Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 27 = 6.

Somit gilt: 33 mod 9 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 11 = 9.

Somit gilt: 20 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 11 und erhalten so 20.

Somit gilt: 20 ≡ 20 ≡ 9 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 + 180) mod 6 ≡ (118 mod 6 + 180 mod 6) mod 6.

118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 6 ⋅ 20 -2 = 6 ⋅ 20 - 6 + 4.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(118 + 180) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 96) mod 4 ≡ (91 mod 4 ⋅ 96 mod 4) mod 4.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

96 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 24 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 96) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 61 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 = 1 = 61 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 = 1 = 61 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 ≠ 1 = 61 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 ≠ 1 = 61 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 = 1 = 61 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 5 = 61 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 5 = 61 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 = 7 = 61 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 ≠ 1 = 61 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 6 = 61 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 ≠ 1 = 61 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 9 = 61 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 5 = 61 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 ≠ 1 = 61 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 13 = 61 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 10 = 61 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 = 7 = 61 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 4 = 61 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 ≠ 1 = 61 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 19 = 61 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 17 = 61 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 15 = 61 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 13 = 61 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 11 = 61 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 9 = 61 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 7 = 61 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 5 = 61 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 3 = 61 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 1 = 61 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 30 = 61 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 29 = 61 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 28 = 61 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 27 = 61 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 26 = 61 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 25 = 61 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 24 = 61 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 23 = 61 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 22 = 61 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 21 = 61 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 20 = 61 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 19 = 61 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 18 = 61 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (61 - 43) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18