Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 21 = 0.

Somit gilt: 21 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7

Somit gilt: 91 ≡ 21 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(200 + 54) mod 5 ≡ (200 mod 5 + 54 mod 5) mod 5.

200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 5 ⋅ 40 +0.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50+4 = 5 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(200 + 54) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 42) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 42 mod 7) mod 7.

83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.

42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 42) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 166 aus, ob zufällig 166 mod m = 211 mod m gilt:

m=2: 166 mod 2 = 0 ≠ 1 = 211 mod 2

m=3: 166 mod 3 = 1 = 1 = 211 mod 3

m=4: 166 mod 4 = 2 ≠ 3 = 211 mod 4

m=5: 166 mod 5 = 1 = 1 = 211 mod 5

m=6: 166 mod 6 = 4 ≠ 1 = 211 mod 6

m=7: 166 mod 7 = 5 ≠ 1 = 211 mod 7

m=8: 166 mod 8 = 6 ≠ 3 = 211 mod 8

m=9: 166 mod 9 = 4 = 4 = 211 mod 9

m=10: 166 mod 10 = 6 ≠ 1 = 211 mod 10

m=11: 166 mod 11 = 1 ≠ 2 = 211 mod 11

m=12: 166 mod 12 = 10 ≠ 7 = 211 mod 12

m=13: 166 mod 13 = 10 ≠ 3 = 211 mod 13

m=14: 166 mod 14 = 12 ≠ 1 = 211 mod 14

m=15: 166 mod 15 = 1 = 1 = 211 mod 15

m=16: 166 mod 16 = 6 ≠ 3 = 211 mod 16

m=17: 166 mod 17 = 13 ≠ 7 = 211 mod 17

m=18: 166 mod 18 = 4 ≠ 13 = 211 mod 18

m=19: 166 mod 19 = 14 ≠ 2 = 211 mod 19

m=20: 166 mod 20 = 6 ≠ 11 = 211 mod 20

m=21: 166 mod 21 = 19 ≠ 1 = 211 mod 21

m=22: 166 mod 22 = 12 ≠ 13 = 211 mod 22

m=23: 166 mod 23 = 5 ≠ 4 = 211 mod 23

m=24: 166 mod 24 = 22 ≠ 19 = 211 mod 24

m=25: 166 mod 25 = 16 ≠ 11 = 211 mod 25

m=26: 166 mod 26 = 10 ≠ 3 = 211 mod 26

m=27: 166 mod 27 = 4 ≠ 22 = 211 mod 27

m=28: 166 mod 28 = 26 ≠ 15 = 211 mod 28

m=29: 166 mod 29 = 21 ≠ 8 = 211 mod 29

m=30: 166 mod 30 = 16 ≠ 1 = 211 mod 30

m=31: 166 mod 31 = 11 ≠ 25 = 211 mod 31

m=32: 166 mod 32 = 6 ≠ 19 = 211 mod 32

m=33: 166 mod 33 = 1 ≠ 13 = 211 mod 33

m=34: 166 mod 34 = 30 ≠ 7 = 211 mod 34

m=35: 166 mod 35 = 26 ≠ 1 = 211 mod 35

m=36: 166 mod 36 = 22 ≠ 31 = 211 mod 36

m=37: 166 mod 37 = 18 ≠ 26 = 211 mod 37

m=38: 166 mod 38 = 14 ≠ 21 = 211 mod 38

m=39: 166 mod 39 = 10 ≠ 16 = 211 mod 39

m=40: 166 mod 40 = 6 ≠ 11 = 211 mod 40

m=41: 166 mod 41 = 2 ≠ 6 = 211 mod 41

m=42: 166 mod 42 = 40 ≠ 1 = 211 mod 42

m=43: 166 mod 43 = 37 ≠ 39 = 211 mod 43

m=44: 166 mod 44 = 34 ≠ 35 = 211 mod 44

m=45: 166 mod 45 = 31 = 31 = 211 mod 45

m=46: 166 mod 46 = 28 ≠ 27 = 211 mod 46

m=47: 166 mod 47 = 25 ≠ 23 = 211 mod 47

m=48: 166 mod 48 = 22 ≠ 19 = 211 mod 48

m=49: 166 mod 49 = 19 ≠ 15 = 211 mod 49

m=50: 166 mod 50 = 16 ≠ 11 = 211 mod 50

m=51: 166 mod 51 = 13 ≠ 7 = 211 mod 51

m=52: 166 mod 52 = 10 ≠ 3 = 211 mod 52

m=53: 166 mod 53 = 7 ≠ 52 = 211 mod 53

m=54: 166 mod 54 = 4 ≠ 49 = 211 mod 54

m=55: 166 mod 55 = 1 ≠ 46 = 211 mod 55

m=56: 166 mod 56 = 54 ≠ 43 = 211 mod 56

m=57: 166 mod 57 = 52 ≠ 40 = 211 mod 57

m=58: 166 mod 58 = 50 ≠ 37 = 211 mod 58

m=59: 166 mod 59 = 48 ≠ 34 = 211 mod 59

m=60: 166 mod 60 = 46 ≠ 31 = 211 mod 60

m=61: 166 mod 61 = 44 ≠ 28 = 211 mod 61

m=62: 166 mod 62 = 42 ≠ 25 = 211 mod 62

m=63: 166 mod 63 = 40 ≠ 22 = 211 mod 63

m=64: 166 mod 64 = 38 ≠ 19 = 211 mod 64

m=65: 166 mod 65 = 36 ≠ 16 = 211 mod 65

m=66: 166 mod 66 = 34 ≠ 13 = 211 mod 66

m=67: 166 mod 67 = 32 ≠ 10 = 211 mod 67

m=68: 166 mod 68 = 30 ≠ 7 = 211 mod 68

m=69: 166 mod 69 = 28 ≠ 4 = 211 mod 69

m=70: 166 mod 70 = 26 ≠ 1 = 211 mod 70

m=71: 166 mod 71 = 24 ≠ 69 = 211 mod 71

m=72: 166 mod 72 = 22 ≠ 67 = 211 mod 72

m=73: 166 mod 73 = 20 ≠ 65 = 211 mod 73

m=74: 166 mod 74 = 18 ≠ 63 = 211 mod 74

m=75: 166 mod 75 = 16 ≠ 61 = 211 mod 75

m=76: 166 mod 76 = 14 ≠ 59 = 211 mod 76

m=77: 166 mod 77 = 12 ≠ 57 = 211 mod 77

m=78: 166 mod 78 = 10 ≠ 55 = 211 mod 78

m=79: 166 mod 79 = 8 ≠ 53 = 211 mod 79

m=80: 166 mod 80 = 6 ≠ 51 = 211 mod 80

m=81: 166 mod 81 = 4 ≠ 49 = 211 mod 81

m=82: 166 mod 82 = 2 ≠ 47 = 211 mod 82

m=83: 166 mod 83 = 0 ≠ 45 = 211 mod 83

m=84: 166 mod 84 = 82 ≠ 43 = 211 mod 84

m=85: 166 mod 85 = 81 ≠ 41 = 211 mod 85

m=86: 166 mod 86 = 80 ≠ 39 = 211 mod 86

m=87: 166 mod 87 = 79 ≠ 37 = 211 mod 87

m=88: 166 mod 88 = 78 ≠ 35 = 211 mod 88

m=89: 166 mod 89 = 77 ≠ 33 = 211 mod 89

m=90: 166 mod 90 = 76 ≠ 31 = 211 mod 90

m=91: 166 mod 91 = 75 ≠ 29 = 211 mod 91

m=92: 166 mod 92 = 74 ≠ 27 = 211 mod 92

m=93: 166 mod 93 = 73 ≠ 25 = 211 mod 93

m=94: 166 mod 94 = 72 ≠ 23 = 211 mod 94

m=95: 166 mod 95 = 71 ≠ 21 = 211 mod 95

m=96: 166 mod 96 = 70 ≠ 19 = 211 mod 96

m=97: 166 mod 97 = 69 ≠ 17 = 211 mod 97

m=98: 166 mod 98 = 68 ≠ 15 = 211 mod 98

m=99: 166 mod 99 = 67 ≠ 13 = 211 mod 99

m=100: 166 mod 100 = 66 ≠ 11 = 211 mod 100

m=101: 166 mod 101 = 65 ≠ 9 = 211 mod 101

m=102: 166 mod 102 = 64 ≠ 7 = 211 mod 102

m=103: 166 mod 103 = 63 ≠ 5 = 211 mod 103

m=104: 166 mod 104 = 62 ≠ 3 = 211 mod 104

m=105: 166 mod 105 = 61 ≠ 1 = 211 mod 105

m=106: 166 mod 106 = 60 ≠ 105 = 211 mod 106

m=107: 166 mod 107 = 59 ≠ 104 = 211 mod 107

m=108: 166 mod 108 = 58 ≠ 103 = 211 mod 108

m=109: 166 mod 109 = 57 ≠ 102 = 211 mod 109

m=110: 166 mod 110 = 56 ≠ 101 = 211 mod 110

m=111: 166 mod 111 = 55 ≠ 100 = 211 mod 111

m=112: 166 mod 112 = 54 ≠ 99 = 211 mod 112

m=113: 166 mod 113 = 53 ≠ 98 = 211 mod 113

m=114: 166 mod 114 = 52 ≠ 97 = 211 mod 114

m=115: 166 mod 115 = 51 ≠ 96 = 211 mod 115

m=116: 166 mod 116 = 50 ≠ 95 = 211 mod 116

m=117: 166 mod 117 = 49 ≠ 94 = 211 mod 117

m=118: 166 mod 118 = 48 ≠ 93 = 211 mod 118

m=119: 166 mod 119 = 47 ≠ 92 = 211 mod 119

m=120: 166 mod 120 = 46 ≠ 91 = 211 mod 120

m=121: 166 mod 121 = 45 ≠ 90 = 211 mod 121

m=122: 166 mod 122 = 44 ≠ 89 = 211 mod 122

m=123: 166 mod 123 = 43 ≠ 88 = 211 mod 123

m=124: 166 mod 124 = 42 ≠ 87 = 211 mod 124

m=125: 166 mod 125 = 41 ≠ 86 = 211 mod 125

m=126: 166 mod 126 = 40 ≠ 85 = 211 mod 126

m=127: 166 mod 127 = 39 ≠ 84 = 211 mod 127

m=128: 166 mod 128 = 38 ≠ 83 = 211 mod 128

m=129: 166 mod 129 = 37 ≠ 82 = 211 mod 129

m=130: 166 mod 130 = 36 ≠ 81 = 211 mod 130

m=131: 166 mod 131 = 35 ≠ 80 = 211 mod 131

m=132: 166 mod 132 = 34 ≠ 79 = 211 mod 132

m=133: 166 mod 133 = 33 ≠ 78 = 211 mod 133

m=134: 166 mod 134 = 32 ≠ 77 = 211 mod 134

m=135: 166 mod 135 = 31 ≠ 76 = 211 mod 135

m=136: 166 mod 136 = 30 ≠ 75 = 211 mod 136

m=137: 166 mod 137 = 29 ≠ 74 = 211 mod 137

m=138: 166 mod 138 = 28 ≠ 73 = 211 mod 138

m=139: 166 mod 139 = 27 ≠ 72 = 211 mod 139

m=140: 166 mod 140 = 26 ≠ 71 = 211 mod 140

m=141: 166 mod 141 = 25 ≠ 70 = 211 mod 141

m=142: 166 mod 142 = 24 ≠ 69 = 211 mod 142

m=143: 166 mod 143 = 23 ≠ 68 = 211 mod 143

m=144: 166 mod 144 = 22 ≠ 67 = 211 mod 144

m=145: 166 mod 145 = 21 ≠ 66 = 211 mod 145

m=146: 166 mod 146 = 20 ≠ 65 = 211 mod 146

m=147: 166 mod 147 = 19 ≠ 64 = 211 mod 147

m=148: 166 mod 148 = 18 ≠ 63 = 211 mod 148

m=149: 166 mod 149 = 17 ≠ 62 = 211 mod 149

m=150: 166 mod 150 = 16 ≠ 61 = 211 mod 150

m=151: 166 mod 151 = 15 ≠ 60 = 211 mod 151

m=152: 166 mod 152 = 14 ≠ 59 = 211 mod 152

m=153: 166 mod 153 = 13 ≠ 58 = 211 mod 153

m=154: 166 mod 154 = 12 ≠ 57 = 211 mod 154

m=155: 166 mod 155 = 11 ≠ 56 = 211 mod 155

m=156: 166 mod 156 = 10 ≠ 55 = 211 mod 156

m=157: 166 mod 157 = 9 ≠ 54 = 211 mod 157

m=158: 166 mod 158 = 8 ≠ 53 = 211 mod 158

m=159: 166 mod 159 = 7 ≠ 52 = 211 mod 159

m=160: 166 mod 160 = 6 ≠ 51 = 211 mod 160

m=161: 166 mod 161 = 5 ≠ 50 = 211 mod 161

m=162: 166 mod 162 = 4 ≠ 49 = 211 mod 162

m=163: 166 mod 163 = 3 ≠ 48 = 211 mod 163

m=164: 166 mod 164 = 2 ≠ 47 = 211 mod 164

m=165: 166 mod 165 = 1 ≠ 46 = 211 mod 165

m=166: 166 mod 166 = 0 ≠ 45 = 211 mod 166

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (211 - 166) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45