Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 75 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 75 - 75 = 0.
Somit gilt: 75 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 46 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.
Somit gilt: 46 mod 3 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.
Somit gilt: 61 ≡ 46 ≡ 1 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18003 + 3002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18003 + 3002) mod 6 ≡ (18003 mod 6 + 3002 mod 6) mod 6.
18003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003
= 18000
3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
Somit gilt:
(18003 + 3002) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 56) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 56) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 56 mod 11) mod 11.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 56) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 33 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 33 mod m gilt:
m=2: 24 mod 2 = 0 ≠ 1 = 33 mod 2
m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 33 mod 3
m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 1 = 33 mod 4
m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 3 = 33 mod 5
m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 3 = 33 mod 6
m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 5 = 33 mod 7
m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 1 = 33 mod 8
m=9: 24 mod 9 = 6 = 6 = 33 mod 9
m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 3 = 33 mod 10
m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 0 = 33 mod 11
m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 9 = 33 mod 12
m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 7 = 33 mod 13
m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 5 = 33 mod 14
m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 3 = 33 mod 15
m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 1 = 33 mod 16
m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 16 = 33 mod 17
m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 15 = 33 mod 18
m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 14 = 33 mod 19
m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 13 = 33 mod 20
m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 12 = 33 mod 21
m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 11 = 33 mod 22
m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 10 = 33 mod 23
m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 9 = 33 mod 24
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 24) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
