Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 87, weil ja 29 ⋅ 3 = 87 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 87 = 0.

Somit gilt: 87 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.

Somit gilt: 84 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6

Somit gilt: 72 ≡ 84 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(273 - 4498) mod 9 ≡ (273 mod 9 - 4498 mod 9) mod 9.

273 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273 = 270+3 = 9 ⋅ 30 +3.

4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498 = 4500-2 = 9 ⋅ 500 -2 = 9 ⋅ 500 - 9 + 7.

Somit gilt:

(273 - 4498) mod 9 ≡ (3 - 7) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 44) mod 9 ≡ (95 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 44) mod 9 ≡ (5 ⋅ 8) mod 9 ≡ 40 mod 9 ≡ 4 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 121 aus, ob zufällig 121 mod m = 171 mod m gilt:

m=2: 121 mod 2 = 1 = 1 = 171 mod 2

m=3: 121 mod 3 = 1 ≠ 0 = 171 mod 3

m=4: 121 mod 4 = 1 ≠ 3 = 171 mod 4

m=5: 121 mod 5 = 1 = 1 = 171 mod 5

m=6: 121 mod 6 = 1 ≠ 3 = 171 mod 6

m=7: 121 mod 7 = 2 ≠ 3 = 171 mod 7

m=8: 121 mod 8 = 1 ≠ 3 = 171 mod 8

m=9: 121 mod 9 = 4 ≠ 0 = 171 mod 9

m=10: 121 mod 10 = 1 = 1 = 171 mod 10

m=11: 121 mod 11 = 0 ≠ 6 = 171 mod 11

m=12: 121 mod 12 = 1 ≠ 3 = 171 mod 12

m=13: 121 mod 13 = 4 ≠ 2 = 171 mod 13

m=14: 121 mod 14 = 9 ≠ 3 = 171 mod 14

m=15: 121 mod 15 = 1 ≠ 6 = 171 mod 15

m=16: 121 mod 16 = 9 ≠ 11 = 171 mod 16

m=17: 121 mod 17 = 2 ≠ 1 = 171 mod 17

m=18: 121 mod 18 = 13 ≠ 9 = 171 mod 18

m=19: 121 mod 19 = 7 ≠ 0 = 171 mod 19

m=20: 121 mod 20 = 1 ≠ 11 = 171 mod 20

m=21: 121 mod 21 = 16 ≠ 3 = 171 mod 21

m=22: 121 mod 22 = 11 ≠ 17 = 171 mod 22

m=23: 121 mod 23 = 6 ≠ 10 = 171 mod 23

m=24: 121 mod 24 = 1 ≠ 3 = 171 mod 24

m=25: 121 mod 25 = 21 = 21 = 171 mod 25

m=26: 121 mod 26 = 17 ≠ 15 = 171 mod 26

m=27: 121 mod 27 = 13 ≠ 9 = 171 mod 27

m=28: 121 mod 28 = 9 ≠ 3 = 171 mod 28

m=29: 121 mod 29 = 5 ≠ 26 = 171 mod 29

m=30: 121 mod 30 = 1 ≠ 21 = 171 mod 30

m=31: 121 mod 31 = 28 ≠ 16 = 171 mod 31

m=32: 121 mod 32 = 25 ≠ 11 = 171 mod 32

m=33: 121 mod 33 = 22 ≠ 6 = 171 mod 33

m=34: 121 mod 34 = 19 ≠ 1 = 171 mod 34

m=35: 121 mod 35 = 16 ≠ 31 = 171 mod 35

m=36: 121 mod 36 = 13 ≠ 27 = 171 mod 36

m=37: 121 mod 37 = 10 ≠ 23 = 171 mod 37

m=38: 121 mod 38 = 7 ≠ 19 = 171 mod 38

m=39: 121 mod 39 = 4 ≠ 15 = 171 mod 39

m=40: 121 mod 40 = 1 ≠ 11 = 171 mod 40

m=41: 121 mod 41 = 39 ≠ 7 = 171 mod 41

m=42: 121 mod 42 = 37 ≠ 3 = 171 mod 42

m=43: 121 mod 43 = 35 ≠ 42 = 171 mod 43

m=44: 121 mod 44 = 33 ≠ 39 = 171 mod 44

m=45: 121 mod 45 = 31 ≠ 36 = 171 mod 45

m=46: 121 mod 46 = 29 ≠ 33 = 171 mod 46

m=47: 121 mod 47 = 27 ≠ 30 = 171 mod 47

m=48: 121 mod 48 = 25 ≠ 27 = 171 mod 48

m=49: 121 mod 49 = 23 ≠ 24 = 171 mod 49

m=50: 121 mod 50 = 21 = 21 = 171 mod 50

m=51: 121 mod 51 = 19 ≠ 18 = 171 mod 51

m=52: 121 mod 52 = 17 ≠ 15 = 171 mod 52

m=53: 121 mod 53 = 15 ≠ 12 = 171 mod 53

m=54: 121 mod 54 = 13 ≠ 9 = 171 mod 54

m=55: 121 mod 55 = 11 ≠ 6 = 171 mod 55

m=56: 121 mod 56 = 9 ≠ 3 = 171 mod 56

m=57: 121 mod 57 = 7 ≠ 0 = 171 mod 57

m=58: 121 mod 58 = 5 ≠ 55 = 171 mod 58

m=59: 121 mod 59 = 3 ≠ 53 = 171 mod 59

m=60: 121 mod 60 = 1 ≠ 51 = 171 mod 60

m=61: 121 mod 61 = 60 ≠ 49 = 171 mod 61

m=62: 121 mod 62 = 59 ≠ 47 = 171 mod 62

m=63: 121 mod 63 = 58 ≠ 45 = 171 mod 63

m=64: 121 mod 64 = 57 ≠ 43 = 171 mod 64

m=65: 121 mod 65 = 56 ≠ 41 = 171 mod 65

m=66: 121 mod 66 = 55 ≠ 39 = 171 mod 66

m=67: 121 mod 67 = 54 ≠ 37 = 171 mod 67

m=68: 121 mod 68 = 53 ≠ 35 = 171 mod 68

m=69: 121 mod 69 = 52 ≠ 33 = 171 mod 69

m=70: 121 mod 70 = 51 ≠ 31 = 171 mod 70

m=71: 121 mod 71 = 50 ≠ 29 = 171 mod 71

m=72: 121 mod 72 = 49 ≠ 27 = 171 mod 72

m=73: 121 mod 73 = 48 ≠ 25 = 171 mod 73

m=74: 121 mod 74 = 47 ≠ 23 = 171 mod 74

m=75: 121 mod 75 = 46 ≠ 21 = 171 mod 75

m=76: 121 mod 76 = 45 ≠ 19 = 171 mod 76

m=77: 121 mod 77 = 44 ≠ 17 = 171 mod 77

m=78: 121 mod 78 = 43 ≠ 15 = 171 mod 78

m=79: 121 mod 79 = 42 ≠ 13 = 171 mod 79

m=80: 121 mod 80 = 41 ≠ 11 = 171 mod 80

m=81: 121 mod 81 = 40 ≠ 9 = 171 mod 81

m=82: 121 mod 82 = 39 ≠ 7 = 171 mod 82

m=83: 121 mod 83 = 38 ≠ 5 = 171 mod 83

m=84: 121 mod 84 = 37 ≠ 3 = 171 mod 84

m=85: 121 mod 85 = 36 ≠ 1 = 171 mod 85

m=86: 121 mod 86 = 35 ≠ 85 = 171 mod 86

m=87: 121 mod 87 = 34 ≠ 84 = 171 mod 87

m=88: 121 mod 88 = 33 ≠ 83 = 171 mod 88

m=89: 121 mod 89 = 32 ≠ 82 = 171 mod 89

m=90: 121 mod 90 = 31 ≠ 81 = 171 mod 90

m=91: 121 mod 91 = 30 ≠ 80 = 171 mod 91

m=92: 121 mod 92 = 29 ≠ 79 = 171 mod 92

m=93: 121 mod 93 = 28 ≠ 78 = 171 mod 93

m=94: 121 mod 94 = 27 ≠ 77 = 171 mod 94

m=95: 121 mod 95 = 26 ≠ 76 = 171 mod 95

m=96: 121 mod 96 = 25 ≠ 75 = 171 mod 96

m=97: 121 mod 97 = 24 ≠ 74 = 171 mod 97

m=98: 121 mod 98 = 23 ≠ 73 = 171 mod 98

m=99: 121 mod 99 = 22 ≠ 72 = 171 mod 99

m=100: 121 mod 100 = 21 ≠ 71 = 171 mod 100

m=101: 121 mod 101 = 20 ≠ 70 = 171 mod 101

m=102: 121 mod 102 = 19 ≠ 69 = 171 mod 102

m=103: 121 mod 103 = 18 ≠ 68 = 171 mod 103

m=104: 121 mod 104 = 17 ≠ 67 = 171 mod 104

m=105: 121 mod 105 = 16 ≠ 66 = 171 mod 105

m=106: 121 mod 106 = 15 ≠ 65 = 171 mod 106

m=107: 121 mod 107 = 14 ≠ 64 = 171 mod 107

m=108: 121 mod 108 = 13 ≠ 63 = 171 mod 108

m=109: 121 mod 109 = 12 ≠ 62 = 171 mod 109

m=110: 121 mod 110 = 11 ≠ 61 = 171 mod 110

m=111: 121 mod 111 = 10 ≠ 60 = 171 mod 111

m=112: 121 mod 112 = 9 ≠ 59 = 171 mod 112

m=113: 121 mod 113 = 8 ≠ 58 = 171 mod 113

m=114: 121 mod 114 = 7 ≠ 57 = 171 mod 114

m=115: 121 mod 115 = 6 ≠ 56 = 171 mod 115

m=116: 121 mod 116 = 5 ≠ 55 = 171 mod 116

m=117: 121 mod 117 = 4 ≠ 54 = 171 mod 117

m=118: 121 mod 118 = 3 ≠ 53 = 171 mod 118

m=119: 121 mod 119 = 2 ≠ 52 = 171 mod 119

m=120: 121 mod 120 = 1 ≠ 51 = 171 mod 120

m=121: 121 mod 121 = 0 ≠ 50 = 171 mod 121

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (171 - 121) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50