Aufgabenbeispiele von Pythagoras
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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)
Beispiel:
Berechne die Länge der Hypotenuse.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
122 + 162 = c2
144 + 256 = c2
400 = c2 |
20 = c
Die gesuchte Länge ist somit c = 20 m.
Pythagoras mit ganzen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
242 + a2 = 252
576 + a2 = 625 | - 576
a2 = 49 |
a = 7
Pythagoras mit reellen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
432 + c2 = 502
1849 + c2 = 2500 | - 1849
c2 = 651 |
c ≈ 25.51
Pythagoras (ohne Skizze)
Beispiel:
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten mit b = 52 m und c = 36 m gegeben. Berechne die Länge der Hypotenuse.
Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
522 + 362 = a2
2704 + 1296 = a2
4000 = a2 |
63.25 ≈ a
Quadrate über rechtwinkl. Dreieck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
A + 52 = 74
A + 25 = 74 | - 25
A = 49
Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 49 m2.
Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.
Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
212 + b2 = 292
441 + b2 = 841 | - 441
b2 = 400 |
b = 20
Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:
A = ⋅ 20 mm ⋅ 21 mm
also A = 210 mm2
Pythagoras im Rechteck und Dreieck
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge b im abgebildeten Rechteck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke b berechnen.
32 + b2 = 112
9 + b2 = 121 | - 9
b2 = 112 |
b = ≈ 10.58
Die gesuchte Länge ist somit b ≈ 10.58 cm.
Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)
Beispiel:
In einem Rechteck ist die eine Seitenlänge mit a=5 m und die Diagonale mit d=8 m gegeben. Berechne die fehlende andere Seitenlänge des Rechtecks.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke b berechnen.
52 + b2 = 82
25 + b2 = 64 | - 25
b2 = 39 |
b = ≈ 6.24
Die gesuchte Länge ist somit b ≈ 6.24 m.
Pythagoras rückwärts
Beispiel:
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe h=7 cm Berechne die Seitenlänge a dieses gleichseitigen Dreieck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Höhe im gleichseitigen Dreieck in Abhängigkeit von der Seitenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:
+ h2 = a2
+ h2 = a2 | -
h2 = a2 |
h = = a |⋅
oder eben a =
Somit gilt in unserem Fall:
a =
Pythagoras rückwärts (schwer)
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=65 m und dem Umfang 178 m.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:
I: U=2⋅a + 2⋅b
Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:
II: a2 + b2 = d2
Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:
I: 178=2⋅a + 2⋅b | :2
II: a2 + b2 = 652
vereinfacht
I: 89=a + b
II: a2 + b2 = 4225
Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir
I: b = 89 - a
II: a2 + b2 = 4225
Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:
II: a2 + (89 - a)2 = 4225
Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
a1,2 =
a1,2 =
a1,2 =
a1 =
a2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)
(I) 89 = 56 + 33
Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.
Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:
A = a ⋅ b = 56 m ⋅ 33 m = 1848 m2
Abstand zweier Punkte
Beispiel:
Berechne den Abstand der beiden Punkte A(0|-2) und B(-2|4) im Koordinatensystem.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx =
0 -
Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy =
4 -
Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:
d2 = 22 + 62
d2 = 4 + 36
d2 = 40
d =
Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 6.32
Umfang + Inhalt im allg. Dreieck
Beispiel:
Berechne alle Längen im Dreick ABC mit A(-3|-4), B(1|1) und C(-3|5). Bestimme auch den Umfang U und den Flächeninhalt A von ABC.
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus uund Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichen wir noch eine Höhe eine. Weil hier die Seite b parallel zur y-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe hb.
Die achsenparallelen Strecken b und hb kann man direkt ablesen:
b = 9 und hb = 4
Weil Höhe ja parallel zur x-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe hb auf
b trefft, den gleichen y-Wert wie B, also y = 1.
Somit ergibt sich
AL = 5 und LC = 4
Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und c berechnen:
c2 = h2 + AL2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41
=> c =
a2 = h2 + LC2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32
=> a =
Der Umfang eines Dreiecks berechnet sich ja sehr einfach als die Summe aller drei Seiten:
U ≈ 5.7 + 9 + 6.4 ≈ 21.1
Auch der Flächeinhalt lässt sich einfach mit der Formel A =
A =
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 11,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 10m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 9m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.
Es gilt:
2.52 + 52 =h2
6.25 +25 = h2
31.25 = h2 |
5.59 ≈ h
Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 9m multipliziert werden.
Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: AH ≈ 50.31m2
Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 100.62m2