Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 41 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 35 = 6.

Somit gilt: 41 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 77 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 41 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (594 + 237) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(594 + 237) mod 6 ≡ (594 mod 6 + 237 mod 6) mod 6.

594 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 594 = 600-6 = 6 ⋅ 100 -6 = 6 ⋅ 100 - 6 + 0.

237 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237 = 240-3 = 6 ⋅ 40 -3 = 6 ⋅ 40 - 6 + 3.

Somit gilt:

(594 + 237) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 82) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 82) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 82 mod 6) mod 6.

77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 82) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6