Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 59 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 59 - 54 = 5.
Somit gilt: 59 mod 9 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 37 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 37 - 32 = 5.
Somit gilt: 37 mod 8 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 20, z.B. 16 = 2 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 16 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 37 ≡ 5 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30002 + 24000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30002 + 24000) mod 6 ≡ (30002 mod 6 + 24000 mod 6) mod 6.
30002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30002
= 30000
24000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
Somit gilt:
(30002 + 24000) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 94) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 94) mod 8 ≡ (44 mod 8 ⋅ 94 mod 8) mod 8.
44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.
94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 94) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
27 mod m = 36 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 36 mod m gilt:
m=2: 27 mod 2 = 1 ≠ 0 = 36 mod 2
m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3
m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 0 = 36 mod 4
m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 1 = 36 mod 5
m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 0 = 36 mod 6
m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 1 = 36 mod 7
m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 4 = 36 mod 8
m=9: 27 mod 9 = 0 = 0 = 36 mod 9
m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 6 = 36 mod 10
m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 3 = 36 mod 11
m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 0 = 36 mod 12
m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 10 = 36 mod 13
m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 8 = 36 mod 14
m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 6 = 36 mod 15
m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 4 = 36 mod 16
m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 2 = 36 mod 17
m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 0 = 36 mod 18
m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 17 = 36 mod 19
m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 16 = 36 mod 20
m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 15 = 36 mod 21
m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 14 = 36 mod 22
m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 13 = 36 mod 23
m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 12 = 36 mod 24
m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 11 = 36 mod 25
m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 10 = 36 mod 26
m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 9 = 36 mod 27
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 27) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
