Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 90 = 8.

Somit gilt: 98 mod 10 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 20 = 9.

Somit gilt: 29 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 50 und erhalten so 59.

Somit gilt: 59 ≡ 29 ≡ 9 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 - 24005) mod 6 ≡ (60 mod 6 - 24005 mod 6) mod 6.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

24005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005 = 24000+5 = 6 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(60 - 24005) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 20) mod 10 ≡ (98 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.

98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 20) mod 10 ≡ (8 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 81 aus, ob zufällig 81 mod m = 108 mod m gilt:

m=2: 81 mod 2 = 1 ≠ 0 = 108 mod 2

m=3: 81 mod 3 = 0 = 0 = 108 mod 3

m=4: 81 mod 4 = 1 ≠ 0 = 108 mod 4

m=5: 81 mod 5 = 1 ≠ 3 = 108 mod 5

m=6: 81 mod 6 = 3 ≠ 0 = 108 mod 6

m=7: 81 mod 7 = 4 ≠ 3 = 108 mod 7

m=8: 81 mod 8 = 1 ≠ 4 = 108 mod 8

m=9: 81 mod 9 = 0 = 0 = 108 mod 9

m=10: 81 mod 10 = 1 ≠ 8 = 108 mod 10

m=11: 81 mod 11 = 4 ≠ 9 = 108 mod 11

m=12: 81 mod 12 = 9 ≠ 0 = 108 mod 12

m=13: 81 mod 13 = 3 ≠ 4 = 108 mod 13

m=14: 81 mod 14 = 11 ≠ 10 = 108 mod 14

m=15: 81 mod 15 = 6 ≠ 3 = 108 mod 15

m=16: 81 mod 16 = 1 ≠ 12 = 108 mod 16

m=17: 81 mod 17 = 13 ≠ 6 = 108 mod 17

m=18: 81 mod 18 = 9 ≠ 0 = 108 mod 18

m=19: 81 mod 19 = 5 ≠ 13 = 108 mod 19

m=20: 81 mod 20 = 1 ≠ 8 = 108 mod 20

m=21: 81 mod 21 = 18 ≠ 3 = 108 mod 21

m=22: 81 mod 22 = 15 ≠ 20 = 108 mod 22

m=23: 81 mod 23 = 12 ≠ 16 = 108 mod 23

m=24: 81 mod 24 = 9 ≠ 12 = 108 mod 24

m=25: 81 mod 25 = 6 ≠ 8 = 108 mod 25

m=26: 81 mod 26 = 3 ≠ 4 = 108 mod 26

m=27: 81 mod 27 = 0 = 0 = 108 mod 27

m=28: 81 mod 28 = 25 ≠ 24 = 108 mod 28

m=29: 81 mod 29 = 23 ≠ 21 = 108 mod 29

m=30: 81 mod 30 = 21 ≠ 18 = 108 mod 30

m=31: 81 mod 31 = 19 ≠ 15 = 108 mod 31

m=32: 81 mod 32 = 17 ≠ 12 = 108 mod 32

m=33: 81 mod 33 = 15 ≠ 9 = 108 mod 33

m=34: 81 mod 34 = 13 ≠ 6 = 108 mod 34

m=35: 81 mod 35 = 11 ≠ 3 = 108 mod 35

m=36: 81 mod 36 = 9 ≠ 0 = 108 mod 36

m=37: 81 mod 37 = 7 ≠ 34 = 108 mod 37

m=38: 81 mod 38 = 5 ≠ 32 = 108 mod 38

m=39: 81 mod 39 = 3 ≠ 30 = 108 mod 39

m=40: 81 mod 40 = 1 ≠ 28 = 108 mod 40

m=41: 81 mod 41 = 40 ≠ 26 = 108 mod 41

m=42: 81 mod 42 = 39 ≠ 24 = 108 mod 42

m=43: 81 mod 43 = 38 ≠ 22 = 108 mod 43

m=44: 81 mod 44 = 37 ≠ 20 = 108 mod 44

m=45: 81 mod 45 = 36 ≠ 18 = 108 mod 45

m=46: 81 mod 46 = 35 ≠ 16 = 108 mod 46

m=47: 81 mod 47 = 34 ≠ 14 = 108 mod 47

m=48: 81 mod 48 = 33 ≠ 12 = 108 mod 48

m=49: 81 mod 49 = 32 ≠ 10 = 108 mod 49

m=50: 81 mod 50 = 31 ≠ 8 = 108 mod 50

m=51: 81 mod 51 = 30 ≠ 6 = 108 mod 51

m=52: 81 mod 52 = 29 ≠ 4 = 108 mod 52

m=53: 81 mod 53 = 28 ≠ 2 = 108 mod 53

m=54: 81 mod 54 = 27 ≠ 0 = 108 mod 54

m=55: 81 mod 55 = 26 ≠ 53 = 108 mod 55

m=56: 81 mod 56 = 25 ≠ 52 = 108 mod 56

m=57: 81 mod 57 = 24 ≠ 51 = 108 mod 57

m=58: 81 mod 58 = 23 ≠ 50 = 108 mod 58

m=59: 81 mod 59 = 22 ≠ 49 = 108 mod 59

m=60: 81 mod 60 = 21 ≠ 48 = 108 mod 60

m=61: 81 mod 61 = 20 ≠ 47 = 108 mod 61

m=62: 81 mod 62 = 19 ≠ 46 = 108 mod 62

m=63: 81 mod 63 = 18 ≠ 45 = 108 mod 63

m=64: 81 mod 64 = 17 ≠ 44 = 108 mod 64

m=65: 81 mod 65 = 16 ≠ 43 = 108 mod 65

m=66: 81 mod 66 = 15 ≠ 42 = 108 mod 66

m=67: 81 mod 67 = 14 ≠ 41 = 108 mod 67

m=68: 81 mod 68 = 13 ≠ 40 = 108 mod 68

m=69: 81 mod 69 = 12 ≠ 39 = 108 mod 69

m=70: 81 mod 70 = 11 ≠ 38 = 108 mod 70

m=71: 81 mod 71 = 10 ≠ 37 = 108 mod 71

m=72: 81 mod 72 = 9 ≠ 36 = 108 mod 72

m=73: 81 mod 73 = 8 ≠ 35 = 108 mod 73

m=74: 81 mod 74 = 7 ≠ 34 = 108 mod 74

m=75: 81 mod 75 = 6 ≠ 33 = 108 mod 75

m=76: 81 mod 76 = 5 ≠ 32 = 108 mod 76

m=77: 81 mod 77 = 4 ≠ 31 = 108 mod 77

m=78: 81 mod 78 = 3 ≠ 30 = 108 mod 78

m=79: 81 mod 79 = 2 ≠ 29 = 108 mod 79

m=80: 81 mod 80 = 1 ≠ 28 = 108 mod 80

m=81: 81 mod 81 = 0 ≠ 27 = 108 mod 81

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (108 - 81) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27