Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 49 = 5.

Somit gilt: 54 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 23 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 - 16004) mod 8 ≡ (88 mod 8 - 16004 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80+8 = 8 ⋅ 10 +8.

16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 8 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(88 - 16004) mod 8 ≡ (0 - 4) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 20) mod 7 ≡ (92 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 20) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 135 aus, ob zufällig 135 mod m = 180 mod m gilt:

m=2: 135 mod 2 = 1 ≠ 0 = 180 mod 2

m=3: 135 mod 3 = 0 = 0 = 180 mod 3

m=4: 135 mod 4 = 3 ≠ 0 = 180 mod 4

m=5: 135 mod 5 = 0 = 0 = 180 mod 5

m=6: 135 mod 6 = 3 ≠ 0 = 180 mod 6

m=7: 135 mod 7 = 2 ≠ 5 = 180 mod 7

m=8: 135 mod 8 = 7 ≠ 4 = 180 mod 8

m=9: 135 mod 9 = 0 = 0 = 180 mod 9

m=10: 135 mod 10 = 5 ≠ 0 = 180 mod 10

m=11: 135 mod 11 = 3 ≠ 4 = 180 mod 11

m=12: 135 mod 12 = 3 ≠ 0 = 180 mod 12

m=13: 135 mod 13 = 5 ≠ 11 = 180 mod 13

m=14: 135 mod 14 = 9 ≠ 12 = 180 mod 14

m=15: 135 mod 15 = 0 = 0 = 180 mod 15

m=16: 135 mod 16 = 7 ≠ 4 = 180 mod 16

m=17: 135 mod 17 = 16 ≠ 10 = 180 mod 17

m=18: 135 mod 18 = 9 ≠ 0 = 180 mod 18

m=19: 135 mod 19 = 2 ≠ 9 = 180 mod 19

m=20: 135 mod 20 = 15 ≠ 0 = 180 mod 20

m=21: 135 mod 21 = 9 ≠ 12 = 180 mod 21

m=22: 135 mod 22 = 3 ≠ 4 = 180 mod 22

m=23: 135 mod 23 = 20 ≠ 19 = 180 mod 23

m=24: 135 mod 24 = 15 ≠ 12 = 180 mod 24

m=25: 135 mod 25 = 10 ≠ 5 = 180 mod 25

m=26: 135 mod 26 = 5 ≠ 24 = 180 mod 26

m=27: 135 mod 27 = 0 ≠ 18 = 180 mod 27

m=28: 135 mod 28 = 23 ≠ 12 = 180 mod 28

m=29: 135 mod 29 = 19 ≠ 6 = 180 mod 29

m=30: 135 mod 30 = 15 ≠ 0 = 180 mod 30

m=31: 135 mod 31 = 11 ≠ 25 = 180 mod 31

m=32: 135 mod 32 = 7 ≠ 20 = 180 mod 32

m=33: 135 mod 33 = 3 ≠ 15 = 180 mod 33

m=34: 135 mod 34 = 33 ≠ 10 = 180 mod 34

m=35: 135 mod 35 = 30 ≠ 5 = 180 mod 35

m=36: 135 mod 36 = 27 ≠ 0 = 180 mod 36

m=37: 135 mod 37 = 24 ≠ 32 = 180 mod 37

m=38: 135 mod 38 = 21 ≠ 28 = 180 mod 38

m=39: 135 mod 39 = 18 ≠ 24 = 180 mod 39

m=40: 135 mod 40 = 15 ≠ 20 = 180 mod 40

m=41: 135 mod 41 = 12 ≠ 16 = 180 mod 41

m=42: 135 mod 42 = 9 ≠ 12 = 180 mod 42

m=43: 135 mod 43 = 6 ≠ 8 = 180 mod 43

m=44: 135 mod 44 = 3 ≠ 4 = 180 mod 44

m=45: 135 mod 45 = 0 = 0 = 180 mod 45

m=46: 135 mod 46 = 43 ≠ 42 = 180 mod 46

m=47: 135 mod 47 = 41 ≠ 39 = 180 mod 47

m=48: 135 mod 48 = 39 ≠ 36 = 180 mod 48

m=49: 135 mod 49 = 37 ≠ 33 = 180 mod 49

m=50: 135 mod 50 = 35 ≠ 30 = 180 mod 50

m=51: 135 mod 51 = 33 ≠ 27 = 180 mod 51

m=52: 135 mod 52 = 31 ≠ 24 = 180 mod 52

m=53: 135 mod 53 = 29 ≠ 21 = 180 mod 53

m=54: 135 mod 54 = 27 ≠ 18 = 180 mod 54

m=55: 135 mod 55 = 25 ≠ 15 = 180 mod 55

m=56: 135 mod 56 = 23 ≠ 12 = 180 mod 56

m=57: 135 mod 57 = 21 ≠ 9 = 180 mod 57

m=58: 135 mod 58 = 19 ≠ 6 = 180 mod 58

m=59: 135 mod 59 = 17 ≠ 3 = 180 mod 59

m=60: 135 mod 60 = 15 ≠ 0 = 180 mod 60

m=61: 135 mod 61 = 13 ≠ 58 = 180 mod 61

m=62: 135 mod 62 = 11 ≠ 56 = 180 mod 62

m=63: 135 mod 63 = 9 ≠ 54 = 180 mod 63

m=64: 135 mod 64 = 7 ≠ 52 = 180 mod 64

m=65: 135 mod 65 = 5 ≠ 50 = 180 mod 65

m=66: 135 mod 66 = 3 ≠ 48 = 180 mod 66

m=67: 135 mod 67 = 1 ≠ 46 = 180 mod 67

m=68: 135 mod 68 = 67 ≠ 44 = 180 mod 68

m=69: 135 mod 69 = 66 ≠ 42 = 180 mod 69

m=70: 135 mod 70 = 65 ≠ 40 = 180 mod 70

m=71: 135 mod 71 = 64 ≠ 38 = 180 mod 71

m=72: 135 mod 72 = 63 ≠ 36 = 180 mod 72

m=73: 135 mod 73 = 62 ≠ 34 = 180 mod 73

m=74: 135 mod 74 = 61 ≠ 32 = 180 mod 74

m=75: 135 mod 75 = 60 ≠ 30 = 180 mod 75

m=76: 135 mod 76 = 59 ≠ 28 = 180 mod 76

m=77: 135 mod 77 = 58 ≠ 26 = 180 mod 77

m=78: 135 mod 78 = 57 ≠ 24 = 180 mod 78

m=79: 135 mod 79 = 56 ≠ 22 = 180 mod 79

m=80: 135 mod 80 = 55 ≠ 20 = 180 mod 80

m=81: 135 mod 81 = 54 ≠ 18 = 180 mod 81

m=82: 135 mod 82 = 53 ≠ 16 = 180 mod 82

m=83: 135 mod 83 = 52 ≠ 14 = 180 mod 83

m=84: 135 mod 84 = 51 ≠ 12 = 180 mod 84

m=85: 135 mod 85 = 50 ≠ 10 = 180 mod 85

m=86: 135 mod 86 = 49 ≠ 8 = 180 mod 86

m=87: 135 mod 87 = 48 ≠ 6 = 180 mod 87

m=88: 135 mod 88 = 47 ≠ 4 = 180 mod 88

m=89: 135 mod 89 = 46 ≠ 2 = 180 mod 89

m=90: 135 mod 90 = 45 ≠ 0 = 180 mod 90

m=91: 135 mod 91 = 44 ≠ 89 = 180 mod 91

m=92: 135 mod 92 = 43 ≠ 88 = 180 mod 92

m=93: 135 mod 93 = 42 ≠ 87 = 180 mod 93

m=94: 135 mod 94 = 41 ≠ 86 = 180 mod 94

m=95: 135 mod 95 = 40 ≠ 85 = 180 mod 95

m=96: 135 mod 96 = 39 ≠ 84 = 180 mod 96

m=97: 135 mod 97 = 38 ≠ 83 = 180 mod 97

m=98: 135 mod 98 = 37 ≠ 82 = 180 mod 98

m=99: 135 mod 99 = 36 ≠ 81 = 180 mod 99

m=100: 135 mod 100 = 35 ≠ 80 = 180 mod 100

m=101: 135 mod 101 = 34 ≠ 79 = 180 mod 101

m=102: 135 mod 102 = 33 ≠ 78 = 180 mod 102

m=103: 135 mod 103 = 32 ≠ 77 = 180 mod 103

m=104: 135 mod 104 = 31 ≠ 76 = 180 mod 104

m=105: 135 mod 105 = 30 ≠ 75 = 180 mod 105

m=106: 135 mod 106 = 29 ≠ 74 = 180 mod 106

m=107: 135 mod 107 = 28 ≠ 73 = 180 mod 107

m=108: 135 mod 108 = 27 ≠ 72 = 180 mod 108

m=109: 135 mod 109 = 26 ≠ 71 = 180 mod 109

m=110: 135 mod 110 = 25 ≠ 70 = 180 mod 110

m=111: 135 mod 111 = 24 ≠ 69 = 180 mod 111

m=112: 135 mod 112 = 23 ≠ 68 = 180 mod 112

m=113: 135 mod 113 = 22 ≠ 67 = 180 mod 113

m=114: 135 mod 114 = 21 ≠ 66 = 180 mod 114

m=115: 135 mod 115 = 20 ≠ 65 = 180 mod 115

m=116: 135 mod 116 = 19 ≠ 64 = 180 mod 116

m=117: 135 mod 117 = 18 ≠ 63 = 180 mod 117

m=118: 135 mod 118 = 17 ≠ 62 = 180 mod 118

m=119: 135 mod 119 = 16 ≠ 61 = 180 mod 119

m=120: 135 mod 120 = 15 ≠ 60 = 180 mod 120

m=121: 135 mod 121 = 14 ≠ 59 = 180 mod 121

m=122: 135 mod 122 = 13 ≠ 58 = 180 mod 122

m=123: 135 mod 123 = 12 ≠ 57 = 180 mod 123

m=124: 135 mod 124 = 11 ≠ 56 = 180 mod 124

m=125: 135 mod 125 = 10 ≠ 55 = 180 mod 125

m=126: 135 mod 126 = 9 ≠ 54 = 180 mod 126

m=127: 135 mod 127 = 8 ≠ 53 = 180 mod 127

m=128: 135 mod 128 = 7 ≠ 52 = 180 mod 128

m=129: 135 mod 129 = 6 ≠ 51 = 180 mod 129

m=130: 135 mod 130 = 5 ≠ 50 = 180 mod 130

m=131: 135 mod 131 = 4 ≠ 49 = 180 mod 131

m=132: 135 mod 132 = 3 ≠ 48 = 180 mod 132

m=133: 135 mod 133 = 2 ≠ 47 = 180 mod 133

m=134: 135 mod 134 = 1 ≠ 46 = 180 mod 134

m=135: 135 mod 135 = 0 ≠ 45 = 180 mod 135

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (180 - 135) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45