Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 55 = 6.

Somit gilt: 61 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.

Somit gilt: 56 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 44 und erhalten so 45.

Somit gilt: 45 ≡ 56 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36001 + 4503) mod 9 ≡ (36001 mod 9 + 4503 mod 9) mod 9.

36001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36001 = 36000+1 = 9 ⋅ 4000 +1.

4503 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4503 = 4500+3 = 9 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(36001 + 4503) mod 9 ≡ (1 + 3) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 28) mod 9 ≡ (42 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 28) mod 9 ≡ (6 ⋅ 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 125 aus, ob zufällig 125 mod m = 175 mod m gilt:

m=2: 125 mod 2 = 1 = 1 = 175 mod 2

m=3: 125 mod 3 = 2 ≠ 1 = 175 mod 3

m=4: 125 mod 4 = 1 ≠ 3 = 175 mod 4

m=5: 125 mod 5 = 0 = 0 = 175 mod 5

m=6: 125 mod 6 = 5 ≠ 1 = 175 mod 6

m=7: 125 mod 7 = 6 ≠ 0 = 175 mod 7

m=8: 125 mod 8 = 5 ≠ 7 = 175 mod 8

m=9: 125 mod 9 = 8 ≠ 4 = 175 mod 9

m=10: 125 mod 10 = 5 = 5 = 175 mod 10

m=11: 125 mod 11 = 4 ≠ 10 = 175 mod 11

m=12: 125 mod 12 = 5 ≠ 7 = 175 mod 12

m=13: 125 mod 13 = 8 ≠ 6 = 175 mod 13

m=14: 125 mod 14 = 13 ≠ 7 = 175 mod 14

m=15: 125 mod 15 = 5 ≠ 10 = 175 mod 15

m=16: 125 mod 16 = 13 ≠ 15 = 175 mod 16

m=17: 125 mod 17 = 6 ≠ 5 = 175 mod 17

m=18: 125 mod 18 = 17 ≠ 13 = 175 mod 18

m=19: 125 mod 19 = 11 ≠ 4 = 175 mod 19

m=20: 125 mod 20 = 5 ≠ 15 = 175 mod 20

m=21: 125 mod 21 = 20 ≠ 7 = 175 mod 21

m=22: 125 mod 22 = 15 ≠ 21 = 175 mod 22

m=23: 125 mod 23 = 10 ≠ 14 = 175 mod 23

m=24: 125 mod 24 = 5 ≠ 7 = 175 mod 24

m=25: 125 mod 25 = 0 = 0 = 175 mod 25

m=26: 125 mod 26 = 21 ≠ 19 = 175 mod 26

m=27: 125 mod 27 = 17 ≠ 13 = 175 mod 27

m=28: 125 mod 28 = 13 ≠ 7 = 175 mod 28

m=29: 125 mod 29 = 9 ≠ 1 = 175 mod 29

m=30: 125 mod 30 = 5 ≠ 25 = 175 mod 30

m=31: 125 mod 31 = 1 ≠ 20 = 175 mod 31

m=32: 125 mod 32 = 29 ≠ 15 = 175 mod 32

m=33: 125 mod 33 = 26 ≠ 10 = 175 mod 33

m=34: 125 mod 34 = 23 ≠ 5 = 175 mod 34

m=35: 125 mod 35 = 20 ≠ 0 = 175 mod 35

m=36: 125 mod 36 = 17 ≠ 31 = 175 mod 36

m=37: 125 mod 37 = 14 ≠ 27 = 175 mod 37

m=38: 125 mod 38 = 11 ≠ 23 = 175 mod 38

m=39: 125 mod 39 = 8 ≠ 19 = 175 mod 39

m=40: 125 mod 40 = 5 ≠ 15 = 175 mod 40

m=41: 125 mod 41 = 2 ≠ 11 = 175 mod 41

m=42: 125 mod 42 = 41 ≠ 7 = 175 mod 42

m=43: 125 mod 43 = 39 ≠ 3 = 175 mod 43

m=44: 125 mod 44 = 37 ≠ 43 = 175 mod 44

m=45: 125 mod 45 = 35 ≠ 40 = 175 mod 45

m=46: 125 mod 46 = 33 ≠ 37 = 175 mod 46

m=47: 125 mod 47 = 31 ≠ 34 = 175 mod 47

m=48: 125 mod 48 = 29 ≠ 31 = 175 mod 48

m=49: 125 mod 49 = 27 ≠ 28 = 175 mod 49

m=50: 125 mod 50 = 25 = 25 = 175 mod 50

m=51: 125 mod 51 = 23 ≠ 22 = 175 mod 51

m=52: 125 mod 52 = 21 ≠ 19 = 175 mod 52

m=53: 125 mod 53 = 19 ≠ 16 = 175 mod 53

m=54: 125 mod 54 = 17 ≠ 13 = 175 mod 54

m=55: 125 mod 55 = 15 ≠ 10 = 175 mod 55

m=56: 125 mod 56 = 13 ≠ 7 = 175 mod 56

m=57: 125 mod 57 = 11 ≠ 4 = 175 mod 57

m=58: 125 mod 58 = 9 ≠ 1 = 175 mod 58

m=59: 125 mod 59 = 7 ≠ 57 = 175 mod 59

m=60: 125 mod 60 = 5 ≠ 55 = 175 mod 60

m=61: 125 mod 61 = 3 ≠ 53 = 175 mod 61

m=62: 125 mod 62 = 1 ≠ 51 = 175 mod 62

m=63: 125 mod 63 = 62 ≠ 49 = 175 mod 63

m=64: 125 mod 64 = 61 ≠ 47 = 175 mod 64

m=65: 125 mod 65 = 60 ≠ 45 = 175 mod 65

m=66: 125 mod 66 = 59 ≠ 43 = 175 mod 66

m=67: 125 mod 67 = 58 ≠ 41 = 175 mod 67

m=68: 125 mod 68 = 57 ≠ 39 = 175 mod 68

m=69: 125 mod 69 = 56 ≠ 37 = 175 mod 69

m=70: 125 mod 70 = 55 ≠ 35 = 175 mod 70

m=71: 125 mod 71 = 54 ≠ 33 = 175 mod 71

m=72: 125 mod 72 = 53 ≠ 31 = 175 mod 72

m=73: 125 mod 73 = 52 ≠ 29 = 175 mod 73

m=74: 125 mod 74 = 51 ≠ 27 = 175 mod 74

m=75: 125 mod 75 = 50 ≠ 25 = 175 mod 75

m=76: 125 mod 76 = 49 ≠ 23 = 175 mod 76

m=77: 125 mod 77 = 48 ≠ 21 = 175 mod 77

m=78: 125 mod 78 = 47 ≠ 19 = 175 mod 78

m=79: 125 mod 79 = 46 ≠ 17 = 175 mod 79

m=80: 125 mod 80 = 45 ≠ 15 = 175 mod 80

m=81: 125 mod 81 = 44 ≠ 13 = 175 mod 81

m=82: 125 mod 82 = 43 ≠ 11 = 175 mod 82

m=83: 125 mod 83 = 42 ≠ 9 = 175 mod 83

m=84: 125 mod 84 = 41 ≠ 7 = 175 mod 84

m=85: 125 mod 85 = 40 ≠ 5 = 175 mod 85

m=86: 125 mod 86 = 39 ≠ 3 = 175 mod 86

m=87: 125 mod 87 = 38 ≠ 1 = 175 mod 87

m=88: 125 mod 88 = 37 ≠ 87 = 175 mod 88

m=89: 125 mod 89 = 36 ≠ 86 = 175 mod 89

m=90: 125 mod 90 = 35 ≠ 85 = 175 mod 90

m=91: 125 mod 91 = 34 ≠ 84 = 175 mod 91

m=92: 125 mod 92 = 33 ≠ 83 = 175 mod 92

m=93: 125 mod 93 = 32 ≠ 82 = 175 mod 93

m=94: 125 mod 94 = 31 ≠ 81 = 175 mod 94

m=95: 125 mod 95 = 30 ≠ 80 = 175 mod 95

m=96: 125 mod 96 = 29 ≠ 79 = 175 mod 96

m=97: 125 mod 97 = 28 ≠ 78 = 175 mod 97

m=98: 125 mod 98 = 27 ≠ 77 = 175 mod 98

m=99: 125 mod 99 = 26 ≠ 76 = 175 mod 99

m=100: 125 mod 100 = 25 ≠ 75 = 175 mod 100

m=101: 125 mod 101 = 24 ≠ 74 = 175 mod 101

m=102: 125 mod 102 = 23 ≠ 73 = 175 mod 102

m=103: 125 mod 103 = 22 ≠ 72 = 175 mod 103

m=104: 125 mod 104 = 21 ≠ 71 = 175 mod 104

m=105: 125 mod 105 = 20 ≠ 70 = 175 mod 105

m=106: 125 mod 106 = 19 ≠ 69 = 175 mod 106

m=107: 125 mod 107 = 18 ≠ 68 = 175 mod 107

m=108: 125 mod 108 = 17 ≠ 67 = 175 mod 108

m=109: 125 mod 109 = 16 ≠ 66 = 175 mod 109

m=110: 125 mod 110 = 15 ≠ 65 = 175 mod 110

m=111: 125 mod 111 = 14 ≠ 64 = 175 mod 111

m=112: 125 mod 112 = 13 ≠ 63 = 175 mod 112

m=113: 125 mod 113 = 12 ≠ 62 = 175 mod 113

m=114: 125 mod 114 = 11 ≠ 61 = 175 mod 114

m=115: 125 mod 115 = 10 ≠ 60 = 175 mod 115

m=116: 125 mod 116 = 9 ≠ 59 = 175 mod 116

m=117: 125 mod 117 = 8 ≠ 58 = 175 mod 117

m=118: 125 mod 118 = 7 ≠ 57 = 175 mod 118

m=119: 125 mod 119 = 6 ≠ 56 = 175 mod 119

m=120: 125 mod 120 = 5 ≠ 55 = 175 mod 120

m=121: 125 mod 121 = 4 ≠ 54 = 175 mod 121

m=122: 125 mod 122 = 3 ≠ 53 = 175 mod 122

m=123: 125 mod 123 = 2 ≠ 52 = 175 mod 123

m=124: 125 mod 124 = 1 ≠ 51 = 175 mod 124

m=125: 125 mod 125 = 0 ≠ 50 = 175 mod 125

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (175 - 125) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50