Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 60 = 8.
Somit gilt: 68 mod 10 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 35 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 32 = 3.
Somit gilt: 35 mod 4 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.
Somit gilt: 43 ≡ 35 ≡ 3 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 - 2999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 - 2999) mod 3 ≡ (12000 mod 3 - 2999 mod 3) mod 3.
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
Somit gilt:
(12000 - 2999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 62) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.
20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 62) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 35 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 35 mod m gilt:
m=2: 26 mod 2 = 0 ≠ 1 = 35 mod 2
m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 35 mod 3
m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 3 = 35 mod 4
m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 0 = 35 mod 5
m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 5 = 35 mod 6
m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 0 = 35 mod 7
m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 3 = 35 mod 8
m=9: 26 mod 9 = 8 = 8 = 35 mod 9
m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 5 = 35 mod 10
m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 2 = 35 mod 11
m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 11 = 35 mod 12
m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 9 = 35 mod 13
m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 7 = 35 mod 14
m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 5 = 35 mod 15
m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 3 = 35 mod 16
m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 1 = 35 mod 17
m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 17 = 35 mod 18
m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 16 = 35 mod 19
m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 15 = 35 mod 20
m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 14 = 35 mod 21
m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 13 = 35 mod 22
m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 12 = 35 mod 23
m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 11 = 35 mod 24
m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 10 = 35 mod 25
m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 9 = 35 mod 26
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 26) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
