Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 35 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 30 = 5.
Somit gilt: 35 mod 10 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 40 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 35 = 5.
Somit gilt: 40 mod 7 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 3 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 21 und erhalten so 26.
Somit gilt: 26 ≡ 40 ≡ 5 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26991 + 355) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26991 + 355) mod 9 ≡ (26991 mod 9 + 355 mod 9) mod 9.
26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991
= 27000
355 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355
= 360
Somit gilt:
(26991 + 355) mod 9 ≡ (0 + 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 48) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 48) mod 3 ≡ (85 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.
85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.
48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 48) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6