Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 63 = 0.

Somit gilt: 63 mod 9 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 81, weil ja 27 ⋅ 3 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.

Somit gilt: 83 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 83 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 - 148) mod 5 ≡ (246 mod 5 - 148 mod 5) mod 5.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

148 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148 = 140+8 = 5 ⋅ 28 +8.

Somit gilt:

(246 - 148) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 53) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 53 mod 10) mod 10.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 53) mod 10 ≡ (8 ⋅ 3) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6