Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 88 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 88 - 85 = 3.
Somit gilt: 88 mod 5 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 90 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.
Somit gilt: 90 mod 11 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 88 = 8 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 88 und erhalten so 90.
Somit gilt: 90 ≡ 90 ≡ 2 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2394 - 798) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2394 - 798) mod 8 ≡ (2394 mod 8 - 798 mod 8) mod 8.
2394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394
= 2400
798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 800
Somit gilt:
(2394 - 798) mod 8 ≡ (2 - 6) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 56) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 56) mod 6 ≡ (23 mod 6 ⋅ 56 mod 6) mod 6.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 56) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
105 mod m = 135 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 105 aus, ob zufällig 105 mod m = 135 mod m gilt:
m=2: 105 mod 2 = 1 = 1 = 135 mod 2
m=3: 105 mod 3 = 0 = 0 = 135 mod 3
m=4: 105 mod 4 = 1 ≠ 3 = 135 mod 4
m=5: 105 mod 5 = 0 = 0 = 135 mod 5
m=6: 105 mod 6 = 3 = 3 = 135 mod 6
m=7: 105 mod 7 = 0 ≠ 2 = 135 mod 7
m=8: 105 mod 8 = 1 ≠ 7 = 135 mod 8
m=9: 105 mod 9 = 6 ≠ 0 = 135 mod 9
m=10: 105 mod 10 = 5 = 5 = 135 mod 10
m=11: 105 mod 11 = 6 ≠ 3 = 135 mod 11
m=12: 105 mod 12 = 9 ≠ 3 = 135 mod 12
m=13: 105 mod 13 = 1 ≠ 5 = 135 mod 13
m=14: 105 mod 14 = 7 ≠ 9 = 135 mod 14
m=15: 105 mod 15 = 0 = 0 = 135 mod 15
m=16: 105 mod 16 = 9 ≠ 7 = 135 mod 16
m=17: 105 mod 17 = 3 ≠ 16 = 135 mod 17
m=18: 105 mod 18 = 15 ≠ 9 = 135 mod 18
m=19: 105 mod 19 = 10 ≠ 2 = 135 mod 19
m=20: 105 mod 20 = 5 ≠ 15 = 135 mod 20
m=21: 105 mod 21 = 0 ≠ 9 = 135 mod 21
m=22: 105 mod 22 = 17 ≠ 3 = 135 mod 22
m=23: 105 mod 23 = 13 ≠ 20 = 135 mod 23
m=24: 105 mod 24 = 9 ≠ 15 = 135 mod 24
m=25: 105 mod 25 = 5 ≠ 10 = 135 mod 25
m=26: 105 mod 26 = 1 ≠ 5 = 135 mod 26
m=27: 105 mod 27 = 24 ≠ 0 = 135 mod 27
m=28: 105 mod 28 = 21 ≠ 23 = 135 mod 28
m=29: 105 mod 29 = 18 ≠ 19 = 135 mod 29
m=30: 105 mod 30 = 15 = 15 = 135 mod 30
m=31: 105 mod 31 = 12 ≠ 11 = 135 mod 31
m=32: 105 mod 32 = 9 ≠ 7 = 135 mod 32
m=33: 105 mod 33 = 6 ≠ 3 = 135 mod 33
m=34: 105 mod 34 = 3 ≠ 33 = 135 mod 34
m=35: 105 mod 35 = 0 ≠ 30 = 135 mod 35
m=36: 105 mod 36 = 33 ≠ 27 = 135 mod 36
m=37: 105 mod 37 = 31 ≠ 24 = 135 mod 37
m=38: 105 mod 38 = 29 ≠ 21 = 135 mod 38
m=39: 105 mod 39 = 27 ≠ 18 = 135 mod 39
m=40: 105 mod 40 = 25 ≠ 15 = 135 mod 40
m=41: 105 mod 41 = 23 ≠ 12 = 135 mod 41
m=42: 105 mod 42 = 21 ≠ 9 = 135 mod 42
m=43: 105 mod 43 = 19 ≠ 6 = 135 mod 43
m=44: 105 mod 44 = 17 ≠ 3 = 135 mod 44
m=45: 105 mod 45 = 15 ≠ 0 = 135 mod 45
m=46: 105 mod 46 = 13 ≠ 43 = 135 mod 46
m=47: 105 mod 47 = 11 ≠ 41 = 135 mod 47
m=48: 105 mod 48 = 9 ≠ 39 = 135 mod 48
m=49: 105 mod 49 = 7 ≠ 37 = 135 mod 49
m=50: 105 mod 50 = 5 ≠ 35 = 135 mod 50
m=51: 105 mod 51 = 3 ≠ 33 = 135 mod 51
m=52: 105 mod 52 = 1 ≠ 31 = 135 mod 52
m=53: 105 mod 53 = 52 ≠ 29 = 135 mod 53
m=54: 105 mod 54 = 51 ≠ 27 = 135 mod 54
m=55: 105 mod 55 = 50 ≠ 25 = 135 mod 55
m=56: 105 mod 56 = 49 ≠ 23 = 135 mod 56
m=57: 105 mod 57 = 48 ≠ 21 = 135 mod 57
m=58: 105 mod 58 = 47 ≠ 19 = 135 mod 58
m=59: 105 mod 59 = 46 ≠ 17 = 135 mod 59
m=60: 105 mod 60 = 45 ≠ 15 = 135 mod 60
m=61: 105 mod 61 = 44 ≠ 13 = 135 mod 61
m=62: 105 mod 62 = 43 ≠ 11 = 135 mod 62
m=63: 105 mod 63 = 42 ≠ 9 = 135 mod 63
m=64: 105 mod 64 = 41 ≠ 7 = 135 mod 64
m=65: 105 mod 65 = 40 ≠ 5 = 135 mod 65
m=66: 105 mod 66 = 39 ≠ 3 = 135 mod 66
m=67: 105 mod 67 = 38 ≠ 1 = 135 mod 67
m=68: 105 mod 68 = 37 ≠ 67 = 135 mod 68
m=69: 105 mod 69 = 36 ≠ 66 = 135 mod 69
m=70: 105 mod 70 = 35 ≠ 65 = 135 mod 70
m=71: 105 mod 71 = 34 ≠ 64 = 135 mod 71
m=72: 105 mod 72 = 33 ≠ 63 = 135 mod 72
m=73: 105 mod 73 = 32 ≠ 62 = 135 mod 73
m=74: 105 mod 74 = 31 ≠ 61 = 135 mod 74
m=75: 105 mod 75 = 30 ≠ 60 = 135 mod 75
m=76: 105 mod 76 = 29 ≠ 59 = 135 mod 76
m=77: 105 mod 77 = 28 ≠ 58 = 135 mod 77
m=78: 105 mod 78 = 27 ≠ 57 = 135 mod 78
m=79: 105 mod 79 = 26 ≠ 56 = 135 mod 79
m=80: 105 mod 80 = 25 ≠ 55 = 135 mod 80
m=81: 105 mod 81 = 24 ≠ 54 = 135 mod 81
m=82: 105 mod 82 = 23 ≠ 53 = 135 mod 82
m=83: 105 mod 83 = 22 ≠ 52 = 135 mod 83
m=84: 105 mod 84 = 21 ≠ 51 = 135 mod 84
m=85: 105 mod 85 = 20 ≠ 50 = 135 mod 85
m=86: 105 mod 86 = 19 ≠ 49 = 135 mod 86
m=87: 105 mod 87 = 18 ≠ 48 = 135 mod 87
m=88: 105 mod 88 = 17 ≠ 47 = 135 mod 88
m=89: 105 mod 89 = 16 ≠ 46 = 135 mod 89
m=90: 105 mod 90 = 15 ≠ 45 = 135 mod 90
m=91: 105 mod 91 = 14 ≠ 44 = 135 mod 91
m=92: 105 mod 92 = 13 ≠ 43 = 135 mod 92
m=93: 105 mod 93 = 12 ≠ 42 = 135 mod 93
m=94: 105 mod 94 = 11 ≠ 41 = 135 mod 94
m=95: 105 mod 95 = 10 ≠ 40 = 135 mod 95
m=96: 105 mod 96 = 9 ≠ 39 = 135 mod 96
m=97: 105 mod 97 = 8 ≠ 38 = 135 mod 97
m=98: 105 mod 98 = 7 ≠ 37 = 135 mod 98
m=99: 105 mod 99 = 6 ≠ 36 = 135 mod 99
m=100: 105 mod 100 = 5 ≠ 35 = 135 mod 100
m=101: 105 mod 101 = 4 ≠ 34 = 135 mod 101
m=102: 105 mod 102 = 3 ≠ 33 = 135 mod 102
m=103: 105 mod 103 = 2 ≠ 32 = 135 mod 103
m=104: 105 mod 104 = 1 ≠ 31 = 135 mod 104
m=105: 105 mod 105 = 0 ≠ 30 = 135 mod 105
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (135 - 105) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
