Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 11 = 6.

Somit gilt: 17 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 14 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 84 und erhalten so 85.

Somit gilt: 85 ≡ 31 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19998 - 196) mod 4 ≡ (19998 mod 4 - 196 mod 4) mod 4.

19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 4 ⋅ 4750 +998.

196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 200-4 = 4 ⋅ 50 -4 = 4 ⋅ 50 - 4 + 0.

Somit gilt:

(19998 - 196) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 54) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 54 mod 9) mod 9.

23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.

54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 54) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 67 aus, ob zufällig 67 mod m = 85 mod m gilt:

m=2: 67 mod 2 = 1 = 1 = 85 mod 2

m=3: 67 mod 3 = 1 = 1 = 85 mod 3

m=4: 67 mod 4 = 3 ≠ 1 = 85 mod 4

m=5: 67 mod 5 = 2 ≠ 0 = 85 mod 5

m=6: 67 mod 6 = 1 = 1 = 85 mod 6

m=7: 67 mod 7 = 4 ≠ 1 = 85 mod 7

m=8: 67 mod 8 = 3 ≠ 5 = 85 mod 8

m=9: 67 mod 9 = 4 = 4 = 85 mod 9

m=10: 67 mod 10 = 7 ≠ 5 = 85 mod 10

m=11: 67 mod 11 = 1 ≠ 8 = 85 mod 11

m=12: 67 mod 12 = 7 ≠ 1 = 85 mod 12

m=13: 67 mod 13 = 2 ≠ 7 = 85 mod 13

m=14: 67 mod 14 = 11 ≠ 1 = 85 mod 14

m=15: 67 mod 15 = 7 ≠ 10 = 85 mod 15

m=16: 67 mod 16 = 3 ≠ 5 = 85 mod 16

m=17: 67 mod 17 = 16 ≠ 0 = 85 mod 17

m=18: 67 mod 18 = 13 = 13 = 85 mod 18

m=19: 67 mod 19 = 10 ≠ 9 = 85 mod 19

m=20: 67 mod 20 = 7 ≠ 5 = 85 mod 20

m=21: 67 mod 21 = 4 ≠ 1 = 85 mod 21

m=22: 67 mod 22 = 1 ≠ 19 = 85 mod 22

m=23: 67 mod 23 = 21 ≠ 16 = 85 mod 23

m=24: 67 mod 24 = 19 ≠ 13 = 85 mod 24

m=25: 67 mod 25 = 17 ≠ 10 = 85 mod 25

m=26: 67 mod 26 = 15 ≠ 7 = 85 mod 26

m=27: 67 mod 27 = 13 ≠ 4 = 85 mod 27

m=28: 67 mod 28 = 11 ≠ 1 = 85 mod 28

m=29: 67 mod 29 = 9 ≠ 27 = 85 mod 29

m=30: 67 mod 30 = 7 ≠ 25 = 85 mod 30

m=31: 67 mod 31 = 5 ≠ 23 = 85 mod 31

m=32: 67 mod 32 = 3 ≠ 21 = 85 mod 32

m=33: 67 mod 33 = 1 ≠ 19 = 85 mod 33

m=34: 67 mod 34 = 33 ≠ 17 = 85 mod 34

m=35: 67 mod 35 = 32 ≠ 15 = 85 mod 35

m=36: 67 mod 36 = 31 ≠ 13 = 85 mod 36

m=37: 67 mod 37 = 30 ≠ 11 = 85 mod 37

m=38: 67 mod 38 = 29 ≠ 9 = 85 mod 38

m=39: 67 mod 39 = 28 ≠ 7 = 85 mod 39

m=40: 67 mod 40 = 27 ≠ 5 = 85 mod 40

m=41: 67 mod 41 = 26 ≠ 3 = 85 mod 41

m=42: 67 mod 42 = 25 ≠ 1 = 85 mod 42

m=43: 67 mod 43 = 24 ≠ 42 = 85 mod 43

m=44: 67 mod 44 = 23 ≠ 41 = 85 mod 44

m=45: 67 mod 45 = 22 ≠ 40 = 85 mod 45

m=46: 67 mod 46 = 21 ≠ 39 = 85 mod 46

m=47: 67 mod 47 = 20 ≠ 38 = 85 mod 47

m=48: 67 mod 48 = 19 ≠ 37 = 85 mod 48

m=49: 67 mod 49 = 18 ≠ 36 = 85 mod 49

m=50: 67 mod 50 = 17 ≠ 35 = 85 mod 50

m=51: 67 mod 51 = 16 ≠ 34 = 85 mod 51

m=52: 67 mod 52 = 15 ≠ 33 = 85 mod 52

m=53: 67 mod 53 = 14 ≠ 32 = 85 mod 53

m=54: 67 mod 54 = 13 ≠ 31 = 85 mod 54

m=55: 67 mod 55 = 12 ≠ 30 = 85 mod 55

m=56: 67 mod 56 = 11 ≠ 29 = 85 mod 56

m=57: 67 mod 57 = 10 ≠ 28 = 85 mod 57

m=58: 67 mod 58 = 9 ≠ 27 = 85 mod 58

m=59: 67 mod 59 = 8 ≠ 26 = 85 mod 59

m=60: 67 mod 60 = 7 ≠ 25 = 85 mod 60

m=61: 67 mod 61 = 6 ≠ 24 = 85 mod 61

m=62: 67 mod 62 = 5 ≠ 23 = 85 mod 62

m=63: 67 mod 63 = 4 ≠ 22 = 85 mod 63

m=64: 67 mod 64 = 3 ≠ 21 = 85 mod 64

m=65: 67 mod 65 = 2 ≠ 20 = 85 mod 65

m=66: 67 mod 66 = 1 ≠ 19 = 85 mod 66

m=67: 67 mod 67 = 0 ≠ 18 = 85 mod 67

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (85 - 67) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18