Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 36 = 4.

Somit gilt: 40 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 66 = 9.

Somit gilt: 75 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 88 und erhalten so 97.

Somit gilt: 97 ≡ 75 ≡ 9 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2397 - 167) mod 8 ≡ (2397 mod 8 - 167 mod 8) mod 8.

2397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 8 ⋅ 300 -3 = 8 ⋅ 300 - 8 + 5.

167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167 = 160+7 = 8 ⋅ 20 +7.

Somit gilt:

(2397 - 167) mod 8 ≡ (5 - 7) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 27) mod 6 ≡ (40 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 27) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4