Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 92 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 91 = 1.
Somit gilt: 92 mod 7 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 84 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 80 = 4.
Somit gilt: 84 mod 5 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 10 und erhalten so 14.
Somit gilt: 14 ≡ 84 ≡ 4 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 - 898) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 - 898) mod 3 ≡ (1199 mod 3 - 898 mod 3) mod 3.
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898
= 900
Somit gilt:
(1199 - 898) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 22) mod 3 ≡ (78 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 22) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
32 mod m = 42 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 42 mod m gilt:
m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2
m=3: 32 mod 3 = 2 ≠ 0 = 42 mod 3
m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 2 = 42 mod 4
m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 42 mod 5
m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 0 = 42 mod 6
m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 0 = 42 mod 7
m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 2 = 42 mod 8
m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 6 = 42 mod 9
m=10: 32 mod 10 = 2 = 2 = 42 mod 10
m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 9 = 42 mod 11
m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 6 = 42 mod 12
m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 3 = 42 mod 13
m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 0 = 42 mod 14
m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 12 = 42 mod 15
m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 10 = 42 mod 16
m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 8 = 42 mod 17
m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 6 = 42 mod 18
m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 4 = 42 mod 19
m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 2 = 42 mod 20
m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 0 = 42 mod 21
m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 20 = 42 mod 22
m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 19 = 42 mod 23
m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 18 = 42 mod 24
m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 17 = 42 mod 25
m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 16 = 42 mod 26
m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 15 = 42 mod 27
m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 14 = 42 mod 28
m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 13 = 42 mod 29
m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 12 = 42 mod 30
m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 11 = 42 mod 31
m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 10 = 42 mod 32
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 32) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
