Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 33, weil ja 11 ⋅ 3 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 33 = 2.

Somit gilt: 35 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.

Somit gilt: 99 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 30 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 99 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(138 + 72) mod 7 ≡ (138 mod 7 + 72 mod 7) mod 7.

138 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 138 = 140-2 = 7 ⋅ 20 -2 = 7 ⋅ 20 - 7 + 5.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70+2 = 7 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(138 + 72) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 71) mod 5 ≡ (55 mod 5 ⋅ 71 mod 5) mod 5.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 71) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4