Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 98 = 0.

Somit gilt: 98 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.

Somit gilt: 45 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Somit gilt: 90 ≡ 45 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 - 147) mod 5 ≡ (1497 mod 5 - 147 mod 5) mod 5.

1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1400+97 = 5 ⋅ 280 +97.

147 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 140+7 = 5 ⋅ 28 +7.

Somit gilt:

(1497 - 147) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 64) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 64) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4