Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 92, weil ja 23 ⋅ 4 = 92 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 95 - 92 = 3.
Somit gilt: 95 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 53 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 53 - 49 = 4.
Somit gilt: 53 mod 7 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 42 und erhalten so 46.
Somit gilt: 46 ≡ 53 ≡ 4 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (902 - 93) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(902 - 93) mod 3 ≡ (902 mod 3 - 93 mod 3) mod 3.
902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93
= 90
Somit gilt:
(902 - 93) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 85) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 85) mod 11 ≡ (57 mod 11 ⋅ 85 mod 11) mod 11.
57 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 5 ⋅ 11 + 2 ist.
85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 85) mod 11 ≡ (2 ⋅ 8) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6