Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 36 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 30 = 6.
Somit gilt: 36 mod 10 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 50 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 50 - 50 = 0.
Somit gilt: 50 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5
Somit gilt: 90 ≡ 50 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7994 + 16003) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7994 + 16003) mod 8 ≡ (7994 mod 8 + 16003 mod 8) mod 8.
7994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7994
= 7000
16003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
Somit gilt:
(7994 + 16003) mod 8 ≡ (2 + 3) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 62) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 62) mod 11 ≡ (66 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 62) mod 11 ≡ (0 ⋅ 7) mod 11 ≡ 0 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
27 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2
m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 1 = 37 mod 3
m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 1 = 37 mod 4
m=5: 27 mod 5 = 2 = 2 = 37 mod 5
m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 1 = 37 mod 6
m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 1 = 37 mod 9
m=10: 27 mod 10 = 7 = 7 = 37 mod 10
m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 1 = 37 mod 12
m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 12 = 37 mod 25
m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 11 = 37 mod 26
m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 10 = 37 mod 27
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 27) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
