Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.

Somit gilt: 89 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 85 = 3.

Somit gilt: 88 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 88 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 + 163) mod 4 ≡ (2003 mod 4 + 163 mod 4) mod 4.

2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 4 ⋅ 500 +3.

163 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163 = 160+3 = 4 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(2003 + 163) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 78) mod 5 ≡ (97 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 78) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 46 aus, ob zufällig 46 mod m = 61 mod m gilt:

m=2: 46 mod 2 = 0 ≠ 1 = 61 mod 2

m=3: 46 mod 3 = 1 = 1 = 61 mod 3

m=4: 46 mod 4 = 2 ≠ 1 = 61 mod 4

m=5: 46 mod 5 = 1 = 1 = 61 mod 5

m=6: 46 mod 6 = 4 ≠ 1 = 61 mod 6

m=7: 46 mod 7 = 4 ≠ 5 = 61 mod 7

m=8: 46 mod 8 = 6 ≠ 5 = 61 mod 8

m=9: 46 mod 9 = 1 ≠ 7 = 61 mod 9

m=10: 46 mod 10 = 6 ≠ 1 = 61 mod 10

m=11: 46 mod 11 = 2 ≠ 6 = 61 mod 11

m=12: 46 mod 12 = 10 ≠ 1 = 61 mod 12

m=13: 46 mod 13 = 7 ≠ 9 = 61 mod 13

m=14: 46 mod 14 = 4 ≠ 5 = 61 mod 14

m=15: 46 mod 15 = 1 = 1 = 61 mod 15

m=16: 46 mod 16 = 14 ≠ 13 = 61 mod 16

m=17: 46 mod 17 = 12 ≠ 10 = 61 mod 17

m=18: 46 mod 18 = 10 ≠ 7 = 61 mod 18

m=19: 46 mod 19 = 8 ≠ 4 = 61 mod 19

m=20: 46 mod 20 = 6 ≠ 1 = 61 mod 20

m=21: 46 mod 21 = 4 ≠ 19 = 61 mod 21

m=22: 46 mod 22 = 2 ≠ 17 = 61 mod 22

m=23: 46 mod 23 = 0 ≠ 15 = 61 mod 23

m=24: 46 mod 24 = 22 ≠ 13 = 61 mod 24

m=25: 46 mod 25 = 21 ≠ 11 = 61 mod 25

m=26: 46 mod 26 = 20 ≠ 9 = 61 mod 26

m=27: 46 mod 27 = 19 ≠ 7 = 61 mod 27

m=28: 46 mod 28 = 18 ≠ 5 = 61 mod 28

m=29: 46 mod 29 = 17 ≠ 3 = 61 mod 29

m=30: 46 mod 30 = 16 ≠ 1 = 61 mod 30

m=31: 46 mod 31 = 15 ≠ 30 = 61 mod 31

m=32: 46 mod 32 = 14 ≠ 29 = 61 mod 32

m=33: 46 mod 33 = 13 ≠ 28 = 61 mod 33

m=34: 46 mod 34 = 12 ≠ 27 = 61 mod 34

m=35: 46 mod 35 = 11 ≠ 26 = 61 mod 35

m=36: 46 mod 36 = 10 ≠ 25 = 61 mod 36

m=37: 46 mod 37 = 9 ≠ 24 = 61 mod 37

m=38: 46 mod 38 = 8 ≠ 23 = 61 mod 38

m=39: 46 mod 39 = 7 ≠ 22 = 61 mod 39

m=40: 46 mod 40 = 6 ≠ 21 = 61 mod 40

m=41: 46 mod 41 = 5 ≠ 20 = 61 mod 41

m=42: 46 mod 42 = 4 ≠ 19 = 61 mod 42

m=43: 46 mod 43 = 3 ≠ 18 = 61 mod 43

m=44: 46 mod 44 = 2 ≠ 17 = 61 mod 44

m=45: 46 mod 45 = 1 ≠ 16 = 61 mod 45

m=46: 46 mod 46 = 0 ≠ 15 = 61 mod 46

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (61 - 46) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15