Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 20 = 6.

Somit gilt: 26 mod 10 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.

Somit gilt: 92 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 20, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 16 und erhalten so 20.

Somit gilt: 20 ≡ 92 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(233 - 3992) mod 8 ≡ (233 mod 8 - 3992 mod 8) mod 8.

233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233 = 240-7 = 8 ⋅ 30 -7 = 8 ⋅ 30 - 8 + 1.

3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992 = 4000-8 = 8 ⋅ 500 -8 = 8 ⋅ 500 - 8 + 0.

Somit gilt:

(233 - 3992) mod 8 ≡ (1 - 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 75) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 75) mod 10 ≡ (1 ⋅ 5) mod 10 ≡ 5 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10