Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.

Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 81 = 8.

Somit gilt: 89 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 63 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 89 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10000 - 50) mod 5 ≡ (10000 mod 5 - 50 mod 5) mod 5.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50+0 = 5 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(10000 - 50) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 22) mod 5 ≡ (78 mod 5 ⋅ 22 mod 5) mod 5.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

22 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 4 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 22) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 41 aus, ob zufällig 41 mod m = 53 mod m gilt:

m=2: 41 mod 2 = 1 = 1 = 53 mod 2

m=3: 41 mod 3 = 2 = 2 = 53 mod 3

m=4: 41 mod 4 = 1 = 1 = 53 mod 4

m=5: 41 mod 5 = 1 ≠ 3 = 53 mod 5

m=6: 41 mod 6 = 5 = 5 = 53 mod 6

m=7: 41 mod 7 = 6 ≠ 4 = 53 mod 7

m=8: 41 mod 8 = 1 ≠ 5 = 53 mod 8

m=9: 41 mod 9 = 5 ≠ 8 = 53 mod 9

m=10: 41 mod 10 = 1 ≠ 3 = 53 mod 10

m=11: 41 mod 11 = 8 ≠ 9 = 53 mod 11

m=12: 41 mod 12 = 5 = 5 = 53 mod 12

m=13: 41 mod 13 = 2 ≠ 1 = 53 mod 13

m=14: 41 mod 14 = 13 ≠ 11 = 53 mod 14

m=15: 41 mod 15 = 11 ≠ 8 = 53 mod 15

m=16: 41 mod 16 = 9 ≠ 5 = 53 mod 16

m=17: 41 mod 17 = 7 ≠ 2 = 53 mod 17

m=18: 41 mod 18 = 5 ≠ 17 = 53 mod 18

m=19: 41 mod 19 = 3 ≠ 15 = 53 mod 19

m=20: 41 mod 20 = 1 ≠ 13 = 53 mod 20

m=21: 41 mod 21 = 20 ≠ 11 = 53 mod 21

m=22: 41 mod 22 = 19 ≠ 9 = 53 mod 22

m=23: 41 mod 23 = 18 ≠ 7 = 53 mod 23

m=24: 41 mod 24 = 17 ≠ 5 = 53 mod 24

m=25: 41 mod 25 = 16 ≠ 3 = 53 mod 25

m=26: 41 mod 26 = 15 ≠ 1 = 53 mod 26

m=27: 41 mod 27 = 14 ≠ 26 = 53 mod 27

m=28: 41 mod 28 = 13 ≠ 25 = 53 mod 28

m=29: 41 mod 29 = 12 ≠ 24 = 53 mod 29

m=30: 41 mod 30 = 11 ≠ 23 = 53 mod 30

m=31: 41 mod 31 = 10 ≠ 22 = 53 mod 31

m=32: 41 mod 32 = 9 ≠ 21 = 53 mod 32

m=33: 41 mod 33 = 8 ≠ 20 = 53 mod 33

m=34: 41 mod 34 = 7 ≠ 19 = 53 mod 34

m=35: 41 mod 35 = 6 ≠ 18 = 53 mod 35

m=36: 41 mod 36 = 5 ≠ 17 = 53 mod 36

m=37: 41 mod 37 = 4 ≠ 16 = 53 mod 37

m=38: 41 mod 38 = 3 ≠ 15 = 53 mod 38

m=39: 41 mod 39 = 2 ≠ 14 = 53 mod 39

m=40: 41 mod 40 = 1 ≠ 13 = 53 mod 40

m=41: 41 mod 41 = 0 ≠ 12 = 53 mod 41

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (53 - 41) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12