Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 54 = 7.

Somit gilt: 61 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 32 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7996 + 121) mod 4 ≡ (7996 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.

7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 4 ⋅ 1750 +996.

121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 4 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(7996 + 121) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 25) mod 6 ≡ (17 mod 6 ⋅ 25 mod 6) mod 6.

17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 25) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 149 aus, ob zufällig 149 mod m = 194 mod m gilt:

m=2: 149 mod 2 = 1 ≠ 0 = 194 mod 2

m=3: 149 mod 3 = 2 = 2 = 194 mod 3

m=4: 149 mod 4 = 1 ≠ 2 = 194 mod 4

m=5: 149 mod 5 = 4 = 4 = 194 mod 5

m=6: 149 mod 6 = 5 ≠ 2 = 194 mod 6

m=7: 149 mod 7 = 2 ≠ 5 = 194 mod 7

m=8: 149 mod 8 = 5 ≠ 2 = 194 mod 8

m=9: 149 mod 9 = 5 = 5 = 194 mod 9

m=10: 149 mod 10 = 9 ≠ 4 = 194 mod 10

m=11: 149 mod 11 = 6 ≠ 7 = 194 mod 11

m=12: 149 mod 12 = 5 ≠ 2 = 194 mod 12

m=13: 149 mod 13 = 6 ≠ 12 = 194 mod 13

m=14: 149 mod 14 = 9 ≠ 12 = 194 mod 14

m=15: 149 mod 15 = 14 = 14 = 194 mod 15

m=16: 149 mod 16 = 5 ≠ 2 = 194 mod 16

m=17: 149 mod 17 = 13 ≠ 7 = 194 mod 17

m=18: 149 mod 18 = 5 ≠ 14 = 194 mod 18

m=19: 149 mod 19 = 16 ≠ 4 = 194 mod 19

m=20: 149 mod 20 = 9 ≠ 14 = 194 mod 20

m=21: 149 mod 21 = 2 ≠ 5 = 194 mod 21

m=22: 149 mod 22 = 17 ≠ 18 = 194 mod 22

m=23: 149 mod 23 = 11 ≠ 10 = 194 mod 23

m=24: 149 mod 24 = 5 ≠ 2 = 194 mod 24

m=25: 149 mod 25 = 24 ≠ 19 = 194 mod 25

m=26: 149 mod 26 = 19 ≠ 12 = 194 mod 26

m=27: 149 mod 27 = 14 ≠ 5 = 194 mod 27

m=28: 149 mod 28 = 9 ≠ 26 = 194 mod 28

m=29: 149 mod 29 = 4 ≠ 20 = 194 mod 29

m=30: 149 mod 30 = 29 ≠ 14 = 194 mod 30

m=31: 149 mod 31 = 25 ≠ 8 = 194 mod 31

m=32: 149 mod 32 = 21 ≠ 2 = 194 mod 32

m=33: 149 mod 33 = 17 ≠ 29 = 194 mod 33

m=34: 149 mod 34 = 13 ≠ 24 = 194 mod 34

m=35: 149 mod 35 = 9 ≠ 19 = 194 mod 35

m=36: 149 mod 36 = 5 ≠ 14 = 194 mod 36

m=37: 149 mod 37 = 1 ≠ 9 = 194 mod 37

m=38: 149 mod 38 = 35 ≠ 4 = 194 mod 38

m=39: 149 mod 39 = 32 ≠ 38 = 194 mod 39

m=40: 149 mod 40 = 29 ≠ 34 = 194 mod 40

m=41: 149 mod 41 = 26 ≠ 30 = 194 mod 41

m=42: 149 mod 42 = 23 ≠ 26 = 194 mod 42

m=43: 149 mod 43 = 20 ≠ 22 = 194 mod 43

m=44: 149 mod 44 = 17 ≠ 18 = 194 mod 44

m=45: 149 mod 45 = 14 = 14 = 194 mod 45

m=46: 149 mod 46 = 11 ≠ 10 = 194 mod 46

m=47: 149 mod 47 = 8 ≠ 6 = 194 mod 47

m=48: 149 mod 48 = 5 ≠ 2 = 194 mod 48

m=49: 149 mod 49 = 2 ≠ 47 = 194 mod 49

m=50: 149 mod 50 = 49 ≠ 44 = 194 mod 50

m=51: 149 mod 51 = 47 ≠ 41 = 194 mod 51

m=52: 149 mod 52 = 45 ≠ 38 = 194 mod 52

m=53: 149 mod 53 = 43 ≠ 35 = 194 mod 53

m=54: 149 mod 54 = 41 ≠ 32 = 194 mod 54

m=55: 149 mod 55 = 39 ≠ 29 = 194 mod 55

m=56: 149 mod 56 = 37 ≠ 26 = 194 mod 56

m=57: 149 mod 57 = 35 ≠ 23 = 194 mod 57

m=58: 149 mod 58 = 33 ≠ 20 = 194 mod 58

m=59: 149 mod 59 = 31 ≠ 17 = 194 mod 59

m=60: 149 mod 60 = 29 ≠ 14 = 194 mod 60

m=61: 149 mod 61 = 27 ≠ 11 = 194 mod 61

m=62: 149 mod 62 = 25 ≠ 8 = 194 mod 62

m=63: 149 mod 63 = 23 ≠ 5 = 194 mod 63

m=64: 149 mod 64 = 21 ≠ 2 = 194 mod 64

m=65: 149 mod 65 = 19 ≠ 64 = 194 mod 65

m=66: 149 mod 66 = 17 ≠ 62 = 194 mod 66

m=67: 149 mod 67 = 15 ≠ 60 = 194 mod 67

m=68: 149 mod 68 = 13 ≠ 58 = 194 mod 68

m=69: 149 mod 69 = 11 ≠ 56 = 194 mod 69

m=70: 149 mod 70 = 9 ≠ 54 = 194 mod 70

m=71: 149 mod 71 = 7 ≠ 52 = 194 mod 71

m=72: 149 mod 72 = 5 ≠ 50 = 194 mod 72

m=73: 149 mod 73 = 3 ≠ 48 = 194 mod 73

m=74: 149 mod 74 = 1 ≠ 46 = 194 mod 74

m=75: 149 mod 75 = 74 ≠ 44 = 194 mod 75

m=76: 149 mod 76 = 73 ≠ 42 = 194 mod 76

m=77: 149 mod 77 = 72 ≠ 40 = 194 mod 77

m=78: 149 mod 78 = 71 ≠ 38 = 194 mod 78

m=79: 149 mod 79 = 70 ≠ 36 = 194 mod 79

m=80: 149 mod 80 = 69 ≠ 34 = 194 mod 80

m=81: 149 mod 81 = 68 ≠ 32 = 194 mod 81

m=82: 149 mod 82 = 67 ≠ 30 = 194 mod 82

m=83: 149 mod 83 = 66 ≠ 28 = 194 mod 83

m=84: 149 mod 84 = 65 ≠ 26 = 194 mod 84

m=85: 149 mod 85 = 64 ≠ 24 = 194 mod 85

m=86: 149 mod 86 = 63 ≠ 22 = 194 mod 86

m=87: 149 mod 87 = 62 ≠ 20 = 194 mod 87

m=88: 149 mod 88 = 61 ≠ 18 = 194 mod 88

m=89: 149 mod 89 = 60 ≠ 16 = 194 mod 89

m=90: 149 mod 90 = 59 ≠ 14 = 194 mod 90

m=91: 149 mod 91 = 58 ≠ 12 = 194 mod 91

m=92: 149 mod 92 = 57 ≠ 10 = 194 mod 92

m=93: 149 mod 93 = 56 ≠ 8 = 194 mod 93

m=94: 149 mod 94 = 55 ≠ 6 = 194 mod 94

m=95: 149 mod 95 = 54 ≠ 4 = 194 mod 95

m=96: 149 mod 96 = 53 ≠ 2 = 194 mod 96

m=97: 149 mod 97 = 52 ≠ 0 = 194 mod 97

m=98: 149 mod 98 = 51 ≠ 96 = 194 mod 98

m=99: 149 mod 99 = 50 ≠ 95 = 194 mod 99

m=100: 149 mod 100 = 49 ≠ 94 = 194 mod 100

m=101: 149 mod 101 = 48 ≠ 93 = 194 mod 101

m=102: 149 mod 102 = 47 ≠ 92 = 194 mod 102

m=103: 149 mod 103 = 46 ≠ 91 = 194 mod 103

m=104: 149 mod 104 = 45 ≠ 90 = 194 mod 104

m=105: 149 mod 105 = 44 ≠ 89 = 194 mod 105

m=106: 149 mod 106 = 43 ≠ 88 = 194 mod 106

m=107: 149 mod 107 = 42 ≠ 87 = 194 mod 107

m=108: 149 mod 108 = 41 ≠ 86 = 194 mod 108

m=109: 149 mod 109 = 40 ≠ 85 = 194 mod 109

m=110: 149 mod 110 = 39 ≠ 84 = 194 mod 110

m=111: 149 mod 111 = 38 ≠ 83 = 194 mod 111

m=112: 149 mod 112 = 37 ≠ 82 = 194 mod 112

m=113: 149 mod 113 = 36 ≠ 81 = 194 mod 113

m=114: 149 mod 114 = 35 ≠ 80 = 194 mod 114

m=115: 149 mod 115 = 34 ≠ 79 = 194 mod 115

m=116: 149 mod 116 = 33 ≠ 78 = 194 mod 116

m=117: 149 mod 117 = 32 ≠ 77 = 194 mod 117

m=118: 149 mod 118 = 31 ≠ 76 = 194 mod 118

m=119: 149 mod 119 = 30 ≠ 75 = 194 mod 119

m=120: 149 mod 120 = 29 ≠ 74 = 194 mod 120

m=121: 149 mod 121 = 28 ≠ 73 = 194 mod 121

m=122: 149 mod 122 = 27 ≠ 72 = 194 mod 122

m=123: 149 mod 123 = 26 ≠ 71 = 194 mod 123

m=124: 149 mod 124 = 25 ≠ 70 = 194 mod 124

m=125: 149 mod 125 = 24 ≠ 69 = 194 mod 125

m=126: 149 mod 126 = 23 ≠ 68 = 194 mod 126

m=127: 149 mod 127 = 22 ≠ 67 = 194 mod 127

m=128: 149 mod 128 = 21 ≠ 66 = 194 mod 128

m=129: 149 mod 129 = 20 ≠ 65 = 194 mod 129

m=130: 149 mod 130 = 19 ≠ 64 = 194 mod 130

m=131: 149 mod 131 = 18 ≠ 63 = 194 mod 131

m=132: 149 mod 132 = 17 ≠ 62 = 194 mod 132

m=133: 149 mod 133 = 16 ≠ 61 = 194 mod 133

m=134: 149 mod 134 = 15 ≠ 60 = 194 mod 134

m=135: 149 mod 135 = 14 ≠ 59 = 194 mod 135

m=136: 149 mod 136 = 13 ≠ 58 = 194 mod 136

m=137: 149 mod 137 = 12 ≠ 57 = 194 mod 137

m=138: 149 mod 138 = 11 ≠ 56 = 194 mod 138

m=139: 149 mod 139 = 10 ≠ 55 = 194 mod 139

m=140: 149 mod 140 = 9 ≠ 54 = 194 mod 140

m=141: 149 mod 141 = 8 ≠ 53 = 194 mod 141

m=142: 149 mod 142 = 7 ≠ 52 = 194 mod 142

m=143: 149 mod 143 = 6 ≠ 51 = 194 mod 143

m=144: 149 mod 144 = 5 ≠ 50 = 194 mod 144

m=145: 149 mod 145 = 4 ≠ 49 = 194 mod 145

m=146: 149 mod 146 = 3 ≠ 48 = 194 mod 146

m=147: 149 mod 147 = 2 ≠ 47 = 194 mod 147

m=148: 149 mod 148 = 1 ≠ 46 = 194 mod 148

m=149: 149 mod 149 = 0 ≠ 45 = 194 mod 149

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (194 - 149) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45