Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 21 = 5.

Somit gilt: 26 mod 7 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 28 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 26 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1602 - 16000) mod 4 ≡ (1602 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(1602 - 16000) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 28) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 28) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4