Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 81 = 7.

Somit gilt: 88 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 24 = 7.

Somit gilt: 31 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 48 und erhalten so 55.

Somit gilt: 55 ≡ 31 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 - 16000) mod 4 ≡ (123 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.

123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 4 ⋅ 30 +3.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(123 - 16000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 79) mod 5 ≡ (90 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 79) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 65 aus, ob zufällig 65 mod m = 83 mod m gilt:

m=2: 65 mod 2 = 1 = 1 = 83 mod 2

m=3: 65 mod 3 = 2 = 2 = 83 mod 3

m=4: 65 mod 4 = 1 ≠ 3 = 83 mod 4

m=5: 65 mod 5 = 0 ≠ 3 = 83 mod 5

m=6: 65 mod 6 = 5 = 5 = 83 mod 6

m=7: 65 mod 7 = 2 ≠ 6 = 83 mod 7

m=8: 65 mod 8 = 1 ≠ 3 = 83 mod 8

m=9: 65 mod 9 = 2 = 2 = 83 mod 9

m=10: 65 mod 10 = 5 ≠ 3 = 83 mod 10

m=11: 65 mod 11 = 10 ≠ 6 = 83 mod 11

m=12: 65 mod 12 = 5 ≠ 11 = 83 mod 12

m=13: 65 mod 13 = 0 ≠ 5 = 83 mod 13

m=14: 65 mod 14 = 9 ≠ 13 = 83 mod 14

m=15: 65 mod 15 = 5 ≠ 8 = 83 mod 15

m=16: 65 mod 16 = 1 ≠ 3 = 83 mod 16

m=17: 65 mod 17 = 14 ≠ 15 = 83 mod 17

m=18: 65 mod 18 = 11 = 11 = 83 mod 18

m=19: 65 mod 19 = 8 ≠ 7 = 83 mod 19

m=20: 65 mod 20 = 5 ≠ 3 = 83 mod 20

m=21: 65 mod 21 = 2 ≠ 20 = 83 mod 21

m=22: 65 mod 22 = 21 ≠ 17 = 83 mod 22

m=23: 65 mod 23 = 19 ≠ 14 = 83 mod 23

m=24: 65 mod 24 = 17 ≠ 11 = 83 mod 24

m=25: 65 mod 25 = 15 ≠ 8 = 83 mod 25

m=26: 65 mod 26 = 13 ≠ 5 = 83 mod 26

m=27: 65 mod 27 = 11 ≠ 2 = 83 mod 27

m=28: 65 mod 28 = 9 ≠ 27 = 83 mod 28

m=29: 65 mod 29 = 7 ≠ 25 = 83 mod 29

m=30: 65 mod 30 = 5 ≠ 23 = 83 mod 30

m=31: 65 mod 31 = 3 ≠ 21 = 83 mod 31

m=32: 65 mod 32 = 1 ≠ 19 = 83 mod 32

m=33: 65 mod 33 = 32 ≠ 17 = 83 mod 33

m=34: 65 mod 34 = 31 ≠ 15 = 83 mod 34

m=35: 65 mod 35 = 30 ≠ 13 = 83 mod 35

m=36: 65 mod 36 = 29 ≠ 11 = 83 mod 36

m=37: 65 mod 37 = 28 ≠ 9 = 83 mod 37

m=38: 65 mod 38 = 27 ≠ 7 = 83 mod 38

m=39: 65 mod 39 = 26 ≠ 5 = 83 mod 39

m=40: 65 mod 40 = 25 ≠ 3 = 83 mod 40

m=41: 65 mod 41 = 24 ≠ 1 = 83 mod 41

m=42: 65 mod 42 = 23 ≠ 41 = 83 mod 42

m=43: 65 mod 43 = 22 ≠ 40 = 83 mod 43

m=44: 65 mod 44 = 21 ≠ 39 = 83 mod 44

m=45: 65 mod 45 = 20 ≠ 38 = 83 mod 45

m=46: 65 mod 46 = 19 ≠ 37 = 83 mod 46

m=47: 65 mod 47 = 18 ≠ 36 = 83 mod 47

m=48: 65 mod 48 = 17 ≠ 35 = 83 mod 48

m=49: 65 mod 49 = 16 ≠ 34 = 83 mod 49

m=50: 65 mod 50 = 15 ≠ 33 = 83 mod 50

m=51: 65 mod 51 = 14 ≠ 32 = 83 mod 51

m=52: 65 mod 52 = 13 ≠ 31 = 83 mod 52

m=53: 65 mod 53 = 12 ≠ 30 = 83 mod 53

m=54: 65 mod 54 = 11 ≠ 29 = 83 mod 54

m=55: 65 mod 55 = 10 ≠ 28 = 83 mod 55

m=56: 65 mod 56 = 9 ≠ 27 = 83 mod 56

m=57: 65 mod 57 = 8 ≠ 26 = 83 mod 57

m=58: 65 mod 58 = 7 ≠ 25 = 83 mod 58

m=59: 65 mod 59 = 6 ≠ 24 = 83 mod 59

m=60: 65 mod 60 = 5 ≠ 23 = 83 mod 60

m=61: 65 mod 61 = 4 ≠ 22 = 83 mod 61

m=62: 65 mod 62 = 3 ≠ 21 = 83 mod 62

m=63: 65 mod 63 = 2 ≠ 20 = 83 mod 63

m=64: 65 mod 64 = 1 ≠ 19 = 83 mod 64

m=65: 65 mod 65 = 0 ≠ 18 = 83 mod 65

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (83 - 65) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18