Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 63 = 8.

Somit gilt: 71 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 45 = 5 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 45 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 71 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24995 + 2503) mod 5 ≡ (24995 mod 5 + 2503 mod 5) mod 5.

24995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24995 = 24000+995 = 5 ⋅ 4800 +995.

2503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2503 = 2500+3 = 5 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(24995 + 2503) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 50) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.

92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 50) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 206 aus, ob zufällig 206 mod m = 281 mod m gilt:

m=2: 206 mod 2 = 0 ≠ 1 = 281 mod 2

m=3: 206 mod 3 = 2 = 2 = 281 mod 3

m=4: 206 mod 4 = 2 ≠ 1 = 281 mod 4

m=5: 206 mod 5 = 1 = 1 = 281 mod 5

m=6: 206 mod 6 = 2 ≠ 5 = 281 mod 6

m=7: 206 mod 7 = 3 ≠ 1 = 281 mod 7

m=8: 206 mod 8 = 6 ≠ 1 = 281 mod 8

m=9: 206 mod 9 = 8 ≠ 2 = 281 mod 9

m=10: 206 mod 10 = 6 ≠ 1 = 281 mod 10

m=11: 206 mod 11 = 8 ≠ 6 = 281 mod 11

m=12: 206 mod 12 = 2 ≠ 5 = 281 mod 12

m=13: 206 mod 13 = 11 ≠ 8 = 281 mod 13

m=14: 206 mod 14 = 10 ≠ 1 = 281 mod 14

m=15: 206 mod 15 = 11 = 11 = 281 mod 15

m=16: 206 mod 16 = 14 ≠ 9 = 281 mod 16

m=17: 206 mod 17 = 2 ≠ 9 = 281 mod 17

m=18: 206 mod 18 = 8 ≠ 11 = 281 mod 18

m=19: 206 mod 19 = 16 ≠ 15 = 281 mod 19

m=20: 206 mod 20 = 6 ≠ 1 = 281 mod 20

m=21: 206 mod 21 = 17 ≠ 8 = 281 mod 21

m=22: 206 mod 22 = 8 ≠ 17 = 281 mod 22

m=23: 206 mod 23 = 22 ≠ 5 = 281 mod 23

m=24: 206 mod 24 = 14 ≠ 17 = 281 mod 24

m=25: 206 mod 25 = 6 = 6 = 281 mod 25

m=26: 206 mod 26 = 24 ≠ 21 = 281 mod 26

m=27: 206 mod 27 = 17 ≠ 11 = 281 mod 27

m=28: 206 mod 28 = 10 ≠ 1 = 281 mod 28

m=29: 206 mod 29 = 3 ≠ 20 = 281 mod 29

m=30: 206 mod 30 = 26 ≠ 11 = 281 mod 30

m=31: 206 mod 31 = 20 ≠ 2 = 281 mod 31

m=32: 206 mod 32 = 14 ≠ 25 = 281 mod 32

m=33: 206 mod 33 = 8 ≠ 17 = 281 mod 33

m=34: 206 mod 34 = 2 ≠ 9 = 281 mod 34

m=35: 206 mod 35 = 31 ≠ 1 = 281 mod 35

m=36: 206 mod 36 = 26 ≠ 29 = 281 mod 36

m=37: 206 mod 37 = 21 ≠ 22 = 281 mod 37

m=38: 206 mod 38 = 16 ≠ 15 = 281 mod 38

m=39: 206 mod 39 = 11 ≠ 8 = 281 mod 39

m=40: 206 mod 40 = 6 ≠ 1 = 281 mod 40

m=41: 206 mod 41 = 1 ≠ 35 = 281 mod 41

m=42: 206 mod 42 = 38 ≠ 29 = 281 mod 42

m=43: 206 mod 43 = 34 ≠ 23 = 281 mod 43

m=44: 206 mod 44 = 30 ≠ 17 = 281 mod 44

m=45: 206 mod 45 = 26 ≠ 11 = 281 mod 45

m=46: 206 mod 46 = 22 ≠ 5 = 281 mod 46

m=47: 206 mod 47 = 18 ≠ 46 = 281 mod 47

m=48: 206 mod 48 = 14 ≠ 41 = 281 mod 48

m=49: 206 mod 49 = 10 ≠ 36 = 281 mod 49

m=50: 206 mod 50 = 6 ≠ 31 = 281 mod 50

m=51: 206 mod 51 = 2 ≠ 26 = 281 mod 51

m=52: 206 mod 52 = 50 ≠ 21 = 281 mod 52

m=53: 206 mod 53 = 47 ≠ 16 = 281 mod 53

m=54: 206 mod 54 = 44 ≠ 11 = 281 mod 54

m=55: 206 mod 55 = 41 ≠ 6 = 281 mod 55

m=56: 206 mod 56 = 38 ≠ 1 = 281 mod 56

m=57: 206 mod 57 = 35 ≠ 53 = 281 mod 57

m=58: 206 mod 58 = 32 ≠ 49 = 281 mod 58

m=59: 206 mod 59 = 29 ≠ 45 = 281 mod 59

m=60: 206 mod 60 = 26 ≠ 41 = 281 mod 60

m=61: 206 mod 61 = 23 ≠ 37 = 281 mod 61

m=62: 206 mod 62 = 20 ≠ 33 = 281 mod 62

m=63: 206 mod 63 = 17 ≠ 29 = 281 mod 63

m=64: 206 mod 64 = 14 ≠ 25 = 281 mod 64

m=65: 206 mod 65 = 11 ≠ 21 = 281 mod 65

m=66: 206 mod 66 = 8 ≠ 17 = 281 mod 66

m=67: 206 mod 67 = 5 ≠ 13 = 281 mod 67

m=68: 206 mod 68 = 2 ≠ 9 = 281 mod 68

m=69: 206 mod 69 = 68 ≠ 5 = 281 mod 69

m=70: 206 mod 70 = 66 ≠ 1 = 281 mod 70

m=71: 206 mod 71 = 64 ≠ 68 = 281 mod 71

m=72: 206 mod 72 = 62 ≠ 65 = 281 mod 72

m=73: 206 mod 73 = 60 ≠ 62 = 281 mod 73

m=74: 206 mod 74 = 58 ≠ 59 = 281 mod 74

m=75: 206 mod 75 = 56 = 56 = 281 mod 75

m=76: 206 mod 76 = 54 ≠ 53 = 281 mod 76

m=77: 206 mod 77 = 52 ≠ 50 = 281 mod 77

m=78: 206 mod 78 = 50 ≠ 47 = 281 mod 78

m=79: 206 mod 79 = 48 ≠ 44 = 281 mod 79

m=80: 206 mod 80 = 46 ≠ 41 = 281 mod 80

m=81: 206 mod 81 = 44 ≠ 38 = 281 mod 81

m=82: 206 mod 82 = 42 ≠ 35 = 281 mod 82

m=83: 206 mod 83 = 40 ≠ 32 = 281 mod 83

m=84: 206 mod 84 = 38 ≠ 29 = 281 mod 84

m=85: 206 mod 85 = 36 ≠ 26 = 281 mod 85

m=86: 206 mod 86 = 34 ≠ 23 = 281 mod 86

m=87: 206 mod 87 = 32 ≠ 20 = 281 mod 87

m=88: 206 mod 88 = 30 ≠ 17 = 281 mod 88

m=89: 206 mod 89 = 28 ≠ 14 = 281 mod 89

m=90: 206 mod 90 = 26 ≠ 11 = 281 mod 90

m=91: 206 mod 91 = 24 ≠ 8 = 281 mod 91

m=92: 206 mod 92 = 22 ≠ 5 = 281 mod 92

m=93: 206 mod 93 = 20 ≠ 2 = 281 mod 93

m=94: 206 mod 94 = 18 ≠ 93 = 281 mod 94

m=95: 206 mod 95 = 16 ≠ 91 = 281 mod 95

m=96: 206 mod 96 = 14 ≠ 89 = 281 mod 96

m=97: 206 mod 97 = 12 ≠ 87 = 281 mod 97

m=98: 206 mod 98 = 10 ≠ 85 = 281 mod 98

m=99: 206 mod 99 = 8 ≠ 83 = 281 mod 99

m=100: 206 mod 100 = 6 ≠ 81 = 281 mod 100

m=101: 206 mod 101 = 4 ≠ 79 = 281 mod 101

m=102: 206 mod 102 = 2 ≠ 77 = 281 mod 102

m=103: 206 mod 103 = 0 ≠ 75 = 281 mod 103

m=104: 206 mod 104 = 102 ≠ 73 = 281 mod 104

m=105: 206 mod 105 = 101 ≠ 71 = 281 mod 105

m=106: 206 mod 106 = 100 ≠ 69 = 281 mod 106

m=107: 206 mod 107 = 99 ≠ 67 = 281 mod 107

m=108: 206 mod 108 = 98 ≠ 65 = 281 mod 108

m=109: 206 mod 109 = 97 ≠ 63 = 281 mod 109

m=110: 206 mod 110 = 96 ≠ 61 = 281 mod 110

m=111: 206 mod 111 = 95 ≠ 59 = 281 mod 111

m=112: 206 mod 112 = 94 ≠ 57 = 281 mod 112

m=113: 206 mod 113 = 93 ≠ 55 = 281 mod 113

m=114: 206 mod 114 = 92 ≠ 53 = 281 mod 114

m=115: 206 mod 115 = 91 ≠ 51 = 281 mod 115

m=116: 206 mod 116 = 90 ≠ 49 = 281 mod 116

m=117: 206 mod 117 = 89 ≠ 47 = 281 mod 117

m=118: 206 mod 118 = 88 ≠ 45 = 281 mod 118

m=119: 206 mod 119 = 87 ≠ 43 = 281 mod 119

m=120: 206 mod 120 = 86 ≠ 41 = 281 mod 120

m=121: 206 mod 121 = 85 ≠ 39 = 281 mod 121

m=122: 206 mod 122 = 84 ≠ 37 = 281 mod 122

m=123: 206 mod 123 = 83 ≠ 35 = 281 mod 123

m=124: 206 mod 124 = 82 ≠ 33 = 281 mod 124

m=125: 206 mod 125 = 81 ≠ 31 = 281 mod 125

m=126: 206 mod 126 = 80 ≠ 29 = 281 mod 126

m=127: 206 mod 127 = 79 ≠ 27 = 281 mod 127

m=128: 206 mod 128 = 78 ≠ 25 = 281 mod 128

m=129: 206 mod 129 = 77 ≠ 23 = 281 mod 129

m=130: 206 mod 130 = 76 ≠ 21 = 281 mod 130

m=131: 206 mod 131 = 75 ≠ 19 = 281 mod 131

m=132: 206 mod 132 = 74 ≠ 17 = 281 mod 132

m=133: 206 mod 133 = 73 ≠ 15 = 281 mod 133

m=134: 206 mod 134 = 72 ≠ 13 = 281 mod 134

m=135: 206 mod 135 = 71 ≠ 11 = 281 mod 135

m=136: 206 mod 136 = 70 ≠ 9 = 281 mod 136

m=137: 206 mod 137 = 69 ≠ 7 = 281 mod 137

m=138: 206 mod 138 = 68 ≠ 5 = 281 mod 138

m=139: 206 mod 139 = 67 ≠ 3 = 281 mod 139

m=140: 206 mod 140 = 66 ≠ 1 = 281 mod 140

m=141: 206 mod 141 = 65 ≠ 140 = 281 mod 141

m=142: 206 mod 142 = 64 ≠ 139 = 281 mod 142

m=143: 206 mod 143 = 63 ≠ 138 = 281 mod 143

m=144: 206 mod 144 = 62 ≠ 137 = 281 mod 144

m=145: 206 mod 145 = 61 ≠ 136 = 281 mod 145

m=146: 206 mod 146 = 60 ≠ 135 = 281 mod 146

m=147: 206 mod 147 = 59 ≠ 134 = 281 mod 147

m=148: 206 mod 148 = 58 ≠ 133 = 281 mod 148

m=149: 206 mod 149 = 57 ≠ 132 = 281 mod 149

m=150: 206 mod 150 = 56 ≠ 131 = 281 mod 150

m=151: 206 mod 151 = 55 ≠ 130 = 281 mod 151

m=152: 206 mod 152 = 54 ≠ 129 = 281 mod 152

m=153: 206 mod 153 = 53 ≠ 128 = 281 mod 153

m=154: 206 mod 154 = 52 ≠ 127 = 281 mod 154

m=155: 206 mod 155 = 51 ≠ 126 = 281 mod 155

m=156: 206 mod 156 = 50 ≠ 125 = 281 mod 156

m=157: 206 mod 157 = 49 ≠ 124 = 281 mod 157

m=158: 206 mod 158 = 48 ≠ 123 = 281 mod 158

m=159: 206 mod 159 = 47 ≠ 122 = 281 mod 159

m=160: 206 mod 160 = 46 ≠ 121 = 281 mod 160

m=161: 206 mod 161 = 45 ≠ 120 = 281 mod 161

m=162: 206 mod 162 = 44 ≠ 119 = 281 mod 162

m=163: 206 mod 163 = 43 ≠ 118 = 281 mod 163

m=164: 206 mod 164 = 42 ≠ 117 = 281 mod 164

m=165: 206 mod 165 = 41 ≠ 116 = 281 mod 165

m=166: 206 mod 166 = 40 ≠ 115 = 281 mod 166

m=167: 206 mod 167 = 39 ≠ 114 = 281 mod 167

m=168: 206 mod 168 = 38 ≠ 113 = 281 mod 168

m=169: 206 mod 169 = 37 ≠ 112 = 281 mod 169

m=170: 206 mod 170 = 36 ≠ 111 = 281 mod 170

m=171: 206 mod 171 = 35 ≠ 110 = 281 mod 171

m=172: 206 mod 172 = 34 ≠ 109 = 281 mod 172

m=173: 206 mod 173 = 33 ≠ 108 = 281 mod 173

m=174: 206 mod 174 = 32 ≠ 107 = 281 mod 174

m=175: 206 mod 175 = 31 ≠ 106 = 281 mod 175

m=176: 206 mod 176 = 30 ≠ 105 = 281 mod 176

m=177: 206 mod 177 = 29 ≠ 104 = 281 mod 177

m=178: 206 mod 178 = 28 ≠ 103 = 281 mod 178

m=179: 206 mod 179 = 27 ≠ 102 = 281 mod 179

m=180: 206 mod 180 = 26 ≠ 101 = 281 mod 180

m=181: 206 mod 181 = 25 ≠ 100 = 281 mod 181

m=182: 206 mod 182 = 24 ≠ 99 = 281 mod 182

m=183: 206 mod 183 = 23 ≠ 98 = 281 mod 183

m=184: 206 mod 184 = 22 ≠ 97 = 281 mod 184

m=185: 206 mod 185 = 21 ≠ 96 = 281 mod 185

m=186: 206 mod 186 = 20 ≠ 95 = 281 mod 186

m=187: 206 mod 187 = 19 ≠ 94 = 281 mod 187

m=188: 206 mod 188 = 18 ≠ 93 = 281 mod 188

m=189: 206 mod 189 = 17 ≠ 92 = 281 mod 189

m=190: 206 mod 190 = 16 ≠ 91 = 281 mod 190

m=191: 206 mod 191 = 15 ≠ 90 = 281 mod 191

m=192: 206 mod 192 = 14 ≠ 89 = 281 mod 192

m=193: 206 mod 193 = 13 ≠ 88 = 281 mod 193

m=194: 206 mod 194 = 12 ≠ 87 = 281 mod 194

m=195: 206 mod 195 = 11 ≠ 86 = 281 mod 195

m=196: 206 mod 196 = 10 ≠ 85 = 281 mod 196

m=197: 206 mod 197 = 9 ≠ 84 = 281 mod 197

m=198: 206 mod 198 = 8 ≠ 83 = 281 mod 198

m=199: 206 mod 199 = 7 ≠ 82 = 281 mod 199

m=200: 206 mod 200 = 6 ≠ 81 = 281 mod 200

m=201: 206 mod 201 = 5 ≠ 80 = 281 mod 201

m=202: 206 mod 202 = 4 ≠ 79 = 281 mod 202

m=203: 206 mod 203 = 3 ≠ 78 = 281 mod 203

m=204: 206 mod 204 = 2 ≠ 77 = 281 mod 204

m=205: 206 mod 205 = 1 ≠ 76 = 281 mod 205

m=206: 206 mod 206 = 0 ≠ 75 = 281 mod 206

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (281 - 206) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75