Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 48 = 0.

Somit gilt: 48 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 36, weil ja 12 ⋅ 3 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.

Somit gilt: 36 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3

Somit gilt: 81 ≡ 36 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4003 - 4000) mod 4 ≡ (4003 mod 4 - 4000 mod 4) mod 4.

4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 4 ⋅ 1000 +3.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(4003 - 4000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 99) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 99 mod 3) mod 3.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 99) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 140 aus, ob zufällig 140 mod m = 190 mod m gilt:

m=2: 140 mod 2 = 0 = 0 = 190 mod 2

m=3: 140 mod 3 = 2 ≠ 1 = 190 mod 3

m=4: 140 mod 4 = 0 ≠ 2 = 190 mod 4

m=5: 140 mod 5 = 0 = 0 = 190 mod 5

m=6: 140 mod 6 = 2 ≠ 4 = 190 mod 6

m=7: 140 mod 7 = 0 ≠ 1 = 190 mod 7

m=8: 140 mod 8 = 4 ≠ 6 = 190 mod 8

m=9: 140 mod 9 = 5 ≠ 1 = 190 mod 9

m=10: 140 mod 10 = 0 = 0 = 190 mod 10

m=11: 140 mod 11 = 8 ≠ 3 = 190 mod 11

m=12: 140 mod 12 = 8 ≠ 10 = 190 mod 12

m=13: 140 mod 13 = 10 ≠ 8 = 190 mod 13

m=14: 140 mod 14 = 0 ≠ 8 = 190 mod 14

m=15: 140 mod 15 = 5 ≠ 10 = 190 mod 15

m=16: 140 mod 16 = 12 ≠ 14 = 190 mod 16

m=17: 140 mod 17 = 4 ≠ 3 = 190 mod 17

m=18: 140 mod 18 = 14 ≠ 10 = 190 mod 18

m=19: 140 mod 19 = 7 ≠ 0 = 190 mod 19

m=20: 140 mod 20 = 0 ≠ 10 = 190 mod 20

m=21: 140 mod 21 = 14 ≠ 1 = 190 mod 21

m=22: 140 mod 22 = 8 ≠ 14 = 190 mod 22

m=23: 140 mod 23 = 2 ≠ 6 = 190 mod 23

m=24: 140 mod 24 = 20 ≠ 22 = 190 mod 24

m=25: 140 mod 25 = 15 = 15 = 190 mod 25

m=26: 140 mod 26 = 10 ≠ 8 = 190 mod 26

m=27: 140 mod 27 = 5 ≠ 1 = 190 mod 27

m=28: 140 mod 28 = 0 ≠ 22 = 190 mod 28

m=29: 140 mod 29 = 24 ≠ 16 = 190 mod 29

m=30: 140 mod 30 = 20 ≠ 10 = 190 mod 30

m=31: 140 mod 31 = 16 ≠ 4 = 190 mod 31

m=32: 140 mod 32 = 12 ≠ 30 = 190 mod 32

m=33: 140 mod 33 = 8 ≠ 25 = 190 mod 33

m=34: 140 mod 34 = 4 ≠ 20 = 190 mod 34

m=35: 140 mod 35 = 0 ≠ 15 = 190 mod 35

m=36: 140 mod 36 = 32 ≠ 10 = 190 mod 36

m=37: 140 mod 37 = 29 ≠ 5 = 190 mod 37

m=38: 140 mod 38 = 26 ≠ 0 = 190 mod 38

m=39: 140 mod 39 = 23 ≠ 34 = 190 mod 39

m=40: 140 mod 40 = 20 ≠ 30 = 190 mod 40

m=41: 140 mod 41 = 17 ≠ 26 = 190 mod 41

m=42: 140 mod 42 = 14 ≠ 22 = 190 mod 42

m=43: 140 mod 43 = 11 ≠ 18 = 190 mod 43

m=44: 140 mod 44 = 8 ≠ 14 = 190 mod 44

m=45: 140 mod 45 = 5 ≠ 10 = 190 mod 45

m=46: 140 mod 46 = 2 ≠ 6 = 190 mod 46

m=47: 140 mod 47 = 46 ≠ 2 = 190 mod 47

m=48: 140 mod 48 = 44 ≠ 46 = 190 mod 48

m=49: 140 mod 49 = 42 ≠ 43 = 190 mod 49

m=50: 140 mod 50 = 40 = 40 = 190 mod 50

m=51: 140 mod 51 = 38 ≠ 37 = 190 mod 51

m=52: 140 mod 52 = 36 ≠ 34 = 190 mod 52

m=53: 140 mod 53 = 34 ≠ 31 = 190 mod 53

m=54: 140 mod 54 = 32 ≠ 28 = 190 mod 54

m=55: 140 mod 55 = 30 ≠ 25 = 190 mod 55

m=56: 140 mod 56 = 28 ≠ 22 = 190 mod 56

m=57: 140 mod 57 = 26 ≠ 19 = 190 mod 57

m=58: 140 mod 58 = 24 ≠ 16 = 190 mod 58

m=59: 140 mod 59 = 22 ≠ 13 = 190 mod 59

m=60: 140 mod 60 = 20 ≠ 10 = 190 mod 60

m=61: 140 mod 61 = 18 ≠ 7 = 190 mod 61

m=62: 140 mod 62 = 16 ≠ 4 = 190 mod 62

m=63: 140 mod 63 = 14 ≠ 1 = 190 mod 63

m=64: 140 mod 64 = 12 ≠ 62 = 190 mod 64

m=65: 140 mod 65 = 10 ≠ 60 = 190 mod 65

m=66: 140 mod 66 = 8 ≠ 58 = 190 mod 66

m=67: 140 mod 67 = 6 ≠ 56 = 190 mod 67

m=68: 140 mod 68 = 4 ≠ 54 = 190 mod 68

m=69: 140 mod 69 = 2 ≠ 52 = 190 mod 69

m=70: 140 mod 70 = 0 ≠ 50 = 190 mod 70

m=71: 140 mod 71 = 69 ≠ 48 = 190 mod 71

m=72: 140 mod 72 = 68 ≠ 46 = 190 mod 72

m=73: 140 mod 73 = 67 ≠ 44 = 190 mod 73

m=74: 140 mod 74 = 66 ≠ 42 = 190 mod 74

m=75: 140 mod 75 = 65 ≠ 40 = 190 mod 75

m=76: 140 mod 76 = 64 ≠ 38 = 190 mod 76

m=77: 140 mod 77 = 63 ≠ 36 = 190 mod 77

m=78: 140 mod 78 = 62 ≠ 34 = 190 mod 78

m=79: 140 mod 79 = 61 ≠ 32 = 190 mod 79

m=80: 140 mod 80 = 60 ≠ 30 = 190 mod 80

m=81: 140 mod 81 = 59 ≠ 28 = 190 mod 81

m=82: 140 mod 82 = 58 ≠ 26 = 190 mod 82

m=83: 140 mod 83 = 57 ≠ 24 = 190 mod 83

m=84: 140 mod 84 = 56 ≠ 22 = 190 mod 84

m=85: 140 mod 85 = 55 ≠ 20 = 190 mod 85

m=86: 140 mod 86 = 54 ≠ 18 = 190 mod 86

m=87: 140 mod 87 = 53 ≠ 16 = 190 mod 87

m=88: 140 mod 88 = 52 ≠ 14 = 190 mod 88

m=89: 140 mod 89 = 51 ≠ 12 = 190 mod 89

m=90: 140 mod 90 = 50 ≠ 10 = 190 mod 90

m=91: 140 mod 91 = 49 ≠ 8 = 190 mod 91

m=92: 140 mod 92 = 48 ≠ 6 = 190 mod 92

m=93: 140 mod 93 = 47 ≠ 4 = 190 mod 93

m=94: 140 mod 94 = 46 ≠ 2 = 190 mod 94

m=95: 140 mod 95 = 45 ≠ 0 = 190 mod 95

m=96: 140 mod 96 = 44 ≠ 94 = 190 mod 96

m=97: 140 mod 97 = 43 ≠ 93 = 190 mod 97

m=98: 140 mod 98 = 42 ≠ 92 = 190 mod 98

m=99: 140 mod 99 = 41 ≠ 91 = 190 mod 99

m=100: 140 mod 100 = 40 ≠ 90 = 190 mod 100

m=101: 140 mod 101 = 39 ≠ 89 = 190 mod 101

m=102: 140 mod 102 = 38 ≠ 88 = 190 mod 102

m=103: 140 mod 103 = 37 ≠ 87 = 190 mod 103

m=104: 140 mod 104 = 36 ≠ 86 = 190 mod 104

m=105: 140 mod 105 = 35 ≠ 85 = 190 mod 105

m=106: 140 mod 106 = 34 ≠ 84 = 190 mod 106

m=107: 140 mod 107 = 33 ≠ 83 = 190 mod 107

m=108: 140 mod 108 = 32 ≠ 82 = 190 mod 108

m=109: 140 mod 109 = 31 ≠ 81 = 190 mod 109

m=110: 140 mod 110 = 30 ≠ 80 = 190 mod 110

m=111: 140 mod 111 = 29 ≠ 79 = 190 mod 111

m=112: 140 mod 112 = 28 ≠ 78 = 190 mod 112

m=113: 140 mod 113 = 27 ≠ 77 = 190 mod 113

m=114: 140 mod 114 = 26 ≠ 76 = 190 mod 114

m=115: 140 mod 115 = 25 ≠ 75 = 190 mod 115

m=116: 140 mod 116 = 24 ≠ 74 = 190 mod 116

m=117: 140 mod 117 = 23 ≠ 73 = 190 mod 117

m=118: 140 mod 118 = 22 ≠ 72 = 190 mod 118

m=119: 140 mod 119 = 21 ≠ 71 = 190 mod 119

m=120: 140 mod 120 = 20 ≠ 70 = 190 mod 120

m=121: 140 mod 121 = 19 ≠ 69 = 190 mod 121

m=122: 140 mod 122 = 18 ≠ 68 = 190 mod 122

m=123: 140 mod 123 = 17 ≠ 67 = 190 mod 123

m=124: 140 mod 124 = 16 ≠ 66 = 190 mod 124

m=125: 140 mod 125 = 15 ≠ 65 = 190 mod 125

m=126: 140 mod 126 = 14 ≠ 64 = 190 mod 126

m=127: 140 mod 127 = 13 ≠ 63 = 190 mod 127

m=128: 140 mod 128 = 12 ≠ 62 = 190 mod 128

m=129: 140 mod 129 = 11 ≠ 61 = 190 mod 129

m=130: 140 mod 130 = 10 ≠ 60 = 190 mod 130

m=131: 140 mod 131 = 9 ≠ 59 = 190 mod 131

m=132: 140 mod 132 = 8 ≠ 58 = 190 mod 132

m=133: 140 mod 133 = 7 ≠ 57 = 190 mod 133

m=134: 140 mod 134 = 6 ≠ 56 = 190 mod 134

m=135: 140 mod 135 = 5 ≠ 55 = 190 mod 135

m=136: 140 mod 136 = 4 ≠ 54 = 190 mod 136

m=137: 140 mod 137 = 3 ≠ 53 = 190 mod 137

m=138: 140 mod 138 = 2 ≠ 52 = 190 mod 138

m=139: 140 mod 139 = 1 ≠ 51 = 190 mod 139

m=140: 140 mod 140 = 0 ≠ 50 = 190 mod 140

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (190 - 140) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50