Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 53 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 53 - 51 = 2.
Somit gilt: 53 mod 3 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 81 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.
Somit gilt: 81 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 81 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (804 + 2002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(804 + 2002) mod 4 ≡ (804 mod 4 + 2002 mod 4) mod 4.
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
Somit gilt:
(804 + 2002) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 82) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 82) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 82 mod 7) mod 7.
39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 82) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
153 mod m = 198 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 153 aus, ob zufällig 153 mod m = 198 mod m gilt:
m=2: 153 mod 2 = 1 ≠ 0 = 198 mod 2
m=3: 153 mod 3 = 0 = 0 = 198 mod 3
m=4: 153 mod 4 = 1 ≠ 2 = 198 mod 4
m=5: 153 mod 5 = 3 = 3 = 198 mod 5
m=6: 153 mod 6 = 3 ≠ 0 = 198 mod 6
m=7: 153 mod 7 = 6 ≠ 2 = 198 mod 7
m=8: 153 mod 8 = 1 ≠ 6 = 198 mod 8
m=9: 153 mod 9 = 0 = 0 = 198 mod 9
m=10: 153 mod 10 = 3 ≠ 8 = 198 mod 10
m=11: 153 mod 11 = 10 ≠ 0 = 198 mod 11
m=12: 153 mod 12 = 9 ≠ 6 = 198 mod 12
m=13: 153 mod 13 = 10 ≠ 3 = 198 mod 13
m=14: 153 mod 14 = 13 ≠ 2 = 198 mod 14
m=15: 153 mod 15 = 3 = 3 = 198 mod 15
m=16: 153 mod 16 = 9 ≠ 6 = 198 mod 16
m=17: 153 mod 17 = 0 ≠ 11 = 198 mod 17
m=18: 153 mod 18 = 9 ≠ 0 = 198 mod 18
m=19: 153 mod 19 = 1 ≠ 8 = 198 mod 19
m=20: 153 mod 20 = 13 ≠ 18 = 198 mod 20
m=21: 153 mod 21 = 6 ≠ 9 = 198 mod 21
m=22: 153 mod 22 = 21 ≠ 0 = 198 mod 22
m=23: 153 mod 23 = 15 ≠ 14 = 198 mod 23
m=24: 153 mod 24 = 9 ≠ 6 = 198 mod 24
m=25: 153 mod 25 = 3 ≠ 23 = 198 mod 25
m=26: 153 mod 26 = 23 ≠ 16 = 198 mod 26
m=27: 153 mod 27 = 18 ≠ 9 = 198 mod 27
m=28: 153 mod 28 = 13 ≠ 2 = 198 mod 28
m=29: 153 mod 29 = 8 ≠ 24 = 198 mod 29
m=30: 153 mod 30 = 3 ≠ 18 = 198 mod 30
m=31: 153 mod 31 = 29 ≠ 12 = 198 mod 31
m=32: 153 mod 32 = 25 ≠ 6 = 198 mod 32
m=33: 153 mod 33 = 21 ≠ 0 = 198 mod 33
m=34: 153 mod 34 = 17 ≠ 28 = 198 mod 34
m=35: 153 mod 35 = 13 ≠ 23 = 198 mod 35
m=36: 153 mod 36 = 9 ≠ 18 = 198 mod 36
m=37: 153 mod 37 = 5 ≠ 13 = 198 mod 37
m=38: 153 mod 38 = 1 ≠ 8 = 198 mod 38
m=39: 153 mod 39 = 36 ≠ 3 = 198 mod 39
m=40: 153 mod 40 = 33 ≠ 38 = 198 mod 40
m=41: 153 mod 41 = 30 ≠ 34 = 198 mod 41
m=42: 153 mod 42 = 27 ≠ 30 = 198 mod 42
m=43: 153 mod 43 = 24 ≠ 26 = 198 mod 43
m=44: 153 mod 44 = 21 ≠ 22 = 198 mod 44
m=45: 153 mod 45 = 18 = 18 = 198 mod 45
m=46: 153 mod 46 = 15 ≠ 14 = 198 mod 46
m=47: 153 mod 47 = 12 ≠ 10 = 198 mod 47
m=48: 153 mod 48 = 9 ≠ 6 = 198 mod 48
m=49: 153 mod 49 = 6 ≠ 2 = 198 mod 49
m=50: 153 mod 50 = 3 ≠ 48 = 198 mod 50
m=51: 153 mod 51 = 0 ≠ 45 = 198 mod 51
m=52: 153 mod 52 = 49 ≠ 42 = 198 mod 52
m=53: 153 mod 53 = 47 ≠ 39 = 198 mod 53
m=54: 153 mod 54 = 45 ≠ 36 = 198 mod 54
m=55: 153 mod 55 = 43 ≠ 33 = 198 mod 55
m=56: 153 mod 56 = 41 ≠ 30 = 198 mod 56
m=57: 153 mod 57 = 39 ≠ 27 = 198 mod 57
m=58: 153 mod 58 = 37 ≠ 24 = 198 mod 58
m=59: 153 mod 59 = 35 ≠ 21 = 198 mod 59
m=60: 153 mod 60 = 33 ≠ 18 = 198 mod 60
m=61: 153 mod 61 = 31 ≠ 15 = 198 mod 61
m=62: 153 mod 62 = 29 ≠ 12 = 198 mod 62
m=63: 153 mod 63 = 27 ≠ 9 = 198 mod 63
m=64: 153 mod 64 = 25 ≠ 6 = 198 mod 64
m=65: 153 mod 65 = 23 ≠ 3 = 198 mod 65
m=66: 153 mod 66 = 21 ≠ 0 = 198 mod 66
m=67: 153 mod 67 = 19 ≠ 64 = 198 mod 67
m=68: 153 mod 68 = 17 ≠ 62 = 198 mod 68
m=69: 153 mod 69 = 15 ≠ 60 = 198 mod 69
m=70: 153 mod 70 = 13 ≠ 58 = 198 mod 70
m=71: 153 mod 71 = 11 ≠ 56 = 198 mod 71
m=72: 153 mod 72 = 9 ≠ 54 = 198 mod 72
m=73: 153 mod 73 = 7 ≠ 52 = 198 mod 73
m=74: 153 mod 74 = 5 ≠ 50 = 198 mod 74
m=75: 153 mod 75 = 3 ≠ 48 = 198 mod 75
m=76: 153 mod 76 = 1 ≠ 46 = 198 mod 76
m=77: 153 mod 77 = 76 ≠ 44 = 198 mod 77
m=78: 153 mod 78 = 75 ≠ 42 = 198 mod 78
m=79: 153 mod 79 = 74 ≠ 40 = 198 mod 79
m=80: 153 mod 80 = 73 ≠ 38 = 198 mod 80
m=81: 153 mod 81 = 72 ≠ 36 = 198 mod 81
m=82: 153 mod 82 = 71 ≠ 34 = 198 mod 82
m=83: 153 mod 83 = 70 ≠ 32 = 198 mod 83
m=84: 153 mod 84 = 69 ≠ 30 = 198 mod 84
m=85: 153 mod 85 = 68 ≠ 28 = 198 mod 85
m=86: 153 mod 86 = 67 ≠ 26 = 198 mod 86
m=87: 153 mod 87 = 66 ≠ 24 = 198 mod 87
m=88: 153 mod 88 = 65 ≠ 22 = 198 mod 88
m=89: 153 mod 89 = 64 ≠ 20 = 198 mod 89
m=90: 153 mod 90 = 63 ≠ 18 = 198 mod 90
m=91: 153 mod 91 = 62 ≠ 16 = 198 mod 91
m=92: 153 mod 92 = 61 ≠ 14 = 198 mod 92
m=93: 153 mod 93 = 60 ≠ 12 = 198 mod 93
m=94: 153 mod 94 = 59 ≠ 10 = 198 mod 94
m=95: 153 mod 95 = 58 ≠ 8 = 198 mod 95
m=96: 153 mod 96 = 57 ≠ 6 = 198 mod 96
m=97: 153 mod 97 = 56 ≠ 4 = 198 mod 97
m=98: 153 mod 98 = 55 ≠ 2 = 198 mod 98
m=99: 153 mod 99 = 54 ≠ 0 = 198 mod 99
m=100: 153 mod 100 = 53 ≠ 98 = 198 mod 100
m=101: 153 mod 101 = 52 ≠ 97 = 198 mod 101
m=102: 153 mod 102 = 51 ≠ 96 = 198 mod 102
m=103: 153 mod 103 = 50 ≠ 95 = 198 mod 103
m=104: 153 mod 104 = 49 ≠ 94 = 198 mod 104
m=105: 153 mod 105 = 48 ≠ 93 = 198 mod 105
m=106: 153 mod 106 = 47 ≠ 92 = 198 mod 106
m=107: 153 mod 107 = 46 ≠ 91 = 198 mod 107
m=108: 153 mod 108 = 45 ≠ 90 = 198 mod 108
m=109: 153 mod 109 = 44 ≠ 89 = 198 mod 109
m=110: 153 mod 110 = 43 ≠ 88 = 198 mod 110
m=111: 153 mod 111 = 42 ≠ 87 = 198 mod 111
m=112: 153 mod 112 = 41 ≠ 86 = 198 mod 112
m=113: 153 mod 113 = 40 ≠ 85 = 198 mod 113
m=114: 153 mod 114 = 39 ≠ 84 = 198 mod 114
m=115: 153 mod 115 = 38 ≠ 83 = 198 mod 115
m=116: 153 mod 116 = 37 ≠ 82 = 198 mod 116
m=117: 153 mod 117 = 36 ≠ 81 = 198 mod 117
m=118: 153 mod 118 = 35 ≠ 80 = 198 mod 118
m=119: 153 mod 119 = 34 ≠ 79 = 198 mod 119
m=120: 153 mod 120 = 33 ≠ 78 = 198 mod 120
m=121: 153 mod 121 = 32 ≠ 77 = 198 mod 121
m=122: 153 mod 122 = 31 ≠ 76 = 198 mod 122
m=123: 153 mod 123 = 30 ≠ 75 = 198 mod 123
m=124: 153 mod 124 = 29 ≠ 74 = 198 mod 124
m=125: 153 mod 125 = 28 ≠ 73 = 198 mod 125
m=126: 153 mod 126 = 27 ≠ 72 = 198 mod 126
m=127: 153 mod 127 = 26 ≠ 71 = 198 mod 127
m=128: 153 mod 128 = 25 ≠ 70 = 198 mod 128
m=129: 153 mod 129 = 24 ≠ 69 = 198 mod 129
m=130: 153 mod 130 = 23 ≠ 68 = 198 mod 130
m=131: 153 mod 131 = 22 ≠ 67 = 198 mod 131
m=132: 153 mod 132 = 21 ≠ 66 = 198 mod 132
m=133: 153 mod 133 = 20 ≠ 65 = 198 mod 133
m=134: 153 mod 134 = 19 ≠ 64 = 198 mod 134
m=135: 153 mod 135 = 18 ≠ 63 = 198 mod 135
m=136: 153 mod 136 = 17 ≠ 62 = 198 mod 136
m=137: 153 mod 137 = 16 ≠ 61 = 198 mod 137
m=138: 153 mod 138 = 15 ≠ 60 = 198 mod 138
m=139: 153 mod 139 = 14 ≠ 59 = 198 mod 139
m=140: 153 mod 140 = 13 ≠ 58 = 198 mod 140
m=141: 153 mod 141 = 12 ≠ 57 = 198 mod 141
m=142: 153 mod 142 = 11 ≠ 56 = 198 mod 142
m=143: 153 mod 143 = 10 ≠ 55 = 198 mod 143
m=144: 153 mod 144 = 9 ≠ 54 = 198 mod 144
m=145: 153 mod 145 = 8 ≠ 53 = 198 mod 145
m=146: 153 mod 146 = 7 ≠ 52 = 198 mod 146
m=147: 153 mod 147 = 6 ≠ 51 = 198 mod 147
m=148: 153 mod 148 = 5 ≠ 50 = 198 mod 148
m=149: 153 mod 149 = 4 ≠ 49 = 198 mod 149
m=150: 153 mod 150 = 3 ≠ 48 = 198 mod 150
m=151: 153 mod 151 = 2 ≠ 47 = 198 mod 151
m=152: 153 mod 152 = 1 ≠ 46 = 198 mod 152
m=153: 153 mod 153 = 0 ≠ 45 = 198 mod 153
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (198 - 153) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
