Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 48 - 45 = 3.
Somit gilt: 48 mod 5 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 29 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 29 - 28 = 1.
Somit gilt: 29 mod 7 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 14 und erhalten so 15.
Somit gilt: 15 ≡ 29 ≡ 1 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (441 + 3598) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(441 + 3598) mod 9 ≡ (441 mod 9 + 3598 mod 9) mod 9.
441 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 441
= 450
3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598
= 3600
Somit gilt:
(441 + 3598) mod 9 ≡ (0 + 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 27) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 27) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 27 mod 3) mod 3.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 9 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 27) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6