Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.

Somit gilt: 39 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 70 = 2.

Somit gilt: 72 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 72 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18002 - 61) mod 6 ≡ (18002 mod 6 - 61 mod 6) mod 6.

18002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002 = 18000+2 = 6 ⋅ 3000 +2.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 6 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(18002 - 61) mod 6 ≡ (2 - 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 81) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 81) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 16 mod 3 = 1 ≠ 0 = 24 mod 3

m=4: 16 mod 4 = 0 = 0 = 24 mod 4

m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 16 mod 6 = 4 ≠ 0 = 24 mod 6

m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 16 mod 8 = 0 = 0 = 24 mod 8

m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 8 = 24 mod 16

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 16) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8