Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.

Somit gilt: 45 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 20 = 4.

Somit gilt: 24 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 30 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 24 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32005 - 2407) mod 8 ≡ (32005 mod 8 - 2407 mod 8) mod 8.

32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005 = 32000+5 = 8 ⋅ 4000 +5.

2407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2407 = 2400+7 = 8 ⋅ 300 +7.

Somit gilt:

(32005 - 2407) mod 8 ≡ (5 - 7) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 47) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.

71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 47) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 92 aus, ob zufällig 92 mod m = 137 mod m gilt:

m=2: 92 mod 2 = 0 ≠ 1 = 137 mod 2

m=3: 92 mod 3 = 2 = 2 = 137 mod 3

m=4: 92 mod 4 = 0 ≠ 1 = 137 mod 4

m=5: 92 mod 5 = 2 = 2 = 137 mod 5

m=6: 92 mod 6 = 2 ≠ 5 = 137 mod 6

m=7: 92 mod 7 = 1 ≠ 4 = 137 mod 7

m=8: 92 mod 8 = 4 ≠ 1 = 137 mod 8

m=9: 92 mod 9 = 2 = 2 = 137 mod 9

m=10: 92 mod 10 = 2 ≠ 7 = 137 mod 10

m=11: 92 mod 11 = 4 ≠ 5 = 137 mod 11

m=12: 92 mod 12 = 8 ≠ 5 = 137 mod 12

m=13: 92 mod 13 = 1 ≠ 7 = 137 mod 13

m=14: 92 mod 14 = 8 ≠ 11 = 137 mod 14

m=15: 92 mod 15 = 2 = 2 = 137 mod 15

m=16: 92 mod 16 = 12 ≠ 9 = 137 mod 16

m=17: 92 mod 17 = 7 ≠ 1 = 137 mod 17

m=18: 92 mod 18 = 2 ≠ 11 = 137 mod 18

m=19: 92 mod 19 = 16 ≠ 4 = 137 mod 19

m=20: 92 mod 20 = 12 ≠ 17 = 137 mod 20

m=21: 92 mod 21 = 8 ≠ 11 = 137 mod 21

m=22: 92 mod 22 = 4 ≠ 5 = 137 mod 22

m=23: 92 mod 23 = 0 ≠ 22 = 137 mod 23

m=24: 92 mod 24 = 20 ≠ 17 = 137 mod 24

m=25: 92 mod 25 = 17 ≠ 12 = 137 mod 25

m=26: 92 mod 26 = 14 ≠ 7 = 137 mod 26

m=27: 92 mod 27 = 11 ≠ 2 = 137 mod 27

m=28: 92 mod 28 = 8 ≠ 25 = 137 mod 28

m=29: 92 mod 29 = 5 ≠ 21 = 137 mod 29

m=30: 92 mod 30 = 2 ≠ 17 = 137 mod 30

m=31: 92 mod 31 = 30 ≠ 13 = 137 mod 31

m=32: 92 mod 32 = 28 ≠ 9 = 137 mod 32

m=33: 92 mod 33 = 26 ≠ 5 = 137 mod 33

m=34: 92 mod 34 = 24 ≠ 1 = 137 mod 34

m=35: 92 mod 35 = 22 ≠ 32 = 137 mod 35

m=36: 92 mod 36 = 20 ≠ 29 = 137 mod 36

m=37: 92 mod 37 = 18 ≠ 26 = 137 mod 37

m=38: 92 mod 38 = 16 ≠ 23 = 137 mod 38

m=39: 92 mod 39 = 14 ≠ 20 = 137 mod 39

m=40: 92 mod 40 = 12 ≠ 17 = 137 mod 40

m=41: 92 mod 41 = 10 ≠ 14 = 137 mod 41

m=42: 92 mod 42 = 8 ≠ 11 = 137 mod 42

m=43: 92 mod 43 = 6 ≠ 8 = 137 mod 43

m=44: 92 mod 44 = 4 ≠ 5 = 137 mod 44

m=45: 92 mod 45 = 2 = 2 = 137 mod 45

m=46: 92 mod 46 = 0 ≠ 45 = 137 mod 46

m=47: 92 mod 47 = 45 ≠ 43 = 137 mod 47

m=48: 92 mod 48 = 44 ≠ 41 = 137 mod 48

m=49: 92 mod 49 = 43 ≠ 39 = 137 mod 49

m=50: 92 mod 50 = 42 ≠ 37 = 137 mod 50

m=51: 92 mod 51 = 41 ≠ 35 = 137 mod 51

m=52: 92 mod 52 = 40 ≠ 33 = 137 mod 52

m=53: 92 mod 53 = 39 ≠ 31 = 137 mod 53

m=54: 92 mod 54 = 38 ≠ 29 = 137 mod 54

m=55: 92 mod 55 = 37 ≠ 27 = 137 mod 55

m=56: 92 mod 56 = 36 ≠ 25 = 137 mod 56

m=57: 92 mod 57 = 35 ≠ 23 = 137 mod 57

m=58: 92 mod 58 = 34 ≠ 21 = 137 mod 58

m=59: 92 mod 59 = 33 ≠ 19 = 137 mod 59

m=60: 92 mod 60 = 32 ≠ 17 = 137 mod 60

m=61: 92 mod 61 = 31 ≠ 15 = 137 mod 61

m=62: 92 mod 62 = 30 ≠ 13 = 137 mod 62

m=63: 92 mod 63 = 29 ≠ 11 = 137 mod 63

m=64: 92 mod 64 = 28 ≠ 9 = 137 mod 64

m=65: 92 mod 65 = 27 ≠ 7 = 137 mod 65

m=66: 92 mod 66 = 26 ≠ 5 = 137 mod 66

m=67: 92 mod 67 = 25 ≠ 3 = 137 mod 67

m=68: 92 mod 68 = 24 ≠ 1 = 137 mod 68

m=69: 92 mod 69 = 23 ≠ 68 = 137 mod 69

m=70: 92 mod 70 = 22 ≠ 67 = 137 mod 70

m=71: 92 mod 71 = 21 ≠ 66 = 137 mod 71

m=72: 92 mod 72 = 20 ≠ 65 = 137 mod 72

m=73: 92 mod 73 = 19 ≠ 64 = 137 mod 73

m=74: 92 mod 74 = 18 ≠ 63 = 137 mod 74

m=75: 92 mod 75 = 17 ≠ 62 = 137 mod 75

m=76: 92 mod 76 = 16 ≠ 61 = 137 mod 76

m=77: 92 mod 77 = 15 ≠ 60 = 137 mod 77

m=78: 92 mod 78 = 14 ≠ 59 = 137 mod 78

m=79: 92 mod 79 = 13 ≠ 58 = 137 mod 79

m=80: 92 mod 80 = 12 ≠ 57 = 137 mod 80

m=81: 92 mod 81 = 11 ≠ 56 = 137 mod 81

m=82: 92 mod 82 = 10 ≠ 55 = 137 mod 82

m=83: 92 mod 83 = 9 ≠ 54 = 137 mod 83

m=84: 92 mod 84 = 8 ≠ 53 = 137 mod 84

m=85: 92 mod 85 = 7 ≠ 52 = 137 mod 85

m=86: 92 mod 86 = 6 ≠ 51 = 137 mod 86

m=87: 92 mod 87 = 5 ≠ 50 = 137 mod 87

m=88: 92 mod 88 = 4 ≠ 49 = 137 mod 88

m=89: 92 mod 89 = 3 ≠ 48 = 137 mod 89

m=90: 92 mod 90 = 2 ≠ 47 = 137 mod 90

m=91: 92 mod 91 = 1 ≠ 46 = 137 mod 91

m=92: 92 mod 92 = 0 ≠ 45 = 137 mod 92

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (137 - 92) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45