Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.
Somit gilt: 32 mod 10 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 63 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 63 - 63 = 0.
Somit gilt: 63 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9
Somit gilt: 54 ≡ 63 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (248 + 1594) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(248 + 1594) mod 8 ≡ (248 mod 8 + 1594 mod 8) mod 8.
248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248
= 240
1594 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1594
= 1600
Somit gilt:
(248 + 1594) mod 8 ≡ (0 + 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 94) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 94) mod 3 ≡ (81 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.
81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.
94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 94) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
