Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 88 = 5.

Somit gilt: 93 mod 8 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 55 = 5.

Somit gilt: 60 mod 11 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 66 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 60 ≡ 5 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27007 - 8991) mod 9 ≡ (27007 mod 9 - 8991 mod 9) mod 9.

27007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27007 = 27000+7 = 9 ⋅ 3000 +7.

8991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8991 = 9000-9 = 9 ⋅ 1000 -9 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 0.

Somit gilt:

(27007 - 8991) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 20) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 20 mod 6) mod 6.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 20) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 75 aus, ob zufällig 75 mod m = 95 mod m gilt:

m=2: 75 mod 2 = 1 = 1 = 95 mod 2

m=3: 75 mod 3 = 0 ≠ 2 = 95 mod 3

m=4: 75 mod 4 = 3 = 3 = 95 mod 4

m=5: 75 mod 5 = 0 = 0 = 95 mod 5

m=6: 75 mod 6 = 3 ≠ 5 = 95 mod 6

m=7: 75 mod 7 = 5 ≠ 4 = 95 mod 7

m=8: 75 mod 8 = 3 ≠ 7 = 95 mod 8

m=9: 75 mod 9 = 3 ≠ 5 = 95 mod 9

m=10: 75 mod 10 = 5 = 5 = 95 mod 10

m=11: 75 mod 11 = 9 ≠ 7 = 95 mod 11

m=12: 75 mod 12 = 3 ≠ 11 = 95 mod 12

m=13: 75 mod 13 = 10 ≠ 4 = 95 mod 13

m=14: 75 mod 14 = 5 ≠ 11 = 95 mod 14

m=15: 75 mod 15 = 0 ≠ 5 = 95 mod 15

m=16: 75 mod 16 = 11 ≠ 15 = 95 mod 16

m=17: 75 mod 17 = 7 ≠ 10 = 95 mod 17

m=18: 75 mod 18 = 3 ≠ 5 = 95 mod 18

m=19: 75 mod 19 = 18 ≠ 0 = 95 mod 19

m=20: 75 mod 20 = 15 = 15 = 95 mod 20

m=21: 75 mod 21 = 12 ≠ 11 = 95 mod 21

m=22: 75 mod 22 = 9 ≠ 7 = 95 mod 22

m=23: 75 mod 23 = 6 ≠ 3 = 95 mod 23

m=24: 75 mod 24 = 3 ≠ 23 = 95 mod 24

m=25: 75 mod 25 = 0 ≠ 20 = 95 mod 25

m=26: 75 mod 26 = 23 ≠ 17 = 95 mod 26

m=27: 75 mod 27 = 21 ≠ 14 = 95 mod 27

m=28: 75 mod 28 = 19 ≠ 11 = 95 mod 28

m=29: 75 mod 29 = 17 ≠ 8 = 95 mod 29

m=30: 75 mod 30 = 15 ≠ 5 = 95 mod 30

m=31: 75 mod 31 = 13 ≠ 2 = 95 mod 31

m=32: 75 mod 32 = 11 ≠ 31 = 95 mod 32

m=33: 75 mod 33 = 9 ≠ 29 = 95 mod 33

m=34: 75 mod 34 = 7 ≠ 27 = 95 mod 34

m=35: 75 mod 35 = 5 ≠ 25 = 95 mod 35

m=36: 75 mod 36 = 3 ≠ 23 = 95 mod 36

m=37: 75 mod 37 = 1 ≠ 21 = 95 mod 37

m=38: 75 mod 38 = 37 ≠ 19 = 95 mod 38

m=39: 75 mod 39 = 36 ≠ 17 = 95 mod 39

m=40: 75 mod 40 = 35 ≠ 15 = 95 mod 40

m=41: 75 mod 41 = 34 ≠ 13 = 95 mod 41

m=42: 75 mod 42 = 33 ≠ 11 = 95 mod 42

m=43: 75 mod 43 = 32 ≠ 9 = 95 mod 43

m=44: 75 mod 44 = 31 ≠ 7 = 95 mod 44

m=45: 75 mod 45 = 30 ≠ 5 = 95 mod 45

m=46: 75 mod 46 = 29 ≠ 3 = 95 mod 46

m=47: 75 mod 47 = 28 ≠ 1 = 95 mod 47

m=48: 75 mod 48 = 27 ≠ 47 = 95 mod 48

m=49: 75 mod 49 = 26 ≠ 46 = 95 mod 49

m=50: 75 mod 50 = 25 ≠ 45 = 95 mod 50

m=51: 75 mod 51 = 24 ≠ 44 = 95 mod 51

m=52: 75 mod 52 = 23 ≠ 43 = 95 mod 52

m=53: 75 mod 53 = 22 ≠ 42 = 95 mod 53

m=54: 75 mod 54 = 21 ≠ 41 = 95 mod 54

m=55: 75 mod 55 = 20 ≠ 40 = 95 mod 55

m=56: 75 mod 56 = 19 ≠ 39 = 95 mod 56

m=57: 75 mod 57 = 18 ≠ 38 = 95 mod 57

m=58: 75 mod 58 = 17 ≠ 37 = 95 mod 58

m=59: 75 mod 59 = 16 ≠ 36 = 95 mod 59

m=60: 75 mod 60 = 15 ≠ 35 = 95 mod 60

m=61: 75 mod 61 = 14 ≠ 34 = 95 mod 61

m=62: 75 mod 62 = 13 ≠ 33 = 95 mod 62

m=63: 75 mod 63 = 12 ≠ 32 = 95 mod 63

m=64: 75 mod 64 = 11 ≠ 31 = 95 mod 64

m=65: 75 mod 65 = 10 ≠ 30 = 95 mod 65

m=66: 75 mod 66 = 9 ≠ 29 = 95 mod 66

m=67: 75 mod 67 = 8 ≠ 28 = 95 mod 67

m=68: 75 mod 68 = 7 ≠ 27 = 95 mod 68

m=69: 75 mod 69 = 6 ≠ 26 = 95 mod 69

m=70: 75 mod 70 = 5 ≠ 25 = 95 mod 70

m=71: 75 mod 71 = 4 ≠ 24 = 95 mod 71

m=72: 75 mod 72 = 3 ≠ 23 = 95 mod 72

m=73: 75 mod 73 = 2 ≠ 22 = 95 mod 73

m=74: 75 mod 74 = 1 ≠ 21 = 95 mod 74

m=75: 75 mod 75 = 0 ≠ 20 = 95 mod 75

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (95 - 75) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20