Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 39 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.
Somit gilt: 39 mod 7 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 90 für die gilt n ≡ 93 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.
Somit gilt: 93 mod 10 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.
Somit gilt: 83 ≡ 93 ≡ 3 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2000 + 19997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2000 + 19997) mod 5 ≡ (2000 mod 5 + 19997 mod 5) mod 5.
2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
Somit gilt:
(2000 + 19997) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 22) mod 3 ≡ (89 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 22) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 32 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 32 mod m gilt:
m=2: 23 mod 2 = 1 ≠ 0 = 32 mod 2
m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 32 mod 3
m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 0 = 32 mod 4
m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 2 = 32 mod 5
m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 2 = 32 mod 6
m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 4 = 32 mod 7
m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 0 = 32 mod 8
m=9: 23 mod 9 = 5 = 5 = 32 mod 9
m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 2 = 32 mod 10
m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 10 = 32 mod 11
m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 8 = 32 mod 12
m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 6 = 32 mod 13
m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 4 = 32 mod 14
m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 2 = 32 mod 15
m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 0 = 32 mod 16
m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 15 = 32 mod 17
m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 14 = 32 mod 18
m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 13 = 32 mod 19
m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 12 = 32 mod 20
m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 11 = 32 mod 21
m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 10 = 32 mod 22
m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 9 = 32 mod 23
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 23) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
