Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.

Somit gilt: 84 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 92, weil ja 23 ⋅ 4 = 92 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 92 = 1.

Somit gilt: 93 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 12 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 93 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1405 - 1400) mod 7 ≡ (1405 mod 7 - 1400 mod 7) mod 7.

1405 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1405 = 1400+5 = 7 ⋅ 200 +5.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(1405 - 1400) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 31) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 31 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 31) mod 10 ≡ (9 ⋅ 1) mod 10 ≡ 9 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 99 aus, ob zufällig 99 mod m = 129 mod m gilt:

m=2: 99 mod 2 = 1 = 1 = 129 mod 2

m=3: 99 mod 3 = 0 = 0 = 129 mod 3

m=4: 99 mod 4 = 3 ≠ 1 = 129 mod 4

m=5: 99 mod 5 = 4 = 4 = 129 mod 5

m=6: 99 mod 6 = 3 = 3 = 129 mod 6

m=7: 99 mod 7 = 1 ≠ 3 = 129 mod 7

m=8: 99 mod 8 = 3 ≠ 1 = 129 mod 8

m=9: 99 mod 9 = 0 ≠ 3 = 129 mod 9

m=10: 99 mod 10 = 9 = 9 = 129 mod 10

m=11: 99 mod 11 = 0 ≠ 8 = 129 mod 11

m=12: 99 mod 12 = 3 ≠ 9 = 129 mod 12

m=13: 99 mod 13 = 8 ≠ 12 = 129 mod 13

m=14: 99 mod 14 = 1 ≠ 3 = 129 mod 14

m=15: 99 mod 15 = 9 = 9 = 129 mod 15

m=16: 99 mod 16 = 3 ≠ 1 = 129 mod 16

m=17: 99 mod 17 = 14 ≠ 10 = 129 mod 17

m=18: 99 mod 18 = 9 ≠ 3 = 129 mod 18

m=19: 99 mod 19 = 4 ≠ 15 = 129 mod 19

m=20: 99 mod 20 = 19 ≠ 9 = 129 mod 20

m=21: 99 mod 21 = 15 ≠ 3 = 129 mod 21

m=22: 99 mod 22 = 11 ≠ 19 = 129 mod 22

m=23: 99 mod 23 = 7 ≠ 14 = 129 mod 23

m=24: 99 mod 24 = 3 ≠ 9 = 129 mod 24

m=25: 99 mod 25 = 24 ≠ 4 = 129 mod 25

m=26: 99 mod 26 = 21 ≠ 25 = 129 mod 26

m=27: 99 mod 27 = 18 ≠ 21 = 129 mod 27

m=28: 99 mod 28 = 15 ≠ 17 = 129 mod 28

m=29: 99 mod 29 = 12 ≠ 13 = 129 mod 29

m=30: 99 mod 30 = 9 = 9 = 129 mod 30

m=31: 99 mod 31 = 6 ≠ 5 = 129 mod 31

m=32: 99 mod 32 = 3 ≠ 1 = 129 mod 32

m=33: 99 mod 33 = 0 ≠ 30 = 129 mod 33

m=34: 99 mod 34 = 31 ≠ 27 = 129 mod 34

m=35: 99 mod 35 = 29 ≠ 24 = 129 mod 35

m=36: 99 mod 36 = 27 ≠ 21 = 129 mod 36

m=37: 99 mod 37 = 25 ≠ 18 = 129 mod 37

m=38: 99 mod 38 = 23 ≠ 15 = 129 mod 38

m=39: 99 mod 39 = 21 ≠ 12 = 129 mod 39

m=40: 99 mod 40 = 19 ≠ 9 = 129 mod 40

m=41: 99 mod 41 = 17 ≠ 6 = 129 mod 41

m=42: 99 mod 42 = 15 ≠ 3 = 129 mod 42

m=43: 99 mod 43 = 13 ≠ 0 = 129 mod 43

m=44: 99 mod 44 = 11 ≠ 41 = 129 mod 44

m=45: 99 mod 45 = 9 ≠ 39 = 129 mod 45

m=46: 99 mod 46 = 7 ≠ 37 = 129 mod 46

m=47: 99 mod 47 = 5 ≠ 35 = 129 mod 47

m=48: 99 mod 48 = 3 ≠ 33 = 129 mod 48

m=49: 99 mod 49 = 1 ≠ 31 = 129 mod 49

m=50: 99 mod 50 = 49 ≠ 29 = 129 mod 50

m=51: 99 mod 51 = 48 ≠ 27 = 129 mod 51

m=52: 99 mod 52 = 47 ≠ 25 = 129 mod 52

m=53: 99 mod 53 = 46 ≠ 23 = 129 mod 53

m=54: 99 mod 54 = 45 ≠ 21 = 129 mod 54

m=55: 99 mod 55 = 44 ≠ 19 = 129 mod 55

m=56: 99 mod 56 = 43 ≠ 17 = 129 mod 56

m=57: 99 mod 57 = 42 ≠ 15 = 129 mod 57

m=58: 99 mod 58 = 41 ≠ 13 = 129 mod 58

m=59: 99 mod 59 = 40 ≠ 11 = 129 mod 59

m=60: 99 mod 60 = 39 ≠ 9 = 129 mod 60

m=61: 99 mod 61 = 38 ≠ 7 = 129 mod 61

m=62: 99 mod 62 = 37 ≠ 5 = 129 mod 62

m=63: 99 mod 63 = 36 ≠ 3 = 129 mod 63

m=64: 99 mod 64 = 35 ≠ 1 = 129 mod 64

m=65: 99 mod 65 = 34 ≠ 64 = 129 mod 65

m=66: 99 mod 66 = 33 ≠ 63 = 129 mod 66

m=67: 99 mod 67 = 32 ≠ 62 = 129 mod 67

m=68: 99 mod 68 = 31 ≠ 61 = 129 mod 68

m=69: 99 mod 69 = 30 ≠ 60 = 129 mod 69

m=70: 99 mod 70 = 29 ≠ 59 = 129 mod 70

m=71: 99 mod 71 = 28 ≠ 58 = 129 mod 71

m=72: 99 mod 72 = 27 ≠ 57 = 129 mod 72

m=73: 99 mod 73 = 26 ≠ 56 = 129 mod 73

m=74: 99 mod 74 = 25 ≠ 55 = 129 mod 74

m=75: 99 mod 75 = 24 ≠ 54 = 129 mod 75

m=76: 99 mod 76 = 23 ≠ 53 = 129 mod 76

m=77: 99 mod 77 = 22 ≠ 52 = 129 mod 77

m=78: 99 mod 78 = 21 ≠ 51 = 129 mod 78

m=79: 99 mod 79 = 20 ≠ 50 = 129 mod 79

m=80: 99 mod 80 = 19 ≠ 49 = 129 mod 80

m=81: 99 mod 81 = 18 ≠ 48 = 129 mod 81

m=82: 99 mod 82 = 17 ≠ 47 = 129 mod 82

m=83: 99 mod 83 = 16 ≠ 46 = 129 mod 83

m=84: 99 mod 84 = 15 ≠ 45 = 129 mod 84

m=85: 99 mod 85 = 14 ≠ 44 = 129 mod 85

m=86: 99 mod 86 = 13 ≠ 43 = 129 mod 86

m=87: 99 mod 87 = 12 ≠ 42 = 129 mod 87

m=88: 99 mod 88 = 11 ≠ 41 = 129 mod 88

m=89: 99 mod 89 = 10 ≠ 40 = 129 mod 89

m=90: 99 mod 90 = 9 ≠ 39 = 129 mod 90

m=91: 99 mod 91 = 8 ≠ 38 = 129 mod 91

m=92: 99 mod 92 = 7 ≠ 37 = 129 mod 92

m=93: 99 mod 93 = 6 ≠ 36 = 129 mod 93

m=94: 99 mod 94 = 5 ≠ 35 = 129 mod 94

m=95: 99 mod 95 = 4 ≠ 34 = 129 mod 95

m=96: 99 mod 96 = 3 ≠ 33 = 129 mod 96

m=97: 99 mod 97 = 2 ≠ 32 = 129 mod 97

m=98: 99 mod 98 = 1 ≠ 31 = 129 mod 98

m=99: 99 mod 99 = 0 ≠ 30 = 129 mod 99

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (129 - 99) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30