Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 65 - 65 = 0.
Somit gilt: 65 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 23 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 22 = 1.
Somit gilt: 23 mod 11 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 77 = 7 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 77 und erhalten so 78.
Somit gilt: 78 ≡ 23 ≡ 1 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (348 + 35005) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(348 + 35005) mod 7 ≡ (348 mod 7 + 35005 mod 7) mod 7.
348 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 348
= 350
35005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35005
= 35000
Somit gilt:
(348 + 35005) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 65) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 65) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 65 mod 8) mod 8.
72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.
65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 65) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 30 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
