Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.
Somit gilt: 57 mod 9 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 54 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.
Somit gilt: 54 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 18 = 2 ⋅ 9
Somit gilt: 18 ≡ 54 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (367 + 2702) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(367 + 2702) mod 9 ≡ (367 mod 9 + 2702 mod 9) mod 9.
367 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 367
= 360
2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702
= 2700
Somit gilt:
(367 + 2702) mod 9 ≡ (7 + 2) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 25) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 25) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 25 mod 6) mod 6.
54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.
25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 25) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 27 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9