Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 22 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 22 = 0.
Somit gilt: 22 mod 11 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 45 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.
Somit gilt: 45 mod 6 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 45 ≡ 3 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 + 502) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 + 502) mod 5 ≡ (50 mod 5 + 502 mod 5) mod 5.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50
= 50
502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502
= 500
Somit gilt:
(50 + 502) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 65) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 65) mod 5 ≡ (49 mod 5 ⋅ 65 mod 5) mod 5.
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.
65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 65) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 ≠ 0 = 28 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 0 = 28 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 4 = 28 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 4 = 28 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 = 1 = 28 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 9 = 28 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 19) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
