Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 36, weil ja 9 ⋅ 4 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.
Somit gilt: 37 mod 4 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 38 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 36, weil ja 12 ⋅ 3 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 38 - 36 = 2.
Somit gilt: 38 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 16 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.
Somit gilt: 50 ≡ 38 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11997 - 597) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11997 - 597) mod 3 ≡ (11997 mod 3 - 597 mod 3) mod 3.
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
Somit gilt:
(11997 - 597) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 55) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 55) mod 10 ≡ (98 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.
98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 55) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4