Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 80 = 9.

Somit gilt: 89 mod 10 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 96 = 4.

Somit gilt: 100 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 9 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 72 und erhalten so 76.

Somit gilt: 76 ≡ 100 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25002 + 14997) mod 5 ≡ (25002 mod 5 + 14997 mod 5) mod 5.

25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002 = 25000+2 = 5 ⋅ 5000 +2.

14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 14000+997 = 5 ⋅ 2800 +997.

Somit gilt:

(25002 + 14997) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 87) mod 7 ≡ (99 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

99 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 98 + 1 = 14 ⋅ 7 + 1 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 87) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:

m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2

m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3

m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4

m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5

m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6

m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7

m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8

m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9

m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10

m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11

m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12

m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13

m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14

m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15

m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6