Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 42, weil ja 14 ⋅ 3 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 36 = 3.

Somit gilt: 39 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 54 und erhalten so 57.

Somit gilt: 57 ≡ 39 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2709 + 90) mod 9 ≡ (2709 mod 9 + 90 mod 9) mod 9.

2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709 = 2700+9 = 9 ⋅ 300 +9.

90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 9 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(2709 + 90) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 55) mod 6 ≡ (25 mod 6 ⋅ 55 mod 6) mod 6.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 55) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 42 aus, ob zufällig 42 mod m = 57 mod m gilt:

m=2: 42 mod 2 = 0 ≠ 1 = 57 mod 2

m=3: 42 mod 3 = 0 = 0 = 57 mod 3

m=4: 42 mod 4 = 2 ≠ 1 = 57 mod 4

m=5: 42 mod 5 = 2 = 2 = 57 mod 5

m=6: 42 mod 6 = 0 ≠ 3 = 57 mod 6

m=7: 42 mod 7 = 0 ≠ 1 = 57 mod 7

m=8: 42 mod 8 = 2 ≠ 1 = 57 mod 8

m=9: 42 mod 9 = 6 ≠ 3 = 57 mod 9

m=10: 42 mod 10 = 2 ≠ 7 = 57 mod 10

m=11: 42 mod 11 = 9 ≠ 2 = 57 mod 11

m=12: 42 mod 12 = 6 ≠ 9 = 57 mod 12

m=13: 42 mod 13 = 3 ≠ 5 = 57 mod 13

m=14: 42 mod 14 = 0 ≠ 1 = 57 mod 14

m=15: 42 mod 15 = 12 = 12 = 57 mod 15

m=16: 42 mod 16 = 10 ≠ 9 = 57 mod 16

m=17: 42 mod 17 = 8 ≠ 6 = 57 mod 17

m=18: 42 mod 18 = 6 ≠ 3 = 57 mod 18

m=19: 42 mod 19 = 4 ≠ 0 = 57 mod 19

m=20: 42 mod 20 = 2 ≠ 17 = 57 mod 20

m=21: 42 mod 21 = 0 ≠ 15 = 57 mod 21

m=22: 42 mod 22 = 20 ≠ 13 = 57 mod 22

m=23: 42 mod 23 = 19 ≠ 11 = 57 mod 23

m=24: 42 mod 24 = 18 ≠ 9 = 57 mod 24

m=25: 42 mod 25 = 17 ≠ 7 = 57 mod 25

m=26: 42 mod 26 = 16 ≠ 5 = 57 mod 26

m=27: 42 mod 27 = 15 ≠ 3 = 57 mod 27

m=28: 42 mod 28 = 14 ≠ 1 = 57 mod 28

m=29: 42 mod 29 = 13 ≠ 28 = 57 mod 29

m=30: 42 mod 30 = 12 ≠ 27 = 57 mod 30

m=31: 42 mod 31 = 11 ≠ 26 = 57 mod 31

m=32: 42 mod 32 = 10 ≠ 25 = 57 mod 32

m=33: 42 mod 33 = 9 ≠ 24 = 57 mod 33

m=34: 42 mod 34 = 8 ≠ 23 = 57 mod 34

m=35: 42 mod 35 = 7 ≠ 22 = 57 mod 35

m=36: 42 mod 36 = 6 ≠ 21 = 57 mod 36

m=37: 42 mod 37 = 5 ≠ 20 = 57 mod 37

m=38: 42 mod 38 = 4 ≠ 19 = 57 mod 38

m=39: 42 mod 39 = 3 ≠ 18 = 57 mod 39

m=40: 42 mod 40 = 2 ≠ 17 = 57 mod 40

m=41: 42 mod 41 = 1 ≠ 16 = 57 mod 41

m=42: 42 mod 42 = 0 ≠ 15 = 57 mod 42

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (57 - 42) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15