Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 45 = 6.

Somit gilt: 51 mod 9 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 90 = 6.

Somit gilt: 96 mod 10 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 6 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 6 mod 10 sein, also addieren wir noch 6 auf die 80 und erhalten so 86.

Somit gilt: 86 ≡ 96 ≡ 6 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(141 - 28005) mod 7 ≡ (141 mod 7 - 28005 mod 7) mod 7.

141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141 = 140+1 = 7 ⋅ 20 +1.

28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005 = 28000+5 = 7 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(141 - 28005) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 72) mod 5 ≡ (80 mod 5 ⋅ 72 mod 5) mod 5.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 72) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 101 aus, ob zufällig 101 mod m = 131 mod m gilt:

m=2: 101 mod 2 = 1 = 1 = 131 mod 2

m=3: 101 mod 3 = 2 = 2 = 131 mod 3

m=4: 101 mod 4 = 1 ≠ 3 = 131 mod 4

m=5: 101 mod 5 = 1 = 1 = 131 mod 5

m=6: 101 mod 6 = 5 = 5 = 131 mod 6

m=7: 101 mod 7 = 3 ≠ 5 = 131 mod 7

m=8: 101 mod 8 = 5 ≠ 3 = 131 mod 8

m=9: 101 mod 9 = 2 ≠ 5 = 131 mod 9

m=10: 101 mod 10 = 1 = 1 = 131 mod 10

m=11: 101 mod 11 = 2 ≠ 10 = 131 mod 11

m=12: 101 mod 12 = 5 ≠ 11 = 131 mod 12

m=13: 101 mod 13 = 10 ≠ 1 = 131 mod 13

m=14: 101 mod 14 = 3 ≠ 5 = 131 mod 14

m=15: 101 mod 15 = 11 = 11 = 131 mod 15

m=16: 101 mod 16 = 5 ≠ 3 = 131 mod 16

m=17: 101 mod 17 = 16 ≠ 12 = 131 mod 17

m=18: 101 mod 18 = 11 ≠ 5 = 131 mod 18

m=19: 101 mod 19 = 6 ≠ 17 = 131 mod 19

m=20: 101 mod 20 = 1 ≠ 11 = 131 mod 20

m=21: 101 mod 21 = 17 ≠ 5 = 131 mod 21

m=22: 101 mod 22 = 13 ≠ 21 = 131 mod 22

m=23: 101 mod 23 = 9 ≠ 16 = 131 mod 23

m=24: 101 mod 24 = 5 ≠ 11 = 131 mod 24

m=25: 101 mod 25 = 1 ≠ 6 = 131 mod 25

m=26: 101 mod 26 = 23 ≠ 1 = 131 mod 26

m=27: 101 mod 27 = 20 ≠ 23 = 131 mod 27

m=28: 101 mod 28 = 17 ≠ 19 = 131 mod 28

m=29: 101 mod 29 = 14 ≠ 15 = 131 mod 29

m=30: 101 mod 30 = 11 = 11 = 131 mod 30

m=31: 101 mod 31 = 8 ≠ 7 = 131 mod 31

m=32: 101 mod 32 = 5 ≠ 3 = 131 mod 32

m=33: 101 mod 33 = 2 ≠ 32 = 131 mod 33

m=34: 101 mod 34 = 33 ≠ 29 = 131 mod 34

m=35: 101 mod 35 = 31 ≠ 26 = 131 mod 35

m=36: 101 mod 36 = 29 ≠ 23 = 131 mod 36

m=37: 101 mod 37 = 27 ≠ 20 = 131 mod 37

m=38: 101 mod 38 = 25 ≠ 17 = 131 mod 38

m=39: 101 mod 39 = 23 ≠ 14 = 131 mod 39

m=40: 101 mod 40 = 21 ≠ 11 = 131 mod 40

m=41: 101 mod 41 = 19 ≠ 8 = 131 mod 41

m=42: 101 mod 42 = 17 ≠ 5 = 131 mod 42

m=43: 101 mod 43 = 15 ≠ 2 = 131 mod 43

m=44: 101 mod 44 = 13 ≠ 43 = 131 mod 44

m=45: 101 mod 45 = 11 ≠ 41 = 131 mod 45

m=46: 101 mod 46 = 9 ≠ 39 = 131 mod 46

m=47: 101 mod 47 = 7 ≠ 37 = 131 mod 47

m=48: 101 mod 48 = 5 ≠ 35 = 131 mod 48

m=49: 101 mod 49 = 3 ≠ 33 = 131 mod 49

m=50: 101 mod 50 = 1 ≠ 31 = 131 mod 50

m=51: 101 mod 51 = 50 ≠ 29 = 131 mod 51

m=52: 101 mod 52 = 49 ≠ 27 = 131 mod 52

m=53: 101 mod 53 = 48 ≠ 25 = 131 mod 53

m=54: 101 mod 54 = 47 ≠ 23 = 131 mod 54

m=55: 101 mod 55 = 46 ≠ 21 = 131 mod 55

m=56: 101 mod 56 = 45 ≠ 19 = 131 mod 56

m=57: 101 mod 57 = 44 ≠ 17 = 131 mod 57

m=58: 101 mod 58 = 43 ≠ 15 = 131 mod 58

m=59: 101 mod 59 = 42 ≠ 13 = 131 mod 59

m=60: 101 mod 60 = 41 ≠ 11 = 131 mod 60

m=61: 101 mod 61 = 40 ≠ 9 = 131 mod 61

m=62: 101 mod 62 = 39 ≠ 7 = 131 mod 62

m=63: 101 mod 63 = 38 ≠ 5 = 131 mod 63

m=64: 101 mod 64 = 37 ≠ 3 = 131 mod 64

m=65: 101 mod 65 = 36 ≠ 1 = 131 mod 65

m=66: 101 mod 66 = 35 ≠ 65 = 131 mod 66

m=67: 101 mod 67 = 34 ≠ 64 = 131 mod 67

m=68: 101 mod 68 = 33 ≠ 63 = 131 mod 68

m=69: 101 mod 69 = 32 ≠ 62 = 131 mod 69

m=70: 101 mod 70 = 31 ≠ 61 = 131 mod 70

m=71: 101 mod 71 = 30 ≠ 60 = 131 mod 71

m=72: 101 mod 72 = 29 ≠ 59 = 131 mod 72

m=73: 101 mod 73 = 28 ≠ 58 = 131 mod 73

m=74: 101 mod 74 = 27 ≠ 57 = 131 mod 74

m=75: 101 mod 75 = 26 ≠ 56 = 131 mod 75

m=76: 101 mod 76 = 25 ≠ 55 = 131 mod 76

m=77: 101 mod 77 = 24 ≠ 54 = 131 mod 77

m=78: 101 mod 78 = 23 ≠ 53 = 131 mod 78

m=79: 101 mod 79 = 22 ≠ 52 = 131 mod 79

m=80: 101 mod 80 = 21 ≠ 51 = 131 mod 80

m=81: 101 mod 81 = 20 ≠ 50 = 131 mod 81

m=82: 101 mod 82 = 19 ≠ 49 = 131 mod 82

m=83: 101 mod 83 = 18 ≠ 48 = 131 mod 83

m=84: 101 mod 84 = 17 ≠ 47 = 131 mod 84

m=85: 101 mod 85 = 16 ≠ 46 = 131 mod 85

m=86: 101 mod 86 = 15 ≠ 45 = 131 mod 86

m=87: 101 mod 87 = 14 ≠ 44 = 131 mod 87

m=88: 101 mod 88 = 13 ≠ 43 = 131 mod 88

m=89: 101 mod 89 = 12 ≠ 42 = 131 mod 89

m=90: 101 mod 90 = 11 ≠ 41 = 131 mod 90

m=91: 101 mod 91 = 10 ≠ 40 = 131 mod 91

m=92: 101 mod 92 = 9 ≠ 39 = 131 mod 92

m=93: 101 mod 93 = 8 ≠ 38 = 131 mod 93

m=94: 101 mod 94 = 7 ≠ 37 = 131 mod 94

m=95: 101 mod 95 = 6 ≠ 36 = 131 mod 95

m=96: 101 mod 96 = 5 ≠ 35 = 131 mod 96

m=97: 101 mod 97 = 4 ≠ 34 = 131 mod 97

m=98: 101 mod 98 = 3 ≠ 33 = 131 mod 98

m=99: 101 mod 99 = 2 ≠ 32 = 131 mod 99

m=100: 101 mod 100 = 1 ≠ 31 = 131 mod 100

m=101: 101 mod 101 = 0 ≠ 30 = 131 mod 101

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (131 - 101) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30