Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 55 = 9.

Somit gilt: 64 mod 11 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 45 = 8.

Somit gilt: 53 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 90 und erhalten so 98.

Somit gilt: 98 ≡ 53 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 - 9000) mod 3 ≡ (12003 mod 3 - 9000 mod 3) mod 3.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(12003 - 9000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 26) mod 3 ≡ (33 mod 3 ⋅ 26 mod 3) mod 3.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 26) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 174 aus, ob zufällig 174 mod m = 249 mod m gilt:

m=2: 174 mod 2 = 0 ≠ 1 = 249 mod 2

m=3: 174 mod 3 = 0 = 0 = 249 mod 3

m=4: 174 mod 4 = 2 ≠ 1 = 249 mod 4

m=5: 174 mod 5 = 4 = 4 = 249 mod 5

m=6: 174 mod 6 = 0 ≠ 3 = 249 mod 6

m=7: 174 mod 7 = 6 ≠ 4 = 249 mod 7

m=8: 174 mod 8 = 6 ≠ 1 = 249 mod 8

m=9: 174 mod 9 = 3 ≠ 6 = 249 mod 9

m=10: 174 mod 10 = 4 ≠ 9 = 249 mod 10

m=11: 174 mod 11 = 9 ≠ 7 = 249 mod 11

m=12: 174 mod 12 = 6 ≠ 9 = 249 mod 12

m=13: 174 mod 13 = 5 ≠ 2 = 249 mod 13

m=14: 174 mod 14 = 6 ≠ 11 = 249 mod 14

m=15: 174 mod 15 = 9 = 9 = 249 mod 15

m=16: 174 mod 16 = 14 ≠ 9 = 249 mod 16

m=17: 174 mod 17 = 4 ≠ 11 = 249 mod 17

m=18: 174 mod 18 = 12 ≠ 15 = 249 mod 18

m=19: 174 mod 19 = 3 ≠ 2 = 249 mod 19

m=20: 174 mod 20 = 14 ≠ 9 = 249 mod 20

m=21: 174 mod 21 = 6 ≠ 18 = 249 mod 21

m=22: 174 mod 22 = 20 ≠ 7 = 249 mod 22

m=23: 174 mod 23 = 13 ≠ 19 = 249 mod 23

m=24: 174 mod 24 = 6 ≠ 9 = 249 mod 24

m=25: 174 mod 25 = 24 = 24 = 249 mod 25

m=26: 174 mod 26 = 18 ≠ 15 = 249 mod 26

m=27: 174 mod 27 = 12 ≠ 6 = 249 mod 27

m=28: 174 mod 28 = 6 ≠ 25 = 249 mod 28

m=29: 174 mod 29 = 0 ≠ 17 = 249 mod 29

m=30: 174 mod 30 = 24 ≠ 9 = 249 mod 30

m=31: 174 mod 31 = 19 ≠ 1 = 249 mod 31

m=32: 174 mod 32 = 14 ≠ 25 = 249 mod 32

m=33: 174 mod 33 = 9 ≠ 18 = 249 mod 33

m=34: 174 mod 34 = 4 ≠ 11 = 249 mod 34

m=35: 174 mod 35 = 34 ≠ 4 = 249 mod 35

m=36: 174 mod 36 = 30 ≠ 33 = 249 mod 36

m=37: 174 mod 37 = 26 ≠ 27 = 249 mod 37

m=38: 174 mod 38 = 22 ≠ 21 = 249 mod 38

m=39: 174 mod 39 = 18 ≠ 15 = 249 mod 39

m=40: 174 mod 40 = 14 ≠ 9 = 249 mod 40

m=41: 174 mod 41 = 10 ≠ 3 = 249 mod 41

m=42: 174 mod 42 = 6 ≠ 39 = 249 mod 42

m=43: 174 mod 43 = 2 ≠ 34 = 249 mod 43

m=44: 174 mod 44 = 42 ≠ 29 = 249 mod 44

m=45: 174 mod 45 = 39 ≠ 24 = 249 mod 45

m=46: 174 mod 46 = 36 ≠ 19 = 249 mod 46

m=47: 174 mod 47 = 33 ≠ 14 = 249 mod 47

m=48: 174 mod 48 = 30 ≠ 9 = 249 mod 48

m=49: 174 mod 49 = 27 ≠ 4 = 249 mod 49

m=50: 174 mod 50 = 24 ≠ 49 = 249 mod 50

m=51: 174 mod 51 = 21 ≠ 45 = 249 mod 51

m=52: 174 mod 52 = 18 ≠ 41 = 249 mod 52

m=53: 174 mod 53 = 15 ≠ 37 = 249 mod 53

m=54: 174 mod 54 = 12 ≠ 33 = 249 mod 54

m=55: 174 mod 55 = 9 ≠ 29 = 249 mod 55

m=56: 174 mod 56 = 6 ≠ 25 = 249 mod 56

m=57: 174 mod 57 = 3 ≠ 21 = 249 mod 57

m=58: 174 mod 58 = 0 ≠ 17 = 249 mod 58

m=59: 174 mod 59 = 56 ≠ 13 = 249 mod 59

m=60: 174 mod 60 = 54 ≠ 9 = 249 mod 60

m=61: 174 mod 61 = 52 ≠ 5 = 249 mod 61

m=62: 174 mod 62 = 50 ≠ 1 = 249 mod 62

m=63: 174 mod 63 = 48 ≠ 60 = 249 mod 63

m=64: 174 mod 64 = 46 ≠ 57 = 249 mod 64

m=65: 174 mod 65 = 44 ≠ 54 = 249 mod 65

m=66: 174 mod 66 = 42 ≠ 51 = 249 mod 66

m=67: 174 mod 67 = 40 ≠ 48 = 249 mod 67

m=68: 174 mod 68 = 38 ≠ 45 = 249 mod 68

m=69: 174 mod 69 = 36 ≠ 42 = 249 mod 69

m=70: 174 mod 70 = 34 ≠ 39 = 249 mod 70

m=71: 174 mod 71 = 32 ≠ 36 = 249 mod 71

m=72: 174 mod 72 = 30 ≠ 33 = 249 mod 72

m=73: 174 mod 73 = 28 ≠ 30 = 249 mod 73

m=74: 174 mod 74 = 26 ≠ 27 = 249 mod 74

m=75: 174 mod 75 = 24 = 24 = 249 mod 75

m=76: 174 mod 76 = 22 ≠ 21 = 249 mod 76

m=77: 174 mod 77 = 20 ≠ 18 = 249 mod 77

m=78: 174 mod 78 = 18 ≠ 15 = 249 mod 78

m=79: 174 mod 79 = 16 ≠ 12 = 249 mod 79

m=80: 174 mod 80 = 14 ≠ 9 = 249 mod 80

m=81: 174 mod 81 = 12 ≠ 6 = 249 mod 81

m=82: 174 mod 82 = 10 ≠ 3 = 249 mod 82

m=83: 174 mod 83 = 8 ≠ 0 = 249 mod 83

m=84: 174 mod 84 = 6 ≠ 81 = 249 mod 84

m=85: 174 mod 85 = 4 ≠ 79 = 249 mod 85

m=86: 174 mod 86 = 2 ≠ 77 = 249 mod 86

m=87: 174 mod 87 = 0 ≠ 75 = 249 mod 87

m=88: 174 mod 88 = 86 ≠ 73 = 249 mod 88

m=89: 174 mod 89 = 85 ≠ 71 = 249 mod 89

m=90: 174 mod 90 = 84 ≠ 69 = 249 mod 90

m=91: 174 mod 91 = 83 ≠ 67 = 249 mod 91

m=92: 174 mod 92 = 82 ≠ 65 = 249 mod 92

m=93: 174 mod 93 = 81 ≠ 63 = 249 mod 93

m=94: 174 mod 94 = 80 ≠ 61 = 249 mod 94

m=95: 174 mod 95 = 79 ≠ 59 = 249 mod 95

m=96: 174 mod 96 = 78 ≠ 57 = 249 mod 96

m=97: 174 mod 97 = 77 ≠ 55 = 249 mod 97

m=98: 174 mod 98 = 76 ≠ 53 = 249 mod 98

m=99: 174 mod 99 = 75 ≠ 51 = 249 mod 99

m=100: 174 mod 100 = 74 ≠ 49 = 249 mod 100

m=101: 174 mod 101 = 73 ≠ 47 = 249 mod 101

m=102: 174 mod 102 = 72 ≠ 45 = 249 mod 102

m=103: 174 mod 103 = 71 ≠ 43 = 249 mod 103

m=104: 174 mod 104 = 70 ≠ 41 = 249 mod 104

m=105: 174 mod 105 = 69 ≠ 39 = 249 mod 105

m=106: 174 mod 106 = 68 ≠ 37 = 249 mod 106

m=107: 174 mod 107 = 67 ≠ 35 = 249 mod 107

m=108: 174 mod 108 = 66 ≠ 33 = 249 mod 108

m=109: 174 mod 109 = 65 ≠ 31 = 249 mod 109

m=110: 174 mod 110 = 64 ≠ 29 = 249 mod 110

m=111: 174 mod 111 = 63 ≠ 27 = 249 mod 111

m=112: 174 mod 112 = 62 ≠ 25 = 249 mod 112

m=113: 174 mod 113 = 61 ≠ 23 = 249 mod 113

m=114: 174 mod 114 = 60 ≠ 21 = 249 mod 114

m=115: 174 mod 115 = 59 ≠ 19 = 249 mod 115

m=116: 174 mod 116 = 58 ≠ 17 = 249 mod 116

m=117: 174 mod 117 = 57 ≠ 15 = 249 mod 117

m=118: 174 mod 118 = 56 ≠ 13 = 249 mod 118

m=119: 174 mod 119 = 55 ≠ 11 = 249 mod 119

m=120: 174 mod 120 = 54 ≠ 9 = 249 mod 120

m=121: 174 mod 121 = 53 ≠ 7 = 249 mod 121

m=122: 174 mod 122 = 52 ≠ 5 = 249 mod 122

m=123: 174 mod 123 = 51 ≠ 3 = 249 mod 123

m=124: 174 mod 124 = 50 ≠ 1 = 249 mod 124

m=125: 174 mod 125 = 49 ≠ 124 = 249 mod 125

m=126: 174 mod 126 = 48 ≠ 123 = 249 mod 126

m=127: 174 mod 127 = 47 ≠ 122 = 249 mod 127

m=128: 174 mod 128 = 46 ≠ 121 = 249 mod 128

m=129: 174 mod 129 = 45 ≠ 120 = 249 mod 129

m=130: 174 mod 130 = 44 ≠ 119 = 249 mod 130

m=131: 174 mod 131 = 43 ≠ 118 = 249 mod 131

m=132: 174 mod 132 = 42 ≠ 117 = 249 mod 132

m=133: 174 mod 133 = 41 ≠ 116 = 249 mod 133

m=134: 174 mod 134 = 40 ≠ 115 = 249 mod 134

m=135: 174 mod 135 = 39 ≠ 114 = 249 mod 135

m=136: 174 mod 136 = 38 ≠ 113 = 249 mod 136

m=137: 174 mod 137 = 37 ≠ 112 = 249 mod 137

m=138: 174 mod 138 = 36 ≠ 111 = 249 mod 138

m=139: 174 mod 139 = 35 ≠ 110 = 249 mod 139

m=140: 174 mod 140 = 34 ≠ 109 = 249 mod 140

m=141: 174 mod 141 = 33 ≠ 108 = 249 mod 141

m=142: 174 mod 142 = 32 ≠ 107 = 249 mod 142

m=143: 174 mod 143 = 31 ≠ 106 = 249 mod 143

m=144: 174 mod 144 = 30 ≠ 105 = 249 mod 144

m=145: 174 mod 145 = 29 ≠ 104 = 249 mod 145

m=146: 174 mod 146 = 28 ≠ 103 = 249 mod 146

m=147: 174 mod 147 = 27 ≠ 102 = 249 mod 147

m=148: 174 mod 148 = 26 ≠ 101 = 249 mod 148

m=149: 174 mod 149 = 25 ≠ 100 = 249 mod 149

m=150: 174 mod 150 = 24 ≠ 99 = 249 mod 150

m=151: 174 mod 151 = 23 ≠ 98 = 249 mod 151

m=152: 174 mod 152 = 22 ≠ 97 = 249 mod 152

m=153: 174 mod 153 = 21 ≠ 96 = 249 mod 153

m=154: 174 mod 154 = 20 ≠ 95 = 249 mod 154

m=155: 174 mod 155 = 19 ≠ 94 = 249 mod 155

m=156: 174 mod 156 = 18 ≠ 93 = 249 mod 156

m=157: 174 mod 157 = 17 ≠ 92 = 249 mod 157

m=158: 174 mod 158 = 16 ≠ 91 = 249 mod 158

m=159: 174 mod 159 = 15 ≠ 90 = 249 mod 159

m=160: 174 mod 160 = 14 ≠ 89 = 249 mod 160

m=161: 174 mod 161 = 13 ≠ 88 = 249 mod 161

m=162: 174 mod 162 = 12 ≠ 87 = 249 mod 162

m=163: 174 mod 163 = 11 ≠ 86 = 249 mod 163

m=164: 174 mod 164 = 10 ≠ 85 = 249 mod 164

m=165: 174 mod 165 = 9 ≠ 84 = 249 mod 165

m=166: 174 mod 166 = 8 ≠ 83 = 249 mod 166

m=167: 174 mod 167 = 7 ≠ 82 = 249 mod 167

m=168: 174 mod 168 = 6 ≠ 81 = 249 mod 168

m=169: 174 mod 169 = 5 ≠ 80 = 249 mod 169

m=170: 174 mod 170 = 4 ≠ 79 = 249 mod 170

m=171: 174 mod 171 = 3 ≠ 78 = 249 mod 171

m=172: 174 mod 172 = 2 ≠ 77 = 249 mod 172

m=173: 174 mod 173 = 1 ≠ 76 = 249 mod 173

m=174: 174 mod 174 = 0 ≠ 75 = 249 mod 174

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (249 - 174) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75