Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 36, weil ja 9 ⋅ 4 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 36 = 3.

Somit gilt: 39 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 24 ⋅ 3

Somit gilt: 72 ≡ 24 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13996 + 2805) mod 7 ≡ (13996 mod 7 + 2805 mod 7) mod 7.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

2805 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2805 = 2800+5 = 7 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(13996 + 2805) mod 7 ≡ (3 + 5) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 23) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 23) mod 7 ≡ (3 ⋅ 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 277 aus, ob zufällig 277 mod m = 352 mod m gilt:

m=2: 277 mod 2 = 1 ≠ 0 = 352 mod 2

m=3: 277 mod 3 = 1 = 1 = 352 mod 3

m=4: 277 mod 4 = 1 ≠ 0 = 352 mod 4

m=5: 277 mod 5 = 2 = 2 = 352 mod 5

m=6: 277 mod 6 = 1 ≠ 4 = 352 mod 6

m=7: 277 mod 7 = 4 ≠ 2 = 352 mod 7

m=8: 277 mod 8 = 5 ≠ 0 = 352 mod 8

m=9: 277 mod 9 = 7 ≠ 1 = 352 mod 9

m=10: 277 mod 10 = 7 ≠ 2 = 352 mod 10

m=11: 277 mod 11 = 2 ≠ 0 = 352 mod 11

m=12: 277 mod 12 = 1 ≠ 4 = 352 mod 12

m=13: 277 mod 13 = 4 ≠ 1 = 352 mod 13

m=14: 277 mod 14 = 11 ≠ 2 = 352 mod 14

m=15: 277 mod 15 = 7 = 7 = 352 mod 15

m=16: 277 mod 16 = 5 ≠ 0 = 352 mod 16

m=17: 277 mod 17 = 5 ≠ 12 = 352 mod 17

m=18: 277 mod 18 = 7 ≠ 10 = 352 mod 18

m=19: 277 mod 19 = 11 ≠ 10 = 352 mod 19

m=20: 277 mod 20 = 17 ≠ 12 = 352 mod 20

m=21: 277 mod 21 = 4 ≠ 16 = 352 mod 21

m=22: 277 mod 22 = 13 ≠ 0 = 352 mod 22

m=23: 277 mod 23 = 1 ≠ 7 = 352 mod 23

m=24: 277 mod 24 = 13 ≠ 16 = 352 mod 24

m=25: 277 mod 25 = 2 = 2 = 352 mod 25

m=26: 277 mod 26 = 17 ≠ 14 = 352 mod 26

m=27: 277 mod 27 = 7 ≠ 1 = 352 mod 27

m=28: 277 mod 28 = 25 ≠ 16 = 352 mod 28

m=29: 277 mod 29 = 16 ≠ 4 = 352 mod 29

m=30: 277 mod 30 = 7 ≠ 22 = 352 mod 30

m=31: 277 mod 31 = 29 ≠ 11 = 352 mod 31

m=32: 277 mod 32 = 21 ≠ 0 = 352 mod 32

m=33: 277 mod 33 = 13 ≠ 22 = 352 mod 33

m=34: 277 mod 34 = 5 ≠ 12 = 352 mod 34

m=35: 277 mod 35 = 32 ≠ 2 = 352 mod 35

m=36: 277 mod 36 = 25 ≠ 28 = 352 mod 36

m=37: 277 mod 37 = 18 ≠ 19 = 352 mod 37

m=38: 277 mod 38 = 11 ≠ 10 = 352 mod 38

m=39: 277 mod 39 = 4 ≠ 1 = 352 mod 39

m=40: 277 mod 40 = 37 ≠ 32 = 352 mod 40

m=41: 277 mod 41 = 31 ≠ 24 = 352 mod 41

m=42: 277 mod 42 = 25 ≠ 16 = 352 mod 42

m=43: 277 mod 43 = 19 ≠ 8 = 352 mod 43

m=44: 277 mod 44 = 13 ≠ 0 = 352 mod 44

m=45: 277 mod 45 = 7 ≠ 37 = 352 mod 45

m=46: 277 mod 46 = 1 ≠ 30 = 352 mod 46

m=47: 277 mod 47 = 42 ≠ 23 = 352 mod 47

m=48: 277 mod 48 = 37 ≠ 16 = 352 mod 48

m=49: 277 mod 49 = 32 ≠ 9 = 352 mod 49

m=50: 277 mod 50 = 27 ≠ 2 = 352 mod 50

m=51: 277 mod 51 = 22 ≠ 46 = 352 mod 51

m=52: 277 mod 52 = 17 ≠ 40 = 352 mod 52

m=53: 277 mod 53 = 12 ≠ 34 = 352 mod 53

m=54: 277 mod 54 = 7 ≠ 28 = 352 mod 54

m=55: 277 mod 55 = 2 ≠ 22 = 352 mod 55

m=56: 277 mod 56 = 53 ≠ 16 = 352 mod 56

m=57: 277 mod 57 = 49 ≠ 10 = 352 mod 57

m=58: 277 mod 58 = 45 ≠ 4 = 352 mod 58

m=59: 277 mod 59 = 41 ≠ 57 = 352 mod 59

m=60: 277 mod 60 = 37 ≠ 52 = 352 mod 60

m=61: 277 mod 61 = 33 ≠ 47 = 352 mod 61

m=62: 277 mod 62 = 29 ≠ 42 = 352 mod 62

m=63: 277 mod 63 = 25 ≠ 37 = 352 mod 63

m=64: 277 mod 64 = 21 ≠ 32 = 352 mod 64

m=65: 277 mod 65 = 17 ≠ 27 = 352 mod 65

m=66: 277 mod 66 = 13 ≠ 22 = 352 mod 66

m=67: 277 mod 67 = 9 ≠ 17 = 352 mod 67

m=68: 277 mod 68 = 5 ≠ 12 = 352 mod 68

m=69: 277 mod 69 = 1 ≠ 7 = 352 mod 69

m=70: 277 mod 70 = 67 ≠ 2 = 352 mod 70

m=71: 277 mod 71 = 64 ≠ 68 = 352 mod 71

m=72: 277 mod 72 = 61 ≠ 64 = 352 mod 72

m=73: 277 mod 73 = 58 ≠ 60 = 352 mod 73

m=74: 277 mod 74 = 55 ≠ 56 = 352 mod 74

m=75: 277 mod 75 = 52 = 52 = 352 mod 75

m=76: 277 mod 76 = 49 ≠ 48 = 352 mod 76

m=77: 277 mod 77 = 46 ≠ 44 = 352 mod 77

m=78: 277 mod 78 = 43 ≠ 40 = 352 mod 78

m=79: 277 mod 79 = 40 ≠ 36 = 352 mod 79

m=80: 277 mod 80 = 37 ≠ 32 = 352 mod 80

m=81: 277 mod 81 = 34 ≠ 28 = 352 mod 81

m=82: 277 mod 82 = 31 ≠ 24 = 352 mod 82

m=83: 277 mod 83 = 28 ≠ 20 = 352 mod 83

m=84: 277 mod 84 = 25 ≠ 16 = 352 mod 84

m=85: 277 mod 85 = 22 ≠ 12 = 352 mod 85

m=86: 277 mod 86 = 19 ≠ 8 = 352 mod 86

m=87: 277 mod 87 = 16 ≠ 4 = 352 mod 87

m=88: 277 mod 88 = 13 ≠ 0 = 352 mod 88

m=89: 277 mod 89 = 10 ≠ 85 = 352 mod 89

m=90: 277 mod 90 = 7 ≠ 82 = 352 mod 90

m=91: 277 mod 91 = 4 ≠ 79 = 352 mod 91

m=92: 277 mod 92 = 1 ≠ 76 = 352 mod 92

m=93: 277 mod 93 = 91 ≠ 73 = 352 mod 93

m=94: 277 mod 94 = 89 ≠ 70 = 352 mod 94

m=95: 277 mod 95 = 87 ≠ 67 = 352 mod 95

m=96: 277 mod 96 = 85 ≠ 64 = 352 mod 96

m=97: 277 mod 97 = 83 ≠ 61 = 352 mod 97

m=98: 277 mod 98 = 81 ≠ 58 = 352 mod 98

m=99: 277 mod 99 = 79 ≠ 55 = 352 mod 99

m=100: 277 mod 100 = 77 ≠ 52 = 352 mod 100

m=101: 277 mod 101 = 75 ≠ 49 = 352 mod 101

m=102: 277 mod 102 = 73 ≠ 46 = 352 mod 102

m=103: 277 mod 103 = 71 ≠ 43 = 352 mod 103

m=104: 277 mod 104 = 69 ≠ 40 = 352 mod 104

m=105: 277 mod 105 = 67 ≠ 37 = 352 mod 105

m=106: 277 mod 106 = 65 ≠ 34 = 352 mod 106

m=107: 277 mod 107 = 63 ≠ 31 = 352 mod 107

m=108: 277 mod 108 = 61 ≠ 28 = 352 mod 108

m=109: 277 mod 109 = 59 ≠ 25 = 352 mod 109

m=110: 277 mod 110 = 57 ≠ 22 = 352 mod 110

m=111: 277 mod 111 = 55 ≠ 19 = 352 mod 111

m=112: 277 mod 112 = 53 ≠ 16 = 352 mod 112

m=113: 277 mod 113 = 51 ≠ 13 = 352 mod 113

m=114: 277 mod 114 = 49 ≠ 10 = 352 mod 114

m=115: 277 mod 115 = 47 ≠ 7 = 352 mod 115

m=116: 277 mod 116 = 45 ≠ 4 = 352 mod 116

m=117: 277 mod 117 = 43 ≠ 1 = 352 mod 117

m=118: 277 mod 118 = 41 ≠ 116 = 352 mod 118

m=119: 277 mod 119 = 39 ≠ 114 = 352 mod 119

m=120: 277 mod 120 = 37 ≠ 112 = 352 mod 120

m=121: 277 mod 121 = 35 ≠ 110 = 352 mod 121

m=122: 277 mod 122 = 33 ≠ 108 = 352 mod 122

m=123: 277 mod 123 = 31 ≠ 106 = 352 mod 123

m=124: 277 mod 124 = 29 ≠ 104 = 352 mod 124

m=125: 277 mod 125 = 27 ≠ 102 = 352 mod 125

m=126: 277 mod 126 = 25 ≠ 100 = 352 mod 126

m=127: 277 mod 127 = 23 ≠ 98 = 352 mod 127

m=128: 277 mod 128 = 21 ≠ 96 = 352 mod 128

m=129: 277 mod 129 = 19 ≠ 94 = 352 mod 129

m=130: 277 mod 130 = 17 ≠ 92 = 352 mod 130

m=131: 277 mod 131 = 15 ≠ 90 = 352 mod 131

m=132: 277 mod 132 = 13 ≠ 88 = 352 mod 132

m=133: 277 mod 133 = 11 ≠ 86 = 352 mod 133

m=134: 277 mod 134 = 9 ≠ 84 = 352 mod 134

m=135: 277 mod 135 = 7 ≠ 82 = 352 mod 135

m=136: 277 mod 136 = 5 ≠ 80 = 352 mod 136

m=137: 277 mod 137 = 3 ≠ 78 = 352 mod 137

m=138: 277 mod 138 = 1 ≠ 76 = 352 mod 138

m=139: 277 mod 139 = 138 ≠ 74 = 352 mod 139

m=140: 277 mod 140 = 137 ≠ 72 = 352 mod 140

m=141: 277 mod 141 = 136 ≠ 70 = 352 mod 141

m=142: 277 mod 142 = 135 ≠ 68 = 352 mod 142

m=143: 277 mod 143 = 134 ≠ 66 = 352 mod 143

m=144: 277 mod 144 = 133 ≠ 64 = 352 mod 144

m=145: 277 mod 145 = 132 ≠ 62 = 352 mod 145

m=146: 277 mod 146 = 131 ≠ 60 = 352 mod 146

m=147: 277 mod 147 = 130 ≠ 58 = 352 mod 147

m=148: 277 mod 148 = 129 ≠ 56 = 352 mod 148

m=149: 277 mod 149 = 128 ≠ 54 = 352 mod 149

m=150: 277 mod 150 = 127 ≠ 52 = 352 mod 150

m=151: 277 mod 151 = 126 ≠ 50 = 352 mod 151

m=152: 277 mod 152 = 125 ≠ 48 = 352 mod 152

m=153: 277 mod 153 = 124 ≠ 46 = 352 mod 153

m=154: 277 mod 154 = 123 ≠ 44 = 352 mod 154

m=155: 277 mod 155 = 122 ≠ 42 = 352 mod 155

m=156: 277 mod 156 = 121 ≠ 40 = 352 mod 156

m=157: 277 mod 157 = 120 ≠ 38 = 352 mod 157

m=158: 277 mod 158 = 119 ≠ 36 = 352 mod 158

m=159: 277 mod 159 = 118 ≠ 34 = 352 mod 159

m=160: 277 mod 160 = 117 ≠ 32 = 352 mod 160

m=161: 277 mod 161 = 116 ≠ 30 = 352 mod 161

m=162: 277 mod 162 = 115 ≠ 28 = 352 mod 162

m=163: 277 mod 163 = 114 ≠ 26 = 352 mod 163

m=164: 277 mod 164 = 113 ≠ 24 = 352 mod 164

m=165: 277 mod 165 = 112 ≠ 22 = 352 mod 165

m=166: 277 mod 166 = 111 ≠ 20 = 352 mod 166

m=167: 277 mod 167 = 110 ≠ 18 = 352 mod 167

m=168: 277 mod 168 = 109 ≠ 16 = 352 mod 168

m=169: 277 mod 169 = 108 ≠ 14 = 352 mod 169

m=170: 277 mod 170 = 107 ≠ 12 = 352 mod 170

m=171: 277 mod 171 = 106 ≠ 10 = 352 mod 171

m=172: 277 mod 172 = 105 ≠ 8 = 352 mod 172

m=173: 277 mod 173 = 104 ≠ 6 = 352 mod 173

m=174: 277 mod 174 = 103 ≠ 4 = 352 mod 174

m=175: 277 mod 175 = 102 ≠ 2 = 352 mod 175

m=176: 277 mod 176 = 101 ≠ 0 = 352 mod 176

m=177: 277 mod 177 = 100 ≠ 175 = 352 mod 177

m=178: 277 mod 178 = 99 ≠ 174 = 352 mod 178

m=179: 277 mod 179 = 98 ≠ 173 = 352 mod 179

m=180: 277 mod 180 = 97 ≠ 172 = 352 mod 180

m=181: 277 mod 181 = 96 ≠ 171 = 352 mod 181

m=182: 277 mod 182 = 95 ≠ 170 = 352 mod 182

m=183: 277 mod 183 = 94 ≠ 169 = 352 mod 183

m=184: 277 mod 184 = 93 ≠ 168 = 352 mod 184

m=185: 277 mod 185 = 92 ≠ 167 = 352 mod 185

m=186: 277 mod 186 = 91 ≠ 166 = 352 mod 186

m=187: 277 mod 187 = 90 ≠ 165 = 352 mod 187

m=188: 277 mod 188 = 89 ≠ 164 = 352 mod 188

m=189: 277 mod 189 = 88 ≠ 163 = 352 mod 189

m=190: 277 mod 190 = 87 ≠ 162 = 352 mod 190

m=191: 277 mod 191 = 86 ≠ 161 = 352 mod 191

m=192: 277 mod 192 = 85 ≠ 160 = 352 mod 192

m=193: 277 mod 193 = 84 ≠ 159 = 352 mod 193

m=194: 277 mod 194 = 83 ≠ 158 = 352 mod 194

m=195: 277 mod 195 = 82 ≠ 157 = 352 mod 195

m=196: 277 mod 196 = 81 ≠ 156 = 352 mod 196

m=197: 277 mod 197 = 80 ≠ 155 = 352 mod 197

m=198: 277 mod 198 = 79 ≠ 154 = 352 mod 198

m=199: 277 mod 199 = 78 ≠ 153 = 352 mod 199

m=200: 277 mod 200 = 77 ≠ 152 = 352 mod 200

m=201: 277 mod 201 = 76 ≠ 151 = 352 mod 201

m=202: 277 mod 202 = 75 ≠ 150 = 352 mod 202

m=203: 277 mod 203 = 74 ≠ 149 = 352 mod 203

m=204: 277 mod 204 = 73 ≠ 148 = 352 mod 204

m=205: 277 mod 205 = 72 ≠ 147 = 352 mod 205

m=206: 277 mod 206 = 71 ≠ 146 = 352 mod 206

m=207: 277 mod 207 = 70 ≠ 145 = 352 mod 207

m=208: 277 mod 208 = 69 ≠ 144 = 352 mod 208

m=209: 277 mod 209 = 68 ≠ 143 = 352 mod 209

m=210: 277 mod 210 = 67 ≠ 142 = 352 mod 210

m=211: 277 mod 211 = 66 ≠ 141 = 352 mod 211

m=212: 277 mod 212 = 65 ≠ 140 = 352 mod 212

m=213: 277 mod 213 = 64 ≠ 139 = 352 mod 213

m=214: 277 mod 214 = 63 ≠ 138 = 352 mod 214

m=215: 277 mod 215 = 62 ≠ 137 = 352 mod 215

m=216: 277 mod 216 = 61 ≠ 136 = 352 mod 216

m=217: 277 mod 217 = 60 ≠ 135 = 352 mod 217

m=218: 277 mod 218 = 59 ≠ 134 = 352 mod 218

m=219: 277 mod 219 = 58 ≠ 133 = 352 mod 219

m=220: 277 mod 220 = 57 ≠ 132 = 352 mod 220

m=221: 277 mod 221 = 56 ≠ 131 = 352 mod 221

m=222: 277 mod 222 = 55 ≠ 130 = 352 mod 222

m=223: 277 mod 223 = 54 ≠ 129 = 352 mod 223

m=224: 277 mod 224 = 53 ≠ 128 = 352 mod 224

m=225: 277 mod 225 = 52 ≠ 127 = 352 mod 225

m=226: 277 mod 226 = 51 ≠ 126 = 352 mod 226

m=227: 277 mod 227 = 50 ≠ 125 = 352 mod 227

m=228: 277 mod 228 = 49 ≠ 124 = 352 mod 228

m=229: 277 mod 229 = 48 ≠ 123 = 352 mod 229

m=230: 277 mod 230 = 47 ≠ 122 = 352 mod 230

m=231: 277 mod 231 = 46 ≠ 121 = 352 mod 231

m=232: 277 mod 232 = 45 ≠ 120 = 352 mod 232

m=233: 277 mod 233 = 44 ≠ 119 = 352 mod 233

m=234: 277 mod 234 = 43 ≠ 118 = 352 mod 234

m=235: 277 mod 235 = 42 ≠ 117 = 352 mod 235

m=236: 277 mod 236 = 41 ≠ 116 = 352 mod 236

m=237: 277 mod 237 = 40 ≠ 115 = 352 mod 237

m=238: 277 mod 238 = 39 ≠ 114 = 352 mod 238

m=239: 277 mod 239 = 38 ≠ 113 = 352 mod 239

m=240: 277 mod 240 = 37 ≠ 112 = 352 mod 240

m=241: 277 mod 241 = 36 ≠ 111 = 352 mod 241

m=242: 277 mod 242 = 35 ≠ 110 = 352 mod 242

m=243: 277 mod 243 = 34 ≠ 109 = 352 mod 243

m=244: 277 mod 244 = 33 ≠ 108 = 352 mod 244

m=245: 277 mod 245 = 32 ≠ 107 = 352 mod 245

m=246: 277 mod 246 = 31 ≠ 106 = 352 mod 246

m=247: 277 mod 247 = 30 ≠ 105 = 352 mod 247

m=248: 277 mod 248 = 29 ≠ 104 = 352 mod 248

m=249: 277 mod 249 = 28 ≠ 103 = 352 mod 249

m=250: 277 mod 250 = 27 ≠ 102 = 352 mod 250

m=251: 277 mod 251 = 26 ≠ 101 = 352 mod 251

m=252: 277 mod 252 = 25 ≠ 100 = 352 mod 252

m=253: 277 mod 253 = 24 ≠ 99 = 352 mod 253

m=254: 277 mod 254 = 23 ≠ 98 = 352 mod 254

m=255: 277 mod 255 = 22 ≠ 97 = 352 mod 255

m=256: 277 mod 256 = 21 ≠ 96 = 352 mod 256

m=257: 277 mod 257 = 20 ≠ 95 = 352 mod 257

m=258: 277 mod 258 = 19 ≠ 94 = 352 mod 258

m=259: 277 mod 259 = 18 ≠ 93 = 352 mod 259

m=260: 277 mod 260 = 17 ≠ 92 = 352 mod 260

m=261: 277 mod 261 = 16 ≠ 91 = 352 mod 261

m=262: 277 mod 262 = 15 ≠ 90 = 352 mod 262

m=263: 277 mod 263 = 14 ≠ 89 = 352 mod 263

m=264: 277 mod 264 = 13 ≠ 88 = 352 mod 264

m=265: 277 mod 265 = 12 ≠ 87 = 352 mod 265

m=266: 277 mod 266 = 11 ≠ 86 = 352 mod 266

m=267: 277 mod 267 = 10 ≠ 85 = 352 mod 267

m=268: 277 mod 268 = 9 ≠ 84 = 352 mod 268

m=269: 277 mod 269 = 8 ≠ 83 = 352 mod 269

m=270: 277 mod 270 = 7 ≠ 82 = 352 mod 270

m=271: 277 mod 271 = 6 ≠ 81 = 352 mod 271

m=272: 277 mod 272 = 5 ≠ 80 = 352 mod 272

m=273: 277 mod 273 = 4 ≠ 79 = 352 mod 273

m=274: 277 mod 274 = 3 ≠ 78 = 352 mod 274

m=275: 277 mod 275 = 2 ≠ 77 = 352 mod 275

m=276: 277 mod 276 = 1 ≠ 76 = 352 mod 276

m=277: 277 mod 277 = 0 ≠ 75 = 352 mod 277

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (352 - 277) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75