Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 12, weil ja 3 ⋅ 4 = 12 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 12 = 3.

Somit gilt: 15 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 7 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 3 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 21 und erhalten so 24.

Somit gilt: 24 ≡ 38 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(114 - 1795) mod 6 ≡ (114 mod 6 - 1795 mod 6) mod 6.

114 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 114 = 120-6 = 6 ⋅ 20 -6 = 6 ⋅ 20 - 6 + 0.

1795 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795 = 1800-5 = 6 ⋅ 300 -5 = 6 ⋅ 300 - 6 + 1.

Somit gilt:

(114 - 1795) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 37) mod 8 ≡ (77 mod 8 ⋅ 37 mod 8) mod 8.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 37) mod 8 ≡ (5 ⋅ 5) mod 8 ≡ 25 mod 8 ≡ 1 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 73 aus, ob zufällig 73 mod m = 100 mod m gilt:

m=2: 73 mod 2 = 1 ≠ 0 = 100 mod 2

m=3: 73 mod 3 = 1 = 1 = 100 mod 3

m=4: 73 mod 4 = 1 ≠ 0 = 100 mod 4

m=5: 73 mod 5 = 3 ≠ 0 = 100 mod 5

m=6: 73 mod 6 = 1 ≠ 4 = 100 mod 6

m=7: 73 mod 7 = 3 ≠ 2 = 100 mod 7

m=8: 73 mod 8 = 1 ≠ 4 = 100 mod 8

m=9: 73 mod 9 = 1 = 1 = 100 mod 9

m=10: 73 mod 10 = 3 ≠ 0 = 100 mod 10

m=11: 73 mod 11 = 7 ≠ 1 = 100 mod 11

m=12: 73 mod 12 = 1 ≠ 4 = 100 mod 12

m=13: 73 mod 13 = 8 ≠ 9 = 100 mod 13

m=14: 73 mod 14 = 3 ≠ 2 = 100 mod 14

m=15: 73 mod 15 = 13 ≠ 10 = 100 mod 15

m=16: 73 mod 16 = 9 ≠ 4 = 100 mod 16

m=17: 73 mod 17 = 5 ≠ 15 = 100 mod 17

m=18: 73 mod 18 = 1 ≠ 10 = 100 mod 18

m=19: 73 mod 19 = 16 ≠ 5 = 100 mod 19

m=20: 73 mod 20 = 13 ≠ 0 = 100 mod 20

m=21: 73 mod 21 = 10 ≠ 16 = 100 mod 21

m=22: 73 mod 22 = 7 ≠ 12 = 100 mod 22

m=23: 73 mod 23 = 4 ≠ 8 = 100 mod 23

m=24: 73 mod 24 = 1 ≠ 4 = 100 mod 24

m=25: 73 mod 25 = 23 ≠ 0 = 100 mod 25

m=26: 73 mod 26 = 21 ≠ 22 = 100 mod 26

m=27: 73 mod 27 = 19 = 19 = 100 mod 27

m=28: 73 mod 28 = 17 ≠ 16 = 100 mod 28

m=29: 73 mod 29 = 15 ≠ 13 = 100 mod 29

m=30: 73 mod 30 = 13 ≠ 10 = 100 mod 30

m=31: 73 mod 31 = 11 ≠ 7 = 100 mod 31

m=32: 73 mod 32 = 9 ≠ 4 = 100 mod 32

m=33: 73 mod 33 = 7 ≠ 1 = 100 mod 33

m=34: 73 mod 34 = 5 ≠ 32 = 100 mod 34

m=35: 73 mod 35 = 3 ≠ 30 = 100 mod 35

m=36: 73 mod 36 = 1 ≠ 28 = 100 mod 36

m=37: 73 mod 37 = 36 ≠ 26 = 100 mod 37

m=38: 73 mod 38 = 35 ≠ 24 = 100 mod 38

m=39: 73 mod 39 = 34 ≠ 22 = 100 mod 39

m=40: 73 mod 40 = 33 ≠ 20 = 100 mod 40

m=41: 73 mod 41 = 32 ≠ 18 = 100 mod 41

m=42: 73 mod 42 = 31 ≠ 16 = 100 mod 42

m=43: 73 mod 43 = 30 ≠ 14 = 100 mod 43

m=44: 73 mod 44 = 29 ≠ 12 = 100 mod 44

m=45: 73 mod 45 = 28 ≠ 10 = 100 mod 45

m=46: 73 mod 46 = 27 ≠ 8 = 100 mod 46

m=47: 73 mod 47 = 26 ≠ 6 = 100 mod 47

m=48: 73 mod 48 = 25 ≠ 4 = 100 mod 48

m=49: 73 mod 49 = 24 ≠ 2 = 100 mod 49

m=50: 73 mod 50 = 23 ≠ 0 = 100 mod 50

m=51: 73 mod 51 = 22 ≠ 49 = 100 mod 51

m=52: 73 mod 52 = 21 ≠ 48 = 100 mod 52

m=53: 73 mod 53 = 20 ≠ 47 = 100 mod 53

m=54: 73 mod 54 = 19 ≠ 46 = 100 mod 54

m=55: 73 mod 55 = 18 ≠ 45 = 100 mod 55

m=56: 73 mod 56 = 17 ≠ 44 = 100 mod 56

m=57: 73 mod 57 = 16 ≠ 43 = 100 mod 57

m=58: 73 mod 58 = 15 ≠ 42 = 100 mod 58

m=59: 73 mod 59 = 14 ≠ 41 = 100 mod 59

m=60: 73 mod 60 = 13 ≠ 40 = 100 mod 60

m=61: 73 mod 61 = 12 ≠ 39 = 100 mod 61

m=62: 73 mod 62 = 11 ≠ 38 = 100 mod 62

m=63: 73 mod 63 = 10 ≠ 37 = 100 mod 63

m=64: 73 mod 64 = 9 ≠ 36 = 100 mod 64

m=65: 73 mod 65 = 8 ≠ 35 = 100 mod 65

m=66: 73 mod 66 = 7 ≠ 34 = 100 mod 66

m=67: 73 mod 67 = 6 ≠ 33 = 100 mod 67

m=68: 73 mod 68 = 5 ≠ 32 = 100 mod 68

m=69: 73 mod 69 = 4 ≠ 31 = 100 mod 69

m=70: 73 mod 70 = 3 ≠ 30 = 100 mod 70

m=71: 73 mod 71 = 2 ≠ 29 = 100 mod 71

m=72: 73 mod 72 = 1 ≠ 28 = 100 mod 72

m=73: 73 mod 73 = 0 ≠ 27 = 100 mod 73

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (100 - 73) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27