Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 16, weil ja 4 ⋅ 4 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 16 - 16 = 0.

Somit gilt: 16 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 55 = 7.

Somit gilt: 62 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 33 und erhalten so 40.

Somit gilt: 40 ≡ 62 ≡ 7 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(902 + 8998) mod 9 ≡ (902 mod 9 + 8998 mod 9) mod 9.

902 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902 = 900+2 = 9 ⋅ 100 +2.

8998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 9 ⋅ 1000 -2 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 7.

Somit gilt:

(902 + 8998) mod 9 ≡ (2 + 7) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 92) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 92 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 92) mod 10 ≡ (3 ⋅ 2) mod 10 ≡ 6 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4