Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.

Somit gilt: 43 mod 8 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 20 = 9.

Somit gilt: 29 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 60 und erhalten so 69.

Somit gilt: 69 ≡ 29 ≡ 9 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 + 1204) mod 4 ≡ (78 mod 4 + 1204 mod 4) mod 4.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 4 ⋅ 20 -2 = 4 ⋅ 20 - 4 + 2.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(78 + 1204) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 57) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 57 mod 10) mod 10.

96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.

57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 57) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 144 aus, ob zufällig 144 mod m = 189 mod m gilt:

m=2: 144 mod 2 = 0 ≠ 1 = 189 mod 2

m=3: 144 mod 3 = 0 = 0 = 189 mod 3

m=4: 144 mod 4 = 0 ≠ 1 = 189 mod 4

m=5: 144 mod 5 = 4 = 4 = 189 mod 5

m=6: 144 mod 6 = 0 ≠ 3 = 189 mod 6

m=7: 144 mod 7 = 4 ≠ 0 = 189 mod 7

m=8: 144 mod 8 = 0 ≠ 5 = 189 mod 8

m=9: 144 mod 9 = 0 = 0 = 189 mod 9

m=10: 144 mod 10 = 4 ≠ 9 = 189 mod 10

m=11: 144 mod 11 = 1 ≠ 2 = 189 mod 11

m=12: 144 mod 12 = 0 ≠ 9 = 189 mod 12

m=13: 144 mod 13 = 1 ≠ 7 = 189 mod 13

m=14: 144 mod 14 = 4 ≠ 7 = 189 mod 14

m=15: 144 mod 15 = 9 = 9 = 189 mod 15

m=16: 144 mod 16 = 0 ≠ 13 = 189 mod 16

m=17: 144 mod 17 = 8 ≠ 2 = 189 mod 17

m=18: 144 mod 18 = 0 ≠ 9 = 189 mod 18

m=19: 144 mod 19 = 11 ≠ 18 = 189 mod 19

m=20: 144 mod 20 = 4 ≠ 9 = 189 mod 20

m=21: 144 mod 21 = 18 ≠ 0 = 189 mod 21

m=22: 144 mod 22 = 12 ≠ 13 = 189 mod 22

m=23: 144 mod 23 = 6 ≠ 5 = 189 mod 23

m=24: 144 mod 24 = 0 ≠ 21 = 189 mod 24

m=25: 144 mod 25 = 19 ≠ 14 = 189 mod 25

m=26: 144 mod 26 = 14 ≠ 7 = 189 mod 26

m=27: 144 mod 27 = 9 ≠ 0 = 189 mod 27

m=28: 144 mod 28 = 4 ≠ 21 = 189 mod 28

m=29: 144 mod 29 = 28 ≠ 15 = 189 mod 29

m=30: 144 mod 30 = 24 ≠ 9 = 189 mod 30

m=31: 144 mod 31 = 20 ≠ 3 = 189 mod 31

m=32: 144 mod 32 = 16 ≠ 29 = 189 mod 32

m=33: 144 mod 33 = 12 ≠ 24 = 189 mod 33

m=34: 144 mod 34 = 8 ≠ 19 = 189 mod 34

m=35: 144 mod 35 = 4 ≠ 14 = 189 mod 35

m=36: 144 mod 36 = 0 ≠ 9 = 189 mod 36

m=37: 144 mod 37 = 33 ≠ 4 = 189 mod 37

m=38: 144 mod 38 = 30 ≠ 37 = 189 mod 38

m=39: 144 mod 39 = 27 ≠ 33 = 189 mod 39

m=40: 144 mod 40 = 24 ≠ 29 = 189 mod 40

m=41: 144 mod 41 = 21 ≠ 25 = 189 mod 41

m=42: 144 mod 42 = 18 ≠ 21 = 189 mod 42

m=43: 144 mod 43 = 15 ≠ 17 = 189 mod 43

m=44: 144 mod 44 = 12 ≠ 13 = 189 mod 44

m=45: 144 mod 45 = 9 = 9 = 189 mod 45

m=46: 144 mod 46 = 6 ≠ 5 = 189 mod 46

m=47: 144 mod 47 = 3 ≠ 1 = 189 mod 47

m=48: 144 mod 48 = 0 ≠ 45 = 189 mod 48

m=49: 144 mod 49 = 46 ≠ 42 = 189 mod 49

m=50: 144 mod 50 = 44 ≠ 39 = 189 mod 50

m=51: 144 mod 51 = 42 ≠ 36 = 189 mod 51

m=52: 144 mod 52 = 40 ≠ 33 = 189 mod 52

m=53: 144 mod 53 = 38 ≠ 30 = 189 mod 53

m=54: 144 mod 54 = 36 ≠ 27 = 189 mod 54

m=55: 144 mod 55 = 34 ≠ 24 = 189 mod 55

m=56: 144 mod 56 = 32 ≠ 21 = 189 mod 56

m=57: 144 mod 57 = 30 ≠ 18 = 189 mod 57

m=58: 144 mod 58 = 28 ≠ 15 = 189 mod 58

m=59: 144 mod 59 = 26 ≠ 12 = 189 mod 59

m=60: 144 mod 60 = 24 ≠ 9 = 189 mod 60

m=61: 144 mod 61 = 22 ≠ 6 = 189 mod 61

m=62: 144 mod 62 = 20 ≠ 3 = 189 mod 62

m=63: 144 mod 63 = 18 ≠ 0 = 189 mod 63

m=64: 144 mod 64 = 16 ≠ 61 = 189 mod 64

m=65: 144 mod 65 = 14 ≠ 59 = 189 mod 65

m=66: 144 mod 66 = 12 ≠ 57 = 189 mod 66

m=67: 144 mod 67 = 10 ≠ 55 = 189 mod 67

m=68: 144 mod 68 = 8 ≠ 53 = 189 mod 68

m=69: 144 mod 69 = 6 ≠ 51 = 189 mod 69

m=70: 144 mod 70 = 4 ≠ 49 = 189 mod 70

m=71: 144 mod 71 = 2 ≠ 47 = 189 mod 71

m=72: 144 mod 72 = 0 ≠ 45 = 189 mod 72

m=73: 144 mod 73 = 71 ≠ 43 = 189 mod 73

m=74: 144 mod 74 = 70 ≠ 41 = 189 mod 74

m=75: 144 mod 75 = 69 ≠ 39 = 189 mod 75

m=76: 144 mod 76 = 68 ≠ 37 = 189 mod 76

m=77: 144 mod 77 = 67 ≠ 35 = 189 mod 77

m=78: 144 mod 78 = 66 ≠ 33 = 189 mod 78

m=79: 144 mod 79 = 65 ≠ 31 = 189 mod 79

m=80: 144 mod 80 = 64 ≠ 29 = 189 mod 80

m=81: 144 mod 81 = 63 ≠ 27 = 189 mod 81

m=82: 144 mod 82 = 62 ≠ 25 = 189 mod 82

m=83: 144 mod 83 = 61 ≠ 23 = 189 mod 83

m=84: 144 mod 84 = 60 ≠ 21 = 189 mod 84

m=85: 144 mod 85 = 59 ≠ 19 = 189 mod 85

m=86: 144 mod 86 = 58 ≠ 17 = 189 mod 86

m=87: 144 mod 87 = 57 ≠ 15 = 189 mod 87

m=88: 144 mod 88 = 56 ≠ 13 = 189 mod 88

m=89: 144 mod 89 = 55 ≠ 11 = 189 mod 89

m=90: 144 mod 90 = 54 ≠ 9 = 189 mod 90

m=91: 144 mod 91 = 53 ≠ 7 = 189 mod 91

m=92: 144 mod 92 = 52 ≠ 5 = 189 mod 92

m=93: 144 mod 93 = 51 ≠ 3 = 189 mod 93

m=94: 144 mod 94 = 50 ≠ 1 = 189 mod 94

m=95: 144 mod 95 = 49 ≠ 94 = 189 mod 95

m=96: 144 mod 96 = 48 ≠ 93 = 189 mod 96

m=97: 144 mod 97 = 47 ≠ 92 = 189 mod 97

m=98: 144 mod 98 = 46 ≠ 91 = 189 mod 98

m=99: 144 mod 99 = 45 ≠ 90 = 189 mod 99

m=100: 144 mod 100 = 44 ≠ 89 = 189 mod 100

m=101: 144 mod 101 = 43 ≠ 88 = 189 mod 101

m=102: 144 mod 102 = 42 ≠ 87 = 189 mod 102

m=103: 144 mod 103 = 41 ≠ 86 = 189 mod 103

m=104: 144 mod 104 = 40 ≠ 85 = 189 mod 104

m=105: 144 mod 105 = 39 ≠ 84 = 189 mod 105

m=106: 144 mod 106 = 38 ≠ 83 = 189 mod 106

m=107: 144 mod 107 = 37 ≠ 82 = 189 mod 107

m=108: 144 mod 108 = 36 ≠ 81 = 189 mod 108

m=109: 144 mod 109 = 35 ≠ 80 = 189 mod 109

m=110: 144 mod 110 = 34 ≠ 79 = 189 mod 110

m=111: 144 mod 111 = 33 ≠ 78 = 189 mod 111

m=112: 144 mod 112 = 32 ≠ 77 = 189 mod 112

m=113: 144 mod 113 = 31 ≠ 76 = 189 mod 113

m=114: 144 mod 114 = 30 ≠ 75 = 189 mod 114

m=115: 144 mod 115 = 29 ≠ 74 = 189 mod 115

m=116: 144 mod 116 = 28 ≠ 73 = 189 mod 116

m=117: 144 mod 117 = 27 ≠ 72 = 189 mod 117

m=118: 144 mod 118 = 26 ≠ 71 = 189 mod 118

m=119: 144 mod 119 = 25 ≠ 70 = 189 mod 119

m=120: 144 mod 120 = 24 ≠ 69 = 189 mod 120

m=121: 144 mod 121 = 23 ≠ 68 = 189 mod 121

m=122: 144 mod 122 = 22 ≠ 67 = 189 mod 122

m=123: 144 mod 123 = 21 ≠ 66 = 189 mod 123

m=124: 144 mod 124 = 20 ≠ 65 = 189 mod 124

m=125: 144 mod 125 = 19 ≠ 64 = 189 mod 125

m=126: 144 mod 126 = 18 ≠ 63 = 189 mod 126

m=127: 144 mod 127 = 17 ≠ 62 = 189 mod 127

m=128: 144 mod 128 = 16 ≠ 61 = 189 mod 128

m=129: 144 mod 129 = 15 ≠ 60 = 189 mod 129

m=130: 144 mod 130 = 14 ≠ 59 = 189 mod 130

m=131: 144 mod 131 = 13 ≠ 58 = 189 mod 131

m=132: 144 mod 132 = 12 ≠ 57 = 189 mod 132

m=133: 144 mod 133 = 11 ≠ 56 = 189 mod 133

m=134: 144 mod 134 = 10 ≠ 55 = 189 mod 134

m=135: 144 mod 135 = 9 ≠ 54 = 189 mod 135

m=136: 144 mod 136 = 8 ≠ 53 = 189 mod 136

m=137: 144 mod 137 = 7 ≠ 52 = 189 mod 137

m=138: 144 mod 138 = 6 ≠ 51 = 189 mod 138

m=139: 144 mod 139 = 5 ≠ 50 = 189 mod 139

m=140: 144 mod 140 = 4 ≠ 49 = 189 mod 140

m=141: 144 mod 141 = 3 ≠ 48 = 189 mod 141

m=142: 144 mod 142 = 2 ≠ 47 = 189 mod 142

m=143: 144 mod 143 = 1 ≠ 46 = 189 mod 143

m=144: 144 mod 144 = 0 ≠ 45 = 189 mod 144

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (189 - 144) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45