Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 75 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 75 - 66 = 9.
Somit gilt: 75 mod 11 ≡ 9.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 72 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.
Somit gilt: 72 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9
Somit gilt: 54 ≡ 72 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 + 300) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 + 300) mod 3 ≡ (1197 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.
1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
Somit gilt:
(1197 + 300) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 78) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 78) mod 5 ≡ (41 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 78) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 40 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:
m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2
m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3
m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4
m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5
m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6
m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7
m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8
m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9
m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10
m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11
m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12
m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13
m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14
m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15
m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16
m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17
m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18
m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19
m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20
m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21
m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22
m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23
m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24
m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25
m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26
m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27
m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
