Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 96, weil ja 24 ⋅ 4 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.

Somit gilt: 34 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 78 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 34 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 + 1199) mod 6 ≡ (240 mod 6 + 1199 mod 6) mod 6.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 6 ⋅ 200 -1 = 6 ⋅ 200 - 6 + 5.

Somit gilt:

(240 + 1199) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 55) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 55 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 55) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4