Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.

Somit gilt: 43 mod 7 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 23 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 - 397) mod 4 ≡ (80 mod 4 - 397 mod 4) mod 4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 300+97 = 4 ⋅ 75 +97.

Somit gilt:

(80 - 397) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 49) mod 4 ≡ (92 mod 4 ⋅ 49 mod 4) mod 4.

92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.

49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 49) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 120 aus, ob zufällig 120 mod m = 165 mod m gilt:

m=2: 120 mod 2 = 0 ≠ 1 = 165 mod 2

m=3: 120 mod 3 = 0 = 0 = 165 mod 3

m=4: 120 mod 4 = 0 ≠ 1 = 165 mod 4

m=5: 120 mod 5 = 0 = 0 = 165 mod 5

m=6: 120 mod 6 = 0 ≠ 3 = 165 mod 6

m=7: 120 mod 7 = 1 ≠ 4 = 165 mod 7

m=8: 120 mod 8 = 0 ≠ 5 = 165 mod 8

m=9: 120 mod 9 = 3 = 3 = 165 mod 9

m=10: 120 mod 10 = 0 ≠ 5 = 165 mod 10

m=11: 120 mod 11 = 10 ≠ 0 = 165 mod 11

m=12: 120 mod 12 = 0 ≠ 9 = 165 mod 12

m=13: 120 mod 13 = 3 ≠ 9 = 165 mod 13

m=14: 120 mod 14 = 8 ≠ 11 = 165 mod 14

m=15: 120 mod 15 = 0 = 0 = 165 mod 15

m=16: 120 mod 16 = 8 ≠ 5 = 165 mod 16

m=17: 120 mod 17 = 1 ≠ 12 = 165 mod 17

m=18: 120 mod 18 = 12 ≠ 3 = 165 mod 18

m=19: 120 mod 19 = 6 ≠ 13 = 165 mod 19

m=20: 120 mod 20 = 0 ≠ 5 = 165 mod 20

m=21: 120 mod 21 = 15 ≠ 18 = 165 mod 21

m=22: 120 mod 22 = 10 ≠ 11 = 165 mod 22

m=23: 120 mod 23 = 5 ≠ 4 = 165 mod 23

m=24: 120 mod 24 = 0 ≠ 21 = 165 mod 24

m=25: 120 mod 25 = 20 ≠ 15 = 165 mod 25

m=26: 120 mod 26 = 16 ≠ 9 = 165 mod 26

m=27: 120 mod 27 = 12 ≠ 3 = 165 mod 27

m=28: 120 mod 28 = 8 ≠ 25 = 165 mod 28

m=29: 120 mod 29 = 4 ≠ 20 = 165 mod 29

m=30: 120 mod 30 = 0 ≠ 15 = 165 mod 30

m=31: 120 mod 31 = 27 ≠ 10 = 165 mod 31

m=32: 120 mod 32 = 24 ≠ 5 = 165 mod 32

m=33: 120 mod 33 = 21 ≠ 0 = 165 mod 33

m=34: 120 mod 34 = 18 ≠ 29 = 165 mod 34

m=35: 120 mod 35 = 15 ≠ 25 = 165 mod 35

m=36: 120 mod 36 = 12 ≠ 21 = 165 mod 36

m=37: 120 mod 37 = 9 ≠ 17 = 165 mod 37

m=38: 120 mod 38 = 6 ≠ 13 = 165 mod 38

m=39: 120 mod 39 = 3 ≠ 9 = 165 mod 39

m=40: 120 mod 40 = 0 ≠ 5 = 165 mod 40

m=41: 120 mod 41 = 38 ≠ 1 = 165 mod 41

m=42: 120 mod 42 = 36 ≠ 39 = 165 mod 42

m=43: 120 mod 43 = 34 ≠ 36 = 165 mod 43

m=44: 120 mod 44 = 32 ≠ 33 = 165 mod 44

m=45: 120 mod 45 = 30 = 30 = 165 mod 45

m=46: 120 mod 46 = 28 ≠ 27 = 165 mod 46

m=47: 120 mod 47 = 26 ≠ 24 = 165 mod 47

m=48: 120 mod 48 = 24 ≠ 21 = 165 mod 48

m=49: 120 mod 49 = 22 ≠ 18 = 165 mod 49

m=50: 120 mod 50 = 20 ≠ 15 = 165 mod 50

m=51: 120 mod 51 = 18 ≠ 12 = 165 mod 51

m=52: 120 mod 52 = 16 ≠ 9 = 165 mod 52

m=53: 120 mod 53 = 14 ≠ 6 = 165 mod 53

m=54: 120 mod 54 = 12 ≠ 3 = 165 mod 54

m=55: 120 mod 55 = 10 ≠ 0 = 165 mod 55

m=56: 120 mod 56 = 8 ≠ 53 = 165 mod 56

m=57: 120 mod 57 = 6 ≠ 51 = 165 mod 57

m=58: 120 mod 58 = 4 ≠ 49 = 165 mod 58

m=59: 120 mod 59 = 2 ≠ 47 = 165 mod 59

m=60: 120 mod 60 = 0 ≠ 45 = 165 mod 60

m=61: 120 mod 61 = 59 ≠ 43 = 165 mod 61

m=62: 120 mod 62 = 58 ≠ 41 = 165 mod 62

m=63: 120 mod 63 = 57 ≠ 39 = 165 mod 63

m=64: 120 mod 64 = 56 ≠ 37 = 165 mod 64

m=65: 120 mod 65 = 55 ≠ 35 = 165 mod 65

m=66: 120 mod 66 = 54 ≠ 33 = 165 mod 66

m=67: 120 mod 67 = 53 ≠ 31 = 165 mod 67

m=68: 120 mod 68 = 52 ≠ 29 = 165 mod 68

m=69: 120 mod 69 = 51 ≠ 27 = 165 mod 69

m=70: 120 mod 70 = 50 ≠ 25 = 165 mod 70

m=71: 120 mod 71 = 49 ≠ 23 = 165 mod 71

m=72: 120 mod 72 = 48 ≠ 21 = 165 mod 72

m=73: 120 mod 73 = 47 ≠ 19 = 165 mod 73

m=74: 120 mod 74 = 46 ≠ 17 = 165 mod 74

m=75: 120 mod 75 = 45 ≠ 15 = 165 mod 75

m=76: 120 mod 76 = 44 ≠ 13 = 165 mod 76

m=77: 120 mod 77 = 43 ≠ 11 = 165 mod 77

m=78: 120 mod 78 = 42 ≠ 9 = 165 mod 78

m=79: 120 mod 79 = 41 ≠ 7 = 165 mod 79

m=80: 120 mod 80 = 40 ≠ 5 = 165 mod 80

m=81: 120 mod 81 = 39 ≠ 3 = 165 mod 81

m=82: 120 mod 82 = 38 ≠ 1 = 165 mod 82

m=83: 120 mod 83 = 37 ≠ 82 = 165 mod 83

m=84: 120 mod 84 = 36 ≠ 81 = 165 mod 84

m=85: 120 mod 85 = 35 ≠ 80 = 165 mod 85

m=86: 120 mod 86 = 34 ≠ 79 = 165 mod 86

m=87: 120 mod 87 = 33 ≠ 78 = 165 mod 87

m=88: 120 mod 88 = 32 ≠ 77 = 165 mod 88

m=89: 120 mod 89 = 31 ≠ 76 = 165 mod 89

m=90: 120 mod 90 = 30 ≠ 75 = 165 mod 90

m=91: 120 mod 91 = 29 ≠ 74 = 165 mod 91

m=92: 120 mod 92 = 28 ≠ 73 = 165 mod 92

m=93: 120 mod 93 = 27 ≠ 72 = 165 mod 93

m=94: 120 mod 94 = 26 ≠ 71 = 165 mod 94

m=95: 120 mod 95 = 25 ≠ 70 = 165 mod 95

m=96: 120 mod 96 = 24 ≠ 69 = 165 mod 96

m=97: 120 mod 97 = 23 ≠ 68 = 165 mod 97

m=98: 120 mod 98 = 22 ≠ 67 = 165 mod 98

m=99: 120 mod 99 = 21 ≠ 66 = 165 mod 99

m=100: 120 mod 100 = 20 ≠ 65 = 165 mod 100

m=101: 120 mod 101 = 19 ≠ 64 = 165 mod 101

m=102: 120 mod 102 = 18 ≠ 63 = 165 mod 102

m=103: 120 mod 103 = 17 ≠ 62 = 165 mod 103

m=104: 120 mod 104 = 16 ≠ 61 = 165 mod 104

m=105: 120 mod 105 = 15 ≠ 60 = 165 mod 105

m=106: 120 mod 106 = 14 ≠ 59 = 165 mod 106

m=107: 120 mod 107 = 13 ≠ 58 = 165 mod 107

m=108: 120 mod 108 = 12 ≠ 57 = 165 mod 108

m=109: 120 mod 109 = 11 ≠ 56 = 165 mod 109

m=110: 120 mod 110 = 10 ≠ 55 = 165 mod 110

m=111: 120 mod 111 = 9 ≠ 54 = 165 mod 111

m=112: 120 mod 112 = 8 ≠ 53 = 165 mod 112

m=113: 120 mod 113 = 7 ≠ 52 = 165 mod 113

m=114: 120 mod 114 = 6 ≠ 51 = 165 mod 114

m=115: 120 mod 115 = 5 ≠ 50 = 165 mod 115

m=116: 120 mod 116 = 4 ≠ 49 = 165 mod 116

m=117: 120 mod 117 = 3 ≠ 48 = 165 mod 117

m=118: 120 mod 118 = 2 ≠ 47 = 165 mod 118

m=119: 120 mod 119 = 1 ≠ 46 = 165 mod 119

m=120: 120 mod 120 = 0 ≠ 45 = 165 mod 120

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (165 - 120) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45