Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.

Somit gilt: 43 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 81 = 7.

Somit gilt: 88 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 63 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 88 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2398 + 1802) mod 6 ≡ (2398 mod 6 + 1802 mod 6) mod 6.

2398 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 6 ⋅ 400 -2 = 6 ⋅ 400 - 6 + 4.

1802 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 6 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(2398 + 1802) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 55) mod 9 ≡ (85 mod 9 ⋅ 55 mod 9) mod 9.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 55) mod 9 ≡ (4 ⋅ 1) mod 9 ≡ 4 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 47 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 = 1 = 47 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 ≠ 2 = 47 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 3 = 47 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 47 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 5 = 47 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 5 = 47 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 7 = 47 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 2 = 47 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 = 7 = 47 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 3 = 47 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 11 = 47 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 8 = 47 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 5 = 47 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 ≠ 2 = 47 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 15 = 47 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 13 = 47 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 11 = 47 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 9 = 47 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 7 = 47 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 5 = 47 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 3 = 47 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 1 = 47 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 23 = 47 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 22 = 47 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 21 = 47 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 20 = 47 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 19 = 47 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 18 = 47 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 17 = 47 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 16 = 47 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 15 = 47 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 14 = 47 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 13 = 47 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 12 = 47 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 11 = 47 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 10 = 47 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (47 - 37) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10