Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 85 - 77 = 8.
Somit gilt: 85 mod 11 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 101 für die gilt n ≡ 23 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 22 = 1.
Somit gilt: 23 mod 11 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 99 = 9 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 99 und erhalten so 100.
Somit gilt: 100 ≡ 23 ≡ 1 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (802 - 39) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(802 - 39) mod 4 ≡ (802 mod 4 - 39 mod 4) mod 4.
802 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802
= 800
39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39
= 40
Somit gilt:
(802 - 39) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 62) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 62) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 62 mod 8) mod 8.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.
62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 62) mod 8 ≡ (6 ⋅ 6) mod 8 ≡ 36 mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6