Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.
Somit gilt: 37 mod 9 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 32 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 28 = 4.
Somit gilt: 32 mod 7 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 42 und erhalten so 46.
Somit gilt: 46 ≡ 32 ≡ 4 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1996 + 397) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1996 + 397) mod 4 ≡ (1996 mod 4 + 397 mod 4) mod 4.
1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996
= 1900
397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397
= 300
Somit gilt:
(1996 + 397) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 33) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 33) mod 5 ≡ (48 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.
48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.
33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 33) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
9 mod m = 13 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:
m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2
m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3
m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4
m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5
m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6
m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7
m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8
m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
