Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 9 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Somit gilt: 60 ≡ 20 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14003 + 13997) mod 7 ≡ (14003 mod 7 + 13997 mod 7) mod 7.

14003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14003 = 14000+3 = 7 ⋅ 2000 +3.

13997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13997 = 14000-3 = 7 ⋅ 2000 -3 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(14003 + 13997) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 25) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 25) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 33 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 = 3 = 33 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 1 = 33 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 = 3 = 33 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 10 = 33 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 23) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10