Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 50 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 50 - 50 = 0.
Somit gilt: 50 mod 10 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 84 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 80 = 4.
Somit gilt: 84 mod 5 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 30 und erhalten so 34.
Somit gilt: 34 ≡ 84 ≡ 4 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 + 900) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 + 900) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(1200 + 900) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 19) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 19) mod 9 ≡ (16 mod 9 ⋅ 19 mod 9) mod 9.
16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.
19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 19) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:
m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2
m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3
m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4
m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5
m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6
m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7
m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8
m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9
m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
