Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.

Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 87, weil ja 29 ⋅ 3 = 87 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 87 = 2.

Somit gilt: 89 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 6 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 18 und erhalten so 20.

Somit gilt: 20 ≡ 89 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(182 - 118) mod 6 ≡ (182 mod 6 - 118 mod 6) mod 6.

182 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182 = 180+2 = 6 ⋅ 30 +2.

118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 6 ⋅ 20 -2 = 6 ⋅ 20 - 6 + 4.

Somit gilt:

(182 - 118) mod 6 ≡ (2 - 4) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 97) mod 4 ≡ (84 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 97) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 ≠ 0 = 30 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 30 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 = 3 = 30 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 9 = 30 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 21) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9