Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.

Somit gilt: 74 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 63 = 4.

Somit gilt: 67 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 49 = 7 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 49 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 67 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1596 - 2000) mod 4 ≡ (1596 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.

1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1500+96 = 4 ⋅ 375 +96.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(1596 - 2000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 61) mod 11 ≡ (84 mod 11 ⋅ 61 mod 11) mod 11.

84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.

61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 61) mod 11 ≡ (7 ⋅ 6) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 82 aus, ob zufällig 82 mod m = 109 mod m gilt:

m=2: 82 mod 2 = 0 ≠ 1 = 109 mod 2

m=3: 82 mod 3 = 1 = 1 = 109 mod 3

m=4: 82 mod 4 = 2 ≠ 1 = 109 mod 4

m=5: 82 mod 5 = 2 ≠ 4 = 109 mod 5

m=6: 82 mod 6 = 4 ≠ 1 = 109 mod 6

m=7: 82 mod 7 = 5 ≠ 4 = 109 mod 7

m=8: 82 mod 8 = 2 ≠ 5 = 109 mod 8

m=9: 82 mod 9 = 1 = 1 = 109 mod 9

m=10: 82 mod 10 = 2 ≠ 9 = 109 mod 10

m=11: 82 mod 11 = 5 ≠ 10 = 109 mod 11

m=12: 82 mod 12 = 10 ≠ 1 = 109 mod 12

m=13: 82 mod 13 = 4 ≠ 5 = 109 mod 13

m=14: 82 mod 14 = 12 ≠ 11 = 109 mod 14

m=15: 82 mod 15 = 7 ≠ 4 = 109 mod 15

m=16: 82 mod 16 = 2 ≠ 13 = 109 mod 16

m=17: 82 mod 17 = 14 ≠ 7 = 109 mod 17

m=18: 82 mod 18 = 10 ≠ 1 = 109 mod 18

m=19: 82 mod 19 = 6 ≠ 14 = 109 mod 19

m=20: 82 mod 20 = 2 ≠ 9 = 109 mod 20

m=21: 82 mod 21 = 19 ≠ 4 = 109 mod 21

m=22: 82 mod 22 = 16 ≠ 21 = 109 mod 22

m=23: 82 mod 23 = 13 ≠ 17 = 109 mod 23

m=24: 82 mod 24 = 10 ≠ 13 = 109 mod 24

m=25: 82 mod 25 = 7 ≠ 9 = 109 mod 25

m=26: 82 mod 26 = 4 ≠ 5 = 109 mod 26

m=27: 82 mod 27 = 1 = 1 = 109 mod 27

m=28: 82 mod 28 = 26 ≠ 25 = 109 mod 28

m=29: 82 mod 29 = 24 ≠ 22 = 109 mod 29

m=30: 82 mod 30 = 22 ≠ 19 = 109 mod 30

m=31: 82 mod 31 = 20 ≠ 16 = 109 mod 31

m=32: 82 mod 32 = 18 ≠ 13 = 109 mod 32

m=33: 82 mod 33 = 16 ≠ 10 = 109 mod 33

m=34: 82 mod 34 = 14 ≠ 7 = 109 mod 34

m=35: 82 mod 35 = 12 ≠ 4 = 109 mod 35

m=36: 82 mod 36 = 10 ≠ 1 = 109 mod 36

m=37: 82 mod 37 = 8 ≠ 35 = 109 mod 37

m=38: 82 mod 38 = 6 ≠ 33 = 109 mod 38

m=39: 82 mod 39 = 4 ≠ 31 = 109 mod 39

m=40: 82 mod 40 = 2 ≠ 29 = 109 mod 40

m=41: 82 mod 41 = 0 ≠ 27 = 109 mod 41

m=42: 82 mod 42 = 40 ≠ 25 = 109 mod 42

m=43: 82 mod 43 = 39 ≠ 23 = 109 mod 43

m=44: 82 mod 44 = 38 ≠ 21 = 109 mod 44

m=45: 82 mod 45 = 37 ≠ 19 = 109 mod 45

m=46: 82 mod 46 = 36 ≠ 17 = 109 mod 46

m=47: 82 mod 47 = 35 ≠ 15 = 109 mod 47

m=48: 82 mod 48 = 34 ≠ 13 = 109 mod 48

m=49: 82 mod 49 = 33 ≠ 11 = 109 mod 49

m=50: 82 mod 50 = 32 ≠ 9 = 109 mod 50

m=51: 82 mod 51 = 31 ≠ 7 = 109 mod 51

m=52: 82 mod 52 = 30 ≠ 5 = 109 mod 52

m=53: 82 mod 53 = 29 ≠ 3 = 109 mod 53

m=54: 82 mod 54 = 28 ≠ 1 = 109 mod 54

m=55: 82 mod 55 = 27 ≠ 54 = 109 mod 55

m=56: 82 mod 56 = 26 ≠ 53 = 109 mod 56

m=57: 82 mod 57 = 25 ≠ 52 = 109 mod 57

m=58: 82 mod 58 = 24 ≠ 51 = 109 mod 58

m=59: 82 mod 59 = 23 ≠ 50 = 109 mod 59

m=60: 82 mod 60 = 22 ≠ 49 = 109 mod 60

m=61: 82 mod 61 = 21 ≠ 48 = 109 mod 61

m=62: 82 mod 62 = 20 ≠ 47 = 109 mod 62

m=63: 82 mod 63 = 19 ≠ 46 = 109 mod 63

m=64: 82 mod 64 = 18 ≠ 45 = 109 mod 64

m=65: 82 mod 65 = 17 ≠ 44 = 109 mod 65

m=66: 82 mod 66 = 16 ≠ 43 = 109 mod 66

m=67: 82 mod 67 = 15 ≠ 42 = 109 mod 67

m=68: 82 mod 68 = 14 ≠ 41 = 109 mod 68

m=69: 82 mod 69 = 13 ≠ 40 = 109 mod 69

m=70: 82 mod 70 = 12 ≠ 39 = 109 mod 70

m=71: 82 mod 71 = 11 ≠ 38 = 109 mod 71

m=72: 82 mod 72 = 10 ≠ 37 = 109 mod 72

m=73: 82 mod 73 = 9 ≠ 36 = 109 mod 73

m=74: 82 mod 74 = 8 ≠ 35 = 109 mod 74

m=75: 82 mod 75 = 7 ≠ 34 = 109 mod 75

m=76: 82 mod 76 = 6 ≠ 33 = 109 mod 76

m=77: 82 mod 77 = 5 ≠ 32 = 109 mod 77

m=78: 82 mod 78 = 4 ≠ 31 = 109 mod 78

m=79: 82 mod 79 = 3 ≠ 30 = 109 mod 79

m=80: 82 mod 80 = 2 ≠ 29 = 109 mod 80

m=81: 82 mod 81 = 1 ≠ 28 = 109 mod 81

m=82: 82 mod 82 = 0 ≠ 27 = 109 mod 82

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (109 - 82) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27