Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.
Somit gilt: 97 mod 8 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 45 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.
Somit gilt: 45 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 36 = 4 ⋅ 9
Somit gilt: 36 ≡ 45 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 234) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 234) mod 6 ≡ (120 mod 6 + 234 mod 6) mod 6.
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234
= 240
Somit gilt:
(120 + 234) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 84) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 84) mod 8 ≡ (71 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.
71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 84) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
155 mod m = 200 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 155 aus, ob zufällig 155 mod m = 200 mod m gilt:
m=2: 155 mod 2 = 1 ≠ 0 = 200 mod 2
m=3: 155 mod 3 = 2 = 2 = 200 mod 3
m=4: 155 mod 4 = 3 ≠ 0 = 200 mod 4
m=5: 155 mod 5 = 0 = 0 = 200 mod 5
m=6: 155 mod 6 = 5 ≠ 2 = 200 mod 6
m=7: 155 mod 7 = 1 ≠ 4 = 200 mod 7
m=8: 155 mod 8 = 3 ≠ 0 = 200 mod 8
m=9: 155 mod 9 = 2 = 2 = 200 mod 9
m=10: 155 mod 10 = 5 ≠ 0 = 200 mod 10
m=11: 155 mod 11 = 1 ≠ 2 = 200 mod 11
m=12: 155 mod 12 = 11 ≠ 8 = 200 mod 12
m=13: 155 mod 13 = 12 ≠ 5 = 200 mod 13
m=14: 155 mod 14 = 1 ≠ 4 = 200 mod 14
m=15: 155 mod 15 = 5 = 5 = 200 mod 15
m=16: 155 mod 16 = 11 ≠ 8 = 200 mod 16
m=17: 155 mod 17 = 2 ≠ 13 = 200 mod 17
m=18: 155 mod 18 = 11 ≠ 2 = 200 mod 18
m=19: 155 mod 19 = 3 ≠ 10 = 200 mod 19
m=20: 155 mod 20 = 15 ≠ 0 = 200 mod 20
m=21: 155 mod 21 = 8 ≠ 11 = 200 mod 21
m=22: 155 mod 22 = 1 ≠ 2 = 200 mod 22
m=23: 155 mod 23 = 17 ≠ 16 = 200 mod 23
m=24: 155 mod 24 = 11 ≠ 8 = 200 mod 24
m=25: 155 mod 25 = 5 ≠ 0 = 200 mod 25
m=26: 155 mod 26 = 25 ≠ 18 = 200 mod 26
m=27: 155 mod 27 = 20 ≠ 11 = 200 mod 27
m=28: 155 mod 28 = 15 ≠ 4 = 200 mod 28
m=29: 155 mod 29 = 10 ≠ 26 = 200 mod 29
m=30: 155 mod 30 = 5 ≠ 20 = 200 mod 30
m=31: 155 mod 31 = 0 ≠ 14 = 200 mod 31
m=32: 155 mod 32 = 27 ≠ 8 = 200 mod 32
m=33: 155 mod 33 = 23 ≠ 2 = 200 mod 33
m=34: 155 mod 34 = 19 ≠ 30 = 200 mod 34
m=35: 155 mod 35 = 15 ≠ 25 = 200 mod 35
m=36: 155 mod 36 = 11 ≠ 20 = 200 mod 36
m=37: 155 mod 37 = 7 ≠ 15 = 200 mod 37
m=38: 155 mod 38 = 3 ≠ 10 = 200 mod 38
m=39: 155 mod 39 = 38 ≠ 5 = 200 mod 39
m=40: 155 mod 40 = 35 ≠ 0 = 200 mod 40
m=41: 155 mod 41 = 32 ≠ 36 = 200 mod 41
m=42: 155 mod 42 = 29 ≠ 32 = 200 mod 42
m=43: 155 mod 43 = 26 ≠ 28 = 200 mod 43
m=44: 155 mod 44 = 23 ≠ 24 = 200 mod 44
m=45: 155 mod 45 = 20 = 20 = 200 mod 45
m=46: 155 mod 46 = 17 ≠ 16 = 200 mod 46
m=47: 155 mod 47 = 14 ≠ 12 = 200 mod 47
m=48: 155 mod 48 = 11 ≠ 8 = 200 mod 48
m=49: 155 mod 49 = 8 ≠ 4 = 200 mod 49
m=50: 155 mod 50 = 5 ≠ 0 = 200 mod 50
m=51: 155 mod 51 = 2 ≠ 47 = 200 mod 51
m=52: 155 mod 52 = 51 ≠ 44 = 200 mod 52
m=53: 155 mod 53 = 49 ≠ 41 = 200 mod 53
m=54: 155 mod 54 = 47 ≠ 38 = 200 mod 54
m=55: 155 mod 55 = 45 ≠ 35 = 200 mod 55
m=56: 155 mod 56 = 43 ≠ 32 = 200 mod 56
m=57: 155 mod 57 = 41 ≠ 29 = 200 mod 57
m=58: 155 mod 58 = 39 ≠ 26 = 200 mod 58
m=59: 155 mod 59 = 37 ≠ 23 = 200 mod 59
m=60: 155 mod 60 = 35 ≠ 20 = 200 mod 60
m=61: 155 mod 61 = 33 ≠ 17 = 200 mod 61
m=62: 155 mod 62 = 31 ≠ 14 = 200 mod 62
m=63: 155 mod 63 = 29 ≠ 11 = 200 mod 63
m=64: 155 mod 64 = 27 ≠ 8 = 200 mod 64
m=65: 155 mod 65 = 25 ≠ 5 = 200 mod 65
m=66: 155 mod 66 = 23 ≠ 2 = 200 mod 66
m=67: 155 mod 67 = 21 ≠ 66 = 200 mod 67
m=68: 155 mod 68 = 19 ≠ 64 = 200 mod 68
m=69: 155 mod 69 = 17 ≠ 62 = 200 mod 69
m=70: 155 mod 70 = 15 ≠ 60 = 200 mod 70
m=71: 155 mod 71 = 13 ≠ 58 = 200 mod 71
m=72: 155 mod 72 = 11 ≠ 56 = 200 mod 72
m=73: 155 mod 73 = 9 ≠ 54 = 200 mod 73
m=74: 155 mod 74 = 7 ≠ 52 = 200 mod 74
m=75: 155 mod 75 = 5 ≠ 50 = 200 mod 75
m=76: 155 mod 76 = 3 ≠ 48 = 200 mod 76
m=77: 155 mod 77 = 1 ≠ 46 = 200 mod 77
m=78: 155 mod 78 = 77 ≠ 44 = 200 mod 78
m=79: 155 mod 79 = 76 ≠ 42 = 200 mod 79
m=80: 155 mod 80 = 75 ≠ 40 = 200 mod 80
m=81: 155 mod 81 = 74 ≠ 38 = 200 mod 81
m=82: 155 mod 82 = 73 ≠ 36 = 200 mod 82
m=83: 155 mod 83 = 72 ≠ 34 = 200 mod 83
m=84: 155 mod 84 = 71 ≠ 32 = 200 mod 84
m=85: 155 mod 85 = 70 ≠ 30 = 200 mod 85
m=86: 155 mod 86 = 69 ≠ 28 = 200 mod 86
m=87: 155 mod 87 = 68 ≠ 26 = 200 mod 87
m=88: 155 mod 88 = 67 ≠ 24 = 200 mod 88
m=89: 155 mod 89 = 66 ≠ 22 = 200 mod 89
m=90: 155 mod 90 = 65 ≠ 20 = 200 mod 90
m=91: 155 mod 91 = 64 ≠ 18 = 200 mod 91
m=92: 155 mod 92 = 63 ≠ 16 = 200 mod 92
m=93: 155 mod 93 = 62 ≠ 14 = 200 mod 93
m=94: 155 mod 94 = 61 ≠ 12 = 200 mod 94
m=95: 155 mod 95 = 60 ≠ 10 = 200 mod 95
m=96: 155 mod 96 = 59 ≠ 8 = 200 mod 96
m=97: 155 mod 97 = 58 ≠ 6 = 200 mod 97
m=98: 155 mod 98 = 57 ≠ 4 = 200 mod 98
m=99: 155 mod 99 = 56 ≠ 2 = 200 mod 99
m=100: 155 mod 100 = 55 ≠ 0 = 200 mod 100
m=101: 155 mod 101 = 54 ≠ 99 = 200 mod 101
m=102: 155 mod 102 = 53 ≠ 98 = 200 mod 102
m=103: 155 mod 103 = 52 ≠ 97 = 200 mod 103
m=104: 155 mod 104 = 51 ≠ 96 = 200 mod 104
m=105: 155 mod 105 = 50 ≠ 95 = 200 mod 105
m=106: 155 mod 106 = 49 ≠ 94 = 200 mod 106
m=107: 155 mod 107 = 48 ≠ 93 = 200 mod 107
m=108: 155 mod 108 = 47 ≠ 92 = 200 mod 108
m=109: 155 mod 109 = 46 ≠ 91 = 200 mod 109
m=110: 155 mod 110 = 45 ≠ 90 = 200 mod 110
m=111: 155 mod 111 = 44 ≠ 89 = 200 mod 111
m=112: 155 mod 112 = 43 ≠ 88 = 200 mod 112
m=113: 155 mod 113 = 42 ≠ 87 = 200 mod 113
m=114: 155 mod 114 = 41 ≠ 86 = 200 mod 114
m=115: 155 mod 115 = 40 ≠ 85 = 200 mod 115
m=116: 155 mod 116 = 39 ≠ 84 = 200 mod 116
m=117: 155 mod 117 = 38 ≠ 83 = 200 mod 117
m=118: 155 mod 118 = 37 ≠ 82 = 200 mod 118
m=119: 155 mod 119 = 36 ≠ 81 = 200 mod 119
m=120: 155 mod 120 = 35 ≠ 80 = 200 mod 120
m=121: 155 mod 121 = 34 ≠ 79 = 200 mod 121
m=122: 155 mod 122 = 33 ≠ 78 = 200 mod 122
m=123: 155 mod 123 = 32 ≠ 77 = 200 mod 123
m=124: 155 mod 124 = 31 ≠ 76 = 200 mod 124
m=125: 155 mod 125 = 30 ≠ 75 = 200 mod 125
m=126: 155 mod 126 = 29 ≠ 74 = 200 mod 126
m=127: 155 mod 127 = 28 ≠ 73 = 200 mod 127
m=128: 155 mod 128 = 27 ≠ 72 = 200 mod 128
m=129: 155 mod 129 = 26 ≠ 71 = 200 mod 129
m=130: 155 mod 130 = 25 ≠ 70 = 200 mod 130
m=131: 155 mod 131 = 24 ≠ 69 = 200 mod 131
m=132: 155 mod 132 = 23 ≠ 68 = 200 mod 132
m=133: 155 mod 133 = 22 ≠ 67 = 200 mod 133
m=134: 155 mod 134 = 21 ≠ 66 = 200 mod 134
m=135: 155 mod 135 = 20 ≠ 65 = 200 mod 135
m=136: 155 mod 136 = 19 ≠ 64 = 200 mod 136
m=137: 155 mod 137 = 18 ≠ 63 = 200 mod 137
m=138: 155 mod 138 = 17 ≠ 62 = 200 mod 138
m=139: 155 mod 139 = 16 ≠ 61 = 200 mod 139
m=140: 155 mod 140 = 15 ≠ 60 = 200 mod 140
m=141: 155 mod 141 = 14 ≠ 59 = 200 mod 141
m=142: 155 mod 142 = 13 ≠ 58 = 200 mod 142
m=143: 155 mod 143 = 12 ≠ 57 = 200 mod 143
m=144: 155 mod 144 = 11 ≠ 56 = 200 mod 144
m=145: 155 mod 145 = 10 ≠ 55 = 200 mod 145
m=146: 155 mod 146 = 9 ≠ 54 = 200 mod 146
m=147: 155 mod 147 = 8 ≠ 53 = 200 mod 147
m=148: 155 mod 148 = 7 ≠ 52 = 200 mod 148
m=149: 155 mod 149 = 6 ≠ 51 = 200 mod 149
m=150: 155 mod 150 = 5 ≠ 50 = 200 mod 150
m=151: 155 mod 151 = 4 ≠ 49 = 200 mod 151
m=152: 155 mod 152 = 3 ≠ 48 = 200 mod 152
m=153: 155 mod 153 = 2 ≠ 47 = 200 mod 153
m=154: 155 mod 154 = 1 ≠ 46 = 200 mod 154
m=155: 155 mod 155 = 0 ≠ 45 = 200 mod 155
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (200 - 155) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
