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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)

Beispiel:

Berechne die Länge der Hypotenuse.

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

4² + 3² = a²

16 + 9 = a²

25 = a² | $\sqrt[]{\cdot}$

5 = a

Die gesuchte Länge ist somit a = 5 mm.

Pythagoras mit ganzen Zahlen

Beispiel:

Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

Lösung einblenden

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

40² + b² = 41²

1600 + b² = 1681 | - 1600

b² = 81 | $\sqrt[]{\cdot}$

b = 9

Pythagoras mit reellen Zahlen

Beispiel:

Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

Lösung einblenden

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

78² + b² = 100²

6084 + b² = 10000 | - 6084

b² = 3916 | $\sqrt[]{\cdot}$

b ≈ 62.58

Pythagoras (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Länge einer Kathete a = 56 mm und die Länge der Hypotenuse c = 62 mm gegeben. Berechne die Länge der anderen Kathete.

Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung einblenden

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

56² + b² = 62²

3136 + b² = 3844 | - 3136

b² = 708 | $\sqrt[]{\cdot}$

b ≈ 26.61

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

100 + 8² = A

100 + 64 = A

164 = A

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 164 cm².

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

Lösung einblenden

Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

8² + c² = 10²

64 + c² = 100 | - 64

c² = 36 | $\sqrt[]{\cdot}$

c = 6

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 m ⋅ 6 m

also A = 24 m²

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Beispiel:

Berechne die fehlende Länge h im abgebildeten Dreieck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 2.5 mm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.

2.5² + h² = 5²

6.25 + h² = 25 | - 6.25

h² = 18.75 | $\sqrt[]{\cdot}$

h = $\sqrt{18.75}$ ≈ 4.33

Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 4.33 mm.

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem Rechteck ist die eine Seitenlänge mit b=3 cm und die Diagonale mit d=7 cm gegeben. Berechne die fehlende andere Seitenlänge des Rechtecks.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke a berechnen.

3² + a² = 7²

9 + a² = 49 | - 9

a² = 40 | $\sqrt[]{\cdot}$

a = $\sqrt{40}$ ≈ 6.32

Die gesuchte Länge ist somit a ≈ 6.32 cm.

Pythagoras rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist ein Quadrat mit der Diagonalenlänge d=10 mm Berechne den Umfang dieses Quadrats.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Länge der Diagonalen eines Quadrats in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

a² + a² = d²

2a² = d² | $\sqrt[]{\cdot}$

also gilt d= $\sqrt{2a²}$ = $\sqrt{2}$ ⋅ a

oder eben a = $\frac{d}{\sqrt{2}}$

Somit gilt in unserem Fall: a = $\frac{10}{\sqrt{2}}$ ≈ 7.071

Für den Umfang gilt dann: U = 4 ⋅ a ≈ 4 ⋅ 7.071 mm ≈ 28.28 mm

Pythagoras rückwärts (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=74 m und dem Umfang 188 m.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

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Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a² + b² = d²

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 188=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a² + b² = 74²

vereinfacht

I: 94=a + b

II: a² + b² = 5476

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 94 - a

II: a² + b² = 5476

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a² + (94 - a)² = 5476

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

$a^{2} + a^{2} - 188 a + 8 836$	=	$5 476$
$2 a^{2} - 188 a + 8 836$	=	$5 476$	\| $- 5 476$

$2 a^{2} - 188 a + 3 360$ = 0 |:2

$a^{2} - 94 a + 1 680$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

a_1,2 = $\frac{+ 94 \pm \sqrt{{(- 94)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 680}}{2 \cdot 1}$

a_1,2 = $\frac{+ 94 \pm \sqrt{8 836 - 6 720}}{2}$

a_1,2 = $\frac{+ 94 \pm \sqrt{2 116}}{2}$

a₁ = $\frac{94 + \sqrt{2 116}}{2}$ = $\frac{94+46}{2}$ = $\frac{140}{2}$ = $70$

a₂ = $\frac{94 - \sqrt{2 116}}{2}$ = $\frac{94-46}{2}$ = $\frac{48}{2}$ = $24$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 47)}^{2} - 1 680$ = $2 209$ $-$ $1 680$ = $529$

x_1,2 = $47$ ± $\sqrt{529}$

x₁ = $47$ - $23$ = 24

x₂ = $47$ + $23$ = 70

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 94 = 70 + 24

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 70 m ⋅ 24 m = 1680 m²

Abstand zweier Punkte

Beispiel:

Berechne den Abstand der beiden Punkte A(-1|-5) und B(-2|4) im Koordinatensystem.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = -1 - ( - 2 ) = 1

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 4 - ( - 5 ) = 9

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d² = 1² + 9²

d² = 1 + 81

d² = 82

d = $\sqrt{82}$ ≈ 9.06

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 9.06

Umfang + Inhalt im allg. Dreieck

Beispiel:

Berechne alle Längen im Dreick ABC mit A(-4|-5), B(4|-5) und C(-1|0). Bestimme auch den Umfang U und den Flächeninhalt A von ABC.

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

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Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus uund Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichen wir noch eine Höhe eine. Weil hier die Seite c parallel zur x-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe h_c.

Die achsenparallelen Strecken c und h_c kann man direkt ablesen:
c = 8 und h_c = 5

Weil Höhe ja parallel zur y-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe h_c auf c trefft, den gleichen x-Wert wie C, also x = -1.
Somit ergibt sich AL = 3 und LB = 5

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und b berechnen:

b² = h² + AL² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34

=> b = $\sqrt{34}$ ≈ 5.83

a² = h² + LB² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50

=> a = $\sqrt{50}$ ≈ 7.07

Der Umfang eines Dreiecks berechnet sich ja sehr einfach als die Summe aller drei Seiten:
U ≈ 7.1 + 5.8 + 8 ≈ 20.9

Auch der Flächeinhalt lässt sich einfach mit der Formel A = $\frac{1}{2}$ ⋅c⋅h_c berechnen:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅8⋅5 = 20

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 20 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 70 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

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Es gilt:

35² + 20² =h²

1225 +400 = h²

1625 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

40.31 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 40.31cm

Aufgabenbeispiele von Pythagoras

Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)

Pythagoras mit ganzen Zahlen

Pythagoras mit reellen Zahlen

Pythagoras (ohne Skizze)

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Pythagoras rückwärts

Pythagoras rückwärts (schwer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Abstand zweier Punkte

Umfang + Inhalt im allg. Dreieck

Anwendungen Pythagoras