Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 78 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 78 = 0.
Somit gilt: 78 mod 3 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 60 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 56 = 4.
Somit gilt: 60 mod 8 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 8 und erhalten so 12.
Somit gilt: 12 ≡ 60 ≡ 4 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21007 - 137) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21007 - 137) mod 7 ≡ (21007 mod 7 - 137 mod 7) mod 7.
21007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21007
= 21000
137 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 137
= 140
Somit gilt:
(21007 - 137) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 81) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 81) mod 5 ≡ (25 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.
25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.
81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 81) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 31 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 31 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 ≠ 1 = 31 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 31 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 3 = 31 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 1 = 31 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 1 = 31 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 3 = 31 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 7 = 31 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 = 4 = 31 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 1 = 31 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 9 = 31 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 7 = 31 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 5 = 31 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 3 = 31 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 1 = 31 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 15 = 31 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 14 = 31 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 13 = 31 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 12 = 31 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 11 = 31 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 10 = 31 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 9 = 31 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 22) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
