Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 48 = 4.

Somit gilt: 52 mod 8 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 33, weil ja 11 ⋅ 3 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 33 = 1.

Somit gilt: 34 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 69 = 23 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 69 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 34 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(394 - 39998) mod 8 ≡ (394 mod 8 - 39998 mod 8) mod 8.

394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394 = 400-6 = 8 ⋅ 50 -6 = 8 ⋅ 50 - 8 + 2.

39998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39998 = 39000+998 = 8 ⋅ 4875 +998.

Somit gilt:

(394 - 39998) mod 8 ≡ (2 - 6) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 91) mod 8 ≡ (27 mod 8 ⋅ 91 mod 8) mod 8.

27 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 3 ⋅ 8 + 3 ist.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 91) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 ≠ 1 = 31 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 31 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 = 4 = 31 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 9 = 31 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 22) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9