Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.

Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 2 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 12 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 75 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 + 120) mod 3 ≡ (12003 mod 3 + 120 mod 3) mod 3.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(12003 + 120) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 46) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 46) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 279 aus, ob zufällig 279 mod m = 354 mod m gilt:

m=2: 279 mod 2 = 1 ≠ 0 = 354 mod 2

m=3: 279 mod 3 = 0 = 0 = 354 mod 3

m=4: 279 mod 4 = 3 ≠ 2 = 354 mod 4

m=5: 279 mod 5 = 4 = 4 = 354 mod 5

m=6: 279 mod 6 = 3 ≠ 0 = 354 mod 6

m=7: 279 mod 7 = 6 ≠ 4 = 354 mod 7

m=8: 279 mod 8 = 7 ≠ 2 = 354 mod 8

m=9: 279 mod 9 = 0 ≠ 3 = 354 mod 9

m=10: 279 mod 10 = 9 ≠ 4 = 354 mod 10

m=11: 279 mod 11 = 4 ≠ 2 = 354 mod 11

m=12: 279 mod 12 = 3 ≠ 6 = 354 mod 12

m=13: 279 mod 13 = 6 ≠ 3 = 354 mod 13

m=14: 279 mod 14 = 13 ≠ 4 = 354 mod 14

m=15: 279 mod 15 = 9 = 9 = 354 mod 15

m=16: 279 mod 16 = 7 ≠ 2 = 354 mod 16

m=17: 279 mod 17 = 7 ≠ 14 = 354 mod 17

m=18: 279 mod 18 = 9 ≠ 12 = 354 mod 18

m=19: 279 mod 19 = 13 ≠ 12 = 354 mod 19

m=20: 279 mod 20 = 19 ≠ 14 = 354 mod 20

m=21: 279 mod 21 = 6 ≠ 18 = 354 mod 21

m=22: 279 mod 22 = 15 ≠ 2 = 354 mod 22

m=23: 279 mod 23 = 3 ≠ 9 = 354 mod 23

m=24: 279 mod 24 = 15 ≠ 18 = 354 mod 24

m=25: 279 mod 25 = 4 = 4 = 354 mod 25

m=26: 279 mod 26 = 19 ≠ 16 = 354 mod 26

m=27: 279 mod 27 = 9 ≠ 3 = 354 mod 27

m=28: 279 mod 28 = 27 ≠ 18 = 354 mod 28

m=29: 279 mod 29 = 18 ≠ 6 = 354 mod 29

m=30: 279 mod 30 = 9 ≠ 24 = 354 mod 30

m=31: 279 mod 31 = 0 ≠ 13 = 354 mod 31

m=32: 279 mod 32 = 23 ≠ 2 = 354 mod 32

m=33: 279 mod 33 = 15 ≠ 24 = 354 mod 33

m=34: 279 mod 34 = 7 ≠ 14 = 354 mod 34

m=35: 279 mod 35 = 34 ≠ 4 = 354 mod 35

m=36: 279 mod 36 = 27 ≠ 30 = 354 mod 36

m=37: 279 mod 37 = 20 ≠ 21 = 354 mod 37

m=38: 279 mod 38 = 13 ≠ 12 = 354 mod 38

m=39: 279 mod 39 = 6 ≠ 3 = 354 mod 39

m=40: 279 mod 40 = 39 ≠ 34 = 354 mod 40

m=41: 279 mod 41 = 33 ≠ 26 = 354 mod 41

m=42: 279 mod 42 = 27 ≠ 18 = 354 mod 42

m=43: 279 mod 43 = 21 ≠ 10 = 354 mod 43

m=44: 279 mod 44 = 15 ≠ 2 = 354 mod 44

m=45: 279 mod 45 = 9 ≠ 39 = 354 mod 45

m=46: 279 mod 46 = 3 ≠ 32 = 354 mod 46

m=47: 279 mod 47 = 44 ≠ 25 = 354 mod 47

m=48: 279 mod 48 = 39 ≠ 18 = 354 mod 48

m=49: 279 mod 49 = 34 ≠ 11 = 354 mod 49

m=50: 279 mod 50 = 29 ≠ 4 = 354 mod 50

m=51: 279 mod 51 = 24 ≠ 48 = 354 mod 51

m=52: 279 mod 52 = 19 ≠ 42 = 354 mod 52

m=53: 279 mod 53 = 14 ≠ 36 = 354 mod 53

m=54: 279 mod 54 = 9 ≠ 30 = 354 mod 54

m=55: 279 mod 55 = 4 ≠ 24 = 354 mod 55

m=56: 279 mod 56 = 55 ≠ 18 = 354 mod 56

m=57: 279 mod 57 = 51 ≠ 12 = 354 mod 57

m=58: 279 mod 58 = 47 ≠ 6 = 354 mod 58

m=59: 279 mod 59 = 43 ≠ 0 = 354 mod 59

m=60: 279 mod 60 = 39 ≠ 54 = 354 mod 60

m=61: 279 mod 61 = 35 ≠ 49 = 354 mod 61

m=62: 279 mod 62 = 31 ≠ 44 = 354 mod 62

m=63: 279 mod 63 = 27 ≠ 39 = 354 mod 63

m=64: 279 mod 64 = 23 ≠ 34 = 354 mod 64

m=65: 279 mod 65 = 19 ≠ 29 = 354 mod 65

m=66: 279 mod 66 = 15 ≠ 24 = 354 mod 66

m=67: 279 mod 67 = 11 ≠ 19 = 354 mod 67

m=68: 279 mod 68 = 7 ≠ 14 = 354 mod 68

m=69: 279 mod 69 = 3 ≠ 9 = 354 mod 69

m=70: 279 mod 70 = 69 ≠ 4 = 354 mod 70

m=71: 279 mod 71 = 66 ≠ 70 = 354 mod 71

m=72: 279 mod 72 = 63 ≠ 66 = 354 mod 72

m=73: 279 mod 73 = 60 ≠ 62 = 354 mod 73

m=74: 279 mod 74 = 57 ≠ 58 = 354 mod 74

m=75: 279 mod 75 = 54 = 54 = 354 mod 75

m=76: 279 mod 76 = 51 ≠ 50 = 354 mod 76

m=77: 279 mod 77 = 48 ≠ 46 = 354 mod 77

m=78: 279 mod 78 = 45 ≠ 42 = 354 mod 78

m=79: 279 mod 79 = 42 ≠ 38 = 354 mod 79

m=80: 279 mod 80 = 39 ≠ 34 = 354 mod 80

m=81: 279 mod 81 = 36 ≠ 30 = 354 mod 81

m=82: 279 mod 82 = 33 ≠ 26 = 354 mod 82

m=83: 279 mod 83 = 30 ≠ 22 = 354 mod 83

m=84: 279 mod 84 = 27 ≠ 18 = 354 mod 84

m=85: 279 mod 85 = 24 ≠ 14 = 354 mod 85

m=86: 279 mod 86 = 21 ≠ 10 = 354 mod 86

m=87: 279 mod 87 = 18 ≠ 6 = 354 mod 87

m=88: 279 mod 88 = 15 ≠ 2 = 354 mod 88

m=89: 279 mod 89 = 12 ≠ 87 = 354 mod 89

m=90: 279 mod 90 = 9 ≠ 84 = 354 mod 90

m=91: 279 mod 91 = 6 ≠ 81 = 354 mod 91

m=92: 279 mod 92 = 3 ≠ 78 = 354 mod 92

m=93: 279 mod 93 = 0 ≠ 75 = 354 mod 93

m=94: 279 mod 94 = 91 ≠ 72 = 354 mod 94

m=95: 279 mod 95 = 89 ≠ 69 = 354 mod 95

m=96: 279 mod 96 = 87 ≠ 66 = 354 mod 96

m=97: 279 mod 97 = 85 ≠ 63 = 354 mod 97

m=98: 279 mod 98 = 83 ≠ 60 = 354 mod 98

m=99: 279 mod 99 = 81 ≠ 57 = 354 mod 99

m=100: 279 mod 100 = 79 ≠ 54 = 354 mod 100

m=101: 279 mod 101 = 77 ≠ 51 = 354 mod 101

m=102: 279 mod 102 = 75 ≠ 48 = 354 mod 102

m=103: 279 mod 103 = 73 ≠ 45 = 354 mod 103

m=104: 279 mod 104 = 71 ≠ 42 = 354 mod 104

m=105: 279 mod 105 = 69 ≠ 39 = 354 mod 105

m=106: 279 mod 106 = 67 ≠ 36 = 354 mod 106

m=107: 279 mod 107 = 65 ≠ 33 = 354 mod 107

m=108: 279 mod 108 = 63 ≠ 30 = 354 mod 108

m=109: 279 mod 109 = 61 ≠ 27 = 354 mod 109

m=110: 279 mod 110 = 59 ≠ 24 = 354 mod 110

m=111: 279 mod 111 = 57 ≠ 21 = 354 mod 111

m=112: 279 mod 112 = 55 ≠ 18 = 354 mod 112

m=113: 279 mod 113 = 53 ≠ 15 = 354 mod 113

m=114: 279 mod 114 = 51 ≠ 12 = 354 mod 114

m=115: 279 mod 115 = 49 ≠ 9 = 354 mod 115

m=116: 279 mod 116 = 47 ≠ 6 = 354 mod 116

m=117: 279 mod 117 = 45 ≠ 3 = 354 mod 117

m=118: 279 mod 118 = 43 ≠ 0 = 354 mod 118

m=119: 279 mod 119 = 41 ≠ 116 = 354 mod 119

m=120: 279 mod 120 = 39 ≠ 114 = 354 mod 120

m=121: 279 mod 121 = 37 ≠ 112 = 354 mod 121

m=122: 279 mod 122 = 35 ≠ 110 = 354 mod 122

m=123: 279 mod 123 = 33 ≠ 108 = 354 mod 123

m=124: 279 mod 124 = 31 ≠ 106 = 354 mod 124

m=125: 279 mod 125 = 29 ≠ 104 = 354 mod 125

m=126: 279 mod 126 = 27 ≠ 102 = 354 mod 126

m=127: 279 mod 127 = 25 ≠ 100 = 354 mod 127

m=128: 279 mod 128 = 23 ≠ 98 = 354 mod 128

m=129: 279 mod 129 = 21 ≠ 96 = 354 mod 129

m=130: 279 mod 130 = 19 ≠ 94 = 354 mod 130

m=131: 279 mod 131 = 17 ≠ 92 = 354 mod 131

m=132: 279 mod 132 = 15 ≠ 90 = 354 mod 132

m=133: 279 mod 133 = 13 ≠ 88 = 354 mod 133

m=134: 279 mod 134 = 11 ≠ 86 = 354 mod 134

m=135: 279 mod 135 = 9 ≠ 84 = 354 mod 135

m=136: 279 mod 136 = 7 ≠ 82 = 354 mod 136

m=137: 279 mod 137 = 5 ≠ 80 = 354 mod 137

m=138: 279 mod 138 = 3 ≠ 78 = 354 mod 138

m=139: 279 mod 139 = 1 ≠ 76 = 354 mod 139

m=140: 279 mod 140 = 139 ≠ 74 = 354 mod 140

m=141: 279 mod 141 = 138 ≠ 72 = 354 mod 141

m=142: 279 mod 142 = 137 ≠ 70 = 354 mod 142

m=143: 279 mod 143 = 136 ≠ 68 = 354 mod 143

m=144: 279 mod 144 = 135 ≠ 66 = 354 mod 144

m=145: 279 mod 145 = 134 ≠ 64 = 354 mod 145

m=146: 279 mod 146 = 133 ≠ 62 = 354 mod 146

m=147: 279 mod 147 = 132 ≠ 60 = 354 mod 147

m=148: 279 mod 148 = 131 ≠ 58 = 354 mod 148

m=149: 279 mod 149 = 130 ≠ 56 = 354 mod 149

m=150: 279 mod 150 = 129 ≠ 54 = 354 mod 150

m=151: 279 mod 151 = 128 ≠ 52 = 354 mod 151

m=152: 279 mod 152 = 127 ≠ 50 = 354 mod 152

m=153: 279 mod 153 = 126 ≠ 48 = 354 mod 153

m=154: 279 mod 154 = 125 ≠ 46 = 354 mod 154

m=155: 279 mod 155 = 124 ≠ 44 = 354 mod 155

m=156: 279 mod 156 = 123 ≠ 42 = 354 mod 156

m=157: 279 mod 157 = 122 ≠ 40 = 354 mod 157

m=158: 279 mod 158 = 121 ≠ 38 = 354 mod 158

m=159: 279 mod 159 = 120 ≠ 36 = 354 mod 159

m=160: 279 mod 160 = 119 ≠ 34 = 354 mod 160

m=161: 279 mod 161 = 118 ≠ 32 = 354 mod 161

m=162: 279 mod 162 = 117 ≠ 30 = 354 mod 162

m=163: 279 mod 163 = 116 ≠ 28 = 354 mod 163

m=164: 279 mod 164 = 115 ≠ 26 = 354 mod 164

m=165: 279 mod 165 = 114 ≠ 24 = 354 mod 165

m=166: 279 mod 166 = 113 ≠ 22 = 354 mod 166

m=167: 279 mod 167 = 112 ≠ 20 = 354 mod 167

m=168: 279 mod 168 = 111 ≠ 18 = 354 mod 168

m=169: 279 mod 169 = 110 ≠ 16 = 354 mod 169

m=170: 279 mod 170 = 109 ≠ 14 = 354 mod 170

m=171: 279 mod 171 = 108 ≠ 12 = 354 mod 171

m=172: 279 mod 172 = 107 ≠ 10 = 354 mod 172

m=173: 279 mod 173 = 106 ≠ 8 = 354 mod 173

m=174: 279 mod 174 = 105 ≠ 6 = 354 mod 174

m=175: 279 mod 175 = 104 ≠ 4 = 354 mod 175

m=176: 279 mod 176 = 103 ≠ 2 = 354 mod 176

m=177: 279 mod 177 = 102 ≠ 0 = 354 mod 177

m=178: 279 mod 178 = 101 ≠ 176 = 354 mod 178

m=179: 279 mod 179 = 100 ≠ 175 = 354 mod 179

m=180: 279 mod 180 = 99 ≠ 174 = 354 mod 180

m=181: 279 mod 181 = 98 ≠ 173 = 354 mod 181

m=182: 279 mod 182 = 97 ≠ 172 = 354 mod 182

m=183: 279 mod 183 = 96 ≠ 171 = 354 mod 183

m=184: 279 mod 184 = 95 ≠ 170 = 354 mod 184

m=185: 279 mod 185 = 94 ≠ 169 = 354 mod 185

m=186: 279 mod 186 = 93 ≠ 168 = 354 mod 186

m=187: 279 mod 187 = 92 ≠ 167 = 354 mod 187

m=188: 279 mod 188 = 91 ≠ 166 = 354 mod 188

m=189: 279 mod 189 = 90 ≠ 165 = 354 mod 189

m=190: 279 mod 190 = 89 ≠ 164 = 354 mod 190

m=191: 279 mod 191 = 88 ≠ 163 = 354 mod 191

m=192: 279 mod 192 = 87 ≠ 162 = 354 mod 192

m=193: 279 mod 193 = 86 ≠ 161 = 354 mod 193

m=194: 279 mod 194 = 85 ≠ 160 = 354 mod 194

m=195: 279 mod 195 = 84 ≠ 159 = 354 mod 195

m=196: 279 mod 196 = 83 ≠ 158 = 354 mod 196

m=197: 279 mod 197 = 82 ≠ 157 = 354 mod 197

m=198: 279 mod 198 = 81 ≠ 156 = 354 mod 198

m=199: 279 mod 199 = 80 ≠ 155 = 354 mod 199

m=200: 279 mod 200 = 79 ≠ 154 = 354 mod 200

m=201: 279 mod 201 = 78 ≠ 153 = 354 mod 201

m=202: 279 mod 202 = 77 ≠ 152 = 354 mod 202

m=203: 279 mod 203 = 76 ≠ 151 = 354 mod 203

m=204: 279 mod 204 = 75 ≠ 150 = 354 mod 204

m=205: 279 mod 205 = 74 ≠ 149 = 354 mod 205

m=206: 279 mod 206 = 73 ≠ 148 = 354 mod 206

m=207: 279 mod 207 = 72 ≠ 147 = 354 mod 207

m=208: 279 mod 208 = 71 ≠ 146 = 354 mod 208

m=209: 279 mod 209 = 70 ≠ 145 = 354 mod 209

m=210: 279 mod 210 = 69 ≠ 144 = 354 mod 210

m=211: 279 mod 211 = 68 ≠ 143 = 354 mod 211

m=212: 279 mod 212 = 67 ≠ 142 = 354 mod 212

m=213: 279 mod 213 = 66 ≠ 141 = 354 mod 213

m=214: 279 mod 214 = 65 ≠ 140 = 354 mod 214

m=215: 279 mod 215 = 64 ≠ 139 = 354 mod 215

m=216: 279 mod 216 = 63 ≠ 138 = 354 mod 216

m=217: 279 mod 217 = 62 ≠ 137 = 354 mod 217

m=218: 279 mod 218 = 61 ≠ 136 = 354 mod 218

m=219: 279 mod 219 = 60 ≠ 135 = 354 mod 219

m=220: 279 mod 220 = 59 ≠ 134 = 354 mod 220

m=221: 279 mod 221 = 58 ≠ 133 = 354 mod 221

m=222: 279 mod 222 = 57 ≠ 132 = 354 mod 222

m=223: 279 mod 223 = 56 ≠ 131 = 354 mod 223

m=224: 279 mod 224 = 55 ≠ 130 = 354 mod 224

m=225: 279 mod 225 = 54 ≠ 129 = 354 mod 225

m=226: 279 mod 226 = 53 ≠ 128 = 354 mod 226

m=227: 279 mod 227 = 52 ≠ 127 = 354 mod 227

m=228: 279 mod 228 = 51 ≠ 126 = 354 mod 228

m=229: 279 mod 229 = 50 ≠ 125 = 354 mod 229

m=230: 279 mod 230 = 49 ≠ 124 = 354 mod 230

m=231: 279 mod 231 = 48 ≠ 123 = 354 mod 231

m=232: 279 mod 232 = 47 ≠ 122 = 354 mod 232

m=233: 279 mod 233 = 46 ≠ 121 = 354 mod 233

m=234: 279 mod 234 = 45 ≠ 120 = 354 mod 234

m=235: 279 mod 235 = 44 ≠ 119 = 354 mod 235

m=236: 279 mod 236 = 43 ≠ 118 = 354 mod 236

m=237: 279 mod 237 = 42 ≠ 117 = 354 mod 237

m=238: 279 mod 238 = 41 ≠ 116 = 354 mod 238

m=239: 279 mod 239 = 40 ≠ 115 = 354 mod 239

m=240: 279 mod 240 = 39 ≠ 114 = 354 mod 240

m=241: 279 mod 241 = 38 ≠ 113 = 354 mod 241

m=242: 279 mod 242 = 37 ≠ 112 = 354 mod 242

m=243: 279 mod 243 = 36 ≠ 111 = 354 mod 243

m=244: 279 mod 244 = 35 ≠ 110 = 354 mod 244

m=245: 279 mod 245 = 34 ≠ 109 = 354 mod 245

m=246: 279 mod 246 = 33 ≠ 108 = 354 mod 246

m=247: 279 mod 247 = 32 ≠ 107 = 354 mod 247

m=248: 279 mod 248 = 31 ≠ 106 = 354 mod 248

m=249: 279 mod 249 = 30 ≠ 105 = 354 mod 249

m=250: 279 mod 250 = 29 ≠ 104 = 354 mod 250

m=251: 279 mod 251 = 28 ≠ 103 = 354 mod 251

m=252: 279 mod 252 = 27 ≠ 102 = 354 mod 252

m=253: 279 mod 253 = 26 ≠ 101 = 354 mod 253

m=254: 279 mod 254 = 25 ≠ 100 = 354 mod 254

m=255: 279 mod 255 = 24 ≠ 99 = 354 mod 255

m=256: 279 mod 256 = 23 ≠ 98 = 354 mod 256

m=257: 279 mod 257 = 22 ≠ 97 = 354 mod 257

m=258: 279 mod 258 = 21 ≠ 96 = 354 mod 258

m=259: 279 mod 259 = 20 ≠ 95 = 354 mod 259

m=260: 279 mod 260 = 19 ≠ 94 = 354 mod 260

m=261: 279 mod 261 = 18 ≠ 93 = 354 mod 261

m=262: 279 mod 262 = 17 ≠ 92 = 354 mod 262

m=263: 279 mod 263 = 16 ≠ 91 = 354 mod 263

m=264: 279 mod 264 = 15 ≠ 90 = 354 mod 264

m=265: 279 mod 265 = 14 ≠ 89 = 354 mod 265

m=266: 279 mod 266 = 13 ≠ 88 = 354 mod 266

m=267: 279 mod 267 = 12 ≠ 87 = 354 mod 267

m=268: 279 mod 268 = 11 ≠ 86 = 354 mod 268

m=269: 279 mod 269 = 10 ≠ 85 = 354 mod 269

m=270: 279 mod 270 = 9 ≠ 84 = 354 mod 270

m=271: 279 mod 271 = 8 ≠ 83 = 354 mod 271

m=272: 279 mod 272 = 7 ≠ 82 = 354 mod 272

m=273: 279 mod 273 = 6 ≠ 81 = 354 mod 273

m=274: 279 mod 274 = 5 ≠ 80 = 354 mod 274

m=275: 279 mod 275 = 4 ≠ 79 = 354 mod 275

m=276: 279 mod 276 = 3 ≠ 78 = 354 mod 276

m=277: 279 mod 277 = 2 ≠ 77 = 354 mod 277

m=278: 279 mod 278 = 1 ≠ 76 = 354 mod 278

m=279: 279 mod 279 = 0 ≠ 75 = 354 mod 279

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (354 - 279) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75