Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 23 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 18 = 5.
Somit gilt: 23 mod 9 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 62 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.
Somit gilt: 62 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 16 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.
Somit gilt: 50 ≡ 62 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (278 + 279) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(278 + 279) mod 7 ≡ (278 mod 7 + 279 mod 7) mod 7.
278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278
= 280
279 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279
= 280
Somit gilt:
(278 + 279) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 72) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 72) mod 11 ≡ (39 mod 11 ⋅ 72 mod 11) mod 11.
39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.
72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 72) mod 11 ≡ (6 ⋅ 6) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 25 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
