Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 44 = 10.

Somit gilt: 54 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Somit gilt: 20 ≡ 60 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2997 - 1198) mod 3 ≡ (2997 mod 3 - 1198 mod 3) mod 3.

2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 3 ⋅ 1000 -3 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 0.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

Somit gilt:

(2997 - 1198) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 31) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 31) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 122 aus, ob zufällig 122 mod m = 167 mod m gilt:

m=2: 122 mod 2 = 0 ≠ 1 = 167 mod 2

m=3: 122 mod 3 = 2 = 2 = 167 mod 3

m=4: 122 mod 4 = 2 ≠ 3 = 167 mod 4

m=5: 122 mod 5 = 2 = 2 = 167 mod 5

m=6: 122 mod 6 = 2 ≠ 5 = 167 mod 6

m=7: 122 mod 7 = 3 ≠ 6 = 167 mod 7

m=8: 122 mod 8 = 2 ≠ 7 = 167 mod 8

m=9: 122 mod 9 = 5 = 5 = 167 mod 9

m=10: 122 mod 10 = 2 ≠ 7 = 167 mod 10

m=11: 122 mod 11 = 1 ≠ 2 = 167 mod 11

m=12: 122 mod 12 = 2 ≠ 11 = 167 mod 12

m=13: 122 mod 13 = 5 ≠ 11 = 167 mod 13

m=14: 122 mod 14 = 10 ≠ 13 = 167 mod 14

m=15: 122 mod 15 = 2 = 2 = 167 mod 15

m=16: 122 mod 16 = 10 ≠ 7 = 167 mod 16

m=17: 122 mod 17 = 3 ≠ 14 = 167 mod 17

m=18: 122 mod 18 = 14 ≠ 5 = 167 mod 18

m=19: 122 mod 19 = 8 ≠ 15 = 167 mod 19

m=20: 122 mod 20 = 2 ≠ 7 = 167 mod 20

m=21: 122 mod 21 = 17 ≠ 20 = 167 mod 21

m=22: 122 mod 22 = 12 ≠ 13 = 167 mod 22

m=23: 122 mod 23 = 7 ≠ 6 = 167 mod 23

m=24: 122 mod 24 = 2 ≠ 23 = 167 mod 24

m=25: 122 mod 25 = 22 ≠ 17 = 167 mod 25

m=26: 122 mod 26 = 18 ≠ 11 = 167 mod 26

m=27: 122 mod 27 = 14 ≠ 5 = 167 mod 27

m=28: 122 mod 28 = 10 ≠ 27 = 167 mod 28

m=29: 122 mod 29 = 6 ≠ 22 = 167 mod 29

m=30: 122 mod 30 = 2 ≠ 17 = 167 mod 30

m=31: 122 mod 31 = 29 ≠ 12 = 167 mod 31

m=32: 122 mod 32 = 26 ≠ 7 = 167 mod 32

m=33: 122 mod 33 = 23 ≠ 2 = 167 mod 33

m=34: 122 mod 34 = 20 ≠ 31 = 167 mod 34

m=35: 122 mod 35 = 17 ≠ 27 = 167 mod 35

m=36: 122 mod 36 = 14 ≠ 23 = 167 mod 36

m=37: 122 mod 37 = 11 ≠ 19 = 167 mod 37

m=38: 122 mod 38 = 8 ≠ 15 = 167 mod 38

m=39: 122 mod 39 = 5 ≠ 11 = 167 mod 39

m=40: 122 mod 40 = 2 ≠ 7 = 167 mod 40

m=41: 122 mod 41 = 40 ≠ 3 = 167 mod 41

m=42: 122 mod 42 = 38 ≠ 41 = 167 mod 42

m=43: 122 mod 43 = 36 ≠ 38 = 167 mod 43

m=44: 122 mod 44 = 34 ≠ 35 = 167 mod 44

m=45: 122 mod 45 = 32 = 32 = 167 mod 45

m=46: 122 mod 46 = 30 ≠ 29 = 167 mod 46

m=47: 122 mod 47 = 28 ≠ 26 = 167 mod 47

m=48: 122 mod 48 = 26 ≠ 23 = 167 mod 48

m=49: 122 mod 49 = 24 ≠ 20 = 167 mod 49

m=50: 122 mod 50 = 22 ≠ 17 = 167 mod 50

m=51: 122 mod 51 = 20 ≠ 14 = 167 mod 51

m=52: 122 mod 52 = 18 ≠ 11 = 167 mod 52

m=53: 122 mod 53 = 16 ≠ 8 = 167 mod 53

m=54: 122 mod 54 = 14 ≠ 5 = 167 mod 54

m=55: 122 mod 55 = 12 ≠ 2 = 167 mod 55

m=56: 122 mod 56 = 10 ≠ 55 = 167 mod 56

m=57: 122 mod 57 = 8 ≠ 53 = 167 mod 57

m=58: 122 mod 58 = 6 ≠ 51 = 167 mod 58

m=59: 122 mod 59 = 4 ≠ 49 = 167 mod 59

m=60: 122 mod 60 = 2 ≠ 47 = 167 mod 60

m=61: 122 mod 61 = 0 ≠ 45 = 167 mod 61

m=62: 122 mod 62 = 60 ≠ 43 = 167 mod 62

m=63: 122 mod 63 = 59 ≠ 41 = 167 mod 63

m=64: 122 mod 64 = 58 ≠ 39 = 167 mod 64

m=65: 122 mod 65 = 57 ≠ 37 = 167 mod 65

m=66: 122 mod 66 = 56 ≠ 35 = 167 mod 66

m=67: 122 mod 67 = 55 ≠ 33 = 167 mod 67

m=68: 122 mod 68 = 54 ≠ 31 = 167 mod 68

m=69: 122 mod 69 = 53 ≠ 29 = 167 mod 69

m=70: 122 mod 70 = 52 ≠ 27 = 167 mod 70

m=71: 122 mod 71 = 51 ≠ 25 = 167 mod 71

m=72: 122 mod 72 = 50 ≠ 23 = 167 mod 72

m=73: 122 mod 73 = 49 ≠ 21 = 167 mod 73

m=74: 122 mod 74 = 48 ≠ 19 = 167 mod 74

m=75: 122 mod 75 = 47 ≠ 17 = 167 mod 75

m=76: 122 mod 76 = 46 ≠ 15 = 167 mod 76

m=77: 122 mod 77 = 45 ≠ 13 = 167 mod 77

m=78: 122 mod 78 = 44 ≠ 11 = 167 mod 78

m=79: 122 mod 79 = 43 ≠ 9 = 167 mod 79

m=80: 122 mod 80 = 42 ≠ 7 = 167 mod 80

m=81: 122 mod 81 = 41 ≠ 5 = 167 mod 81

m=82: 122 mod 82 = 40 ≠ 3 = 167 mod 82

m=83: 122 mod 83 = 39 ≠ 1 = 167 mod 83

m=84: 122 mod 84 = 38 ≠ 83 = 167 mod 84

m=85: 122 mod 85 = 37 ≠ 82 = 167 mod 85

m=86: 122 mod 86 = 36 ≠ 81 = 167 mod 86

m=87: 122 mod 87 = 35 ≠ 80 = 167 mod 87

m=88: 122 mod 88 = 34 ≠ 79 = 167 mod 88

m=89: 122 mod 89 = 33 ≠ 78 = 167 mod 89

m=90: 122 mod 90 = 32 ≠ 77 = 167 mod 90

m=91: 122 mod 91 = 31 ≠ 76 = 167 mod 91

m=92: 122 mod 92 = 30 ≠ 75 = 167 mod 92

m=93: 122 mod 93 = 29 ≠ 74 = 167 mod 93

m=94: 122 mod 94 = 28 ≠ 73 = 167 mod 94

m=95: 122 mod 95 = 27 ≠ 72 = 167 mod 95

m=96: 122 mod 96 = 26 ≠ 71 = 167 mod 96

m=97: 122 mod 97 = 25 ≠ 70 = 167 mod 97

m=98: 122 mod 98 = 24 ≠ 69 = 167 mod 98

m=99: 122 mod 99 = 23 ≠ 68 = 167 mod 99

m=100: 122 mod 100 = 22 ≠ 67 = 167 mod 100

m=101: 122 mod 101 = 21 ≠ 66 = 167 mod 101

m=102: 122 mod 102 = 20 ≠ 65 = 167 mod 102

m=103: 122 mod 103 = 19 ≠ 64 = 167 mod 103

m=104: 122 mod 104 = 18 ≠ 63 = 167 mod 104

m=105: 122 mod 105 = 17 ≠ 62 = 167 mod 105

m=106: 122 mod 106 = 16 ≠ 61 = 167 mod 106

m=107: 122 mod 107 = 15 ≠ 60 = 167 mod 107

m=108: 122 mod 108 = 14 ≠ 59 = 167 mod 108

m=109: 122 mod 109 = 13 ≠ 58 = 167 mod 109

m=110: 122 mod 110 = 12 ≠ 57 = 167 mod 110

m=111: 122 mod 111 = 11 ≠ 56 = 167 mod 111

m=112: 122 mod 112 = 10 ≠ 55 = 167 mod 112

m=113: 122 mod 113 = 9 ≠ 54 = 167 mod 113

m=114: 122 mod 114 = 8 ≠ 53 = 167 mod 114

m=115: 122 mod 115 = 7 ≠ 52 = 167 mod 115

m=116: 122 mod 116 = 6 ≠ 51 = 167 mod 116

m=117: 122 mod 117 = 5 ≠ 50 = 167 mod 117

m=118: 122 mod 118 = 4 ≠ 49 = 167 mod 118

m=119: 122 mod 119 = 3 ≠ 48 = 167 mod 119

m=120: 122 mod 120 = 2 ≠ 47 = 167 mod 120

m=121: 122 mod 121 = 1 ≠ 46 = 167 mod 121

m=122: 122 mod 122 = 0 ≠ 45 = 167 mod 122

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (167 - 122) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45