Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 22 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 18 = 4.
Somit gilt: 22 mod 6 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 31 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 27 = 4.
Somit gilt: 31 mod 9 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 81 und erhalten so 85.
Somit gilt: 85 ≡ 31 ≡ 4 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21005 + 352) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21005 + 352) mod 7 ≡ (21005 mod 7 + 352 mod 7) mod 7.
21005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21005
= 21000
352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 350
Somit gilt:
(21005 + 352) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 99) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 99) mod 8 ≡ (76 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.
76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 99) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4