Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 96, weil ja 32 ⋅ 3 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 55 = 9.

Somit gilt: 64 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 33 und erhalten so 42.

Somit gilt: 42 ≡ 64 ≡ 9 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(498 + 1503) mod 5 ≡ (498 mod 5 + 1503 mod 5) mod 5.

498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498 = 400+98 = 5 ⋅ 80 +98.

1503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 5 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(498 + 1503) mod 5 ≡ (3 + 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 64) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.

21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.

64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 64) mod 11 ≡ (10 ⋅ 9) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 ≠ 0 = 27 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 = 3 = 27 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 = 3 = 27 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 8 = 27 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 19) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8