Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.

Somit gilt: 46 mod 9 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 66 = 9.

Somit gilt: 75 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 55 und erhalten so 64.

Somit gilt: 64 ≡ 75 ≡ 9 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1393 - 64) mod 7 ≡ (1393 mod 7 - 64 mod 7) mod 7.

1393 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1393 = 1400-7 = 7 ⋅ 200 -7 = 7 ⋅ 200 - 7 + 0.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 70-6 = 7 ⋅ 10 -6 = 7 ⋅ 10 - 7 + 1.

Somit gilt:

(1393 - 64) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 61) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 61 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 61) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 47 aus, ob zufällig 47 mod m = 62 mod m gilt:

m=2: 47 mod 2 = 1 ≠ 0 = 62 mod 2

m=3: 47 mod 3 = 2 = 2 = 62 mod 3

m=4: 47 mod 4 = 3 ≠ 2 = 62 mod 4

m=5: 47 mod 5 = 2 = 2 = 62 mod 5

m=6: 47 mod 6 = 5 ≠ 2 = 62 mod 6

m=7: 47 mod 7 = 5 ≠ 6 = 62 mod 7

m=8: 47 mod 8 = 7 ≠ 6 = 62 mod 8

m=9: 47 mod 9 = 2 ≠ 8 = 62 mod 9

m=10: 47 mod 10 = 7 ≠ 2 = 62 mod 10

m=11: 47 mod 11 = 3 ≠ 7 = 62 mod 11

m=12: 47 mod 12 = 11 ≠ 2 = 62 mod 12

m=13: 47 mod 13 = 8 ≠ 10 = 62 mod 13

m=14: 47 mod 14 = 5 ≠ 6 = 62 mod 14

m=15: 47 mod 15 = 2 = 2 = 62 mod 15

m=16: 47 mod 16 = 15 ≠ 14 = 62 mod 16

m=17: 47 mod 17 = 13 ≠ 11 = 62 mod 17

m=18: 47 mod 18 = 11 ≠ 8 = 62 mod 18

m=19: 47 mod 19 = 9 ≠ 5 = 62 mod 19

m=20: 47 mod 20 = 7 ≠ 2 = 62 mod 20

m=21: 47 mod 21 = 5 ≠ 20 = 62 mod 21

m=22: 47 mod 22 = 3 ≠ 18 = 62 mod 22

m=23: 47 mod 23 = 1 ≠ 16 = 62 mod 23

m=24: 47 mod 24 = 23 ≠ 14 = 62 mod 24

m=25: 47 mod 25 = 22 ≠ 12 = 62 mod 25

m=26: 47 mod 26 = 21 ≠ 10 = 62 mod 26

m=27: 47 mod 27 = 20 ≠ 8 = 62 mod 27

m=28: 47 mod 28 = 19 ≠ 6 = 62 mod 28

m=29: 47 mod 29 = 18 ≠ 4 = 62 mod 29

m=30: 47 mod 30 = 17 ≠ 2 = 62 mod 30

m=31: 47 mod 31 = 16 ≠ 0 = 62 mod 31

m=32: 47 mod 32 = 15 ≠ 30 = 62 mod 32

m=33: 47 mod 33 = 14 ≠ 29 = 62 mod 33

m=34: 47 mod 34 = 13 ≠ 28 = 62 mod 34

m=35: 47 mod 35 = 12 ≠ 27 = 62 mod 35

m=36: 47 mod 36 = 11 ≠ 26 = 62 mod 36

m=37: 47 mod 37 = 10 ≠ 25 = 62 mod 37

m=38: 47 mod 38 = 9 ≠ 24 = 62 mod 38

m=39: 47 mod 39 = 8 ≠ 23 = 62 mod 39

m=40: 47 mod 40 = 7 ≠ 22 = 62 mod 40

m=41: 47 mod 41 = 6 ≠ 21 = 62 mod 41

m=42: 47 mod 42 = 5 ≠ 20 = 62 mod 42

m=43: 47 mod 43 = 4 ≠ 19 = 62 mod 43

m=44: 47 mod 44 = 3 ≠ 18 = 62 mod 44

m=45: 47 mod 45 = 2 ≠ 17 = 62 mod 45

m=46: 47 mod 46 = 1 ≠ 16 = 62 mod 46

m=47: 47 mod 47 = 0 ≠ 15 = 62 mod 47

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (62 - 47) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15