Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 91 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.
Somit gilt: 91 mod 9 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 22 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 21 = 1.
Somit gilt: 22 mod 7 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 91 und erhalten so 92.
Somit gilt: 92 ≡ 22 ≡ 1 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44992 + 4498) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44992 + 4498) mod 9 ≡ (44992 mod 9 + 4498 mod 9) mod 9.
44992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44992
= 45000
4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498
= 4500
Somit gilt:
(44992 + 4498) mod 9 ≡ (1 + 7) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 44) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 44) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 44) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4