Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 70 = 7.

Somit gilt: 77 mod 10 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 7 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 35 = 5 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 35 und erhalten so 40.

Somit gilt: 40 ≡ 68 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4997 + 4999) mod 5 ≡ (4997 mod 5 + 4999 mod 5) mod 5.

4997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4997 = 4000+997 = 5 ⋅ 800 +997.

4999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4999 = 4000+999 = 5 ⋅ 800 +999.

Somit gilt:

(4997 + 4999) mod 5 ≡ (2 + 4) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 29) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 29 mod 5) mod 5.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 29) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 138 aus, ob zufällig 138 mod m = 183 mod m gilt:

m=2: 138 mod 2 = 0 ≠ 1 = 183 mod 2

m=3: 138 mod 3 = 0 = 0 = 183 mod 3

m=4: 138 mod 4 = 2 ≠ 3 = 183 mod 4

m=5: 138 mod 5 = 3 = 3 = 183 mod 5

m=6: 138 mod 6 = 0 ≠ 3 = 183 mod 6

m=7: 138 mod 7 = 5 ≠ 1 = 183 mod 7

m=8: 138 mod 8 = 2 ≠ 7 = 183 mod 8

m=9: 138 mod 9 = 3 = 3 = 183 mod 9

m=10: 138 mod 10 = 8 ≠ 3 = 183 mod 10

m=11: 138 mod 11 = 6 ≠ 7 = 183 mod 11

m=12: 138 mod 12 = 6 ≠ 3 = 183 mod 12

m=13: 138 mod 13 = 8 ≠ 1 = 183 mod 13

m=14: 138 mod 14 = 12 ≠ 1 = 183 mod 14

m=15: 138 mod 15 = 3 = 3 = 183 mod 15

m=16: 138 mod 16 = 10 ≠ 7 = 183 mod 16

m=17: 138 mod 17 = 2 ≠ 13 = 183 mod 17

m=18: 138 mod 18 = 12 ≠ 3 = 183 mod 18

m=19: 138 mod 19 = 5 ≠ 12 = 183 mod 19

m=20: 138 mod 20 = 18 ≠ 3 = 183 mod 20

m=21: 138 mod 21 = 12 ≠ 15 = 183 mod 21

m=22: 138 mod 22 = 6 ≠ 7 = 183 mod 22

m=23: 138 mod 23 = 0 ≠ 22 = 183 mod 23

m=24: 138 mod 24 = 18 ≠ 15 = 183 mod 24

m=25: 138 mod 25 = 13 ≠ 8 = 183 mod 25

m=26: 138 mod 26 = 8 ≠ 1 = 183 mod 26

m=27: 138 mod 27 = 3 ≠ 21 = 183 mod 27

m=28: 138 mod 28 = 26 ≠ 15 = 183 mod 28

m=29: 138 mod 29 = 22 ≠ 9 = 183 mod 29

m=30: 138 mod 30 = 18 ≠ 3 = 183 mod 30

m=31: 138 mod 31 = 14 ≠ 28 = 183 mod 31

m=32: 138 mod 32 = 10 ≠ 23 = 183 mod 32

m=33: 138 mod 33 = 6 ≠ 18 = 183 mod 33

m=34: 138 mod 34 = 2 ≠ 13 = 183 mod 34

m=35: 138 mod 35 = 33 ≠ 8 = 183 mod 35

m=36: 138 mod 36 = 30 ≠ 3 = 183 mod 36

m=37: 138 mod 37 = 27 ≠ 35 = 183 mod 37

m=38: 138 mod 38 = 24 ≠ 31 = 183 mod 38

m=39: 138 mod 39 = 21 ≠ 27 = 183 mod 39

m=40: 138 mod 40 = 18 ≠ 23 = 183 mod 40

m=41: 138 mod 41 = 15 ≠ 19 = 183 mod 41

m=42: 138 mod 42 = 12 ≠ 15 = 183 mod 42

m=43: 138 mod 43 = 9 ≠ 11 = 183 mod 43

m=44: 138 mod 44 = 6 ≠ 7 = 183 mod 44

m=45: 138 mod 45 = 3 = 3 = 183 mod 45

m=46: 138 mod 46 = 0 ≠ 45 = 183 mod 46

m=47: 138 mod 47 = 44 ≠ 42 = 183 mod 47

m=48: 138 mod 48 = 42 ≠ 39 = 183 mod 48

m=49: 138 mod 49 = 40 ≠ 36 = 183 mod 49

m=50: 138 mod 50 = 38 ≠ 33 = 183 mod 50

m=51: 138 mod 51 = 36 ≠ 30 = 183 mod 51

m=52: 138 mod 52 = 34 ≠ 27 = 183 mod 52

m=53: 138 mod 53 = 32 ≠ 24 = 183 mod 53

m=54: 138 mod 54 = 30 ≠ 21 = 183 mod 54

m=55: 138 mod 55 = 28 ≠ 18 = 183 mod 55

m=56: 138 mod 56 = 26 ≠ 15 = 183 mod 56

m=57: 138 mod 57 = 24 ≠ 12 = 183 mod 57

m=58: 138 mod 58 = 22 ≠ 9 = 183 mod 58

m=59: 138 mod 59 = 20 ≠ 6 = 183 mod 59

m=60: 138 mod 60 = 18 ≠ 3 = 183 mod 60

m=61: 138 mod 61 = 16 ≠ 0 = 183 mod 61

m=62: 138 mod 62 = 14 ≠ 59 = 183 mod 62

m=63: 138 mod 63 = 12 ≠ 57 = 183 mod 63

m=64: 138 mod 64 = 10 ≠ 55 = 183 mod 64

m=65: 138 mod 65 = 8 ≠ 53 = 183 mod 65

m=66: 138 mod 66 = 6 ≠ 51 = 183 mod 66

m=67: 138 mod 67 = 4 ≠ 49 = 183 mod 67

m=68: 138 mod 68 = 2 ≠ 47 = 183 mod 68

m=69: 138 mod 69 = 0 ≠ 45 = 183 mod 69

m=70: 138 mod 70 = 68 ≠ 43 = 183 mod 70

m=71: 138 mod 71 = 67 ≠ 41 = 183 mod 71

m=72: 138 mod 72 = 66 ≠ 39 = 183 mod 72

m=73: 138 mod 73 = 65 ≠ 37 = 183 mod 73

m=74: 138 mod 74 = 64 ≠ 35 = 183 mod 74

m=75: 138 mod 75 = 63 ≠ 33 = 183 mod 75

m=76: 138 mod 76 = 62 ≠ 31 = 183 mod 76

m=77: 138 mod 77 = 61 ≠ 29 = 183 mod 77

m=78: 138 mod 78 = 60 ≠ 27 = 183 mod 78

m=79: 138 mod 79 = 59 ≠ 25 = 183 mod 79

m=80: 138 mod 80 = 58 ≠ 23 = 183 mod 80

m=81: 138 mod 81 = 57 ≠ 21 = 183 mod 81

m=82: 138 mod 82 = 56 ≠ 19 = 183 mod 82

m=83: 138 mod 83 = 55 ≠ 17 = 183 mod 83

m=84: 138 mod 84 = 54 ≠ 15 = 183 mod 84

m=85: 138 mod 85 = 53 ≠ 13 = 183 mod 85

m=86: 138 mod 86 = 52 ≠ 11 = 183 mod 86

m=87: 138 mod 87 = 51 ≠ 9 = 183 mod 87

m=88: 138 mod 88 = 50 ≠ 7 = 183 mod 88

m=89: 138 mod 89 = 49 ≠ 5 = 183 mod 89

m=90: 138 mod 90 = 48 ≠ 3 = 183 mod 90

m=91: 138 mod 91 = 47 ≠ 1 = 183 mod 91

m=92: 138 mod 92 = 46 ≠ 91 = 183 mod 92

m=93: 138 mod 93 = 45 ≠ 90 = 183 mod 93

m=94: 138 mod 94 = 44 ≠ 89 = 183 mod 94

m=95: 138 mod 95 = 43 ≠ 88 = 183 mod 95

m=96: 138 mod 96 = 42 ≠ 87 = 183 mod 96

m=97: 138 mod 97 = 41 ≠ 86 = 183 mod 97

m=98: 138 mod 98 = 40 ≠ 85 = 183 mod 98

m=99: 138 mod 99 = 39 ≠ 84 = 183 mod 99

m=100: 138 mod 100 = 38 ≠ 83 = 183 mod 100

m=101: 138 mod 101 = 37 ≠ 82 = 183 mod 101

m=102: 138 mod 102 = 36 ≠ 81 = 183 mod 102

m=103: 138 mod 103 = 35 ≠ 80 = 183 mod 103

m=104: 138 mod 104 = 34 ≠ 79 = 183 mod 104

m=105: 138 mod 105 = 33 ≠ 78 = 183 mod 105

m=106: 138 mod 106 = 32 ≠ 77 = 183 mod 106

m=107: 138 mod 107 = 31 ≠ 76 = 183 mod 107

m=108: 138 mod 108 = 30 ≠ 75 = 183 mod 108

m=109: 138 mod 109 = 29 ≠ 74 = 183 mod 109

m=110: 138 mod 110 = 28 ≠ 73 = 183 mod 110

m=111: 138 mod 111 = 27 ≠ 72 = 183 mod 111

m=112: 138 mod 112 = 26 ≠ 71 = 183 mod 112

m=113: 138 mod 113 = 25 ≠ 70 = 183 mod 113

m=114: 138 mod 114 = 24 ≠ 69 = 183 mod 114

m=115: 138 mod 115 = 23 ≠ 68 = 183 mod 115

m=116: 138 mod 116 = 22 ≠ 67 = 183 mod 116

m=117: 138 mod 117 = 21 ≠ 66 = 183 mod 117

m=118: 138 mod 118 = 20 ≠ 65 = 183 mod 118

m=119: 138 mod 119 = 19 ≠ 64 = 183 mod 119

m=120: 138 mod 120 = 18 ≠ 63 = 183 mod 120

m=121: 138 mod 121 = 17 ≠ 62 = 183 mod 121

m=122: 138 mod 122 = 16 ≠ 61 = 183 mod 122

m=123: 138 mod 123 = 15 ≠ 60 = 183 mod 123

m=124: 138 mod 124 = 14 ≠ 59 = 183 mod 124

m=125: 138 mod 125 = 13 ≠ 58 = 183 mod 125

m=126: 138 mod 126 = 12 ≠ 57 = 183 mod 126

m=127: 138 mod 127 = 11 ≠ 56 = 183 mod 127

m=128: 138 mod 128 = 10 ≠ 55 = 183 mod 128

m=129: 138 mod 129 = 9 ≠ 54 = 183 mod 129

m=130: 138 mod 130 = 8 ≠ 53 = 183 mod 130

m=131: 138 mod 131 = 7 ≠ 52 = 183 mod 131

m=132: 138 mod 132 = 6 ≠ 51 = 183 mod 132

m=133: 138 mod 133 = 5 ≠ 50 = 183 mod 133

m=134: 138 mod 134 = 4 ≠ 49 = 183 mod 134

m=135: 138 mod 135 = 3 ≠ 48 = 183 mod 135

m=136: 138 mod 136 = 2 ≠ 47 = 183 mod 136

m=137: 138 mod 137 = 1 ≠ 46 = 183 mod 137

m=138: 138 mod 138 = 0 ≠ 45 = 183 mod 138

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (183 - 138) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45