Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.
Somit gilt: 32 mod 10 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 47 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 47 - 45 = 2.
Somit gilt: 47 mod 5 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 70 und erhalten so 72.
Somit gilt: 72 ≡ 47 ≡ 2 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 900) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 900) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(12000 + 900) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 33) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 33) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2
m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3
m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4
m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5
m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6
m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9
m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10
m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12
m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12