Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 44 = 6.

Somit gilt: 50 mod 11 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 6 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 6 mod 11 sein, also addieren wir noch 6 auf die 44 und erhalten so 50.

Somit gilt: 50 ≡ 50 ≡ 6 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(178 + 443) mod 9 ≡ (178 mod 9 + 443 mod 9) mod 9.

178 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178 = 180-2 = 9 ⋅ 20 -2 = 9 ⋅ 20 - 9 + 7.

443 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 443 = 450-7 = 9 ⋅ 50 -7 = 9 ⋅ 50 - 9 + 2.

Somit gilt:

(178 + 443) mod 9 ≡ (7 + 2) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 95) mod 5 ≡ (85 mod 5 ⋅ 95 mod 5) mod 5.

85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 95) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4