Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 68 = 0.

Somit gilt: 68 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 81, weil ja 27 ⋅ 3 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.

Somit gilt: 83 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 69 = 23 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 69 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 83 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 - 4503) mod 9 ≡ (92 mod 9 - 4503 mod 9) mod 9.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 9 ⋅ 10 +2.

4503 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4503 = 4500+3 = 9 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(92 - 4503) mod 9 ≡ (2 - 3) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 21) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 21 mod 8) mod 8.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 21) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 = 2 = 30 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 = 6 = 30 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 9 = 30 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 8 = 30 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 22) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8