Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 55 = 0.

Somit gilt: 55 mod 11 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 24 = 4 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 24 und erhalten so 25.

Somit gilt: 25 ≡ 91 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 - 29) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 29 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

Somit gilt:

(6000 - 29) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 20) mod 7 ≡ (17 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 20) mod 7 ≡ (3 ⋅ 6) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 ≠ 0 = 27 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 = 3 = 27 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 = 3 = 27 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 8 = 27 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 19) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8