Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 80 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 77 = 3.
Somit gilt: 80 mod 11 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 25 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 25 - 18 = 7.
Somit gilt: 25 mod 9 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 4 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 36 und erhalten so 43.
Somit gilt: 43 ≡ 25 ≡ 7 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2998 - 9003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2998 - 9003) mod 3 ≡ (2998 mod 3 - 9003 mod 3) mod 3.
2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998
= 3000
9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003
= 9000
Somit gilt:
(2998 - 9003) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 68) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 68) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.
66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 68) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 41 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 41 mod m gilt:
m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2
m=3: 31 mod 3 = 1 ≠ 2 = 41 mod 3
m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 1 = 41 mod 4
m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 41 mod 5
m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 5 = 41 mod 6
m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 6 = 41 mod 7
m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 1 = 41 mod 8
m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 5 = 41 mod 9
m=10: 31 mod 10 = 1 = 1 = 41 mod 10
m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 8 = 41 mod 11
m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 5 = 41 mod 12
m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 2 = 41 mod 13
m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 13 = 41 mod 14
m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 11 = 41 mod 15
m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 9 = 41 mod 16
m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 7 = 41 mod 17
m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 5 = 41 mod 18
m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 3 = 41 mod 19
m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 1 = 41 mod 20
m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 20 = 41 mod 21
m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 19 = 41 mod 22
m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 18 = 41 mod 23
m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 17 = 41 mod 24
m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 16 = 41 mod 25
m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 15 = 41 mod 26
m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 14 = 41 mod 27
m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 13 = 41 mod 28
m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 12 = 41 mod 29
m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 11 = 41 mod 30
m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 10 = 41 mod 31
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 31) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
