Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 19 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 18, weil ja 6 ⋅ 3 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 19 - 18 = 1.
Somit gilt: 19 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 99 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.
Somit gilt: 99 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 7 ⋅ 3
Somit gilt: 21 ≡ 99 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (804 - 1197) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(804 - 1197) mod 4 ≡ (804 mod 4 - 1197 mod 4) mod 4.
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1100
Somit gilt:
(804 - 1197) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 49) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 49) mod 4 ≡ (42 mod 4 ⋅ 49 mod 4) mod 4.
42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.
49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 49) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
200 mod m = 275 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 200 aus, ob zufällig 200 mod m = 275 mod m gilt:
m=2: 200 mod 2 = 0 ≠ 1 = 275 mod 2
m=3: 200 mod 3 = 2 = 2 = 275 mod 3
m=4: 200 mod 4 = 0 ≠ 3 = 275 mod 4
m=5: 200 mod 5 = 0 = 0 = 275 mod 5
m=6: 200 mod 6 = 2 ≠ 5 = 275 mod 6
m=7: 200 mod 7 = 4 ≠ 2 = 275 mod 7
m=8: 200 mod 8 = 0 ≠ 3 = 275 mod 8
m=9: 200 mod 9 = 2 ≠ 5 = 275 mod 9
m=10: 200 mod 10 = 0 ≠ 5 = 275 mod 10
m=11: 200 mod 11 = 2 ≠ 0 = 275 mod 11
m=12: 200 mod 12 = 8 ≠ 11 = 275 mod 12
m=13: 200 mod 13 = 5 ≠ 2 = 275 mod 13
m=14: 200 mod 14 = 4 ≠ 9 = 275 mod 14
m=15: 200 mod 15 = 5 = 5 = 275 mod 15
m=16: 200 mod 16 = 8 ≠ 3 = 275 mod 16
m=17: 200 mod 17 = 13 ≠ 3 = 275 mod 17
m=18: 200 mod 18 = 2 ≠ 5 = 275 mod 18
m=19: 200 mod 19 = 10 ≠ 9 = 275 mod 19
m=20: 200 mod 20 = 0 ≠ 15 = 275 mod 20
m=21: 200 mod 21 = 11 ≠ 2 = 275 mod 21
m=22: 200 mod 22 = 2 ≠ 11 = 275 mod 22
m=23: 200 mod 23 = 16 ≠ 22 = 275 mod 23
m=24: 200 mod 24 = 8 ≠ 11 = 275 mod 24
m=25: 200 mod 25 = 0 = 0 = 275 mod 25
m=26: 200 mod 26 = 18 ≠ 15 = 275 mod 26
m=27: 200 mod 27 = 11 ≠ 5 = 275 mod 27
m=28: 200 mod 28 = 4 ≠ 23 = 275 mod 28
m=29: 200 mod 29 = 26 ≠ 14 = 275 mod 29
m=30: 200 mod 30 = 20 ≠ 5 = 275 mod 30
m=31: 200 mod 31 = 14 ≠ 27 = 275 mod 31
m=32: 200 mod 32 = 8 ≠ 19 = 275 mod 32
m=33: 200 mod 33 = 2 ≠ 11 = 275 mod 33
m=34: 200 mod 34 = 30 ≠ 3 = 275 mod 34
m=35: 200 mod 35 = 25 ≠ 30 = 275 mod 35
m=36: 200 mod 36 = 20 ≠ 23 = 275 mod 36
m=37: 200 mod 37 = 15 ≠ 16 = 275 mod 37
m=38: 200 mod 38 = 10 ≠ 9 = 275 mod 38
m=39: 200 mod 39 = 5 ≠ 2 = 275 mod 39
m=40: 200 mod 40 = 0 ≠ 35 = 275 mod 40
m=41: 200 mod 41 = 36 ≠ 29 = 275 mod 41
m=42: 200 mod 42 = 32 ≠ 23 = 275 mod 42
m=43: 200 mod 43 = 28 ≠ 17 = 275 mod 43
m=44: 200 mod 44 = 24 ≠ 11 = 275 mod 44
m=45: 200 mod 45 = 20 ≠ 5 = 275 mod 45
m=46: 200 mod 46 = 16 ≠ 45 = 275 mod 46
m=47: 200 mod 47 = 12 ≠ 40 = 275 mod 47
m=48: 200 mod 48 = 8 ≠ 35 = 275 mod 48
m=49: 200 mod 49 = 4 ≠ 30 = 275 mod 49
m=50: 200 mod 50 = 0 ≠ 25 = 275 mod 50
m=51: 200 mod 51 = 47 ≠ 20 = 275 mod 51
m=52: 200 mod 52 = 44 ≠ 15 = 275 mod 52
m=53: 200 mod 53 = 41 ≠ 10 = 275 mod 53
m=54: 200 mod 54 = 38 ≠ 5 = 275 mod 54
m=55: 200 mod 55 = 35 ≠ 0 = 275 mod 55
m=56: 200 mod 56 = 32 ≠ 51 = 275 mod 56
m=57: 200 mod 57 = 29 ≠ 47 = 275 mod 57
m=58: 200 mod 58 = 26 ≠ 43 = 275 mod 58
m=59: 200 mod 59 = 23 ≠ 39 = 275 mod 59
m=60: 200 mod 60 = 20 ≠ 35 = 275 mod 60
m=61: 200 mod 61 = 17 ≠ 31 = 275 mod 61
m=62: 200 mod 62 = 14 ≠ 27 = 275 mod 62
m=63: 200 mod 63 = 11 ≠ 23 = 275 mod 63
m=64: 200 mod 64 = 8 ≠ 19 = 275 mod 64
m=65: 200 mod 65 = 5 ≠ 15 = 275 mod 65
m=66: 200 mod 66 = 2 ≠ 11 = 275 mod 66
m=67: 200 mod 67 = 66 ≠ 7 = 275 mod 67
m=68: 200 mod 68 = 64 ≠ 3 = 275 mod 68
m=69: 200 mod 69 = 62 ≠ 68 = 275 mod 69
m=70: 200 mod 70 = 60 ≠ 65 = 275 mod 70
m=71: 200 mod 71 = 58 ≠ 62 = 275 mod 71
m=72: 200 mod 72 = 56 ≠ 59 = 275 mod 72
m=73: 200 mod 73 = 54 ≠ 56 = 275 mod 73
m=74: 200 mod 74 = 52 ≠ 53 = 275 mod 74
m=75: 200 mod 75 = 50 = 50 = 275 mod 75
m=76: 200 mod 76 = 48 ≠ 47 = 275 mod 76
m=77: 200 mod 77 = 46 ≠ 44 = 275 mod 77
m=78: 200 mod 78 = 44 ≠ 41 = 275 mod 78
m=79: 200 mod 79 = 42 ≠ 38 = 275 mod 79
m=80: 200 mod 80 = 40 ≠ 35 = 275 mod 80
m=81: 200 mod 81 = 38 ≠ 32 = 275 mod 81
m=82: 200 mod 82 = 36 ≠ 29 = 275 mod 82
m=83: 200 mod 83 = 34 ≠ 26 = 275 mod 83
m=84: 200 mod 84 = 32 ≠ 23 = 275 mod 84
m=85: 200 mod 85 = 30 ≠ 20 = 275 mod 85
m=86: 200 mod 86 = 28 ≠ 17 = 275 mod 86
m=87: 200 mod 87 = 26 ≠ 14 = 275 mod 87
m=88: 200 mod 88 = 24 ≠ 11 = 275 mod 88
m=89: 200 mod 89 = 22 ≠ 8 = 275 mod 89
m=90: 200 mod 90 = 20 ≠ 5 = 275 mod 90
m=91: 200 mod 91 = 18 ≠ 2 = 275 mod 91
m=92: 200 mod 92 = 16 ≠ 91 = 275 mod 92
m=93: 200 mod 93 = 14 ≠ 89 = 275 mod 93
m=94: 200 mod 94 = 12 ≠ 87 = 275 mod 94
m=95: 200 mod 95 = 10 ≠ 85 = 275 mod 95
m=96: 200 mod 96 = 8 ≠ 83 = 275 mod 96
m=97: 200 mod 97 = 6 ≠ 81 = 275 mod 97
m=98: 200 mod 98 = 4 ≠ 79 = 275 mod 98
m=99: 200 mod 99 = 2 ≠ 77 = 275 mod 99
m=100: 200 mod 100 = 0 ≠ 75 = 275 mod 100
m=101: 200 mod 101 = 99 ≠ 73 = 275 mod 101
m=102: 200 mod 102 = 98 ≠ 71 = 275 mod 102
m=103: 200 mod 103 = 97 ≠ 69 = 275 mod 103
m=104: 200 mod 104 = 96 ≠ 67 = 275 mod 104
m=105: 200 mod 105 = 95 ≠ 65 = 275 mod 105
m=106: 200 mod 106 = 94 ≠ 63 = 275 mod 106
m=107: 200 mod 107 = 93 ≠ 61 = 275 mod 107
m=108: 200 mod 108 = 92 ≠ 59 = 275 mod 108
m=109: 200 mod 109 = 91 ≠ 57 = 275 mod 109
m=110: 200 mod 110 = 90 ≠ 55 = 275 mod 110
m=111: 200 mod 111 = 89 ≠ 53 = 275 mod 111
m=112: 200 mod 112 = 88 ≠ 51 = 275 mod 112
m=113: 200 mod 113 = 87 ≠ 49 = 275 mod 113
m=114: 200 mod 114 = 86 ≠ 47 = 275 mod 114
m=115: 200 mod 115 = 85 ≠ 45 = 275 mod 115
m=116: 200 mod 116 = 84 ≠ 43 = 275 mod 116
m=117: 200 mod 117 = 83 ≠ 41 = 275 mod 117
m=118: 200 mod 118 = 82 ≠ 39 = 275 mod 118
m=119: 200 mod 119 = 81 ≠ 37 = 275 mod 119
m=120: 200 mod 120 = 80 ≠ 35 = 275 mod 120
m=121: 200 mod 121 = 79 ≠ 33 = 275 mod 121
m=122: 200 mod 122 = 78 ≠ 31 = 275 mod 122
m=123: 200 mod 123 = 77 ≠ 29 = 275 mod 123
m=124: 200 mod 124 = 76 ≠ 27 = 275 mod 124
m=125: 200 mod 125 = 75 ≠ 25 = 275 mod 125
m=126: 200 mod 126 = 74 ≠ 23 = 275 mod 126
m=127: 200 mod 127 = 73 ≠ 21 = 275 mod 127
m=128: 200 mod 128 = 72 ≠ 19 = 275 mod 128
m=129: 200 mod 129 = 71 ≠ 17 = 275 mod 129
m=130: 200 mod 130 = 70 ≠ 15 = 275 mod 130
m=131: 200 mod 131 = 69 ≠ 13 = 275 mod 131
m=132: 200 mod 132 = 68 ≠ 11 = 275 mod 132
m=133: 200 mod 133 = 67 ≠ 9 = 275 mod 133
m=134: 200 mod 134 = 66 ≠ 7 = 275 mod 134
m=135: 200 mod 135 = 65 ≠ 5 = 275 mod 135
m=136: 200 mod 136 = 64 ≠ 3 = 275 mod 136
m=137: 200 mod 137 = 63 ≠ 1 = 275 mod 137
m=138: 200 mod 138 = 62 ≠ 137 = 275 mod 138
m=139: 200 mod 139 = 61 ≠ 136 = 275 mod 139
m=140: 200 mod 140 = 60 ≠ 135 = 275 mod 140
m=141: 200 mod 141 = 59 ≠ 134 = 275 mod 141
m=142: 200 mod 142 = 58 ≠ 133 = 275 mod 142
m=143: 200 mod 143 = 57 ≠ 132 = 275 mod 143
m=144: 200 mod 144 = 56 ≠ 131 = 275 mod 144
m=145: 200 mod 145 = 55 ≠ 130 = 275 mod 145
m=146: 200 mod 146 = 54 ≠ 129 = 275 mod 146
m=147: 200 mod 147 = 53 ≠ 128 = 275 mod 147
m=148: 200 mod 148 = 52 ≠ 127 = 275 mod 148
m=149: 200 mod 149 = 51 ≠ 126 = 275 mod 149
m=150: 200 mod 150 = 50 ≠ 125 = 275 mod 150
m=151: 200 mod 151 = 49 ≠ 124 = 275 mod 151
m=152: 200 mod 152 = 48 ≠ 123 = 275 mod 152
m=153: 200 mod 153 = 47 ≠ 122 = 275 mod 153
m=154: 200 mod 154 = 46 ≠ 121 = 275 mod 154
m=155: 200 mod 155 = 45 ≠ 120 = 275 mod 155
m=156: 200 mod 156 = 44 ≠ 119 = 275 mod 156
m=157: 200 mod 157 = 43 ≠ 118 = 275 mod 157
m=158: 200 mod 158 = 42 ≠ 117 = 275 mod 158
m=159: 200 mod 159 = 41 ≠ 116 = 275 mod 159
m=160: 200 mod 160 = 40 ≠ 115 = 275 mod 160
m=161: 200 mod 161 = 39 ≠ 114 = 275 mod 161
m=162: 200 mod 162 = 38 ≠ 113 = 275 mod 162
m=163: 200 mod 163 = 37 ≠ 112 = 275 mod 163
m=164: 200 mod 164 = 36 ≠ 111 = 275 mod 164
m=165: 200 mod 165 = 35 ≠ 110 = 275 mod 165
m=166: 200 mod 166 = 34 ≠ 109 = 275 mod 166
m=167: 200 mod 167 = 33 ≠ 108 = 275 mod 167
m=168: 200 mod 168 = 32 ≠ 107 = 275 mod 168
m=169: 200 mod 169 = 31 ≠ 106 = 275 mod 169
m=170: 200 mod 170 = 30 ≠ 105 = 275 mod 170
m=171: 200 mod 171 = 29 ≠ 104 = 275 mod 171
m=172: 200 mod 172 = 28 ≠ 103 = 275 mod 172
m=173: 200 mod 173 = 27 ≠ 102 = 275 mod 173
m=174: 200 mod 174 = 26 ≠ 101 = 275 mod 174
m=175: 200 mod 175 = 25 ≠ 100 = 275 mod 175
m=176: 200 mod 176 = 24 ≠ 99 = 275 mod 176
m=177: 200 mod 177 = 23 ≠ 98 = 275 mod 177
m=178: 200 mod 178 = 22 ≠ 97 = 275 mod 178
m=179: 200 mod 179 = 21 ≠ 96 = 275 mod 179
m=180: 200 mod 180 = 20 ≠ 95 = 275 mod 180
m=181: 200 mod 181 = 19 ≠ 94 = 275 mod 181
m=182: 200 mod 182 = 18 ≠ 93 = 275 mod 182
m=183: 200 mod 183 = 17 ≠ 92 = 275 mod 183
m=184: 200 mod 184 = 16 ≠ 91 = 275 mod 184
m=185: 200 mod 185 = 15 ≠ 90 = 275 mod 185
m=186: 200 mod 186 = 14 ≠ 89 = 275 mod 186
m=187: 200 mod 187 = 13 ≠ 88 = 275 mod 187
m=188: 200 mod 188 = 12 ≠ 87 = 275 mod 188
m=189: 200 mod 189 = 11 ≠ 86 = 275 mod 189
m=190: 200 mod 190 = 10 ≠ 85 = 275 mod 190
m=191: 200 mod 191 = 9 ≠ 84 = 275 mod 191
m=192: 200 mod 192 = 8 ≠ 83 = 275 mod 192
m=193: 200 mod 193 = 7 ≠ 82 = 275 mod 193
m=194: 200 mod 194 = 6 ≠ 81 = 275 mod 194
m=195: 200 mod 195 = 5 ≠ 80 = 275 mod 195
m=196: 200 mod 196 = 4 ≠ 79 = 275 mod 196
m=197: 200 mod 197 = 3 ≠ 78 = 275 mod 197
m=198: 200 mod 198 = 2 ≠ 77 = 275 mod 198
m=199: 200 mod 199 = 1 ≠ 76 = 275 mod 199
m=200: 200 mod 200 = 0 ≠ 75 = 275 mod 200
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (275 - 200) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
