Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 48 - 48 = 0.
Somit gilt: 48 mod 4 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 36 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 36, weil ja 12 ⋅ 3 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.
Somit gilt: 36 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3
Somit gilt: 81 ≡ 36 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4003 - 4000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4003 - 4000) mod 4 ≡ (4003 mod 4 - 4000 mod 4) mod 4.
4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
Somit gilt:
(4003 - 4000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 99) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 99) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 99 mod 3) mod 3.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 99) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
140 mod m = 190 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 140 aus, ob zufällig 140 mod m = 190 mod m gilt:
m=2: 140 mod 2 = 0 = 0 = 190 mod 2
m=3: 140 mod 3 = 2 ≠ 1 = 190 mod 3
m=4: 140 mod 4 = 0 ≠ 2 = 190 mod 4
m=5: 140 mod 5 = 0 = 0 = 190 mod 5
m=6: 140 mod 6 = 2 ≠ 4 = 190 mod 6
m=7: 140 mod 7 = 0 ≠ 1 = 190 mod 7
m=8: 140 mod 8 = 4 ≠ 6 = 190 mod 8
m=9: 140 mod 9 = 5 ≠ 1 = 190 mod 9
m=10: 140 mod 10 = 0 = 0 = 190 mod 10
m=11: 140 mod 11 = 8 ≠ 3 = 190 mod 11
m=12: 140 mod 12 = 8 ≠ 10 = 190 mod 12
m=13: 140 mod 13 = 10 ≠ 8 = 190 mod 13
m=14: 140 mod 14 = 0 ≠ 8 = 190 mod 14
m=15: 140 mod 15 = 5 ≠ 10 = 190 mod 15
m=16: 140 mod 16 = 12 ≠ 14 = 190 mod 16
m=17: 140 mod 17 = 4 ≠ 3 = 190 mod 17
m=18: 140 mod 18 = 14 ≠ 10 = 190 mod 18
m=19: 140 mod 19 = 7 ≠ 0 = 190 mod 19
m=20: 140 mod 20 = 0 ≠ 10 = 190 mod 20
m=21: 140 mod 21 = 14 ≠ 1 = 190 mod 21
m=22: 140 mod 22 = 8 ≠ 14 = 190 mod 22
m=23: 140 mod 23 = 2 ≠ 6 = 190 mod 23
m=24: 140 mod 24 = 20 ≠ 22 = 190 mod 24
m=25: 140 mod 25 = 15 = 15 = 190 mod 25
m=26: 140 mod 26 = 10 ≠ 8 = 190 mod 26
m=27: 140 mod 27 = 5 ≠ 1 = 190 mod 27
m=28: 140 mod 28 = 0 ≠ 22 = 190 mod 28
m=29: 140 mod 29 = 24 ≠ 16 = 190 mod 29
m=30: 140 mod 30 = 20 ≠ 10 = 190 mod 30
m=31: 140 mod 31 = 16 ≠ 4 = 190 mod 31
m=32: 140 mod 32 = 12 ≠ 30 = 190 mod 32
m=33: 140 mod 33 = 8 ≠ 25 = 190 mod 33
m=34: 140 mod 34 = 4 ≠ 20 = 190 mod 34
m=35: 140 mod 35 = 0 ≠ 15 = 190 mod 35
m=36: 140 mod 36 = 32 ≠ 10 = 190 mod 36
m=37: 140 mod 37 = 29 ≠ 5 = 190 mod 37
m=38: 140 mod 38 = 26 ≠ 0 = 190 mod 38
m=39: 140 mod 39 = 23 ≠ 34 = 190 mod 39
m=40: 140 mod 40 = 20 ≠ 30 = 190 mod 40
m=41: 140 mod 41 = 17 ≠ 26 = 190 mod 41
m=42: 140 mod 42 = 14 ≠ 22 = 190 mod 42
m=43: 140 mod 43 = 11 ≠ 18 = 190 mod 43
m=44: 140 mod 44 = 8 ≠ 14 = 190 mod 44
m=45: 140 mod 45 = 5 ≠ 10 = 190 mod 45
m=46: 140 mod 46 = 2 ≠ 6 = 190 mod 46
m=47: 140 mod 47 = 46 ≠ 2 = 190 mod 47
m=48: 140 mod 48 = 44 ≠ 46 = 190 mod 48
m=49: 140 mod 49 = 42 ≠ 43 = 190 mod 49
m=50: 140 mod 50 = 40 = 40 = 190 mod 50
m=51: 140 mod 51 = 38 ≠ 37 = 190 mod 51
m=52: 140 mod 52 = 36 ≠ 34 = 190 mod 52
m=53: 140 mod 53 = 34 ≠ 31 = 190 mod 53
m=54: 140 mod 54 = 32 ≠ 28 = 190 mod 54
m=55: 140 mod 55 = 30 ≠ 25 = 190 mod 55
m=56: 140 mod 56 = 28 ≠ 22 = 190 mod 56
m=57: 140 mod 57 = 26 ≠ 19 = 190 mod 57
m=58: 140 mod 58 = 24 ≠ 16 = 190 mod 58
m=59: 140 mod 59 = 22 ≠ 13 = 190 mod 59
m=60: 140 mod 60 = 20 ≠ 10 = 190 mod 60
m=61: 140 mod 61 = 18 ≠ 7 = 190 mod 61
m=62: 140 mod 62 = 16 ≠ 4 = 190 mod 62
m=63: 140 mod 63 = 14 ≠ 1 = 190 mod 63
m=64: 140 mod 64 = 12 ≠ 62 = 190 mod 64
m=65: 140 mod 65 = 10 ≠ 60 = 190 mod 65
m=66: 140 mod 66 = 8 ≠ 58 = 190 mod 66
m=67: 140 mod 67 = 6 ≠ 56 = 190 mod 67
m=68: 140 mod 68 = 4 ≠ 54 = 190 mod 68
m=69: 140 mod 69 = 2 ≠ 52 = 190 mod 69
m=70: 140 mod 70 = 0 ≠ 50 = 190 mod 70
m=71: 140 mod 71 = 69 ≠ 48 = 190 mod 71
m=72: 140 mod 72 = 68 ≠ 46 = 190 mod 72
m=73: 140 mod 73 = 67 ≠ 44 = 190 mod 73
m=74: 140 mod 74 = 66 ≠ 42 = 190 mod 74
m=75: 140 mod 75 = 65 ≠ 40 = 190 mod 75
m=76: 140 mod 76 = 64 ≠ 38 = 190 mod 76
m=77: 140 mod 77 = 63 ≠ 36 = 190 mod 77
m=78: 140 mod 78 = 62 ≠ 34 = 190 mod 78
m=79: 140 mod 79 = 61 ≠ 32 = 190 mod 79
m=80: 140 mod 80 = 60 ≠ 30 = 190 mod 80
m=81: 140 mod 81 = 59 ≠ 28 = 190 mod 81
m=82: 140 mod 82 = 58 ≠ 26 = 190 mod 82
m=83: 140 mod 83 = 57 ≠ 24 = 190 mod 83
m=84: 140 mod 84 = 56 ≠ 22 = 190 mod 84
m=85: 140 mod 85 = 55 ≠ 20 = 190 mod 85
m=86: 140 mod 86 = 54 ≠ 18 = 190 mod 86
m=87: 140 mod 87 = 53 ≠ 16 = 190 mod 87
m=88: 140 mod 88 = 52 ≠ 14 = 190 mod 88
m=89: 140 mod 89 = 51 ≠ 12 = 190 mod 89
m=90: 140 mod 90 = 50 ≠ 10 = 190 mod 90
m=91: 140 mod 91 = 49 ≠ 8 = 190 mod 91
m=92: 140 mod 92 = 48 ≠ 6 = 190 mod 92
m=93: 140 mod 93 = 47 ≠ 4 = 190 mod 93
m=94: 140 mod 94 = 46 ≠ 2 = 190 mod 94
m=95: 140 mod 95 = 45 ≠ 0 = 190 mod 95
m=96: 140 mod 96 = 44 ≠ 94 = 190 mod 96
m=97: 140 mod 97 = 43 ≠ 93 = 190 mod 97
m=98: 140 mod 98 = 42 ≠ 92 = 190 mod 98
m=99: 140 mod 99 = 41 ≠ 91 = 190 mod 99
m=100: 140 mod 100 = 40 ≠ 90 = 190 mod 100
m=101: 140 mod 101 = 39 ≠ 89 = 190 mod 101
m=102: 140 mod 102 = 38 ≠ 88 = 190 mod 102
m=103: 140 mod 103 = 37 ≠ 87 = 190 mod 103
m=104: 140 mod 104 = 36 ≠ 86 = 190 mod 104
m=105: 140 mod 105 = 35 ≠ 85 = 190 mod 105
m=106: 140 mod 106 = 34 ≠ 84 = 190 mod 106
m=107: 140 mod 107 = 33 ≠ 83 = 190 mod 107
m=108: 140 mod 108 = 32 ≠ 82 = 190 mod 108
m=109: 140 mod 109 = 31 ≠ 81 = 190 mod 109
m=110: 140 mod 110 = 30 ≠ 80 = 190 mod 110
m=111: 140 mod 111 = 29 ≠ 79 = 190 mod 111
m=112: 140 mod 112 = 28 ≠ 78 = 190 mod 112
m=113: 140 mod 113 = 27 ≠ 77 = 190 mod 113
m=114: 140 mod 114 = 26 ≠ 76 = 190 mod 114
m=115: 140 mod 115 = 25 ≠ 75 = 190 mod 115
m=116: 140 mod 116 = 24 ≠ 74 = 190 mod 116
m=117: 140 mod 117 = 23 ≠ 73 = 190 mod 117
m=118: 140 mod 118 = 22 ≠ 72 = 190 mod 118
m=119: 140 mod 119 = 21 ≠ 71 = 190 mod 119
m=120: 140 mod 120 = 20 ≠ 70 = 190 mod 120
m=121: 140 mod 121 = 19 ≠ 69 = 190 mod 121
m=122: 140 mod 122 = 18 ≠ 68 = 190 mod 122
m=123: 140 mod 123 = 17 ≠ 67 = 190 mod 123
m=124: 140 mod 124 = 16 ≠ 66 = 190 mod 124
m=125: 140 mod 125 = 15 ≠ 65 = 190 mod 125
m=126: 140 mod 126 = 14 ≠ 64 = 190 mod 126
m=127: 140 mod 127 = 13 ≠ 63 = 190 mod 127
m=128: 140 mod 128 = 12 ≠ 62 = 190 mod 128
m=129: 140 mod 129 = 11 ≠ 61 = 190 mod 129
m=130: 140 mod 130 = 10 ≠ 60 = 190 mod 130
m=131: 140 mod 131 = 9 ≠ 59 = 190 mod 131
m=132: 140 mod 132 = 8 ≠ 58 = 190 mod 132
m=133: 140 mod 133 = 7 ≠ 57 = 190 mod 133
m=134: 140 mod 134 = 6 ≠ 56 = 190 mod 134
m=135: 140 mod 135 = 5 ≠ 55 = 190 mod 135
m=136: 140 mod 136 = 4 ≠ 54 = 190 mod 136
m=137: 140 mod 137 = 3 ≠ 53 = 190 mod 137
m=138: 140 mod 138 = 2 ≠ 52 = 190 mod 138
m=139: 140 mod 139 = 1 ≠ 51 = 190 mod 139
m=140: 140 mod 140 = 0 ≠ 50 = 190 mod 140
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (190 - 140) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
