Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 10 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 55 = 4.

Somit gilt: 59 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 11 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 59 ≡ 4 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 + 37) mod 4 ≡ (12003 mod 4 + 37 mod 4) mod 4.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 40-3 = 4 ⋅ 10 -3 = 4 ⋅ 10 - 4 + 1.

Somit gilt:

(12003 + 37) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 57) mod 5 ≡ (67 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.

67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 57) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6