Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 55 = 5.

Somit gilt: 60 mod 11 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.

Somit gilt: 36 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 36 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1503 - 302) mod 3 ≡ (1503 mod 3 - 302 mod 3) mod 3.

1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 3 ⋅ 500 +3.

302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302 = 300+2 = 3 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(1503 - 302) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 21) mod 11 ≡ (29 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.

29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.

21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 21) mod 11 ≡ (7 ⋅ 10) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 148 aus, ob zufällig 148 mod m = 193 mod m gilt:

m=2: 148 mod 2 = 0 ≠ 1 = 193 mod 2

m=3: 148 mod 3 = 1 = 1 = 193 mod 3

m=4: 148 mod 4 = 0 ≠ 1 = 193 mod 4

m=5: 148 mod 5 = 3 = 3 = 193 mod 5

m=6: 148 mod 6 = 4 ≠ 1 = 193 mod 6

m=7: 148 mod 7 = 1 ≠ 4 = 193 mod 7

m=8: 148 mod 8 = 4 ≠ 1 = 193 mod 8

m=9: 148 mod 9 = 4 = 4 = 193 mod 9

m=10: 148 mod 10 = 8 ≠ 3 = 193 mod 10

m=11: 148 mod 11 = 5 ≠ 6 = 193 mod 11

m=12: 148 mod 12 = 4 ≠ 1 = 193 mod 12

m=13: 148 mod 13 = 5 ≠ 11 = 193 mod 13

m=14: 148 mod 14 = 8 ≠ 11 = 193 mod 14

m=15: 148 mod 15 = 13 = 13 = 193 mod 15

m=16: 148 mod 16 = 4 ≠ 1 = 193 mod 16

m=17: 148 mod 17 = 12 ≠ 6 = 193 mod 17

m=18: 148 mod 18 = 4 ≠ 13 = 193 mod 18

m=19: 148 mod 19 = 15 ≠ 3 = 193 mod 19

m=20: 148 mod 20 = 8 ≠ 13 = 193 mod 20

m=21: 148 mod 21 = 1 ≠ 4 = 193 mod 21

m=22: 148 mod 22 = 16 ≠ 17 = 193 mod 22

m=23: 148 mod 23 = 10 ≠ 9 = 193 mod 23

m=24: 148 mod 24 = 4 ≠ 1 = 193 mod 24

m=25: 148 mod 25 = 23 ≠ 18 = 193 mod 25

m=26: 148 mod 26 = 18 ≠ 11 = 193 mod 26

m=27: 148 mod 27 = 13 ≠ 4 = 193 mod 27

m=28: 148 mod 28 = 8 ≠ 25 = 193 mod 28

m=29: 148 mod 29 = 3 ≠ 19 = 193 mod 29

m=30: 148 mod 30 = 28 ≠ 13 = 193 mod 30

m=31: 148 mod 31 = 24 ≠ 7 = 193 mod 31

m=32: 148 mod 32 = 20 ≠ 1 = 193 mod 32

m=33: 148 mod 33 = 16 ≠ 28 = 193 mod 33

m=34: 148 mod 34 = 12 ≠ 23 = 193 mod 34

m=35: 148 mod 35 = 8 ≠ 18 = 193 mod 35

m=36: 148 mod 36 = 4 ≠ 13 = 193 mod 36

m=37: 148 mod 37 = 0 ≠ 8 = 193 mod 37

m=38: 148 mod 38 = 34 ≠ 3 = 193 mod 38

m=39: 148 mod 39 = 31 ≠ 37 = 193 mod 39

m=40: 148 mod 40 = 28 ≠ 33 = 193 mod 40

m=41: 148 mod 41 = 25 ≠ 29 = 193 mod 41

m=42: 148 mod 42 = 22 ≠ 25 = 193 mod 42

m=43: 148 mod 43 = 19 ≠ 21 = 193 mod 43

m=44: 148 mod 44 = 16 ≠ 17 = 193 mod 44

m=45: 148 mod 45 = 13 = 13 = 193 mod 45

m=46: 148 mod 46 = 10 ≠ 9 = 193 mod 46

m=47: 148 mod 47 = 7 ≠ 5 = 193 mod 47

m=48: 148 mod 48 = 4 ≠ 1 = 193 mod 48

m=49: 148 mod 49 = 1 ≠ 46 = 193 mod 49

m=50: 148 mod 50 = 48 ≠ 43 = 193 mod 50

m=51: 148 mod 51 = 46 ≠ 40 = 193 mod 51

m=52: 148 mod 52 = 44 ≠ 37 = 193 mod 52

m=53: 148 mod 53 = 42 ≠ 34 = 193 mod 53

m=54: 148 mod 54 = 40 ≠ 31 = 193 mod 54

m=55: 148 mod 55 = 38 ≠ 28 = 193 mod 55

m=56: 148 mod 56 = 36 ≠ 25 = 193 mod 56

m=57: 148 mod 57 = 34 ≠ 22 = 193 mod 57

m=58: 148 mod 58 = 32 ≠ 19 = 193 mod 58

m=59: 148 mod 59 = 30 ≠ 16 = 193 mod 59

m=60: 148 mod 60 = 28 ≠ 13 = 193 mod 60

m=61: 148 mod 61 = 26 ≠ 10 = 193 mod 61

m=62: 148 mod 62 = 24 ≠ 7 = 193 mod 62

m=63: 148 mod 63 = 22 ≠ 4 = 193 mod 63

m=64: 148 mod 64 = 20 ≠ 1 = 193 mod 64

m=65: 148 mod 65 = 18 ≠ 63 = 193 mod 65

m=66: 148 mod 66 = 16 ≠ 61 = 193 mod 66

m=67: 148 mod 67 = 14 ≠ 59 = 193 mod 67

m=68: 148 mod 68 = 12 ≠ 57 = 193 mod 68

m=69: 148 mod 69 = 10 ≠ 55 = 193 mod 69

m=70: 148 mod 70 = 8 ≠ 53 = 193 mod 70

m=71: 148 mod 71 = 6 ≠ 51 = 193 mod 71

m=72: 148 mod 72 = 4 ≠ 49 = 193 mod 72

m=73: 148 mod 73 = 2 ≠ 47 = 193 mod 73

m=74: 148 mod 74 = 0 ≠ 45 = 193 mod 74

m=75: 148 mod 75 = 73 ≠ 43 = 193 mod 75

m=76: 148 mod 76 = 72 ≠ 41 = 193 mod 76

m=77: 148 mod 77 = 71 ≠ 39 = 193 mod 77

m=78: 148 mod 78 = 70 ≠ 37 = 193 mod 78

m=79: 148 mod 79 = 69 ≠ 35 = 193 mod 79

m=80: 148 mod 80 = 68 ≠ 33 = 193 mod 80

m=81: 148 mod 81 = 67 ≠ 31 = 193 mod 81

m=82: 148 mod 82 = 66 ≠ 29 = 193 mod 82

m=83: 148 mod 83 = 65 ≠ 27 = 193 mod 83

m=84: 148 mod 84 = 64 ≠ 25 = 193 mod 84

m=85: 148 mod 85 = 63 ≠ 23 = 193 mod 85

m=86: 148 mod 86 = 62 ≠ 21 = 193 mod 86

m=87: 148 mod 87 = 61 ≠ 19 = 193 mod 87

m=88: 148 mod 88 = 60 ≠ 17 = 193 mod 88

m=89: 148 mod 89 = 59 ≠ 15 = 193 mod 89

m=90: 148 mod 90 = 58 ≠ 13 = 193 mod 90

m=91: 148 mod 91 = 57 ≠ 11 = 193 mod 91

m=92: 148 mod 92 = 56 ≠ 9 = 193 mod 92

m=93: 148 mod 93 = 55 ≠ 7 = 193 mod 93

m=94: 148 mod 94 = 54 ≠ 5 = 193 mod 94

m=95: 148 mod 95 = 53 ≠ 3 = 193 mod 95

m=96: 148 mod 96 = 52 ≠ 1 = 193 mod 96

m=97: 148 mod 97 = 51 ≠ 96 = 193 mod 97

m=98: 148 mod 98 = 50 ≠ 95 = 193 mod 98

m=99: 148 mod 99 = 49 ≠ 94 = 193 mod 99

m=100: 148 mod 100 = 48 ≠ 93 = 193 mod 100

m=101: 148 mod 101 = 47 ≠ 92 = 193 mod 101

m=102: 148 mod 102 = 46 ≠ 91 = 193 mod 102

m=103: 148 mod 103 = 45 ≠ 90 = 193 mod 103

m=104: 148 mod 104 = 44 ≠ 89 = 193 mod 104

m=105: 148 mod 105 = 43 ≠ 88 = 193 mod 105

m=106: 148 mod 106 = 42 ≠ 87 = 193 mod 106

m=107: 148 mod 107 = 41 ≠ 86 = 193 mod 107

m=108: 148 mod 108 = 40 ≠ 85 = 193 mod 108

m=109: 148 mod 109 = 39 ≠ 84 = 193 mod 109

m=110: 148 mod 110 = 38 ≠ 83 = 193 mod 110

m=111: 148 mod 111 = 37 ≠ 82 = 193 mod 111

m=112: 148 mod 112 = 36 ≠ 81 = 193 mod 112

m=113: 148 mod 113 = 35 ≠ 80 = 193 mod 113

m=114: 148 mod 114 = 34 ≠ 79 = 193 mod 114

m=115: 148 mod 115 = 33 ≠ 78 = 193 mod 115

m=116: 148 mod 116 = 32 ≠ 77 = 193 mod 116

m=117: 148 mod 117 = 31 ≠ 76 = 193 mod 117

m=118: 148 mod 118 = 30 ≠ 75 = 193 mod 118

m=119: 148 mod 119 = 29 ≠ 74 = 193 mod 119

m=120: 148 mod 120 = 28 ≠ 73 = 193 mod 120

m=121: 148 mod 121 = 27 ≠ 72 = 193 mod 121

m=122: 148 mod 122 = 26 ≠ 71 = 193 mod 122

m=123: 148 mod 123 = 25 ≠ 70 = 193 mod 123

m=124: 148 mod 124 = 24 ≠ 69 = 193 mod 124

m=125: 148 mod 125 = 23 ≠ 68 = 193 mod 125

m=126: 148 mod 126 = 22 ≠ 67 = 193 mod 126

m=127: 148 mod 127 = 21 ≠ 66 = 193 mod 127

m=128: 148 mod 128 = 20 ≠ 65 = 193 mod 128

m=129: 148 mod 129 = 19 ≠ 64 = 193 mod 129

m=130: 148 mod 130 = 18 ≠ 63 = 193 mod 130

m=131: 148 mod 131 = 17 ≠ 62 = 193 mod 131

m=132: 148 mod 132 = 16 ≠ 61 = 193 mod 132

m=133: 148 mod 133 = 15 ≠ 60 = 193 mod 133

m=134: 148 mod 134 = 14 ≠ 59 = 193 mod 134

m=135: 148 mod 135 = 13 ≠ 58 = 193 mod 135

m=136: 148 mod 136 = 12 ≠ 57 = 193 mod 136

m=137: 148 mod 137 = 11 ≠ 56 = 193 mod 137

m=138: 148 mod 138 = 10 ≠ 55 = 193 mod 138

m=139: 148 mod 139 = 9 ≠ 54 = 193 mod 139

m=140: 148 mod 140 = 8 ≠ 53 = 193 mod 140

m=141: 148 mod 141 = 7 ≠ 52 = 193 mod 141

m=142: 148 mod 142 = 6 ≠ 51 = 193 mod 142

m=143: 148 mod 143 = 5 ≠ 50 = 193 mod 143

m=144: 148 mod 144 = 4 ≠ 49 = 193 mod 144

m=145: 148 mod 145 = 3 ≠ 48 = 193 mod 145

m=146: 148 mod 146 = 2 ≠ 47 = 193 mod 146

m=147: 148 mod 147 = 1 ≠ 46 = 193 mod 147

m=148: 148 mod 148 = 0 ≠ 45 = 193 mod 148

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (193 - 148) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45