Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 33 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 33 - 28 = 5.
Somit gilt: 33 mod 7 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 89 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.
Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 20 und erhalten so 24.
Somit gilt: 24 ≡ 89 ≡ 4 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3996 + 1197) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3996 + 1197) mod 4 ≡ (3996 mod 4 + 1197 mod 4) mod 4.
3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996
= 3000
1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1100
Somit gilt:
(3996 + 1197) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 87) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6