Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.
Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 76 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.
Somit gilt: 76 mod 6 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 30 und erhalten so 34.
Somit gilt: 34 ≡ 76 ≡ 4 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (396 - 39992) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(396 - 39992) mod 8 ≡ (396 mod 8 - 39992 mod 8) mod 8.
396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396
= 400
39992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39992
= 39000
Somit gilt:
(396 - 39992) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 90) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 90) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 90 mod 4) mod 4.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 90) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4