Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 15 = 2.

Somit gilt: 17 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 10 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 40 und erhalten so 42.

Somit gilt: 42 ≡ 92 ≡ 2 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(704 + 2796) mod 7 ≡ (704 mod 7 + 2796 mod 7) mod 7.

704 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 704 = 700+4 = 7 ⋅ 100 +4.

2796 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2796 = 2800-4 = 7 ⋅ 400 -4 = 7 ⋅ 400 - 7 + 3.

Somit gilt:

(704 + 2796) mod 7 ≡ (4 + 3) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 16) mod 11 ≡ (67 mod 11 ⋅ 16 mod 11) mod 11.

67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.

16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 16) mod 11 ≡ (1 ⋅ 5) mod 11 ≡ 5 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6