Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 99, weil ja 11 ⋅ 9 = 99 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.
Somit gilt: 100 mod 9 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 83 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.
Somit gilt: 83 mod 5 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.
Somit gilt: 93 ≡ 83 ≡ 3 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 - 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 - 81) mod 4 ≡ (11999 mod 4 - 81 mod 4) mod 4.
11999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 11000
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 80
Somit gilt:
(11999 - 81) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 42) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 42) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 42 mod 6) mod 6.
89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.
42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 42) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6