Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 96, weil ja 32 ⋅ 3 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.

Somit gilt: 98 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 8 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Somit gilt: 16 ≡ 56 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 + 19996) mod 4 ≡ (84 mod 4 + 19996 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 4 ⋅ 20 +4.

19996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 4 ⋅ 4750 +996.

Somit gilt:

(84 + 19996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 27) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 27) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 181 aus, ob zufällig 181 mod m = 231 mod m gilt:

m=2: 181 mod 2 = 1 = 1 = 231 mod 2

m=3: 181 mod 3 = 1 ≠ 0 = 231 mod 3

m=4: 181 mod 4 = 1 ≠ 3 = 231 mod 4

m=5: 181 mod 5 = 1 = 1 = 231 mod 5

m=6: 181 mod 6 = 1 ≠ 3 = 231 mod 6

m=7: 181 mod 7 = 6 ≠ 0 = 231 mod 7

m=8: 181 mod 8 = 5 ≠ 7 = 231 mod 8

m=9: 181 mod 9 = 1 ≠ 6 = 231 mod 9

m=10: 181 mod 10 = 1 = 1 = 231 mod 10

m=11: 181 mod 11 = 5 ≠ 0 = 231 mod 11

m=12: 181 mod 12 = 1 ≠ 3 = 231 mod 12

m=13: 181 mod 13 = 12 ≠ 10 = 231 mod 13

m=14: 181 mod 14 = 13 ≠ 7 = 231 mod 14

m=15: 181 mod 15 = 1 ≠ 6 = 231 mod 15

m=16: 181 mod 16 = 5 ≠ 7 = 231 mod 16

m=17: 181 mod 17 = 11 ≠ 10 = 231 mod 17

m=18: 181 mod 18 = 1 ≠ 15 = 231 mod 18

m=19: 181 mod 19 = 10 ≠ 3 = 231 mod 19

m=20: 181 mod 20 = 1 ≠ 11 = 231 mod 20

m=21: 181 mod 21 = 13 ≠ 0 = 231 mod 21

m=22: 181 mod 22 = 5 ≠ 11 = 231 mod 22

m=23: 181 mod 23 = 20 ≠ 1 = 231 mod 23

m=24: 181 mod 24 = 13 ≠ 15 = 231 mod 24

m=25: 181 mod 25 = 6 = 6 = 231 mod 25

m=26: 181 mod 26 = 25 ≠ 23 = 231 mod 26

m=27: 181 mod 27 = 19 ≠ 15 = 231 mod 27

m=28: 181 mod 28 = 13 ≠ 7 = 231 mod 28

m=29: 181 mod 29 = 7 ≠ 28 = 231 mod 29

m=30: 181 mod 30 = 1 ≠ 21 = 231 mod 30

m=31: 181 mod 31 = 26 ≠ 14 = 231 mod 31

m=32: 181 mod 32 = 21 ≠ 7 = 231 mod 32

m=33: 181 mod 33 = 16 ≠ 0 = 231 mod 33

m=34: 181 mod 34 = 11 ≠ 27 = 231 mod 34

m=35: 181 mod 35 = 6 ≠ 21 = 231 mod 35

m=36: 181 mod 36 = 1 ≠ 15 = 231 mod 36

m=37: 181 mod 37 = 33 ≠ 9 = 231 mod 37

m=38: 181 mod 38 = 29 ≠ 3 = 231 mod 38

m=39: 181 mod 39 = 25 ≠ 36 = 231 mod 39

m=40: 181 mod 40 = 21 ≠ 31 = 231 mod 40

m=41: 181 mod 41 = 17 ≠ 26 = 231 mod 41

m=42: 181 mod 42 = 13 ≠ 21 = 231 mod 42

m=43: 181 mod 43 = 9 ≠ 16 = 231 mod 43

m=44: 181 mod 44 = 5 ≠ 11 = 231 mod 44

m=45: 181 mod 45 = 1 ≠ 6 = 231 mod 45

m=46: 181 mod 46 = 43 ≠ 1 = 231 mod 46

m=47: 181 mod 47 = 40 ≠ 43 = 231 mod 47

m=48: 181 mod 48 = 37 ≠ 39 = 231 mod 48

m=49: 181 mod 49 = 34 ≠ 35 = 231 mod 49

m=50: 181 mod 50 = 31 = 31 = 231 mod 50

m=51: 181 mod 51 = 28 ≠ 27 = 231 mod 51

m=52: 181 mod 52 = 25 ≠ 23 = 231 mod 52

m=53: 181 mod 53 = 22 ≠ 19 = 231 mod 53

m=54: 181 mod 54 = 19 ≠ 15 = 231 mod 54

m=55: 181 mod 55 = 16 ≠ 11 = 231 mod 55

m=56: 181 mod 56 = 13 ≠ 7 = 231 mod 56

m=57: 181 mod 57 = 10 ≠ 3 = 231 mod 57

m=58: 181 mod 58 = 7 ≠ 57 = 231 mod 58

m=59: 181 mod 59 = 4 ≠ 54 = 231 mod 59

m=60: 181 mod 60 = 1 ≠ 51 = 231 mod 60

m=61: 181 mod 61 = 59 ≠ 48 = 231 mod 61

m=62: 181 mod 62 = 57 ≠ 45 = 231 mod 62

m=63: 181 mod 63 = 55 ≠ 42 = 231 mod 63

m=64: 181 mod 64 = 53 ≠ 39 = 231 mod 64

m=65: 181 mod 65 = 51 ≠ 36 = 231 mod 65

m=66: 181 mod 66 = 49 ≠ 33 = 231 mod 66

m=67: 181 mod 67 = 47 ≠ 30 = 231 mod 67

m=68: 181 mod 68 = 45 ≠ 27 = 231 mod 68

m=69: 181 mod 69 = 43 ≠ 24 = 231 mod 69

m=70: 181 mod 70 = 41 ≠ 21 = 231 mod 70

m=71: 181 mod 71 = 39 ≠ 18 = 231 mod 71

m=72: 181 mod 72 = 37 ≠ 15 = 231 mod 72

m=73: 181 mod 73 = 35 ≠ 12 = 231 mod 73

m=74: 181 mod 74 = 33 ≠ 9 = 231 mod 74

m=75: 181 mod 75 = 31 ≠ 6 = 231 mod 75

m=76: 181 mod 76 = 29 ≠ 3 = 231 mod 76

m=77: 181 mod 77 = 27 ≠ 0 = 231 mod 77

m=78: 181 mod 78 = 25 ≠ 75 = 231 mod 78

m=79: 181 mod 79 = 23 ≠ 73 = 231 mod 79

m=80: 181 mod 80 = 21 ≠ 71 = 231 mod 80

m=81: 181 mod 81 = 19 ≠ 69 = 231 mod 81

m=82: 181 mod 82 = 17 ≠ 67 = 231 mod 82

m=83: 181 mod 83 = 15 ≠ 65 = 231 mod 83

m=84: 181 mod 84 = 13 ≠ 63 = 231 mod 84

m=85: 181 mod 85 = 11 ≠ 61 = 231 mod 85

m=86: 181 mod 86 = 9 ≠ 59 = 231 mod 86

m=87: 181 mod 87 = 7 ≠ 57 = 231 mod 87

m=88: 181 mod 88 = 5 ≠ 55 = 231 mod 88

m=89: 181 mod 89 = 3 ≠ 53 = 231 mod 89

m=90: 181 mod 90 = 1 ≠ 51 = 231 mod 90

m=91: 181 mod 91 = 90 ≠ 49 = 231 mod 91

m=92: 181 mod 92 = 89 ≠ 47 = 231 mod 92

m=93: 181 mod 93 = 88 ≠ 45 = 231 mod 93

m=94: 181 mod 94 = 87 ≠ 43 = 231 mod 94

m=95: 181 mod 95 = 86 ≠ 41 = 231 mod 95

m=96: 181 mod 96 = 85 ≠ 39 = 231 mod 96

m=97: 181 mod 97 = 84 ≠ 37 = 231 mod 97

m=98: 181 mod 98 = 83 ≠ 35 = 231 mod 98

m=99: 181 mod 99 = 82 ≠ 33 = 231 mod 99

m=100: 181 mod 100 = 81 ≠ 31 = 231 mod 100

m=101: 181 mod 101 = 80 ≠ 29 = 231 mod 101

m=102: 181 mod 102 = 79 ≠ 27 = 231 mod 102

m=103: 181 mod 103 = 78 ≠ 25 = 231 mod 103

m=104: 181 mod 104 = 77 ≠ 23 = 231 mod 104

m=105: 181 mod 105 = 76 ≠ 21 = 231 mod 105

m=106: 181 mod 106 = 75 ≠ 19 = 231 mod 106

m=107: 181 mod 107 = 74 ≠ 17 = 231 mod 107

m=108: 181 mod 108 = 73 ≠ 15 = 231 mod 108

m=109: 181 mod 109 = 72 ≠ 13 = 231 mod 109

m=110: 181 mod 110 = 71 ≠ 11 = 231 mod 110

m=111: 181 mod 111 = 70 ≠ 9 = 231 mod 111

m=112: 181 mod 112 = 69 ≠ 7 = 231 mod 112

m=113: 181 mod 113 = 68 ≠ 5 = 231 mod 113

m=114: 181 mod 114 = 67 ≠ 3 = 231 mod 114

m=115: 181 mod 115 = 66 ≠ 1 = 231 mod 115

m=116: 181 mod 116 = 65 ≠ 115 = 231 mod 116

m=117: 181 mod 117 = 64 ≠ 114 = 231 mod 117

m=118: 181 mod 118 = 63 ≠ 113 = 231 mod 118

m=119: 181 mod 119 = 62 ≠ 112 = 231 mod 119

m=120: 181 mod 120 = 61 ≠ 111 = 231 mod 120

m=121: 181 mod 121 = 60 ≠ 110 = 231 mod 121

m=122: 181 mod 122 = 59 ≠ 109 = 231 mod 122

m=123: 181 mod 123 = 58 ≠ 108 = 231 mod 123

m=124: 181 mod 124 = 57 ≠ 107 = 231 mod 124

m=125: 181 mod 125 = 56 ≠ 106 = 231 mod 125

m=126: 181 mod 126 = 55 ≠ 105 = 231 mod 126

m=127: 181 mod 127 = 54 ≠ 104 = 231 mod 127

m=128: 181 mod 128 = 53 ≠ 103 = 231 mod 128

m=129: 181 mod 129 = 52 ≠ 102 = 231 mod 129

m=130: 181 mod 130 = 51 ≠ 101 = 231 mod 130

m=131: 181 mod 131 = 50 ≠ 100 = 231 mod 131

m=132: 181 mod 132 = 49 ≠ 99 = 231 mod 132

m=133: 181 mod 133 = 48 ≠ 98 = 231 mod 133

m=134: 181 mod 134 = 47 ≠ 97 = 231 mod 134

m=135: 181 mod 135 = 46 ≠ 96 = 231 mod 135

m=136: 181 mod 136 = 45 ≠ 95 = 231 mod 136

m=137: 181 mod 137 = 44 ≠ 94 = 231 mod 137

m=138: 181 mod 138 = 43 ≠ 93 = 231 mod 138

m=139: 181 mod 139 = 42 ≠ 92 = 231 mod 139

m=140: 181 mod 140 = 41 ≠ 91 = 231 mod 140

m=141: 181 mod 141 = 40 ≠ 90 = 231 mod 141

m=142: 181 mod 142 = 39 ≠ 89 = 231 mod 142

m=143: 181 mod 143 = 38 ≠ 88 = 231 mod 143

m=144: 181 mod 144 = 37 ≠ 87 = 231 mod 144

m=145: 181 mod 145 = 36 ≠ 86 = 231 mod 145

m=146: 181 mod 146 = 35 ≠ 85 = 231 mod 146

m=147: 181 mod 147 = 34 ≠ 84 = 231 mod 147

m=148: 181 mod 148 = 33 ≠ 83 = 231 mod 148

m=149: 181 mod 149 = 32 ≠ 82 = 231 mod 149

m=150: 181 mod 150 = 31 ≠ 81 = 231 mod 150

m=151: 181 mod 151 = 30 ≠ 80 = 231 mod 151

m=152: 181 mod 152 = 29 ≠ 79 = 231 mod 152

m=153: 181 mod 153 = 28 ≠ 78 = 231 mod 153

m=154: 181 mod 154 = 27 ≠ 77 = 231 mod 154

m=155: 181 mod 155 = 26 ≠ 76 = 231 mod 155

m=156: 181 mod 156 = 25 ≠ 75 = 231 mod 156

m=157: 181 mod 157 = 24 ≠ 74 = 231 mod 157

m=158: 181 mod 158 = 23 ≠ 73 = 231 mod 158

m=159: 181 mod 159 = 22 ≠ 72 = 231 mod 159

m=160: 181 mod 160 = 21 ≠ 71 = 231 mod 160

m=161: 181 mod 161 = 20 ≠ 70 = 231 mod 161

m=162: 181 mod 162 = 19 ≠ 69 = 231 mod 162

m=163: 181 mod 163 = 18 ≠ 68 = 231 mod 163

m=164: 181 mod 164 = 17 ≠ 67 = 231 mod 164

m=165: 181 mod 165 = 16 ≠ 66 = 231 mod 165

m=166: 181 mod 166 = 15 ≠ 65 = 231 mod 166

m=167: 181 mod 167 = 14 ≠ 64 = 231 mod 167

m=168: 181 mod 168 = 13 ≠ 63 = 231 mod 168

m=169: 181 mod 169 = 12 ≠ 62 = 231 mod 169

m=170: 181 mod 170 = 11 ≠ 61 = 231 mod 170

m=171: 181 mod 171 = 10 ≠ 60 = 231 mod 171

m=172: 181 mod 172 = 9 ≠ 59 = 231 mod 172

m=173: 181 mod 173 = 8 ≠ 58 = 231 mod 173

m=174: 181 mod 174 = 7 ≠ 57 = 231 mod 174

m=175: 181 mod 175 = 6 ≠ 56 = 231 mod 175

m=176: 181 mod 176 = 5 ≠ 55 = 231 mod 176

m=177: 181 mod 177 = 4 ≠ 54 = 231 mod 177

m=178: 181 mod 178 = 3 ≠ 53 = 231 mod 178

m=179: 181 mod 179 = 2 ≠ 52 = 231 mod 179

m=180: 181 mod 180 = 1 ≠ 51 = 231 mod 180

m=181: 181 mod 181 = 0 ≠ 50 = 231 mod 181

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (231 - 181) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50