Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 51 = 2.

Somit gilt: 53 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.

Somit gilt: 81 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 81 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 + 2002) mod 4 ≡ (804 mod 4 + 2002 mod 4) mod 4.

804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 4 ⋅ 200 +4.

2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002 = 2000+2 = 4 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(804 + 2002) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 82) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 82 mod 7) mod 7.

39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 82) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 153 aus, ob zufällig 153 mod m = 198 mod m gilt:

m=2: 153 mod 2 = 1 ≠ 0 = 198 mod 2

m=3: 153 mod 3 = 0 = 0 = 198 mod 3

m=4: 153 mod 4 = 1 ≠ 2 = 198 mod 4

m=5: 153 mod 5 = 3 = 3 = 198 mod 5

m=6: 153 mod 6 = 3 ≠ 0 = 198 mod 6

m=7: 153 mod 7 = 6 ≠ 2 = 198 mod 7

m=8: 153 mod 8 = 1 ≠ 6 = 198 mod 8

m=9: 153 mod 9 = 0 = 0 = 198 mod 9

m=10: 153 mod 10 = 3 ≠ 8 = 198 mod 10

m=11: 153 mod 11 = 10 ≠ 0 = 198 mod 11

m=12: 153 mod 12 = 9 ≠ 6 = 198 mod 12

m=13: 153 mod 13 = 10 ≠ 3 = 198 mod 13

m=14: 153 mod 14 = 13 ≠ 2 = 198 mod 14

m=15: 153 mod 15 = 3 = 3 = 198 mod 15

m=16: 153 mod 16 = 9 ≠ 6 = 198 mod 16

m=17: 153 mod 17 = 0 ≠ 11 = 198 mod 17

m=18: 153 mod 18 = 9 ≠ 0 = 198 mod 18

m=19: 153 mod 19 = 1 ≠ 8 = 198 mod 19

m=20: 153 mod 20 = 13 ≠ 18 = 198 mod 20

m=21: 153 mod 21 = 6 ≠ 9 = 198 mod 21

m=22: 153 mod 22 = 21 ≠ 0 = 198 mod 22

m=23: 153 mod 23 = 15 ≠ 14 = 198 mod 23

m=24: 153 mod 24 = 9 ≠ 6 = 198 mod 24

m=25: 153 mod 25 = 3 ≠ 23 = 198 mod 25

m=26: 153 mod 26 = 23 ≠ 16 = 198 mod 26

m=27: 153 mod 27 = 18 ≠ 9 = 198 mod 27

m=28: 153 mod 28 = 13 ≠ 2 = 198 mod 28

m=29: 153 mod 29 = 8 ≠ 24 = 198 mod 29

m=30: 153 mod 30 = 3 ≠ 18 = 198 mod 30

m=31: 153 mod 31 = 29 ≠ 12 = 198 mod 31

m=32: 153 mod 32 = 25 ≠ 6 = 198 mod 32

m=33: 153 mod 33 = 21 ≠ 0 = 198 mod 33

m=34: 153 mod 34 = 17 ≠ 28 = 198 mod 34

m=35: 153 mod 35 = 13 ≠ 23 = 198 mod 35

m=36: 153 mod 36 = 9 ≠ 18 = 198 mod 36

m=37: 153 mod 37 = 5 ≠ 13 = 198 mod 37

m=38: 153 mod 38 = 1 ≠ 8 = 198 mod 38

m=39: 153 mod 39 = 36 ≠ 3 = 198 mod 39

m=40: 153 mod 40 = 33 ≠ 38 = 198 mod 40

m=41: 153 mod 41 = 30 ≠ 34 = 198 mod 41

m=42: 153 mod 42 = 27 ≠ 30 = 198 mod 42

m=43: 153 mod 43 = 24 ≠ 26 = 198 mod 43

m=44: 153 mod 44 = 21 ≠ 22 = 198 mod 44

m=45: 153 mod 45 = 18 = 18 = 198 mod 45

m=46: 153 mod 46 = 15 ≠ 14 = 198 mod 46

m=47: 153 mod 47 = 12 ≠ 10 = 198 mod 47

m=48: 153 mod 48 = 9 ≠ 6 = 198 mod 48

m=49: 153 mod 49 = 6 ≠ 2 = 198 mod 49

m=50: 153 mod 50 = 3 ≠ 48 = 198 mod 50

m=51: 153 mod 51 = 0 ≠ 45 = 198 mod 51

m=52: 153 mod 52 = 49 ≠ 42 = 198 mod 52

m=53: 153 mod 53 = 47 ≠ 39 = 198 mod 53

m=54: 153 mod 54 = 45 ≠ 36 = 198 mod 54

m=55: 153 mod 55 = 43 ≠ 33 = 198 mod 55

m=56: 153 mod 56 = 41 ≠ 30 = 198 mod 56

m=57: 153 mod 57 = 39 ≠ 27 = 198 mod 57

m=58: 153 mod 58 = 37 ≠ 24 = 198 mod 58

m=59: 153 mod 59 = 35 ≠ 21 = 198 mod 59

m=60: 153 mod 60 = 33 ≠ 18 = 198 mod 60

m=61: 153 mod 61 = 31 ≠ 15 = 198 mod 61

m=62: 153 mod 62 = 29 ≠ 12 = 198 mod 62

m=63: 153 mod 63 = 27 ≠ 9 = 198 mod 63

m=64: 153 mod 64 = 25 ≠ 6 = 198 mod 64

m=65: 153 mod 65 = 23 ≠ 3 = 198 mod 65

m=66: 153 mod 66 = 21 ≠ 0 = 198 mod 66

m=67: 153 mod 67 = 19 ≠ 64 = 198 mod 67

m=68: 153 mod 68 = 17 ≠ 62 = 198 mod 68

m=69: 153 mod 69 = 15 ≠ 60 = 198 mod 69

m=70: 153 mod 70 = 13 ≠ 58 = 198 mod 70

m=71: 153 mod 71 = 11 ≠ 56 = 198 mod 71

m=72: 153 mod 72 = 9 ≠ 54 = 198 mod 72

m=73: 153 mod 73 = 7 ≠ 52 = 198 mod 73

m=74: 153 mod 74 = 5 ≠ 50 = 198 mod 74

m=75: 153 mod 75 = 3 ≠ 48 = 198 mod 75

m=76: 153 mod 76 = 1 ≠ 46 = 198 mod 76

m=77: 153 mod 77 = 76 ≠ 44 = 198 mod 77

m=78: 153 mod 78 = 75 ≠ 42 = 198 mod 78

m=79: 153 mod 79 = 74 ≠ 40 = 198 mod 79

m=80: 153 mod 80 = 73 ≠ 38 = 198 mod 80

m=81: 153 mod 81 = 72 ≠ 36 = 198 mod 81

m=82: 153 mod 82 = 71 ≠ 34 = 198 mod 82

m=83: 153 mod 83 = 70 ≠ 32 = 198 mod 83

m=84: 153 mod 84 = 69 ≠ 30 = 198 mod 84

m=85: 153 mod 85 = 68 ≠ 28 = 198 mod 85

m=86: 153 mod 86 = 67 ≠ 26 = 198 mod 86

m=87: 153 mod 87 = 66 ≠ 24 = 198 mod 87

m=88: 153 mod 88 = 65 ≠ 22 = 198 mod 88

m=89: 153 mod 89 = 64 ≠ 20 = 198 mod 89

m=90: 153 mod 90 = 63 ≠ 18 = 198 mod 90

m=91: 153 mod 91 = 62 ≠ 16 = 198 mod 91

m=92: 153 mod 92 = 61 ≠ 14 = 198 mod 92

m=93: 153 mod 93 = 60 ≠ 12 = 198 mod 93

m=94: 153 mod 94 = 59 ≠ 10 = 198 mod 94

m=95: 153 mod 95 = 58 ≠ 8 = 198 mod 95

m=96: 153 mod 96 = 57 ≠ 6 = 198 mod 96

m=97: 153 mod 97 = 56 ≠ 4 = 198 mod 97

m=98: 153 mod 98 = 55 ≠ 2 = 198 mod 98

m=99: 153 mod 99 = 54 ≠ 0 = 198 mod 99

m=100: 153 mod 100 = 53 ≠ 98 = 198 mod 100

m=101: 153 mod 101 = 52 ≠ 97 = 198 mod 101

m=102: 153 mod 102 = 51 ≠ 96 = 198 mod 102

m=103: 153 mod 103 = 50 ≠ 95 = 198 mod 103

m=104: 153 mod 104 = 49 ≠ 94 = 198 mod 104

m=105: 153 mod 105 = 48 ≠ 93 = 198 mod 105

m=106: 153 mod 106 = 47 ≠ 92 = 198 mod 106

m=107: 153 mod 107 = 46 ≠ 91 = 198 mod 107

m=108: 153 mod 108 = 45 ≠ 90 = 198 mod 108

m=109: 153 mod 109 = 44 ≠ 89 = 198 mod 109

m=110: 153 mod 110 = 43 ≠ 88 = 198 mod 110

m=111: 153 mod 111 = 42 ≠ 87 = 198 mod 111

m=112: 153 mod 112 = 41 ≠ 86 = 198 mod 112

m=113: 153 mod 113 = 40 ≠ 85 = 198 mod 113

m=114: 153 mod 114 = 39 ≠ 84 = 198 mod 114

m=115: 153 mod 115 = 38 ≠ 83 = 198 mod 115

m=116: 153 mod 116 = 37 ≠ 82 = 198 mod 116

m=117: 153 mod 117 = 36 ≠ 81 = 198 mod 117

m=118: 153 mod 118 = 35 ≠ 80 = 198 mod 118

m=119: 153 mod 119 = 34 ≠ 79 = 198 mod 119

m=120: 153 mod 120 = 33 ≠ 78 = 198 mod 120

m=121: 153 mod 121 = 32 ≠ 77 = 198 mod 121

m=122: 153 mod 122 = 31 ≠ 76 = 198 mod 122

m=123: 153 mod 123 = 30 ≠ 75 = 198 mod 123

m=124: 153 mod 124 = 29 ≠ 74 = 198 mod 124

m=125: 153 mod 125 = 28 ≠ 73 = 198 mod 125

m=126: 153 mod 126 = 27 ≠ 72 = 198 mod 126

m=127: 153 mod 127 = 26 ≠ 71 = 198 mod 127

m=128: 153 mod 128 = 25 ≠ 70 = 198 mod 128

m=129: 153 mod 129 = 24 ≠ 69 = 198 mod 129

m=130: 153 mod 130 = 23 ≠ 68 = 198 mod 130

m=131: 153 mod 131 = 22 ≠ 67 = 198 mod 131

m=132: 153 mod 132 = 21 ≠ 66 = 198 mod 132

m=133: 153 mod 133 = 20 ≠ 65 = 198 mod 133

m=134: 153 mod 134 = 19 ≠ 64 = 198 mod 134

m=135: 153 mod 135 = 18 ≠ 63 = 198 mod 135

m=136: 153 mod 136 = 17 ≠ 62 = 198 mod 136

m=137: 153 mod 137 = 16 ≠ 61 = 198 mod 137

m=138: 153 mod 138 = 15 ≠ 60 = 198 mod 138

m=139: 153 mod 139 = 14 ≠ 59 = 198 mod 139

m=140: 153 mod 140 = 13 ≠ 58 = 198 mod 140

m=141: 153 mod 141 = 12 ≠ 57 = 198 mod 141

m=142: 153 mod 142 = 11 ≠ 56 = 198 mod 142

m=143: 153 mod 143 = 10 ≠ 55 = 198 mod 143

m=144: 153 mod 144 = 9 ≠ 54 = 198 mod 144

m=145: 153 mod 145 = 8 ≠ 53 = 198 mod 145

m=146: 153 mod 146 = 7 ≠ 52 = 198 mod 146

m=147: 153 mod 147 = 6 ≠ 51 = 198 mod 147

m=148: 153 mod 148 = 5 ≠ 50 = 198 mod 148

m=149: 153 mod 149 = 4 ≠ 49 = 198 mod 149

m=150: 153 mod 150 = 3 ≠ 48 = 198 mod 150

m=151: 153 mod 151 = 2 ≠ 47 = 198 mod 151

m=152: 153 mod 152 = 1 ≠ 46 = 198 mod 152

m=153: 153 mod 153 = 0 ≠ 45 = 198 mod 153

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (198 - 153) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45