Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 88 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 88 - 84 = 4.
Somit gilt: 88 mod 6 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 57 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 56 = 1.
Somit gilt: 57 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 8 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 32 und erhalten so 33.
Somit gilt: 33 ≡ 57 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (302 - 2405) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(302 - 2405) mod 6 ≡ (302 mod 6 - 2405 mod 6) mod 6.
302 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
2405 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405
= 2400
Somit gilt:
(302 - 2405) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 79) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 79) mod 3 ≡ (44 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 79) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
