Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 25 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.
Somit gilt: 25 mod 8 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 56 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.
Somit gilt: 56 mod 11 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 11 und erhalten so 12.
Somit gilt: 12 ≡ 56 ≡ 1 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35002 + 34998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35002 + 34998) mod 7 ≡ (35002 mod 7 + 34998 mod 7) mod 7.
35002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35002
= 35000
34998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34998
= 35000
Somit gilt:
(35002 + 34998) mod 7 ≡ (2 + 5) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 43) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 43) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 43 mod 6) mod 6.
81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.
43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 43) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
9 mod m = 13 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:
m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2
m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3
m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4
m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5
m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6
m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7
m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8
m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
