Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 64 = 2.

Somit gilt: 66 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3

Somit gilt: 51 ≡ 60 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31998 - 322) mod 8 ≡ (31998 mod 8 - 322 mod 8) mod 8.

31998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31998 = 31000+998 = 8 ⋅ 3875 +998.

322 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 322 = 320+2 = 8 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(31998 - 322) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 65) mod 7 ≡ (100 mod 7 ⋅ 65 mod 7) mod 7.

100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 9 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 65) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4