Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 28 = 0.

Somit gilt: 28 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 25 = 3.

Somit gilt: 28 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 28 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 + 12003) mod 3 ≡ (122 mod 3 + 12003 mod 3) mod 3.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(122 + 12003) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 98) mod 8 ≡ (56 mod 8 ⋅ 98 mod 8) mod 8.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 98) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 112 aus, ob zufällig 112 mod m = 162 mod m gilt:

m=2: 112 mod 2 = 0 = 0 = 162 mod 2

m=3: 112 mod 3 = 1 ≠ 0 = 162 mod 3

m=4: 112 mod 4 = 0 ≠ 2 = 162 mod 4

m=5: 112 mod 5 = 2 = 2 = 162 mod 5

m=6: 112 mod 6 = 4 ≠ 0 = 162 mod 6

m=7: 112 mod 7 = 0 ≠ 1 = 162 mod 7

m=8: 112 mod 8 = 0 ≠ 2 = 162 mod 8

m=9: 112 mod 9 = 4 ≠ 0 = 162 mod 9

m=10: 112 mod 10 = 2 = 2 = 162 mod 10

m=11: 112 mod 11 = 2 ≠ 8 = 162 mod 11

m=12: 112 mod 12 = 4 ≠ 6 = 162 mod 12

m=13: 112 mod 13 = 8 ≠ 6 = 162 mod 13

m=14: 112 mod 14 = 0 ≠ 8 = 162 mod 14

m=15: 112 mod 15 = 7 ≠ 12 = 162 mod 15

m=16: 112 mod 16 = 0 ≠ 2 = 162 mod 16

m=17: 112 mod 17 = 10 ≠ 9 = 162 mod 17

m=18: 112 mod 18 = 4 ≠ 0 = 162 mod 18

m=19: 112 mod 19 = 17 ≠ 10 = 162 mod 19

m=20: 112 mod 20 = 12 ≠ 2 = 162 mod 20

m=21: 112 mod 21 = 7 ≠ 15 = 162 mod 21

m=22: 112 mod 22 = 2 ≠ 8 = 162 mod 22

m=23: 112 mod 23 = 20 ≠ 1 = 162 mod 23

m=24: 112 mod 24 = 16 ≠ 18 = 162 mod 24

m=25: 112 mod 25 = 12 = 12 = 162 mod 25

m=26: 112 mod 26 = 8 ≠ 6 = 162 mod 26

m=27: 112 mod 27 = 4 ≠ 0 = 162 mod 27

m=28: 112 mod 28 = 0 ≠ 22 = 162 mod 28

m=29: 112 mod 29 = 25 ≠ 17 = 162 mod 29

m=30: 112 mod 30 = 22 ≠ 12 = 162 mod 30

m=31: 112 mod 31 = 19 ≠ 7 = 162 mod 31

m=32: 112 mod 32 = 16 ≠ 2 = 162 mod 32

m=33: 112 mod 33 = 13 ≠ 30 = 162 mod 33

m=34: 112 mod 34 = 10 ≠ 26 = 162 mod 34

m=35: 112 mod 35 = 7 ≠ 22 = 162 mod 35

m=36: 112 mod 36 = 4 ≠ 18 = 162 mod 36

m=37: 112 mod 37 = 1 ≠ 14 = 162 mod 37

m=38: 112 mod 38 = 36 ≠ 10 = 162 mod 38

m=39: 112 mod 39 = 34 ≠ 6 = 162 mod 39

m=40: 112 mod 40 = 32 ≠ 2 = 162 mod 40

m=41: 112 mod 41 = 30 ≠ 39 = 162 mod 41

m=42: 112 mod 42 = 28 ≠ 36 = 162 mod 42

m=43: 112 mod 43 = 26 ≠ 33 = 162 mod 43

m=44: 112 mod 44 = 24 ≠ 30 = 162 mod 44

m=45: 112 mod 45 = 22 ≠ 27 = 162 mod 45

m=46: 112 mod 46 = 20 ≠ 24 = 162 mod 46

m=47: 112 mod 47 = 18 ≠ 21 = 162 mod 47

m=48: 112 mod 48 = 16 ≠ 18 = 162 mod 48

m=49: 112 mod 49 = 14 ≠ 15 = 162 mod 49

m=50: 112 mod 50 = 12 = 12 = 162 mod 50

m=51: 112 mod 51 = 10 ≠ 9 = 162 mod 51

m=52: 112 mod 52 = 8 ≠ 6 = 162 mod 52

m=53: 112 mod 53 = 6 ≠ 3 = 162 mod 53

m=54: 112 mod 54 = 4 ≠ 0 = 162 mod 54

m=55: 112 mod 55 = 2 ≠ 52 = 162 mod 55

m=56: 112 mod 56 = 0 ≠ 50 = 162 mod 56

m=57: 112 mod 57 = 55 ≠ 48 = 162 mod 57

m=58: 112 mod 58 = 54 ≠ 46 = 162 mod 58

m=59: 112 mod 59 = 53 ≠ 44 = 162 mod 59

m=60: 112 mod 60 = 52 ≠ 42 = 162 mod 60

m=61: 112 mod 61 = 51 ≠ 40 = 162 mod 61

m=62: 112 mod 62 = 50 ≠ 38 = 162 mod 62

m=63: 112 mod 63 = 49 ≠ 36 = 162 mod 63

m=64: 112 mod 64 = 48 ≠ 34 = 162 mod 64

m=65: 112 mod 65 = 47 ≠ 32 = 162 mod 65

m=66: 112 mod 66 = 46 ≠ 30 = 162 mod 66

m=67: 112 mod 67 = 45 ≠ 28 = 162 mod 67

m=68: 112 mod 68 = 44 ≠ 26 = 162 mod 68

m=69: 112 mod 69 = 43 ≠ 24 = 162 mod 69

m=70: 112 mod 70 = 42 ≠ 22 = 162 mod 70

m=71: 112 mod 71 = 41 ≠ 20 = 162 mod 71

m=72: 112 mod 72 = 40 ≠ 18 = 162 mod 72

m=73: 112 mod 73 = 39 ≠ 16 = 162 mod 73

m=74: 112 mod 74 = 38 ≠ 14 = 162 mod 74

m=75: 112 mod 75 = 37 ≠ 12 = 162 mod 75

m=76: 112 mod 76 = 36 ≠ 10 = 162 mod 76

m=77: 112 mod 77 = 35 ≠ 8 = 162 mod 77

m=78: 112 mod 78 = 34 ≠ 6 = 162 mod 78

m=79: 112 mod 79 = 33 ≠ 4 = 162 mod 79

m=80: 112 mod 80 = 32 ≠ 2 = 162 mod 80

m=81: 112 mod 81 = 31 ≠ 0 = 162 mod 81

m=82: 112 mod 82 = 30 ≠ 80 = 162 mod 82

m=83: 112 mod 83 = 29 ≠ 79 = 162 mod 83

m=84: 112 mod 84 = 28 ≠ 78 = 162 mod 84

m=85: 112 mod 85 = 27 ≠ 77 = 162 mod 85

m=86: 112 mod 86 = 26 ≠ 76 = 162 mod 86

m=87: 112 mod 87 = 25 ≠ 75 = 162 mod 87

m=88: 112 mod 88 = 24 ≠ 74 = 162 mod 88

m=89: 112 mod 89 = 23 ≠ 73 = 162 mod 89

m=90: 112 mod 90 = 22 ≠ 72 = 162 mod 90

m=91: 112 mod 91 = 21 ≠ 71 = 162 mod 91

m=92: 112 mod 92 = 20 ≠ 70 = 162 mod 92

m=93: 112 mod 93 = 19 ≠ 69 = 162 mod 93

m=94: 112 mod 94 = 18 ≠ 68 = 162 mod 94

m=95: 112 mod 95 = 17 ≠ 67 = 162 mod 95

m=96: 112 mod 96 = 16 ≠ 66 = 162 mod 96

m=97: 112 mod 97 = 15 ≠ 65 = 162 mod 97

m=98: 112 mod 98 = 14 ≠ 64 = 162 mod 98

m=99: 112 mod 99 = 13 ≠ 63 = 162 mod 99

m=100: 112 mod 100 = 12 ≠ 62 = 162 mod 100

m=101: 112 mod 101 = 11 ≠ 61 = 162 mod 101

m=102: 112 mod 102 = 10 ≠ 60 = 162 mod 102

m=103: 112 mod 103 = 9 ≠ 59 = 162 mod 103

m=104: 112 mod 104 = 8 ≠ 58 = 162 mod 104

m=105: 112 mod 105 = 7 ≠ 57 = 162 mod 105

m=106: 112 mod 106 = 6 ≠ 56 = 162 mod 106

m=107: 112 mod 107 = 5 ≠ 55 = 162 mod 107

m=108: 112 mod 108 = 4 ≠ 54 = 162 mod 108

m=109: 112 mod 109 = 3 ≠ 53 = 162 mod 109

m=110: 112 mod 110 = 2 ≠ 52 = 162 mod 110

m=111: 112 mod 111 = 1 ≠ 51 = 162 mod 111

m=112: 112 mod 112 = 0 ≠ 50 = 162 mod 112

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (162 - 112) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50