Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.

Somit gilt: 100 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.

Somit gilt: 46 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 8 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 72 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 46 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(299 + 24006) mod 6 ≡ (299 mod 6 + 24006 mod 6) mod 6.

299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 6 ⋅ 50 -1 = 6 ⋅ 50 - 6 + 5.

24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 6 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(299 + 24006) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 83) mod 8 ≡ (53 mod 8 ⋅ 83 mod 8) mod 8.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 83) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6