Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 55 - 55 = 0.
Somit gilt: 55 mod 11 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 91 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.
Somit gilt: 91 mod 6 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 24 = 4 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 24 und erhalten so 25.
Somit gilt: 25 ≡ 91 ≡ 1 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 - 29) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 - 29) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 29 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
Somit gilt:
(6000 - 29) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 20) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 20) mod 7 ≡ (17 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 20) mod 7 ≡ (3 ⋅ 6) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 27 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 27 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 ≠ 0 = 27 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 = 3 = 27 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 2 = 27 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 3 = 27 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 6 = 27 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 = 3 = 27 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 0 = 27 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 7 = 27 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 5 = 27 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 3 = 27 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 1 = 27 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 13 = 27 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 12 = 27 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 11 = 27 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 10 = 27 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 9 = 27 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 8 = 27 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 19) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
