Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.

Somit gilt: 100 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 91 = 6.

Somit gilt: 97 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 7 = 1 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 7 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 97 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19998 - 96) mod 5 ≡ (19998 mod 5 - 96 mod 5) mod 5.

19998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 5 ⋅ 3800 +998.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 5 ⋅ 18 +6.

Somit gilt:

(19998 - 96) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 35) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 35 mod 10) mod 10.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 35) mod 10 ≡ (1 ⋅ 5) mod 10 ≡ 5 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6