Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 78 = 1.

Somit gilt: 79 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 44 = 4.

Somit gilt: 48 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 77 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 48 ≡ 4 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 - 1999) mod 4 ≡ (118 mod 4 - 1999 mod 4) mod 4.

118 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 4 ⋅ 30 -2 = 4 ⋅ 30 - 4 + 2.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

Somit gilt:

(118 - 1999) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 75) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 75) mod 11 ≡ (3 ⋅ 9) mod 11 ≡ 27 mod 11 ≡ 5 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 50 aus, ob zufällig 50 mod m = 65 mod m gilt:

m=2: 50 mod 2 = 0 ≠ 1 = 65 mod 2

m=3: 50 mod 3 = 2 = 2 = 65 mod 3

m=4: 50 mod 4 = 2 ≠ 1 = 65 mod 4

m=5: 50 mod 5 = 0 = 0 = 65 mod 5

m=6: 50 mod 6 = 2 ≠ 5 = 65 mod 6

m=7: 50 mod 7 = 1 ≠ 2 = 65 mod 7

m=8: 50 mod 8 = 2 ≠ 1 = 65 mod 8

m=9: 50 mod 9 = 5 ≠ 2 = 65 mod 9

m=10: 50 mod 10 = 0 ≠ 5 = 65 mod 10

m=11: 50 mod 11 = 6 ≠ 10 = 65 mod 11

m=12: 50 mod 12 = 2 ≠ 5 = 65 mod 12

m=13: 50 mod 13 = 11 ≠ 0 = 65 mod 13

m=14: 50 mod 14 = 8 ≠ 9 = 65 mod 14

m=15: 50 mod 15 = 5 = 5 = 65 mod 15

m=16: 50 mod 16 = 2 ≠ 1 = 65 mod 16

m=17: 50 mod 17 = 16 ≠ 14 = 65 mod 17

m=18: 50 mod 18 = 14 ≠ 11 = 65 mod 18

m=19: 50 mod 19 = 12 ≠ 8 = 65 mod 19

m=20: 50 mod 20 = 10 ≠ 5 = 65 mod 20

m=21: 50 mod 21 = 8 ≠ 2 = 65 mod 21

m=22: 50 mod 22 = 6 ≠ 21 = 65 mod 22

m=23: 50 mod 23 = 4 ≠ 19 = 65 mod 23

m=24: 50 mod 24 = 2 ≠ 17 = 65 mod 24

m=25: 50 mod 25 = 0 ≠ 15 = 65 mod 25

m=26: 50 mod 26 = 24 ≠ 13 = 65 mod 26

m=27: 50 mod 27 = 23 ≠ 11 = 65 mod 27

m=28: 50 mod 28 = 22 ≠ 9 = 65 mod 28

m=29: 50 mod 29 = 21 ≠ 7 = 65 mod 29

m=30: 50 mod 30 = 20 ≠ 5 = 65 mod 30

m=31: 50 mod 31 = 19 ≠ 3 = 65 mod 31

m=32: 50 mod 32 = 18 ≠ 1 = 65 mod 32

m=33: 50 mod 33 = 17 ≠ 32 = 65 mod 33

m=34: 50 mod 34 = 16 ≠ 31 = 65 mod 34

m=35: 50 mod 35 = 15 ≠ 30 = 65 mod 35

m=36: 50 mod 36 = 14 ≠ 29 = 65 mod 36

m=37: 50 mod 37 = 13 ≠ 28 = 65 mod 37

m=38: 50 mod 38 = 12 ≠ 27 = 65 mod 38

m=39: 50 mod 39 = 11 ≠ 26 = 65 mod 39

m=40: 50 mod 40 = 10 ≠ 25 = 65 mod 40

m=41: 50 mod 41 = 9 ≠ 24 = 65 mod 41

m=42: 50 mod 42 = 8 ≠ 23 = 65 mod 42

m=43: 50 mod 43 = 7 ≠ 22 = 65 mod 43

m=44: 50 mod 44 = 6 ≠ 21 = 65 mod 44

m=45: 50 mod 45 = 5 ≠ 20 = 65 mod 45

m=46: 50 mod 46 = 4 ≠ 19 = 65 mod 46

m=47: 50 mod 47 = 3 ≠ 18 = 65 mod 47

m=48: 50 mod 48 = 2 ≠ 17 = 65 mod 48

m=49: 50 mod 49 = 1 ≠ 16 = 65 mod 49

m=50: 50 mod 50 = 0 ≠ 15 = 65 mod 50

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (65 - 50) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15