Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 61 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 61 - 54 = 7.
Somit gilt: 61 mod 9 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 32 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.
Somit gilt: 32 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.
Somit gilt: 92 ≡ 32 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7996 + 121) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7996 + 121) mod 4 ≡ (7996 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.
7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
Somit gilt:
(7996 + 121) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 25) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 25) mod 6 ≡ (17 mod 6 ⋅ 25 mod 6) mod 6.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 25) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
149 mod m = 194 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 149 aus, ob zufällig 149 mod m = 194 mod m gilt:
m=2: 149 mod 2 = 1 ≠ 0 = 194 mod 2
m=3: 149 mod 3 = 2 = 2 = 194 mod 3
m=4: 149 mod 4 = 1 ≠ 2 = 194 mod 4
m=5: 149 mod 5 = 4 = 4 = 194 mod 5
m=6: 149 mod 6 = 5 ≠ 2 = 194 mod 6
m=7: 149 mod 7 = 2 ≠ 5 = 194 mod 7
m=8: 149 mod 8 = 5 ≠ 2 = 194 mod 8
m=9: 149 mod 9 = 5 = 5 = 194 mod 9
m=10: 149 mod 10 = 9 ≠ 4 = 194 mod 10
m=11: 149 mod 11 = 6 ≠ 7 = 194 mod 11
m=12: 149 mod 12 = 5 ≠ 2 = 194 mod 12
m=13: 149 mod 13 = 6 ≠ 12 = 194 mod 13
m=14: 149 mod 14 = 9 ≠ 12 = 194 mod 14
m=15: 149 mod 15 = 14 = 14 = 194 mod 15
m=16: 149 mod 16 = 5 ≠ 2 = 194 mod 16
m=17: 149 mod 17 = 13 ≠ 7 = 194 mod 17
m=18: 149 mod 18 = 5 ≠ 14 = 194 mod 18
m=19: 149 mod 19 = 16 ≠ 4 = 194 mod 19
m=20: 149 mod 20 = 9 ≠ 14 = 194 mod 20
m=21: 149 mod 21 = 2 ≠ 5 = 194 mod 21
m=22: 149 mod 22 = 17 ≠ 18 = 194 mod 22
m=23: 149 mod 23 = 11 ≠ 10 = 194 mod 23
m=24: 149 mod 24 = 5 ≠ 2 = 194 mod 24
m=25: 149 mod 25 = 24 ≠ 19 = 194 mod 25
m=26: 149 mod 26 = 19 ≠ 12 = 194 mod 26
m=27: 149 mod 27 = 14 ≠ 5 = 194 mod 27
m=28: 149 mod 28 = 9 ≠ 26 = 194 mod 28
m=29: 149 mod 29 = 4 ≠ 20 = 194 mod 29
m=30: 149 mod 30 = 29 ≠ 14 = 194 mod 30
m=31: 149 mod 31 = 25 ≠ 8 = 194 mod 31
m=32: 149 mod 32 = 21 ≠ 2 = 194 mod 32
m=33: 149 mod 33 = 17 ≠ 29 = 194 mod 33
m=34: 149 mod 34 = 13 ≠ 24 = 194 mod 34
m=35: 149 mod 35 = 9 ≠ 19 = 194 mod 35
m=36: 149 mod 36 = 5 ≠ 14 = 194 mod 36
m=37: 149 mod 37 = 1 ≠ 9 = 194 mod 37
m=38: 149 mod 38 = 35 ≠ 4 = 194 mod 38
m=39: 149 mod 39 = 32 ≠ 38 = 194 mod 39
m=40: 149 mod 40 = 29 ≠ 34 = 194 mod 40
m=41: 149 mod 41 = 26 ≠ 30 = 194 mod 41
m=42: 149 mod 42 = 23 ≠ 26 = 194 mod 42
m=43: 149 mod 43 = 20 ≠ 22 = 194 mod 43
m=44: 149 mod 44 = 17 ≠ 18 = 194 mod 44
m=45: 149 mod 45 = 14 = 14 = 194 mod 45
m=46: 149 mod 46 = 11 ≠ 10 = 194 mod 46
m=47: 149 mod 47 = 8 ≠ 6 = 194 mod 47
m=48: 149 mod 48 = 5 ≠ 2 = 194 mod 48
m=49: 149 mod 49 = 2 ≠ 47 = 194 mod 49
m=50: 149 mod 50 = 49 ≠ 44 = 194 mod 50
m=51: 149 mod 51 = 47 ≠ 41 = 194 mod 51
m=52: 149 mod 52 = 45 ≠ 38 = 194 mod 52
m=53: 149 mod 53 = 43 ≠ 35 = 194 mod 53
m=54: 149 mod 54 = 41 ≠ 32 = 194 mod 54
m=55: 149 mod 55 = 39 ≠ 29 = 194 mod 55
m=56: 149 mod 56 = 37 ≠ 26 = 194 mod 56
m=57: 149 mod 57 = 35 ≠ 23 = 194 mod 57
m=58: 149 mod 58 = 33 ≠ 20 = 194 mod 58
m=59: 149 mod 59 = 31 ≠ 17 = 194 mod 59
m=60: 149 mod 60 = 29 ≠ 14 = 194 mod 60
m=61: 149 mod 61 = 27 ≠ 11 = 194 mod 61
m=62: 149 mod 62 = 25 ≠ 8 = 194 mod 62
m=63: 149 mod 63 = 23 ≠ 5 = 194 mod 63
m=64: 149 mod 64 = 21 ≠ 2 = 194 mod 64
m=65: 149 mod 65 = 19 ≠ 64 = 194 mod 65
m=66: 149 mod 66 = 17 ≠ 62 = 194 mod 66
m=67: 149 mod 67 = 15 ≠ 60 = 194 mod 67
m=68: 149 mod 68 = 13 ≠ 58 = 194 mod 68
m=69: 149 mod 69 = 11 ≠ 56 = 194 mod 69
m=70: 149 mod 70 = 9 ≠ 54 = 194 mod 70
m=71: 149 mod 71 = 7 ≠ 52 = 194 mod 71
m=72: 149 mod 72 = 5 ≠ 50 = 194 mod 72
m=73: 149 mod 73 = 3 ≠ 48 = 194 mod 73
m=74: 149 mod 74 = 1 ≠ 46 = 194 mod 74
m=75: 149 mod 75 = 74 ≠ 44 = 194 mod 75
m=76: 149 mod 76 = 73 ≠ 42 = 194 mod 76
m=77: 149 mod 77 = 72 ≠ 40 = 194 mod 77
m=78: 149 mod 78 = 71 ≠ 38 = 194 mod 78
m=79: 149 mod 79 = 70 ≠ 36 = 194 mod 79
m=80: 149 mod 80 = 69 ≠ 34 = 194 mod 80
m=81: 149 mod 81 = 68 ≠ 32 = 194 mod 81
m=82: 149 mod 82 = 67 ≠ 30 = 194 mod 82
m=83: 149 mod 83 = 66 ≠ 28 = 194 mod 83
m=84: 149 mod 84 = 65 ≠ 26 = 194 mod 84
m=85: 149 mod 85 = 64 ≠ 24 = 194 mod 85
m=86: 149 mod 86 = 63 ≠ 22 = 194 mod 86
m=87: 149 mod 87 = 62 ≠ 20 = 194 mod 87
m=88: 149 mod 88 = 61 ≠ 18 = 194 mod 88
m=89: 149 mod 89 = 60 ≠ 16 = 194 mod 89
m=90: 149 mod 90 = 59 ≠ 14 = 194 mod 90
m=91: 149 mod 91 = 58 ≠ 12 = 194 mod 91
m=92: 149 mod 92 = 57 ≠ 10 = 194 mod 92
m=93: 149 mod 93 = 56 ≠ 8 = 194 mod 93
m=94: 149 mod 94 = 55 ≠ 6 = 194 mod 94
m=95: 149 mod 95 = 54 ≠ 4 = 194 mod 95
m=96: 149 mod 96 = 53 ≠ 2 = 194 mod 96
m=97: 149 mod 97 = 52 ≠ 0 = 194 mod 97
m=98: 149 mod 98 = 51 ≠ 96 = 194 mod 98
m=99: 149 mod 99 = 50 ≠ 95 = 194 mod 99
m=100: 149 mod 100 = 49 ≠ 94 = 194 mod 100
m=101: 149 mod 101 = 48 ≠ 93 = 194 mod 101
m=102: 149 mod 102 = 47 ≠ 92 = 194 mod 102
m=103: 149 mod 103 = 46 ≠ 91 = 194 mod 103
m=104: 149 mod 104 = 45 ≠ 90 = 194 mod 104
m=105: 149 mod 105 = 44 ≠ 89 = 194 mod 105
m=106: 149 mod 106 = 43 ≠ 88 = 194 mod 106
m=107: 149 mod 107 = 42 ≠ 87 = 194 mod 107
m=108: 149 mod 108 = 41 ≠ 86 = 194 mod 108
m=109: 149 mod 109 = 40 ≠ 85 = 194 mod 109
m=110: 149 mod 110 = 39 ≠ 84 = 194 mod 110
m=111: 149 mod 111 = 38 ≠ 83 = 194 mod 111
m=112: 149 mod 112 = 37 ≠ 82 = 194 mod 112
m=113: 149 mod 113 = 36 ≠ 81 = 194 mod 113
m=114: 149 mod 114 = 35 ≠ 80 = 194 mod 114
m=115: 149 mod 115 = 34 ≠ 79 = 194 mod 115
m=116: 149 mod 116 = 33 ≠ 78 = 194 mod 116
m=117: 149 mod 117 = 32 ≠ 77 = 194 mod 117
m=118: 149 mod 118 = 31 ≠ 76 = 194 mod 118
m=119: 149 mod 119 = 30 ≠ 75 = 194 mod 119
m=120: 149 mod 120 = 29 ≠ 74 = 194 mod 120
m=121: 149 mod 121 = 28 ≠ 73 = 194 mod 121
m=122: 149 mod 122 = 27 ≠ 72 = 194 mod 122
m=123: 149 mod 123 = 26 ≠ 71 = 194 mod 123
m=124: 149 mod 124 = 25 ≠ 70 = 194 mod 124
m=125: 149 mod 125 = 24 ≠ 69 = 194 mod 125
m=126: 149 mod 126 = 23 ≠ 68 = 194 mod 126
m=127: 149 mod 127 = 22 ≠ 67 = 194 mod 127
m=128: 149 mod 128 = 21 ≠ 66 = 194 mod 128
m=129: 149 mod 129 = 20 ≠ 65 = 194 mod 129
m=130: 149 mod 130 = 19 ≠ 64 = 194 mod 130
m=131: 149 mod 131 = 18 ≠ 63 = 194 mod 131
m=132: 149 mod 132 = 17 ≠ 62 = 194 mod 132
m=133: 149 mod 133 = 16 ≠ 61 = 194 mod 133
m=134: 149 mod 134 = 15 ≠ 60 = 194 mod 134
m=135: 149 mod 135 = 14 ≠ 59 = 194 mod 135
m=136: 149 mod 136 = 13 ≠ 58 = 194 mod 136
m=137: 149 mod 137 = 12 ≠ 57 = 194 mod 137
m=138: 149 mod 138 = 11 ≠ 56 = 194 mod 138
m=139: 149 mod 139 = 10 ≠ 55 = 194 mod 139
m=140: 149 mod 140 = 9 ≠ 54 = 194 mod 140
m=141: 149 mod 141 = 8 ≠ 53 = 194 mod 141
m=142: 149 mod 142 = 7 ≠ 52 = 194 mod 142
m=143: 149 mod 143 = 6 ≠ 51 = 194 mod 143
m=144: 149 mod 144 = 5 ≠ 50 = 194 mod 144
m=145: 149 mod 145 = 4 ≠ 49 = 194 mod 145
m=146: 149 mod 146 = 3 ≠ 48 = 194 mod 146
m=147: 149 mod 147 = 2 ≠ 47 = 194 mod 147
m=148: 149 mod 148 = 1 ≠ 46 = 194 mod 148
m=149: 149 mod 149 = 0 ≠ 45 = 194 mod 149
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (194 - 149) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
