Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 35 = 6.
Somit gilt: 41 mod 7 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 54 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 49 = 5.
Somit gilt: 54 mod 7 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 35 = 5 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 35 und erhalten so 40.
Somit gilt: 40 ≡ 54 ≡ 5 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2503 - 1504) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2503 - 1504) mod 5 ≡ (2503 mod 5 - 1504 mod 5) mod 5.
2503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2503
= 2500
1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504
= 1500
Somit gilt:
(2503 - 1504) mod 5 ≡ (3 - 4) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 84) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 84) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 84 mod 9) mod 9.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 84) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
32 mod m = 41 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 41 mod m gilt:
m=2: 32 mod 2 = 0 ≠ 1 = 41 mod 2
m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3
m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 1 = 41 mod 4
m=5: 32 mod 5 = 2 ≠ 1 = 41 mod 5
m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 5 = 41 mod 6
m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 6 = 41 mod 7
m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 1 = 41 mod 8
m=9: 32 mod 9 = 5 = 5 = 41 mod 9
m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 1 = 41 mod 10
m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 8 = 41 mod 11
m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 5 = 41 mod 12
m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 2 = 41 mod 13
m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 13 = 41 mod 14
m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 11 = 41 mod 15
m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 9 = 41 mod 16
m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 7 = 41 mod 17
m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 5 = 41 mod 18
m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 3 = 41 mod 19
m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 1 = 41 mod 20
m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 20 = 41 mod 21
m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 19 = 41 mod 22
m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 18 = 41 mod 23
m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 17 = 41 mod 24
m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 16 = 41 mod 25
m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 15 = 41 mod 26
m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 14 = 41 mod 27
m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 13 = 41 mod 28
m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 12 = 41 mod 29
m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 11 = 41 mod 30
m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 10 = 41 mod 31
m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 9 = 41 mod 32
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 32) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
