Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 25 = 2.

Somit gilt: 27 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 72 = 5.

Somit gilt: 77 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 6 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 36 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 77 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(598 - 183) mod 6 ≡ (598 mod 6 - 183 mod 6) mod 6.

598 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 6 ⋅ 100 -2 = 6 ⋅ 100 - 6 + 4.

183 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 183 = 180+3 = 6 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(598 - 183) mod 6 ≡ (4 - 3) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 51) mod 8 ≡ (45 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.

45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 51) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4