Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 95 = 0.

Somit gilt: 95 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 90, weil ja 30 ⋅ 3 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 92 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2399 + 1799) mod 6 ≡ (2399 mod 6 + 1799 mod 6) mod 6.

2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399 = 2400-1 = 6 ⋅ 400 -1 = 6 ⋅ 400 - 6 + 5.

1799 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1799 = 1800-1 = 6 ⋅ 300 -1 = 6 ⋅ 300 - 6 + 5.

Somit gilt:

(2399 + 1799) mod 6 ≡ (5 + 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 84) mod 5 ≡ (63 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 84) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8