Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 27, weil ja 9 ⋅ 3 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 27 = 0.

Somit gilt: 27 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7

Somit gilt: 70 ≡ 42 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(155 - 2004) mod 5 ≡ (155 mod 5 - 2004 mod 5) mod 5.

155 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155 = 150+5 = 5 ⋅ 30 +5.

2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 5 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(155 - 2004) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 23) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 23) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12