Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 63 = 2.

Somit gilt: 65 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 80 = 8.

Somit gilt: 88 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 50 und erhalten so 58.

Somit gilt: 58 ≡ 88 ≡ 8 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(280 + 347) mod 7 ≡ (280 mod 7 + 347 mod 7) mod 7.

280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280 = 280+0 = 7 ⋅ 40 +0.

347 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 347 = 350-3 = 7 ⋅ 50 -3 = 7 ⋅ 50 - 7 + 4.

Somit gilt:

(280 + 347) mod 7 ≡ (0 + 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 88) mod 6 ≡ (42 mod 6 ⋅ 88 mod 6) mod 6.

42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 88) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 45 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 1 = 45 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 45 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 5 = 45 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 9 = 45 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 = 0 = 45 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 15 = 45 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 30) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15