Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 76 = 2.

Somit gilt: 78 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 33 = 5.

Somit gilt: 38 mod 11 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 44 und erhalten so 49.

Somit gilt: 49 ≡ 38 ≡ 5 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9995 + 151) mod 5 ≡ (9995 mod 5 + 151 mod 5) mod 5.

9995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9995 = 9000+995 = 5 ⋅ 1800 +995.

151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 5 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(9995 + 151) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 42) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 42 mod 10) mod 10.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 42) mod 10 ≡ (6 ⋅ 2) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 ≠ 0 = 32 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 32 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 = 5 = 32 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 9 = 32 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 23) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9