Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.

Somit gilt: 57 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 20 = 8.

Somit gilt: 28 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 90 und erhalten so 98.

Somit gilt: 98 ≡ 28 ≡ 8 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1998 - 42) mod 4 ≡ (1998 mod 4 - 42 mod 4) mod 4.

1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 4 ⋅ 475 +98.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(1998 - 42) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 91) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 91) mod 9 ≡ (3 ⋅ 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 ≠ 1 = 41 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 1 = 41 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 ≠ 1 = 41 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 5 = 41 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 = 5 = 41 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 1 = 41 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 5 = 41 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 12 = 41 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 11 = 41 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 10 = 41 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 9 = 41 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 32) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9