Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 38 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 38 - 36 = 2.
Somit gilt: 38 mod 6 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 99 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.
Somit gilt: 99 mod 8 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.
Somit gilt: 43 ≡ 99 ≡ 3 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1801 - 17998) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1801 - 17998) mod 9 ≡ (1801 mod 9 - 17998 mod 9) mod 9.
1801 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801
= 1800
17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998
= 18000
Somit gilt:
(1801 - 17998) mod 9 ≡ (1 - 7) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 44) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 44) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.
44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 44) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 54 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 54 mod m gilt:
m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 54 mod 2
m=3: 36 mod 3 = 0 = 0 = 54 mod 3
m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 2 = 54 mod 4
m=5: 36 mod 5 = 1 ≠ 4 = 54 mod 5
m=6: 36 mod 6 = 0 = 0 = 54 mod 6
m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 5 = 54 mod 7
m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 6 = 54 mod 8
m=9: 36 mod 9 = 0 = 0 = 54 mod 9
m=10: 36 mod 10 = 6 ≠ 4 = 54 mod 10
m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 10 = 54 mod 11
m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 6 = 54 mod 12
m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 2 = 54 mod 13
m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 12 = 54 mod 14
m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 9 = 54 mod 15
m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 6 = 54 mod 16
m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 3 = 54 mod 17
m=18: 36 mod 18 = 0 = 0 = 54 mod 18
m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 16 = 54 mod 19
m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 14 = 54 mod 20
m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 12 = 54 mod 21
m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 10 = 54 mod 22
m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 8 = 54 mod 23
m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 6 = 54 mod 24
m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 4 = 54 mod 25
m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 2 = 54 mod 26
m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 0 = 54 mod 27
m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 26 = 54 mod 28
m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 25 = 54 mod 29
m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 24 = 54 mod 30
m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 23 = 54 mod 31
m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 22 = 54 mod 32
m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 21 = 54 mod 33
m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 20 = 54 mod 34
m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 19 = 54 mod 35
m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 18 = 54 mod 36
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (54 - 36) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
