Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 23 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 16 = 7.
Somit gilt: 23 mod 8 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 83 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.
Somit gilt: 83 mod 5 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.
Somit gilt: 43 ≡ 83 ≡ 3 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4001 + 160) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4001 + 160) mod 8 ≡ (4001 mod 8 + 160 mod 8) mod 8.
4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001
= 4000
160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
Somit gilt:
(4001 + 160) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 47) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 47) mod 5 ≡ (63 mod 5 ⋅ 47 mod 5) mod 5.
63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 47) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 41 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 41 mod m gilt:
m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2
m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3
m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 41 mod 4
m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 1 = 41 mod 5
m=6: 29 mod 6 = 5 = 5 = 41 mod 6
m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 6 = 41 mod 7
m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 1 = 41 mod 8
m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 5 = 41 mod 9
m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 1 = 41 mod 10
m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 8 = 41 mod 11
m=12: 29 mod 12 = 5 = 5 = 41 mod 12
m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 2 = 41 mod 13
m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 13 = 41 mod 14
m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 11 = 41 mod 15
m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 9 = 41 mod 16
m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 7 = 41 mod 17
m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 5 = 41 mod 18
m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 3 = 41 mod 19
m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 1 = 41 mod 20
m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 20 = 41 mod 21
m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 19 = 41 mod 22
m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 18 = 41 mod 23
m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 17 = 41 mod 24
m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 16 = 41 mod 25
m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 15 = 41 mod 26
m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 14 = 41 mod 27
m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 13 = 41 mod 28
m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 12 = 41 mod 29
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 29) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
