Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 20 = 8.

Somit gilt: 28 mod 10 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.

Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Somit gilt: 90 ≡ 40 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12001 - 304) mod 6 ≡ (12001 mod 6 - 304 mod 6) mod 6.

12001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 6 ⋅ 2000 +1.

304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304 = 300+4 = 6 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(12001 - 304) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 37) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 37 mod 8) mod 8.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 37) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 154 aus, ob zufällig 154 mod m = 229 mod m gilt:

m=2: 154 mod 2 = 0 ≠ 1 = 229 mod 2

m=3: 154 mod 3 = 1 = 1 = 229 mod 3

m=4: 154 mod 4 = 2 ≠ 1 = 229 mod 4

m=5: 154 mod 5 = 4 = 4 = 229 mod 5

m=6: 154 mod 6 = 4 ≠ 1 = 229 mod 6

m=7: 154 mod 7 = 0 ≠ 5 = 229 mod 7

m=8: 154 mod 8 = 2 ≠ 5 = 229 mod 8

m=9: 154 mod 9 = 1 ≠ 4 = 229 mod 9

m=10: 154 mod 10 = 4 ≠ 9 = 229 mod 10

m=11: 154 mod 11 = 0 ≠ 9 = 229 mod 11

m=12: 154 mod 12 = 10 ≠ 1 = 229 mod 12

m=13: 154 mod 13 = 11 ≠ 8 = 229 mod 13

m=14: 154 mod 14 = 0 ≠ 5 = 229 mod 14

m=15: 154 mod 15 = 4 = 4 = 229 mod 15

m=16: 154 mod 16 = 10 ≠ 5 = 229 mod 16

m=17: 154 mod 17 = 1 ≠ 8 = 229 mod 17

m=18: 154 mod 18 = 10 ≠ 13 = 229 mod 18

m=19: 154 mod 19 = 2 ≠ 1 = 229 mod 19

m=20: 154 mod 20 = 14 ≠ 9 = 229 mod 20

m=21: 154 mod 21 = 7 ≠ 19 = 229 mod 21

m=22: 154 mod 22 = 0 ≠ 9 = 229 mod 22

m=23: 154 mod 23 = 16 ≠ 22 = 229 mod 23

m=24: 154 mod 24 = 10 ≠ 13 = 229 mod 24

m=25: 154 mod 25 = 4 = 4 = 229 mod 25

m=26: 154 mod 26 = 24 ≠ 21 = 229 mod 26

m=27: 154 mod 27 = 19 ≠ 13 = 229 mod 27

m=28: 154 mod 28 = 14 ≠ 5 = 229 mod 28

m=29: 154 mod 29 = 9 ≠ 26 = 229 mod 29

m=30: 154 mod 30 = 4 ≠ 19 = 229 mod 30

m=31: 154 mod 31 = 30 ≠ 12 = 229 mod 31

m=32: 154 mod 32 = 26 ≠ 5 = 229 mod 32

m=33: 154 mod 33 = 22 ≠ 31 = 229 mod 33

m=34: 154 mod 34 = 18 ≠ 25 = 229 mod 34

m=35: 154 mod 35 = 14 ≠ 19 = 229 mod 35

m=36: 154 mod 36 = 10 ≠ 13 = 229 mod 36

m=37: 154 mod 37 = 6 ≠ 7 = 229 mod 37

m=38: 154 mod 38 = 2 ≠ 1 = 229 mod 38

m=39: 154 mod 39 = 37 ≠ 34 = 229 mod 39

m=40: 154 mod 40 = 34 ≠ 29 = 229 mod 40

m=41: 154 mod 41 = 31 ≠ 24 = 229 mod 41

m=42: 154 mod 42 = 28 ≠ 19 = 229 mod 42

m=43: 154 mod 43 = 25 ≠ 14 = 229 mod 43

m=44: 154 mod 44 = 22 ≠ 9 = 229 mod 44

m=45: 154 mod 45 = 19 ≠ 4 = 229 mod 45

m=46: 154 mod 46 = 16 ≠ 45 = 229 mod 46

m=47: 154 mod 47 = 13 ≠ 41 = 229 mod 47

m=48: 154 mod 48 = 10 ≠ 37 = 229 mod 48

m=49: 154 mod 49 = 7 ≠ 33 = 229 mod 49

m=50: 154 mod 50 = 4 ≠ 29 = 229 mod 50

m=51: 154 mod 51 = 1 ≠ 25 = 229 mod 51

m=52: 154 mod 52 = 50 ≠ 21 = 229 mod 52

m=53: 154 mod 53 = 48 ≠ 17 = 229 mod 53

m=54: 154 mod 54 = 46 ≠ 13 = 229 mod 54

m=55: 154 mod 55 = 44 ≠ 9 = 229 mod 55

m=56: 154 mod 56 = 42 ≠ 5 = 229 mod 56

m=57: 154 mod 57 = 40 ≠ 1 = 229 mod 57

m=58: 154 mod 58 = 38 ≠ 55 = 229 mod 58

m=59: 154 mod 59 = 36 ≠ 52 = 229 mod 59

m=60: 154 mod 60 = 34 ≠ 49 = 229 mod 60

m=61: 154 mod 61 = 32 ≠ 46 = 229 mod 61

m=62: 154 mod 62 = 30 ≠ 43 = 229 mod 62

m=63: 154 mod 63 = 28 ≠ 40 = 229 mod 63

m=64: 154 mod 64 = 26 ≠ 37 = 229 mod 64

m=65: 154 mod 65 = 24 ≠ 34 = 229 mod 65

m=66: 154 mod 66 = 22 ≠ 31 = 229 mod 66

m=67: 154 mod 67 = 20 ≠ 28 = 229 mod 67

m=68: 154 mod 68 = 18 ≠ 25 = 229 mod 68

m=69: 154 mod 69 = 16 ≠ 22 = 229 mod 69

m=70: 154 mod 70 = 14 ≠ 19 = 229 mod 70

m=71: 154 mod 71 = 12 ≠ 16 = 229 mod 71

m=72: 154 mod 72 = 10 ≠ 13 = 229 mod 72

m=73: 154 mod 73 = 8 ≠ 10 = 229 mod 73

m=74: 154 mod 74 = 6 ≠ 7 = 229 mod 74

m=75: 154 mod 75 = 4 = 4 = 229 mod 75

m=76: 154 mod 76 = 2 ≠ 1 = 229 mod 76

m=77: 154 mod 77 = 0 ≠ 75 = 229 mod 77

m=78: 154 mod 78 = 76 ≠ 73 = 229 mod 78

m=79: 154 mod 79 = 75 ≠ 71 = 229 mod 79

m=80: 154 mod 80 = 74 ≠ 69 = 229 mod 80

m=81: 154 mod 81 = 73 ≠ 67 = 229 mod 81

m=82: 154 mod 82 = 72 ≠ 65 = 229 mod 82

m=83: 154 mod 83 = 71 ≠ 63 = 229 mod 83

m=84: 154 mod 84 = 70 ≠ 61 = 229 mod 84

m=85: 154 mod 85 = 69 ≠ 59 = 229 mod 85

m=86: 154 mod 86 = 68 ≠ 57 = 229 mod 86

m=87: 154 mod 87 = 67 ≠ 55 = 229 mod 87

m=88: 154 mod 88 = 66 ≠ 53 = 229 mod 88

m=89: 154 mod 89 = 65 ≠ 51 = 229 mod 89

m=90: 154 mod 90 = 64 ≠ 49 = 229 mod 90

m=91: 154 mod 91 = 63 ≠ 47 = 229 mod 91

m=92: 154 mod 92 = 62 ≠ 45 = 229 mod 92

m=93: 154 mod 93 = 61 ≠ 43 = 229 mod 93

m=94: 154 mod 94 = 60 ≠ 41 = 229 mod 94

m=95: 154 mod 95 = 59 ≠ 39 = 229 mod 95

m=96: 154 mod 96 = 58 ≠ 37 = 229 mod 96

m=97: 154 mod 97 = 57 ≠ 35 = 229 mod 97

m=98: 154 mod 98 = 56 ≠ 33 = 229 mod 98

m=99: 154 mod 99 = 55 ≠ 31 = 229 mod 99

m=100: 154 mod 100 = 54 ≠ 29 = 229 mod 100

m=101: 154 mod 101 = 53 ≠ 27 = 229 mod 101

m=102: 154 mod 102 = 52 ≠ 25 = 229 mod 102

m=103: 154 mod 103 = 51 ≠ 23 = 229 mod 103

m=104: 154 mod 104 = 50 ≠ 21 = 229 mod 104

m=105: 154 mod 105 = 49 ≠ 19 = 229 mod 105

m=106: 154 mod 106 = 48 ≠ 17 = 229 mod 106

m=107: 154 mod 107 = 47 ≠ 15 = 229 mod 107

m=108: 154 mod 108 = 46 ≠ 13 = 229 mod 108

m=109: 154 mod 109 = 45 ≠ 11 = 229 mod 109

m=110: 154 mod 110 = 44 ≠ 9 = 229 mod 110

m=111: 154 mod 111 = 43 ≠ 7 = 229 mod 111

m=112: 154 mod 112 = 42 ≠ 5 = 229 mod 112

m=113: 154 mod 113 = 41 ≠ 3 = 229 mod 113

m=114: 154 mod 114 = 40 ≠ 1 = 229 mod 114

m=115: 154 mod 115 = 39 ≠ 114 = 229 mod 115

m=116: 154 mod 116 = 38 ≠ 113 = 229 mod 116

m=117: 154 mod 117 = 37 ≠ 112 = 229 mod 117

m=118: 154 mod 118 = 36 ≠ 111 = 229 mod 118

m=119: 154 mod 119 = 35 ≠ 110 = 229 mod 119

m=120: 154 mod 120 = 34 ≠ 109 = 229 mod 120

m=121: 154 mod 121 = 33 ≠ 108 = 229 mod 121

m=122: 154 mod 122 = 32 ≠ 107 = 229 mod 122

m=123: 154 mod 123 = 31 ≠ 106 = 229 mod 123

m=124: 154 mod 124 = 30 ≠ 105 = 229 mod 124

m=125: 154 mod 125 = 29 ≠ 104 = 229 mod 125

m=126: 154 mod 126 = 28 ≠ 103 = 229 mod 126

m=127: 154 mod 127 = 27 ≠ 102 = 229 mod 127

m=128: 154 mod 128 = 26 ≠ 101 = 229 mod 128

m=129: 154 mod 129 = 25 ≠ 100 = 229 mod 129

m=130: 154 mod 130 = 24 ≠ 99 = 229 mod 130

m=131: 154 mod 131 = 23 ≠ 98 = 229 mod 131

m=132: 154 mod 132 = 22 ≠ 97 = 229 mod 132

m=133: 154 mod 133 = 21 ≠ 96 = 229 mod 133

m=134: 154 mod 134 = 20 ≠ 95 = 229 mod 134

m=135: 154 mod 135 = 19 ≠ 94 = 229 mod 135

m=136: 154 mod 136 = 18 ≠ 93 = 229 mod 136

m=137: 154 mod 137 = 17 ≠ 92 = 229 mod 137

m=138: 154 mod 138 = 16 ≠ 91 = 229 mod 138

m=139: 154 mod 139 = 15 ≠ 90 = 229 mod 139

m=140: 154 mod 140 = 14 ≠ 89 = 229 mod 140

m=141: 154 mod 141 = 13 ≠ 88 = 229 mod 141

m=142: 154 mod 142 = 12 ≠ 87 = 229 mod 142

m=143: 154 mod 143 = 11 ≠ 86 = 229 mod 143

m=144: 154 mod 144 = 10 ≠ 85 = 229 mod 144

m=145: 154 mod 145 = 9 ≠ 84 = 229 mod 145

m=146: 154 mod 146 = 8 ≠ 83 = 229 mod 146

m=147: 154 mod 147 = 7 ≠ 82 = 229 mod 147

m=148: 154 mod 148 = 6 ≠ 81 = 229 mod 148

m=149: 154 mod 149 = 5 ≠ 80 = 229 mod 149

m=150: 154 mod 150 = 4 ≠ 79 = 229 mod 150

m=151: 154 mod 151 = 3 ≠ 78 = 229 mod 151

m=152: 154 mod 152 = 2 ≠ 77 = 229 mod 152

m=153: 154 mod 153 = 1 ≠ 76 = 229 mod 153

m=154: 154 mod 154 = 0 ≠ 75 = 229 mod 154

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (229 - 154) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75