Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 55 = 9.

Somit gilt: 64 mod 11 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3

Somit gilt: 51 ≡ 99 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(303 - 122) mod 3 ≡ (303 mod 3 - 122 mod 3) mod 3.

303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 3 ⋅ 100 +3.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(303 - 122) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 75) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 75) mod 11 ≡ (4 ⋅ 9) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 ≠ 1 = 33 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 33 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 1 = 33 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 1 = 33 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 = 6 = 33 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 9 = 33 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 24) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9