Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.

Somit gilt: 65 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 60 = 8.

Somit gilt: 68 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 30 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 2 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 20 und erhalten so 28.

Somit gilt: 28 ≡ 68 ≡ 8 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16004 - 8003) mod 4 ≡ (16004 mod 4 - 8003 mod 4) mod 4.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(16004 - 8003) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 89) mod 9 ≡ (94 mod 9 ⋅ 89 mod 9) mod 9.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 81 + 8 = 9 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 89) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 ≠ 0 = 42 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 42 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 6 = 42 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 = 2 = 42 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 10 = 42 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 32) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10