Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 30 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 67 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4004 + 40006) mod 8 ≡ (4004 mod 8 + 40006 mod 8) mod 8.

4004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 8 ⋅ 500 +4.

40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006 = 40000+6 = 8 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(4004 + 40006) mod 8 ≡ (4 + 6) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 81) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 81) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 = 0 = 36 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 = 0 = 36 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 12 = 36 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 24) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12