Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 36 = 6.

Somit gilt: 42 mod 9 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.

Somit gilt: 84 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 18 ⋅ 4

Somit gilt: 72 ≡ 84 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(316 + 3205) mod 8 ≡ (316 mod 8 + 3205 mod 8) mod 8.

316 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 316 = 320-4 = 8 ⋅ 40 -4 = 8 ⋅ 40 - 8 + 4.

3205 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3205 = 3200+5 = 8 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(316 + 3205) mod 8 ≡ (4 + 5) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 80) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 80) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 49 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 = 1 = 49 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 49 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 = 1 = 49 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 ≠ 4 = 49 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 = 1 = 49 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 0 = 49 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 1 = 49 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 4 = 49 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 9 = 49 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 5 = 49 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 = 1 = 49 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 10 = 49 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 7 = 49 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 ≠ 4 = 49 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 1 = 49 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 15 = 49 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 13 = 49 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 11 = 49 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 9 = 49 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 7 = 49 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 5 = 49 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 3 = 49 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 1 = 49 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 24 = 49 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 23 = 49 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 22 = 49 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 21 = 49 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 20 = 49 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 19 = 49 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 18 = 49 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 17 = 49 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 16 = 49 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 15 = 49 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 14 = 49 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 13 = 49 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 12 = 49 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (49 - 37) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12