Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 57 = 2.

Somit gilt: 59 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.

Somit gilt: 21 ≡ 75 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 - 300) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 300 mod 3) mod 3.

5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 3 ⋅ 2000 -3 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 0.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(5997 - 300) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 98) mod 6 ≡ (42 mod 6 ⋅ 98 mod 6) mod 6.

42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.

98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 98) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 39 aus, ob zufällig 39 mod m = 51 mod m gilt:

m=2: 39 mod 2 = 1 = 1 = 51 mod 2

m=3: 39 mod 3 = 0 = 0 = 51 mod 3

m=4: 39 mod 4 = 3 = 3 = 51 mod 4

m=5: 39 mod 5 = 4 ≠ 1 = 51 mod 5

m=6: 39 mod 6 = 3 = 3 = 51 mod 6

m=7: 39 mod 7 = 4 ≠ 2 = 51 mod 7

m=8: 39 mod 8 = 7 ≠ 3 = 51 mod 8

m=9: 39 mod 9 = 3 ≠ 6 = 51 mod 9

m=10: 39 mod 10 = 9 ≠ 1 = 51 mod 10

m=11: 39 mod 11 = 6 ≠ 7 = 51 mod 11

m=12: 39 mod 12 = 3 = 3 = 51 mod 12

m=13: 39 mod 13 = 0 ≠ 12 = 51 mod 13

m=14: 39 mod 14 = 11 ≠ 9 = 51 mod 14

m=15: 39 mod 15 = 9 ≠ 6 = 51 mod 15

m=16: 39 mod 16 = 7 ≠ 3 = 51 mod 16

m=17: 39 mod 17 = 5 ≠ 0 = 51 mod 17

m=18: 39 mod 18 = 3 ≠ 15 = 51 mod 18

m=19: 39 mod 19 = 1 ≠ 13 = 51 mod 19

m=20: 39 mod 20 = 19 ≠ 11 = 51 mod 20

m=21: 39 mod 21 = 18 ≠ 9 = 51 mod 21

m=22: 39 mod 22 = 17 ≠ 7 = 51 mod 22

m=23: 39 mod 23 = 16 ≠ 5 = 51 mod 23

m=24: 39 mod 24 = 15 ≠ 3 = 51 mod 24

m=25: 39 mod 25 = 14 ≠ 1 = 51 mod 25

m=26: 39 mod 26 = 13 ≠ 25 = 51 mod 26

m=27: 39 mod 27 = 12 ≠ 24 = 51 mod 27

m=28: 39 mod 28 = 11 ≠ 23 = 51 mod 28

m=29: 39 mod 29 = 10 ≠ 22 = 51 mod 29

m=30: 39 mod 30 = 9 ≠ 21 = 51 mod 30

m=31: 39 mod 31 = 8 ≠ 20 = 51 mod 31

m=32: 39 mod 32 = 7 ≠ 19 = 51 mod 32

m=33: 39 mod 33 = 6 ≠ 18 = 51 mod 33

m=34: 39 mod 34 = 5 ≠ 17 = 51 mod 34

m=35: 39 mod 35 = 4 ≠ 16 = 51 mod 35

m=36: 39 mod 36 = 3 ≠ 15 = 51 mod 36

m=37: 39 mod 37 = 2 ≠ 14 = 51 mod 37

m=38: 39 mod 38 = 1 ≠ 13 = 51 mod 38

m=39: 39 mod 39 = 0 ≠ 12 = 51 mod 39

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (51 - 39) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12