Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 44 = 7.

Somit gilt: 51 mod 11 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Somit gilt: 90 ≡ 24 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 81) mod 4 ≡ (1200 mod 4 - 81 mod 4) mod 4.

1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 4 ⋅ 300 +0.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 4 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(1200 - 81) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 61) mod 6 ≡ (22 mod 6 ⋅ 61 mod 6) mod 6.

22 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 3 ⋅ 6 + 4 ist.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 61) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 ≠ 1 = 41 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 1 = 41 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 ≠ 1 = 41 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 5 = 41 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 = 5 = 41 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 1 = 41 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 5 = 41 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 12 = 41 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 11 = 41 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 10 = 41 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 9 = 41 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 32) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9