Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 50 = 3.

Somit gilt: 53 mod 10 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 88 = 1.

Somit gilt: 89 mod 8 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 16 und erhalten so 17.

Somit gilt: 17 ≡ 89 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16003 - 20001) mod 4 ≡ (16003 mod 4 - 20001 mod 4) mod 4.

16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 4 ⋅ 4000 +3.

20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 4 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(16003 - 20001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 91) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 91 mod 8) mod 8.

47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 91) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 106 aus, ob zufällig 106 mod m = 156 mod m gilt:

m=2: 106 mod 2 = 0 = 0 = 156 mod 2

m=3: 106 mod 3 = 1 ≠ 0 = 156 mod 3

m=4: 106 mod 4 = 2 ≠ 0 = 156 mod 4

m=5: 106 mod 5 = 1 = 1 = 156 mod 5

m=6: 106 mod 6 = 4 ≠ 0 = 156 mod 6

m=7: 106 mod 7 = 1 ≠ 2 = 156 mod 7

m=8: 106 mod 8 = 2 ≠ 4 = 156 mod 8

m=9: 106 mod 9 = 7 ≠ 3 = 156 mod 9

m=10: 106 mod 10 = 6 = 6 = 156 mod 10

m=11: 106 mod 11 = 7 ≠ 2 = 156 mod 11

m=12: 106 mod 12 = 10 ≠ 0 = 156 mod 12

m=13: 106 mod 13 = 2 ≠ 0 = 156 mod 13

m=14: 106 mod 14 = 8 ≠ 2 = 156 mod 14

m=15: 106 mod 15 = 1 ≠ 6 = 156 mod 15

m=16: 106 mod 16 = 10 ≠ 12 = 156 mod 16

m=17: 106 mod 17 = 4 ≠ 3 = 156 mod 17

m=18: 106 mod 18 = 16 ≠ 12 = 156 mod 18

m=19: 106 mod 19 = 11 ≠ 4 = 156 mod 19

m=20: 106 mod 20 = 6 ≠ 16 = 156 mod 20

m=21: 106 mod 21 = 1 ≠ 9 = 156 mod 21

m=22: 106 mod 22 = 18 ≠ 2 = 156 mod 22

m=23: 106 mod 23 = 14 ≠ 18 = 156 mod 23

m=24: 106 mod 24 = 10 ≠ 12 = 156 mod 24

m=25: 106 mod 25 = 6 = 6 = 156 mod 25

m=26: 106 mod 26 = 2 ≠ 0 = 156 mod 26

m=27: 106 mod 27 = 25 ≠ 21 = 156 mod 27

m=28: 106 mod 28 = 22 ≠ 16 = 156 mod 28

m=29: 106 mod 29 = 19 ≠ 11 = 156 mod 29

m=30: 106 mod 30 = 16 ≠ 6 = 156 mod 30

m=31: 106 mod 31 = 13 ≠ 1 = 156 mod 31

m=32: 106 mod 32 = 10 ≠ 28 = 156 mod 32

m=33: 106 mod 33 = 7 ≠ 24 = 156 mod 33

m=34: 106 mod 34 = 4 ≠ 20 = 156 mod 34

m=35: 106 mod 35 = 1 ≠ 16 = 156 mod 35

m=36: 106 mod 36 = 34 ≠ 12 = 156 mod 36

m=37: 106 mod 37 = 32 ≠ 8 = 156 mod 37

m=38: 106 mod 38 = 30 ≠ 4 = 156 mod 38

m=39: 106 mod 39 = 28 ≠ 0 = 156 mod 39

m=40: 106 mod 40 = 26 ≠ 36 = 156 mod 40

m=41: 106 mod 41 = 24 ≠ 33 = 156 mod 41

m=42: 106 mod 42 = 22 ≠ 30 = 156 mod 42

m=43: 106 mod 43 = 20 ≠ 27 = 156 mod 43

m=44: 106 mod 44 = 18 ≠ 24 = 156 mod 44

m=45: 106 mod 45 = 16 ≠ 21 = 156 mod 45

m=46: 106 mod 46 = 14 ≠ 18 = 156 mod 46

m=47: 106 mod 47 = 12 ≠ 15 = 156 mod 47

m=48: 106 mod 48 = 10 ≠ 12 = 156 mod 48

m=49: 106 mod 49 = 8 ≠ 9 = 156 mod 49

m=50: 106 mod 50 = 6 = 6 = 156 mod 50

m=51: 106 mod 51 = 4 ≠ 3 = 156 mod 51

m=52: 106 mod 52 = 2 ≠ 0 = 156 mod 52

m=53: 106 mod 53 = 0 ≠ 50 = 156 mod 53

m=54: 106 mod 54 = 52 ≠ 48 = 156 mod 54

m=55: 106 mod 55 = 51 ≠ 46 = 156 mod 55

m=56: 106 mod 56 = 50 ≠ 44 = 156 mod 56

m=57: 106 mod 57 = 49 ≠ 42 = 156 mod 57

m=58: 106 mod 58 = 48 ≠ 40 = 156 mod 58

m=59: 106 mod 59 = 47 ≠ 38 = 156 mod 59

m=60: 106 mod 60 = 46 ≠ 36 = 156 mod 60

m=61: 106 mod 61 = 45 ≠ 34 = 156 mod 61

m=62: 106 mod 62 = 44 ≠ 32 = 156 mod 62

m=63: 106 mod 63 = 43 ≠ 30 = 156 mod 63

m=64: 106 mod 64 = 42 ≠ 28 = 156 mod 64

m=65: 106 mod 65 = 41 ≠ 26 = 156 mod 65

m=66: 106 mod 66 = 40 ≠ 24 = 156 mod 66

m=67: 106 mod 67 = 39 ≠ 22 = 156 mod 67

m=68: 106 mod 68 = 38 ≠ 20 = 156 mod 68

m=69: 106 mod 69 = 37 ≠ 18 = 156 mod 69

m=70: 106 mod 70 = 36 ≠ 16 = 156 mod 70

m=71: 106 mod 71 = 35 ≠ 14 = 156 mod 71

m=72: 106 mod 72 = 34 ≠ 12 = 156 mod 72

m=73: 106 mod 73 = 33 ≠ 10 = 156 mod 73

m=74: 106 mod 74 = 32 ≠ 8 = 156 mod 74

m=75: 106 mod 75 = 31 ≠ 6 = 156 mod 75

m=76: 106 mod 76 = 30 ≠ 4 = 156 mod 76

m=77: 106 mod 77 = 29 ≠ 2 = 156 mod 77

m=78: 106 mod 78 = 28 ≠ 0 = 156 mod 78

m=79: 106 mod 79 = 27 ≠ 77 = 156 mod 79

m=80: 106 mod 80 = 26 ≠ 76 = 156 mod 80

m=81: 106 mod 81 = 25 ≠ 75 = 156 mod 81

m=82: 106 mod 82 = 24 ≠ 74 = 156 mod 82

m=83: 106 mod 83 = 23 ≠ 73 = 156 mod 83

m=84: 106 mod 84 = 22 ≠ 72 = 156 mod 84

m=85: 106 mod 85 = 21 ≠ 71 = 156 mod 85

m=86: 106 mod 86 = 20 ≠ 70 = 156 mod 86

m=87: 106 mod 87 = 19 ≠ 69 = 156 mod 87

m=88: 106 mod 88 = 18 ≠ 68 = 156 mod 88

m=89: 106 mod 89 = 17 ≠ 67 = 156 mod 89

m=90: 106 mod 90 = 16 ≠ 66 = 156 mod 90

m=91: 106 mod 91 = 15 ≠ 65 = 156 mod 91

m=92: 106 mod 92 = 14 ≠ 64 = 156 mod 92

m=93: 106 mod 93 = 13 ≠ 63 = 156 mod 93

m=94: 106 mod 94 = 12 ≠ 62 = 156 mod 94

m=95: 106 mod 95 = 11 ≠ 61 = 156 mod 95

m=96: 106 mod 96 = 10 ≠ 60 = 156 mod 96

m=97: 106 mod 97 = 9 ≠ 59 = 156 mod 97

m=98: 106 mod 98 = 8 ≠ 58 = 156 mod 98

m=99: 106 mod 99 = 7 ≠ 57 = 156 mod 99

m=100: 106 mod 100 = 6 ≠ 56 = 156 mod 100

m=101: 106 mod 101 = 5 ≠ 55 = 156 mod 101

m=102: 106 mod 102 = 4 ≠ 54 = 156 mod 102

m=103: 106 mod 103 = 3 ≠ 53 = 156 mod 103

m=104: 106 mod 104 = 2 ≠ 52 = 156 mod 104

m=105: 106 mod 105 = 1 ≠ 51 = 156 mod 105

m=106: 106 mod 106 = 0 ≠ 50 = 156 mod 106

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (156 - 106) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50