Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 55 = 5.
Somit gilt: 60 mod 11 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 36 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.
Somit gilt: 36 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 36 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1503 - 302) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1503 - 302) mod 3 ≡ (1503 mod 3 - 302 mod 3) mod 3.
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
Somit gilt:
(1503 - 302) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 21) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 21) mod 11 ≡ (29 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.
29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 21) mod 11 ≡ (7 ⋅ 10) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
148 mod m = 193 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 148 aus, ob zufällig 148 mod m = 193 mod m gilt:
m=2: 148 mod 2 = 0 ≠ 1 = 193 mod 2
m=3: 148 mod 3 = 1 = 1 = 193 mod 3
m=4: 148 mod 4 = 0 ≠ 1 = 193 mod 4
m=5: 148 mod 5 = 3 = 3 = 193 mod 5
m=6: 148 mod 6 = 4 ≠ 1 = 193 mod 6
m=7: 148 mod 7 = 1 ≠ 4 = 193 mod 7
m=8: 148 mod 8 = 4 ≠ 1 = 193 mod 8
m=9: 148 mod 9 = 4 = 4 = 193 mod 9
m=10: 148 mod 10 = 8 ≠ 3 = 193 mod 10
m=11: 148 mod 11 = 5 ≠ 6 = 193 mod 11
m=12: 148 mod 12 = 4 ≠ 1 = 193 mod 12
m=13: 148 mod 13 = 5 ≠ 11 = 193 mod 13
m=14: 148 mod 14 = 8 ≠ 11 = 193 mod 14
m=15: 148 mod 15 = 13 = 13 = 193 mod 15
m=16: 148 mod 16 = 4 ≠ 1 = 193 mod 16
m=17: 148 mod 17 = 12 ≠ 6 = 193 mod 17
m=18: 148 mod 18 = 4 ≠ 13 = 193 mod 18
m=19: 148 mod 19 = 15 ≠ 3 = 193 mod 19
m=20: 148 mod 20 = 8 ≠ 13 = 193 mod 20
m=21: 148 mod 21 = 1 ≠ 4 = 193 mod 21
m=22: 148 mod 22 = 16 ≠ 17 = 193 mod 22
m=23: 148 mod 23 = 10 ≠ 9 = 193 mod 23
m=24: 148 mod 24 = 4 ≠ 1 = 193 mod 24
m=25: 148 mod 25 = 23 ≠ 18 = 193 mod 25
m=26: 148 mod 26 = 18 ≠ 11 = 193 mod 26
m=27: 148 mod 27 = 13 ≠ 4 = 193 mod 27
m=28: 148 mod 28 = 8 ≠ 25 = 193 mod 28
m=29: 148 mod 29 = 3 ≠ 19 = 193 mod 29
m=30: 148 mod 30 = 28 ≠ 13 = 193 mod 30
m=31: 148 mod 31 = 24 ≠ 7 = 193 mod 31
m=32: 148 mod 32 = 20 ≠ 1 = 193 mod 32
m=33: 148 mod 33 = 16 ≠ 28 = 193 mod 33
m=34: 148 mod 34 = 12 ≠ 23 = 193 mod 34
m=35: 148 mod 35 = 8 ≠ 18 = 193 mod 35
m=36: 148 mod 36 = 4 ≠ 13 = 193 mod 36
m=37: 148 mod 37 = 0 ≠ 8 = 193 mod 37
m=38: 148 mod 38 = 34 ≠ 3 = 193 mod 38
m=39: 148 mod 39 = 31 ≠ 37 = 193 mod 39
m=40: 148 mod 40 = 28 ≠ 33 = 193 mod 40
m=41: 148 mod 41 = 25 ≠ 29 = 193 mod 41
m=42: 148 mod 42 = 22 ≠ 25 = 193 mod 42
m=43: 148 mod 43 = 19 ≠ 21 = 193 mod 43
m=44: 148 mod 44 = 16 ≠ 17 = 193 mod 44
m=45: 148 mod 45 = 13 = 13 = 193 mod 45
m=46: 148 mod 46 = 10 ≠ 9 = 193 mod 46
m=47: 148 mod 47 = 7 ≠ 5 = 193 mod 47
m=48: 148 mod 48 = 4 ≠ 1 = 193 mod 48
m=49: 148 mod 49 = 1 ≠ 46 = 193 mod 49
m=50: 148 mod 50 = 48 ≠ 43 = 193 mod 50
m=51: 148 mod 51 = 46 ≠ 40 = 193 mod 51
m=52: 148 mod 52 = 44 ≠ 37 = 193 mod 52
m=53: 148 mod 53 = 42 ≠ 34 = 193 mod 53
m=54: 148 mod 54 = 40 ≠ 31 = 193 mod 54
m=55: 148 mod 55 = 38 ≠ 28 = 193 mod 55
m=56: 148 mod 56 = 36 ≠ 25 = 193 mod 56
m=57: 148 mod 57 = 34 ≠ 22 = 193 mod 57
m=58: 148 mod 58 = 32 ≠ 19 = 193 mod 58
m=59: 148 mod 59 = 30 ≠ 16 = 193 mod 59
m=60: 148 mod 60 = 28 ≠ 13 = 193 mod 60
m=61: 148 mod 61 = 26 ≠ 10 = 193 mod 61
m=62: 148 mod 62 = 24 ≠ 7 = 193 mod 62
m=63: 148 mod 63 = 22 ≠ 4 = 193 mod 63
m=64: 148 mod 64 = 20 ≠ 1 = 193 mod 64
m=65: 148 mod 65 = 18 ≠ 63 = 193 mod 65
m=66: 148 mod 66 = 16 ≠ 61 = 193 mod 66
m=67: 148 mod 67 = 14 ≠ 59 = 193 mod 67
m=68: 148 mod 68 = 12 ≠ 57 = 193 mod 68
m=69: 148 mod 69 = 10 ≠ 55 = 193 mod 69
m=70: 148 mod 70 = 8 ≠ 53 = 193 mod 70
m=71: 148 mod 71 = 6 ≠ 51 = 193 mod 71
m=72: 148 mod 72 = 4 ≠ 49 = 193 mod 72
m=73: 148 mod 73 = 2 ≠ 47 = 193 mod 73
m=74: 148 mod 74 = 0 ≠ 45 = 193 mod 74
m=75: 148 mod 75 = 73 ≠ 43 = 193 mod 75
m=76: 148 mod 76 = 72 ≠ 41 = 193 mod 76
m=77: 148 mod 77 = 71 ≠ 39 = 193 mod 77
m=78: 148 mod 78 = 70 ≠ 37 = 193 mod 78
m=79: 148 mod 79 = 69 ≠ 35 = 193 mod 79
m=80: 148 mod 80 = 68 ≠ 33 = 193 mod 80
m=81: 148 mod 81 = 67 ≠ 31 = 193 mod 81
m=82: 148 mod 82 = 66 ≠ 29 = 193 mod 82
m=83: 148 mod 83 = 65 ≠ 27 = 193 mod 83
m=84: 148 mod 84 = 64 ≠ 25 = 193 mod 84
m=85: 148 mod 85 = 63 ≠ 23 = 193 mod 85
m=86: 148 mod 86 = 62 ≠ 21 = 193 mod 86
m=87: 148 mod 87 = 61 ≠ 19 = 193 mod 87
m=88: 148 mod 88 = 60 ≠ 17 = 193 mod 88
m=89: 148 mod 89 = 59 ≠ 15 = 193 mod 89
m=90: 148 mod 90 = 58 ≠ 13 = 193 mod 90
m=91: 148 mod 91 = 57 ≠ 11 = 193 mod 91
m=92: 148 mod 92 = 56 ≠ 9 = 193 mod 92
m=93: 148 mod 93 = 55 ≠ 7 = 193 mod 93
m=94: 148 mod 94 = 54 ≠ 5 = 193 mod 94
m=95: 148 mod 95 = 53 ≠ 3 = 193 mod 95
m=96: 148 mod 96 = 52 ≠ 1 = 193 mod 96
m=97: 148 mod 97 = 51 ≠ 96 = 193 mod 97
m=98: 148 mod 98 = 50 ≠ 95 = 193 mod 98
m=99: 148 mod 99 = 49 ≠ 94 = 193 mod 99
m=100: 148 mod 100 = 48 ≠ 93 = 193 mod 100
m=101: 148 mod 101 = 47 ≠ 92 = 193 mod 101
m=102: 148 mod 102 = 46 ≠ 91 = 193 mod 102
m=103: 148 mod 103 = 45 ≠ 90 = 193 mod 103
m=104: 148 mod 104 = 44 ≠ 89 = 193 mod 104
m=105: 148 mod 105 = 43 ≠ 88 = 193 mod 105
m=106: 148 mod 106 = 42 ≠ 87 = 193 mod 106
m=107: 148 mod 107 = 41 ≠ 86 = 193 mod 107
m=108: 148 mod 108 = 40 ≠ 85 = 193 mod 108
m=109: 148 mod 109 = 39 ≠ 84 = 193 mod 109
m=110: 148 mod 110 = 38 ≠ 83 = 193 mod 110
m=111: 148 mod 111 = 37 ≠ 82 = 193 mod 111
m=112: 148 mod 112 = 36 ≠ 81 = 193 mod 112
m=113: 148 mod 113 = 35 ≠ 80 = 193 mod 113
m=114: 148 mod 114 = 34 ≠ 79 = 193 mod 114
m=115: 148 mod 115 = 33 ≠ 78 = 193 mod 115
m=116: 148 mod 116 = 32 ≠ 77 = 193 mod 116
m=117: 148 mod 117 = 31 ≠ 76 = 193 mod 117
m=118: 148 mod 118 = 30 ≠ 75 = 193 mod 118
m=119: 148 mod 119 = 29 ≠ 74 = 193 mod 119
m=120: 148 mod 120 = 28 ≠ 73 = 193 mod 120
m=121: 148 mod 121 = 27 ≠ 72 = 193 mod 121
m=122: 148 mod 122 = 26 ≠ 71 = 193 mod 122
m=123: 148 mod 123 = 25 ≠ 70 = 193 mod 123
m=124: 148 mod 124 = 24 ≠ 69 = 193 mod 124
m=125: 148 mod 125 = 23 ≠ 68 = 193 mod 125
m=126: 148 mod 126 = 22 ≠ 67 = 193 mod 126
m=127: 148 mod 127 = 21 ≠ 66 = 193 mod 127
m=128: 148 mod 128 = 20 ≠ 65 = 193 mod 128
m=129: 148 mod 129 = 19 ≠ 64 = 193 mod 129
m=130: 148 mod 130 = 18 ≠ 63 = 193 mod 130
m=131: 148 mod 131 = 17 ≠ 62 = 193 mod 131
m=132: 148 mod 132 = 16 ≠ 61 = 193 mod 132
m=133: 148 mod 133 = 15 ≠ 60 = 193 mod 133
m=134: 148 mod 134 = 14 ≠ 59 = 193 mod 134
m=135: 148 mod 135 = 13 ≠ 58 = 193 mod 135
m=136: 148 mod 136 = 12 ≠ 57 = 193 mod 136
m=137: 148 mod 137 = 11 ≠ 56 = 193 mod 137
m=138: 148 mod 138 = 10 ≠ 55 = 193 mod 138
m=139: 148 mod 139 = 9 ≠ 54 = 193 mod 139
m=140: 148 mod 140 = 8 ≠ 53 = 193 mod 140
m=141: 148 mod 141 = 7 ≠ 52 = 193 mod 141
m=142: 148 mod 142 = 6 ≠ 51 = 193 mod 142
m=143: 148 mod 143 = 5 ≠ 50 = 193 mod 143
m=144: 148 mod 144 = 4 ≠ 49 = 193 mod 144
m=145: 148 mod 145 = 3 ≠ 48 = 193 mod 145
m=146: 148 mod 146 = 2 ≠ 47 = 193 mod 146
m=147: 148 mod 147 = 1 ≠ 46 = 193 mod 147
m=148: 148 mod 148 = 0 ≠ 45 = 193 mod 148
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (193 - 148) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
