Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 80 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 72 = 8.
Somit gilt: 80 mod 9 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 49 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 49 - 48 = 1.
Somit gilt: 49 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 8 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 32 und erhalten so 33.
Somit gilt: 33 ≡ 49 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (498 + 20005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(498 + 20005) mod 5 ≡ (498 mod 5 + 20005 mod 5) mod 5.
498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498
= 400
20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005
= 20000
Somit gilt:
(498 + 20005) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 62) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 62) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.
66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 62) mod 7 ≡ (3 ⋅ 6) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 32 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 32 mod m gilt:
m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2
m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 2 = 32 mod 3
m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 32 mod 4
m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 2 = 32 mod 5
m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 2 = 32 mod 6
m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 4 = 32 mod 7
m=8: 24 mod 8 = 0 = 0 = 32 mod 8
m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 5 = 32 mod 9
m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 2 = 32 mod 10
m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 10 = 32 mod 11
m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 8 = 32 mod 12
m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 6 = 32 mod 13
m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 4 = 32 mod 14
m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 2 = 32 mod 15
m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 0 = 32 mod 16
m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 15 = 32 mod 17
m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 14 = 32 mod 18
m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 13 = 32 mod 19
m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 12 = 32 mod 20
m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 11 = 32 mod 21
m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 10 = 32 mod 22
m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 9 = 32 mod 23
m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 8 = 32 mod 24
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 24) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
