Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 88 = 8.
Somit gilt: 96 mod 11 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 100 für die gilt n ≡ 34 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.
Somit gilt: 34 mod 10 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 4 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 4 mod 10 sein, also addieren wir noch 4 auf die 90 und erhalten so 94.
Somit gilt: 94 ≡ 34 ≡ 4 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17995 - 29998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17995 - 29998) mod 6 ≡ (17995 mod 6 - 29998 mod 6) mod 6.
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
29998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29998
= 30000
Somit gilt:
(17995 - 29998) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 59) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 59) mod 5 ≡ (45 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.
59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 59) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:
m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2
m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3
m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4
m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5
m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6
m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7
m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8
m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9
m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10
m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4