Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 49 = 3.

Somit gilt: 52 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.

Somit gilt: 77 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Somit gilt: 66 ≡ 77 ≡ 0 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11996 + 198) mod 4 ≡ (11996 mod 4 + 198 mod 4) mod 4.

11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 11000+996 = 4 ⋅ 2750 +996.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

Somit gilt:

(11996 + 198) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 90) mod 7 ≡ (69 mod 7 ⋅ 90 mod 7) mod 7.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.

90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 90) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 39 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 = 3 = 39 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 4 = 39 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 = 3 = 39 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 9 = 39 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 = 3 = 39 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 12 = 39 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 27) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12