 = 88 ≠ 35 = 241 mod 103
m=104: 191 mod 104 = 87 ≠ 33 = 241 mod 104
m=105: 191 mod 105 = 86 ≠ 31 = 241 mod 105
m=106: 191 mod 106 = 85 ≠ 29 = 241 mod 106
m=107: 191 mod 107 = 84 ≠ 27 = 241 mod 107
m=108: 191 mod 108 = 83 ≠ 25 = 241 mod 108
m=109: 191 mod 109 = 82 ≠ 23 = 241 mod 109
m=110: 191 mod 110 = 81 ≠ 21 = 241 mod 110
m=111: 191 mod 111 = 80 ≠ 19 = 241 mod 111
m=112: 191 mod 112 = 79 ≠ 17 = 241 mod 112
m=113: 191 mod 113 = 78 ≠ 15 = 241 mod 113
m=114: 191 mod 114 = 77 ≠ 13 = 241 mod 114
m=115: 191 mod 115 = 76 ≠ 11 = 241 mod 115
m=116: 191 mod 116 = 75 ≠ 9 = 241 mod 116
m=117: 191 mod 117 = 74 ≠ 7 = 241 mod 117
m=118: 191 mod 118 = 73 ≠ 5 = 241 mod 118
m=119: 191 mod 119 = 72 ≠ 3 = 241 mod 119
m=120: 191 mod 120 = 71 ≠ 1 = 241 mod 120
m=121: 191 mod 121 = 70 ≠ 120 = 241 mod 121
m=122: 191 mod 122 = 69 ≠ 119 = 241 mod 122
m=123: 191 mod 123 = 68 ≠ 118 = 241 mod 123
m=124: 191 mod 124 = 67 ≠ 117 = 241 mod 124
m=125: 191 mod 125 = 66 ≠ 116 = 241 mod 125
m=126: 191 mod 126 = 65 ≠ 115 = 241 mod 126
m=127: 191 mod 127 = 64 ≠ 114 = 241 mod 127
m=128: 191 mod 128 = 63 ≠ 113 = 241 mod 128
m=129: 191 mod 129 = 62 ≠ 112 = 241 mod 129
m=130: 191 mod 130 = 61 ≠ 111 = 241 mod 130
m=131: 191 mod 131 = 60 ≠ 110 = 241 mod 131
m=132: 191 mod 132 = 59 ≠ 109 = 241 mod 132
m=133: 191 mod 133 = 58 ≠ 108 = 241 mod 133
m=134: 191 mod 134 = 57 ≠ 107 = 241 mod 134
m=135: 191 mod 135 = 56 ≠ 106 = 241 mod 135
m=136: 191 mod 136 = 55 ≠ 105 = 241 mod 136
m=137: 191 mod 137 = 54 ≠ 104 = 241 mod 137
m=138: 191 mod 138 = 53 ≠ 103 = 241 mod 138
m=139: 191 mod 139 = 52 ≠ 102 = 241 mod 139
m=140: 191 mod 140 = 51 ≠ 101 = 241 mod 140
m=141: 191 mod 141 = 50 ≠ 100 = 241 mod 141
m=142: 191 mod 142 = 49 ≠ 99 = 241 mod 142
m=143: 191 mod 143 = 48 ≠ 98 = 241 mod 143
m=144: 191 mod 144 = 47 ≠ 97 = 241 mod 144
m=145: 191 mod 145 = 46 ≠ 96 = 241 mod 145
m=146: 191 mod 146 = 45 ≠ 95 = 241 mod 146
m=147: 191 mod 147 = 44 ≠ 94 = 241 mod 147
m=148: 191 mod 148 = 43 ≠ 93 = 241 mod 148
m=149: 191 mod 149 = 42 ≠ 92 = 241 mod 149
m=150: 191 mod 150 = 41 ≠ 91 = 241 mod 150
m=151: 191 mod 151 = 40 ≠ 90 = 241 mod 151
m=152: 191 mod 152 = 39 ≠ 89 = 241 mod 152
m=153: 191 mod 153 = 38 ≠ 88 = 241 mod 153
m=154: 191 mod 154 = 37 ≠ 87 = 241 mod 154
m=155: 191 mod 155 = 36 ≠ 86 = 241 mod 155
m=156: 191 mod 156 = 35 ≠ 85 = 241 mod 156
m=157: 191 mod 157 = 34 ≠ 84 = 241 mod 157
m=158: 191 mod 158 = 33 ≠ 83 = 241 mod 158
m=159: 191 mod 159 = 32 ≠ 82 = 241 mod 159
m=160: 191 mod 160 = 31 ≠ 81 = 241 mod 160
m=161: 191 mod 161 = 30 ≠ 80 = 241 mod 161
m=162: 191 mod 162 = 29 ≠ 79 = 241 mod 162
m=163: 191 mod 163 = 28 ≠ 78 = 241 mod 163
m=164: 191 mod 164 = 27 ≠ 77 = 241 mod 164
m=165: 191 mod 165 = 26 ≠ 76 = 241 mod 165
m=166: 191 mod 166 = 25 ≠ 75 = 241 mod 166
m=167: 191 mod 167 = 24 ≠ 74 = 241 mod 167
m=168: 191 mod 168 = 23 ≠ 73 = 241 mod 168
m=169: 191 mod 169 = 22 ≠ 72 = 241 mod 169
m=170: 191 mod 170 = 21 ≠ 71 = 241 mod 170
m=171: 191 mod 171 = 20 ≠ 70 = 241 mod 171
m=172: 191 mod 172 = 19 ≠ 69 = 241 mod 172
m=173: 191 mod 173 = 18 ≠ 68 = 241 mod 173
m=174: 191 mod 174 = 17 ≠ 67 = 241 mod 174
m=175: 191 mod 175 = 16 ≠ 66 = 241 mod 175
m=176: 191 mod 176 = 15 ≠ 65 = 241 mod 176
m=177: 191 mod 177 = 14 ≠ 64 = 241 mod 177
m=178: 191 mod 178 = 13 ≠ 63 = 241 mod 178
m=179: 191 mod 179 = 12 ≠ 62 = 241 mod 179
m=180: 191 mod 180 = 11 ≠ 61 = 241 mod 180
m=181: 191 mod 181 = 10 ≠ 60 = 241 mod 181
m=182: 191 mod 182 = 9 ≠ 59 = 241 mod 182
m=183: 191 mod 183 = 8 ≠ 58 = 241 mod 183
m=184: 191 mod 184 = 7 ≠ 57 = 241 mod 184
m=185: 191 mod 185 = 6 ≠ 56 = 241 mod 185
m=186: 191 mod 186 = 5 ≠ 55 = 241 mod 186
m=187: 191 mod 187 = 4 ≠ 54 = 241 mod 187
m=188: 191 mod 188 = 3 ≠ 53 = 241 mod 188
m=189: 191 mod 189 = 2 ≠ 52 = 241 mod 189
m=190: 191 mod 190 = 1 ≠ 51 = 241 mod 190
m=191: 191 mod 191 = 0 ≠ 50 = 241 mod 191
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (241 - 191) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
