Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 9 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 27 = 6.

Somit gilt: 33 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 8 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 72 und erhalten so 78.

Somit gilt: 78 ≡ 33 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 - 1596) mod 4 ≡ (120 mod 4 - 1596 mod 4) mod 4.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1500+96 = 4 ⋅ 375 +96.

Somit gilt:

(120 - 1596) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 86) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 86 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

86 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 85 + 1 = 17 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 86) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 63 aus, ob zufällig 63 mod m = 93 mod m gilt:

m=2: 63 mod 2 = 1 = 1 = 93 mod 2

m=3: 63 mod 3 = 0 = 0 = 93 mod 3

m=4: 63 mod 4 = 3 ≠ 1 = 93 mod 4

m=5: 63 mod 5 = 3 = 3 = 93 mod 5

m=6: 63 mod 6 = 3 = 3 = 93 mod 6

m=7: 63 mod 7 = 0 ≠ 2 = 93 mod 7

m=8: 63 mod 8 = 7 ≠ 5 = 93 mod 8

m=9: 63 mod 9 = 0 ≠ 3 = 93 mod 9

m=10: 63 mod 10 = 3 = 3 = 93 mod 10

m=11: 63 mod 11 = 8 ≠ 5 = 93 mod 11

m=12: 63 mod 12 = 3 ≠ 9 = 93 mod 12

m=13: 63 mod 13 = 11 ≠ 2 = 93 mod 13

m=14: 63 mod 14 = 7 ≠ 9 = 93 mod 14

m=15: 63 mod 15 = 3 = 3 = 93 mod 15

m=16: 63 mod 16 = 15 ≠ 13 = 93 mod 16

m=17: 63 mod 17 = 12 ≠ 8 = 93 mod 17

m=18: 63 mod 18 = 9 ≠ 3 = 93 mod 18

m=19: 63 mod 19 = 6 ≠ 17 = 93 mod 19

m=20: 63 mod 20 = 3 ≠ 13 = 93 mod 20

m=21: 63 mod 21 = 0 ≠ 9 = 93 mod 21

m=22: 63 mod 22 = 19 ≠ 5 = 93 mod 22

m=23: 63 mod 23 = 17 ≠ 1 = 93 mod 23

m=24: 63 mod 24 = 15 ≠ 21 = 93 mod 24

m=25: 63 mod 25 = 13 ≠ 18 = 93 mod 25

m=26: 63 mod 26 = 11 ≠ 15 = 93 mod 26

m=27: 63 mod 27 = 9 ≠ 12 = 93 mod 27

m=28: 63 mod 28 = 7 ≠ 9 = 93 mod 28

m=29: 63 mod 29 = 5 ≠ 6 = 93 mod 29

m=30: 63 mod 30 = 3 = 3 = 93 mod 30

m=31: 63 mod 31 = 1 ≠ 0 = 93 mod 31

m=32: 63 mod 32 = 31 ≠ 29 = 93 mod 32

m=33: 63 mod 33 = 30 ≠ 27 = 93 mod 33

m=34: 63 mod 34 = 29 ≠ 25 = 93 mod 34

m=35: 63 mod 35 = 28 ≠ 23 = 93 mod 35

m=36: 63 mod 36 = 27 ≠ 21 = 93 mod 36

m=37: 63 mod 37 = 26 ≠ 19 = 93 mod 37

m=38: 63 mod 38 = 25 ≠ 17 = 93 mod 38

m=39: 63 mod 39 = 24 ≠ 15 = 93 mod 39

m=40: 63 mod 40 = 23 ≠ 13 = 93 mod 40

m=41: 63 mod 41 = 22 ≠ 11 = 93 mod 41

m=42: 63 mod 42 = 21 ≠ 9 = 93 mod 42

m=43: 63 mod 43 = 20 ≠ 7 = 93 mod 43

m=44: 63 mod 44 = 19 ≠ 5 = 93 mod 44

m=45: 63 mod 45 = 18 ≠ 3 = 93 mod 45

m=46: 63 mod 46 = 17 ≠ 1 = 93 mod 46

m=47: 63 mod 47 = 16 ≠ 46 = 93 mod 47

m=48: 63 mod 48 = 15 ≠ 45 = 93 mod 48

m=49: 63 mod 49 = 14 ≠ 44 = 93 mod 49

m=50: 63 mod 50 = 13 ≠ 43 = 93 mod 50

m=51: 63 mod 51 = 12 ≠ 42 = 93 mod 51

m=52: 63 mod 52 = 11 ≠ 41 = 93 mod 52

m=53: 63 mod 53 = 10 ≠ 40 = 93 mod 53

m=54: 63 mod 54 = 9 ≠ 39 = 93 mod 54

m=55: 63 mod 55 = 8 ≠ 38 = 93 mod 55

m=56: 63 mod 56 = 7 ≠ 37 = 93 mod 56

m=57: 63 mod 57 = 6 ≠ 36 = 93 mod 57

m=58: 63 mod 58 = 5 ≠ 35 = 93 mod 58

m=59: 63 mod 59 = 4 ≠ 34 = 93 mod 59

m=60: 63 mod 60 = 3 ≠ 33 = 93 mod 60

m=61: 63 mod 61 = 2 ≠ 32 = 93 mod 61

m=62: 63 mod 62 = 1 ≠ 31 = 93 mod 62

m=63: 63 mod 63 = 0 ≠ 30 = 93 mod 63

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (93 - 63) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30