Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 27, weil ja 9 ⋅ 3 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 27 = 0.

Somit gilt: 27 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 10 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 30 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 93 ≡ 3 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23993 + 4001) mod 8 ≡ (23993 mod 8 + 4001 mod 8) mod 8.

23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993 = 23000+993 = 8 ⋅ 2875 +993.

4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001 = 4000+1 = 8 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(23993 + 4001) mod 8 ≡ (1 + 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 69) mod 3 ≡ (86 mod 3 ⋅ 69 mod 3) mod 3.

86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.

69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 69) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9