Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 65 = 4.

Somit gilt: 69 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.

Somit gilt: 36 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 8 ⋅ 9

Somit gilt: 72 ≡ 36 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1403 - 21003) mod 7 ≡ (1403 mod 7 - 21003 mod 7) mod 7.

1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403 = 1400+3 = 7 ⋅ 200 +3.

21003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21003 = 21000+3 = 7 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(1403 - 21003) mod 7 ≡ (3 - 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 79) mod 7 ≡ (86 mod 7 ⋅ 79 mod 7) mod 7.

86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.

79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 79) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 76 aus, ob zufällig 76 mod m = 106 mod m gilt:

m=2: 76 mod 2 = 0 = 0 = 106 mod 2

m=3: 76 mod 3 = 1 = 1 = 106 mod 3

m=4: 76 mod 4 = 0 ≠ 2 = 106 mod 4

m=5: 76 mod 5 = 1 = 1 = 106 mod 5

m=6: 76 mod 6 = 4 = 4 = 106 mod 6

m=7: 76 mod 7 = 6 ≠ 1 = 106 mod 7

m=8: 76 mod 8 = 4 ≠ 2 = 106 mod 8

m=9: 76 mod 9 = 4 ≠ 7 = 106 mod 9

m=10: 76 mod 10 = 6 = 6 = 106 mod 10

m=11: 76 mod 11 = 10 ≠ 7 = 106 mod 11

m=12: 76 mod 12 = 4 ≠ 10 = 106 mod 12

m=13: 76 mod 13 = 11 ≠ 2 = 106 mod 13

m=14: 76 mod 14 = 6 ≠ 8 = 106 mod 14

m=15: 76 mod 15 = 1 = 1 = 106 mod 15

m=16: 76 mod 16 = 12 ≠ 10 = 106 mod 16

m=17: 76 mod 17 = 8 ≠ 4 = 106 mod 17

m=18: 76 mod 18 = 4 ≠ 16 = 106 mod 18

m=19: 76 mod 19 = 0 ≠ 11 = 106 mod 19

m=20: 76 mod 20 = 16 ≠ 6 = 106 mod 20

m=21: 76 mod 21 = 13 ≠ 1 = 106 mod 21

m=22: 76 mod 22 = 10 ≠ 18 = 106 mod 22

m=23: 76 mod 23 = 7 ≠ 14 = 106 mod 23

m=24: 76 mod 24 = 4 ≠ 10 = 106 mod 24

m=25: 76 mod 25 = 1 ≠ 6 = 106 mod 25

m=26: 76 mod 26 = 24 ≠ 2 = 106 mod 26

m=27: 76 mod 27 = 22 ≠ 25 = 106 mod 27

m=28: 76 mod 28 = 20 ≠ 22 = 106 mod 28

m=29: 76 mod 29 = 18 ≠ 19 = 106 mod 29

m=30: 76 mod 30 = 16 = 16 = 106 mod 30

m=31: 76 mod 31 = 14 ≠ 13 = 106 mod 31

m=32: 76 mod 32 = 12 ≠ 10 = 106 mod 32

m=33: 76 mod 33 = 10 ≠ 7 = 106 mod 33

m=34: 76 mod 34 = 8 ≠ 4 = 106 mod 34

m=35: 76 mod 35 = 6 ≠ 1 = 106 mod 35

m=36: 76 mod 36 = 4 ≠ 34 = 106 mod 36

m=37: 76 mod 37 = 2 ≠ 32 = 106 mod 37

m=38: 76 mod 38 = 0 ≠ 30 = 106 mod 38

m=39: 76 mod 39 = 37 ≠ 28 = 106 mod 39

m=40: 76 mod 40 = 36 ≠ 26 = 106 mod 40

m=41: 76 mod 41 = 35 ≠ 24 = 106 mod 41

m=42: 76 mod 42 = 34 ≠ 22 = 106 mod 42

m=43: 76 mod 43 = 33 ≠ 20 = 106 mod 43

m=44: 76 mod 44 = 32 ≠ 18 = 106 mod 44

m=45: 76 mod 45 = 31 ≠ 16 = 106 mod 45

m=46: 76 mod 46 = 30 ≠ 14 = 106 mod 46

m=47: 76 mod 47 = 29 ≠ 12 = 106 mod 47

m=48: 76 mod 48 = 28 ≠ 10 = 106 mod 48

m=49: 76 mod 49 = 27 ≠ 8 = 106 mod 49

m=50: 76 mod 50 = 26 ≠ 6 = 106 mod 50

m=51: 76 mod 51 = 25 ≠ 4 = 106 mod 51

m=52: 76 mod 52 = 24 ≠ 2 = 106 mod 52

m=53: 76 mod 53 = 23 ≠ 0 = 106 mod 53

m=54: 76 mod 54 = 22 ≠ 52 = 106 mod 54

m=55: 76 mod 55 = 21 ≠ 51 = 106 mod 55

m=56: 76 mod 56 = 20 ≠ 50 = 106 mod 56

m=57: 76 mod 57 = 19 ≠ 49 = 106 mod 57

m=58: 76 mod 58 = 18 ≠ 48 = 106 mod 58

m=59: 76 mod 59 = 17 ≠ 47 = 106 mod 59

m=60: 76 mod 60 = 16 ≠ 46 = 106 mod 60

m=61: 76 mod 61 = 15 ≠ 45 = 106 mod 61

m=62: 76 mod 62 = 14 ≠ 44 = 106 mod 62

m=63: 76 mod 63 = 13 ≠ 43 = 106 mod 63

m=64: 76 mod 64 = 12 ≠ 42 = 106 mod 64

m=65: 76 mod 65 = 11 ≠ 41 = 106 mod 65

m=66: 76 mod 66 = 10 ≠ 40 = 106 mod 66

m=67: 76 mod 67 = 9 ≠ 39 = 106 mod 67

m=68: 76 mod 68 = 8 ≠ 38 = 106 mod 68

m=69: 76 mod 69 = 7 ≠ 37 = 106 mod 69

m=70: 76 mod 70 = 6 ≠ 36 = 106 mod 70

m=71: 76 mod 71 = 5 ≠ 35 = 106 mod 71

m=72: 76 mod 72 = 4 ≠ 34 = 106 mod 72

m=73: 76 mod 73 = 3 ≠ 33 = 106 mod 73

m=74: 76 mod 74 = 2 ≠ 32 = 106 mod 74

m=75: 76 mod 75 = 1 ≠ 31 = 106 mod 75

m=76: 76 mod 76 = 0 ≠ 30 = 106 mod 76

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (106 - 76) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30