Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 20 = 4.

Somit gilt: 24 mod 10 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 45 = 7.

Somit gilt: 52 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 4 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 36 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 52 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28007 + 1400) mod 7 ≡ (28007 mod 7 + 1400 mod 7) mod 7.

28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007 = 28000+7 = 7 ⋅ 4000 +7.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(28007 + 1400) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 91) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 91) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 168 aus, ob zufällig 168 mod m = 213 mod m gilt:

m=2: 168 mod 2 = 0 ≠ 1 = 213 mod 2

m=3: 168 mod 3 = 0 = 0 = 213 mod 3

m=4: 168 mod 4 = 0 ≠ 1 = 213 mod 4

m=5: 168 mod 5 = 3 = 3 = 213 mod 5

m=6: 168 mod 6 = 0 ≠ 3 = 213 mod 6

m=7: 168 mod 7 = 0 ≠ 3 = 213 mod 7

m=8: 168 mod 8 = 0 ≠ 5 = 213 mod 8

m=9: 168 mod 9 = 6 = 6 = 213 mod 9

m=10: 168 mod 10 = 8 ≠ 3 = 213 mod 10

m=11: 168 mod 11 = 3 ≠ 4 = 213 mod 11

m=12: 168 mod 12 = 0 ≠ 9 = 213 mod 12

m=13: 168 mod 13 = 12 ≠ 5 = 213 mod 13

m=14: 168 mod 14 = 0 ≠ 3 = 213 mod 14

m=15: 168 mod 15 = 3 = 3 = 213 mod 15

m=16: 168 mod 16 = 8 ≠ 5 = 213 mod 16

m=17: 168 mod 17 = 15 ≠ 9 = 213 mod 17

m=18: 168 mod 18 = 6 ≠ 15 = 213 mod 18

m=19: 168 mod 19 = 16 ≠ 4 = 213 mod 19

m=20: 168 mod 20 = 8 ≠ 13 = 213 mod 20

m=21: 168 mod 21 = 0 ≠ 3 = 213 mod 21

m=22: 168 mod 22 = 14 ≠ 15 = 213 mod 22

m=23: 168 mod 23 = 7 ≠ 6 = 213 mod 23

m=24: 168 mod 24 = 0 ≠ 21 = 213 mod 24

m=25: 168 mod 25 = 18 ≠ 13 = 213 mod 25

m=26: 168 mod 26 = 12 ≠ 5 = 213 mod 26

m=27: 168 mod 27 = 6 ≠ 24 = 213 mod 27

m=28: 168 mod 28 = 0 ≠ 17 = 213 mod 28

m=29: 168 mod 29 = 23 ≠ 10 = 213 mod 29

m=30: 168 mod 30 = 18 ≠ 3 = 213 mod 30

m=31: 168 mod 31 = 13 ≠ 27 = 213 mod 31

m=32: 168 mod 32 = 8 ≠ 21 = 213 mod 32

m=33: 168 mod 33 = 3 ≠ 15 = 213 mod 33

m=34: 168 mod 34 = 32 ≠ 9 = 213 mod 34

m=35: 168 mod 35 = 28 ≠ 3 = 213 mod 35

m=36: 168 mod 36 = 24 ≠ 33 = 213 mod 36

m=37: 168 mod 37 = 20 ≠ 28 = 213 mod 37

m=38: 168 mod 38 = 16 ≠ 23 = 213 mod 38

m=39: 168 mod 39 = 12 ≠ 18 = 213 mod 39

m=40: 168 mod 40 = 8 ≠ 13 = 213 mod 40

m=41: 168 mod 41 = 4 ≠ 8 = 213 mod 41

m=42: 168 mod 42 = 0 ≠ 3 = 213 mod 42

m=43: 168 mod 43 = 39 ≠ 41 = 213 mod 43

m=44: 168 mod 44 = 36 ≠ 37 = 213 mod 44

m=45: 168 mod 45 = 33 = 33 = 213 mod 45

m=46: 168 mod 46 = 30 ≠ 29 = 213 mod 46

m=47: 168 mod 47 = 27 ≠ 25 = 213 mod 47

m=48: 168 mod 48 = 24 ≠ 21 = 213 mod 48

m=49: 168 mod 49 = 21 ≠ 17 = 213 mod 49

m=50: 168 mod 50 = 18 ≠ 13 = 213 mod 50

m=51: 168 mod 51 = 15 ≠ 9 = 213 mod 51

m=52: 168 mod 52 = 12 ≠ 5 = 213 mod 52

m=53: 168 mod 53 = 9 ≠ 1 = 213 mod 53

m=54: 168 mod 54 = 6 ≠ 51 = 213 mod 54

m=55: 168 mod 55 = 3 ≠ 48 = 213 mod 55

m=56: 168 mod 56 = 0 ≠ 45 = 213 mod 56

m=57: 168 mod 57 = 54 ≠ 42 = 213 mod 57

m=58: 168 mod 58 = 52 ≠ 39 = 213 mod 58

m=59: 168 mod 59 = 50 ≠ 36 = 213 mod 59

m=60: 168 mod 60 = 48 ≠ 33 = 213 mod 60

m=61: 168 mod 61 = 46 ≠ 30 = 213 mod 61

m=62: 168 mod 62 = 44 ≠ 27 = 213 mod 62

m=63: 168 mod 63 = 42 ≠ 24 = 213 mod 63

m=64: 168 mod 64 = 40 ≠ 21 = 213 mod 64

m=65: 168 mod 65 = 38 ≠ 18 = 213 mod 65

m=66: 168 mod 66 = 36 ≠ 15 = 213 mod 66

m=67: 168 mod 67 = 34 ≠ 12 = 213 mod 67

m=68: 168 mod 68 = 32 ≠ 9 = 213 mod 68

m=69: 168 mod 69 = 30 ≠ 6 = 213 mod 69

m=70: 168 mod 70 = 28 ≠ 3 = 213 mod 70

m=71: 168 mod 71 = 26 ≠ 0 = 213 mod 71

m=72: 168 mod 72 = 24 ≠ 69 = 213 mod 72

m=73: 168 mod 73 = 22 ≠ 67 = 213 mod 73

m=74: 168 mod 74 = 20 ≠ 65 = 213 mod 74

m=75: 168 mod 75 = 18 ≠ 63 = 213 mod 75

m=76: 168 mod 76 = 16 ≠ 61 = 213 mod 76

m=77: 168 mod 77 = 14 ≠ 59 = 213 mod 77

m=78: 168 mod 78 = 12 ≠ 57 = 213 mod 78

m=79: 168 mod 79 = 10 ≠ 55 = 213 mod 79

m=80: 168 mod 80 = 8 ≠ 53 = 213 mod 80

m=81: 168 mod 81 = 6 ≠ 51 = 213 mod 81

m=82: 168 mod 82 = 4 ≠ 49 = 213 mod 82

m=83: 168 mod 83 = 2 ≠ 47 = 213 mod 83

m=84: 168 mod 84 = 0 ≠ 45 = 213 mod 84

m=85: 168 mod 85 = 83 ≠ 43 = 213 mod 85

m=86: 168 mod 86 = 82 ≠ 41 = 213 mod 86

m=87: 168 mod 87 = 81 ≠ 39 = 213 mod 87

m=88: 168 mod 88 = 80 ≠ 37 = 213 mod 88

m=89: 168 mod 89 = 79 ≠ 35 = 213 mod 89

m=90: 168 mod 90 = 78 ≠ 33 = 213 mod 90

m=91: 168 mod 91 = 77 ≠ 31 = 213 mod 91

m=92: 168 mod 92 = 76 ≠ 29 = 213 mod 92

m=93: 168 mod 93 = 75 ≠ 27 = 213 mod 93

m=94: 168 mod 94 = 74 ≠ 25 = 213 mod 94

m=95: 168 mod 95 = 73 ≠ 23 = 213 mod 95

m=96: 168 mod 96 = 72 ≠ 21 = 213 mod 96

m=97: 168 mod 97 = 71 ≠ 19 = 213 mod 97

m=98: 168 mod 98 = 70 ≠ 17 = 213 mod 98

m=99: 168 mod 99 = 69 ≠ 15 = 213 mod 99

m=100: 168 mod 100 = 68 ≠ 13 = 213 mod 100

m=101: 168 mod 101 = 67 ≠ 11 = 213 mod 101

m=102: 168 mod 102 = 66 ≠ 9 = 213 mod 102

m=103: 168 mod 103 = 65 ≠ 7 = 213 mod 103

m=104: 168 mod 104 = 64 ≠ 5 = 213 mod 104

m=105: 168 mod 105 = 63 ≠ 3 = 213 mod 105

m=106: 168 mod 106 = 62 ≠ 1 = 213 mod 106

m=107: 168 mod 107 = 61 ≠ 106 = 213 mod 107

m=108: 168 mod 108 = 60 ≠ 105 = 213 mod 108

m=109: 168 mod 109 = 59 ≠ 104 = 213 mod 109

m=110: 168 mod 110 = 58 ≠ 103 = 213 mod 110

m=111: 168 mod 111 = 57 ≠ 102 = 213 mod 111

m=112: 168 mod 112 = 56 ≠ 101 = 213 mod 112

m=113: 168 mod 113 = 55 ≠ 100 = 213 mod 113

m=114: 168 mod 114 = 54 ≠ 99 = 213 mod 114

m=115: 168 mod 115 = 53 ≠ 98 = 213 mod 115

m=116: 168 mod 116 = 52 ≠ 97 = 213 mod 116

m=117: 168 mod 117 = 51 ≠ 96 = 213 mod 117

m=118: 168 mod 118 = 50 ≠ 95 = 213 mod 118

m=119: 168 mod 119 = 49 ≠ 94 = 213 mod 119

m=120: 168 mod 120 = 48 ≠ 93 = 213 mod 120

m=121: 168 mod 121 = 47 ≠ 92 = 213 mod 121

m=122: 168 mod 122 = 46 ≠ 91 = 213 mod 122

m=123: 168 mod 123 = 45 ≠ 90 = 213 mod 123

m=124: 168 mod 124 = 44 ≠ 89 = 213 mod 124

m=125: 168 mod 125 = 43 ≠ 88 = 213 mod 125

m=126: 168 mod 126 = 42 ≠ 87 = 213 mod 126

m=127: 168 mod 127 = 41 ≠ 86 = 213 mod 127

m=128: 168 mod 128 = 40 ≠ 85 = 213 mod 128

m=129: 168 mod 129 = 39 ≠ 84 = 213 mod 129

m=130: 168 mod 130 = 38 ≠ 83 = 213 mod 130

m=131: 168 mod 131 = 37 ≠ 82 = 213 mod 131

m=132: 168 mod 132 = 36 ≠ 81 = 213 mod 132

m=133: 168 mod 133 = 35 ≠ 80 = 213 mod 133

m=134: 168 mod 134 = 34 ≠ 79 = 213 mod 134

m=135: 168 mod 135 = 33 ≠ 78 = 213 mod 135

m=136: 168 mod 136 = 32 ≠ 77 = 213 mod 136

m=137: 168 mod 137 = 31 ≠ 76 = 213 mod 137

m=138: 168 mod 138 = 30 ≠ 75 = 213 mod 138

m=139: 168 mod 139 = 29 ≠ 74 = 213 mod 139

m=140: 168 mod 140 = 28 ≠ 73 = 213 mod 140

m=141: 168 mod 141 = 27 ≠ 72 = 213 mod 141

m=142: 168 mod 142 = 26 ≠ 71 = 213 mod 142

m=143: 168 mod 143 = 25 ≠ 70 = 213 mod 143

m=144: 168 mod 144 = 24 ≠ 69 = 213 mod 144

m=145: 168 mod 145 = 23 ≠ 68 = 213 mod 145

m=146: 168 mod 146 = 22 ≠ 67 = 213 mod 146

m=147: 168 mod 147 = 21 ≠ 66 = 213 mod 147

m=148: 168 mod 148 = 20 ≠ 65 = 213 mod 148

m=149: 168 mod 149 = 19 ≠ 64 = 213 mod 149

m=150: 168 mod 150 = 18 ≠ 63 = 213 mod 150

m=151: 168 mod 151 = 17 ≠ 62 = 213 mod 151

m=152: 168 mod 152 = 16 ≠ 61 = 213 mod 152

m=153: 168 mod 153 = 15 ≠ 60 = 213 mod 153

m=154: 168 mod 154 = 14 ≠ 59 = 213 mod 154

m=155: 168 mod 155 = 13 ≠ 58 = 213 mod 155

m=156: 168 mod 156 = 12 ≠ 57 = 213 mod 156

m=157: 168 mod 157 = 11 ≠ 56 = 213 mod 157

m=158: 168 mod 158 = 10 ≠ 55 = 213 mod 158

m=159: 168 mod 159 = 9 ≠ 54 = 213 mod 159

m=160: 168 mod 160 = 8 ≠ 53 = 213 mod 160

m=161: 168 mod 161 = 7 ≠ 52 = 213 mod 161

m=162: 168 mod 162 = 6 ≠ 51 = 213 mod 162

m=163: 168 mod 163 = 5 ≠ 50 = 213 mod 163

m=164: 168 mod 164 = 4 ≠ 49 = 213 mod 164

m=165: 168 mod 165 = 3 ≠ 48 = 213 mod 165

m=166: 168 mod 166 = 2 ≠ 47 = 213 mod 166

m=167: 168 mod 167 = 1 ≠ 46 = 213 mod 167

m=168: 168 mod 168 = 0 ≠ 45 = 213 mod 168

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (213 - 168) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45