Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 29 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 29 - 28 = 1.
Somit gilt: 29 mod 7 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 87 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 87, weil ja 29 ⋅ 3 = 87 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 87 - 87 = 0.
Somit gilt: 87 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 24 ⋅ 3
Somit gilt: 72 ≡ 87 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (801 - 394) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(801 - 394) mod 8 ≡ (801 mod 8 - 394 mod 8) mod 8.
801 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801
= 800
394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394
= 400
Somit gilt:
(801 - 394) mod 8 ≡ (1 - 2) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 50) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 50) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 50 mod 11) mod 11.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 50) mod 11 ≡ (8 ⋅ 6) mod 11 ≡ 48 mod 11 ≡ 4 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6