Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 15 = 3.

Somit gilt: 18 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 65 = 3.

Somit gilt: 68 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 68 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(344 - 20998) mod 7 ≡ (344 mod 7 - 20998 mod 7) mod 7.

344 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 344 = 350-6 = 7 ⋅ 50 -6 = 7 ⋅ 50 - 7 + 1.

20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998 = 21000-2 = 7 ⋅ 3000 -2 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(344 - 20998) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 24) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 24) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 55 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 = 1 = 55 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 = 1 = 55 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 = 3 = 55 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 ≠ 0 = 55 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 = 1 = 55 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 6 = 55 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 7 = 55 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 ≠ 1 = 55 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 ≠ 5 = 55 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 0 = 55 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 = 7 = 55 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 3 = 55 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 13 = 55 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 ≠ 10 = 55 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 7 = 55 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 4 = 55 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 ≠ 1 = 55 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 17 = 55 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 ≠ 15 = 55 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 13 = 55 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 11 = 55 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 9 = 55 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 7 = 55 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 5 = 55 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 3 = 55 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 1 = 55 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 27 = 55 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 26 = 55 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 25 = 55 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 24 = 55 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 23 = 55 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 22 = 55 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 21 = 55 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 20 = 55 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 19 = 55 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 18 = 55 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 17 = 55 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 16 = 55 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 15 = 55 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 14 = 55 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 13 = 55 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 12 = 55 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (55 - 43) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12