Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 77 = 5.

Somit gilt: 82 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 66 = 3.

Somit gilt: 69 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 88 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 69 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14001 + 6993) mod 7 ≡ (14001 mod 7 + 6993 mod 7) mod 7.

14001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14001 = 14000+1 = 7 ⋅ 2000 +1.

6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993 = 7000-7 = 7 ⋅ 1000 -7 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 0.

Somit gilt:

(14001 + 6993) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 79) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 79 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 79) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 250 aus, ob zufällig 250 mod m = 325 mod m gilt:

m=2: 250 mod 2 = 0 ≠ 1 = 325 mod 2

m=3: 250 mod 3 = 1 = 1 = 325 mod 3

m=4: 250 mod 4 = 2 ≠ 1 = 325 mod 4

m=5: 250 mod 5 = 0 = 0 = 325 mod 5

m=6: 250 mod 6 = 4 ≠ 1 = 325 mod 6

m=7: 250 mod 7 = 5 ≠ 3 = 325 mod 7

m=8: 250 mod 8 = 2 ≠ 5 = 325 mod 8

m=9: 250 mod 9 = 7 ≠ 1 = 325 mod 9

m=10: 250 mod 10 = 0 ≠ 5 = 325 mod 10

m=11: 250 mod 11 = 8 ≠ 6 = 325 mod 11

m=12: 250 mod 12 = 10 ≠ 1 = 325 mod 12

m=13: 250 mod 13 = 3 ≠ 0 = 325 mod 13

m=14: 250 mod 14 = 12 ≠ 3 = 325 mod 14

m=15: 250 mod 15 = 10 = 10 = 325 mod 15

m=16: 250 mod 16 = 10 ≠ 5 = 325 mod 16

m=17: 250 mod 17 = 12 ≠ 2 = 325 mod 17

m=18: 250 mod 18 = 16 ≠ 1 = 325 mod 18

m=19: 250 mod 19 = 3 ≠ 2 = 325 mod 19

m=20: 250 mod 20 = 10 ≠ 5 = 325 mod 20

m=21: 250 mod 21 = 19 ≠ 10 = 325 mod 21

m=22: 250 mod 22 = 8 ≠ 17 = 325 mod 22

m=23: 250 mod 23 = 20 ≠ 3 = 325 mod 23

m=24: 250 mod 24 = 10 ≠ 13 = 325 mod 24

m=25: 250 mod 25 = 0 = 0 = 325 mod 25

m=26: 250 mod 26 = 16 ≠ 13 = 325 mod 26

m=27: 250 mod 27 = 7 ≠ 1 = 325 mod 27

m=28: 250 mod 28 = 26 ≠ 17 = 325 mod 28

m=29: 250 mod 29 = 18 ≠ 6 = 325 mod 29

m=30: 250 mod 30 = 10 ≠ 25 = 325 mod 30

m=31: 250 mod 31 = 2 ≠ 15 = 325 mod 31

m=32: 250 mod 32 = 26 ≠ 5 = 325 mod 32

m=33: 250 mod 33 = 19 ≠ 28 = 325 mod 33

m=34: 250 mod 34 = 12 ≠ 19 = 325 mod 34

m=35: 250 mod 35 = 5 ≠ 10 = 325 mod 35

m=36: 250 mod 36 = 34 ≠ 1 = 325 mod 36

m=37: 250 mod 37 = 28 ≠ 29 = 325 mod 37

m=38: 250 mod 38 = 22 ≠ 21 = 325 mod 38

m=39: 250 mod 39 = 16 ≠ 13 = 325 mod 39

m=40: 250 mod 40 = 10 ≠ 5 = 325 mod 40

m=41: 250 mod 41 = 4 ≠ 38 = 325 mod 41

m=42: 250 mod 42 = 40 ≠ 31 = 325 mod 42

m=43: 250 mod 43 = 35 ≠ 24 = 325 mod 43

m=44: 250 mod 44 = 30 ≠ 17 = 325 mod 44

m=45: 250 mod 45 = 25 ≠ 10 = 325 mod 45

m=46: 250 mod 46 = 20 ≠ 3 = 325 mod 46

m=47: 250 mod 47 = 15 ≠ 43 = 325 mod 47

m=48: 250 mod 48 = 10 ≠ 37 = 325 mod 48

m=49: 250 mod 49 = 5 ≠ 31 = 325 mod 49

m=50: 250 mod 50 = 0 ≠ 25 = 325 mod 50

m=51: 250 mod 51 = 46 ≠ 19 = 325 mod 51

m=52: 250 mod 52 = 42 ≠ 13 = 325 mod 52

m=53: 250 mod 53 = 38 ≠ 7 = 325 mod 53

m=54: 250 mod 54 = 34 ≠ 1 = 325 mod 54

m=55: 250 mod 55 = 30 ≠ 50 = 325 mod 55

m=56: 250 mod 56 = 26 ≠ 45 = 325 mod 56

m=57: 250 mod 57 = 22 ≠ 40 = 325 mod 57

m=58: 250 mod 58 = 18 ≠ 35 = 325 mod 58

m=59: 250 mod 59 = 14 ≠ 30 = 325 mod 59

m=60: 250 mod 60 = 10 ≠ 25 = 325 mod 60

m=61: 250 mod 61 = 6 ≠ 20 = 325 mod 61

m=62: 250 mod 62 = 2 ≠ 15 = 325 mod 62

m=63: 250 mod 63 = 61 ≠ 10 = 325 mod 63

m=64: 250 mod 64 = 58 ≠ 5 = 325 mod 64

m=65: 250 mod 65 = 55 ≠ 0 = 325 mod 65

m=66: 250 mod 66 = 52 ≠ 61 = 325 mod 66

m=67: 250 mod 67 = 49 ≠ 57 = 325 mod 67

m=68: 250 mod 68 = 46 ≠ 53 = 325 mod 68

m=69: 250 mod 69 = 43 ≠ 49 = 325 mod 69

m=70: 250 mod 70 = 40 ≠ 45 = 325 mod 70

m=71: 250 mod 71 = 37 ≠ 41 = 325 mod 71

m=72: 250 mod 72 = 34 ≠ 37 = 325 mod 72

m=73: 250 mod 73 = 31 ≠ 33 = 325 mod 73

m=74: 250 mod 74 = 28 ≠ 29 = 325 mod 74

m=75: 250 mod 75 = 25 = 25 = 325 mod 75

m=76: 250 mod 76 = 22 ≠ 21 = 325 mod 76

m=77: 250 mod 77 = 19 ≠ 17 = 325 mod 77

m=78: 250 mod 78 = 16 ≠ 13 = 325 mod 78

m=79: 250 mod 79 = 13 ≠ 9 = 325 mod 79

m=80: 250 mod 80 = 10 ≠ 5 = 325 mod 80

m=81: 250 mod 81 = 7 ≠ 1 = 325 mod 81

m=82: 250 mod 82 = 4 ≠ 79 = 325 mod 82

m=83: 250 mod 83 = 1 ≠ 76 = 325 mod 83

m=84: 250 mod 84 = 82 ≠ 73 = 325 mod 84

m=85: 250 mod 85 = 80 ≠ 70 = 325 mod 85

m=86: 250 mod 86 = 78 ≠ 67 = 325 mod 86

m=87: 250 mod 87 = 76 ≠ 64 = 325 mod 87

m=88: 250 mod 88 = 74 ≠ 61 = 325 mod 88

m=89: 250 mod 89 = 72 ≠ 58 = 325 mod 89

m=90: 250 mod 90 = 70 ≠ 55 = 325 mod 90

m=91: 250 mod 91 = 68 ≠ 52 = 325 mod 91

m=92: 250 mod 92 = 66 ≠ 49 = 325 mod 92

m=93: 250 mod 93 = 64 ≠ 46 = 325 mod 93

m=94: 250 mod 94 = 62 ≠ 43 = 325 mod 94

m=95: 250 mod 95 = 60 ≠ 40 = 325 mod 95

m=96: 250 mod 96 = 58 ≠ 37 = 325 mod 96

m=97: 250 mod 97 = 56 ≠ 34 = 325 mod 97

m=98: 250 mod 98 = 54 ≠ 31 = 325 mod 98

m=99: 250 mod 99 = 52 ≠ 28 = 325 mod 99

m=100: 250 mod 100 = 50 ≠ 25 = 325 mod 100

m=101: 250 mod 101 = 48 ≠ 22 = 325 mod 101

m=102: 250 mod 102 = 46 ≠ 19 = 325 mod 102

m=103: 250 mod 103 = 44 ≠ 16 = 325 mod 103

m=104: 250 mod 104 = 42 ≠ 13 = 325 mod 104

m=105: 250 mod 105 = 40 ≠ 10 = 325 mod 105

m=106: 250 mod 106 = 38 ≠ 7 = 325 mod 106

m=107: 250 mod 107 = 36 ≠ 4 = 325 mod 107

m=108: 250 mod 108 = 34 ≠ 1 = 325 mod 108

m=109: 250 mod 109 = 32 ≠ 107 = 325 mod 109

m=110: 250 mod 110 = 30 ≠ 105 = 325 mod 110

m=111: 250 mod 111 = 28 ≠ 103 = 325 mod 111

m=112: 250 mod 112 = 26 ≠ 101 = 325 mod 112

m=113: 250 mod 113 = 24 ≠ 99 = 325 mod 113

m=114: 250 mod 114 = 22 ≠ 97 = 325 mod 114

m=115: 250 mod 115 = 20 ≠ 95 = 325 mod 115

m=116: 250 mod 116 = 18 ≠ 93 = 325 mod 116

m=117: 250 mod 117 = 16 ≠ 91 = 325 mod 117

m=118: 250 mod 118 = 14 ≠ 89 = 325 mod 118

m=119: 250 mod 119 = 12 ≠ 87 = 325 mod 119

m=120: 250 mod 120 = 10 ≠ 85 = 325 mod 120

m=121: 250 mod 121 = 8 ≠ 83 = 325 mod 121

m=122: 250 mod 122 = 6 ≠ 81 = 325 mod 122

m=123: 250 mod 123 = 4 ≠ 79 = 325 mod 123

m=124: 250 mod 124 = 2 ≠ 77 = 325 mod 124

m=125: 250 mod 125 = 0 ≠ 75 = 325 mod 125

m=126: 250 mod 126 = 124 ≠ 73 = 325 mod 126

m=127: 250 mod 127 = 123 ≠ 71 = 325 mod 127

m=128: 250 mod 128 = 122 ≠ 69 = 325 mod 128

m=129: 250 mod 129 = 121 ≠ 67 = 325 mod 129

m=130: 250 mod 130 = 120 ≠ 65 = 325 mod 130

m=131: 250 mod 131 = 119 ≠ 63 = 325 mod 131

m=132: 250 mod 132 = 118 ≠ 61 = 325 mod 132

m=133: 250 mod 133 = 117 ≠ 59 = 325 mod 133

m=134: 250 mod 134 = 116 ≠ 57 = 325 mod 134

m=135: 250 mod 135 = 115 ≠ 55 = 325 mod 135

m=136: 250 mod 136 = 114 ≠ 53 = 325 mod 136

m=137: 250 mod 137 = 113 ≠ 51 = 325 mod 137

m=138: 250 mod 138 = 112 ≠ 49 = 325 mod 138

m=139: 250 mod 139 = 111 ≠ 47 = 325 mod 139

m=140: 250 mod 140 = 110 ≠ 45 = 325 mod 140

m=141: 250 mod 141 = 109 ≠ 43 = 325 mod 141

m=142: 250 mod 142 = 108 ≠ 41 = 325 mod 142

m=143: 250 mod 143 = 107 ≠ 39 = 325 mod 143

m=144: 250 mod 144 = 106 ≠ 37 = 325 mod 144

m=145: 250 mod 145 = 105 ≠ 35 = 325 mod 145

m=146: 250 mod 146 = 104 ≠ 33 = 325 mod 146

m=147: 250 mod 147 = 103 ≠ 31 = 325 mod 147

m=148: 250 mod 148 = 102 ≠ 29 = 325 mod 148

m=149: 250 mod 149 = 101 ≠ 27 = 325 mod 149

m=150: 250 mod 150 = 100 ≠ 25 = 325 mod 150

m=151: 250 mod 151 = 99 ≠ 23 = 325 mod 151

m=152: 250 mod 152 = 98 ≠ 21 = 325 mod 152

m=153: 250 mod 153 = 97 ≠ 19 = 325 mod 153

m=154: 250 mod 154 = 96 ≠ 17 = 325 mod 154

m=155: 250 mod 155 = 95 ≠ 15 = 325 mod 155

m=156: 250 mod 156 = 94 ≠ 13 = 325 mod 156

m=157: 250 mod 157 = 93 ≠ 11 = 325 mod 157

m=158: 250 mod 158 = 92 ≠ 9 = 325 mod 158

m=159: 250 mod 159 = 91 ≠ 7 = 325 mod 159

m=160: 250 mod 160 = 90 ≠ 5 = 325 mod 160

m=161: 250 mod 161 = 89 ≠ 3 = 325 mod 161

m=162: 250 mod 162 = 88 ≠ 1 = 325 mod 162

m=163: 250 mod 163 = 87 ≠ 162 = 325 mod 163

m=164: 250 mod 164 = 86 ≠ 161 = 325 mod 164

m=165: 250 mod 165 = 85 ≠ 160 = 325 mod 165

m=166: 250 mod 166 = 84 ≠ 159 = 325 mod 166

m=167: 250 mod 167 = 83 ≠ 158 = 325 mod 167

m=168: 250 mod 168 = 82 ≠ 157 = 325 mod 168

m=169: 250 mod 169 = 81 ≠ 156 = 325 mod 169

m=170: 250 mod 170 = 80 ≠ 155 = 325 mod 170

m=171: 250 mod 171 = 79 ≠ 154 = 325 mod 171

m=172: 250 mod 172 = 78 ≠ 153 = 325 mod 172

m=173: 250 mod 173 = 77 ≠ 152 = 325 mod 173

m=174: 250 mod 174 = 76 ≠ 151 = 325 mod 174

m=175: 250 mod 175 = 75 ≠ 150 = 325 mod 175

m=176: 250 mod 176 = 74 ≠ 149 = 325 mod 176

m=177: 250 mod 177 = 73 ≠ 148 = 325 mod 177

m=178: 250 mod 178 = 72 ≠ 147 = 325 mod 178

m=179: 250 mod 179 = 71 ≠ 146 = 325 mod 179

m=180: 250 mod 180 = 70 ≠ 145 = 325 mod 180

m=181: 250 mod 181 = 69 ≠ 144 = 325 mod 181

m=182: 250 mod 182 = 68 ≠ 143 = 325 mod 182

m=183: 250 mod 183 = 67 ≠ 142 = 325 mod 183

m=184: 250 mod 184 = 66 ≠ 141 = 325 mod 184

m=185: 250 mod 185 = 65 ≠ 140 = 325 mod 185

m=186: 250 mod 186 = 64 ≠ 139 = 325 mod 186

m=187: 250 mod 187 = 63 ≠ 138 = 325 mod 187

m=188: 250 mod 188 = 62 ≠ 137 = 325 mod 188

m=189: 250 mod 189 = 61 ≠ 136 = 325 mod 189

m=190: 250 mod 190 = 60 ≠ 135 = 325 mod 190

m=191: 250 mod 191 = 59 ≠ 134 = 325 mod 191

m=192: 250 mod 192 = 58 ≠ 133 = 325 mod 192

m=193: 250 mod 193 = 57 ≠ 132 = 325 mod 193

m=194: 250 mod 194 = 56 ≠ 131 = 325 mod 194

m=195: 250 mod 195 = 55 ≠ 130 = 325 mod 195

m=196: 250 mod 196 = 54 ≠ 129 = 325 mod 196

m=197: 250 mod 197 = 53 ≠ 128 = 325 mod 197

m=198: 250 mod 198 = 52 ≠ 127 = 325 mod 198

m=199: 250 mod 199 = 51 ≠ 126 = 325 mod 199

m=200: 250 mod 200 = 50 ≠ 125 = 325 mod 200

m=201: 250 mod 201 = 49 ≠ 124 = 325 mod 201

m=202: 250 mod 202 = 48 ≠ 123 = 325 mod 202

m=203: 250 mod 203 = 47 ≠ 122 = 325 mod 203

m=204: 250 mod 204 = 46 ≠ 121 = 325 mod 204

m=205: 250 mod 205 = 45 ≠ 120 = 325 mod 205

m=206: 250 mod 206 = 44 ≠ 119 = 325 mod 206

m=207: 250 mod 207 = 43 ≠ 118 = 325 mod 207

m=208: 250 mod 208 = 42 ≠ 117 = 325 mod 208

m=209: 250 mod 209 = 41 ≠ 116 = 325 mod 209

m=210: 250 mod 210 = 40 ≠ 115 = 325 mod 210

m=211: 250 mod 211 = 39 ≠ 114 = 325 mod 211

m=212: 250 mod 212 = 38 ≠ 113 = 325 mod 212

m=213: 250 mod 213 = 37 ≠ 112 = 325 mod 213

m=214: 250 mod 214 = 36 ≠ 111 = 325 mod 214

m=215: 250 mod 215 = 35 ≠ 110 = 325 mod 215

m=216: 250 mod 216 = 34 ≠ 109 = 325 mod 216

m=217: 250 mod 217 = 33 ≠ 108 = 325 mod 217

m=218: 250 mod 218 = 32 ≠ 107 = 325 mod 218

m=219: 250 mod 219 = 31 ≠ 106 = 325 mod 219

m=220: 250 mod 220 = 30 ≠ 105 = 325 mod 220

m=221: 250 mod 221 = 29 ≠ 104 = 325 mod 221

m=222: 250 mod 222 = 28 ≠ 103 = 325 mod 222

m=223: 250 mod 223 = 27 ≠ 102 = 325 mod 223

m=224: 250 mod 224 = 26 ≠ 101 = 325 mod 224

m=225: 250 mod 225 = 25 ≠ 100 = 325 mod 225

m=226: 250 mod 226 = 24 ≠ 99 = 325 mod 226

m=227: 250 mod 227 = 23 ≠ 98 = 325 mod 227

m=228: 250 mod 228 = 22 ≠ 97 = 325 mod 228

m=229: 250 mod 229 = 21 ≠ 96 = 325 mod 229

m=230: 250 mod 230 = 20 ≠ 95 = 325 mod 230

m=231: 250 mod 231 = 19 ≠ 94 = 325 mod 231

m=232: 250 mod 232 = 18 ≠ 93 = 325 mod 232

m=233: 250 mod 233 = 17 ≠ 92 = 325 mod 233

m=234: 250 mod 234 = 16 ≠ 91 = 325 mod 234

m=235: 250 mod 235 = 15 ≠ 90 = 325 mod 235

m=236: 250 mod 236 = 14 ≠ 89 = 325 mod 236

m=237: 250 mod 237 = 13 ≠ 88 = 325 mod 237

m=238: 250 mod 238 = 12 ≠ 87 = 325 mod 238

m=239: 250 mod 239 = 11 ≠ 86 = 325 mod 239

m=240: 250 mod 240 = 10 ≠ 85 = 325 mod 240

m=241: 250 mod 241 = 9 ≠ 84 = 325 mod 241

m=242: 250 mod 242 = 8 ≠ 83 = 325 mod 242

m=243: 250 mod 243 = 7 ≠ 82 = 325 mod 243

m=244: 250 mod 244 = 6 ≠ 81 = 325 mod 244

m=245: 250 mod 245 = 5 ≠ 80 = 325 mod 245

m=246: 250 mod 246 = 4 ≠ 79 = 325 mod 246

m=247: 250 mod 247 = 3 ≠ 78 = 325 mod 247

m=248: 250 mod 248 = 2 ≠ 77 = 325 mod 248

m=249: 250 mod 249 = 1 ≠ 76 = 325 mod 249

m=250: 250 mod 250 = 0 ≠ 75 = 325 mod 250

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (325 - 250) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75