Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 94 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 90 = 4.
Somit gilt: 94 mod 10 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 87 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.
Somit gilt: 87 mod 7 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 9 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 63 und erhalten so 66.
Somit gilt: 66 ≡ 87 ≡ 3 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 - 36) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 - 36) mod 4 ≡ (39 mod 4 - 36 mod 4) mod 4.
39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39
= 40
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36
= 40
Somit gilt:
(39 - 36) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 56) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 56) mod 11 ≡ (71 mod 11 ⋅ 56 mod 11) mod 11.
71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.
56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 56) mod 11 ≡ (5 ⋅ 1) mod 11 ≡ 5 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6