Aufgabenbeispiele von Pythagoras

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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)

Beispiel:

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Berechne die Länge der Hypotenuse.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

122 + 162 = b2

144 + 256 = b2

400 = b2 |

20 = b

Die gesuchte Länge ist somit b = 20 cm.

Pythagoras mit ganzen Zahlen

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

552 + c2 = 732

3025 + c2 = 5329 | - 3025

c2 = 2304 |

c = 48

Pythagoras mit reellen Zahlen

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

832 + a2 = 862

6889 + a2 = 7396 | - 6889

a2 = 507 |

a ≈ 22.52

Pythagoras (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten mit a = 62 cm und b = 58 cm gegeben. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

622 + 582 = c2

3844 + 3364 = c2

7208 = c2 |

84.9 ≈ c

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Beispiel:

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Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.

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Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

81 + A = 112

81 + A = 121 | - 81

A = 40

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 40 cm2.

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Beispiel:

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Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

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Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

202 + c2 = 292

400 + c2 = 841 | - 400

c2 = 441 |

c = 21

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = 1 2 ⋅ 20 mm ⋅ 21 mm

also A = 210 mm2

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge h im abgebildeten Dreieck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 2.5 cm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.

2.52 + h2 = 82

6.25 + h2 = 64 | - 6.25

h2 = 57.75 |

h = 57.75 ≈ 7.6

Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 7.6 cm.

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Beispiel:

Ein gleichschenkliges Dreieck hat b=10 mm als Länge der Basis und a=11 mm als Länge der beiden Schenkel. Berechne die Höhe dieses Dreieck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 5 mm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.

52 + h2 = 112

25 + h2 = 121 | - 25

h2 = 96 |

h = 96 ≈ 9.8

Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 9.8 mm.

Pythagoras rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist ein Quadrat mit der Diagonalenlänge d=10 mm Berechne den Umfang dieses Quadrats.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Länge der Diagonalen eines Quadrats in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

a2 + a2 = d2

2a2 = d2 |

also gilt d= 2a² = 2 ⋅ a

oder eben a = d 2

Somit gilt in unserem Fall: a = 10 2 ≈ 7.071

Für den Umfang gilt dann: U = 4 ⋅ a ≈ 4 ⋅ 7.071 mm ≈ 28.28 mm

Pythagoras rückwärts (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=50 cm und dem Umfang 124 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

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Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a2 + b2 = d2

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 124=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a2 + b2 = 502

vereinfacht

I: 62=a + b

II: a2 + b2 = 2500

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 62 - a

II: a2 + b2 = 2500

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a2 + (62 - a)2 = 2500

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

a 2 + a 2 -124a +3844 = 2500
2 a 2 -124a +3844 = 2500 | -2500
2 a 2 -124a +1344 = 0 |:2

a 2 -62a +672 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a1,2 = +62 ± ( -62 ) 2 -4 · 1 · 672 21

a1,2 = +62 ± 3844 -2688 2

a1,2 = +62 ± 1156 2

a1 = 62 + 1156 2 = 62 +34 2 = 96 2 = 48

a2 = 62 - 1156 2 = 62 -34 2 = 28 2 = 14

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 62 = 48 + 14

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 48 cm ⋅ 14 cm = 672 cm2

Abstand zweier Punkte

Beispiel:

Berechne den Abstand der beiden Punkte A(0|-1) und B(-2|4) im Koordinatensystem.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = 0 - ( - 2 ) = 2

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 4 - ( - 1 ) = 5

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d2 = 22 + 52

d2 = 4 + 25

d2 = 29

d = 29 ≈ 5.39

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 5.39

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 67m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

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Es gilt:

63710002 + k12 = 63710672

40589641000000 + k12 = 40590494718489 |-40589641000000

k12 = 853718489 |

k1 ≈ 29218.46

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 29218.46m