Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 86 - 80 = 6.
Somit gilt: 86 mod 10 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 44 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.
Somit gilt: 44 mod 5 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 10 und erhalten so 14.
Somit gilt: 14 ≡ 44 ≡ 4 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11994 + 2399) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11994 + 2399) mod 6 ≡ (11994 mod 6 + 2399 mod 6) mod 6.
11994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11994
= 12000
2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399
= 2400
Somit gilt:
(11994 + 2399) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 91) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 91) mod 3 ≡ (58 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 91) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
38 mod m = 48 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 48 mod m gilt:
m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 48 mod 2
m=3: 38 mod 3 = 2 ≠ 0 = 48 mod 3
m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 0 = 48 mod 4
m=5: 38 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5
m=6: 38 mod 6 = 2 ≠ 0 = 48 mod 6
m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 6 = 48 mod 7
m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 0 = 48 mod 8
m=9: 38 mod 9 = 2 ≠ 3 = 48 mod 9
m=10: 38 mod 10 = 8 = 8 = 48 mod 10
m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 4 = 48 mod 11
m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 0 = 48 mod 12
m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 9 = 48 mod 13
m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 6 = 48 mod 14
m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 3 = 48 mod 15
m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 0 = 48 mod 16
m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 14 = 48 mod 17
m=18: 38 mod 18 = 2 ≠ 12 = 48 mod 18
m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 10 = 48 mod 19
m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 8 = 48 mod 20
m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 6 = 48 mod 21
m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 4 = 48 mod 22
m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 2 = 48 mod 23
m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 0 = 48 mod 24
m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 23 = 48 mod 25
m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 22 = 48 mod 26
m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 21 = 48 mod 27
m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 20 = 48 mod 28
m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 19 = 48 mod 29
m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 18 = 48 mod 30
m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 17 = 48 mod 31
m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 16 = 48 mod 32
m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 15 = 48 mod 33
m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 14 = 48 mod 34
m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 13 = 48 mod 35
m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 12 = 48 mod 36
m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 11 = 48 mod 37
m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 10 = 48 mod 38
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 38) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
