Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 72 = 7.
Somit gilt: 79 mod 9 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 44 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 36 = 8.
Somit gilt: 44 mod 9 ≡ 8.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 27 und erhalten so 35.
Somit gilt: 35 ≡ 44 ≡ 8 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (903 + 8994) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(903 + 8994) mod 9 ≡ (903 mod 9 + 8994 mod 9) mod 9.
903 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903
= 900
8994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8994
= 9000
Somit gilt:
(903 + 8994) mod 9 ≡ (3 + 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 41) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 41) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 41 mod 8) mod 8.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 41) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4