Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 27 = 6.

Somit gilt: 33 mod 9 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 77 = 4.

Somit gilt: 81 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 22 und erhalten so 26.

Somit gilt: 26 ≡ 81 ≡ 4 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40002 - 247) mod 8 ≡ (40002 mod 8 - 247 mod 8) mod 8.

40002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40002 = 40000+2 = 8 ⋅ 5000 +2.

247 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247 = 240+7 = 8 ⋅ 30 +7.

Somit gilt:

(40002 - 247) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 98) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.

62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 98) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 72 aus, ob zufällig 72 mod m = 97 mod m gilt:

m=2: 72 mod 2 = 0 ≠ 1 = 97 mod 2

m=3: 72 mod 3 = 0 ≠ 1 = 97 mod 3

m=4: 72 mod 4 = 0 ≠ 1 = 97 mod 4

m=5: 72 mod 5 = 2 = 2 = 97 mod 5

m=6: 72 mod 6 = 0 ≠ 1 = 97 mod 6

m=7: 72 mod 7 = 2 ≠ 6 = 97 mod 7

m=8: 72 mod 8 = 0 ≠ 1 = 97 mod 8

m=9: 72 mod 9 = 0 ≠ 7 = 97 mod 9

m=10: 72 mod 10 = 2 ≠ 7 = 97 mod 10

m=11: 72 mod 11 = 6 ≠ 9 = 97 mod 11

m=12: 72 mod 12 = 0 ≠ 1 = 97 mod 12

m=13: 72 mod 13 = 7 ≠ 6 = 97 mod 13

m=14: 72 mod 14 = 2 ≠ 13 = 97 mod 14

m=15: 72 mod 15 = 12 ≠ 7 = 97 mod 15

m=16: 72 mod 16 = 8 ≠ 1 = 97 mod 16

m=17: 72 mod 17 = 4 ≠ 12 = 97 mod 17

m=18: 72 mod 18 = 0 ≠ 7 = 97 mod 18

m=19: 72 mod 19 = 15 ≠ 2 = 97 mod 19

m=20: 72 mod 20 = 12 ≠ 17 = 97 mod 20

m=21: 72 mod 21 = 9 ≠ 13 = 97 mod 21

m=22: 72 mod 22 = 6 ≠ 9 = 97 mod 22

m=23: 72 mod 23 = 3 ≠ 5 = 97 mod 23

m=24: 72 mod 24 = 0 ≠ 1 = 97 mod 24

m=25: 72 mod 25 = 22 = 22 = 97 mod 25

m=26: 72 mod 26 = 20 ≠ 19 = 97 mod 26

m=27: 72 mod 27 = 18 ≠ 16 = 97 mod 27

m=28: 72 mod 28 = 16 ≠ 13 = 97 mod 28

m=29: 72 mod 29 = 14 ≠ 10 = 97 mod 29

m=30: 72 mod 30 = 12 ≠ 7 = 97 mod 30

m=31: 72 mod 31 = 10 ≠ 4 = 97 mod 31

m=32: 72 mod 32 = 8 ≠ 1 = 97 mod 32

m=33: 72 mod 33 = 6 ≠ 31 = 97 mod 33

m=34: 72 mod 34 = 4 ≠ 29 = 97 mod 34

m=35: 72 mod 35 = 2 ≠ 27 = 97 mod 35

m=36: 72 mod 36 = 0 ≠ 25 = 97 mod 36

m=37: 72 mod 37 = 35 ≠ 23 = 97 mod 37

m=38: 72 mod 38 = 34 ≠ 21 = 97 mod 38

m=39: 72 mod 39 = 33 ≠ 19 = 97 mod 39

m=40: 72 mod 40 = 32 ≠ 17 = 97 mod 40

m=41: 72 mod 41 = 31 ≠ 15 = 97 mod 41

m=42: 72 mod 42 = 30 ≠ 13 = 97 mod 42

m=43: 72 mod 43 = 29 ≠ 11 = 97 mod 43

m=44: 72 mod 44 = 28 ≠ 9 = 97 mod 44

m=45: 72 mod 45 = 27 ≠ 7 = 97 mod 45

m=46: 72 mod 46 = 26 ≠ 5 = 97 mod 46

m=47: 72 mod 47 = 25 ≠ 3 = 97 mod 47

m=48: 72 mod 48 = 24 ≠ 1 = 97 mod 48

m=49: 72 mod 49 = 23 ≠ 48 = 97 mod 49

m=50: 72 mod 50 = 22 ≠ 47 = 97 mod 50

m=51: 72 mod 51 = 21 ≠ 46 = 97 mod 51

m=52: 72 mod 52 = 20 ≠ 45 = 97 mod 52

m=53: 72 mod 53 = 19 ≠ 44 = 97 mod 53

m=54: 72 mod 54 = 18 ≠ 43 = 97 mod 54

m=55: 72 mod 55 = 17 ≠ 42 = 97 mod 55

m=56: 72 mod 56 = 16 ≠ 41 = 97 mod 56

m=57: 72 mod 57 = 15 ≠ 40 = 97 mod 57

m=58: 72 mod 58 = 14 ≠ 39 = 97 mod 58

m=59: 72 mod 59 = 13 ≠ 38 = 97 mod 59

m=60: 72 mod 60 = 12 ≠ 37 = 97 mod 60

m=61: 72 mod 61 = 11 ≠ 36 = 97 mod 61

m=62: 72 mod 62 = 10 ≠ 35 = 97 mod 62

m=63: 72 mod 63 = 9 ≠ 34 = 97 mod 63

m=64: 72 mod 64 = 8 ≠ 33 = 97 mod 64

m=65: 72 mod 65 = 7 ≠ 32 = 97 mod 65

m=66: 72 mod 66 = 6 ≠ 31 = 97 mod 66

m=67: 72 mod 67 = 5 ≠ 30 = 97 mod 67

m=68: 72 mod 68 = 4 ≠ 29 = 97 mod 68

m=69: 72 mod 69 = 3 ≠ 28 = 97 mod 69

m=70: 72 mod 70 = 2 ≠ 27 = 97 mod 70

m=71: 72 mod 71 = 1 ≠ 26 = 97 mod 71

m=72: 72 mod 72 = 0 ≠ 25 = 97 mod 72

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (97 - 72) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25