Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 26 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.
Somit gilt: 26 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 52 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 52 - 45 = 7.
Somit gilt: 52 mod 9 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 4 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 36 und erhalten so 43.
Somit gilt: 43 ≡ 52 ≡ 7 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13999 - 2802) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13999 - 2802) mod 7 ≡ (13999 mod 7 - 2802 mod 7) mod 7.
13999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13999
= 14000
2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802
= 2800
Somit gilt:
(13999 - 2802) mod 7 ≡ (6 - 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 59) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 59) mod 11 ≡ (77 mod 11 ⋅ 59 mod 11) mod 11.
77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.
59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 59) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 45 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 45 mod m gilt:
m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 45 mod 2
m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3
m=4: 33 mod 4 = 1 = 1 = 45 mod 4
m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 0 = 45 mod 5
m=6: 33 mod 6 = 3 = 3 = 45 mod 6
m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 3 = 45 mod 7
m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 5 = 45 mod 8
m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 0 = 45 mod 9
m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 5 = 45 mod 10
m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 1 = 45 mod 11
m=12: 33 mod 12 = 9 = 9 = 45 mod 12
m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 6 = 45 mod 13
m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 3 = 45 mod 14
m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 0 = 45 mod 15
m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 13 = 45 mod 16
m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 11 = 45 mod 17
m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 9 = 45 mod 18
m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 7 = 45 mod 19
m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 5 = 45 mod 20
m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 3 = 45 mod 21
m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 1 = 45 mod 22
m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 22 = 45 mod 23
m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 21 = 45 mod 24
m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 20 = 45 mod 25
m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 19 = 45 mod 26
m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 18 = 45 mod 27
m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 17 = 45 mod 28
m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 16 = 45 mod 29
m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 15 = 45 mod 30
m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 14 = 45 mod 31
m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 13 = 45 mod 32
m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 12 = 45 mod 33
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 33) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
