Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.

Somit gilt: 89 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 30 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 67 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4000 - 804) mod 4 ≡ (4000 mod 4 - 804 mod 4) mod 4.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 4 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(4000 - 804) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 26) mod 4 ≡ (33 mod 4 ⋅ 26 mod 4) mod 4.

33 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 8 ⋅ 4 + 1 ist.

26 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 26) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4