Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 67 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 67 - 65 = 2.
Somit gilt: 67 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 95 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 95 - 90 = 5.
Somit gilt: 95 mod 9 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 2 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 18 und erhalten so 23.
Somit gilt: 23 ≡ 95 ≡ 5 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 + 15003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 + 15003) mod 3 ≡ (60 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
Somit gilt:
(60 + 15003) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 60) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 60) mod 6 ≡ (26 mod 6 ⋅ 60 mod 6) mod 6.
26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 10 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 60) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
