Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 69, weil ja 23 ⋅ 3 = 69 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 69 - 69 = 0.
Somit gilt: 69 mod 3 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 94 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 90 = 4.
Somit gilt: 94 mod 5 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 20 und erhalten so 24.
Somit gilt: 24 ≡ 94 ≡ 4 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26996 - 35992) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26996 - 35992) mod 9 ≡ (26996 mod 9 - 35992 mod 9) mod 9.
26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996
= 27000
35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992
= 36000
Somit gilt:
(26996 - 35992) mod 9 ≡ (5 - 1) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 21) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 21) mod 11 ≡ (20 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.
20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 21) mod 11 ≡ (9 ⋅ 10) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6