Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 12, weil ja 2 ⋅ 6 = 12 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 12 = 5.

Somit gilt: 17 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.

Somit gilt: 74 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 60, z.B. 56 = 8 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 56 und erhalten so 60.

Somit gilt: 60 ≡ 74 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2497 + 55) mod 5 ≡ (2497 mod 5 + 55 mod 5) mod 5.

2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497 = 2400+97 = 5 ⋅ 480 +97.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50+5 = 5 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(2497 + 55) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 49) mod 8 ≡ (55 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.

55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.

49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 49) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 39 aus, ob zufällig 39 mod m = 57 mod m gilt:

m=2: 39 mod 2 = 1 = 1 = 57 mod 2

m=3: 39 mod 3 = 0 = 0 = 57 mod 3

m=4: 39 mod 4 = 3 ≠ 1 = 57 mod 4

m=5: 39 mod 5 = 4 ≠ 2 = 57 mod 5

m=6: 39 mod 6 = 3 = 3 = 57 mod 6

m=7: 39 mod 7 = 4 ≠ 1 = 57 mod 7

m=8: 39 mod 8 = 7 ≠ 1 = 57 mod 8

m=9: 39 mod 9 = 3 = 3 = 57 mod 9

m=10: 39 mod 10 = 9 ≠ 7 = 57 mod 10

m=11: 39 mod 11 = 6 ≠ 2 = 57 mod 11

m=12: 39 mod 12 = 3 ≠ 9 = 57 mod 12

m=13: 39 mod 13 = 0 ≠ 5 = 57 mod 13

m=14: 39 mod 14 = 11 ≠ 1 = 57 mod 14

m=15: 39 mod 15 = 9 ≠ 12 = 57 mod 15

m=16: 39 mod 16 = 7 ≠ 9 = 57 mod 16

m=17: 39 mod 17 = 5 ≠ 6 = 57 mod 17

m=18: 39 mod 18 = 3 = 3 = 57 mod 18

m=19: 39 mod 19 = 1 ≠ 0 = 57 mod 19

m=20: 39 mod 20 = 19 ≠ 17 = 57 mod 20

m=21: 39 mod 21 = 18 ≠ 15 = 57 mod 21

m=22: 39 mod 22 = 17 ≠ 13 = 57 mod 22

m=23: 39 mod 23 = 16 ≠ 11 = 57 mod 23

m=24: 39 mod 24 = 15 ≠ 9 = 57 mod 24

m=25: 39 mod 25 = 14 ≠ 7 = 57 mod 25

m=26: 39 mod 26 = 13 ≠ 5 = 57 mod 26

m=27: 39 mod 27 = 12 ≠ 3 = 57 mod 27

m=28: 39 mod 28 = 11 ≠ 1 = 57 mod 28

m=29: 39 mod 29 = 10 ≠ 28 = 57 mod 29

m=30: 39 mod 30 = 9 ≠ 27 = 57 mod 30

m=31: 39 mod 31 = 8 ≠ 26 = 57 mod 31

m=32: 39 mod 32 = 7 ≠ 25 = 57 mod 32

m=33: 39 mod 33 = 6 ≠ 24 = 57 mod 33

m=34: 39 mod 34 = 5 ≠ 23 = 57 mod 34

m=35: 39 mod 35 = 4 ≠ 22 = 57 mod 35

m=36: 39 mod 36 = 3 ≠ 21 = 57 mod 36

m=37: 39 mod 37 = 2 ≠ 20 = 57 mod 37

m=38: 39 mod 38 = 1 ≠ 19 = 57 mod 38

m=39: 39 mod 39 = 0 ≠ 18 = 57 mod 39

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (57 - 39) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18