Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 85 = 3.

Somit gilt: 88 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.

Somit gilt: 90 mod 11 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 88 und erhalten so 90.

Somit gilt: 90 ≡ 90 ≡ 2 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2394 - 798) mod 8 ≡ (2394 mod 8 - 798 mod 8) mod 8.

2394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394 = 2400-6 = 8 ⋅ 300 -6 = 8 ⋅ 300 - 8 + 2.

798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 800-2 = 8 ⋅ 100 -2 = 8 ⋅ 100 - 8 + 6.

Somit gilt:

(2394 - 798) mod 8 ≡ (2 - 6) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 56) mod 6 ≡ (23 mod 6 ⋅ 56 mod 6) mod 6.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 56) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 105 aus, ob zufällig 105 mod m = 135 mod m gilt:

m=2: 105 mod 2 = 1 = 1 = 135 mod 2

m=3: 105 mod 3 = 0 = 0 = 135 mod 3

m=4: 105 mod 4 = 1 ≠ 3 = 135 mod 4

m=5: 105 mod 5 = 0 = 0 = 135 mod 5

m=6: 105 mod 6 = 3 = 3 = 135 mod 6

m=7: 105 mod 7 = 0 ≠ 2 = 135 mod 7

m=8: 105 mod 8 = 1 ≠ 7 = 135 mod 8

m=9: 105 mod 9 = 6 ≠ 0 = 135 mod 9

m=10: 105 mod 10 = 5 = 5 = 135 mod 10

m=11: 105 mod 11 = 6 ≠ 3 = 135 mod 11

m=12: 105 mod 12 = 9 ≠ 3 = 135 mod 12

m=13: 105 mod 13 = 1 ≠ 5 = 135 mod 13

m=14: 105 mod 14 = 7 ≠ 9 = 135 mod 14

m=15: 105 mod 15 = 0 = 0 = 135 mod 15

m=16: 105 mod 16 = 9 ≠ 7 = 135 mod 16

m=17: 105 mod 17 = 3 ≠ 16 = 135 mod 17

m=18: 105 mod 18 = 15 ≠ 9 = 135 mod 18

m=19: 105 mod 19 = 10 ≠ 2 = 135 mod 19

m=20: 105 mod 20 = 5 ≠ 15 = 135 mod 20

m=21: 105 mod 21 = 0 ≠ 9 = 135 mod 21

m=22: 105 mod 22 = 17 ≠ 3 = 135 mod 22

m=23: 105 mod 23 = 13 ≠ 20 = 135 mod 23

m=24: 105 mod 24 = 9 ≠ 15 = 135 mod 24

m=25: 105 mod 25 = 5 ≠ 10 = 135 mod 25

m=26: 105 mod 26 = 1 ≠ 5 = 135 mod 26

m=27: 105 mod 27 = 24 ≠ 0 = 135 mod 27

m=28: 105 mod 28 = 21 ≠ 23 = 135 mod 28

m=29: 105 mod 29 = 18 ≠ 19 = 135 mod 29

m=30: 105 mod 30 = 15 = 15 = 135 mod 30

m=31: 105 mod 31 = 12 ≠ 11 = 135 mod 31

m=32: 105 mod 32 = 9 ≠ 7 = 135 mod 32

m=33: 105 mod 33 = 6 ≠ 3 = 135 mod 33

m=34: 105 mod 34 = 3 ≠ 33 = 135 mod 34

m=35: 105 mod 35 = 0 ≠ 30 = 135 mod 35

m=36: 105 mod 36 = 33 ≠ 27 = 135 mod 36

m=37: 105 mod 37 = 31 ≠ 24 = 135 mod 37

m=38: 105 mod 38 = 29 ≠ 21 = 135 mod 38

m=39: 105 mod 39 = 27 ≠ 18 = 135 mod 39

m=40: 105 mod 40 = 25 ≠ 15 = 135 mod 40

m=41: 105 mod 41 = 23 ≠ 12 = 135 mod 41

m=42: 105 mod 42 = 21 ≠ 9 = 135 mod 42

m=43: 105 mod 43 = 19 ≠ 6 = 135 mod 43

m=44: 105 mod 44 = 17 ≠ 3 = 135 mod 44

m=45: 105 mod 45 = 15 ≠ 0 = 135 mod 45

m=46: 105 mod 46 = 13 ≠ 43 = 135 mod 46

m=47: 105 mod 47 = 11 ≠ 41 = 135 mod 47

m=48: 105 mod 48 = 9 ≠ 39 = 135 mod 48

m=49: 105 mod 49 = 7 ≠ 37 = 135 mod 49

m=50: 105 mod 50 = 5 ≠ 35 = 135 mod 50

m=51: 105 mod 51 = 3 ≠ 33 = 135 mod 51

m=52: 105 mod 52 = 1 ≠ 31 = 135 mod 52

m=53: 105 mod 53 = 52 ≠ 29 = 135 mod 53

m=54: 105 mod 54 = 51 ≠ 27 = 135 mod 54

m=55: 105 mod 55 = 50 ≠ 25 = 135 mod 55

m=56: 105 mod 56 = 49 ≠ 23 = 135 mod 56

m=57: 105 mod 57 = 48 ≠ 21 = 135 mod 57

m=58: 105 mod 58 = 47 ≠ 19 = 135 mod 58

m=59: 105 mod 59 = 46 ≠ 17 = 135 mod 59

m=60: 105 mod 60 = 45 ≠ 15 = 135 mod 60

m=61: 105 mod 61 = 44 ≠ 13 = 135 mod 61

m=62: 105 mod 62 = 43 ≠ 11 = 135 mod 62

m=63: 105 mod 63 = 42 ≠ 9 = 135 mod 63

m=64: 105 mod 64 = 41 ≠ 7 = 135 mod 64

m=65: 105 mod 65 = 40 ≠ 5 = 135 mod 65

m=66: 105 mod 66 = 39 ≠ 3 = 135 mod 66

m=67: 105 mod 67 = 38 ≠ 1 = 135 mod 67

m=68: 105 mod 68 = 37 ≠ 67 = 135 mod 68

m=69: 105 mod 69 = 36 ≠ 66 = 135 mod 69

m=70: 105 mod 70 = 35 ≠ 65 = 135 mod 70

m=71: 105 mod 71 = 34 ≠ 64 = 135 mod 71

m=72: 105 mod 72 = 33 ≠ 63 = 135 mod 72

m=73: 105 mod 73 = 32 ≠ 62 = 135 mod 73

m=74: 105 mod 74 = 31 ≠ 61 = 135 mod 74

m=75: 105 mod 75 = 30 ≠ 60 = 135 mod 75

m=76: 105 mod 76 = 29 ≠ 59 = 135 mod 76

m=77: 105 mod 77 = 28 ≠ 58 = 135 mod 77

m=78: 105 mod 78 = 27 ≠ 57 = 135 mod 78

m=79: 105 mod 79 = 26 ≠ 56 = 135 mod 79

m=80: 105 mod 80 = 25 ≠ 55 = 135 mod 80

m=81: 105 mod 81 = 24 ≠ 54 = 135 mod 81

m=82: 105 mod 82 = 23 ≠ 53 = 135 mod 82

m=83: 105 mod 83 = 22 ≠ 52 = 135 mod 83

m=84: 105 mod 84 = 21 ≠ 51 = 135 mod 84

m=85: 105 mod 85 = 20 ≠ 50 = 135 mod 85

m=86: 105 mod 86 = 19 ≠ 49 = 135 mod 86

m=87: 105 mod 87 = 18 ≠ 48 = 135 mod 87

m=88: 105 mod 88 = 17 ≠ 47 = 135 mod 88

m=89: 105 mod 89 = 16 ≠ 46 = 135 mod 89

m=90: 105 mod 90 = 15 ≠ 45 = 135 mod 90

m=91: 105 mod 91 = 14 ≠ 44 = 135 mod 91

m=92: 105 mod 92 = 13 ≠ 43 = 135 mod 92

m=93: 105 mod 93 = 12 ≠ 42 = 135 mod 93

m=94: 105 mod 94 = 11 ≠ 41 = 135 mod 94

m=95: 105 mod 95 = 10 ≠ 40 = 135 mod 95

m=96: 105 mod 96 = 9 ≠ 39 = 135 mod 96

m=97: 105 mod 97 = 8 ≠ 38 = 135 mod 97

m=98: 105 mod 98 = 7 ≠ 37 = 135 mod 98

m=99: 105 mod 99 = 6 ≠ 36 = 135 mod 99

m=100: 105 mod 100 = 5 ≠ 35 = 135 mod 100

m=101: 105 mod 101 = 4 ≠ 34 = 135 mod 101

m=102: 105 mod 102 = 3 ≠ 33 = 135 mod 102

m=103: 105 mod 103 = 2 ≠ 32 = 135 mod 103

m=104: 105 mod 104 = 1 ≠ 31 = 135 mod 104

m=105: 105 mod 105 = 0 ≠ 30 = 135 mod 105

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (135 - 105) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30