Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 65 = 2.

Somit gilt: 67 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 45 = 5.

Somit gilt: 50 mod 9 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 81 und erhalten so 86.

Somit gilt: 86 ≡ 50 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 + 201) mod 4 ≡ (20000 mod 4 + 201 mod 4) mod 4.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 4 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(20000 + 201) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 53) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 53 mod 3) mod 3.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 53) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 276 aus, ob zufällig 276 mod m = 351 mod m gilt:

m=2: 276 mod 2 = 0 ≠ 1 = 351 mod 2

m=3: 276 mod 3 = 0 = 0 = 351 mod 3

m=4: 276 mod 4 = 0 ≠ 3 = 351 mod 4

m=5: 276 mod 5 = 1 = 1 = 351 mod 5

m=6: 276 mod 6 = 0 ≠ 3 = 351 mod 6

m=7: 276 mod 7 = 3 ≠ 1 = 351 mod 7

m=8: 276 mod 8 = 4 ≠ 7 = 351 mod 8

m=9: 276 mod 9 = 6 ≠ 0 = 351 mod 9

m=10: 276 mod 10 = 6 ≠ 1 = 351 mod 10

m=11: 276 mod 11 = 1 ≠ 10 = 351 mod 11

m=12: 276 mod 12 = 0 ≠ 3 = 351 mod 12

m=13: 276 mod 13 = 3 ≠ 0 = 351 mod 13

m=14: 276 mod 14 = 10 ≠ 1 = 351 mod 14

m=15: 276 mod 15 = 6 = 6 = 351 mod 15

m=16: 276 mod 16 = 4 ≠ 15 = 351 mod 16

m=17: 276 mod 17 = 4 ≠ 11 = 351 mod 17

m=18: 276 mod 18 = 6 ≠ 9 = 351 mod 18

m=19: 276 mod 19 = 10 ≠ 9 = 351 mod 19

m=20: 276 mod 20 = 16 ≠ 11 = 351 mod 20

m=21: 276 mod 21 = 3 ≠ 15 = 351 mod 21

m=22: 276 mod 22 = 12 ≠ 21 = 351 mod 22

m=23: 276 mod 23 = 0 ≠ 6 = 351 mod 23

m=24: 276 mod 24 = 12 ≠ 15 = 351 mod 24

m=25: 276 mod 25 = 1 = 1 = 351 mod 25

m=26: 276 mod 26 = 16 ≠ 13 = 351 mod 26

m=27: 276 mod 27 = 6 ≠ 0 = 351 mod 27

m=28: 276 mod 28 = 24 ≠ 15 = 351 mod 28

m=29: 276 mod 29 = 15 ≠ 3 = 351 mod 29

m=30: 276 mod 30 = 6 ≠ 21 = 351 mod 30

m=31: 276 mod 31 = 28 ≠ 10 = 351 mod 31

m=32: 276 mod 32 = 20 ≠ 31 = 351 mod 32

m=33: 276 mod 33 = 12 ≠ 21 = 351 mod 33

m=34: 276 mod 34 = 4 ≠ 11 = 351 mod 34

m=35: 276 mod 35 = 31 ≠ 1 = 351 mod 35

m=36: 276 mod 36 = 24 ≠ 27 = 351 mod 36

m=37: 276 mod 37 = 17 ≠ 18 = 351 mod 37

m=38: 276 mod 38 = 10 ≠ 9 = 351 mod 38

m=39: 276 mod 39 = 3 ≠ 0 = 351 mod 39

m=40: 276 mod 40 = 36 ≠ 31 = 351 mod 40

m=41: 276 mod 41 = 30 ≠ 23 = 351 mod 41

m=42: 276 mod 42 = 24 ≠ 15 = 351 mod 42

m=43: 276 mod 43 = 18 ≠ 7 = 351 mod 43

m=44: 276 mod 44 = 12 ≠ 43 = 351 mod 44

m=45: 276 mod 45 = 6 ≠ 36 = 351 mod 45

m=46: 276 mod 46 = 0 ≠ 29 = 351 mod 46

m=47: 276 mod 47 = 41 ≠ 22 = 351 mod 47

m=48: 276 mod 48 = 36 ≠ 15 = 351 mod 48

m=49: 276 mod 49 = 31 ≠ 8 = 351 mod 49

m=50: 276 mod 50 = 26 ≠ 1 = 351 mod 50

m=51: 276 mod 51 = 21 ≠ 45 = 351 mod 51

m=52: 276 mod 52 = 16 ≠ 39 = 351 mod 52

m=53: 276 mod 53 = 11 ≠ 33 = 351 mod 53

m=54: 276 mod 54 = 6 ≠ 27 = 351 mod 54

m=55: 276 mod 55 = 1 ≠ 21 = 351 mod 55

m=56: 276 mod 56 = 52 ≠ 15 = 351 mod 56

m=57: 276 mod 57 = 48 ≠ 9 = 351 mod 57

m=58: 276 mod 58 = 44 ≠ 3 = 351 mod 58

m=59: 276 mod 59 = 40 ≠ 56 = 351 mod 59

m=60: 276 mod 60 = 36 ≠ 51 = 351 mod 60

m=61: 276 mod 61 = 32 ≠ 46 = 351 mod 61

m=62: 276 mod 62 = 28 ≠ 41 = 351 mod 62

m=63: 276 mod 63 = 24 ≠ 36 = 351 mod 63

m=64: 276 mod 64 = 20 ≠ 31 = 351 mod 64

m=65: 276 mod 65 = 16 ≠ 26 = 351 mod 65

m=66: 276 mod 66 = 12 ≠ 21 = 351 mod 66

m=67: 276 mod 67 = 8 ≠ 16 = 351 mod 67

m=68: 276 mod 68 = 4 ≠ 11 = 351 mod 68

m=69: 276 mod 69 = 0 ≠ 6 = 351 mod 69

m=70: 276 mod 70 = 66 ≠ 1 = 351 mod 70

m=71: 276 mod 71 = 63 ≠ 67 = 351 mod 71

m=72: 276 mod 72 = 60 ≠ 63 = 351 mod 72

m=73: 276 mod 73 = 57 ≠ 59 = 351 mod 73

m=74: 276 mod 74 = 54 ≠ 55 = 351 mod 74

m=75: 276 mod 75 = 51 = 51 = 351 mod 75

m=76: 276 mod 76 = 48 ≠ 47 = 351 mod 76

m=77: 276 mod 77 = 45 ≠ 43 = 351 mod 77

m=78: 276 mod 78 = 42 ≠ 39 = 351 mod 78

m=79: 276 mod 79 = 39 ≠ 35 = 351 mod 79

m=80: 276 mod 80 = 36 ≠ 31 = 351 mod 80

m=81: 276 mod 81 = 33 ≠ 27 = 351 mod 81

m=82: 276 mod 82 = 30 ≠ 23 = 351 mod 82

m=83: 276 mod 83 = 27 ≠ 19 = 351 mod 83

m=84: 276 mod 84 = 24 ≠ 15 = 351 mod 84

m=85: 276 mod 85 = 21 ≠ 11 = 351 mod 85

m=86: 276 mod 86 = 18 ≠ 7 = 351 mod 86

m=87: 276 mod 87 = 15 ≠ 3 = 351 mod 87

m=88: 276 mod 88 = 12 ≠ 87 = 351 mod 88

m=89: 276 mod 89 = 9 ≠ 84 = 351 mod 89

m=90: 276 mod 90 = 6 ≠ 81 = 351 mod 90

m=91: 276 mod 91 = 3 ≠ 78 = 351 mod 91

m=92: 276 mod 92 = 0 ≠ 75 = 351 mod 92

m=93: 276 mod 93 = 90 ≠ 72 = 351 mod 93

m=94: 276 mod 94 = 88 ≠ 69 = 351 mod 94

m=95: 276 mod 95 = 86 ≠ 66 = 351 mod 95

m=96: 276 mod 96 = 84 ≠ 63 = 351 mod 96

m=97: 276 mod 97 = 82 ≠ 60 = 351 mod 97

m=98: 276 mod 98 = 80 ≠ 57 = 351 mod 98

m=99: 276 mod 99 = 78 ≠ 54 = 351 mod 99

m=100: 276 mod 100 = 76 ≠ 51 = 351 mod 100

m=101: 276 mod 101 = 74 ≠ 48 = 351 mod 101

m=102: 276 mod 102 = 72 ≠ 45 = 351 mod 102

m=103: 276 mod 103 = 70 ≠ 42 = 351 mod 103

m=104: 276 mod 104 = 68 ≠ 39 = 351 mod 104

m=105: 276 mod 105 = 66 ≠ 36 = 351 mod 105

m=106: 276 mod 106 = 64 ≠ 33 = 351 mod 106

m=107: 276 mod 107 = 62 ≠ 30 = 351 mod 107

m=108: 276 mod 108 = 60 ≠ 27 = 351 mod 108

m=109: 276 mod 109 = 58 ≠ 24 = 351 mod 109

m=110: 276 mod 110 = 56 ≠ 21 = 351 mod 110

m=111: 276 mod 111 = 54 ≠ 18 = 351 mod 111

m=112: 276 mod 112 = 52 ≠ 15 = 351 mod 112

m=113: 276 mod 113 = 50 ≠ 12 = 351 mod 113

m=114: 276 mod 114 = 48 ≠ 9 = 351 mod 114

m=115: 276 mod 115 = 46 ≠ 6 = 351 mod 115

m=116: 276 mod 116 = 44 ≠ 3 = 351 mod 116

m=117: 276 mod 117 = 42 ≠ 0 = 351 mod 117

m=118: 276 mod 118 = 40 ≠ 115 = 351 mod 118

m=119: 276 mod 119 = 38 ≠ 113 = 351 mod 119

m=120: 276 mod 120 = 36 ≠ 111 = 351 mod 120

m=121: 276 mod 121 = 34 ≠ 109 = 351 mod 121

m=122: 276 mod 122 = 32 ≠ 107 = 351 mod 122

m=123: 276 mod 123 = 30 ≠ 105 = 351 mod 123

m=124: 276 mod 124 = 28 ≠ 103 = 351 mod 124

m=125: 276 mod 125 = 26 ≠ 101 = 351 mod 125

m=126: 276 mod 126 = 24 ≠ 99 = 351 mod 126

m=127: 276 mod 127 = 22 ≠ 97 = 351 mod 127

m=128: 276 mod 128 = 20 ≠ 95 = 351 mod 128

m=129: 276 mod 129 = 18 ≠ 93 = 351 mod 129

m=130: 276 mod 130 = 16 ≠ 91 = 351 mod 130

m=131: 276 mod 131 = 14 ≠ 89 = 351 mod 131

m=132: 276 mod 132 = 12 ≠ 87 = 351 mod 132

m=133: 276 mod 133 = 10 ≠ 85 = 351 mod 133

m=134: 276 mod 134 = 8 ≠ 83 = 351 mod 134

m=135: 276 mod 135 = 6 ≠ 81 = 351 mod 135

m=136: 276 mod 136 = 4 ≠ 79 = 351 mod 136

m=137: 276 mod 137 = 2 ≠ 77 = 351 mod 137

m=138: 276 mod 138 = 0 ≠ 75 = 351 mod 138

m=139: 276 mod 139 = 137 ≠ 73 = 351 mod 139

m=140: 276 mod 140 = 136 ≠ 71 = 351 mod 140

m=141: 276 mod 141 = 135 ≠ 69 = 351 mod 141

m=142: 276 mod 142 = 134 ≠ 67 = 351 mod 142

m=143: 276 mod 143 = 133 ≠ 65 = 351 mod 143

m=144: 276 mod 144 = 132 ≠ 63 = 351 mod 144

m=145: 276 mod 145 = 131 ≠ 61 = 351 mod 145

m=146: 276 mod 146 = 130 ≠ 59 = 351 mod 146

m=147: 276 mod 147 = 129 ≠ 57 = 351 mod 147

m=148: 276 mod 148 = 128 ≠ 55 = 351 mod 148

m=149: 276 mod 149 = 127 ≠ 53 = 351 mod 149

m=150: 276 mod 150 = 126 ≠ 51 = 351 mod 150

m=151: 276 mod 151 = 125 ≠ 49 = 351 mod 151

m=152: 276 mod 152 = 124 ≠ 47 = 351 mod 152

m=153: 276 mod 153 = 123 ≠ 45 = 351 mod 153

m=154: 276 mod 154 = 122 ≠ 43 = 351 mod 154

m=155: 276 mod 155 = 121 ≠ 41 = 351 mod 155

m=156: 276 mod 156 = 120 ≠ 39 = 351 mod 156

m=157: 276 mod 157 = 119 ≠ 37 = 351 mod 157

m=158: 276 mod 158 = 118 ≠ 35 = 351 mod 158

m=159: 276 mod 159 = 117 ≠ 33 = 351 mod 159

m=160: 276 mod 160 = 116 ≠ 31 = 351 mod 160

m=161: 276 mod 161 = 115 ≠ 29 = 351 mod 161

m=162: 276 mod 162 = 114 ≠ 27 = 351 mod 162

m=163: 276 mod 163 = 113 ≠ 25 = 351 mod 163

m=164: 276 mod 164 = 112 ≠ 23 = 351 mod 164

m=165: 276 mod 165 = 111 ≠ 21 = 351 mod 165

m=166: 276 mod 166 = 110 ≠ 19 = 351 mod 166

m=167: 276 mod 167 = 109 ≠ 17 = 351 mod 167

m=168: 276 mod 168 = 108 ≠ 15 = 351 mod 168

m=169: 276 mod 169 = 107 ≠ 13 = 351 mod 169

m=170: 276 mod 170 = 106 ≠ 11 = 351 mod 170

m=171: 276 mod 171 = 105 ≠ 9 = 351 mod 171

m=172: 276 mod 172 = 104 ≠ 7 = 351 mod 172

m=173: 276 mod 173 = 103 ≠ 5 = 351 mod 173

m=174: 276 mod 174 = 102 ≠ 3 = 351 mod 174

m=175: 276 mod 175 = 101 ≠ 1 = 351 mod 175

m=176: 276 mod 176 = 100 ≠ 175 = 351 mod 176

m=177: 276 mod 177 = 99 ≠ 174 = 351 mod 177

m=178: 276 mod 178 = 98 ≠ 173 = 351 mod 178

m=179: 276 mod 179 = 97 ≠ 172 = 351 mod 179

m=180: 276 mod 180 = 96 ≠ 171 = 351 mod 180

m=181: 276 mod 181 = 95 ≠ 170 = 351 mod 181

m=182: 276 mod 182 = 94 ≠ 169 = 351 mod 182

m=183: 276 mod 183 = 93 ≠ 168 = 351 mod 183

m=184: 276 mod 184 = 92 ≠ 167 = 351 mod 184

m=185: 276 mod 185 = 91 ≠ 166 = 351 mod 185

m=186: 276 mod 186 = 90 ≠ 165 = 351 mod 186

m=187: 276 mod 187 = 89 ≠ 164 = 351 mod 187

m=188: 276 mod 188 = 88 ≠ 163 = 351 mod 188

m=189: 276 mod 189 = 87 ≠ 162 = 351 mod 189

m=190: 276 mod 190 = 86 ≠ 161 = 351 mod 190

m=191: 276 mod 191 = 85 ≠ 160 = 351 mod 191

m=192: 276 mod 192 = 84 ≠ 159 = 351 mod 192

m=193: 276 mod 193 = 83 ≠ 158 = 351 mod 193

m=194: 276 mod 194 = 82 ≠ 157 = 351 mod 194

m=195: 276 mod 195 = 81 ≠ 156 = 351 mod 195

m=196: 276 mod 196 = 80 ≠ 155 = 351 mod 196

m=197: 276 mod 197 = 79 ≠ 154 = 351 mod 197

m=198: 276 mod 198 = 78 ≠ 153 = 351 mod 198

m=199: 276 mod 199 = 77 ≠ 152 = 351 mod 199

m=200: 276 mod 200 = 76 ≠ 151 = 351 mod 200

m=201: 276 mod 201 = 75 ≠ 150 = 351 mod 201

m=202: 276 mod 202 = 74 ≠ 149 = 351 mod 202

m=203: 276 mod 203 = 73 ≠ 148 = 351 mod 203

m=204: 276 mod 204 = 72 ≠ 147 = 351 mod 204

m=205: 276 mod 205 = 71 ≠ 146 = 351 mod 205

m=206: 276 mod 206 = 70 ≠ 145 = 351 mod 206

m=207: 276 mod 207 = 69 ≠ 144 = 351 mod 207

m=208: 276 mod 208 = 68 ≠ 143 = 351 mod 208

m=209: 276 mod 209 = 67 ≠ 142 = 351 mod 209

m=210: 276 mod 210 = 66 ≠ 141 = 351 mod 210

m=211: 276 mod 211 = 65 ≠ 140 = 351 mod 211

m=212: 276 mod 212 = 64 ≠ 139 = 351 mod 212

m=213: 276 mod 213 = 63 ≠ 138 = 351 mod 213

m=214: 276 mod 214 = 62 ≠ 137 = 351 mod 214

m=215: 276 mod 215 = 61 ≠ 136 = 351 mod 215

m=216: 276 mod 216 = 60 ≠ 135 = 351 mod 216

m=217: 276 mod 217 = 59 ≠ 134 = 351 mod 217

m=218: 276 mod 218 = 58 ≠ 133 = 351 mod 218

m=219: 276 mod 219 = 57 ≠ 132 = 351 mod 219

m=220: 276 mod 220 = 56 ≠ 131 = 351 mod 220

m=221: 276 mod 221 = 55 ≠ 130 = 351 mod 221

m=222: 276 mod 222 = 54 ≠ 129 = 351 mod 222

m=223: 276 mod 223 = 53 ≠ 128 = 351 mod 223

m=224: 276 mod 224 = 52 ≠ 127 = 351 mod 224

m=225: 276 mod 225 = 51 ≠ 126 = 351 mod 225

m=226: 276 mod 226 = 50 ≠ 125 = 351 mod 226

m=227: 276 mod 227 = 49 ≠ 124 = 351 mod 227

m=228: 276 mod 228 = 48 ≠ 123 = 351 mod 228

m=229: 276 mod 229 = 47 ≠ 122 = 351 mod 229

m=230: 276 mod 230 = 46 ≠ 121 = 351 mod 230

m=231: 276 mod 231 = 45 ≠ 120 = 351 mod 231

m=232: 276 mod 232 = 44 ≠ 119 = 351 mod 232

m=233: 276 mod 233 = 43 ≠ 118 = 351 mod 233

m=234: 276 mod 234 = 42 ≠ 117 = 351 mod 234

m=235: 276 mod 235 = 41 ≠ 116 = 351 mod 235

m=236: 276 mod 236 = 40 ≠ 115 = 351 mod 236

m=237: 276 mod 237 = 39 ≠ 114 = 351 mod 237

m=238: 276 mod 238 = 38 ≠ 113 = 351 mod 238

m=239: 276 mod 239 = 37 ≠ 112 = 351 mod 239

m=240: 276 mod 240 = 36 ≠ 111 = 351 mod 240

m=241: 276 mod 241 = 35 ≠ 110 = 351 mod 241

m=242: 276 mod 242 = 34 ≠ 109 = 351 mod 242

m=243: 276 mod 243 = 33 ≠ 108 = 351 mod 243

m=244: 276 mod 244 = 32 ≠ 107 = 351 mod 244

m=245: 276 mod 245 = 31 ≠ 106 = 351 mod 245

m=246: 276 mod 246 = 30 ≠ 105 = 351 mod 246

m=247: 276 mod 247 = 29 ≠ 104 = 351 mod 247

m=248: 276 mod 248 = 28 ≠ 103 = 351 mod 248

m=249: 276 mod 249 = 27 ≠ 102 = 351 mod 249

m=250: 276 mod 250 = 26 ≠ 101 = 351 mod 250

m=251: 276 mod 251 = 25 ≠ 100 = 351 mod 251

m=252: 276 mod 252 = 24 ≠ 99 = 351 mod 252

m=253: 276 mod 253 = 23 ≠ 98 = 351 mod 253

m=254: 276 mod 254 = 22 ≠ 97 = 351 mod 254

m=255: 276 mod 255 = 21 ≠ 96 = 351 mod 255

m=256: 276 mod 256 = 20 ≠ 95 = 351 mod 256

m=257: 276 mod 257 = 19 ≠ 94 = 351 mod 257

m=258: 276 mod 258 = 18 ≠ 93 = 351 mod 258

m=259: 276 mod 259 = 17 ≠ 92 = 351 mod 259

m=260: 276 mod 260 = 16 ≠ 91 = 351 mod 260

m=261: 276 mod 261 = 15 ≠ 90 = 351 mod 261

m=262: 276 mod 262 = 14 ≠ 89 = 351 mod 262

m=263: 276 mod 263 = 13 ≠ 88 = 351 mod 263

m=264: 276 mod 264 = 12 ≠ 87 = 351 mod 264

m=265: 276 mod 265 = 11 ≠ 86 = 351 mod 265

m=266: 276 mod 266 = 10 ≠ 85 = 351 mod 266

m=267: 276 mod 267 = 9 ≠ 84 = 351 mod 267

m=268: 276 mod 268 = 8 ≠ 83 = 351 mod 268

m=269: 276 mod 269 = 7 ≠ 82 = 351 mod 269

m=270: 276 mod 270 = 6 ≠ 81 = 351 mod 270

m=271: 276 mod 271 = 5 ≠ 80 = 351 mod 271

m=272: 276 mod 272 = 4 ≠ 79 = 351 mod 272

m=273: 276 mod 273 = 3 ≠ 78 = 351 mod 273

m=274: 276 mod 274 = 2 ≠ 77 = 351 mod 274

m=275: 276 mod 275 = 1 ≠ 76 = 351 mod 275

m=276: 276 mod 276 = 0 ≠ 75 = 351 mod 276

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (351 - 276) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75