Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 66 = 9.

Somit gilt: 75 mod 11 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Somit gilt: 54 ≡ 72 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 + 300) mod 3 ≡ (1197 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(1197 + 300) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 78) mod 5 ≡ (41 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.

41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 78) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12