Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 91 = 0.

Somit gilt: 91 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7

Somit gilt: 14 ≡ 91 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1003 - 5001) mod 5 ≡ (1003 mod 5 - 5001 mod 5) mod 5.

1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003 = 1000+3 = 5 ⋅ 200 +3.

5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001 = 5000+1 = 5 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(1003 - 5001) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 94) mod 7 ≡ (54 mod 7 ⋅ 94 mod 7) mod 7.

54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.

94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 94) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 62 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 = 0 = 62 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 = 2 = 62 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 ≠ 2 = 62 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 ≠ 2 = 62 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 = 2 = 62 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 6 = 62 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 6 = 62 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 = 8 = 62 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 ≠ 2 = 62 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 7 = 62 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 ≠ 2 = 62 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 10 = 62 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 6 = 62 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 ≠ 2 = 62 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 14 = 62 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 11 = 62 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 = 8 = 62 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 5 = 62 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 ≠ 2 = 62 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 20 = 62 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 18 = 62 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 16 = 62 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 14 = 62 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 12 = 62 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 10 = 62 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 8 = 62 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 6 = 62 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 4 = 62 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 2 = 62 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 0 = 62 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 30 = 62 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 29 = 62 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 28 = 62 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 27 = 62 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 26 = 62 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 25 = 62 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 24 = 62 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 23 = 62 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 22 = 62 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 21 = 62 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 20 = 62 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 19 = 62 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 18 = 62 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (62 - 44) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18