Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 33 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 33 - 28 = 5.
Somit gilt: 33 mod 7 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 20 für die gilt n ≡ 22 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.
Somit gilt: 22 mod 10 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 20 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 1 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 10 und erhalten so 12.
Somit gilt: 12 ≡ 22 ≡ 2 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17997 + 24000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17997 + 24000) mod 6 ≡ (17997 mod 6 + 24000 mod 6) mod 6.
17997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997
= 18000
24000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
Somit gilt:
(17997 + 24000) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 81) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 81) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 81) mod 9 ≡ (6 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4