Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 5 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 18 = 6.

Somit gilt: 24 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 9 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 24 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 - 4000) mod 4 ≡ (400 mod 4 - 4000 mod 4) mod 4.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(400 - 4000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 93) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 93 mod 11) mod 11.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 93) mod 11 ≡ (1 ⋅ 5) mod 11 ≡ 5 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 55 aus, ob zufällig 55 mod m = 82 mod m gilt:

m=2: 55 mod 2 = 1 ≠ 0 = 82 mod 2

m=3: 55 mod 3 = 1 = 1 = 82 mod 3

m=4: 55 mod 4 = 3 ≠ 2 = 82 mod 4

m=5: 55 mod 5 = 0 ≠ 2 = 82 mod 5

m=6: 55 mod 6 = 1 ≠ 4 = 82 mod 6

m=7: 55 mod 7 = 6 ≠ 5 = 82 mod 7

m=8: 55 mod 8 = 7 ≠ 2 = 82 mod 8

m=9: 55 mod 9 = 1 = 1 = 82 mod 9

m=10: 55 mod 10 = 5 ≠ 2 = 82 mod 10

m=11: 55 mod 11 = 0 ≠ 5 = 82 mod 11

m=12: 55 mod 12 = 7 ≠ 10 = 82 mod 12

m=13: 55 mod 13 = 3 ≠ 4 = 82 mod 13

m=14: 55 mod 14 = 13 ≠ 12 = 82 mod 14

m=15: 55 mod 15 = 10 ≠ 7 = 82 mod 15

m=16: 55 mod 16 = 7 ≠ 2 = 82 mod 16

m=17: 55 mod 17 = 4 ≠ 14 = 82 mod 17

m=18: 55 mod 18 = 1 ≠ 10 = 82 mod 18

m=19: 55 mod 19 = 17 ≠ 6 = 82 mod 19

m=20: 55 mod 20 = 15 ≠ 2 = 82 mod 20

m=21: 55 mod 21 = 13 ≠ 19 = 82 mod 21

m=22: 55 mod 22 = 11 ≠ 16 = 82 mod 22

m=23: 55 mod 23 = 9 ≠ 13 = 82 mod 23

m=24: 55 mod 24 = 7 ≠ 10 = 82 mod 24

m=25: 55 mod 25 = 5 ≠ 7 = 82 mod 25

m=26: 55 mod 26 = 3 ≠ 4 = 82 mod 26

m=27: 55 mod 27 = 1 = 1 = 82 mod 27

m=28: 55 mod 28 = 27 ≠ 26 = 82 mod 28

m=29: 55 mod 29 = 26 ≠ 24 = 82 mod 29

m=30: 55 mod 30 = 25 ≠ 22 = 82 mod 30

m=31: 55 mod 31 = 24 ≠ 20 = 82 mod 31

m=32: 55 mod 32 = 23 ≠ 18 = 82 mod 32

m=33: 55 mod 33 = 22 ≠ 16 = 82 mod 33

m=34: 55 mod 34 = 21 ≠ 14 = 82 mod 34

m=35: 55 mod 35 = 20 ≠ 12 = 82 mod 35

m=36: 55 mod 36 = 19 ≠ 10 = 82 mod 36

m=37: 55 mod 37 = 18 ≠ 8 = 82 mod 37

m=38: 55 mod 38 = 17 ≠ 6 = 82 mod 38

m=39: 55 mod 39 = 16 ≠ 4 = 82 mod 39

m=40: 55 mod 40 = 15 ≠ 2 = 82 mod 40

m=41: 55 mod 41 = 14 ≠ 0 = 82 mod 41

m=42: 55 mod 42 = 13 ≠ 40 = 82 mod 42

m=43: 55 mod 43 = 12 ≠ 39 = 82 mod 43

m=44: 55 mod 44 = 11 ≠ 38 = 82 mod 44

m=45: 55 mod 45 = 10 ≠ 37 = 82 mod 45

m=46: 55 mod 46 = 9 ≠ 36 = 82 mod 46

m=47: 55 mod 47 = 8 ≠ 35 = 82 mod 47

m=48: 55 mod 48 = 7 ≠ 34 = 82 mod 48

m=49: 55 mod 49 = 6 ≠ 33 = 82 mod 49

m=50: 55 mod 50 = 5 ≠ 32 = 82 mod 50

m=51: 55 mod 51 = 4 ≠ 31 = 82 mod 51

m=52: 55 mod 52 = 3 ≠ 30 = 82 mod 52

m=53: 55 mod 53 = 2 ≠ 29 = 82 mod 53

m=54: 55 mod 54 = 1 ≠ 28 = 82 mod 54

m=55: 55 mod 55 = 0 ≠ 27 = 82 mod 55

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (82 - 55) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27