Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 52 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 52 - 45 = 7.
Somit gilt: 52 mod 9 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 33 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 33 - 28 = 5.
Somit gilt: 33 mod 7 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 60, z.B. 56 = 8 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 56 und erhalten so 61.
Somit gilt: 61 ≡ 33 ≡ 5 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21005 + 34999) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21005 + 34999) mod 7 ≡ (21005 mod 7 + 34999 mod 7) mod 7.
21005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21005
= 21000
34999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34999
= 35000
Somit gilt:
(21005 + 34999) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 64) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 64) mod 3 ≡ (62 mod 3 ⋅ 64 mod 3) mod 3.
62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.
64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 64) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 38 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 38 mod m gilt:
m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2
m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3
m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4
m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 3 = 38 mod 5
m=6: 26 mod 6 = 2 = 2 = 38 mod 6
m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 3 = 38 mod 7
m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 6 = 38 mod 8
m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 2 = 38 mod 9
m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 8 = 38 mod 10
m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 5 = 38 mod 11
m=12: 26 mod 12 = 2 = 2 = 38 mod 12
m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 12 = 38 mod 13
m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 10 = 38 mod 14
m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 8 = 38 mod 15
m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 6 = 38 mod 16
m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 4 = 38 mod 17
m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 2 = 38 mod 18
m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 0 = 38 mod 19
m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 18 = 38 mod 20
m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 17 = 38 mod 21
m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 16 = 38 mod 22
m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 15 = 38 mod 23
m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 14 = 38 mod 24
m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 13 = 38 mod 25
m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 12 = 38 mod 26
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 26) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
