Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 96, weil ja 24 ⋅ 4 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.

Somit gilt: 99 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 68 = 17 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 68 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 99 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(907 - 4495) mod 9 ≡ (907 mod 9 - 4495 mod 9) mod 9.

907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907 = 900+7 = 9 ⋅ 100 +7.

4495 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4495 = 4500-5 = 9 ⋅ 500 -5 = 9 ⋅ 500 - 9 + 4.

Somit gilt:

(907 - 4495) mod 9 ≡ (7 - 4) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 99) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 99) mod 10 ≡ (9 ⋅ 9) mod 10 ≡ 81 mod 10 ≡ 1 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 44 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 44 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 0 = 44 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 ≠ 4 = 44 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 44 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 = 8 = 44 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 4 = 44 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 8 = 44 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 12 = 44 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 11 = 44 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 10 = 44 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 9 = 44 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 35) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9