Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.
Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 72 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.
Somit gilt: 72 mod 8 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8
Somit gilt: 80 ≡ 72 ≡ 0 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32000 - 154) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32000 - 154) mod 8 ≡ (32000 mod 8 - 154 mod 8) mod 8.
32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000
= 32000
154 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154
= 160
Somit gilt:
(32000 - 154) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 57) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 57) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 57 mod 8) mod 8.
93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.
57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 57) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8