Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Somit gilt: 20 ≡ 90 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(247 + 20002) mod 5 ≡ (247 mod 5 + 20002 mod 5) mod 5.

247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247 = 240+7 = 5 ⋅ 48 +7.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(247 + 20002) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 46) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 46 mod 3) mod 3.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 46) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 160 aus, ob zufällig 160 mod m = 205 mod m gilt:

m=2: 160 mod 2 = 0 ≠ 1 = 205 mod 2

m=3: 160 mod 3 = 1 = 1 = 205 mod 3

m=4: 160 mod 4 = 0 ≠ 1 = 205 mod 4

m=5: 160 mod 5 = 0 = 0 = 205 mod 5

m=6: 160 mod 6 = 4 ≠ 1 = 205 mod 6

m=7: 160 mod 7 = 6 ≠ 2 = 205 mod 7

m=8: 160 mod 8 = 0 ≠ 5 = 205 mod 8

m=9: 160 mod 9 = 7 = 7 = 205 mod 9

m=10: 160 mod 10 = 0 ≠ 5 = 205 mod 10

m=11: 160 mod 11 = 6 ≠ 7 = 205 mod 11

m=12: 160 mod 12 = 4 ≠ 1 = 205 mod 12

m=13: 160 mod 13 = 4 ≠ 10 = 205 mod 13

m=14: 160 mod 14 = 6 ≠ 9 = 205 mod 14

m=15: 160 mod 15 = 10 = 10 = 205 mod 15

m=16: 160 mod 16 = 0 ≠ 13 = 205 mod 16

m=17: 160 mod 17 = 7 ≠ 1 = 205 mod 17

m=18: 160 mod 18 = 16 ≠ 7 = 205 mod 18

m=19: 160 mod 19 = 8 ≠ 15 = 205 mod 19

m=20: 160 mod 20 = 0 ≠ 5 = 205 mod 20

m=21: 160 mod 21 = 13 ≠ 16 = 205 mod 21

m=22: 160 mod 22 = 6 ≠ 7 = 205 mod 22

m=23: 160 mod 23 = 22 ≠ 21 = 205 mod 23

m=24: 160 mod 24 = 16 ≠ 13 = 205 mod 24

m=25: 160 mod 25 = 10 ≠ 5 = 205 mod 25

m=26: 160 mod 26 = 4 ≠ 23 = 205 mod 26

m=27: 160 mod 27 = 25 ≠ 16 = 205 mod 27

m=28: 160 mod 28 = 20 ≠ 9 = 205 mod 28

m=29: 160 mod 29 = 15 ≠ 2 = 205 mod 29

m=30: 160 mod 30 = 10 ≠ 25 = 205 mod 30

m=31: 160 mod 31 = 5 ≠ 19 = 205 mod 31

m=32: 160 mod 32 = 0 ≠ 13 = 205 mod 32

m=33: 160 mod 33 = 28 ≠ 7 = 205 mod 33

m=34: 160 mod 34 = 24 ≠ 1 = 205 mod 34

m=35: 160 mod 35 = 20 ≠ 30 = 205 mod 35

m=36: 160 mod 36 = 16 ≠ 25 = 205 mod 36

m=37: 160 mod 37 = 12 ≠ 20 = 205 mod 37

m=38: 160 mod 38 = 8 ≠ 15 = 205 mod 38

m=39: 160 mod 39 = 4 ≠ 10 = 205 mod 39

m=40: 160 mod 40 = 0 ≠ 5 = 205 mod 40

m=41: 160 mod 41 = 37 ≠ 0 = 205 mod 41

m=42: 160 mod 42 = 34 ≠ 37 = 205 mod 42

m=43: 160 mod 43 = 31 ≠ 33 = 205 mod 43

m=44: 160 mod 44 = 28 ≠ 29 = 205 mod 44

m=45: 160 mod 45 = 25 = 25 = 205 mod 45

m=46: 160 mod 46 = 22 ≠ 21 = 205 mod 46

m=47: 160 mod 47 = 19 ≠ 17 = 205 mod 47

m=48: 160 mod 48 = 16 ≠ 13 = 205 mod 48

m=49: 160 mod 49 = 13 ≠ 9 = 205 mod 49

m=50: 160 mod 50 = 10 ≠ 5 = 205 mod 50

m=51: 160 mod 51 = 7 ≠ 1 = 205 mod 51

m=52: 160 mod 52 = 4 ≠ 49 = 205 mod 52

m=53: 160 mod 53 = 1 ≠ 46 = 205 mod 53

m=54: 160 mod 54 = 52 ≠ 43 = 205 mod 54

m=55: 160 mod 55 = 50 ≠ 40 = 205 mod 55

m=56: 160 mod 56 = 48 ≠ 37 = 205 mod 56

m=57: 160 mod 57 = 46 ≠ 34 = 205 mod 57

m=58: 160 mod 58 = 44 ≠ 31 = 205 mod 58

m=59: 160 mod 59 = 42 ≠ 28 = 205 mod 59

m=60: 160 mod 60 = 40 ≠ 25 = 205 mod 60

m=61: 160 mod 61 = 38 ≠ 22 = 205 mod 61

m=62: 160 mod 62 = 36 ≠ 19 = 205 mod 62

m=63: 160 mod 63 = 34 ≠ 16 = 205 mod 63

m=64: 160 mod 64 = 32 ≠ 13 = 205 mod 64

m=65: 160 mod 65 = 30 ≠ 10 = 205 mod 65

m=66: 160 mod 66 = 28 ≠ 7 = 205 mod 66

m=67: 160 mod 67 = 26 ≠ 4 = 205 mod 67

m=68: 160 mod 68 = 24 ≠ 1 = 205 mod 68

m=69: 160 mod 69 = 22 ≠ 67 = 205 mod 69

m=70: 160 mod 70 = 20 ≠ 65 = 205 mod 70

m=71: 160 mod 71 = 18 ≠ 63 = 205 mod 71

m=72: 160 mod 72 = 16 ≠ 61 = 205 mod 72

m=73: 160 mod 73 = 14 ≠ 59 = 205 mod 73

m=74: 160 mod 74 = 12 ≠ 57 = 205 mod 74

m=75: 160 mod 75 = 10 ≠ 55 = 205 mod 75

m=76: 160 mod 76 = 8 ≠ 53 = 205 mod 76

m=77: 160 mod 77 = 6 ≠ 51 = 205 mod 77

m=78: 160 mod 78 = 4 ≠ 49 = 205 mod 78

m=79: 160 mod 79 = 2 ≠ 47 = 205 mod 79

m=80: 160 mod 80 = 0 ≠ 45 = 205 mod 80

m=81: 160 mod 81 = 79 ≠ 43 = 205 mod 81

m=82: 160 mod 82 = 78 ≠ 41 = 205 mod 82

m=83: 160 mod 83 = 77 ≠ 39 = 205 mod 83

m=84: 160 mod 84 = 76 ≠ 37 = 205 mod 84

m=85: 160 mod 85 = 75 ≠ 35 = 205 mod 85

m=86: 160 mod 86 = 74 ≠ 33 = 205 mod 86

m=87: 160 mod 87 = 73 ≠ 31 = 205 mod 87

m=88: 160 mod 88 = 72 ≠ 29 = 205 mod 88

m=89: 160 mod 89 = 71 ≠ 27 = 205 mod 89

m=90: 160 mod 90 = 70 ≠ 25 = 205 mod 90

m=91: 160 mod 91 = 69 ≠ 23 = 205 mod 91

m=92: 160 mod 92 = 68 ≠ 21 = 205 mod 92

m=93: 160 mod 93 = 67 ≠ 19 = 205 mod 93

m=94: 160 mod 94 = 66 ≠ 17 = 205 mod 94

m=95: 160 mod 95 = 65 ≠ 15 = 205 mod 95

m=96: 160 mod 96 = 64 ≠ 13 = 205 mod 96

m=97: 160 mod 97 = 63 ≠ 11 = 205 mod 97

m=98: 160 mod 98 = 62 ≠ 9 = 205 mod 98

m=99: 160 mod 99 = 61 ≠ 7 = 205 mod 99

m=100: 160 mod 100 = 60 ≠ 5 = 205 mod 100

m=101: 160 mod 101 = 59 ≠ 3 = 205 mod 101

m=102: 160 mod 102 = 58 ≠ 1 = 205 mod 102

m=103: 160 mod 103 = 57 ≠ 102 = 205 mod 103

m=104: 160 mod 104 = 56 ≠ 101 = 205 mod 104

m=105: 160 mod 105 = 55 ≠ 100 = 205 mod 105

m=106: 160 mod 106 = 54 ≠ 99 = 205 mod 106

m=107: 160 mod 107 = 53 ≠ 98 = 205 mod 107

m=108: 160 mod 108 = 52 ≠ 97 = 205 mod 108

m=109: 160 mod 109 = 51 ≠ 96 = 205 mod 109

m=110: 160 mod 110 = 50 ≠ 95 = 205 mod 110

m=111: 160 mod 111 = 49 ≠ 94 = 205 mod 111

m=112: 160 mod 112 = 48 ≠ 93 = 205 mod 112

m=113: 160 mod 113 = 47 ≠ 92 = 205 mod 113

m=114: 160 mod 114 = 46 ≠ 91 = 205 mod 114

m=115: 160 mod 115 = 45 ≠ 90 = 205 mod 115

m=116: 160 mod 116 = 44 ≠ 89 = 205 mod 116

m=117: 160 mod 117 = 43 ≠ 88 = 205 mod 117

m=118: 160 mod 118 = 42 ≠ 87 = 205 mod 118

m=119: 160 mod 119 = 41 ≠ 86 = 205 mod 119

m=120: 160 mod 120 = 40 ≠ 85 = 205 mod 120

m=121: 160 mod 121 = 39 ≠ 84 = 205 mod 121

m=122: 160 mod 122 = 38 ≠ 83 = 205 mod 122

m=123: 160 mod 123 = 37 ≠ 82 = 205 mod 123

m=124: 160 mod 124 = 36 ≠ 81 = 205 mod 124

m=125: 160 mod 125 = 35 ≠ 80 = 205 mod 125

m=126: 160 mod 126 = 34 ≠ 79 = 205 mod 126

m=127: 160 mod 127 = 33 ≠ 78 = 205 mod 127

m=128: 160 mod 128 = 32 ≠ 77 = 205 mod 128

m=129: 160 mod 129 = 31 ≠ 76 = 205 mod 129

m=130: 160 mod 130 = 30 ≠ 75 = 205 mod 130

m=131: 160 mod 131 = 29 ≠ 74 = 205 mod 131

m=132: 160 mod 132 = 28 ≠ 73 = 205 mod 132

m=133: 160 mod 133 = 27 ≠ 72 = 205 mod 133

m=134: 160 mod 134 = 26 ≠ 71 = 205 mod 134

m=135: 160 mod 135 = 25 ≠ 70 = 205 mod 135

m=136: 160 mod 136 = 24 ≠ 69 = 205 mod 136

m=137: 160 mod 137 = 23 ≠ 68 = 205 mod 137

m=138: 160 mod 138 = 22 ≠ 67 = 205 mod 138

m=139: 160 mod 139 = 21 ≠ 66 = 205 mod 139

m=140: 160 mod 140 = 20 ≠ 65 = 205 mod 140

m=141: 160 mod 141 = 19 ≠ 64 = 205 mod 141

m=142: 160 mod 142 = 18 ≠ 63 = 205 mod 142

m=143: 160 mod 143 = 17 ≠ 62 = 205 mod 143

m=144: 160 mod 144 = 16 ≠ 61 = 205 mod 144

m=145: 160 mod 145 = 15 ≠ 60 = 205 mod 145

m=146: 160 mod 146 = 14 ≠ 59 = 205 mod 146

m=147: 160 mod 147 = 13 ≠ 58 = 205 mod 147

m=148: 160 mod 148 = 12 ≠ 57 = 205 mod 148

m=149: 160 mod 149 = 11 ≠ 56 = 205 mod 149

m=150: 160 mod 150 = 10 ≠ 55 = 205 mod 150

m=151: 160 mod 151 = 9 ≠ 54 = 205 mod 151

m=152: 160 mod 152 = 8 ≠ 53 = 205 mod 152

m=153: 160 mod 153 = 7 ≠ 52 = 205 mod 153

m=154: 160 mod 154 = 6 ≠ 51 = 205 mod 154

m=155: 160 mod 155 = 5 ≠ 50 = 205 mod 155

m=156: 160 mod 156 = 4 ≠ 49 = 205 mod 156

m=157: 160 mod 157 = 3 ≠ 48 = 205 mod 157

m=158: 160 mod 158 = 2 ≠ 47 = 205 mod 158

m=159: 160 mod 159 = 1 ≠ 46 = 205 mod 159

m=160: 160 mod 160 = 0 ≠ 45 = 205 mod 160

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (205 - 160) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45