Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.
Somit gilt: 89 mod 7 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 75 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 75 - 75 = 0.
Somit gilt: 75 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3
Somit gilt: 60 ≡ 75 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20000 + 4004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20000 + 4004) mod 4 ≡ (20000 mod 4 + 4004 mod 4) mod 4.
20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
Somit gilt:
(20000 + 4004) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 89) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 89) mod 11 ≡ (10 ⋅ 1) mod 11 ≡ 10 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 25 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6