Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 10 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 63 = 0.

Somit gilt: 63 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Somit gilt: 54 ≡ 63 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(248 + 1594) mod 8 ≡ (248 mod 8 + 1594 mod 8) mod 8.

248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 8 ⋅ 30 +8.

1594 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1594 = 1600-6 = 8 ⋅ 200 -6 = 8 ⋅ 200 - 8 + 2.

Somit gilt:

(248 + 1594) mod 8 ≡ (0 + 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 94) mod 3 ≡ (81 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 94) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6