Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 66 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 66 - 63 = 3.
Somit gilt: 66 mod 9 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 24 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 18 = 6.
Somit gilt: 24 mod 9 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 27 und erhalten so 33.
Somit gilt: 33 ≡ 24 ≡ 6 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 + 603) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 + 603) mod 3 ≡ (600 mod 3 + 603 mod 3) mod 3.
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603
= 600
Somit gilt:
(600 + 603) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 66) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 66) mod 8 ≡ (58 mod 8 ⋅ 66 mod 8) mod 8.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 66) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6