Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 20 = 4.
Somit gilt: 24 mod 10 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 52 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 52 - 45 = 7.
Somit gilt: 52 mod 9 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 4 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 36 und erhalten so 43.
Somit gilt: 43 ≡ 52 ≡ 7 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28007 + 1400) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28007 + 1400) mod 7 ≡ (28007 mod 7 + 1400 mod 7) mod 7.
28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007
= 28000
1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400
= 1400
Somit gilt:
(28007 + 1400) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 91) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 91) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 91) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
168 mod m = 213 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 168 aus, ob zufällig 168 mod m = 213 mod m gilt:
m=2: 168 mod 2 = 0 ≠ 1 = 213 mod 2
m=3: 168 mod 3 = 0 = 0 = 213 mod 3
m=4: 168 mod 4 = 0 ≠ 1 = 213 mod 4
m=5: 168 mod 5 = 3 = 3 = 213 mod 5
m=6: 168 mod 6 = 0 ≠ 3 = 213 mod 6
m=7: 168 mod 7 = 0 ≠ 3 = 213 mod 7
m=8: 168 mod 8 = 0 ≠ 5 = 213 mod 8
m=9: 168 mod 9 = 6 = 6 = 213 mod 9
m=10: 168 mod 10 = 8 ≠ 3 = 213 mod 10
m=11: 168 mod 11 = 3 ≠ 4 = 213 mod 11
m=12: 168 mod 12 = 0 ≠ 9 = 213 mod 12
m=13: 168 mod 13 = 12 ≠ 5 = 213 mod 13
m=14: 168 mod 14 = 0 ≠ 3 = 213 mod 14
m=15: 168 mod 15 = 3 = 3 = 213 mod 15
m=16: 168 mod 16 = 8 ≠ 5 = 213 mod 16
m=17: 168 mod 17 = 15 ≠ 9 = 213 mod 17
m=18: 168 mod 18 = 6 ≠ 15 = 213 mod 18
m=19: 168 mod 19 = 16 ≠ 4 = 213 mod 19
m=20: 168 mod 20 = 8 ≠ 13 = 213 mod 20
m=21: 168 mod 21 = 0 ≠ 3 = 213 mod 21
m=22: 168 mod 22 = 14 ≠ 15 = 213 mod 22
m=23: 168 mod 23 = 7 ≠ 6 = 213 mod 23
m=24: 168 mod 24 = 0 ≠ 21 = 213 mod 24
m=25: 168 mod 25 = 18 ≠ 13 = 213 mod 25
m=26: 168 mod 26 = 12 ≠ 5 = 213 mod 26
m=27: 168 mod 27 = 6 ≠ 24 = 213 mod 27
m=28: 168 mod 28 = 0 ≠ 17 = 213 mod 28
m=29: 168 mod 29 = 23 ≠ 10 = 213 mod 29
m=30: 168 mod 30 = 18 ≠ 3 = 213 mod 30
m=31: 168 mod 31 = 13 ≠ 27 = 213 mod 31
m=32: 168 mod 32 = 8 ≠ 21 = 213 mod 32
m=33: 168 mod 33 = 3 ≠ 15 = 213 mod 33
m=34: 168 mod 34 = 32 ≠ 9 = 213 mod 34
m=35: 168 mod 35 = 28 ≠ 3 = 213 mod 35
m=36: 168 mod 36 = 24 ≠ 33 = 213 mod 36
m=37: 168 mod 37 = 20 ≠ 28 = 213 mod 37
m=38: 168 mod 38 = 16 ≠ 23 = 213 mod 38
m=39: 168 mod 39 = 12 ≠ 18 = 213 mod 39
m=40: 168 mod 40 = 8 ≠ 13 = 213 mod 40
m=41: 168 mod 41 = 4 ≠ 8 = 213 mod 41
m=42: 168 mod 42 = 0 ≠ 3 = 213 mod 42
m=43: 168 mod 43 = 39 ≠ 41 = 213 mod 43
m=44: 168 mod 44 = 36 ≠ 37 = 213 mod 44
m=45: 168 mod 45 = 33 = 33 = 213 mod 45
m=46: 168 mod 46 = 30 ≠ 29 = 213 mod 46
m=47: 168 mod 47 = 27 ≠ 25 = 213 mod 47
m=48: 168 mod 48 = 24 ≠ 21 = 213 mod 48
m=49: 168 mod 49 = 21 ≠ 17 = 213 mod 49
m=50: 168 mod 50 = 18 ≠ 13 = 213 mod 50
m=51: 168 mod 51 = 15 ≠ 9 = 213 mod 51
m=52: 168 mod 52 = 12 ≠ 5 = 213 mod 52
m=53: 168 mod 53 = 9 ≠ 1 = 213 mod 53
m=54: 168 mod 54 = 6 ≠ 51 = 213 mod 54
m=55: 168 mod 55 = 3 ≠ 48 = 213 mod 55
m=56: 168 mod 56 = 0 ≠ 45 = 213 mod 56
m=57: 168 mod 57 = 54 ≠ 42 = 213 mod 57
m=58: 168 mod 58 = 52 ≠ 39 = 213 mod 58
m=59: 168 mod 59 = 50 ≠ 36 = 213 mod 59
m=60: 168 mod 60 = 48 ≠ 33 = 213 mod 60
m=61: 168 mod 61 = 46 ≠ 30 = 213 mod 61
m=62: 168 mod 62 = 44 ≠ 27 = 213 mod 62
m=63: 168 mod 63 = 42 ≠ 24 = 213 mod 63
m=64: 168 mod 64 = 40 ≠ 21 = 213 mod 64
m=65: 168 mod 65 = 38 ≠ 18 = 213 mod 65
m=66: 168 mod 66 = 36 ≠ 15 = 213 mod 66
m=67: 168 mod 67 = 34 ≠ 12 = 213 mod 67
m=68: 168 mod 68 = 32 ≠ 9 = 213 mod 68
m=69: 168 mod 69 = 30 ≠ 6 = 213 mod 69
m=70: 168 mod 70 = 28 ≠ 3 = 213 mod 70
m=71: 168 mod 71 = 26 ≠ 0 = 213 mod 71
m=72: 168 mod 72 = 24 ≠ 69 = 213 mod 72
m=73: 168 mod 73 = 22 ≠ 67 = 213 mod 73
m=74: 168 mod 74 = 20 ≠ 65 = 213 mod 74
m=75: 168 mod 75 = 18 ≠ 63 = 213 mod 75
m=76: 168 mod 76 = 16 ≠ 61 = 213 mod 76
m=77: 168 mod 77 = 14 ≠ 59 = 213 mod 77
m=78: 168 mod 78 = 12 ≠ 57 = 213 mod 78
m=79: 168 mod 79 = 10 ≠ 55 = 213 mod 79
m=80: 168 mod 80 = 8 ≠ 53 = 213 mod 80
m=81: 168 mod 81 = 6 ≠ 51 = 213 mod 81
m=82: 168 mod 82 = 4 ≠ 49 = 213 mod 82
m=83: 168 mod 83 = 2 ≠ 47 = 213 mod 83
m=84: 168 mod 84 = 0 ≠ 45 = 213 mod 84
m=85: 168 mod 85 = 83 ≠ 43 = 213 mod 85
m=86: 168 mod 86 = 82 ≠ 41 = 213 mod 86
m=87: 168 mod 87 = 81 ≠ 39 = 213 mod 87
m=88: 168 mod 88 = 80 ≠ 37 = 213 mod 88
m=89: 168 mod 89 = 79 ≠ 35 = 213 mod 89
m=90: 168 mod 90 = 78 ≠ 33 = 213 mod 90
m=91: 168 mod 91 = 77 ≠ 31 = 213 mod 91
m=92: 168 mod 92 = 76 ≠ 29 = 213 mod 92
m=93: 168 mod 93 = 75 ≠ 27 = 213 mod 93
m=94: 168 mod 94 = 74 ≠ 25 = 213 mod 94
m=95: 168 mod 95 = 73 ≠ 23 = 213 mod 95
m=96: 168 mod 96 = 72 ≠ 21 = 213 mod 96
m=97: 168 mod 97 = 71 ≠ 19 = 213 mod 97
m=98: 168 mod 98 = 70 ≠ 17 = 213 mod 98
m=99: 168 mod 99 = 69 ≠ 15 = 213 mod 99
m=100: 168 mod 100 = 68 ≠ 13 = 213 mod 100
m=101: 168 mod 101 = 67 ≠ 11 = 213 mod 101
m=102: 168 mod 102 = 66 ≠ 9 = 213 mod 102
m=103: 168 mod 103 = 65 ≠ 7 = 213 mod 103
m=104: 168 mod 104 = 64 ≠ 5 = 213 mod 104
m=105: 168 mod 105 = 63 ≠ 3 = 213 mod 105
m=106: 168 mod 106 = 62 ≠ 1 = 213 mod 106
m=107: 168 mod 107 = 61 ≠ 106 = 213 mod 107
m=108: 168 mod 108 = 60 ≠ 105 = 213 mod 108
m=109: 168 mod 109 = 59 ≠ 104 = 213 mod 109
m=110: 168 mod 110 = 58 ≠ 103 = 213 mod 110
m=111: 168 mod 111 = 57 ≠ 102 = 213 mod 111
m=112: 168 mod 112 = 56 ≠ 101 = 213 mod 112
m=113: 168 mod 113 = 55 ≠ 100 = 213 mod 113
m=114: 168 mod 114 = 54 ≠ 99 = 213 mod 114
m=115: 168 mod 115 = 53 ≠ 98 = 213 mod 115
m=116: 168 mod 116 = 52 ≠ 97 = 213 mod 116
m=117: 168 mod 117 = 51 ≠ 96 = 213 mod 117
m=118: 168 mod 118 = 50 ≠ 95 = 213 mod 118
m=119: 168 mod 119 = 49 ≠ 94 = 213 mod 119
m=120: 168 mod 120 = 48 ≠ 93 = 213 mod 120
m=121: 168 mod 121 = 47 ≠ 92 = 213 mod 121
m=122: 168 mod 122 = 46 ≠ 91 = 213 mod 122
m=123: 168 mod 123 = 45 ≠ 90 = 213 mod 123
m=124: 168 mod 124 = 44 ≠ 89 = 213 mod 124
m=125: 168 mod 125 = 43 ≠ 88 = 213 mod 125
m=126: 168 mod 126 = 42 ≠ 87 = 213 mod 126
m=127: 168 mod 127 = 41 ≠ 86 = 213 mod 127
m=128: 168 mod 128 = 40 ≠ 85 = 213 mod 128
m=129: 168 mod 129 = 39 ≠ 84 = 213 mod 129
m=130: 168 mod 130 = 38 ≠ 83 = 213 mod 130
m=131: 168 mod 131 = 37 ≠ 82 = 213 mod 131
m=132: 168 mod 132 = 36 ≠ 81 = 213 mod 132
m=133: 168 mod 133 = 35 ≠ 80 = 213 mod 133
m=134: 168 mod 134 = 34 ≠ 79 = 213 mod 134
m=135: 168 mod 135 = 33 ≠ 78 = 213 mod 135
m=136: 168 mod 136 = 32 ≠ 77 = 213 mod 136
m=137: 168 mod 137 = 31 ≠ 76 = 213 mod 137
m=138: 168 mod 138 = 30 ≠ 75 = 213 mod 138
m=139: 168 mod 139 = 29 ≠ 74 = 213 mod 139
m=140: 168 mod 140 = 28 ≠ 73 = 213 mod 140
m=141: 168 mod 141 = 27 ≠ 72 = 213 mod 141
m=142: 168 mod 142 = 26 ≠ 71 = 213 mod 142
m=143: 168 mod 143 = 25 ≠ 70 = 213 mod 143
m=144: 168 mod 144 = 24 ≠ 69 = 213 mod 144
m=145: 168 mod 145 = 23 ≠ 68 = 213 mod 145
m=146: 168 mod 146 = 22 ≠ 67 = 213 mod 146
m=147: 168 mod 147 = 21 ≠ 66 = 213 mod 147
m=148: 168 mod 148 = 20 ≠ 65 = 213 mod 148
m=149: 168 mod 149 = 19 ≠ 64 = 213 mod 149
m=150: 168 mod 150 = 18 ≠ 63 = 213 mod 150
m=151: 168 mod 151 = 17 ≠ 62 = 213 mod 151
m=152: 168 mod 152 = 16 ≠ 61 = 213 mod 152
m=153: 168 mod 153 = 15 ≠ 60 = 213 mod 153
m=154: 168 mod 154 = 14 ≠ 59 = 213 mod 154
m=155: 168 mod 155 = 13 ≠ 58 = 213 mod 155
m=156: 168 mod 156 = 12 ≠ 57 = 213 mod 156
m=157: 168 mod 157 = 11 ≠ 56 = 213 mod 157
m=158: 168 mod 158 = 10 ≠ 55 = 213 mod 158
m=159: 168 mod 159 = 9 ≠ 54 = 213 mod 159
m=160: 168 mod 160 = 8 ≠ 53 = 213 mod 160
m=161: 168 mod 161 = 7 ≠ 52 = 213 mod 161
m=162: 168 mod 162 = 6 ≠ 51 = 213 mod 162
m=163: 168 mod 163 = 5 ≠ 50 = 213 mod 163
m=164: 168 mod 164 = 4 ≠ 49 = 213 mod 164
m=165: 168 mod 165 = 3 ≠ 48 = 213 mod 165
m=166: 168 mod 166 = 2 ≠ 47 = 213 mod 166
m=167: 168 mod 167 = 1 ≠ 46 = 213 mod 167
m=168: 168 mod 168 = 0 ≠ 45 = 213 mod 168
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (213 - 168) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
