Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 56 = 7.

Somit gilt: 63 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 20 = 9.

Somit gilt: 29 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 50 und erhalten so 59.

Somit gilt: 59 ≡ 29 ≡ 9 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(101 + 2001) mod 5 ≡ (101 mod 5 + 2001 mod 5) mod 5.

101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101 = 100+1 = 5 ⋅ 20 +1.

2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 5 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(101 + 2001) mod 5 ≡ (1 + 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 77) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 77 mod 3) mod 3.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 77) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:

m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2

m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3

m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4

m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5

m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6

m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7

m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8

m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9

m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10

m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11

m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12

m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13

m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14

m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15

m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6