Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.

Somit gilt: 83 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.

Somit gilt: 81 mod 8 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 9 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 72 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 81 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 + 5999) mod 3 ≡ (91 mod 3 + 5999 mod 3) mod 3.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90+1 = 3 ⋅ 30 +1.

5999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 3 ⋅ 2000 -1 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(91 + 5999) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 24) mod 7 ≡ (52 mod 7 ⋅ 24 mod 7) mod 7.

52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.

24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 24) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 ≠ 0 = 36 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 = 0 = 36 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 10 = 36 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 9 = 36 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 27) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9