Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 83 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.
Somit gilt: 83 mod 8 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 65 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 65 - 65 = 0.
Somit gilt: 65 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5
Somit gilt: 20 ≡ 65 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (144 - 343) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(144 - 343) mod 7 ≡ (144 mod 7 - 343 mod 7) mod 7.
144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144
= 140
343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343
= 350
Somit gilt:
(144 - 343) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 85) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 85) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 85 mod 5) mod 5.
23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.
85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 85) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 25 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6