Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 77 = 5.

Somit gilt: 82 mod 11 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 21, weil ja 7 ⋅ 3 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 21 = 1.

Somit gilt: 22 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 22 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(105 - 1504) mod 5 ≡ (105 mod 5 - 1504 mod 5) mod 5.

105 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 105 = 100+5 = 5 ⋅ 20 +5.

1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504 = 1500+4 = 5 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(105 - 1504) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 97) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 97) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 278 aus, ob zufällig 278 mod m = 403 mod m gilt:

m=2: 278 mod 2 = 0 ≠ 1 = 403 mod 2

m=3: 278 mod 3 = 2 ≠ 1 = 403 mod 3

m=4: 278 mod 4 = 2 ≠ 3 = 403 mod 4

m=5: 278 mod 5 = 3 = 3 = 403 mod 5

m=6: 278 mod 6 = 2 ≠ 1 = 403 mod 6

m=7: 278 mod 7 = 5 ≠ 4 = 403 mod 7

m=8: 278 mod 8 = 6 ≠ 3 = 403 mod 8

m=9: 278 mod 9 = 8 ≠ 7 = 403 mod 9

m=10: 278 mod 10 = 8 ≠ 3 = 403 mod 10

m=11: 278 mod 11 = 3 ≠ 7 = 403 mod 11

m=12: 278 mod 12 = 2 ≠ 7 = 403 mod 12

m=13: 278 mod 13 = 5 ≠ 0 = 403 mod 13

m=14: 278 mod 14 = 12 ≠ 11 = 403 mod 14

m=15: 278 mod 15 = 8 ≠ 13 = 403 mod 15

m=16: 278 mod 16 = 6 ≠ 3 = 403 mod 16

m=17: 278 mod 17 = 6 ≠ 12 = 403 mod 17

m=18: 278 mod 18 = 8 ≠ 7 = 403 mod 18

m=19: 278 mod 19 = 12 ≠ 4 = 403 mod 19

m=20: 278 mod 20 = 18 ≠ 3 = 403 mod 20

m=21: 278 mod 21 = 5 ≠ 4 = 403 mod 21

m=22: 278 mod 22 = 14 ≠ 7 = 403 mod 22

m=23: 278 mod 23 = 2 ≠ 12 = 403 mod 23

m=24: 278 mod 24 = 14 ≠ 19 = 403 mod 24

m=25: 278 mod 25 = 3 = 3 = 403 mod 25

m=26: 278 mod 26 = 18 ≠ 13 = 403 mod 26

m=27: 278 mod 27 = 8 ≠ 25 = 403 mod 27

m=28: 278 mod 28 = 26 ≠ 11 = 403 mod 28

m=29: 278 mod 29 = 17 ≠ 26 = 403 mod 29

m=30: 278 mod 30 = 8 ≠ 13 = 403 mod 30

m=31: 278 mod 31 = 30 ≠ 0 = 403 mod 31

m=32: 278 mod 32 = 22 ≠ 19 = 403 mod 32

m=33: 278 mod 33 = 14 ≠ 7 = 403 mod 33

m=34: 278 mod 34 = 6 ≠ 29 = 403 mod 34

m=35: 278 mod 35 = 33 ≠ 18 = 403 mod 35

m=36: 278 mod 36 = 26 ≠ 7 = 403 mod 36

m=37: 278 mod 37 = 19 ≠ 33 = 403 mod 37

m=38: 278 mod 38 = 12 ≠ 23 = 403 mod 38

m=39: 278 mod 39 = 5 ≠ 13 = 403 mod 39

m=40: 278 mod 40 = 38 ≠ 3 = 403 mod 40

m=41: 278 mod 41 = 32 ≠ 34 = 403 mod 41

m=42: 278 mod 42 = 26 ≠ 25 = 403 mod 42

m=43: 278 mod 43 = 20 ≠ 16 = 403 mod 43

m=44: 278 mod 44 = 14 ≠ 7 = 403 mod 44

m=45: 278 mod 45 = 8 ≠ 43 = 403 mod 45

m=46: 278 mod 46 = 2 ≠ 35 = 403 mod 46

m=47: 278 mod 47 = 43 ≠ 27 = 403 mod 47

m=48: 278 mod 48 = 38 ≠ 19 = 403 mod 48

m=49: 278 mod 49 = 33 ≠ 11 = 403 mod 49

m=50: 278 mod 50 = 28 ≠ 3 = 403 mod 50

m=51: 278 mod 51 = 23 ≠ 46 = 403 mod 51

m=52: 278 mod 52 = 18 ≠ 39 = 403 mod 52

m=53: 278 mod 53 = 13 ≠ 32 = 403 mod 53

m=54: 278 mod 54 = 8 ≠ 25 = 403 mod 54

m=55: 278 mod 55 = 3 ≠ 18 = 403 mod 55

m=56: 278 mod 56 = 54 ≠ 11 = 403 mod 56

m=57: 278 mod 57 = 50 ≠ 4 = 403 mod 57

m=58: 278 mod 58 = 46 ≠ 55 = 403 mod 58

m=59: 278 mod 59 = 42 ≠ 49 = 403 mod 59

m=60: 278 mod 60 = 38 ≠ 43 = 403 mod 60

m=61: 278 mod 61 = 34 ≠ 37 = 403 mod 61

m=62: 278 mod 62 = 30 ≠ 31 = 403 mod 62

m=63: 278 mod 63 = 26 ≠ 25 = 403 mod 63

m=64: 278 mod 64 = 22 ≠ 19 = 403 mod 64

m=65: 278 mod 65 = 18 ≠ 13 = 403 mod 65

m=66: 278 mod 66 = 14 ≠ 7 = 403 mod 66

m=67: 278 mod 67 = 10 ≠ 1 = 403 mod 67

m=68: 278 mod 68 = 6 ≠ 63 = 403 mod 68

m=69: 278 mod 69 = 2 ≠ 58 = 403 mod 69

m=70: 278 mod 70 = 68 ≠ 53 = 403 mod 70

m=71: 278 mod 71 = 65 ≠ 48 = 403 mod 71

m=72: 278 mod 72 = 62 ≠ 43 = 403 mod 72

m=73: 278 mod 73 = 59 ≠ 38 = 403 mod 73

m=74: 278 mod 74 = 56 ≠ 33 = 403 mod 74

m=75: 278 mod 75 = 53 ≠ 28 = 403 mod 75

m=76: 278 mod 76 = 50 ≠ 23 = 403 mod 76

m=77: 278 mod 77 = 47 ≠ 18 = 403 mod 77

m=78: 278 mod 78 = 44 ≠ 13 = 403 mod 78

m=79: 278 mod 79 = 41 ≠ 8 = 403 mod 79

m=80: 278 mod 80 = 38 ≠ 3 = 403 mod 80

m=81: 278 mod 81 = 35 ≠ 79 = 403 mod 81

m=82: 278 mod 82 = 32 ≠ 75 = 403 mod 82

m=83: 278 mod 83 = 29 ≠ 71 = 403 mod 83

m=84: 278 mod 84 = 26 ≠ 67 = 403 mod 84

m=85: 278 mod 85 = 23 ≠ 63 = 403 mod 85

m=86: 278 mod 86 = 20 ≠ 59 = 403 mod 86

m=87: 278 mod 87 = 17 ≠ 55 = 403 mod 87

m=88: 278 mod 88 = 14 ≠ 51 = 403 mod 88

m=89: 278 mod 89 = 11 ≠ 47 = 403 mod 89

m=90: 278 mod 90 = 8 ≠ 43 = 403 mod 90

m=91: 278 mod 91 = 5 ≠ 39 = 403 mod 91

m=92: 278 mod 92 = 2 ≠ 35 = 403 mod 92

m=93: 278 mod 93 = 92 ≠ 31 = 403 mod 93

m=94: 278 mod 94 = 90 ≠ 27 = 403 mod 94

m=95: 278 mod 95 = 88 ≠ 23 = 403 mod 95

m=96: 278 mod 96 = 86 ≠ 19 = 403 mod 96

m=97: 278 mod 97 = 84 ≠ 15 = 403 mod 97

m=98: 278 mod 98 = 82 ≠ 11 = 403 mod 98

m=99: 278 mod 99 = 80 ≠ 7 = 403 mod 99

m=100: 278 mod 100 = 78 ≠ 3 = 403 mod 100

m=101: 278 mod 101 = 76 ≠ 100 = 403 mod 101

m=102: 278 mod 102 = 74 ≠ 97 = 403 mod 102

m=103: 278 mod 103 = 72 ≠ 94 = 403 mod 103

m=104: 278 mod 104 = 70 ≠ 91 = 403 mod 104

m=105: 278 mod 105 = 68 ≠ 88 = 403 mod 105

m=106: 278 mod 106 = 66 ≠ 85 = 403 mod 106

m=107: 278 mod 107 = 64 ≠ 82 = 403 mod 107

m=108: 278 mod 108 = 62 ≠ 79 = 403 mod 108

m=109: 278 mod 109 = 60 ≠ 76 = 403 mod 109

m=110: 278 mod 110 = 58 ≠ 73 = 403 mod 110

m=111: 278 mod 111 = 56 ≠ 70 = 403 mod 111

m=112: 278 mod 112 = 54 ≠ 67 = 403 mod 112

m=113: 278 mod 113 = 52 ≠ 64 = 403 mod 113

m=114: 278 mod 114 = 50 ≠ 61 = 403 mod 114

m=115: 278 mod 115 = 48 ≠ 58 = 403 mod 115

m=116: 278 mod 116 = 46 ≠ 55 = 403 mod 116

m=117: 278 mod 117 = 44 ≠ 52 = 403 mod 117

m=118: 278 mod 118 = 42 ≠ 49 = 403 mod 118

m=119: 278 mod 119 = 40 ≠ 46 = 403 mod 119

m=120: 278 mod 120 = 38 ≠ 43 = 403 mod 120

m=121: 278 mod 121 = 36 ≠ 40 = 403 mod 121

m=122: 278 mod 122 = 34 ≠ 37 = 403 mod 122

m=123: 278 mod 123 = 32 ≠ 34 = 403 mod 123

m=124: 278 mod 124 = 30 ≠ 31 = 403 mod 124

m=125: 278 mod 125 = 28 = 28 = 403 mod 125

m=126: 278 mod 126 = 26 ≠ 25 = 403 mod 126

m=127: 278 mod 127 = 24 ≠ 22 = 403 mod 127

m=128: 278 mod 128 = 22 ≠ 19 = 403 mod 128

m=129: 278 mod 129 = 20 ≠ 16 = 403 mod 129

m=130: 278 mod 130 = 18 ≠ 13 = 403 mod 130

m=131: 278 mod 131 = 16 ≠ 10 = 403 mod 131

m=132: 278 mod 132 = 14 ≠ 7 = 403 mod 132

m=133: 278 mod 133 = 12 ≠ 4 = 403 mod 133

m=134: 278 mod 134 = 10 ≠ 1 = 403 mod 134

m=135: 278 mod 135 = 8 ≠ 133 = 403 mod 135

m=136: 278 mod 136 = 6 ≠ 131 = 403 mod 136

m=137: 278 mod 137 = 4 ≠ 129 = 403 mod 137

m=138: 278 mod 138 = 2 ≠ 127 = 403 mod 138

m=139: 278 mod 139 = 0 ≠ 125 = 403 mod 139

m=140: 278 mod 140 = 138 ≠ 123 = 403 mod 140

m=141: 278 mod 141 = 137 ≠ 121 = 403 mod 141

m=142: 278 mod 142 = 136 ≠ 119 = 403 mod 142

m=143: 278 mod 143 = 135 ≠ 117 = 403 mod 143

m=144: 278 mod 144 = 134 ≠ 115 = 403 mod 144

m=145: 278 mod 145 = 133 ≠ 113 = 403 mod 145

m=146: 278 mod 146 = 132 ≠ 111 = 403 mod 146

m=147: 278 mod 147 = 131 ≠ 109 = 403 mod 147

m=148: 278 mod 148 = 130 ≠ 107 = 403 mod 148

m=149: 278 mod 149 = 129 ≠ 105 = 403 mod 149

m=150: 278 mod 150 = 128 ≠ 103 = 403 mod 150

m=151: 278 mod 151 = 127 ≠ 101 = 403 mod 151

m=152: 278 mod 152 = 126 ≠ 99 = 403 mod 152

m=153: 278 mod 153 = 125 ≠ 97 = 403 mod 153

m=154: 278 mod 154 = 124 ≠ 95 = 403 mod 154

m=155: 278 mod 155 = 123 ≠ 93 = 403 mod 155

m=156: 278 mod 156 = 122 ≠ 91 = 403 mod 156

m=157: 278 mod 157 = 121 ≠ 89 = 403 mod 157

m=158: 278 mod 158 = 120 ≠ 87 = 403 mod 158

m=159: 278 mod 159 = 119 ≠ 85 = 403 mod 159

m=160: 278 mod 160 = 118 ≠ 83 = 403 mod 160

m=161: 278 mod 161 = 117 ≠ 81 = 403 mod 161

m=162: 278 mod 162 = 116 ≠ 79 = 403 mod 162

m=163: 278 mod 163 = 115 ≠ 77 = 403 mod 163

m=164: 278 mod 164 = 114 ≠ 75 = 403 mod 164

m=165: 278 mod 165 = 113 ≠ 73 = 403 mod 165

m=166: 278 mod 166 = 112 ≠ 71 = 403 mod 166

m=167: 278 mod 167 = 111 ≠ 69 = 403 mod 167

m=168: 278 mod 168 = 110 ≠ 67 = 403 mod 168

m=169: 278 mod 169 = 109 ≠ 65 = 403 mod 169

m=170: 278 mod 170 = 108 ≠ 63 = 403 mod 170

m=171: 278 mod 171 = 107 ≠ 61 = 403 mod 171

m=172: 278 mod 172 = 106 ≠ 59 = 403 mod 172

m=173: 278 mod 173 = 105 ≠ 57 = 403 mod 173

m=174: 278 mod 174 = 104 ≠ 55 = 403 mod 174

m=175: 278 mod 175 = 103 ≠ 53 = 403 mod 175

m=176: 278 mod 176 = 102 ≠ 51 = 403 mod 176

m=177: 278 mod 177 = 101 ≠ 49 = 403 mod 177

m=178: 278 mod 178 = 100 ≠ 47 = 403 mod 178

m=179: 278 mod 179 = 99 ≠ 45 = 403 mod 179

m=180: 278 mod 180 = 98 ≠ 43 = 403 mod 180

m=181: 278 mod 181 = 97 ≠ 41 = 403 mod 181

m=182: 278 mod 182 = 96 ≠ 39 = 403 mod 182

m=183: 278 mod 183 = 95 ≠ 37 = 403 mod 183

m=184: 278 mod 184 = 94 ≠ 35 = 403 mod 184

m=185: 278 mod 185 = 93 ≠ 33 = 403 mod 185

m=186: 278 mod 186 = 92 ≠ 31 = 403 mod 186

m=187: 278 mod 187 = 91 ≠ 29 = 403 mod 187

m=188: 278 mod 188 = 90 ≠ 27 = 403 mod 188

m=189: 278 mod 189 = 89 ≠ 25 = 403 mod 189

m=190: 278 mod 190 = 88 ≠ 23 = 403 mod 190

m=191: 278 mod 191 = 87 ≠ 21 = 403 mod 191

m=192: 278 mod 192 = 86 ≠ 19 = 403 mod 192

m=193: 278 mod 193 = 85 ≠ 17 = 403 mod 193

m=194: 278 mod 194 = 84 ≠ 15 = 403 mod 194

m=195: 278 mod 195 = 83 ≠ 13 = 403 mod 195

m=196: 278 mod 196 = 82 ≠ 11 = 403 mod 196

m=197: 278 mod 197 = 81 ≠ 9 = 403 mod 197

m=198: 278 mod 198 = 80 ≠ 7 = 403 mod 198

m=199: 278 mod 199 = 79 ≠ 5 = 403 mod 199

m=200: 278 mod 200 = 78 ≠ 3 = 403 mod 200

m=201: 278 mod 201 = 77 ≠ 1 = 403 mod 201

m=202: 278 mod 202 = 76 ≠ 201 = 403 mod 202

m=203: 278 mod 203 = 75 ≠ 200 = 403 mod 203

m=204: 278 mod 204 = 74 ≠ 199 = 403 mod 204

m=205: 278 mod 205 = 73 ≠ 198 = 403 mod 205

m=206: 278 mod 206 = 72 ≠ 197 = 403 mod 206

m=207: 278 mod 207 = 71 ≠ 196 = 403 mod 207

m=208: 278 mod 208 = 70 ≠ 195 = 403 mod 208

m=209: 278 mod 209 = 69 ≠ 194 = 403 mod 209

m=210: 278 mod 210 = 68 ≠ 193 = 403 mod 210

m=211: 278 mod 211 = 67 ≠ 192 = 403 mod 211

m=212: 278 mod 212 = 66 ≠ 191 = 403 mod 212

m=213: 278 mod 213 = 65 ≠ 190 = 403 mod 213

m=214: 278 mod 214 = 64 ≠ 189 = 403 mod 214

m=215: 278 mod 215 = 63 ≠ 188 = 403 mod 215

m=216: 278 mod 216 = 62 ≠ 187 = 403 mod 216

m=217: 278 mod 217 = 61 ≠ 186 = 403 mod 217

m=218: 278 mod 218 = 60 ≠ 185 = 403 mod 218

m=219: 278 mod 219 = 59 ≠ 184 = 403 mod 219

m=220: 278 mod 220 = 58 ≠ 183 = 403 mod 220

m=221: 278 mod 221 = 57 ≠ 182 = 403 mod 221

m=222: 278 mod 222 = 56 ≠ 181 = 403 mod 222

m=223: 278 mod 223 = 55 ≠ 180 = 403 mod 223

m=224: 278 mod 224 = 54 ≠ 179 = 403 mod 224

m=225: 278 mod 225 = 53 ≠ 178 = 403 mod 225

m=226: 278 mod 226 = 52 ≠ 177 = 403 mod 226

m=227: 278 mod 227 = 51 ≠ 176 = 403 mod 227

m=228: 278 mod 228 = 50 ≠ 175 = 403 mod 228

m=229: 278 mod 229 = 49 ≠ 174 = 403 mod 229

m=230: 278 mod 230 = 48 ≠ 173 = 403 mod 230

m=231: 278 mod 231 = 47 ≠ 172 = 403 mod 231

m=232: 278 mod 232 = 46 ≠ 171 = 403 mod 232

m=233: 278 mod 233 = 45 ≠ 170 = 403 mod 233

m=234: 278 mod 234 = 44 ≠ 169 = 403 mod 234

m=235: 278 mod 235 = 43 ≠ 168 = 403 mod 235

m=236: 278 mod 236 = 42 ≠ 167 = 403 mod 236

m=237: 278 mod 237 = 41 ≠ 166 = 403 mod 237

m=238: 278 mod 238 = 40 ≠ 165 = 403 mod 238

m=239: 278 mod 239 = 39 ≠ 164 = 403 mod 239

m=240: 278 mod 240 = 38 ≠ 163 = 403 mod 240

m=241: 278 mod 241 = 37 ≠ 162 = 403 mod 241

m=242: 278 mod 242 = 36 ≠ 161 = 403 mod 242

m=243: 278 mod 243 = 35 ≠ 160 = 403 mod 243

m=244: 278 mod 244 = 34 ≠ 159 = 403 mod 244

m=245: 278 mod 245 = 33 ≠ 158 = 403 mod 245

m=246: 278 mod 246 = 32 ≠ 157 = 403 mod 246

m=247: 278 mod 247 = 31 ≠ 156 = 403 mod 247

m=248: 278 mod 248 = 30 ≠ 155 = 403 mod 248

m=249: 278 mod 249 = 29 ≠ 154 = 403 mod 249

m=250: 278 mod 250 = 28 ≠ 153 = 403 mod 250

m=251: 278 mod 251 = 27 ≠ 152 = 403 mod 251

m=252: 278 mod 252 = 26 ≠ 151 = 403 mod 252

m=253: 278 mod 253 = 25 ≠ 150 = 403 mod 253

m=254: 278 mod 254 = 24 ≠ 149 = 403 mod 254

m=255: 278 mod 255 = 23 ≠ 148 = 403 mod 255

m=256: 278 mod 256 = 22 ≠ 147 = 403 mod 256

m=257: 278 mod 257 = 21 ≠ 146 = 403 mod 257

m=258: 278 mod 258 = 20 ≠ 145 = 403 mod 258

m=259: 278 mod 259 = 19 ≠ 144 = 403 mod 259

m=260: 278 mod 260 = 18 ≠ 143 = 403 mod 260

m=261: 278 mod 261 = 17 ≠ 142 = 403 mod 261

m=262: 278 mod 262 = 16 ≠ 141 = 403 mod 262

m=263: 278 mod 263 = 15 ≠ 140 = 403 mod 263

m=264: 278 mod 264 = 14 ≠ 139 = 403 mod 264

m=265: 278 mod 265 = 13 ≠ 138 = 403 mod 265

m=266: 278 mod 266 = 12 ≠ 137 = 403 mod 266

m=267: 278 mod 267 = 11 ≠ 136 = 403 mod 267

m=268: 278 mod 268 = 10 ≠ 135 = 403 mod 268

m=269: 278 mod 269 = 9 ≠ 134 = 403 mod 269

m=270: 278 mod 270 = 8 ≠ 133 = 403 mod 270

m=271: 278 mod 271 = 7 ≠ 132 = 403 mod 271

m=272: 278 mod 272 = 6 ≠ 131 = 403 mod 272

m=273: 278 mod 273 = 5 ≠ 130 = 403 mod 273

m=274: 278 mod 274 = 4 ≠ 129 = 403 mod 274

m=275: 278 mod 275 = 3 ≠ 128 = 403 mod 275

m=276: 278 mod 276 = 2 ≠ 127 = 403 mod 276

m=277: 278 mod 277 = 1 ≠ 126 = 403 mod 277

m=278: 278 mod 278 = 0 ≠ 125 = 403 mod 278

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (403 - 278) = 125 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25; 125