Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 39, weil ja 13 ⋅ 3 = 39 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 39 = 1.
Somit gilt: 40 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 30 für die gilt n ≡ 30 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 30 - 30 = 0.
Somit gilt: 30 mod 10 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 30 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 2 ⋅ 10
Somit gilt: 20 ≡ 30 ≡ 0 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 + 12000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 + 12000) mod 3 ≡ (28 mod 3 + 12000 mod 3) mod 3.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28
= 30
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(28 + 12000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 98) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 98) mod 3 ≡ (81 mod 3 ⋅ 98 mod 3) mod 3.
81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.
98 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 32 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 98) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 29 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 29 mod m gilt:
m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2
m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3
m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 29 mod 4
m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 4 = 29 mod 5
m=6: 23 mod 6 = 5 = 5 = 29 mod 6
m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 1 = 29 mod 7
m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 5 = 29 mod 8
m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 2 = 29 mod 9
m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 9 = 29 mod 10
m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 7 = 29 mod 11
m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 5 = 29 mod 12
m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 3 = 29 mod 13
m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 1 = 29 mod 14
m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 14 = 29 mod 15
m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 13 = 29 mod 16
m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 12 = 29 mod 17
m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 11 = 29 mod 18
m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 10 = 29 mod 19
m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 9 = 29 mod 20
m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 8 = 29 mod 21
m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 7 = 29 mod 22
m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 6 = 29 mod 23
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 23) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6