Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 42 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 42 - 36 = 6.
Somit gilt: 42 mod 9 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 94 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 91 = 3.
Somit gilt: 94 mod 7 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 77 und erhalten so 80.
Somit gilt: 80 ≡ 94 ≡ 3 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (298 - 8998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(298 - 8998) mod 3 ≡ (298 mod 3 - 8998 mod 3) mod 3.
298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
Somit gilt:
(298 - 8998) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 97) mod 5 ≡ (76 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.
76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 97) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6