Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.

Somit gilt: 33 mod 6 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 10 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 1 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 1 mod 10 sein, also addieren wir noch 1 auf die 40 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 61 ≡ 1 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(499 - 19998) mod 5 ≡ (499 mod 5 - 19998 mod 5) mod 5.

499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499 = 400+99 = 5 ⋅ 80 +99.

19998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 5 ⋅ 3800 +998.

Somit gilt:

(499 - 19998) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 22) mod 11 ≡ (95 mod 11 ⋅ 22 mod 11) mod 11.

95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.

22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 22) mod 11 ≡ (7 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6