Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 40 = 9.

Somit gilt: 49 mod 10 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Somit gilt: 90 ≡ 72 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3001 - 61) mod 3 ≡ (3001 mod 3 - 61 mod 3) mod 3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(3001 - 61) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 58) mod 8 ≡ (63 mod 8 ⋅ 58 mod 8) mod 8.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 58) mod 8 ≡ (7 ⋅ 2) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 178 aus, ob zufällig 178 mod m = 228 mod m gilt:

m=2: 178 mod 2 = 0 = 0 = 228 mod 2

m=3: 178 mod 3 = 1 ≠ 0 = 228 mod 3

m=4: 178 mod 4 = 2 ≠ 0 = 228 mod 4

m=5: 178 mod 5 = 3 = 3 = 228 mod 5

m=6: 178 mod 6 = 4 ≠ 0 = 228 mod 6

m=7: 178 mod 7 = 3 ≠ 4 = 228 mod 7

m=8: 178 mod 8 = 2 ≠ 4 = 228 mod 8

m=9: 178 mod 9 = 7 ≠ 3 = 228 mod 9

m=10: 178 mod 10 = 8 = 8 = 228 mod 10

m=11: 178 mod 11 = 2 ≠ 8 = 228 mod 11

m=12: 178 mod 12 = 10 ≠ 0 = 228 mod 12

m=13: 178 mod 13 = 9 ≠ 7 = 228 mod 13

m=14: 178 mod 14 = 10 ≠ 4 = 228 mod 14

m=15: 178 mod 15 = 13 ≠ 3 = 228 mod 15

m=16: 178 mod 16 = 2 ≠ 4 = 228 mod 16

m=17: 178 mod 17 = 8 ≠ 7 = 228 mod 17

m=18: 178 mod 18 = 16 ≠ 12 = 228 mod 18

m=19: 178 mod 19 = 7 ≠ 0 = 228 mod 19

m=20: 178 mod 20 = 18 ≠ 8 = 228 mod 20

m=21: 178 mod 21 = 10 ≠ 18 = 228 mod 21

m=22: 178 mod 22 = 2 ≠ 8 = 228 mod 22

m=23: 178 mod 23 = 17 ≠ 21 = 228 mod 23

m=24: 178 mod 24 = 10 ≠ 12 = 228 mod 24

m=25: 178 mod 25 = 3 = 3 = 228 mod 25

m=26: 178 mod 26 = 22 ≠ 20 = 228 mod 26

m=27: 178 mod 27 = 16 ≠ 12 = 228 mod 27

m=28: 178 mod 28 = 10 ≠ 4 = 228 mod 28

m=29: 178 mod 29 = 4 ≠ 25 = 228 mod 29

m=30: 178 mod 30 = 28 ≠ 18 = 228 mod 30

m=31: 178 mod 31 = 23 ≠ 11 = 228 mod 31

m=32: 178 mod 32 = 18 ≠ 4 = 228 mod 32

m=33: 178 mod 33 = 13 ≠ 30 = 228 mod 33

m=34: 178 mod 34 = 8 ≠ 24 = 228 mod 34

m=35: 178 mod 35 = 3 ≠ 18 = 228 mod 35

m=36: 178 mod 36 = 34 ≠ 12 = 228 mod 36

m=37: 178 mod 37 = 30 ≠ 6 = 228 mod 37

m=38: 178 mod 38 = 26 ≠ 0 = 228 mod 38

m=39: 178 mod 39 = 22 ≠ 33 = 228 mod 39

m=40: 178 mod 40 = 18 ≠ 28 = 228 mod 40

m=41: 178 mod 41 = 14 ≠ 23 = 228 mod 41

m=42: 178 mod 42 = 10 ≠ 18 = 228 mod 42

m=43: 178 mod 43 = 6 ≠ 13 = 228 mod 43

m=44: 178 mod 44 = 2 ≠ 8 = 228 mod 44

m=45: 178 mod 45 = 43 ≠ 3 = 228 mod 45

m=46: 178 mod 46 = 40 ≠ 44 = 228 mod 46

m=47: 178 mod 47 = 37 ≠ 40 = 228 mod 47

m=48: 178 mod 48 = 34 ≠ 36 = 228 mod 48

m=49: 178 mod 49 = 31 ≠ 32 = 228 mod 49

m=50: 178 mod 50 = 28 = 28 = 228 mod 50

m=51: 178 mod 51 = 25 ≠ 24 = 228 mod 51

m=52: 178 mod 52 = 22 ≠ 20 = 228 mod 52

m=53: 178 mod 53 = 19 ≠ 16 = 228 mod 53

m=54: 178 mod 54 = 16 ≠ 12 = 228 mod 54

m=55: 178 mod 55 = 13 ≠ 8 = 228 mod 55

m=56: 178 mod 56 = 10 ≠ 4 = 228 mod 56

m=57: 178 mod 57 = 7 ≠ 0 = 228 mod 57

m=58: 178 mod 58 = 4 ≠ 54 = 228 mod 58

m=59: 178 mod 59 = 1 ≠ 51 = 228 mod 59

m=60: 178 mod 60 = 58 ≠ 48 = 228 mod 60

m=61: 178 mod 61 = 56 ≠ 45 = 228 mod 61

m=62: 178 mod 62 = 54 ≠ 42 = 228 mod 62

m=63: 178 mod 63 = 52 ≠ 39 = 228 mod 63

m=64: 178 mod 64 = 50 ≠ 36 = 228 mod 64

m=65: 178 mod 65 = 48 ≠ 33 = 228 mod 65

m=66: 178 mod 66 = 46 ≠ 30 = 228 mod 66

m=67: 178 mod 67 = 44 ≠ 27 = 228 mod 67

m=68: 178 mod 68 = 42 ≠ 24 = 228 mod 68

m=69: 178 mod 69 = 40 ≠ 21 = 228 mod 69

m=70: 178 mod 70 = 38 ≠ 18 = 228 mod 70

m=71: 178 mod 71 = 36 ≠ 15 = 228 mod 71

m=72: 178 mod 72 = 34 ≠ 12 = 228 mod 72

m=73: 178 mod 73 = 32 ≠ 9 = 228 mod 73

m=74: 178 mod 74 = 30 ≠ 6 = 228 mod 74

m=75: 178 mod 75 = 28 ≠ 3 = 228 mod 75

m=76: 178 mod 76 = 26 ≠ 0 = 228 mod 76

m=77: 178 mod 77 = 24 ≠ 74 = 228 mod 77

m=78: 178 mod 78 = 22 ≠ 72 = 228 mod 78

m=79: 178 mod 79 = 20 ≠ 70 = 228 mod 79

m=80: 178 mod 80 = 18 ≠ 68 = 228 mod 80

m=81: 178 mod 81 = 16 ≠ 66 = 228 mod 81

m=82: 178 mod 82 = 14 ≠ 64 = 228 mod 82

m=83: 178 mod 83 = 12 ≠ 62 = 228 mod 83

m=84: 178 mod 84 = 10 ≠ 60 = 228 mod 84

m=85: 178 mod 85 = 8 ≠ 58 = 228 mod 85

m=86: 178 mod 86 = 6 ≠ 56 = 228 mod 86

m=87: 178 mod 87 = 4 ≠ 54 = 228 mod 87

m=88: 178 mod 88 = 2 ≠ 52 = 228 mod 88

m=89: 178 mod 89 = 0 ≠ 50 = 228 mod 89

m=90: 178 mod 90 = 88 ≠ 48 = 228 mod 90

m=91: 178 mod 91 = 87 ≠ 46 = 228 mod 91

m=92: 178 mod 92 = 86 ≠ 44 = 228 mod 92

m=93: 178 mod 93 = 85 ≠ 42 = 228 mod 93

m=94: 178 mod 94 = 84 ≠ 40 = 228 mod 94

m=95: 178 mod 95 = 83 ≠ 38 = 228 mod 95

m=96: 178 mod 96 = 82 ≠ 36 = 228 mod 96

m=97: 178 mod 97 = 81 ≠ 34 = 228 mod 97

m=98: 178 mod 98 = 80 ≠ 32 = 228 mod 98

m=99: 178 mod 99 = 79 ≠ 30 = 228 mod 99

m=100: 178 mod 100 = 78 ≠ 28 = 228 mod 100

m=101: 178 mod 101 = 77 ≠ 26 = 228 mod 101

m=102: 178 mod 102 = 76 ≠ 24 = 228 mod 102

m=103: 178 mod 103 = 75 ≠ 22 = 228 mod 103

m=104: 178 mod 104 = 74 ≠ 20 = 228 mod 104

m=105: 178 mod 105 = 73 ≠ 18 = 228 mod 105

m=106: 178 mod 106 = 72 ≠ 16 = 228 mod 106

m=107: 178 mod 107 = 71 ≠ 14 = 228 mod 107

m=108: 178 mod 108 = 70 ≠ 12 = 228 mod 108

m=109: 178 mod 109 = 69 ≠ 10 = 228 mod 109

m=110: 178 mod 110 = 68 ≠ 8 = 228 mod 110

m=111: 178 mod 111 = 67 ≠ 6 = 228 mod 111

m=112: 178 mod 112 = 66 ≠ 4 = 228 mod 112

m=113: 178 mod 113 = 65 ≠ 2 = 228 mod 113

m=114: 178 mod 114 = 64 ≠ 0 = 228 mod 114

m=115: 178 mod 115 = 63 ≠ 113 = 228 mod 115

m=116: 178 mod 116 = 62 ≠ 112 = 228 mod 116

m=117: 178 mod 117 = 61 ≠ 111 = 228 mod 117

m=118: 178 mod 118 = 60 ≠ 110 = 228 mod 118

m=119: 178 mod 119 = 59 ≠ 109 = 228 mod 119

m=120: 178 mod 120 = 58 ≠ 108 = 228 mod 120

m=121: 178 mod 121 = 57 ≠ 107 = 228 mod 121

m=122: 178 mod 122 = 56 ≠ 106 = 228 mod 122

m=123: 178 mod 123 = 55 ≠ 105 = 228 mod 123

m=124: 178 mod 124 = 54 ≠ 104 = 228 mod 124

m=125: 178 mod 125 = 53 ≠ 103 = 228 mod 125

m=126: 178 mod 126 = 52 ≠ 102 = 228 mod 126

m=127: 178 mod 127 = 51 ≠ 101 = 228 mod 127

m=128: 178 mod 128 = 50 ≠ 100 = 228 mod 128

m=129: 178 mod 129 = 49 ≠ 99 = 228 mod 129

m=130: 178 mod 130 = 48 ≠ 98 = 228 mod 130

m=131: 178 mod 131 = 47 ≠ 97 = 228 mod 131

m=132: 178 mod 132 = 46 ≠ 96 = 228 mod 132

m=133: 178 mod 133 = 45 ≠ 95 = 228 mod 133

m=134: 178 mod 134 = 44 ≠ 94 = 228 mod 134

m=135: 178 mod 135 = 43 ≠ 93 = 228 mod 135

m=136: 178 mod 136 = 42 ≠ 92 = 228 mod 136

m=137: 178 mod 137 = 41 ≠ 91 = 228 mod 137

m=138: 178 mod 138 = 40 ≠ 90 = 228 mod 138

m=139: 178 mod 139 = 39 ≠ 89 = 228 mod 139

m=140: 178 mod 140 = 38 ≠ 88 = 228 mod 140

m=141: 178 mod 141 = 37 ≠ 87 = 228 mod 141

m=142: 178 mod 142 = 36 ≠ 86 = 228 mod 142

m=143: 178 mod 143 = 35 ≠ 85 = 228 mod 143

m=144: 178 mod 144 = 34 ≠ 84 = 228 mod 144

m=145: 178 mod 145 = 33 ≠ 83 = 228 mod 145

m=146: 178 mod 146 = 32 ≠ 82 = 228 mod 146

m=147: 178 mod 147 = 31 ≠ 81 = 228 mod 147

m=148: 178 mod 148 = 30 ≠ 80 = 228 mod 148

m=149: 178 mod 149 = 29 ≠ 79 = 228 mod 149

m=150: 178 mod 150 = 28 ≠ 78 = 228 mod 150

m=151: 178 mod 151 = 27 ≠ 77 = 228 mod 151

m=152: 178 mod 152 = 26 ≠ 76 = 228 mod 152

m=153: 178 mod 153 = 25 ≠ 75 = 228 mod 153

m=154: 178 mod 154 = 24 ≠ 74 = 228 mod 154

m=155: 178 mod 155 = 23 ≠ 73 = 228 mod 155

m=156: 178 mod 156 = 22 ≠ 72 = 228 mod 156

m=157: 178 mod 157 = 21 ≠ 71 = 228 mod 157

m=158: 178 mod 158 = 20 ≠ 70 = 228 mod 158

m=159: 178 mod 159 = 19 ≠ 69 = 228 mod 159

m=160: 178 mod 160 = 18 ≠ 68 = 228 mod 160

m=161: 178 mod 161 = 17 ≠ 67 = 228 mod 161

m=162: 178 mod 162 = 16 ≠ 66 = 228 mod 162

m=163: 178 mod 163 = 15 ≠ 65 = 228 mod 163

m=164: 178 mod 164 = 14 ≠ 64 = 228 mod 164

m=165: 178 mod 165 = 13 ≠ 63 = 228 mod 165

m=166: 178 mod 166 = 12 ≠ 62 = 228 mod 166

m=167: 178 mod 167 = 11 ≠ 61 = 228 mod 167

m=168: 178 mod 168 = 10 ≠ 60 = 228 mod 168

m=169: 178 mod 169 = 9 ≠ 59 = 228 mod 169

m=170: 178 mod 170 = 8 ≠ 58 = 228 mod 170

m=171: 178 mod 171 = 7 ≠ 57 = 228 mod 171

m=172: 178 mod 172 = 6 ≠ 56 = 228 mod 172

m=173: 178 mod 173 = 5 ≠ 55 = 228 mod 173

m=174: 178 mod 174 = 4 ≠ 54 = 228 mod 174

m=175: 178 mod 175 = 3 ≠ 53 = 228 mod 175

m=176: 178 mod 176 = 2 ≠ 52 = 228 mod 176

m=177: 178 mod 177 = 1 ≠ 51 = 228 mod 177

m=178: 178 mod 178 = 0 ≠ 50 = 228 mod 178

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (228 - 178) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50