Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 18 = 1.

Somit gilt: 19 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 64 = 0.

Somit gilt: 64 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4

Somit gilt: 20 ≡ 64 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25002 + 150) mod 5 ≡ (25002 mod 5 + 150 mod 5) mod 5.

25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002 = 25000+2 = 5 ⋅ 5000 +2.

150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 5 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(25002 + 150) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 77) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 77) mod 9 ≡ (7 ⋅ 5) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6