Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 18, weil ja 6 ⋅ 3 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 18 = 1.

Somit gilt: 19 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 7 ⋅ 3

Somit gilt: 21 ≡ 99 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 - 1197) mod 4 ≡ (804 mod 4 - 1197 mod 4) mod 4.

804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 4 ⋅ 200 +4.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

Somit gilt:

(804 - 1197) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 49) mod 4 ≡ (42 mod 4 ⋅ 49 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 49) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 200 aus, ob zufällig 200 mod m = 275 mod m gilt:

m=2: 200 mod 2 = 0 ≠ 1 = 275 mod 2

m=3: 200 mod 3 = 2 = 2 = 275 mod 3

m=4: 200 mod 4 = 0 ≠ 3 = 275 mod 4

m=5: 200 mod 5 = 0 = 0 = 275 mod 5

m=6: 200 mod 6 = 2 ≠ 5 = 275 mod 6

m=7: 200 mod 7 = 4 ≠ 2 = 275 mod 7

m=8: 200 mod 8 = 0 ≠ 3 = 275 mod 8

m=9: 200 mod 9 = 2 ≠ 5 = 275 mod 9

m=10: 200 mod 10 = 0 ≠ 5 = 275 mod 10

m=11: 200 mod 11 = 2 ≠ 0 = 275 mod 11

m=12: 200 mod 12 = 8 ≠ 11 = 275 mod 12

m=13: 200 mod 13 = 5 ≠ 2 = 275 mod 13

m=14: 200 mod 14 = 4 ≠ 9 = 275 mod 14

m=15: 200 mod 15 = 5 = 5 = 275 mod 15

m=16: 200 mod 16 = 8 ≠ 3 = 275 mod 16

m=17: 200 mod 17 = 13 ≠ 3 = 275 mod 17

m=18: 200 mod 18 = 2 ≠ 5 = 275 mod 18

m=19: 200 mod 19 = 10 ≠ 9 = 275 mod 19

m=20: 200 mod 20 = 0 ≠ 15 = 275 mod 20

m=21: 200 mod 21 = 11 ≠ 2 = 275 mod 21

m=22: 200 mod 22 = 2 ≠ 11 = 275 mod 22

m=23: 200 mod 23 = 16 ≠ 22 = 275 mod 23

m=24: 200 mod 24 = 8 ≠ 11 = 275 mod 24

m=25: 200 mod 25 = 0 = 0 = 275 mod 25

m=26: 200 mod 26 = 18 ≠ 15 = 275 mod 26

m=27: 200 mod 27 = 11 ≠ 5 = 275 mod 27

m=28: 200 mod 28 = 4 ≠ 23 = 275 mod 28

m=29: 200 mod 29 = 26 ≠ 14 = 275 mod 29

m=30: 200 mod 30 = 20 ≠ 5 = 275 mod 30

m=31: 200 mod 31 = 14 ≠ 27 = 275 mod 31

m=32: 200 mod 32 = 8 ≠ 19 = 275 mod 32

m=33: 200 mod 33 = 2 ≠ 11 = 275 mod 33

m=34: 200 mod 34 = 30 ≠ 3 = 275 mod 34

m=35: 200 mod 35 = 25 ≠ 30 = 275 mod 35

m=36: 200 mod 36 = 20 ≠ 23 = 275 mod 36

m=37: 200 mod 37 = 15 ≠ 16 = 275 mod 37

m=38: 200 mod 38 = 10 ≠ 9 = 275 mod 38

m=39: 200 mod 39 = 5 ≠ 2 = 275 mod 39

m=40: 200 mod 40 = 0 ≠ 35 = 275 mod 40

m=41: 200 mod 41 = 36 ≠ 29 = 275 mod 41

m=42: 200 mod 42 = 32 ≠ 23 = 275 mod 42

m=43: 200 mod 43 = 28 ≠ 17 = 275 mod 43

m=44: 200 mod 44 = 24 ≠ 11 = 275 mod 44

m=45: 200 mod 45 = 20 ≠ 5 = 275 mod 45

m=46: 200 mod 46 = 16 ≠ 45 = 275 mod 46

m=47: 200 mod 47 = 12 ≠ 40 = 275 mod 47

m=48: 200 mod 48 = 8 ≠ 35 = 275 mod 48

m=49: 200 mod 49 = 4 ≠ 30 = 275 mod 49

m=50: 200 mod 50 = 0 ≠ 25 = 275 mod 50

m=51: 200 mod 51 = 47 ≠ 20 = 275 mod 51

m=52: 200 mod 52 = 44 ≠ 15 = 275 mod 52

m=53: 200 mod 53 = 41 ≠ 10 = 275 mod 53

m=54: 200 mod 54 = 38 ≠ 5 = 275 mod 54

m=55: 200 mod 55 = 35 ≠ 0 = 275 mod 55

m=56: 200 mod 56 = 32 ≠ 51 = 275 mod 56

m=57: 200 mod 57 = 29 ≠ 47 = 275 mod 57

m=58: 200 mod 58 = 26 ≠ 43 = 275 mod 58

m=59: 200 mod 59 = 23 ≠ 39 = 275 mod 59

m=60: 200 mod 60 = 20 ≠ 35 = 275 mod 60

m=61: 200 mod 61 = 17 ≠ 31 = 275 mod 61

m=62: 200 mod 62 = 14 ≠ 27 = 275 mod 62

m=63: 200 mod 63 = 11 ≠ 23 = 275 mod 63

m=64: 200 mod 64 = 8 ≠ 19 = 275 mod 64

m=65: 200 mod 65 = 5 ≠ 15 = 275 mod 65

m=66: 200 mod 66 = 2 ≠ 11 = 275 mod 66

m=67: 200 mod 67 = 66 ≠ 7 = 275 mod 67

m=68: 200 mod 68 = 64 ≠ 3 = 275 mod 68

m=69: 200 mod 69 = 62 ≠ 68 = 275 mod 69

m=70: 200 mod 70 = 60 ≠ 65 = 275 mod 70

m=71: 200 mod 71 = 58 ≠ 62 = 275 mod 71

m=72: 200 mod 72 = 56 ≠ 59 = 275 mod 72

m=73: 200 mod 73 = 54 ≠ 56 = 275 mod 73

m=74: 200 mod 74 = 52 ≠ 53 = 275 mod 74

m=75: 200 mod 75 = 50 = 50 = 275 mod 75

m=76: 200 mod 76 = 48 ≠ 47 = 275 mod 76

m=77: 200 mod 77 = 46 ≠ 44 = 275 mod 77

m=78: 200 mod 78 = 44 ≠ 41 = 275 mod 78

m=79: 200 mod 79 = 42 ≠ 38 = 275 mod 79

m=80: 200 mod 80 = 40 ≠ 35 = 275 mod 80

m=81: 200 mod 81 = 38 ≠ 32 = 275 mod 81

m=82: 200 mod 82 = 36 ≠ 29 = 275 mod 82

m=83: 200 mod 83 = 34 ≠ 26 = 275 mod 83

m=84: 200 mod 84 = 32 ≠ 23 = 275 mod 84

m=85: 200 mod 85 = 30 ≠ 20 = 275 mod 85

m=86: 200 mod 86 = 28 ≠ 17 = 275 mod 86

m=87: 200 mod 87 = 26 ≠ 14 = 275 mod 87

m=88: 200 mod 88 = 24 ≠ 11 = 275 mod 88

m=89: 200 mod 89 = 22 ≠ 8 = 275 mod 89

m=90: 200 mod 90 = 20 ≠ 5 = 275 mod 90

m=91: 200 mod 91 = 18 ≠ 2 = 275 mod 91

m=92: 200 mod 92 = 16 ≠ 91 = 275 mod 92

m=93: 200 mod 93 = 14 ≠ 89 = 275 mod 93

m=94: 200 mod 94 = 12 ≠ 87 = 275 mod 94

m=95: 200 mod 95 = 10 ≠ 85 = 275 mod 95

m=96: 200 mod 96 = 8 ≠ 83 = 275 mod 96

m=97: 200 mod 97 = 6 ≠ 81 = 275 mod 97

m=98: 200 mod 98 = 4 ≠ 79 = 275 mod 98

m=99: 200 mod 99 = 2 ≠ 77 = 275 mod 99

m=100: 200 mod 100 = 0 ≠ 75 = 275 mod 100

m=101: 200 mod 101 = 99 ≠ 73 = 275 mod 101

m=102: 200 mod 102 = 98 ≠ 71 = 275 mod 102

m=103: 200 mod 103 = 97 ≠ 69 = 275 mod 103

m=104: 200 mod 104 = 96 ≠ 67 = 275 mod 104

m=105: 200 mod 105 = 95 ≠ 65 = 275 mod 105

m=106: 200 mod 106 = 94 ≠ 63 = 275 mod 106

m=107: 200 mod 107 = 93 ≠ 61 = 275 mod 107

m=108: 200 mod 108 = 92 ≠ 59 = 275 mod 108

m=109: 200 mod 109 = 91 ≠ 57 = 275 mod 109

m=110: 200 mod 110 = 90 ≠ 55 = 275 mod 110

m=111: 200 mod 111 = 89 ≠ 53 = 275 mod 111

m=112: 200 mod 112 = 88 ≠ 51 = 275 mod 112

m=113: 200 mod 113 = 87 ≠ 49 = 275 mod 113

m=114: 200 mod 114 = 86 ≠ 47 = 275 mod 114

m=115: 200 mod 115 = 85 ≠ 45 = 275 mod 115

m=116: 200 mod 116 = 84 ≠ 43 = 275 mod 116

m=117: 200 mod 117 = 83 ≠ 41 = 275 mod 117

m=118: 200 mod 118 = 82 ≠ 39 = 275 mod 118

m=119: 200 mod 119 = 81 ≠ 37 = 275 mod 119

m=120: 200 mod 120 = 80 ≠ 35 = 275 mod 120

m=121: 200 mod 121 = 79 ≠ 33 = 275 mod 121

m=122: 200 mod 122 = 78 ≠ 31 = 275 mod 122

m=123: 200 mod 123 = 77 ≠ 29 = 275 mod 123

m=124: 200 mod 124 = 76 ≠ 27 = 275 mod 124

m=125: 200 mod 125 = 75 ≠ 25 = 275 mod 125

m=126: 200 mod 126 = 74 ≠ 23 = 275 mod 126

m=127: 200 mod 127 = 73 ≠ 21 = 275 mod 127

m=128: 200 mod 128 = 72 ≠ 19 = 275 mod 128

m=129: 200 mod 129 = 71 ≠ 17 = 275 mod 129

m=130: 200 mod 130 = 70 ≠ 15 = 275 mod 130

m=131: 200 mod 131 = 69 ≠ 13 = 275 mod 131

m=132: 200 mod 132 = 68 ≠ 11 = 275 mod 132

m=133: 200 mod 133 = 67 ≠ 9 = 275 mod 133

m=134: 200 mod 134 = 66 ≠ 7 = 275 mod 134

m=135: 200 mod 135 = 65 ≠ 5 = 275 mod 135

m=136: 200 mod 136 = 64 ≠ 3 = 275 mod 136

m=137: 200 mod 137 = 63 ≠ 1 = 275 mod 137

m=138: 200 mod 138 = 62 ≠ 137 = 275 mod 138

m=139: 200 mod 139 = 61 ≠ 136 = 275 mod 139

m=140: 200 mod 140 = 60 ≠ 135 = 275 mod 140

m=141: 200 mod 141 = 59 ≠ 134 = 275 mod 141

m=142: 200 mod 142 = 58 ≠ 133 = 275 mod 142

m=143: 200 mod 143 = 57 ≠ 132 = 275 mod 143

m=144: 200 mod 144 = 56 ≠ 131 = 275 mod 144

m=145: 200 mod 145 = 55 ≠ 130 = 275 mod 145

m=146: 200 mod 146 = 54 ≠ 129 = 275 mod 146

m=147: 200 mod 147 = 53 ≠ 128 = 275 mod 147

m=148: 200 mod 148 = 52 ≠ 127 = 275 mod 148

m=149: 200 mod 149 = 51 ≠ 126 = 275 mod 149

m=150: 200 mod 150 = 50 ≠ 125 = 275 mod 150

m=151: 200 mod 151 = 49 ≠ 124 = 275 mod 151

m=152: 200 mod 152 = 48 ≠ 123 = 275 mod 152

m=153: 200 mod 153 = 47 ≠ 122 = 275 mod 153

m=154: 200 mod 154 = 46 ≠ 121 = 275 mod 154

m=155: 200 mod 155 = 45 ≠ 120 = 275 mod 155

m=156: 200 mod 156 = 44 ≠ 119 = 275 mod 156

m=157: 200 mod 157 = 43 ≠ 118 = 275 mod 157

m=158: 200 mod 158 = 42 ≠ 117 = 275 mod 158

m=159: 200 mod 159 = 41 ≠ 116 = 275 mod 159

m=160: 200 mod 160 = 40 ≠ 115 = 275 mod 160

m=161: 200 mod 161 = 39 ≠ 114 = 275 mod 161

m=162: 200 mod 162 = 38 ≠ 113 = 275 mod 162

m=163: 200 mod 163 = 37 ≠ 112 = 275 mod 163

m=164: 200 mod 164 = 36 ≠ 111 = 275 mod 164

m=165: 200 mod 165 = 35 ≠ 110 = 275 mod 165

m=166: 200 mod 166 = 34 ≠ 109 = 275 mod 166

m=167: 200 mod 167 = 33 ≠ 108 = 275 mod 167

m=168: 200 mod 168 = 32 ≠ 107 = 275 mod 168

m=169: 200 mod 169 = 31 ≠ 106 = 275 mod 169

m=170: 200 mod 170 = 30 ≠ 105 = 275 mod 170

m=171: 200 mod 171 = 29 ≠ 104 = 275 mod 171

m=172: 200 mod 172 = 28 ≠ 103 = 275 mod 172

m=173: 200 mod 173 = 27 ≠ 102 = 275 mod 173

m=174: 200 mod 174 = 26 ≠ 101 = 275 mod 174

m=175: 200 mod 175 = 25 ≠ 100 = 275 mod 175

m=176: 200 mod 176 = 24 ≠ 99 = 275 mod 176

m=177: 200 mod 177 = 23 ≠ 98 = 275 mod 177

m=178: 200 mod 178 = 22 ≠ 97 = 275 mod 178

m=179: 200 mod 179 = 21 ≠ 96 = 275 mod 179

m=180: 200 mod 180 = 20 ≠ 95 = 275 mod 180

m=181: 200 mod 181 = 19 ≠ 94 = 275 mod 181

m=182: 200 mod 182 = 18 ≠ 93 = 275 mod 182

m=183: 200 mod 183 = 17 ≠ 92 = 275 mod 183

m=184: 200 mod 184 = 16 ≠ 91 = 275 mod 184

m=185: 200 mod 185 = 15 ≠ 90 = 275 mod 185

m=186: 200 mod 186 = 14 ≠ 89 = 275 mod 186

m=187: 200 mod 187 = 13 ≠ 88 = 275 mod 187

m=188: 200 mod 188 = 12 ≠ 87 = 275 mod 188

m=189: 200 mod 189 = 11 ≠ 86 = 275 mod 189

m=190: 200 mod 190 = 10 ≠ 85 = 275 mod 190

m=191: 200 mod 191 = 9 ≠ 84 = 275 mod 191

m=192: 200 mod 192 = 8 ≠ 83 = 275 mod 192

m=193: 200 mod 193 = 7 ≠ 82 = 275 mod 193

m=194: 200 mod 194 = 6 ≠ 81 = 275 mod 194

m=195: 200 mod 195 = 5 ≠ 80 = 275 mod 195

m=196: 200 mod 196 = 4 ≠ 79 = 275 mod 196

m=197: 200 mod 197 = 3 ≠ 78 = 275 mod 197

m=198: 200 mod 198 = 2 ≠ 77 = 275 mod 198

m=199: 200 mod 199 = 1 ≠ 76 = 275 mod 199

m=200: 200 mod 200 = 0 ≠ 75 = 275 mod 200

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (275 - 200) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75