Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.

Somit gilt: 22 mod 10 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 2 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.

Somit gilt: 21 ≡ 57 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 - 19998) mod 5 ≡ (55 mod 5 - 19998 mod 5) mod 5.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50+5 = 5 ⋅ 10 +5.

19998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 5 ⋅ 3800 +998.

Somit gilt:

(55 - 19998) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 27) mod 8 ≡ (49 mod 8 ⋅ 27 mod 8) mod 8.

49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.

27 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 3 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 27) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 31 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 ≠ 1 = 31 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 = 1 = 31 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 4 = 31 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 = 1 = 31 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 10 = 31 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 21) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10