Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 6 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 77 = 3.

Somit gilt: 80 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 66 und erhalten so 69.

Somit gilt: 69 ≡ 80 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(457 - 898) mod 9 ≡ (457 mod 9 - 898 mod 9) mod 9.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

898 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 9 ⋅ 100 -2 = 9 ⋅ 100 - 9 + 7.

Somit gilt:

(457 - 898) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 41) mod 11 ≡ (72 mod 11 ⋅ 41 mod 11) mod 11.

72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 41) mod 11 ≡ (6 ⋅ 8) mod 11 ≡ 48 mod 11 ≡ 4 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 56 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 = 0 = 56 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 = 0 = 56 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 ≠ 1 = 56 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 = 2 = 56 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 0 = 56 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 0 = 56 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 ≠ 2 = 56 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 ≠ 6 = 56 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 1 = 56 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 = 8 = 56 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 4 = 56 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 0 = 56 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 ≠ 11 = 56 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 8 = 56 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 5 = 56 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 ≠ 2 = 56 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 18 = 56 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 ≠ 16 = 56 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 14 = 56 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 12 = 56 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 10 = 56 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 8 = 56 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 6 = 56 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 4 = 56 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 2 = 56 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 0 = 56 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 27 = 56 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 26 = 56 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 25 = 56 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 24 = 56 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 23 = 56 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 22 = 56 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 21 = 56 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 20 = 56 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 19 = 56 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 18 = 56 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 17 = 56 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 16 = 56 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 15 = 56 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 14 = 56 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 13 = 56 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 12 = 56 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 44) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12