Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 33 = 0.

Somit gilt: 33 mod 11 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 56 = 3.

Somit gilt: 59 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 68 = 17 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 68 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 59 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 + 407) mod 8 ≡ (16000 mod 8 + 407 mod 8) mod 8.

16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 8 ⋅ 2000 +0.

407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 407 = 400+7 = 8 ⋅ 50 +7.

Somit gilt:

(16000 + 407) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 31) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 31 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 31) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4