Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 15, weil ja 5 ⋅ 3 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 15 = 0.

Somit gilt: 15 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.

Somit gilt: 90 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 90 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2702 - 26996) mod 9 ≡ (2702 mod 9 - 26996 mod 9) mod 9.

2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702 = 2700+2 = 9 ⋅ 300 +2.

26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996 = 27000-4 = 9 ⋅ 3000 -4 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(2702 - 26996) mod 9 ≡ (2 - 5) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 53) mod 8 ≡ (62 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 53) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 49 aus, ob zufällig 49 mod m = 69 mod m gilt:

m=2: 49 mod 2 = 1 = 1 = 69 mod 2

m=3: 49 mod 3 = 1 ≠ 0 = 69 mod 3

m=4: 49 mod 4 = 1 = 1 = 69 mod 4

m=5: 49 mod 5 = 4 = 4 = 69 mod 5

m=6: 49 mod 6 = 1 ≠ 3 = 69 mod 6

m=7: 49 mod 7 = 0 ≠ 6 = 69 mod 7

m=8: 49 mod 8 = 1 ≠ 5 = 69 mod 8

m=9: 49 mod 9 = 4 ≠ 6 = 69 mod 9

m=10: 49 mod 10 = 9 = 9 = 69 mod 10

m=11: 49 mod 11 = 5 ≠ 3 = 69 mod 11

m=12: 49 mod 12 = 1 ≠ 9 = 69 mod 12

m=13: 49 mod 13 = 10 ≠ 4 = 69 mod 13

m=14: 49 mod 14 = 7 ≠ 13 = 69 mod 14

m=15: 49 mod 15 = 4 ≠ 9 = 69 mod 15

m=16: 49 mod 16 = 1 ≠ 5 = 69 mod 16

m=17: 49 mod 17 = 15 ≠ 1 = 69 mod 17

m=18: 49 mod 18 = 13 ≠ 15 = 69 mod 18

m=19: 49 mod 19 = 11 ≠ 12 = 69 mod 19

m=20: 49 mod 20 = 9 = 9 = 69 mod 20

m=21: 49 mod 21 = 7 ≠ 6 = 69 mod 21

m=22: 49 mod 22 = 5 ≠ 3 = 69 mod 22

m=23: 49 mod 23 = 3 ≠ 0 = 69 mod 23

m=24: 49 mod 24 = 1 ≠ 21 = 69 mod 24

m=25: 49 mod 25 = 24 ≠ 19 = 69 mod 25

m=26: 49 mod 26 = 23 ≠ 17 = 69 mod 26

m=27: 49 mod 27 = 22 ≠ 15 = 69 mod 27

m=28: 49 mod 28 = 21 ≠ 13 = 69 mod 28

m=29: 49 mod 29 = 20 ≠ 11 = 69 mod 29

m=30: 49 mod 30 = 19 ≠ 9 = 69 mod 30

m=31: 49 mod 31 = 18 ≠ 7 = 69 mod 31

m=32: 49 mod 32 = 17 ≠ 5 = 69 mod 32

m=33: 49 mod 33 = 16 ≠ 3 = 69 mod 33

m=34: 49 mod 34 = 15 ≠ 1 = 69 mod 34

m=35: 49 mod 35 = 14 ≠ 34 = 69 mod 35

m=36: 49 mod 36 = 13 ≠ 33 = 69 mod 36

m=37: 49 mod 37 = 12 ≠ 32 = 69 mod 37

m=38: 49 mod 38 = 11 ≠ 31 = 69 mod 38

m=39: 49 mod 39 = 10 ≠ 30 = 69 mod 39

m=40: 49 mod 40 = 9 ≠ 29 = 69 mod 40

m=41: 49 mod 41 = 8 ≠ 28 = 69 mod 41

m=42: 49 mod 42 = 7 ≠ 27 = 69 mod 42

m=43: 49 mod 43 = 6 ≠ 26 = 69 mod 43

m=44: 49 mod 44 = 5 ≠ 25 = 69 mod 44

m=45: 49 mod 45 = 4 ≠ 24 = 69 mod 45

m=46: 49 mod 46 = 3 ≠ 23 = 69 mod 46

m=47: 49 mod 47 = 2 ≠ 22 = 69 mod 47

m=48: 49 mod 48 = 1 ≠ 21 = 69 mod 48

m=49: 49 mod 49 = 0 ≠ 20 = 69 mod 49

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (69 - 49) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20