Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.

Somit gilt: 98 mod 8 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.

Somit gilt: 70 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7

Somit gilt: 42 ≡ 70 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29998 + 606) mod 6 ≡ (29998 mod 6 + 606 mod 6) mod 6.

29998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29998 = 30000-2 = 6 ⋅ 5000 -2 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 4.

606 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 606 = 600+6 = 6 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(29998 + 606) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 99) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 99 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

99 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 16 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 99) mod 6 ≡ (1 ⋅ 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4