Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 77 = 4.

Somit gilt: 81 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 76 = 1.

Somit gilt: 77 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 77 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 - 297) mod 3 ≡ (9003 mod 3 - 297 mod 3) mod 3.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 3 ⋅ 100 -3 = 3 ⋅ 100 - 3 + 0.

Somit gilt:

(9003 - 297) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 97) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 97) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 47 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 = 1 = 47 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 ≠ 2 = 47 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 3 = 47 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 47 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 5 = 47 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 5 = 47 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 7 = 47 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 2 = 47 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 = 7 = 47 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 3 = 47 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 11 = 47 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 8 = 47 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 5 = 47 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 ≠ 2 = 47 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 15 = 47 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 13 = 47 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 11 = 47 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 9 = 47 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 7 = 47 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 5 = 47 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 3 = 47 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 1 = 47 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 23 = 47 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 22 = 47 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 21 = 47 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 20 = 47 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 19 = 47 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 18 = 47 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 17 = 47 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 16 = 47 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 15 = 47 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 14 = 47 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 13 = 47 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 12 = 47 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 11 = 47 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 10 = 47 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (47 - 37) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10