Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 27, weil ja 9 ⋅ 3 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 27 = 2.

Somit gilt: 29 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 44 = 3.

Somit gilt: 47 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 77 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 47 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3205 - 400) mod 8 ≡ (3205 mod 8 - 400 mod 8) mod 8.

3205 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3205 = 3200+5 = 8 ⋅ 400 +5.

400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 8 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(3205 - 400) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 19) mod 7 ≡ (87 mod 7 ⋅ 19 mod 7) mod 7.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 19) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 161 aus, ob zufällig 161 mod m = 206 mod m gilt:

m=2: 161 mod 2 = 1 ≠ 0 = 206 mod 2

m=3: 161 mod 3 = 2 = 2 = 206 mod 3

m=4: 161 mod 4 = 1 ≠ 2 = 206 mod 4

m=5: 161 mod 5 = 1 = 1 = 206 mod 5

m=6: 161 mod 6 = 5 ≠ 2 = 206 mod 6

m=7: 161 mod 7 = 0 ≠ 3 = 206 mod 7

m=8: 161 mod 8 = 1 ≠ 6 = 206 mod 8

m=9: 161 mod 9 = 8 = 8 = 206 mod 9

m=10: 161 mod 10 = 1 ≠ 6 = 206 mod 10

m=11: 161 mod 11 = 7 ≠ 8 = 206 mod 11

m=12: 161 mod 12 = 5 ≠ 2 = 206 mod 12

m=13: 161 mod 13 = 5 ≠ 11 = 206 mod 13

m=14: 161 mod 14 = 7 ≠ 10 = 206 mod 14

m=15: 161 mod 15 = 11 = 11 = 206 mod 15

m=16: 161 mod 16 = 1 ≠ 14 = 206 mod 16

m=17: 161 mod 17 = 8 ≠ 2 = 206 mod 17

m=18: 161 mod 18 = 17 ≠ 8 = 206 mod 18

m=19: 161 mod 19 = 9 ≠ 16 = 206 mod 19

m=20: 161 mod 20 = 1 ≠ 6 = 206 mod 20

m=21: 161 mod 21 = 14 ≠ 17 = 206 mod 21

m=22: 161 mod 22 = 7 ≠ 8 = 206 mod 22

m=23: 161 mod 23 = 0 ≠ 22 = 206 mod 23

m=24: 161 mod 24 = 17 ≠ 14 = 206 mod 24

m=25: 161 mod 25 = 11 ≠ 6 = 206 mod 25

m=26: 161 mod 26 = 5 ≠ 24 = 206 mod 26

m=27: 161 mod 27 = 26 ≠ 17 = 206 mod 27

m=28: 161 mod 28 = 21 ≠ 10 = 206 mod 28

m=29: 161 mod 29 = 16 ≠ 3 = 206 mod 29

m=30: 161 mod 30 = 11 ≠ 26 = 206 mod 30

m=31: 161 mod 31 = 6 ≠ 20 = 206 mod 31

m=32: 161 mod 32 = 1 ≠ 14 = 206 mod 32

m=33: 161 mod 33 = 29 ≠ 8 = 206 mod 33

m=34: 161 mod 34 = 25 ≠ 2 = 206 mod 34

m=35: 161 mod 35 = 21 ≠ 31 = 206 mod 35

m=36: 161 mod 36 = 17 ≠ 26 = 206 mod 36

m=37: 161 mod 37 = 13 ≠ 21 = 206 mod 37

m=38: 161 mod 38 = 9 ≠ 16 = 206 mod 38

m=39: 161 mod 39 = 5 ≠ 11 = 206 mod 39

m=40: 161 mod 40 = 1 ≠ 6 = 206 mod 40

m=41: 161 mod 41 = 38 ≠ 1 = 206 mod 41

m=42: 161 mod 42 = 35 ≠ 38 = 206 mod 42

m=43: 161 mod 43 = 32 ≠ 34 = 206 mod 43

m=44: 161 mod 44 = 29 ≠ 30 = 206 mod 44

m=45: 161 mod 45 = 26 = 26 = 206 mod 45

m=46: 161 mod 46 = 23 ≠ 22 = 206 mod 46

m=47: 161 mod 47 = 20 ≠ 18 = 206 mod 47

m=48: 161 mod 48 = 17 ≠ 14 = 206 mod 48

m=49: 161 mod 49 = 14 ≠ 10 = 206 mod 49

m=50: 161 mod 50 = 11 ≠ 6 = 206 mod 50

m=51: 161 mod 51 = 8 ≠ 2 = 206 mod 51

m=52: 161 mod 52 = 5 ≠ 50 = 206 mod 52

m=53: 161 mod 53 = 2 ≠ 47 = 206 mod 53

m=54: 161 mod 54 = 53 ≠ 44 = 206 mod 54

m=55: 161 mod 55 = 51 ≠ 41 = 206 mod 55

m=56: 161 mod 56 = 49 ≠ 38 = 206 mod 56

m=57: 161 mod 57 = 47 ≠ 35 = 206 mod 57

m=58: 161 mod 58 = 45 ≠ 32 = 206 mod 58

m=59: 161 mod 59 = 43 ≠ 29 = 206 mod 59

m=60: 161 mod 60 = 41 ≠ 26 = 206 mod 60

m=61: 161 mod 61 = 39 ≠ 23 = 206 mod 61

m=62: 161 mod 62 = 37 ≠ 20 = 206 mod 62

m=63: 161 mod 63 = 35 ≠ 17 = 206 mod 63

m=64: 161 mod 64 = 33 ≠ 14 = 206 mod 64

m=65: 161 mod 65 = 31 ≠ 11 = 206 mod 65

m=66: 161 mod 66 = 29 ≠ 8 = 206 mod 66

m=67: 161 mod 67 = 27 ≠ 5 = 206 mod 67

m=68: 161 mod 68 = 25 ≠ 2 = 206 mod 68

m=69: 161 mod 69 = 23 ≠ 68 = 206 mod 69

m=70: 161 mod 70 = 21 ≠ 66 = 206 mod 70

m=71: 161 mod 71 = 19 ≠ 64 = 206 mod 71

m=72: 161 mod 72 = 17 ≠ 62 = 206 mod 72

m=73: 161 mod 73 = 15 ≠ 60 = 206 mod 73

m=74: 161 mod 74 = 13 ≠ 58 = 206 mod 74

m=75: 161 mod 75 = 11 ≠ 56 = 206 mod 75

m=76: 161 mod 76 = 9 ≠ 54 = 206 mod 76

m=77: 161 mod 77 = 7 ≠ 52 = 206 mod 77

m=78: 161 mod 78 = 5 ≠ 50 = 206 mod 78

m=79: 161 mod 79 = 3 ≠ 48 = 206 mod 79

m=80: 161 mod 80 = 1 ≠ 46 = 206 mod 80

m=81: 161 mod 81 = 80 ≠ 44 = 206 mod 81

m=82: 161 mod 82 = 79 ≠ 42 = 206 mod 82

m=83: 161 mod 83 = 78 ≠ 40 = 206 mod 83

m=84: 161 mod 84 = 77 ≠ 38 = 206 mod 84

m=85: 161 mod 85 = 76 ≠ 36 = 206 mod 85

m=86: 161 mod 86 = 75 ≠ 34 = 206 mod 86

m=87: 161 mod 87 = 74 ≠ 32 = 206 mod 87

m=88: 161 mod 88 = 73 ≠ 30 = 206 mod 88

m=89: 161 mod 89 = 72 ≠ 28 = 206 mod 89

m=90: 161 mod 90 = 71 ≠ 26 = 206 mod 90

m=91: 161 mod 91 = 70 ≠ 24 = 206 mod 91

m=92: 161 mod 92 = 69 ≠ 22 = 206 mod 92

m=93: 161 mod 93 = 68 ≠ 20 = 206 mod 93

m=94: 161 mod 94 = 67 ≠ 18 = 206 mod 94

m=95: 161 mod 95 = 66 ≠ 16 = 206 mod 95

m=96: 161 mod 96 = 65 ≠ 14 = 206 mod 96

m=97: 161 mod 97 = 64 ≠ 12 = 206 mod 97

m=98: 161 mod 98 = 63 ≠ 10 = 206 mod 98

m=99: 161 mod 99 = 62 ≠ 8 = 206 mod 99

m=100: 161 mod 100 = 61 ≠ 6 = 206 mod 100

m=101: 161 mod 101 = 60 ≠ 4 = 206 mod 101

m=102: 161 mod 102 = 59 ≠ 2 = 206 mod 102

m=103: 161 mod 103 = 58 ≠ 0 = 206 mod 103

m=104: 161 mod 104 = 57 ≠ 102 = 206 mod 104

m=105: 161 mod 105 = 56 ≠ 101 = 206 mod 105

m=106: 161 mod 106 = 55 ≠ 100 = 206 mod 106

m=107: 161 mod 107 = 54 ≠ 99 = 206 mod 107

m=108: 161 mod 108 = 53 ≠ 98 = 206 mod 108

m=109: 161 mod 109 = 52 ≠ 97 = 206 mod 109

m=110: 161 mod 110 = 51 ≠ 96 = 206 mod 110

m=111: 161 mod 111 = 50 ≠ 95 = 206 mod 111

m=112: 161 mod 112 = 49 ≠ 94 = 206 mod 112

m=113: 161 mod 113 = 48 ≠ 93 = 206 mod 113

m=114: 161 mod 114 = 47 ≠ 92 = 206 mod 114

m=115: 161 mod 115 = 46 ≠ 91 = 206 mod 115

m=116: 161 mod 116 = 45 ≠ 90 = 206 mod 116

m=117: 161 mod 117 = 44 ≠ 89 = 206 mod 117

m=118: 161 mod 118 = 43 ≠ 88 = 206 mod 118

m=119: 161 mod 119 = 42 ≠ 87 = 206 mod 119

m=120: 161 mod 120 = 41 ≠ 86 = 206 mod 120

m=121: 161 mod 121 = 40 ≠ 85 = 206 mod 121

m=122: 161 mod 122 = 39 ≠ 84 = 206 mod 122

m=123: 161 mod 123 = 38 ≠ 83 = 206 mod 123

m=124: 161 mod 124 = 37 ≠ 82 = 206 mod 124

m=125: 161 mod 125 = 36 ≠ 81 = 206 mod 125

m=126: 161 mod 126 = 35 ≠ 80 = 206 mod 126

m=127: 161 mod 127 = 34 ≠ 79 = 206 mod 127

m=128: 161 mod 128 = 33 ≠ 78 = 206 mod 128

m=129: 161 mod 129 = 32 ≠ 77 = 206 mod 129

m=130: 161 mod 130 = 31 ≠ 76 = 206 mod 130

m=131: 161 mod 131 = 30 ≠ 75 = 206 mod 131

m=132: 161 mod 132 = 29 ≠ 74 = 206 mod 132

m=133: 161 mod 133 = 28 ≠ 73 = 206 mod 133

m=134: 161 mod 134 = 27 ≠ 72 = 206 mod 134

m=135: 161 mod 135 = 26 ≠ 71 = 206 mod 135

m=136: 161 mod 136 = 25 ≠ 70 = 206 mod 136

m=137: 161 mod 137 = 24 ≠ 69 = 206 mod 137

m=138: 161 mod 138 = 23 ≠ 68 = 206 mod 138

m=139: 161 mod 139 = 22 ≠ 67 = 206 mod 139

m=140: 161 mod 140 = 21 ≠ 66 = 206 mod 140

m=141: 161 mod 141 = 20 ≠ 65 = 206 mod 141

m=142: 161 mod 142 = 19 ≠ 64 = 206 mod 142

m=143: 161 mod 143 = 18 ≠ 63 = 206 mod 143

m=144: 161 mod 144 = 17 ≠ 62 = 206 mod 144

m=145: 161 mod 145 = 16 ≠ 61 = 206 mod 145

m=146: 161 mod 146 = 15 ≠ 60 = 206 mod 146

m=147: 161 mod 147 = 14 ≠ 59 = 206 mod 147

m=148: 161 mod 148 = 13 ≠ 58 = 206 mod 148

m=149: 161 mod 149 = 12 ≠ 57 = 206 mod 149

m=150: 161 mod 150 = 11 ≠ 56 = 206 mod 150

m=151: 161 mod 151 = 10 ≠ 55 = 206 mod 151

m=152: 161 mod 152 = 9 ≠ 54 = 206 mod 152

m=153: 161 mod 153 = 8 ≠ 53 = 206 mod 153

m=154: 161 mod 154 = 7 ≠ 52 = 206 mod 154

m=155: 161 mod 155 = 6 ≠ 51 = 206 mod 155

m=156: 161 mod 156 = 5 ≠ 50 = 206 mod 156

m=157: 161 mod 157 = 4 ≠ 49 = 206 mod 157

m=158: 161 mod 158 = 3 ≠ 48 = 206 mod 158

m=159: 161 mod 159 = 2 ≠ 47 = 206 mod 159

m=160: 161 mod 160 = 1 ≠ 46 = 206 mod 160

m=161: 161 mod 161 = 0 ≠ 45 = 206 mod 161

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (206 - 161) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45