Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 35 = 6.

Somit gilt: 41 mod 7 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 25 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9005 + 1809) mod 9 ≡ (9005 mod 9 + 1809 mod 9) mod 9.

9005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9005 = 9000+5 = 9 ⋅ 1000 +5.

1809 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1809 = 1800+9 = 9 ⋅ 200 +9.

Somit gilt:

(9005 + 1809) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 91) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 91 mod 8) mod 8.

47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 91) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12