Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 78 = 1.

Somit gilt: 79 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 48 = 5.

Somit gilt: 53 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 8 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 53 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(305 + 17998) mod 6 ≡ (305 mod 6 + 17998 mod 6) mod 6.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

17998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998 = 18000-2 = 6 ⋅ 3000 -2 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(305 + 17998) mod 6 ≡ (5 + 4) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 76) mod 4 ≡ (69 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.

69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 76) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12